离散数学习题课-集合

判断A ∪(B⊕C) = (A ∪ B)⊕(A ∪ C)是否成立 ⊕ ⊕
A
C
B
A
C
B
文 氏 图 不 等
B⊕C
A ∪(B⊕C) ⊕
A
C
B A
C
B
A
C
B
(A ∪ B)-(A ∪ C) (A ∪ C)-(A ∪ B) -
(A ∪ B)⊕(A ∪ C) ⊕
习题课
判断以下命题的真假，并说明理由 判断以下命题的真假，并说明理由. （1）A−B = A ⇔ B=∅ ） − ∅ （2）A−(B∪C) = (A−B)∩(A−C) ） − ∪ − ∩ − （3）A⊕A = A ） ⊕ （4）如果 ∩B = B，则A = E. ）如果A∩ ， （5）A = {x}∪x，则 x∈A且x ⊆ A. ） ∪ ， ∈ 且
习题课
证明 A∪B = A∪C ∧ A∩B = A∩C ⇒ B = C ∪ ∪ ∩ ∩
方法一： 方法一：恒等代入法 B = B∩(A∪B) ∩ ∪ = B∩(A∪C) = (B∩A)∪(B∩C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = (A∩C)∪(B∩C) = (A∪B)∩C ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = (A∪C)∩C = C ∪ ∩
习题课
• 熟练掌握集合的两种表示法 • 能够判别元素是否属于给定的集合 • 能够判别两个集合之间是否存在包含、相 能够判别两个集合之间是否存在包含、 等、真包含关系 • 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广 熟练掌握集合的基本运算（ 义运算） 义运算） • 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方 法
习题课
主要内容 • 集合的两种表示法 • 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的 集合与元素之间的隶属关系、 包含关系的区别与联系 • 特殊集合：空集、全集、幂集 特殊集合：空集、全集、 • 文氏图及有穷集合的计数 包含排斥原理 文氏图及有穷集合的计数(包含排斥原理 包含排斥原理) • 集合的∪, ∩, −, ∼, ⊕等运算以及广义∪, ∩运 集合的∪ 等运算以及广义∪ 算 • 集合运算的算律及其应用 证明 集合运算的算律及其应用(证明 证明)
习题课
判断下列命题是否为真 (1) ∅⊆∅ (2) ∅∈∅ (3) ∅⊆ ∅} ∅⊆{∅ (4) ∅∈ ∅} ∅∈{∅ (5) { a, b } ⊆ { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } ∈{ a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} ⊆ { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} ∈{ a, b, {{a,b}}} 为真， 解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假 、 、 、 、 、 为真 其余为假.
C = {6,7}
A – B – C = ？ A – (B – C) = ？ A – B – C ？ A – (B – C)
Test3Test3-Answer
1 A = {2,3,6}, B = { ,2,4,7}
C = {6,7}
A – B – C = {3} A – (B – C) = {3,6} A – B – C ≠ A – (B – C)
习题课
解 (1) B=∅是A−B=A的充分条件，但不是必要条 的充分条件， ∅ − 的充分条件 件. (2) 这是 这是D.M律，命题为真 律 命题为真. (3) 不符合算律，A≠∅时假. 不符合算律， ≠∅时假 ≠∅时假 (4) 命题不为真 A∩B=B的充分必要条件是 命题不为真. ∩ 的充分必要条件是 B⊆A，不是 ⊆ ，不是A=E. (5) 命题为真，因为 x 既是 A 的元素，也是 A 命题为真， 的元素， 的子集
2. P = {{a, b}, c}, Q = {a, b, c}
P≠Q
3. A = {x x(x −1) = 0}B = {0,1 } A= B 4.{a} ≠ {{a}}, {a}∈{{a}}
Test2
1 A = {2,5,6}, B = { ,2,4,7}
A− B = ?
B− A=
?
A = {0,1,2}, B = {1,2} A− B = ? B − A = ？
方法二：反证法. 方法二：反证法 假设 B ≠ C，则存在 x (x∈B且x∉C), 或存在 x (x∈C且x∉B). ， ∈ 且 ∉ ∈ 且 ∉ 不妨设为前者. 不妨设为前者 属于A， 属于A∩ 不属于A∩ ，与已知矛盾； 若x属于 ，则x属于 ∩B 但x不属于 ∩C，与已知矛盾； 属于 属于 不属于 不属于A， 属于A∪ 但 不属于 不属于A∪ ，也与已知矛盾. 若x不属于 ，则x属于 ∪B但x不属于 ∪C，也与已知矛盾 不属于 属于
A– B ？ B –A
Test2Test2-Answer
1 A = {2,5,6}, B = { ,2,4,7}
A − B ={5,6}, B − A = {1,4,7}.
