三角函数课件解析
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三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
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积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文
三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•三角函数的定义•三角函数的基本性质•三角形中的边角关系•两角和与差的正弦余弦和正切公式•解直角三角形的方法•实例讲解01三角函数的定义1正弦函数23正弦函数是三角函数的一种，记作sin(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。
定义正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分。
图像正弦函数是周期函数，最小正周期为2π。
性质余弦函数是三角函数的一种，记作cos(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。
余弦函数定义余弦函数的图像也称为余弦曲线，它是由一系列的水平和垂直线段组成的。
图像余弦函数是周期函数，最小正周期为2π。
性质图像正切函数的图像也称为正切曲线，它是由一系列的斜线组成的。
定义正切函数是三角函数的一种，记作tan(x)，定义域为所有不等于π/2+kπ(k∈Z)的实数，值域为所有实数。
性质正切函数是奇函数，图像关于原点对称。
正切函数02三角函数的基本性质正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即$f(x+2\pi)=f(x)$和$g(x+2\pi)=g(x)$。
正切函数的周期是π，即$h(x+π)=h(x)$。
周期性1 2 3正弦函数的振幅是1，即$f(x) \in [-1,1]$。
余弦函数的振幅也是1，即$g(x) \in [-1,1]$。
正切函数的振幅需要特别注意，它的振幅不是1，而是没有限制的，即$h(x) \in \mathbf{R}$。
正弦函数和余弦函数的相位可以用正负号来表示，例如$f(x)=sin\omega x$和$g(x)=cos\omega x$，其中$\omega >0$。
正切函数的相位需要特别注意，它没有固定的相位，也就是说$h(x)$中不存在相位的概念。
正弦函数和余弦函数的初相都是一个常数，例如$f(0)=A$和$g(0)=B$。
正切函数的初相需要特别注意，它没有固定的初相，也就是说$h(x)$中不存在初相的概念。
《三角函数》课件
斜边
b
＝ c ；
∠A的对边
(3)∠A的正切：tan A＝ ∠A的邻边 ＝
a
b .
2. 特殊角的三角函数
1
sin30°＝ 2 ，sin45°＝
3
cos30°＝ 2 ，cos45°＝
3
tan30°＝ 3 ，tan45°＝
2
2 ，sin60°＝
2
2 ，cos60°＝
3
2 ；
1
2 ；
1 ，tan60°＝
3.
C．cos58°＜sin58°＜cos28°
D．sin58°＜cos58°＜cos28°
cos32°
对于 cosα，角度越大，函数值越小
3
5
2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sin B= ,则 sin A 的值是( B )
A.
3
5
B.B互余
D.
5
4
sin2A+sin2B=1
《三角函数》
知识梳理
正弦
三
角
函
数
的
定
义
sin A =
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
(0<sinA<1)
余弦
cos A =
正切
∠A的对边
tan A =
(tanA>0)
∠A的邻边
斜边
(0<cosA<1)
锐
角
三
角
函
数
的
计
算
由定义求锐角三角
函数值
由角的度数求锐角
三角函数值
一般锐角的三角
函数值：利用计
算器求解
特殊角的三角函
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
人教A版必修第一册第五章三角函数5.2三角函数的概念-课件
研究：变量 x, y 与 的关系.
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
三角函数的概念 课件(39张)
tan cos = × +1× = .
数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.
因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),
所以 sin α=- ,cos α= ,
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?
解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-
-
-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,
5.2.1 三角函数的概念(教学课件)
y
( ) ( )
o
x
( )( )
y
( ) ( )
o
x
( )( )
y
( ) ( )
o
x
( )( )
sin
cos
tan
正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四象限的 角是负的。
余弦值x 对于第一、四象限的角是
正的，对于第二、三象限的角是 负的。
y
正切值 x 对于第一、三象限的角是正的， 对于第二、四象限的角是负的。
人教A版2019必修第一册
第 5章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念
学习目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义．
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各 象限的符号．
3.掌握公式一并会应用．
复习
1.1弧度的角： 等于半径长的圆弧所对的圆心角
2.角度制与弧度制的换算 180 弧度
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．
例5 求下列三角函数值：
(1) sin148010 (精确到0.001);
(2) cos 9 ; 4
(3)
tan
11 6
可以直接利用计算工具求三角函数的值．用计算工具求值时要 注意设置角的适当的度量制．
(1) sin148010 sin(4010 4 360) sin 4010 0.645
x
x
唯一确定的. 所以, y tan( x 0)也是以角为自变量, 以单位圆上点
x 的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数, 称为正切函数.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （trigonometic function），通常将它们记为：
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质ppt课件.ppt
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
注 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期 性是: 弦减半、切不变.
