-2011-2线性代数试卷及答案教学提纲
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2010-2011-2线性代数试卷及答案
2－1
四、 (20分)
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
3
3
3
2
2
2
1
1
1
*
A,求齐次线性方程组0
=
Ax的通解.
解由于0
*≠
A,且1
)
(*=
A
R得R(A)=2,所以，0
=
Ax的解空间是1维的。
又由于0
|
|
*=
=E
A
AA,所以，*A的列向量是0
=
Ax的解。
于是，（1,2,3）T是0
=
Ax的基础解系，所以，通解为：
R
k
k
x∈
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=,
3
2
1
五、(15分) A
2
2=，且向量T)0,1
,1(-
=
α是齐次方程0
=
Ax的一个基础解系，求
矩阵A。
解由0
=
Ax的基础解系含一个解知A的秩为2。
由A
A2
2=知A的特征值只能为2或0，所以，A的三个特征值为：2，2，0。
由0
=
α
A知α是属于特征值0的特征向量。
所以，A的属于特征值2的特征向量必与α正交，所以，特征值2的特征向量可取为：
T
)0,1,1(
1
=
β和T)1,0,0(
2
=
β,
于是，可构造正交矩阵：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Q
满足：Λ
=
AQ
Q T
所以，
=
Λ
=T
Q
Q
A
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
1
2
1
2
1
2
1
2
1
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-0
2
1
2
1
1
2
1
2
1
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
2
1
1
1
1
（15分）某仓库有A,B,C三种物品若干件，现按下述方案进行采
购：购进原B物品件数30%和原C物品件数50%的A物品；购进原A物品件数30%的
B物品；购进原B物品件数60%的C物品。试建立采购前后仓库A,B,C三种物品件
数间的关系式。若采购后仓库A,B,C三种物品件数分别为290，330，380，求采购
前仓库A,B,C三种物品的件数。
解记采购前仓库A,B,C三种物品件数分别为：
,
,z
y
x，采购后仓库A,B,C三种物品件数分
别为：
1
1
1
,
,z
y
x，则由已知有：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
+
=
1
1
1
6.0
3.0
5.0
3.0
z
y
z
y
x
y
z
y
x
x
即：
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
1
1
1
1
6.0
1
3.0
5.0
3.0
1
z
y
x
z
y
x
所以，若380
,
330
,
290
1
1
1
=
=
=z
y
x时，有
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