第9讲 综合传热计算
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若令
……………… (2 3)
1 1 dm b 1 dm K m 1 d1 2 d 2
(Ti ti ) (T0 t0 ) T t ln i i T0 t0
……………… (15)
令 tm
……………… (11)
即可得：
Q K m Am t m
……………… (16)
代入上式得：
dQ T t dA1 1 b d1 1 d1 1 d m 2 d 2 dQ T t 1 dm b 1 dm dAm 1 d1 2 d 2
dQ T t …… (2 2) 1 d2 b d2 1 dA2 1 d1 d m 2
dQ T t 1 d2 b d2 1 dA2 1 d1 d m 2
同理，若令
……………… (2 2)
1 1 d2 b d2 1 K 2 1 d1 d m 2
……………… (13)
令 tm
(Ti ti ) (T0 t0 ) T t ln i i T0 t0
图 4-10 套管换热示意图
在图4-10中，热量传递经历三个阶段，第一阶段是热流体对 管内壁对流传热。第二阶段是管内、外壁面之间的导热。第 三阶段是管外壁对冷流体的对流传热。我们只能测得热流体 的进、出口温度和冷流体的进出、口温度。
取内管一微元管段 B ，其传热过程如图所示。管段 B 传热面积为 dA m ；此截面处热、冷流体的温 度为 T 和 t K ；管壁温度分别为 t w1 和 t w2 K ；通过该微元段的传热速率为 dQ J s 1 ；下面列出该微元管 段的传热速率方程。 管壁内外的对流传热系数分别为 1 和 2 W m
T T t t d T t K1 (T t )dA1 i 0 0 i Q Q
K T T t t d(T t ) K1 i 0 0 i dA1 1 (Ti ti ) (T0 t0 ) dA1 Q T t Q Q
热流体放出的热量等于冷流体吸收的热量，这就是传热平衡方程。 具体讲，热流体放出的热量，等于热流体的质量流量乘以比热，再 乘以热流体进出、口的温度差。冷流体吸收的热量，等于冷流体的 质量流量乘以比热，再乘以冷流体的进、出口温度差。
我们从简单的套管式换热器讲起，比如说热流体 在内管中流过，而冷流体在套管的环隙中流过。
…………… (3)
令 tm
……………… (11)
则式 (10) 为： Q K1 A1tm
……………… (12)
t m 称为对数平均温度差，综合传热的热推动力，亦可写作：
t m t1 t 2 t ln 1 t 2
……………… (11')
所以，式 (12) 、 (11) 、 (3) 即为一组传热速率方程式，习惯上称为基于内表面的传热速率方程。
以某换热器为衡算对象，列出稳定传热时的热量衡算方程。如图所示。
qm,cCp,c (t1 0) qm,hCp,h (T1 0) qm,cCp,c (t2 0) qm,hCp,h (T2 0) qm, hCp,h (T1 T2 ) qm,cCp,c (t2 t1 )
如图 4-11 所示，对微元管段 B 的热、冷流体列热量衡算方程得， 热流体的放热速率为： dQ1 qm, h C p,h dT
dT
dQ1 q m, h C p ,h
…… (5)
式中负号表示热交换时，热流体温度 T 随换热面积 dA 增加而减少，微元段终截面温度减去初截面温 度，即 dT 为负值。 冷流体的吸热速率为： dQ2 qm,c C p,c dt
……………… (9)
在图4-11中，对微元管B，列冷、热流体的热量衡算方程， 得到式(5)和(6)，将式(5)减式(6)得式(7)。
在图 4-10 中，对热、冷流体作总的热量衡算得：
Q qm, hC p h (Ti T ) , 0
T T0 1 i q m, h C p ,h Q
图为是稳定传热，即 dQ1 dQ2 dQ3 dQ ，根据比例定律中的合比定律得，
dQ
(T tw1 ) t( w1 t w 2 t ( w t ) ) T t 2 1 b 1 1 b 1 1 dA 1 d m 2 d 2 1 A 1 Am 2 d A A d d A
式 (15) 、 (16) 、 (11') 构成另一组传热速率方程，称为基于管壁中心表面的传热速率方程式。