课
前 热 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
身
1.给出四个函数:
(A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
要特别注意, 若由 或向右平移应平移 |
y=s| i个n(单x位) 得. 到
y=sin(x+)
的图象,
则向左
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(xR) 是奇函数, 对称中心是 (k, 0)(kZ), 对 对称称轴 中是 心直 是线(kx+=k2,+0)2(k(kZZ),);对余称弦轴函是数直y线=coxs=xk(x(kR)Z是)(偶正函, 数余,
1、 解：（1） m n 2 3sin xcos x 2cos2 x
作函数
y
2
s
in(1
x
3
)
的图象，并说明图象可
由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换得到.
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
三角函数的定义ppt课件
(2) 熟 记 几 组 常 用 的 勾 股 数 组 ， 如 (3,4,5) ， (5,12,13) ， (7,24,25)，(8,15,17)，(9,40,41)等，会给我们解题带来很多方便．
(3)若角 α 已经给定，不论点 P 选择在 α 的终边上的什么 位置，角 α 的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角 α 终 边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 α 的三角 函数值也都是确定的.
∴角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上． (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜178(k∈Z)． ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为27π， 2201π，3241π.
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互 化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． 3.借助单位圆中理解三角函数线。
一．角及有关概念
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边 ，旋转终止时的射线 OB 叫做角的终边 ，按逆 时针 方向旋转所形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转所形成的 角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
(2)若 θ 是第二象限角，则csoinsscions2θθ的符号是什么？ [分析] (1)由点 P 所在的象限，知道 sinθ·cosθ，2cosθ 的 符号，从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ，sin2θ 的范围，进而把 cosθ，sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在 的象限，从而 sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
(3)若角 α 已经给定，不论点 P 选择在 α 的终边上的什么 位置，角 α 的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角 α 终 边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 α 的三角 函数值也都是确定的.
∴角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上． (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜178(k∈Z)． ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为27π， 2201π，3241π.
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互 化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． 3.借助单位圆中理解三角函数线。
一．角及有关概念
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边 ，旋转终止时的射线 OB 叫做角的终边 ，按逆 时针 方向旋转所形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转所形成的 角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
(2)若 θ 是第二象限角，则csoinsscions2θθ的符号是什么？ [分析] (1)由点 P 所在的象限，知道 sinθ·cosθ，2cosθ 的 符号，从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ，sin2θ 的范围，进而把 cosθ，sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在 的象限，从而 sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
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(A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
思考：
在Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，直角 边AC=1，∠ABC=30°,延长CB到D，连接 AD使∠D=15°求tan15°的值。
