高等数学第3版(张卓奎 王金金)第七章习题解答

习题7-1
1. 已知函数22(,)tan
x
f x y x y xy y
=+-，试求(,)f tx ty ． 解 ()()()()22
2222(,)tan
(tan )(,)tx x
f tx ty tx ty tx ty t x y xy t f x y ty y
=+-=+-=． 2. 已知函数()(,)(),(2,3),-=++x y f x y x y f f x y y 求，．
解 ()1
(2,3)=,
=(2)5
x f f x y y x y ++，．
3. 已知()22(,
),+=-y
f x y x y f x y x
求，． 解 令 , y x y u v x +==⇒ , 11u uv
x y v v
==
++，则 ()2
2
2
1(,)111u v u uv f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
， 故 ()2(1) , (1)1x y f x y y y
-=≠-+，
． 4. 求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形：
（1）ln()=z xy ； （2
）23z =
（3
）ln()z y x =- （4
）=z ；
（5
）u =
R >r >0）;
解 （1）{}
(,)0,00,0>><<x y x y x y 或；
（2）{
}222
(,)24,x y x y x y
≤+≤>；
（3）0y x ->，0x ≥且2
2
10x y -->，故函数的定义域为，
{}22(,)0,1D x y y x x y =>≥+<．
（4）2222(,)1⎧⎫⎪⎪
+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
x y x y a b ．
（5）2
2
2
2
0R x y z ---≥且2
2
2
2
0x y z r ++->，故函数的定义域为
{}22222(,,)D x y z r x y z R =<++≤．
5. 求下列各极限： （1）22
01
1lim
x y xy
x y →→-+； （2
）00
x y →→； （3）220
sin()
lim →→x y xy x y ； （4）222222001cos()lim ()x y x y x y x y e →→-++； 解 （1）22
1
1lim
=1x y xy
x y
→→-+； （2
）00000
1
4x x x y y y →→→→→→-；
（3）22200sin()
1sin()1lim
lim 2x x y y xy xy x y x xy →→→→⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦ （4）22
22
2224
222
2
0000
1cos()11cos lim
lim
lim 1lim 02()x y x
y
x x t t y y x y t t t
t x y e
e →→→→→→-+-=⋅=⋅=+ 6. 从0
12
lim (,0)0,lim (,
)25→→==x x f x f x x ，能否断定00
lim (,)→→x y f x y 不存在？
答 因为函数(,)f x y 沿不同路径的极限不相等，所以极限0
lim (,)→→x y f x y 不存在．
7. 函数2222y x
z y x
+=-在何处是间断的？
解 为了使函数的表达式有意义，需要2
20y x -≠，所以曲线2
20y x -=上的点均
是函数2222y x
z y x
+=-的间断点．
8. 证明：极限00
lim
x y x y
x y →→+-不存在。

证 当点(,)P x y 沿x 轴(0,0)→时，000
lim
lim =1x x y x y x
x y x
→→=+=-；当点(,)P x y 沿y 轴(0,0)→时，000lim
lim 1y y x x y y x y y →→=+==---，所以00
lim
x y x y
x y →→+-极限不存在．。