数列经典题目集锦--答案

合集下载

数列测试题及答案

数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列$ a_n $的通项公式为$ a_n = 3n - 1 $，那么第10项的值为：A. 29B. 28C. 27D. 26答案：A2. 若数列$ b_n $的前n项和为$ S_n $，且$ S_n = n^2 $，求数列$ b_n $的第3项：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题1. 给定等差数列$ c_n $，首项$ c_1 = 5 $，公差$ d = 3 $，其第5项为________。

答案：202. 若数列$ d_n $是等比数列，且$ d_1 = 2 $，公比$ q = 4 $，求第4项：________。

答案：64三、解答题1. 已知数列$ e_n $的前n项和为$ S_n $，若$ S_3 = 21 $，$ S_5 = 45 $，求$ e_4 + e_5 $。

解：由题意得$ e_4 + e_5 = S_5 - S_3 = 45 - 21 = 24 $。

2. 某等差数列的前5项和为50，且第3项为15，求该数列的首项和公差。

解：设该等差数列的首项为$ a $，公差为$ d $，则有：\[ 5a + 10d = 50 \]\[ a + 2d = 15 \]解得：$ a = 5 $，$ d = 5 $。

四、证明题1. 证明等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。

证明：设等差数列$ f_n $的首项为$ f_1 $，公差为$ d $，任取两项$ f_m $和$ f_n $（$ m < n $），则它们的等差中项为$ f_{\frac{m+n}{2}} $。

根据等差数列的性质，有：\[ f_{\frac{m+n}{2}} = f_1 + \left(\frac{m+n}{2} -1\right)d \]而算术平均数为：\[ \frac{f_m + f_n}{2} = \frac{f_1 + (m-1)d + f_1 + (n-1)d}{2} = f_1 + \frac{(m+n-2)d}{2} \]由于$ \frac{m+n}{2} - 1 = \frac{m+n-2}{2} $，所以两者相等，证明了等差中项等于算术平均数。

(完整word版)高一数学数列部分经典习题及答案

.数列一．数列的概念：（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}nb 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

(完整版)数列典型例题(含答案)

《2.3 等差数列的前n项和》测试题一、选择题1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于( )A.64B.100C.110 D .120考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算.答案：B解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，.2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，，则( )A.8B.7C.6D.5考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念.答案：D解析：由得，，即，将，代入，解得.3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( )A.若，则数列有最大项B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列是递增数列考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质.答案：C解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是递增数列，但．对于选项D的命题，由，得，因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真.二、填空题4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则.考查目的：考查等差数列的性质及基本运算．答案：81.解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故.5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若，则.考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力.答案：.解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴，∴.6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则____．考查目的：考查等差数列的性质及基本运算.答案：10.解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵，∴. ∴，故.三、解答题7.设等差数列的前项和为，且，求：⑴的通项公式及前项和；⑵．考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力.答案：⑴；.⑵解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得.⑴；⑵由，得.当时，．当时，，∴8.(2010山东理)已知等差数列满足：，，的前项和为．⑴求及；⑵令，求数列的前项和.考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.答案：⑴，；⑵.解析：⑴设等差数列的公差为，因为，，所以有，解得，，所以，.⑵由⑴知，所以，所以，即数列的前项和.一、选择题1.(2009广东文)已知等比数列的公比为正数，且，，则( ).A. B. C.D.2考查目的：考查等比数列通项公式的基本应用.答案：B解析：设公比为，由已知得，得，又因为等比数列的公比为正数，所以，故.2.(2007天津理)设等差数列的公差，．若是与的等比中项，则( ).A.2B.4C.6D.8考查目的：考查等差数列、等比数列的概念与通项公式、等比中项的概念等基础知识及基本运算能力.答案：B解析：∵，∴；又∵是与的等比中项，∴，即；∵，∴，解得，或(舍去).3.(2010江西理数)等比数列中，，，函数，则( )A. B. C.D.考查目的：多项式函数的导数公式、等比数列的性质等基础知识，考查学生的创新意识，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法解决问题的能力.答案：C.解析：∵是多项式函数，∴的常数项的一次项系数，∴.二、填空题4.(2007重庆理)设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________.考查目的：考查一元二次方程、等比数列的概念等基础知识，考查分析问题解决问题的能力．答案：18.解析：根据题意，得，，∴，∴.5.(2009江苏卷)设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则 .考查目的：考查等比数列的概念、等价转化思想和分析推理能力.答案：.解析：根据题意可知，有连续四项在集合中，因为是等比数列，且公比满足，所以这四项只能依次是，所以公比，.6.(2012辽宁理)已知等比数列为递增数列，且，，则数列的通项公式______________.考查目的：考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力.答案：.解析：∵，∴，得，∴；又∵，∴，∴，解得或(舍去)，∴.三、解答题7.已知数列的首项，关于的二次方程(，且)都有实数根，且满足.⑴求证：是等比数列；⑵求的通项公式.考查目的：考查等比数列的概念、通项公式、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：⑴略；⑵．解析：⑴由题设可得，，(，且)；又由，得. 所以，即()，化为(，且)，又，所以是首项为，公比为的等比数列.⑵由⑴的结论，得，所以的通项公式为．8.(2012广东文)设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.⑴求的值；⑵求数列的通项公式.考查目的：考查等比数列的概念、递推公式的处理方法、化归思想，考查分析问题解决问题的能力.答案：⑴；⑵.解析：⑴当时，. 因为，所以，求得.⑵当时，，∴①，∴②. ②①得，所以. ∵，易求得，∴，∴. 所以是以3为首项，2为公比的等比数列，，故所以，.置：首页>>高中数学>>教师中心>>同步教学资源>>课程标准实验教材>>同步试题>>必修5《2.5 等比数列的前n项和》测试题一、选择题1.(2007陕西理)各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则( )A.16B.25C.30D.80考查目的：考查等比数列的前项和公式及运算求解能力.答案：C.解析：由，可知，的公比，∴①，②，②式除以①式，得，解得(舍去)，代入①，得. ∴.2.(2010天津理)已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为( )A.或B.或C.D.考查目的：考查等比数列前项和公式的应用及等比数列的性质.答案：C解析：设的公比为，若，则，，不合题意，所以. 由，得，得，所以，因此是首项为1，公比为的等比数列，故前5项和为.3.设等比数列的前项和为，若，则等于( )A. B. C.D.考查目的：考查等比数列前项和公式及性质等基础知识，考查运算求解能力.答案：A.解析：解法1：若公比，则，∴. 由，得，∴，∴.解法2：由可知，公比(否则有).设，则，根据，，也成等比数列，及，，得，∴，故.二、填空题4.在等比数列中，已知，则公比.考查目的：考查等比数列的前项和公式及其中包含的分类讨论思想．答案：1或.解析：由已知条件，可得，当时，，符合题意；当时，由，消去，得，解得或(舍去). 综上可得，公比或.5.(2009浙江理)设等比数列的公比，前项和为，则．考查目的：考查等比数列通项公式与前项和公式的基本应用.答案：15.解析：∵，，∴.6.已知等比数列的首项为，是其前项和，某同学经计算得，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是，该数列的公比是 .考查目的：考查等比数列的概念、前项和概念及公式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.答案：，.解析：假设正确，则由，得，所以公比，可计算得，，但该同学算只算错了一个数，所以不正确，，正确，可得，，所以公比.三、解答题7.(2010重庆文)已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.⑴求通项及；⑵设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.考查目的：考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式的基本应用以及运算求解能力.答案：⑴，；⑵，.解析：⑴因为是首项为，公差为的等差数列，所以，.⑵由题意，所以，.8.(2012陕西理)设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.⑴求数列的公比；⑵证明：对任意，成等差数列.考查目的：考查等比数列的通项公式、前项和公式、等差数列的概念等基础知识，考查推理论证能力.答案：⑴；⑵略.解析：⑴设数列的公比为(). 由成等差数列，得，即. 由，得，解得(舍去)，所以数列的公比为.⑵证法一：对任意，，所以对任意，成等差数列.证法二：对任意，，，∴，因此，对任意，成等差数列.第二章《数列》测试题（一）一、选择题1.(2012安徽理)公比为等比数列的各项都是正数，且，则( ).A.4B.5C.6D.7考查目的：考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识.答案：B.解析：∵，∴，∵的各项都是正数，∴，∴，∴.2.(2011江西理)已知数列的前项和满足：，且，那么( ).A.1B.9C.10D.55考查目的：考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、与的关系.答案：A解析：令，得，∵，∴，∴是首项为，公差为的等差数列，，因此，.3.(2011天津理)已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为( ).A.-110B.-90C.90D.110考查目的：考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用.答案：D解析：设等差数列的公差为，根据题意得，即，将代入，并解得，所以.4.(2012湖北理)定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①；②；③；④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).A.①②B.③④C.①③ D.②④考查目的：本题考察等比数列的性质及函数计算.答案：C.解析：对于①，，所以是“保等比数列函数”；对于②，，所以不是“保等比数列函数”；对于③，，所以是“保等比数列函数”；对于④，，所以不是“保等比数列函数”.5.已知数列满足，当时，，则( ).A.1B.2C.-1D.-2考查目的：考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断，考查分析判断能力.答案：A.解析：由条件可得该数列为：，所以是周期为的周期数列，所以.6.(2012上海理)设，，在中，正数的个数是( ).A.25B.50C.75D.100考查目的：数列前项和的概念、三角函数的周期性，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：D.解析：当时，；当时，，但其绝对值要小于时相应的值；当时，；当时，，但其绝对值要小于时相应的值；当时，. ∴当时，均有.二、填空题7.(2009北京理)已知数列满足：，，，，则______；_________.考查目的：考查数列的概念、周期数列等基础知识.答案：1，0.解析：依题意，得，.8.(2011湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.考查目的：考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.答案：.解析：记题中的等差数列为，公差为，前项和为. 根据题意知，，两式联立解得，，∴.9.(2010天津文)设是等比数列，公比，为的前项和.记，，设为数列的最大项，则 .考查目的：考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识，考查运算能力.答案：4.解析：根据等比数列前项和公式，得.∵，当且仅当，即时取等号，而，∴当时，取最大值，即数列的最大项为，所以.10.(2011江苏卷)设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________.考查目的：考查等差数列、等比数列的概念和通项公式，考查不等式的有关知识及推理判断能力.答案：.解析：由题意可得，∴. ∵，∴当取最小值时，，∴，即的最小值是.11.(2012四川理)记为不超过实数的最大整数，例如，，，.设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5，3，2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则. 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)考查目的：本题属于新概念问题，主要考查对新概念的理解、不等式的性质，以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.答案：①③④解析：易证，对于取整函数有下列性质：性质1：当时，；性质2：对，有；性质3：若，，则. ①当时，，，故①为真；②当时，易知该数列为：(1与2交替出现)，所以②为假；③∵，∴；由题易知，对一切，均为正整数，所以无论是奇数还是偶数，均有，故③为真；④若对某个正整数，则由，得，∴，∵是正整数，∴.又∵，，∴(或由③为真，及，直接可得)，故，因此④为真.第二章《数列》测试题（二）三、解答题12.(2009浙江文)设为数列的前项和，，，其中是常数．⑴求及；⑵若对于任意的，，，成等比数列，求的值．考查目的：考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.答案：⑴，；⑵或.解析：⑴当时，；当时，.而也适合上式，所以.⑵∵，，成等比数列，∴，即，化简并整理得. ∵此式对成立，∴或.13.(2010全国卷Ⅱ文)已知是各项均为正数的等比数列，且，.⑴求的通项公式；⑵设，求数列的前项和.考查目的：考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.答案：⑴.⑵.解析：⑴设的公比为，则.由已知，有，化简得，解得，(舍去)，所以.⑵由⑴知，所以.14.(2008湖南理)数列满足⑴求，，并求数列的通项公式；⑵设，，证明：当时，.考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力.答案：⑴，，；⑵略.解析：⑴∵，，∴，.一般地，当时，，即，所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此.当时，，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.∴数列的通项公式为.⑵由⑴知，，①，②，得，，∴.要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证明：要证明，只需证明.令，则，∴当时，.∴当时，.于是当时，.15.(2012广东理)设数列的前项和为，满足，且，，成等差数列．⑴求的值；⑵求数列的通项公式；⑶证明：对一切正整数，有．考查目的：考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识，考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法，考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.答案：⑴；⑵；⑶略.解析：⑴在中，令得；令得，解得，.又∵，∴解得.⑵由，得.又∵也满足，∴成立，∴，∴，∴.⑶(法一)∵，∴，∴.(法二)∵，∴，当时，，，，…，，累乘得，∴.。