A
D
B
C
四、解直角三角形
1、解直角三角形的定义：
注意
▪ sinA、cosA、tanA、是一个完整的符号， 它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去 角的符号“∠”；
▪ sinA、cosA，tanA没有单位，它表示一 个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边 的比、邻边与斜边的比，对边与邻边的比；
▪ sinA不表示“sin”乘以“A”，cosA不表 示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan” 乘以“A”
2
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围
确定值的范围
1. 当 锐角A>45°时，sinA的
值（ B ）
(A)小于
2 2
(C) 小于 3
2
(B)大于
2 2
(D)大于 3
2
2. 当锐角A>30°时，cosA的
值（ C ）
(A)小于
1 2
(C) 小于 3
2
(B)大于
1 2
(D)大于 3
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2
CAD 30
A
6 43
因为AD平分∠BAC
CAB 60, B 30 C D
B
AB 12, BC 6 3
例2、 如图，在△ABC中，∠A=30度，tanB 3 , AC 2 3,
2
求AB。
C
解：过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30度， AC 2 3
cos A b , cos B a
c
c
式
tan A a , tan B b
b
a
在直角三角形的5个元素中（除直角外），根据
以上关系只要已知两个（至少有一个是边），就可
求出其余的三个来
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
2
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
确定角的范围
1. 当∠A为锐角，且tgA的值
大于 3 时，∠A（ B ）
3
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
2. 当∠A为锐角，且tanA的
值小于 3 时，∠A（ C ）
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
解：根据勾股定理
B
C a2 b2 302 202 10 13 tan A a 30 3 1.5
b 20 2
c a=30
A b=20 C
A 56.3
B 90 A 90 56.3 33.7
sin A CD 1 CD 1 2 3 3
AC 2
2
A
cos A AD 3 AD 3 2 3 3
AC 2
2
D
B
tan B CD 3 BD 2
BD
3 2 2 3
AB AD BD 3 2 5
练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
(3)同角的正弦 和余弦,与正切 有何关系？
二、几个重要关系式
B
tanA·tan(90°- A )=1
c a
tanA=
sin A cos A
sin2A+cos2A=1
A
b
C
sinA=cos（90°- A ）=cosB cosA=sin（90°- A）=sinB
练习2
⑴ 已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A
一、基本概念
B
c a
a 1.正弦 sinA= c A
b
C
b 2.余弦 cosA= c
a 3.正切 tanA= b
锐角三角函数的定义:
锐角A的正弦、余弦、 正切、都叫做∠A的锐角三角 函数.
对于锐角A的每 一个确定的值sinA 有唯一确定的值与 它对应，所以sinA 是A的函数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
rldmm8989889
练习1
如右图所示的Rt⊿
A
ABC中∠C=90°，
a=5，b=12，5
c b
那么sinA= _1_3___，
cosA=__11_23___
B
,
aC
cosB=___15_3__，
5
tanA = ___1_2__
思考
(1)互余两角的 正弦与余弦有 何关系？
(2)同角的正弦 与余弦的平方 和等于？
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
确定角的范围
3. 当∠A为锐角，且cosA= 1
5
那么（ D ） (A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
1
4. 当∠A为锐角，且sinA= 3 那么（ A ）
角度
三角函数
sinα
3 0°
1 2
cosα
3
2
ta锐n角α A的正弦值、
余弦值有无变化范
3 3
围？
0< sinA<1
45 °
2 2 2 2
1
6 0°
3 2
1 2
3
0<cosA<1
☆ 练一练
1.已知角，求值
求下列各式的值
1. 2sin30°+3tan30°+tan45° 2. cos245°+ tan60°cos30°
cos45o sin 30o 3. cos45o sin 30o
☆ 应用角
求锐角A的值
1. 已知 tanA= 3 ，求锐角A .
2. 已知2cosA - 3 = 0 , 求锐角A的度数 .
解：∵ 2cosA - 3 = 0 ∴ 2cosA = 3
∴cosA= 3 ∴∠A= 30°
由直角三角形中除直角外的已知两个元 素（至少有一个是边），求出其余的三个未 知元素的过程，叫做解直角三角形．
2、几个常用关系（依
B
据）：
角与角的关系：∠A＋ ∠ B＝90° c
a
解直角
边与边的关系：
a2+b2=c2（勾股定理）
A
┌
b
C
三角形
sin A a ,sin B b
c
c
边与角的关系： 三角函数关系
为锐角，且tanA=0.6，tanB3=/(5 ).
⑵ sin2A+tanAtanB -2+cos2A=( 0 )
⑶ tan44°tan46°=1( ).
(4)tan29°tan60°tan61°3=( ).