同样的道理，还可以推出第三组传热速率方程，称为基于管 壁中心表面的传热速率方程。
上列三组传热速率方程，都是各自独立的，是三组平行的传热速率方程。 若为平壁，即 A1 Am A2 A ，则：
1 1 b 1 K 1 2
Q K A t m
当然。我们亦可以仿照上法，推导出逆流时的传热速率方程式。将三组传热速率方程，写成如下 通式，即：
Q Ki Ai tm
其中：
(i 1, 2,
m)
……………… X
d d 1 b di i i K i 1 d1 d m 2 d 2
t w1 t w 2 b dAm
管外壁对冷流体给热速率为： dQ3
t w2 t 1 2 dA2
取内管中的微元管段B。 因为是微分量管段，其面积为dAm2, 热、冷流体温度为T和t，管内、外壁温度为tw1和tw2，传递 的热速率为dQ 。在管长为dl的微元管段，分别列出三步传 热的三个传热速率方程(a)、(b)、(c)。
… (2 3)
令
1 1 b d1 1 d1 K 1 dm 2 d2
…（3）
则式 (2 1) 为： dQ K1 (T t )dA1
………………（4）
K1 称为基于内表面的总传热系数，是以内表面为传热面积的 K 。
由于面积A与长度之间的关系，上列三式即变换得(2-1)、 (2-2)、(2-3)，令1/ K1为式(3)，代入式(2-1)得到式(4)。 K1称为基于内表面积计算的总传热系数。
第9讲 综合传热计算
搅拌热牛奶
比如一杯热牛奶，放到冷水中，杯内牛奶用勺子不断搅拌，杯外的冷水也不断搅拌。 杯内有热牛奶向杯壁的对流传热，杯内壁向外壁是导热传热，杯外壁向冷水又是对流 传热。这样的问题，又如何计算呢？这里涉及热对流与热传导联合传热的计算问题， 即对流-导热联合传热。
换热器区
工厂应用最广泛的是列管换热器，一个车间有十几台，甚至几十台列管换热器。 这种列管换热器的设计与计算，就是对流-导热联合传热问题。讲这个问题之前， 先推出传热平衡方程。
Q K1 A1
(Ti ti ) (T0 t0 ) T t ln i i T0 t0
……………… (10)
将式(8)、式(9)和式(4)，代入式(7)，并化简，找出积分限， 然后积分，得到式(10)
令
1Baidu Nhomakorabea1 b d1 1 d1 K 1 dm 2 d2
(Ti ti ) (T0 t0 ) T t ln i i T0 t0
……………… (8)
Q qm,cCp,c (t0 ti )
t t 1 0 i q m , c C p ,c Q
……………… (9)
在图4-10中，对整个套管换热器作热量衡算，得到式(8)和 式(9)。上面我们推出几个重要的公式：式(4)、式(7)、式 (8)和式(9)
将式 (8) 、 (9) 和式 ( 4) 代入式 (7 ) 得，
2
dQ 1 dA1
T t b dA1 1 dA1 1 dAm 2 dA2
……………… (1 1)
dQ T t 1 dA2 b dA2 1 dA2 1 dA1 dAm 2 dQ T t 1 dAm b 1 dAm dAm 1 dA1 2 dA2
得到式(12)，即对流与导热联合传热速率Q，等于基于内管的内表面 积传热系数K1，乘以内表面积A1 再乘以对数平均温度差△tm。所以 式(12)、式(11)和式(3)，为一组传热速率方程式，称为基于内表面积 的传热速率方程。
白云山水库
对流与导热联合传热速率，推导比较长，但是非常重要。下面给出一个思路。推导 对流—导热联合传热，主要思路分三步。第一步通过对微元管段B，列传热速率方程， 结合稳定传热，得到式(4)。第二步是对微元管段B，作热量衡算，列热平衡方程， 得式(7)。第三步是对整个套管，作热量衡算，得到式(8)和式(9)。最后将式(8)、 式(9)和式(4)，代入式(7)，并化简运算，就可以了
……………… (I )
1
式中， qm, h、qm, c ——分别为热、冷流体的质量流速， kg s ；
C p,h、C p,c ——分别为热、冷流体的定压比容， J kg1 K 1 ；
T1、T2 、——为热流体的进、出口温度， K ； t1、t 2 ——为冷流体的进、出口温度， K ；
积分上式，积分限为，当 A1 0时，T t Ti ti，
A1 A1时，T t T0 t 0，
ln Ti ti K1 A1 (Ti ti ) (T0 t0 ) T0 t0 Q