数列题目及答案

数列专题1. 等差数列{}n a 中，已知12,341==a a ，（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若42,a a 分别为等比数列{}n b 的第1项和第2项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .2. 数列{n a } 中a ＝13，前n 项和n S 满足1n S +-nS ＝113n +⎛⎫ ⎪⎝⎭（n ∈*N ）.( I ) 求数列{na }的通项公式na 以及前n 项和nS ；（II ）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t 的值。

3. 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。

4. 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和Sn.5. 已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，nS 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项na 及nS ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和nT .6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈（1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，nS 取得最小值，并说明理由。

7. 设数列{}n a 满足21112,32n n n aa a -+=-=求数列{}n a 的通项公式；令n nb na =，求数列的前n 项和nS8. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅱ）令bn=211n a -(n ∈N*)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9. 某市投资甲、乙两个工厂，2008年两工厂的产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n 年比上一年增加12n -万吨，记2008年为第一年，甲、乙两工厂第n 年的年产量分别为n a 万吨和n b 万吨．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底，其中哪一个工厂被另一个工厂兼并．10. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a （单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。

完整版)数列典型例题(含答案)

完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。

因此，前项和为。

⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。

解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。

根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。

数列考试题型及答案解析

数列考试题型及答案解析一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=8，求a_7的值。

A. 10B. 12C. 14D. 16答案：C解析：根据等差数列的性质，a_4 = a_1 + 3d，其中d为公差。

已知a_1=2，a_4=8，可以求得公差d=(8-2)/3=2。

因此，a_7 = a_1 + 6d = 2 + 6*2 = 14。

2. 已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=3，b_3=27，求b_5的值。

A. 81B. 243C. 729D. 2187答案：C解析：根据等比数列的性质，b_3 = b_1 * q^2，其中q为公比。

已知b_1=3，b_3=27，可以求得公比q=3。

因此，b_5 = b_1 * q^4= 3 * 3^4 = 729。

二、填空题3. 已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且S_3=9，S_6=24，求S_9的值。

答案：36解析：根据等差数列的性质，S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)。

已知S_3=9，S_6=24，可以求得a_1=1，d=2。

因此，S_9 = 9/2 * (2*1 + (9-1)*2) = 36。

4. 已知数列{d_n}的通项公式为d_n = 2^n - 1，求前5项的和。

答案：31解析：根据通项公式，d_1=1，d_2=3，d_3=7，d_4=15，d_5=31。

因此，前5项的和为1+3+7+15+31=57。

三、解答题5. 已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且S_1=1，S_2=3，S_3=6，求S_n的通项公式。