A = {0,1,2}, B = {1,2} A − B = {0}, B − A = φ
A– B ≠ B –A
Test3
1 A = {2,3,6}, B = { ,2,4,7}
习题课
证明 A∪B = A∪C ∧ A∩B = A∩C ⇒ B = C ∪ ∪ ∩ ∩ 解题思路 • 分析命题：含有3个命题： 分析命题：含有3个命题： A∪B = A∪C , A∩B = A∩C, B = C ∪ ∪ ∩ ∩ ① ② ③ • 证明要求 前提：命题①和② 前提：命题① 结论：命题③ 结论：命题③ • 证明方法： 证明方法： 恒等式代入、 恒等式代入、反证法 利用已知等式通化简或恒等变形. • 查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符， 查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符， 结果为真. 结果为真 • 注意以下两个重要的充要条件 A−B = A ⇔ A∩B = ∅ − ∩ A−B = ∅ ⇔ A⊆B ⇔ A∪B = B ⇔ A∩B = A − ⊆ ∪ ∩ 如果与条件相符，则命题为真. 如果与条件相符，则命题为真 • 如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文 如果不符合算律，也不符合上述条件， 氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立 如果成立， 氏图表示集合，看看命题是否成立 如果成立，再 给出证明. 给出证明 • 试着举出反例，证明命题为假 试着举出反例，证明命题为假.
习题课
证明 A∪B = A∪C ∧ A∩B = A∩C ⇒ B = C ∪ ∪ ∩ ∩
方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式. 方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式 由已知等式① 由已知等式①和②可以得到 (A∪B)− (A∩B) = (A∪C)− (A∩C) ∪ − ∩ ∪ − ∩ 即 A⊕B = A⊕C ⊕ ⊕ 从而有 A⊕(A⊕B) =A⊕(A⊕C) ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ 根据结合律得 (A⊕A)⊕B = (A⊕A) ⊕C ⊕ ⊕ ⊕ 由于A⊕ 化简上式得B 由于 ⊕A = ∅, 化简上式得 = C.
2. P = {{a, b}, c}, Q = {a, b, c}
P?Q
3. A = {x x(x −1) = 0}B = {0,1 } A? B 4.{a}?{{a}}
Test1Test1-Answer
1.{a, b, c} = {c, b, a} = {a, c, b} = {a, a, b, c, c, c}
习题课
(1) 判断元素 与集合 的隶属关系是否成立基本方法： 判断元素a与集合 的隶属关系是否成立基本方法： 与集合A的隶属关系是否成立基本方法 作为整体检查它在A中是否出现 中是否出现， 把 a 作为整体检查它在 中是否出现，注意这里的 a 可能是集合表达式 可能是集合表达式. (2) 判断 ⊆B的四种方法 判断A⊆ 的四种方法 • 若A,B是用枚举方式定义的，依次检查 的每个元素 是用枚举方式定义的， 是用枚举方式定义的 依次检查A的每个元素 是否在B中出现 中出现. 是否在 中出现 • 若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为 是谓词法定义的， 中元素性质分别为P 是谓词法定义的 中元素性质分别为 那么“ 当且仅当Q”意 和Q, 那么“若P则Q”意味 A⊆B，“P当且仅当 意 则 意味 ⊆ ， 当且仅当 味 Ａ =Ｂ ． • 通过集合运算判断 ⊆B，即A∪B = B, A∩B = A, A−B 通过集合运算判断A⊆ ， ∪ ∩ − = ∅三个等式中有一个为真 三个等式中有一个为真. • 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断， 不是证明） 不是证明）
习题课
解 (1) 和S5不交的子集不含有 和5，因此 X=S2. 不交的子集不含有3和 ， (2) S4的子集只能是 4和S5. 由于与 2不交，不 的子集只能是S 由于与S 不交， 能含有偶数， 能含有偶数，因此 X=S5. (3) S1, S2, S3, S4和S5都是 1的子集，不包含在 都是S 的子集， S3的子集含有偶数，因此 X=S1, S2或S4. 的子集含有偶数， (4) X−S3=∅意味着 X是S3的子集，因此 X=S3 − ∅ 是 的子集， 或 S5. (5) 由于 3是S1的子集，因此这样的 不存在 由于S 的子集，因此这样的X不存在 不存在.
习题课
设 S1={1, 2, … , 8, 9}， S2={2, 4, 6, 8} ， S3={1, 3, 5, 7, 9} S4={3, 4, 5} S5={3, 5} 确定在以下条件下X是否与 是否与S 确定在以下条件下 是否与 1,…,S5中某个集合 相等？如果是，又与哪个集合相等？ 相等？如果是，又与哪个集合相等？ （1）若 X∩S5=∅ ） ∩ ∅ （2）若 X⊆S4但 X∩S2=∅ ） ⊆ ∩ ∅ （3）若 X⊆S1且 X ⊈S3 ） ⊆ （4）若 X−S3=∅ ） − ∅ （5）若 X⊆S3 且 X ⊈ S1 ） ⊆
习题课
使用包含排斥原理求不超过120的素数个数 使用包含排斥原理求不超过 的素数个数. 的素数个数