T0 t0
Ti ti
A1 d (T t ) K1 (Ti ti ) (T0 t0 ) dA1 0 T t Q
) ……………… (11
即可得：
Q K 2 A2 t m
……………… (14)
式 (13) 、 (14) 、 (11) 构成另一组传热速率方程，称为基于外表面的传热速率方程式。
同样的道理，可以推出第二组传热速率方程，称为基于外表 面积的传热速率方程。
dQ T t 1 dm b 1 dm dAm 1 d1 2 d 2
dt
dQ2 q m , c C p ,c
……… (6)
由于是稳定传热，所以 dQ1 dQ2 dQ 。将式 (5) 减去式 (6) 得：
1 1 d(T t ) dQ q C qm ,cC p ,c m, h p ,h
……………… (7 )
t t 1 0 i q m , c C p ,c Q
……………… (1 2)
……………… (1 3)
由于是稳定传热，即dQ1= dQ2= dQ3= dQ，根据数学中的合 比定律，可以得到式(1-1)、(1-2)、(1-3)）
dA1 d dA1 d1 dA2 d 2 1， ， dAm d m dA2 d 2 dAm d m
…… (2 1)
2
2
管内径、 外径分别为 d1 、 m 、 K 1 ； d
d 2 m ；管壁厚度为 b m 。
在管长为 dl 的微元管段，列传热速率方程得： 热流体对内管壁给热速率为：
dQ1 1 dA1 T tw1 ) （
T tw1 1 1 dA1
图 4-11 微元管段 B 传热示意图 管壁面间的导热速率为： dQ2
如图所示，热流体走管内，冷流体走环隙通道。热、冷流体的质量流速分别为 qm, h 、 qm, c kg s 1 ， 热、冷流体的定压比容分别为 C p,h 、 C p,c J kg1 K 1 。热流体的进出口温度分别为 Ti 、 T0 ，冷流体 的进出口温度分别为 t i 、 t 0 。 在此种间壁式换热器中，热量传递要经历下 列三个阶段：热流体对管内壁对流给热；管壁面 间导热；管外壁对冷流体的对流给热。单一导热 定律与对流给热定律，无法解决这个问题。此时， 热推动力（温度差）和传热系数如何表达呢？
……………… (2 3)
1 1 dm b 1 dm K m 1 d1 2 d 2
(Ti ti ) (T0 t0 ) T t ln i i T0 t0
……………… (15)
令 tm
……………… (11)
即可得：
Q K m Am t m
……………… (16)
代入上式得：
dQ T t dA1 1 b d1 1 d1 1 d m 2 d 2 dQ T t 1 dm b 1 dm dAm 1 d1 2 d 2
dQ T t …… (2 2) 1 d2 b d2 1 dA2 1 d1 d m 2
dQ T t 1 d2 b d2 1 dA2 1 d1 d m 2
同理，若令
……………… (2 2)
1 1 d2 b d2 1 K 2 1 d1 d m 2
……………… (13)
令 tm
(Ti ti ) (T0 t0 ) T t ln i i T0 t0
图 4-10 套管换热示意图
在图4-10中，热量传递经历三个阶段，第一阶段是热流体对 管内壁对流传热。第二阶段是管内、外壁面之间的导热。第 三阶段是管外壁对冷流体的对流传热。我们只能测得热流体 的进、出口温度和冷流体的进出、口温度。
取内管一微元管段 B ，其传热过程如图所示。管段 B 传热面积为 dA m ；此截面处热、冷流体的温 度为 T 和 t K ；管壁温度分别为 t w1 和 t w2 K ；通过该微元段的传热速率为 dQ J s 1 ；下面列出该微元管 段的传热速率方程。 管壁内外的对流传热系数分别为 1 和 2 W m
T T t t d T t K1 (T t )dA1 i 0 0 i Q Q
K T T t t d(T t ) K1 i 0 0 i dA1 1 (Ti ti ) (T0 t0 ) dA1 Q T t Q Q
热流体放出的热量等于冷流体吸收的热量，这就是传热平衡方程。 具体讲，热流体放出的热量，等于热流体的质量流量乘以比热，再 乘以热流体进出、口的温度差。冷流体吸收的热量，等于冷流体的 质量流量乘以比热，再乘以冷流体的进、出口温度差。