答案：S_n = n*(n+1)/2解析：根据已知条件，S_1=1，S_2=3，S_3=6，可以发现S_n与n的关系为S_n = n*(n+1)/2。

验证可知，当n=1时，S_1=1*(1+1)/2=1；当n=2时，S_2=2*(2+1)/2=3；当n=3时，S_3=3*(3+1)/2=6。

数列练习题经典例题及详细解答

数列练习题4．正项等比数列{a n }中a 1，a 49是2x 2－7x +6=0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为（）A ．221B ．93C ．±93D ．357、数列{}n a 满足首项*1114,323(),n n a a a n N +=+=∈那么使20n n a a +⋅<成立的n 值是（）A21 B20 C2和21 D21和225．已知数{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ，则|||||||1021a a a ++++ 的值为（）A ．67B ．65C ．61D ．565．已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且1)2(lim =-∞→S S n n ，则其首项a 1的取值范围（）A ．(－1，0)B ．（－2,－1）C ．（－2,－1）∪（－1,0）D ．（－2,0） 9．若数列{}n a 成等差数列， a m ＝n ，a n ＝m(m ≠n)，则a m ＋n ＝（）A ．0 B. 1 C. m ＋n D. －m －n10.若数列{}n a 成等差数列， ,()m n S n S m m n ==≠，则m n S +＝（）A ．0 B. 1 C. m ＋n D. －m －n(1) 解法一： 1m n a a d m n-==--，∴0m n m a a nd n n +=+=-= 解法二：设n a an b =+，则a n b m a m b n +=⎧⎨+=⎩解之1a b m n=-⎧⎨=+⎩，∴()0m n a m n m n +=-+++= 解法三：设首项和公差列方程组（略）(2) 解法一：1m n n s s a +-=+…＋1111()()()()22m n m m n a m n a a m n a a n m ++=-+=-+=- ∴1112,()()2m n m n m n a a s m n a a m n ++++=-=++=-- 解法二：设2n s an bn =+，则22an bn m am bm n⎧+=⎨+=⎩相减得()1a m n b ++=- ∴s m+n ＝a(m ＋n)2＋b(m ＋n)＝(m+n)[a(m ＋n)＋b]＝－m －n 解法三：由已知点(,),(,),(,)m n m n s s s m n m n m n m n+++共线， ∴m n m n s m n m m n n m n s m n m m n++--+=⇒=---4．若数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，则=+++22221n a a a （）A ．2)12(+nB ．1(41)3n - C ．)264(311+-n D ．)234(31+n例10．设｛a n ｝（n ∈N *）是公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，且S 5＜S 6，S 6=S 7＞S 8，则下列结论错误的是（）A ．d ＜0B ．a 7=0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值14．已知等比数列}{n a 公比为q ，且q>1，其前n 项和为S n ，则nn n S a 1lim +∞→= q －1 . 9．以()f n 表示下图中第（n ）个图形的相应点数,根拒其规律()f n = ()2n n + ．……15.在数列}{n a 中)(22+∈++-=N n kn n a n ,已知此数列是递减数列且恰从第三项起开始小于3,则实数k 的取值范围是_15 .,25[3)_________.例19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2n ＋1，是否存在等差数列{b n }，使 a n ＝b 1C n 1＋b 2C n 2＋…＋b n C n n 对一切正整数n 均成立？解：n ≥2时，a n ＝S n －S n-1＝n2n-1，n ＝1时也成立，假设存在等差数列b n ＝an ＋b 满足条件解法一：则n2n-1＝(a ＋b)C n 1＋(2a ＋b)C n 2＋…＋(na ＋b)C n n＝a(C n 1＋2C n 2＋…＋nC n n )＋b(C n 1＋C n 2＋…＋C n n )＝an2n-1＋b(2n －1)＝(an ＋2b)2n-1－b比较两边对应项系数可得b ＝0，a ＝1，所以存在等差数列b n ＝n 满足条件解法二：a n ＝ (a ＋b)C n 1＋(2a ＋b)C n 2＋…＋(na ＋b)C n n倒序 a n ＝(na ＋b)C n n ＋(na-a+b)C n n-1＋…＋(a ＋b)C n 1相加2a n ＝(na ＋b)( C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n )即 n ×2n ＝b n ×2n 所以b n ＝n 故存在等差数列b n ＝n 满足条件。

数列综合练习题(含答案)精选全文

3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

(完整版)数列例题(含答案)

1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．2．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．3．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．【解答】（I）解：设等差数列{log2（a n﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n=2n+1．（II）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．4．已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2an，求证：b n•b n+2＜b n+12．【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1﹣b n=2n．b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵b n•b n+2﹣b n+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2•2n+1+1）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+12解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b2=1b n•b n+2﹣b n+12=（b n+1﹣2n）（b n+1+2n+1）﹣b n+12=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1=2n（b n+1﹣2n+1）=2n（b n+2n﹣2n+1）=2n（b n﹣2n）=…=2n（b1﹣2）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+125．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．移项得：=﹣=，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．7．设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∴b1b3=•==b22．由b1b2b3=，得b23=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．8．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1﹣（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．又当n=1时，有b1=S1=1﹣当∴数列{b n}是等比数列，∴（2）由（Ⅰ）知，∴∴c n+1≤c n．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+×2=n2+2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n==…（8分）=，…（10分）所以T n=．…（12分）10．已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4•a7=15，a3+a8=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n≥2），b1=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4•a7=15，知：a4，a7是方程x2﹣8x+15=0的两根，且a4＜a7解得a4=3，a7=5，设数列{a n}的公差为d由．故等差数列{a n}的通项公式为：（2）=又∴=11．设f（x）=x3，等差数列{a n}中a3=7，a1+a2+a3=12，记S n=，令b n=a n S n，数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式和S n；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴a n=3n﹣2∵f（x）=x3∴S n==a n+1=3n+1．（Ⅱ）b n=a n S n=（3n﹣2）（3n+1）∴∴（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，T m，T n成等比数列．∴即当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；当m≥7时，m2﹣6m﹣1=（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N+．（Ⅰ）求的q值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，b n满足a n=2log2b n，求数列{b n}的前n和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p﹣2+q当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2∵{a n}是等差数列，a1符合n≥2时，a n的形式，∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2，∴q=0（Ⅱ）∵，由题意得a3=18又a3=6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣2=18，解得p=4∴a n=8n﹣6由a n=2log2b n，得b n=24n﹣3．∴，即{b n}是首项为2，公比为16的等比数列∴数列{b n}的前n项和．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2+a4=14，S7=70．（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列b n的最小项是第几项，并求出该项的值．【解答】解：（I）设公差为d，则有…（2分）解得以a n=3n﹣2．…（4分）（II）…（6分）所以=﹣1…（10分）当且仅当，即n=4时取等号，故数列{b n}的最小项是第4项，该项的值为23．…（12分）14．己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣2a n=0，即a n+1=2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n=得，b n=﹣n•2n，∵S n=b1+b2++b n，∴S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②①﹣②得，S n=2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1=，要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．。

