圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

一、 圆锥曲线的光学性质 1．1

椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另

一个焦点上； (见图1.1)

椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F 处，对2F 处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。 证明：由导数可得切线l 的斜率0

20

20

x x b x k y a y =-'

==，

而1PF 的斜率010y k x c =+，2PF 的斜率020y k x c =- ∴l 到1PF 所成的角α'满足()()200

22222

2000001222

2

001000200

tan 11y b x x c a y a y b x b cx k k

b x y kk a b x y a cy x

c a y α++++-'===+-+-

+，

()00,P x y 在椭圆上，∴20tan b cy α'=，同理，2PF 到l 所成的角β'满足2

220

tan 1k k b kk cy β-'==+， ∴tan tan αβ''=，而,0,

2παβ⎛⎫

''∈ ⎪⎝

⎭

，∴αβ''=

1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．

双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．

1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

图1.3

图1.2

图1.1

要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明

2．1圆锥曲线的切线与法线的定义

设直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线

c 在点M 处的法线。

此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明

预备定理 1.若点00(,)P x y 是椭圆22

221x y a b

+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：

00221x x y y

a b

+=。 证明：由22221y x b a =-⇒222

2(1)x y b a

=-……①，

1°当x a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x x k y ==，∴对①式求导：2

222'b yy x a

=-，

∴020

20

'|x x b x k y a y =-==，∴切线方程为20002

0()b x y y x x a y --=--……②， ∵点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，故 2200

221x y a b

+= ，代入②得00221x x y y a b +=……③，

而当x a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式，故00221x x y y

a b

+=是椭圆过点00(,)P x y 的切线方程.

预备定理 2. 若点00(,)P x y 是双曲线22

221x y a b

-=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：

00221x x y y

a b

-= 证明：由22221y x b a =-⇒2

222(1)x y b a

=-……①， 1°当x

a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0

'|x x

k y ==，

∴对①式求导：2222'b yy x a =，∴02020'|x x b x k y a y ===，∴切线方程为200020

()b x

y y x x a y -=--……②，

∵点00(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=上，故2200

221x y a b

-= 代入②得00221x x y y a b -=……③，

而当

x a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式，故00221x x y y a

b

-=是双曲线过点

00(,)P x y 的切线方程.

预备定理 3.若点

00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是

00()y y p x x =+

证明：由2

2y px =，对x 求导得：00

2'2'|x x p

yy p k y y ==⇒==

， 当00y ≠时，切线方程为00

()p y y x x y -=

-，即2

00

0y y y px px -=-， 而2

00002()y px y y p x x =⇒=+………①，而当000,0y x ==时，切线方程为00x =也满足①式，

故抛物线在该点的切线方程是00()y y p x x =+.

定理1. 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图2.1）

已知：如图，椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)

P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.

证法一：在22

22:1x y C a b

+=上，00(,)P x y C ∈，

则过点P 的切线方程为：00221x x y y

a b +=，'l 是通过点

P 且与切线l 垂直的法线，

则0000222

211

':()()()y x l x x y b a b a

-=-， ∴法线'l 与x 轴交于2

0((),0)c D x a

，

∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a =+=-，∴20

12

20

||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||

||||

F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线，

∴αβ=，∵90ααββ''+=︒=+，故可得αβαβ''=⇔=

证法二：由证法一得切线l 的斜率020

20

'|x x b x k y a y =-==，而1PF 的斜率010y k x c =+，2PF

的斜率

l