工程制图 2.3.4直线上的点

3.两直线相交
投影特性
① 空间两直线相交，其 C
B
各组同面投影必相交，且交点
符合点的投影规律。
K
c'
Z c"
a'
k'
b' b"
k" a"
c
bD A
kd a
X
d' O
d"
c
b
YW
kd a
YH
ab 、cd交于k a′b′、c′d′交于k′ a″bபைடு நூலகம்、c″d″交于k″
投影特性
②反之，若有两条直线，其三组同面投影均相交， 而且符合点的投影规律，则空间两直线必相交。
定比定理
【例2－1 】已知直线AB，求作AB上 的C点，使AC︰CB=2︰3。
【解】 用辅助线法作图求解。
【例2－2】试判断K点是否在侧平线MN上？
【解】 按直线上的点的投影特性进行判断。
方法一：作出直线和点的第三投影加以判断------- 否。 方法二：根据定比性∵m′k′: k′n′≠mk:kn, ∴K点不在MN上。
【例2－3】已知直线CD，试在C与D之间取一点E，使 CE等于定长。
【解】 分析：为了在已知直线CD上取定长的线段CE，必须先求出已知直线
CD的真长，然后在真长上从端点C截取CE的真长，最后按与分割直 线真长相同的比例，在直线的投影上作出分点E的投影。 作图： （1）求真长cdo ；（2）取ceo＝CE ，求出 e 和e′。
4. 交叉两直线
在空间既不平行也不相交的 c' 两直线，叫交叉直线。
a'
V
b'
c' 3'(4')
X
a' A
X
a
Ⅳ d'
Ⅱ
B a
C Ⅲ ⅠD
O
d
2(1) b
c
c
2' b' 3'
(4')
1'
d' O
4
d
2(1) b 3
交点是一对重 影点的投影。
d
a
1(2 )
3
●
投影特性：
●
● 4
c
b ★ 同面投影可能相交，
b
a c
a
c
d
对于一般位置直
线，只要有两个同面
投影互相平行，空间
两直线就平行。
bd
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
c
a d
b
c a
对于特殊位置直线，
只有两个同面投影互相
d b
平行，空间直线不一定
c b
平行。
da
求出侧面投影后可知：
如何判断？
求出侧面投影 AB与CD不平行
• 交叉的两直线一般可以有一对、两对， 甚至三对投影都相交，但投影交点觉不 会符合点的投影规律。
六、直角投影定理 ★
空间两相交垂直直线或两交叉垂直直线，若其中一条 直线平行于某投影面，则这两条直线在该投影面上的投影 仍为直角（仍互相垂直），直角的这一投影特性称为直角 投影定理。
反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中 有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必相互垂 直。
但 “交点”不符合空间
c 2●
b 一个点的投影规律。
●
a
●
1
3(4 )
d
★ 投影的“交点”是两
直线上的一 对重影点的
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 投影，用其可帮助判断 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 两直线的空间位置。
【例】 AB与CD是两条侧平线， 问：AB与CD两直线的 相对位置？
AB与CD不平行 AB与CD不相交
投影分析：∵BC是侧平线，∴根据一边平行于投影面的直角的投 影特性，有a″d″⊥b″c″的关系，从而可求出垂足D,再由直角三角 形法求AD的真长。
作图步骤：1、作垂线；2、求垂足；3、求实长。
【例】 已知交叉两直线AB、CD，作出它们的公垂线MN，并求出这 两条交叉直线之间的距离。
【解】 几何分析: 公垂线MN是与交叉两直线AB、CD都垂直的直线，垂足M与
【例3】 AB是侧平线，CD是一般线， 问：AB与CD相交吗？
解法一
解法二
答案：AB与CD不相交。AB与CD是交叉两直线。
【例4】 问：AB与CD相交吗？
a
●
c
d b
c
b
●
a
d
总结
•
对于一对一般位置直线，要判断它
们是否相交，只需检查任意两面投影交
点的投影连线是否垂直于投影轴即可。
• 对于一对特殊位置直线，要判断它 们是否相交，需要检查 3组同面投影相交， 并且是否符合点的投影规律来判断。
已知: AB∥H， AB⊥BC 。 问：ab⊥cd? 分析：∵AB⊥BC，AB⊥Bb，∴AB⊥□BbcC;
∵AB∥H，∴ab∥AB; ∵AB⊥□BbcC，∴ab⊥□BbcC，ab⊥bc。
【例】 求A点与侧平线BC的距离。
已知条件
【解】
作图过程
几何分析:过点A作BC的垂线，求出垂足D，AD的长度即为所求。
2、两直线平行
B A
D C
a
cb
H
d
投影特性
b b
a 证明d：a
d
所因以ac：： A平B面//CADB，baA//c平a//面CcCDdc
所以c：abb//cd
d
空间两直线平行，则其所有同名投影必 相互平行。反之亦然。
平行两线段之比=各同面投影之比
例1：判断图中两条直线是否平行。
一、直线的投影特性 二、直线上的点的投影特性 三、两直线的相对位置 1、两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。 2、不同相对位置的两直线的投影特性 3、判别两直线的相对位置 4、判别交叉两直线重影点投影的可见性 四、直角投影定理
五、两直线的相对位置 1、两直线的相对位置有三种情况：
平行、相交、交叉。
异面线
共面线
【例】观察分析房屋模型中线段与线段的相对位置。
AB与EF___平__行____。 CG与DH___平__行____。 AB与AP___相__交____。 CD与DH___相__交____。 AE与CD___交__叉____。 AB与CG___交__叉____。
N之间的距离，即为所求。 投影分析：∵AB是铅垂线，MN与AB垂直，∴MN必为水平线。又
MN⊥CD，按一边平行于投影面的直角的投影特性，有mn⊥cd。由于AB是 铅垂线，MN在AB上的垂足M的H面投影m，必积聚在ab上。
作图步骤：1、作垂线mn；2、作垂足n′；3、作m′n′; 4、mn即为所求。
小结： §2－3 直 线 的 投 影
四、 直线上的点的投影特性:
◆ 若点在直线上, 则 点的投影必定在该直线 的同面投影上。
反之，若点的各面 投影均在直线的同面投 影上，则该点必在该直 线上。
a
k
b
K
A
a
k
B
a b
k b
a
◆同一直线上的两线段 k
b
长度之比等于其投影长度
K
之比。即：
B
A
a
k a b
k b
AK/KB=ak/kb= ak / kb= ak / kb
AB与CD交叉
例：试判断两根水管AB和CD的相对位置， 并判别可见性
c’
a’ X
a c
b’
d’ O
d
b
c’ 2‘
3‘ b’
a’
1‘ (4‘) d’
X
O
4
a
2
d
c (1) 3 b
• 交叉的两直线在某些特殊情况下，可 以有一组或两组投影相互平行，但绝不 会出现第三组投影相互平行，如果三组 同面投影平行，那么两直线平行。