数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列1 . 孔｝是首项a1= 1, 公差为d =3的等差数列，如果a n =2 005, 则序号n 等千（）．A. 667B. 668C. 669D. 6702. 在各项都为正数的等比数列｛孔｝中，首项a1= 3 f前三项和为21I则a3+ a4 + a s = ( ). A. 33B. 72C. 84D. 1893. 如果a1,a2, …，as 为各项都大千零的等差数列，公差d-:t-0,则（）．A.a泣s > a 泣5B.a也s < a 泣5C . a 1+as < a4 + a s D . a 1as= a 泣54. 已知方程(Jf -2x+ m )(烂-2x+ n ) = 0的四个根组成一个首项为－的等差数列，则4 Im-n I 等于（）．A. 13-4B 1_2c D. 3-85. 等比数列｛孔｝中，a2= 9 , as = 243 , 则｛动的前4项和为（）． A. 81B. 120C. 168D. 1926. 若数列a 动是等差数列，首项a1> 0, B2 003 + a2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 , 则使前n项和Sn>0成立的最大自然数E=In 定：（）．A. 4 005B. 4 006C. 4 007D. 4 0087. 已知等差数列｛劲的公差为2,若a1, a3 , a4成等比数列则a2=().A. -4B. -6C. -8D. -108. 设岛是等差数列｛劲的前n项和，若化＝5 S ——，贝u----2...= ()a 39 S 5A. 1 B . -1C.2 l-2．D 9. 已知数列-l,a1,a2-4成等差数列-1 a — 2 aII纺，纺，�/-4成等比数列，则］的值是（b 2)1_2． A l -2 ． B l -2 或l -2 ． cl-4． D 10. 在等差数列｛孔｝中，a n t:-0,a n -l -a�+ a n +l = O (n�2), 若S2n -l = 38 , 则n =( ) .A. 38B. 20C. 10D.9二、填空题11 . 设心＝ 1，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得I(-5) + I(-4) + ... + f(O) +…+ /(5) 2勹一五+ /(6)的值为12. 已知等比数列｛动中，(1)若a3盆·as =8, 则a2·务函岔兔＝(2)若a1+ a2 = 324 , a3 + a4 = 36 , 则as+a 产(3)若S4=2,Ss =6,则a17+ a1s + a19 + a20 = 8 2713 . 在－和—之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为14. 在等差数列｛孔｝中，3(a 产生）+ 2(动+a10 + a13) = 2 4 , 则此数列前13项之和为15 . 在等差数列｛孔｝中，as =3,a6= -2, 则a4+as+…+a10 =16. 设平面内有n 条直线(n�3)/其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同—点．若用杯）表示这n 条直线交点的个数，则私）＝三、解答题；当n>4时，杯）＝17 . (1)已知数列｛孔｝的前n 项和S n =3rF -2n,求证数列｛孔｝成等差数列(2)已知1 1 1 — —, －成等差数列，求证b+cc+a a+b也成等差数列abcab c18. 设｛孔｝是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设｛如是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n,当n�2时，比较岛与幻的大小，并说明理由．19. 数列｛孔｝的前n项和记为S n,已知a1= 1 求证：数列｛二｝是等比数列．n+2, an+ 1 = Sn(n = 1 , 2 , 3 ...) .20. 已知数列｛孔｝是首项为a且公比不等于1的等比数列，岛为其前n项和，a1/ 2句，3a4成等差数列，求证：1253 / 55 / 512 -55成等比数列第二章数列参考答案一、选择题1.C解析：由题设，代入通项公式a n=a1 +(n -l)d, 即2005 = 1 +3(n -1) ,.·.n = 699 .2.C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列｛孔｝的公比为q(q>0) /由题意得a1+ a2 +a3 = 21 ,即a1(l+ q+矿）= 21, 又a1=3,:.l+q+矿=7.解得q=2或q=-3(不合题意，舍去），．岛＋函+a s=a1矿(1+ q+矿）= 3x2奴7=84.3.B.解析：由a1+as=a4+a s,才非除C.又a1岔=a1(a1 +7动=a产+7 a1d,a4· 无=(a1 +3功(a1+ 4动=a产+7 a1d + 12d > a1·as .4.C解析：1解法1:设a1= , a尸1 1 1— —+ d, a3 = -+ 2d, a4 =—+3d, 而方程烂-2x+m=O中两根之和为2烂-2x+n=O4 4 4 4中两根之和也为2,.a1 +a2 +a3 +函=1+6d=4,7 3 5:.d=—, a1 =—, a4=—是一个方程的两个根，a1=—, a产—是另一个方程的两个根．2 4 4 4 47 15.-. —, —分别为m或n,1616.-. Im -n I =_!_, 故选C .2解法2:设方程的四个根为X 1, X2 , X3 , X4 , 且X 1+X2=X3+X4=2 IX1为=m ,X3凶=n.由等差数列的性质：若等差数列为，1 3 5 7 4 4 4 4715 :.m =—, n =— 1616+s =p +q ,则a7+ a s = a p+ a q /若设X1为第—项，X 2必为第四项，则X2=—，千是可得4.-. Im -n I．1-25.B解析：a2 = 9 , as = 243 , 生－＝矿＝—－243 =27 a 29.·.q = 3 I a1q = 9 I a1 = 3 I S 4= 3—35=严=120l —326. B 解析：解法1:由a2003 + a 2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 , 知a2003和a2004两项中有—正数—负数，又a1> 0 /则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003 > a2 004 , 即a2003 > 0 , a2 004 < 0.4 006(a1+a 4 006 )4 006(a +a ).-. 54 006 ==2 003 2 004 > O ,224 0074 007 :.S4 007 =·(a1+ a4 007) =·2a2 004 < 0 , 22 故4006为S n>0的最大自然数选B.解法2:由a1> 0 , a2 003 + a2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 ,同解法1的分析得a2003 >0 , a2 004 < 0 ,.·.S2 003为岛中的最大值．I（第6题）岛是关于n的二次函数，如草图所示，.2 003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，4 007.在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007 I4 008都在其右侧，S n >0的最大自然数是4006.7.B解析：了｛孔｝是等差数列，．．岔=a1 + 4 , a4 = a1 + 6 , 又由a1, a 3, a4成等比数列，..(a1 + 4)2 = a1(a1 + 6) , 解得a 1= -8 t .a 2 = -8 + 2 = -6 . 8.AA 选， 1 ＿＿ 5-9 9-5 ＝ 53 a a ．． 95 ＿＿、丿、晶，丿95 a a +2+2a l a _ （（ 95 ＿＿ s 9-i ·' .. 析解9.A解析：设d和q分别为公差和公比，则-4 = -1 + 3d且-4 = (-1) cf / .d = -1 , 矿=2,a -a .2 I d l ．．= =— 九－矿210. C解析：｛孔｝为等差数列，a�= an-l + an+l, .·.a�= 2an, 又BntO, ."孔=2 / {孔｝为常数数列，s2n-138而a n =I即2n -1 =—= 19,2n -12:.n = 10二、填空题11. 3五．解析：了伈劝＝2勹一五2x.f(_l -劝=1 =2x=✓2 i 1-x 十五2+✓2·2x 忒+2XI·2x l + 1.y1(✓2+ 2x)伈店－劝=1+✓2=✓2 =✓2五+2x迈+2x五+2x丘+2x设S =I(_ -5) +/(_ -4) +…＋和）＋…＋朽）＋秅），贝U 5 = /(_6) + /(_5) +…+ f(_O) +…+ I(_ -4) + I(_ -5):.2S = [/(_6) + I(_ -5)] +团5)+ /(_ -4)] +…+ [/(_ -5) +秅）] = 6✓2..S = I(_ -5) + /(_ -4) + ... +和）＋…＋朽）＋秅）=3五．12 . (1) 32 ; (2) 4 ; (3) 32 . 解析：(1)由a3岔=Q�/得a4= 2I＿2＿＿ :.a2·a3·a4·a5·a6 = a 5 = 32. (2) {a , + a , �324⇒ 矿＝丿(a, +aJ 矿=369 I．岛+a6= (a1 + a2)才=4.(3){义�a 三+a ,+a 4�24⇒旷�2'S 8=a 1+a 2+· · ·+a 8=S 4+S 4q:.a 17 + a 1s + a19 + a20 = S4泸=32.13 . 216 .8 27解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与－，—同号，由等比中项的中间数为厂产=6I ..插入的三个数之积为汇竺x6= 216. 3 23214. 26.解析：·.岔+a s =2a4, 句+au =2a10, :.6(a4 + a 10) = 24 , a4 + a 10 = 4 , :.S 13 =13(a 1+a 13) 13(a 4+a 10) 13X42 = 2 = 2= 26. 15 . -49. 解析：·:d =a 6 -a s = -5 , .·.a4 +a s+…+ a10 =7(a 4+a 10)_ 7(a 5—d+a 5+5d) =7(a s +2动= -49.16. 5, —(n + l)(n-2) . 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，.f(k)=f(k-1) + (k-1)由/(3)= 2/(4) = /(3) + 3 = 2 + 3 = 5 , /(5) = /(4) + 4 = 2 + 3 + 4 = 9 ,f(n) = f(n -1) + (n -1), 相加得杯）=2+3+4+ 三、解答题1…+ (n -1) =—(n + l)(n -2) . 2 17. 分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．证明：(1) n= 1时，a1=51=3-2=1,当n�2时，a n =S n -S n _ 1 = 3 ff -2 n -[3(n -1)2 -2(n -1)] = 6n -5 n=l 时，亦满足，:.a n =6n -S(nE N *) .首项a1= 1 ,a n -a n -1 = 6n -5 -[6(n -1) -5] = 6(常数）(nEN*),．数列｛动成等差数列且a1= 1, 公差为6.(2) .. 1 1 1 ，成等差数列，a b c 2 1 1 :. —=-+-化简得2a c =以a +CJ b a cb+c a+b ＋＝ bc+c 2+a 2+ab b(a+c)+a 2+c 2 (a+c)2 (a+c)2 a+c = = = = 2a C ac acac b(a+c) b . b+c c+a a+b，也成等差数列．a bc 18. 解：(1)由题设2a3= a1 + a2 , 即2a心=a1 + a1q, :a1-:t-O, :.2矿-q -1=0,:.q= 1或－—．12(2)若q=1, 则S n =2n+= n(n —I) n 2+3n 2 2当n�2时，S -b n = S n -(n —1) (n+2)n 1=>O, 故S n >b n .若q = 2I n(n 1)，则S n =2n + l —n +9n -—(-—) ＝2 2 2 4. 当n�2时，S n -炕=S n -1 =, (n —I) (IO —n)2故对于nEN+,当2匀区9时，S 户肛；当n =10时，S n =b n ; 当n�ll时，S n <b n . 19. 证明...n+2 .. a n +i = Sn+l -S n I a n +i = nS n I .·.(n + 2)S n = n(S n +l -S n ),整理得nS n +l = 2(n + 1) S n , s 所以n +l 2S n n+I n s 故｛二｝是以2为公比的等比数列．20. 证明：由a1/ 2句，3a4成等差数列，得4句=a1 + 3a4, 即4a1cf = a1 + 3a1矿，变形得(4矿+1)(矿-1) = 0 , 1 矿＝－－或矿=1(舍）．4 吓－矿）由戈=1-q = l+q 3 =上12S 3 12a, (1-矿）12 16 1—qa l (l —q '2) S ,2-S 6 =旯l —q 1-1= -1=1+ -1=—·＃ s 6 s 6 a , (1—q 勹得戈＝凡-S 6. 12S 3 S 61-q .12S3 I S5 I S12 -吴成等比数列．16。

高考数学《数列》专题好题集锦(100道)含详细解答

全国各地数学模拟试卷《数列》题集锦1.已知数列｛n a ｝中，111,22n n a n a a +=-,点（）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…. （1）令11n n n b a a ,+=--求证数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}的通项；n a⑶ 设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由。

