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多元统计分析重点宿舍版

第一讲：多元统计方法及应用；多元统计方法分类（按变量、模型、因变量等） 多元统计分析应用

选择题：①数据或结构性简化运用的方法有：多元回归分析，聚类分析，主成分分析，因子分析 ②分类和组合运用的方法有：判别分析，聚类分析，主成分分析 ③变量之间的相关关系运用的方法有：多元回归，主成分分析，因子分析， ④预测与决策运用的方法有：多元回归，判别分析，聚类分析 ⑤横贯数据：{因果模型(因变量数)：多元回归，判别分析相依模型(变量测度)：因子分析，聚类分析

多元统计分析方法

选择题：①多元统计方法的分类：1）按测量数据的来源分为：横贯数据（同一时间不同案例的观测数据），纵观数据（同样案例在不同时间的多次观测数据） 2）按变量的测度等级（数据类型）分为：类别（非测量型）变量，数值型（测量型）变量

3）按分析模型的属性分为：因果模型，相依模型 4）按模型中因变量的数量分为：单因变量模型，多因变量模型，多层因果模型

第二讲：计算均值、协差阵、相关阵；相互独立性

第三讲：主成分定义、应用及基本思想，主成分性质，主成分分析步骤

主成分定义：何谓主成分分析 就是将原来的多个指标（变量）线性组合成几个新的相互无关的综合指标（主成分），并使新的综合指标尽可能多地反映原来的指标信息。

主成分分析的应用 ：（1）数据的压缩、结构的简化；（2）样品的综合评价，排序

主成分分析概述——思想：①（1）把给定的一组变量X1,X2,…XP ,通过线性变换，转换为一组不相关的变量Y1，Y2，…YP 。（2）在这种变换中，保持变量的总方差（X1，X2，…Xp 的方差之和）不变，同时，使Y1具有最大方差，称为第一主成分；Y2具有次大方差，称为第二主成分。依次类推，原来有P 个变量，就可以转换出P 个主

成分（3）在实际应用中，为了简化问题，通常找能够反映原来P 个变量的绝大部分方差的q （q

主成分性质：1）性质1：主成分的协方差矩阵是对角阵：（2）性质2：主成分的总方差等于原始变量的总方差（3）性质3：主成分Yk 与原始变量Xi 的相关系数为：ρ

（YK,Xi ）=√

λ√σii

tki,并称之为因子负荷量（或因子载荷量）。

主成分分析的具体步骤：①将原始数据标准化；②建立变量的相关系数阵；③求的特征根为**

10p λλ≥

≥≥，相应的特征向量为***12,,,p T T T ；④由累积方差贡献率确

定主成分的个数（m ），并写出主成分为**()i i Y T '=X ，1,2,

,i m =

第四讲：因子分析定义，因子载荷统计意义，因子分析模型及假设，因子旋转

因子分析定义：因子分析就是通过对多个变量的相关系数矩阵的研究，找出同时影响或支配所有变量的共性因子的多元统计方法。

因子载荷统计意义： 1．因子载荷

ij

a 的统计意义

对于因子模型

1122i i i ij j im m i

X a F a F a F a F ε=++

++++ 1,2,,i p =

我们可以得到，

i

X 与

j

F 的协方差为：

1

Cov(,)Cov(,)

m

i j ik k i j k X F a F F ε==+∑

=1

Cov(,)Cov(,)

m

ik k j i j k a F F F ε=+∑

=

ij

a

如果对

i

X 作了标准化处理，

i

X 的标准差为1，且

j

F 的标准差为1，因此

,Cov(,)Cov(,)i j X F i j ij

X F r X F a =

== （7.6）

那么，从上面的分析，我们知道对于标准化后的i

X ，

ij

a 是

i

X 与

j

F 的相关系数，它

一方面表示i

X 对

j

F 的依赖程度，绝对值越大，密切程度越高；另一方面也反映了

变量

i

X 对公共因子

j

F 的相对重要性。了解这一点对我们理解抽象的因子含义有非

常重要的作用。 2．变量共同度

2

i h 的统计意义

设因子载荷矩阵为A ，称第i 行元素的平方和，即

22

11,2,,m

i

ij j h a i p

===∑ （7.7）

为变量

i

X 的共同度。

由因子模型，知

22

2

1122()()()()()

i i i im m i D X a D F a D F a D F D ε=++++

222

12()

i i im i a a a D ε=++

++

22

i i h σ=+ （7.8）

这里应该注意，（7.8）式说明变量i

X 的方差由两部分组成：第一部分为共同度

2

i h ，

它描述了全部公共因子对变量

i

X 的总方差所作的贡献，反映了公共因子对变量

i

X 的影响程度。第二部分为特殊因子i ε对变量i X 的方差的贡献，通常称为个性方差。

如果对

i

X 作了标准化处理，有

22

1i i h σ=+ （7.9）

3、公因子

j

F 的方差贡献

2j

g 的统计意义

设因子载荷矩阵为A ，称第j 列元素的平方和，即

22

11,2,,p

j

ij i g a j m

===∑