(5) sin53°cos37°+cos53°sin37°
=（ 1 ）
三、特殊角三角函数值
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
思考：
在Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，直角 边AC=1，∠ABC=30°,延长CB到D，连接 AD使∠D=15°求tan15°的值。
A
D
B
C
四、解直角三角形
1、解直角三角形的定义：
注意
▪ sinA、cosA、tanA、是一个完整的符号， 它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去 角的符号“∠”；
▪ sinA、cosA，tanA没有单位，它表示一 个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边 的比、邻边与斜边的比，对边与邻边的比；
▪ sinA不表示“sin”乘以“A”，cosA不表 示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan” 乘以“A”
2
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围
确定值的范围
1. 当 锐角A>45°时，sinA的
值（ B ）
(A)小于
2 2
(C) 小于 3
2
(B)大于
2 2
(D)大于 3
2
2. 当锐角A>30°时，cosA的
值（ C ）
(A)小于
1 2
(C) 小于 3
2
(B)大于
1 2
(D)大于 3
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2
CAD 30
A
6 43
因为AD平分∠BAC
CAB 60, B 30 C D
B
AB 12, BC 6 3
例2、 如图，在△ABC中，∠A=30度，tanB 3 , AC 2 3,
2
求AB。
C
解：过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30度， AC 2 3
cos A b , cos B a
c
c
式
tan A a , tan B b
b
a
在直角三角形的5个元素中（除直角外），根据
以上关系只要已知两个（至少有一个是边），就可
求出其余的三个来
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
2
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
确定角的范围
1. 当∠A为锐角，且tgA的值
大于 3 时，∠A（ B ）
3
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
2. 当∠A为锐角，且tanA的
值小于 3 时，∠A（ C ）
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
解：根据勾股定理
B
C a2 b2 302 202 10 13 tan A a 30 3 1.5
b 20 2
c a=30
A b=20 C
A 56.3
B 90 A 90 56.3 33.7
sin A CD 1 CD 1 2 3 3
AC 2
2
A
cos A AD 3 AD 3 2 3 3
AC 2
2
D
B
tan B CD 3 BD 2
BD
3 2 2 3
AB AD BD 3 2 5
练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
(3)同角的正弦 和余弦,与正切 有何关系？
二、几个重要关系式
B
tanA·tan(90°- A )=1
c a
tanA=
sin A cos A
sin2A+cos2A=1
A
b
C
sinA=cos（90°- A ）=cosB cosA=sin（90°- A）=sinB
练习2
⑴ 已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A
一、基本概念
B
c a
a 1.正弦 sinA= c A
b
C
b 2.余弦 cosA= c
a 3.正切 tanA= b
锐角三角函数的定义:
锐角A的正弦、余弦、 正切、都叫做∠A的锐角三角 函数.
对于锐角A的每 一个确定的值sinA 有唯一确定的值与 它对应，所以sinA 是A的函数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
rldmm8989889
练习1
如右图所示的Rt⊿
A
ABC中∠C=90°，
a=5，b=12，5
c b
那么sinA= _1_3___，
cosA=__11_23___
B
,
aC
cosB=___15_3__，
5
tanA = ___1_2__
思考
(1)互余两角的 正弦与余弦有 何关系？
(2)同角的正弦 与余弦的平方 和等于？
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
确定角的范围
3. 当∠A为锐角，且cosA= 1
5
那么（ D ） (A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
1
4. 当∠A为锐角，且sinA= 3 那么（ A ）
角度
三角函数
sinα
3 0°
1 2
cosα
3
2
ta锐n角α A的正弦值、
余弦值有无变化范
3 3
围？
0< sinA<1
45 °
2 2 2 2
1
6 0°
3 2
1 2
3
0<cosA<1
☆ 练一练
1.已知角，求值
求下列各式的值
1. 2sin30°+3tan30°+tan45° 2. cos245°+ tan60°cos30°
cos45o sin 30o 3. cos45o sin 30o
☆ 应用角
求锐角A的值
1. 已知 tanA= 3 ，求锐角A .
2. 已知2cosA - 3 = 0 , 求锐角A的度数 .
解：∵ 2cosA - 3 = 0 ∴ 2cosA = 3
∴cosA= 3 ∴∠A= 30°
由直角三角形中除直角外的已知两个元 素（至少有一个是边），求出其余的三个未 知元素的过程，叫做解直角三角形．
2、几个常用关系（依
B
据）：
角与角的关系：∠A＋ ∠ B＝90° c
a
解直角
边与边的关系：
a2+b2=c2（勾股定理）
A
┌
b
C
三角形
sin A a ,sin B b
c
c
边与角的关系： 三角函数关系
为锐角，且tanA=0.6，tanB3=/(5 ).
⑵ sin2A+tanAtanB -2+cos2A=( 0 )
⑶ tan44°tan46°=1( ).
(4)tan29°tan60°tan61°3=( ).
(5) sin53°cos37°+cos53°sin37°
=（ 1 ）
三、特殊角三角函数值