解：（I ）由已知得 111,2,2n n a a a n +==+2213313,11,4424a a a =--=--=- 又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--11112111(1)111222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------ {}n b ∴是以34-为首项，以12为公比的等比数列.（II）由（I）知，13131(),4222n n n b -=-⨯=-⨯1311,22n n n a a +∴--=-⨯21311,22a a ∴--=-⨯ 322311,22a a --=-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅11311,22n n n a a --∴--=-⨯将以上各式相加得：1213111(1)(),2222n n a a n -∴---=-++⋅⋅⋅+11111(1)31313221(1)(1) 2.12222212n n n n a a n n n ---∴=+--⨯=+---=+--32.2n n a n ∴=+-（III ）解法一：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 12121113()(12)2222n n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-11(1)(1)22321212n n n n -+=⨯+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+=-++ 12131(1)313342(1).1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}n n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n nS T An B A n λ+=+、B 是常数)即2,n n S T An Bn λ+=+又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+2313(1)(1)222n n n λ-=+--∴当且仅当102λ-=，即2λ=时，数列{}n nS T nλ+为等差数列. 解法二：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 由（I ）、（II ）知，22n n a b n +=-(1)222n n n S T n +∴+=- (1)222n nn n n n n T T S T n nλλ+--++=322n n T n λ--=+ 又12131(1)313342(1)1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 13233()222n n n S T n n n λλ++--=+-+∴当且仅当2λ=时，数列{}nn S T n λ+是等差数列. 2.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{}n b 对任意正整数n ，均有：1221223125()log ()log ()log 0n n n n n n b b a b b a b b a ++++-⋅+-+-=成立，又171,13b b ==。

数列大题精选(含答案解析)

1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足4133n n S a =-． ()1求数列{}n a 的通项；()2令112n n b log a +=，证明：1223341111111n n n nb b b b b b b b b b +++++⋯+=．详解：()41133n n S a =-，可得1114133a S a ==-，解得11a =，2n ≥时，1141413333n n n n n a S S a a --=-=--+，即有114n n a a -=，故数列{}n a 是以11a =为首项，以14为公比的等比数列，则11()4n n a -=；()2证明：2111221()22nn n b log a log n +===， ()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， 12231111111111142231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ()()1122141n n n nb b n n +==⋅++，则1223341111111n n n n b b b b b b b b b b +++++⋯+=．2．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-. （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由. 详解：（1）()11n a n n =+-=，1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- 1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=.（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列.(3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=，函数的零点为x ==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2(N )n m m =∈*，此时()2122m m m m x -±-±==，又因为1m m ±与是连续的两个整数∴ (1)m m -±能被2整除，即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数， ∴所求n 的集合为{}2|,N n n m m =∈*.3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12(1)(1)nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-，得11a ，= 当2n ≥时，有1121n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a ，--=-=- 即12n n a a -=，满足2n ≥时，12nn a a -=，所以{}n a 是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式为12n n a -=．（2）()()()()111221121121212121n n n n nn n n n a b a a --+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 123011223111111222212121212121n n T b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 2121n n-=+．4．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53332S =，求λ．【详解】（1）∵1n n S a λ=+,0λ≠,∵0n a ≠．当2n ≥时,111n n S a λ--=+,两式相减,得1111n n n n n a a a a a λλλλ--=+--=-,即()11n n a a λλ--=, ∵0λ≠,0n a ≠．∵10λ-≠．即1λ≠,即11n n a a λλ-=-,（2n ≥）, ∵{}n a 是等比数列,公比1q λλ=-,当1n =时,1111S a a λ=+=,即111a λ=-, ∵1111n n a λλλ-⎛⎫=⋅ ⎪--⎝⎭；（2）若53332S =,则4513311132S λλλλ⎡⎤⎛⎫=+⋅=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦,即5331113232λλ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭, 则112λλ=-,得13λ=5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若223a =，3462a a a =.(1)n S t <恒成立，求t 的最小值； (2)设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)因为{}n a 为等比数列，所以3416a a a a =，所以341662a a a a a ==，60a ≠，所以12a =，又223a =，所以13q =，所以121313131313n n n S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，因为n S t <恒成立，所以3t ≥，即t 的最小值是3. (2)由(1)可知22123n n n a a q--=⋅=，所以132n n n b -⋅=，故01113233222n n n T -⨯⨯⨯=+++① ()112131323332222n n n n n T --⨯⨯⨯⨯=++++ ②① -②得：0111333322222n n n n T -⨯⨯-=+++-，()1313131322132n nn --⨯⨯+--=整理得，()21318n n n T -+=6．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331n nn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．【解析】（1）依题意，11213n n n S a +⎛⎫=-⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故213n n a a ++=，而1222S 3a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可13,n n a -=所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4n n n n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-，故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-．7．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，2458,15a a S ⋅==；等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）当{}n a 各项为正时，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和．【解析】（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d ⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或， 11,1,n d a a n ∴==∴=，11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-，当2n ≥时，112n nn n b T T --=-=；当1n =时，111b T ==也满足上式，∴12n n b -=．（II ）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===，()01221122232122n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， ()12312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，()111222121n n n n T n n --=+++-⨯=-⨯-，故()121n n T n =-⨯+．8．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈．（1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++的值．【解析】（1）121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥，两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥，注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=．（2）n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++，所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=．9．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（1）由122n n S +=-可得：当2n ≥时，122n n S -=-，上述两式相减可得2n n a =．当1n =时：111112222a S +==-==成立，故所求()2n n a n N +=∈．（2）2nn a =，22log 2n nb a n ==，()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，故所求111111111141223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()41n n N n +=∈+．10．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且2a ，31a +，6a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（1）由53535S a ==，得37a =，由2a ，31a +，6a 成等比数列，得()2263164a a a =+=，即()()33364a d a d -+=，整理得2314150d d -+=，又因为公差d 为整数，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-. （2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以123n nT b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭31nn =+.11.（12分）在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a +，34a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2nn a -的前n 项和n S .【解析】（1）∵{}n a 的公差为2d =,∴212a a =+,134a a =+.∵11a +,22a +,34a +成等比数列, ∴()()()2111184a a a ++=+,解得18a =,从而()82126n a n n =+-=+.（2）由（1）得26n a n =+,2(26)2n nn a n ∴-=+-，()()281026222n n S n ∴=++⋅⋅⋅++-+++.()826222212nn n ++-⨯=--()()1722n n n +=+--21722n n n +=+-+12．（12分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，且22S -，3S ，44S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于数列{}n A ，若存在一个区间M ，均有()1,2,3i A M i ∈=⋅⋅⋅，则称M 为数列{}n A 的“容值区间”.设1n n nb S S =+，试求数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值. 【解析】（1）由题意可知：324224S S S =-+，即()()1231212342a a a a a a a a a ++=-+++++，∴4312a a =-，即公比12q =-，又132a =，∴13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知112n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.当n 为偶数时112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而增大， ∴3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，根据勾型函数性质，此时1252,12n n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦.当n 为奇数时112nn S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而减小，∴31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，根据勾型函数性质，此时1132,6n n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦.又1325612>， ∴132,6n b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值为16.13.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．【解析】（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =，又因为()()111n n na n a n n +-+=+，所以()()()1111n n n n b n nb n n ++-+=+，即11n n b b +-=，所以{}n b 为等差数列，其首项为111b a ==，公差1d =．所以()11n b n n =+-=．（2）由（1）及题设得，2n n c n =-，所以数列{}n c 的前n 项和()()232222123n n S n =++++-++++()1222122n n n +-⨯=-- 21222n n n ++=--．14．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有1121517104555a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =．又2log n n a b =，即2n an b =，所以2n n b =．（2）依题意得：1212(...)(...)n n n T a a a b b b =+++++++23(123...)(222...2)n n =+++++++++()212(1)212nn n -+=+-1(1)222n n n ++=+-．又3232(132)18185462S ++=+=，则1(1)25482n n n +++=，因为1(1)()22n n n f n ++=+在*n N ∈上为单调递增函数，所以8n =．15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()212n n n S a a =-+，且()*0n a n N >∈。

数列练习题及解析

数列练习题及解析题目1：求以下数列的第n项。

1, 4, 7, 10, 13, ...解析1：这是一个等差数列，公差为3。

数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

所以，an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2。

题目2：求以下数列的前n项和。

2, 4, 6, 8, 10, ...解析2：这是一个公差为2的等差数列。

数列的前n项和可以表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和。

首项a1为2，第n项an为2n，代入公式得到：Sn = (2 + 2n) * n / 2 = n(n+1)。

题目3：已知数列的通项公式an = 2^n，求第6项及前6项和。

解析3：根据通项公式an = 2^n，可得到第6项为a6 = 2^6 = 64。

前6项和可以表示为：S6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6。

利用等比数列求和公式，S6 = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，其中a1为首项，q为公比。