我们从简单的套管式换热器讲起，比如说热流体 在内管中流过，而冷流体在套管的环隙中流过。
…………… (3)
令 tm
……………… (11)
则式 (10) 为： Q K1 A1tm
……………… (12)
t m 称为对数平均温度差，综合传热的热推动力，亦可写作：
t m t1 t 2 t ln 1 t 2
……………… (11')
所以，式 (12) 、 (11) 、 (3) 即为一组传热速率方程式，习惯上称为基于内表面的传热速率方程。
以某换热器为衡算对象，列出稳定传热时的热量衡算方程。如图所示。
qm,cCp,c (t1 0) qm,hCp,h (T1 0) qm,cCp,c (t2 0) qm,hCp,h (T2 0) qm, hCp,h (T1 T2 ) qm,cCp,c (t2 t1 )
如图 4-11 所示，对微元管段 B 的热、冷流体列热量衡算方程得， 热流体的放热速率为： dQ1 qm, h C p,h dT
dT
dQ1 q m, h C p ,h
…… (5)
式中负号表示热交换时，热流体温度 T 随换热面积 dA 增加而减少，微元段终截面温度减去初截面温 度，即 dT 为负值。 冷流体的吸热速率为： dQ2 qm,c C p,c dt
……………… (9)
在图4-11中，对微元管B，列冷、热流体的热量衡算方程， 得到式(5)和(6)，将式(5)减式(6)得式(7)。
在图 4-10 中，对热、冷流体作总的热量衡算得：
Q qm, hC p h (Ti T ) , 0
T T0 1 i q m, h C p ,h Q
图为是稳定传热，即 dQ1 dQ2 dQ3 dQ ，根据比例定律中的合比定律得，
dQ
(T tw1 ) t( w1 t w 2 t ( w t ) ) T t 2 1 b 1 1 b 1 1 dA 1 d m 2 d 2 1 A 1 Am 2 d A A d d A
式 (15) 、 (16) 、 (11') 构成另一组传热速率方程，称为基于管壁中心表面的传热速率方程式。
同样的道理，还可以推出第三组传热速率方程，称为基于管 壁中心表面的传热速率方程。
上列三组传热速率方程，都是各自独立的，是三组平行的传热速率方程。 若为平壁，即 A1 Am A2 A ，则：
1 1 b 1 K 1 2
Q K A t m
当然。我们亦可以仿照上法，推导出逆流时的传热速率方程式。将三组传热速率方程，写成如下 通式，即：
Q Ki Ai tm
其中：
(i 1, 2,
m)
……………… X
d d 1 b di i i K i 1 d1 d m 2 d 2
t w1 t w 2 b dAm
管外壁对冷流体给热速率为： dQ3
t w2 t 1 2 dA2
取内管中的微元管段B。 因为是微分量管段，其面积为dAm2, 热、冷流体温度为T和t，管内、外壁温度为tw1和tw2，传递 的热速率为dQ 。在管长为dl的微元管段，分别列出三步传 热的三个传热速率方程(a)、(b)、(c)。
… (2 3)
令
1 1 b d1 1 d1 K 1 dm 2 d2
…（3）
则式 (2 1) 为： dQ K1 (T t )dA1
………………（4）
K1 称为基于内表面的总传热系数，是以内表面为传热面积的 K 。
由于面积A与长度之间的关系，上列三式即变换得(2-1)、 (2-2)、(2-3)，令1/ K1为式(3)，代入式(2-1)得到式(4)。 K1称为基于内表面积计算的总传热系数。
第9讲 综合传热计算
搅拌热牛奶
比如一杯热牛奶，放到冷水中，杯内牛奶用勺子不断搅拌，杯外的冷水也不断搅拌。 杯内有热牛奶向杯壁的对流传热，杯内壁向外壁是导热传热，杯外壁向冷水又是对流 传热。这样的问题，又如何计算呢？这里涉及热对流与热传导联合传热的计算问题， 即对流-导热联合传热。
换热器区
工厂应用最广泛的是列管换热器，一个车间有十几台，甚至几十台列管换热器。 这种列管换热器的设计与计算，就是对流-导热联合传热问题。讲这个问题之前， 先推出传热平衡方程。
Q K1 A1
(Ti ti ) (T0 t0 ) T t ln i i T0 t0
……………… (10)
将式(8)、式(9)和式(4)，代入式(7)，并化简，找出积分限， 然后积分，得到式(10)
令