代入公式得到：S6 = (2 * (1 - 2^6)) / (1 - 2) = 127。

题目4：已知等差数列的首项为3，公差为-2，求满足an < 0的最小n值。

解析4：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到：3 + (n-1)(-2) < 0。

化简不等式得到：-2n + 5 < 0。

解得：n > 5/2，即n的最小取值为3。

题目5：已知等差数列的前4项和为20，首项为a1，公差为d，求a1与d的值。

解析5：根据等差数列的前n项和公式Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，代入已知条件得到：20 = (4/2)(2a1 + 3d)。

化简得到：10 = 2a1 + 3d。

数列题型及答案

数列题型及答案【篇一：数列例题(含答案)】2n=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由s4=4s2，得联立①、②得a1=1，d=2．所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；当n≥2时，=．，得，则．，即d=2a1②所以，．rn=c1+c2+…+cn=③④③﹣④得：= 所以所以数列{cn}的前n项和；．2．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．，【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则1解得，所以an=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）bn=2+n=2+n，210n所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（2+2）+…+（2+10）210=（2+2+…+2）+（1+2+…+10） =3．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈n）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1． *+=2101．【解答】（i）解：设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．（ii）证明：因为==，所以即得证．++…+=+++…+==1﹣＜1，4．已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈n）在函数y=x+1的图象*2上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；an2（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2，求证：bn?bn+2＜bn+1．【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1﹣an=1，又a1=1，所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．n（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1﹣bn=2．bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1n﹣1n﹣2=2+2+…+2+1 =2∵bn?bn+2﹣bn+1=（2﹣1）（2﹣1）﹣（2﹣1）2n+2nn+22n+2n+1=（2﹣2﹣2+1）﹣（2﹣2?2+1）n=﹣2＜02∴bn?bn+2＜bn+1解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b2=12nn+12=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1bn?bn+2﹣bn+1=（bn+1﹣2）（bn+1+2）﹣bn+1nn+1=2（bn+1﹣2）nnn+1=2（bn+2﹣2）nn=2（bn﹣2）=…=2（b1﹣2）n=﹣2＜02∴bn?bn+2＜bn+15．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？【解答】解：（i）设等差数列{an}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（ii）设等比数列{bn}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4 ∴∴n=63∴b6与数列{an}中的第63项相等6．设等差数列{an}的前n项和为sn，且a5+a13=34，s3=9．（1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{bn}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m≥3，=128，而128=2n+2 n2nn+2n+12m∈n）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d．由已知得 3即解得2．故an=2n﹣1，sn=n（2）由（1）知即移项得：整理得=，﹣．要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2=b1+bm，，（8分）． =，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．7．设{an}是等差数列，bn=（）．已知b1+b2+b3=an，b1b2b3=．求等差数列的通项an．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d．∴b1b3=?3 ==b2． 2由b1b2b3=，得b2=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时an=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时an=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．48．已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为sn，且sn=1﹣ 2（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=anbn，求证cn+1≤cn．2【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．又当n=1时，有b1=s1=1﹣当∴数列{bn}是等比数列，∴（2）由（Ⅰ）知，∴∴cn+1≤cn．9．已知等差数列{an}的前n项和为sn，s5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求an及sn；（Ⅱ）令（n∈n），求数列{bn}的前n项和tn．﹡【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，因为s5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以an=3+2（n﹣1）=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，所以bn==…（8分）5【篇二：数列练习题_附答案】=txt>第二章数列1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )． a．667b．668c．669d．6702．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )．a．33b．72c．84d．1893．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )． a．a1a8＞a4a5b．a1a8＜a4a5 c．a1＋a8＜a4＋a5 d．a1a8＝a4a54．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于( )．a．1b．1的等差数列，则 43 4c．1 2d．3 85．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ). a．81 b．120 c．168 d．192a．4 005b．4 006c．4 007d．4 0087．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝( )． a．－4b．－6c．－8d．－108．设sn是等差数列{an}的前n项和，若a．1b．－1a5s5＝，则9＝( )． a3s59c．2 d．12a2?a1b29．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是( )．a．1 2b．－1 2c．－11或 22d．14210．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0(n≥2)，若s2n－1＝38，则n＝( )．a．38 b．20 c．10 d．9二、填空题 11．设f(x)＝12x?2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为.12．已知等比数列{an}中，82713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．2314．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为 . 15．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ . 16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝；当n＞4时，f(n)＝．三、解答题17．(1)已知数列{an}的前n项和sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.(2)已知111b?cc?aa?b，，成等差数列，求证，，也成等差数列. abcbca18．设{an}是公比为 q?的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列． (1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为sn，当n≥2时，比较sn与bn的大小，并说明理由．19．数列{an}的前n项和记为sn，已知a1＝1，an＋1＝求证：数列{n?2sn(n＝1，2，3…)． nsn}是等比数列． n第二章数列参考答案一、选择题 1．c解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699． 2．c1111，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两4444根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴d＝∴11735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根． 24444715，分别为m或n， 16161，故选c． 2∴｜m－n｜＝＝n．由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝∴m＝71357，于是可得等差数列为，，，， 44444715，n＝， 16161． 2∴｜m－n｜＝5．b解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27， a29∴q＝3，a1q＝9，a1＝3， 3－35240∴s4＝＝＝120．1－326．b 解析：∴s4 006＝∴s4 007＝4006(a1＋a4006)2＝4006(a2003＋a2004)2＞0，故4 006为sn＞0的最大自然数. 选b．∴s2 003为sn中的最大值．∵sn是关于n的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，∴4007在对称轴的右侧． 2(第6题)根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点b的左侧，4 007，4 008都在其右侧，sn＞0的最大自然数是4 006．7．b解析：∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1，a3，a4成等比数列，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，【篇三：最基础最全面的数列题型总结(附答案)】子集｛1,2，3，?，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥.（1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=.（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---1213133312n n n a ---+=++++=，所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-，∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-(4)(2)(28)n =-+-++-2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =，所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k-≥，又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n解：依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数，由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ，代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ，又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5.已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =.（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-.（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n nT -=++++231111231(2322222n n n n n T --=+++++），得2111111(1)232222nn n n T -=++++-，111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()N k ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==. （2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+ 当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项.（1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n n b a a =，12n n S b b b =+++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2，若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较 52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-，又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-，11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++<<-即当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ）已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]，即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）=21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解：设数列{1k a }的公差为d ，数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2nn S 212132122132⨯++⨯+⨯+= ，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S ，两式相减得：n n n S 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， nn n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++= 1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由 1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(Nn n n f n ∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=，则()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++， ∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+.2(1)n n =+ 若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*N n ∈成立， *()1N n n n ∈+的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *.（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若8131220,a a m b b b +=求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。

高中数列精选大题50题(带详细答案)

高中数列精选大题50题（带详细答案）1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且，求函数)(n f 最小值.3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。

4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由． 8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

典型数列试题及答案

典型数列试题及答案1. 题目：找出数列1, 4, 9, 16, 25, ...的第100项。

答案：数列的第n项是n^2，所以第100项是100^2 = 10000。

2. 题目：数列2, 4, 8, 16, 32, ...的通项公式是什么？答案：这是一个等比数列，首项a1=2，公比q=2。

通项公式为an =2^n。

3. 题目：数列1, 3, 6, 10, 15, ...的第20项是多少？答案：数列的第n项是1+2+...+n，即n(n+1)/2。

所以第20项是20*(20+1)/2 = 210。

4. 题目：数列-1, 2, -3, 4, -5, ...的通项公式是什么？答案：这是一个交替数列，奇数项为负，偶数项为正，通项公式为an = (-1)^n * n。

5. 题目：数列1, 2, 4, 8, 16, ...的第n项与第(n+1)项的比值是多少？答案：数列的第n项是2^(n-1)，第(n+1)项是2^n。

所以比值是2^(n-1) / 2^n = 1/2。

6. 题目：数列3, 6, 12, 24, 48, ...的第10项是多少？答案：数列的第n项是3*2^(n-1)，所以第10项是3*2^9 = 3*512 = 1536。