1Baidu Nhomakorabea1 b d1 1 d1 K 1 dm 2 d2
(Ti ti ) (T0 t0 ) T t ln i i T0 t0
……………… (8)
Q qm,cCp,c (t0 ti )
t t 1 0 i q m , c C p ,c Q
……………… (9)
在图4-10中，对整个套管换热器作热量衡算，得到式(8)和 式(9)。上面我们推出几个重要的公式：式(4)、式(7)、式 (8)和式(9)
将式 (8) 、 (9) 和式 ( 4) 代入式 (7 ) 得，
2
dQ 1 dA1
T t b dA1 1 dA1 1 dAm 2 dA2
……………… (1 1)
dQ T t 1 dA2 b dA2 1 dA2 1 dA1 dAm 2 dQ T t 1 dAm b 1 dAm dAm 1 dA1 2 dA2
得到式(12)，即对流与导热联合传热速率Q，等于基于内管的内表面 积传热系数K1，乘以内表面积A1 再乘以对数平均温度差△tm。所以 式(12)、式(11)和式(3)，为一组传热速率方程式，称为基于内表面积 的传热速率方程。
白云山水库
对流与导热联合传热速率，推导比较长，但是非常重要。下面给出一个思路。推导 对流—导热联合传热，主要思路分三步。第一步通过对微元管段B，列传热速率方程， 结合稳定传热，得到式(4)。第二步是对微元管段B，作热量衡算，列热平衡方程， 得式(7)。第三步是对整个套管，作热量衡算，得到式(8)和式(9)。最后将式(8)、 式(9)和式(4)，代入式(7)，并化简运算，就可以了
……………… (I )
1
式中， qm, h、qm, c ——分别为热、冷流体的质量流速， kg s ；
C p,h、C p,c ——分别为热、冷流体的定压比容， J kg1 K 1 ；
T1、T2 、——为热流体的进、出口温度， K ； t1、t 2 ——为冷流体的进、出口温度， K ；
积分上式，积分限为，当 A1 0时，T t Ti ti，
A1 A1时，T t T0 t 0，
ln Ti ti K1 A1 (Ti ti ) (T0 t0 ) T0 t0 Q
T0 t0
Ti ti
A1 d (T t ) K1 (Ti ti ) (T0 t0 ) dA1 0 T t Q
) ……………… (11
即可得：
Q K 2 A2 t m
……………… (14)
式 (13) 、 (14) 、 (11) 构成另一组传热速率方程，称为基于外表面的传热速率方程式。
同样的道理，可以推出第二组传热速率方程，称为基于外表 面积的传热速率方程。
dQ T t 1 dm b 1 dm dAm 1 d1 2 d 2
dt
dQ2 q m , c C p ,c
……… (6)
由于是稳定传热，所以 dQ1 dQ2 dQ 。将式 (5) 减去式 (6) 得：
1 1 d(T t ) dQ q C qm ,cC p ,c m, h p ,h
……………… (7 )
t t 1 0 i q m , c C p ,c Q
……………… (1 2)
……………… (1 3)
由于是稳定传热，即dQ1= dQ2= dQ3= dQ，根据数学中的合 比定律，可以得到式(1-1)、(1-2)、(1-3)）
dA1 d dA1 d1 dA2 d 2 1， ， dAm d m dA2 d 2 dAm d m
…… (2 1)
2
2
管内径、 外径分别为 d1 、 m 、 K 1 ； d
d 2 m ；管壁厚度为 b m 。
在管长为 dl 的微元管段，列传热速率方程得： 热流体对内管壁给热速率为：
dQ1 1 dA1 T tw1 ) （
T tw1 1 1 dA1
图 4-11 微元管段 B 传热示意图 管壁面间的导热速率为： dQ2
如图所示，热流体走管内，冷流体走环隙通道。热、冷流体的质量流速分别为 qm, h 、 qm, c kg s 1 ， 热、冷流体的定压比容分别为 C p,h 、 C p,c J kg1 K 1 。热流体的进出口温度分别为 Ti 、 T0 ，冷流体 的进出口温度分别为 t i 、 t 0 。 在此种间壁式换热器中，热量传递要经历下 列三个阶段：热流体对管内壁对流给热；管壁面 间导热；管外壁对冷流体的对流给热。单一导热 定律与对流给热定律，无法解决这个问题。此时， 热推动力（温度差）和传热系数如何表达呢？