7. 题目：数列1, 1, 2, 3, 5, 8, ...的第10项是多少？答案：这是一个斐波那契数列，每一项是前两项的和。

第10项是55。

8. 题目：数列1, 3, 6, 10, 15, ...的通项公式是什么？答案：这是一个三角数列，第n项是1+2+...+n，即n(n+1)/2。

9. 题目：数列2, -4, 8, -16, 32, -64, ...的通项公式是什么？答案：这是一个等比数列，首项a1=2，公比q=-2。

通项公式为an = 2*(-2)^(n-1)。

10. 题目：数列1, 2, 3, 4, 5, ...的第n项与第(n+1)项的差值是多少？答案：数列的第n项是n，第(n+1)项是n+1。

数列综合经典练习题(含详细答案)

数列综合经典练习题（含详解答案）一、选择题1.已知等差数列{}n a 中79416,1,a a a +==则12a 的值是( ) A ．15B ．30C ．31D ．642.如果等差数列{}n a 中，，34515a a a ++=，那么127a a a +++=（ )A.14B.21C.28D.353.已知首项为正数的等差数列{}n a 满足:20052006200520060,.0a a a a +><.则使0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A. 4009B.4010C. 4011D.4012 4.在等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,若34825a a a ++=,则9S = ( ) A.60 B.75 C.90 D.1055.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,且关于x 的方程21320a x a x a -+=有两个相等的实根,则93S S 的值为( ) A.27B.21C.14D.56.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则13141516a a a a +++=( ) A.12B.8C.20D.167.若数列{}n a 的首项112a =,且*1(1)(N )n n n a a a n +=+∈,则200300a a =( )A.32B.23 C.201301D.3012018.古时有如下问题:今有肖司差夫一丁八万六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.其大意为:官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,每个修筑堤坝的人每天分发到3升大米.在该问题中第三天共发了大米( ) A. 234升B.405升C. 639升D.894升9.一个有限项的等差数列，前4项的和为40,最后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为( ) A.12B.14C.16D.1810.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为( ) A.-3B.-5C.-6D.-911.在等比数列{}n a 中，已知151,20192019a a ==,则3a =( ) A.1B.3C.±1D.±312.设{}n a 是首项为1a ,公差为2-的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A.2B.-2C.1D.-113.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,103010,130S S ==,则40S =( ) A.-510B.400C.400或-510D.30或4014.已知数列{}n a 是等比数列，2511,8a a ==，则*12231...(N )n n a a a a a a n ++++∈的最小值为( ) A.83B.1C.2D.315.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1111,(N )3n n a S a n +==∈,则7a =( ) A. 74B. 534⨯C.634⨯D. 641+16.已知等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a =( ) A ．2±B ．2C ．2-D ．417.已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则20192014a a = （） A ．2 B ．3 C ．6 D ．3或618.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a -=.若存在两项,m n a a14a =，则9n mmn +的最小值为( )A ．83 B ．114 C ．145 D ．17619.2+2的等比中项是（） A ．1 B ．2 C ．1± D ．2±20.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A.253 B. 503 C. 507D. 100721.若1既是2a 与2b 的等比中项,又是1a 与1b 的等差中项,则22a ba b++的值是（） A ．1或12B ．1或12-C ．1或13D ．1或13-22.如果等差数列{}n a 中34512a a a ++=，那么7S =( ) A.28 B.21 C.35D.14二、填空题23.在等比数列{}n a 中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 . 24.设数列{}n a 是递减的等比数列,且满足2712a a =,3694a a +=,则1232n a a a a ⋅⋅⋅的最大值为__________.25.已知等比数{}n a 中, 171,2727a a ==,求n a = 26.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,13n n a S +=,*N n ∈,则n a =_____________. 27.设数列{}n a 满足121,3a a ==,且112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥，则20a 的值为___________.28.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*2log (1)1(N )n S n n +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为___________.29.等比数列{}n a 的公比大于1，514215,6a a a a -=-=，则3a =_______. 三、解答题30.已知数列{}n a 是等差数列，且1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根. 1.求数列{}n a 的前n 项和n S ; 2.在1中，设n n S b n c =+，求证:当12c =-时，数列{}n b 是等差数列.31.已知等差数列{}n a 中，1242,16a a a =+=. 1.设2n an b =，求证:数列{}n b 是等比数列； 2.求{}n n a b +的前n 项和.32.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足443321,21S a S a =-=-. 1.求{}n a 的通项公式； 2.记161n n b S =+,求12...n b b b +++的最大值. 参考答案一、选择题1.答案：A 解析：2.答案：D 解析：3.答案：B解析：由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数, 则()()40101401020052006200520050S a a a a =+=+>,14011401120064011()401102a a S a +==<故n 的最大值为4010. 故选B 4.答案：B解析：因为等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和, 348153(4)325a a a a d a ++=+==,所以131225a d +=,所以512543a a d =+=,所以()9195925997523S a a a =+==⨯=.故选B. 5.答案：B解析：因为{}n a 为等比数列,所以23211,a aq q a a ==,故原方程可以化为220x q x q -+=.又该方程有两个相等的实数根,故440q q -=,解得0q =（舍）或34q =，所以9933116421114S q S q --===--,故选B. 6.答案：C解析：∵4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列,∴由4848,12S S S =-=,得128161216,20S S S S -=-=,即1314151620a a a a +++=.故选C.7.答案：D解析：由1(1)n n n a a a +=+,得11n n n n a a a a ++-=且0n a ≠,所以1111n n a a +-=,即1{}na 是以2为首项,1为公差的等差数列,所以11nn a =+,所以20030011201,301a a ==，从而200300301201a a =. 8.答案：C解析：根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ,它是首项164a =,公差为7的等差数列,则第二天派出的人数为2a ,且264771a =+=,第三天派出的人数为3a ,且3642778a =+⨯=.又每人每天分发到3升大米,则第三天共分发大米(647178)3639++⨯=(升)，故选C.9.答案：B解析：设等差数列共有n 项,记该数列为{}n a , 则123440a a a a +++=,12380n n n n a a a a ---+++=, 相加得14()120n a a +=,所以130n a a +=.1()152102n n n a a S n +===,解得14n =.故选B. 10.答案：D解析：由112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥,后式减前式知12,3m m a a +==.设等差数列{}n a 的公差为d,则1d =.∵0m S =,∴12m a a =-=-,则3n a n =-,(5)2n n n S -=,2(5)2n n n nS -=.设22(5)3(),0,'()5,022x x f x x f x x x x -=>=->, 则当1003x <<时, ()f x 单调递减,当103x >时, ()f x 单调递增, ∴()f x 的极小值点为103x =,在此处()f x 取得最小值. 又(3)9,(4)8f f =-=-,∴n nS 的最小值为-9,故选D. 11.答案：A解析：由等比数列的性质可得23151201912019a a a ==⨯=,解得31a =±.又2310a a q =>,所以31a =.故选A.解析：由题意得111212(1),,22n a a n S a S a =--==-,41412S a =-.∵124,,S S S 成等比数列,∴2111(22)(412)a a a -==-,解得11a =-.故选D.13.答案：B解析：设等比数列{}n a 公比为q,∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,∴10201030204030,,,S S S S S S S ---也成等比数列,∴21030202010()()S S S S S -=-，即2202010(130)(10)S S -=-,解得2040S =或2030S =-.∵10100S =>,10201030203,90S S q S S =+=-=,4030270S S -=,∴40400S =.故选B.14.答案：C解析：由已知得数列{}n a 的公比满足35218a q a ==,解得12q =,∴1312,2a a ==,∴数列1{}n n a a +是以2为首项,公比为231214a a a a =的等比数列.由于数列1{}n n a a +各项均为正,∴12231...n n a a a a a a ++++的最小值为122a a =.故选C.15.答案：B 解析：由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=≥,两式相减可得111,233n n n a a a n +=-≥,即14,2n n a a n +=≥.又113n n S a +=,所以2133a S ==,所以数列{}n a 是从第2项起的等比数列,公比为4.所以72572434a a -==⨯,故选B.16.答案：B 解析： 17.答案：B 解析： 18.答案：B 解析： 19.答案：C 解析： 20.答案：D 解析： 21.答案：D 解析：解析：二、填空题 23.答案：4解析：24.答案：64 解析：25.答案：43n n a -=或()43.n n a -=--解析： 26.答案：21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩解析：当1n =时,211333a S a ===. 当2n ≥时,∵13n n a S +=,∴13n n a S -=,两式相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=,即14n n a a +=,当2n ≥时,{}n a 是以3为首项,4为公比的等比数列,得234n n a -=⨯.综上,21,134,2n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩. 27.答案：245解析：因为112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥,所以数列{}n na 为等差数列,首项为1,公差为2125a a -=.所以1(1)554n na n n =+-⨯=-,则204245,54205n n a a =-=-=. 28.答案：3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩解析：由2log (1)1n S n +=+,得112n n S ++=.当1n =时, 113a S ==;当2n ≥时,12n n n n a S S -=-=.则数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.29.答案：4 解析：三、解答题30.答案：1.解方程2650x x -+=得其两个根分别为1和5, ∵1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根,∴121,5a a ==,∴等差数列{}n a 的公差为4, ∴2(1)1422n n n S n n n -=⋅+⋅=-. 2.当12c =-时, 22212n n S n n b n n c n -===+-, ∴112(1)22,2n n b b n n b +-=+-==, ∴{}n b 是首项为2,公差为2的等差数列. 解析：31.答案：1.设等差数列{}n a 的公差为d .由2416a a +=可得11()(3)16a d a d +++=,即12416a d +=. 又12a =,可得3d =.故1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 依题意, 312n n b -=,因为3231312282n n n n b b ++-===(常数),所以{}n b 是首项为4，公比为8的等比数列. 2.因为{}n a 的前n 项和为1()(31)22n n a a n n ++=, {}n b 的前n 项和为313324221421877n n -+-⋅=⋅--.所以{}n n a b +的前n 项和为32(31)142277n n n +++⋅-. 解析：32.答案：1.设等比数列{}n a 的公比为q , 由434S S a -=得43422a a a -=, 所以432a a =,所以2q =. 又因为3321S a =-,所以11112481a a a a ++=-,所以11a =.所以12n n a -=.2.由1知122112nn n S -==--,所以416()2821n n n b n S -===-+,所以12n n b b +-=-,所以{}n b 是首项为6,公差为-2的等差数列, 所以12346,4,2,0b b b b ====,当5n ≥时, 0n b <,所以当3n =或4n =时, 12...n b b b +++有最大值,且最大值为12. 解析：。

数列的19种经典题型及答案

数列的19种经典题型及答案
1.求n项和：Sn=n*(a1+an)/2
2.求公差为d的等差数列前n项和：Sn=n*(2a1+(n-1)*d)/2
3.求公比为q的等比数列的前n项和：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
4.求公比为q的等比数列的通项公式：an=a1*q^(n-1)
5.求等比数列前n项和与n项均值的关系：Sn=n*a1*q^(n-1)/(1-q).（当q>1时Sn>n*a1/2，当q<1时Sn<n*a1/2）
6.求等差数列前n项和与n项均值的关系：Sn=n*(a1+an)/2（Sn>n*a1/2）
7.求等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)*d
8.求等比数列的前n项积：Pn=a1*q^(1+2+...+(n-1))=a1*q^(n(n-1)/2)
9.求等差数列的前n项积：Pn=(a1a2)*[(an-d)-(a1-d)]/d^2
10.求公差为d的等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)*d
11.求等差数列的第n项：an=a1+(n-1)*d
12.求n项均值：a1+an/2
13.求前n项均值：3a1+3an/4
14.求连续项和：Sn=n/2*(2a1+(n-1)*d)
15.求联立等比数列之积：Pn=a1*q^n
16.求互差等比数列之积：Pn=a1a2...an=a1q^(2+4+...+(2n-2))
17.求满足条件的等差数列最小项：a1=a+l*d
18.求满足条件的等比数列最小项：a1=a*q^k
19.求满足条件的等比数列最大项：an=a*q^(n-1-k)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

∵a1－2a2＋a3＝0，∴2an＋1－an－an＋2＝0，
∴数列{an}是等差数列．(16分)
2.解析：(1)若λ＝1，则(Sn＋1＋1)an＝(Sn＋1)an＋1，a1＝S1＝1.
∵an＞0，Sn＞0，∴ ＝，(2分)
∴ · ·…· ＝ · ·…· ，
化简，得Sn＋1＋1＝2an＋1.①(4分)
②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
五、数阵问题
8.已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1＋a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2＋b1，a1＋b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
……
，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，
b11，b12，…，记数列{cn}的前n项和为Sn.求满足Sn<22 014的最大正整数n.
数列经典题目集锦答案
1.证明：(1)设数列{an}的公差为d，∵bn＝an－2an＋1，
数列经典题目集锦一
一、构造法证明等差、等比
类型一：按已有目标构造
1、数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn＝an－2an＋1，cn＝an＋1＋2an＋2－2，n∈N*.
(1)若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；
(2)若数列{bn}，{cn}都是等差数列，
求证：数列{an}从第二项起为等差数列；
令n＝1，a1－2a2＝－a3，即a1－2a2＋a3＝0，(12分)
∴bn＋1＝an＋1－2an＋2，bn＋2＝an＋2－2an＋3，
∴2bn＋1－bn－bn＋2＝(2an＋1－an－an＋2)－2(2an＋2－an＋1－an＋3)．
∵数列{bn}是等差数列，∴2bn＋1－bn－bn＋2＝0，
∴2an＋1－an－an＋2＝2(2an＋2－an＋1－an＋3)．(14分)
求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(2)若Sn是数列{an}的前n项的和，求满足Sn＞0的所有正整数n.
7.若满足：对于，都有 ( 为常数)，则称数列是公差为的“隔项等差”数列．
（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；
（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．
①求证：数列为 “隔项等差”数列，并求其通项公式；
(3)若数列{bn}是等差数列，试判断当b1＋a3＝0时，
数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．
类型二：整体构造
2、设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且(Sn＋1＋λ)an＝(Sn＋1)an＋1对一切n∈N*都成立．
(1)若λ＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)求λ的值，使数列{an}是等差数列．
∴bn＋1－bn＝(an＋1－2an＋2)－(an－2an＋1)＝(an＋1－an)－2(an＋2－an＋1)＝d－2d＝－d，
∴数列{bn}是公差为－d的等差数列．(4分)
(2)当n≥2时，cn－1＝an＋2an＋1－2，
∵bn＝an－2an＋1，∴an＝＋1，∴an＋1＝＋1，
∴an＋1－an＝－＝＋ .
∴－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn＝2a1－2n＋1an＋1，
∴2n＋1an＋1＝2a1＋2b1＋4(2n－1－1)d′－2n＋1bn＝2a1＋2b1－4d′－2n＋1(bn－d′)，
∴an＋1＝－(bn－d′)．(12分)
令n＝2，得a3＝－(b2－d′)＝－b1，
∵b1＋a3＝0，∴ ＝b1＋a3＝0，∴2a1＋2b1－4d′＝0，
∴当n≥2时，Sn＋1＝2an.②
∴an＋1＝－(bn－d′)，∴an＋2－an＋1＝－(bn＋1－d′)＋(bn－d′)＝－d′，
∴数列{an}(n≥2)是公差为－d′的等差数列．(14分)
∵bn＝an－2an＋1，令n＝1，a1－2a2＝－a3，即a1－2a2＋a3＝0，
∴数列{an}是公差为－d′的等差数列．(16分)
(证法2)∵bn＝an－2an＋1，b1＋a3＝0，
(2)按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：
第1次从数列{an}中取a1，
第2次从数列{bn}中取b1，b2，
第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，
第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，
……
第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项，
第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，
∵数列{bn}，{cn}都是等差数列，∴ ＋为常数，
∴数列{an}从第二项起为等差数列．(10分)
(3)结论：数列{an}成等差数列．证明如下：
(证法1)设数列{bn}的公差为d′，
∵bn＝an－2an＋1，
∴2nbn＝2nan－2n＋1an＋1，∴2n－1bn－1＝2n－1an－1－2nan，…，2b1＝2a1－22a2，
二、两次作差法证明等差数列
3、设数列的前n项和为，已知，
且，（其中A,B为常数）．
(1)求A与B的值；(2)求数列为通项公式；
三、数列的单调性
4.已知常数，设各项均为正数的数列的前项和为 ,
满足：，（）．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若对一切恒成立，数的取值围．
5.设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若， .
∴2nbn＋2n－1bn－1＋…＋2b1＝2a1－2n＋1an＋1，
设Tn＝2b1＋22b2＋…＋2n－1bn－1＋2nbn，
∴2Tn＝22b1＋…＋2nbn－1＋2n＋1bn，
两式相减得：－Tn＝2b1＋(22＋…＋2n－1＋2n)d′－2n＋1bn，
即Tn＝－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn，
（1）求数列的通项公式；
（2）对于正整数（），求证：“ 且 ”是“ 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，求的取值围.
四、隔项（分段）数列问题
6.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
(1)是否存在实数λ，使数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，