杭州二中2018-2019学年高一下期中考试数学试卷及答案

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2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】

2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列中，若，，则的值为（）A. B. ___________________________________ C.D.2. 在中，已知，则等于（）A． B. _________________________________ C.D.3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则实数的值是（）A. _______________________B. ____________________________C.或____________________________ D. 或4. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（）A. ________________________B. ______________________C.______________________ D.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．____________________ B. ______________ C.___________ D.6. 若，则一定有（）A. _________________________________B.____________________________ C．______________________________ D.7. 直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. ___________________________________B._________________________________ C. ______________________________ D.8. 已知是上的奇函数,数列满足,则数列的通项公式为（）A. ________________________B. ________________________C.________________________ D.二、填空题9. 已知直线，直线；若直线的倾斜角为，则______________ ，若，则______________ .10. 若规定，则______________ ，不等式的解集为______________ .11. 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，，则___________ ，______________ .12. 在中，内角的对边分别为，已知， ,，则______________ ，边______________ .13. 若是等差数列的前项和，且，则______________ .14. 在中，内角的对边分别为，已知，则角______________ .15. 设数列满足：，则的前项的和为______________ .三、解答题16. 已知直线 .（Ⅰ ）证明：直线过定点；（Ⅱ ）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.17. 在中内角的对边分别为，已知．（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）求的取值范围．18. 已知等差数列的前项和为，，，是递减的等比数列，且， .（Ⅰ ）求，；（Ⅱ ）求数列的前项和 .19. 已知不等式 .（Ⅰ ）若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ ）若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且，数列满足.（Ⅰ ）求数列、的通项公式；（Ⅱ ）数列满足，记，求使恒成立的实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题(解析版)

杭州地区七校2018-2019学年高一第二学期期中联考数学试题一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式和特殊角的三角函数值可得所求三角函数的值.【详解】由题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.【点睛】本题主要考查向量的定义与向量的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，由向量平行求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.【详解】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.5.已知为等差数列，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用等差数列的性质可得的值.【详解】由等差数列的性质有：. 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于基础题. 6.函数（）是（）A. 最小正周期是 B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称 D. 偶函数【答案】D 【解析】【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后考查函数的性质即可. 【详解】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A说法错误；在区间上是减函数，选项B说法错误；函数不存在对称点，选项C说法错误；，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质，三角函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定数列的周期性，然后结合周期性可得的值.【详解】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，周期数列的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得的值，据此可得的值.【详解】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b的值.【详解】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则和平面向量基本定理整理计算可得的值.【详解】由题意可得：，注意到，故，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。

浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题 PDF版含答案

2

2
(a − 2b)(a + b)= − 6 ……5 分
（2） 2a − b =

2 (2a − b)=
2 2 4a − 4a b + b ……8 分
a − 2b = 2 3 ……10 分
1
20.（本小题满分 12 分）（1）因为 a7 =6 ， a10 = − 3
π
3
a = 2sin A , c = 2sin C ……7 分
2
1 π 3 3 所以 a − = c 2sin A − sin C = 2sin A − sin( A + = ) sin A − cos A ……9 分 2 3 2 2
因为 b ≤ a ，所以所以 a − c =
1 2
2π π π π ， ≤ A− < ……10 分 3 3 6 6 2 π 3 ………………………12 分 3 sin （A − ) ∈ ，3 6 2 ≤ A<
考生须知： 1．本卷满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1． sin
AE = AB +
2 AC ，则的值为（） 3
A．
1 3
B． −
1 3
C． −
1 6
D．
1 6
高一数学试题第2页（共 4 页）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分。 11．已知向量 a = (1, 2) ， b = (2, −1) ， | a |= _____， a • b = ______． 12．函数 f ( x) = A sin( x + ) ( A, , 是常数，A 0, 0) 的部分图象如图，则

数学卷·2018届浙江省杭州二中高一下学期期中考试

2018届杭州二中第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，6π=B ，则ABC ∆的面积等于（） A.23 B.43 C.23或3 D.23或43 2．已知P 是边长为2的正ABC ∆的边BC 上的动点，则)(→→→+⋅AC AB AP （） A ．有最大值8 B ．是定值6 C ．有最小值2 D ．是定值2 3．数列}{n a 满足21=a ，)(11*1N n a a nn ∈-=+，则2016a =（） A ．-2 B ．-1 C ．2 D ．21 4．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则)122sin(πα-的值为（） A.23 B.23- C.21 D.21-5．若10,0,cos ,cos 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则c o s 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )B. D. 6．在ABC ∆中，B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．以上都可能 7．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a ，b 为常数，R x ∈）在3π=x 处取得最小值，则函数)32(x f y -=π的图像关于（）中心对称. A.)0,65(π B. )0,32(π C.)0,2(π D.)0,3(π8．若B A ,是锐角三角形ABC 的两个内角，则以下选项中正确的是（） A ．B A sin sin < B ．B A cos sin <C ．1tan tan >B AD ．1tan tan <B A9．已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且5546++=n n B A n n ，则使得n nb a 为整数的正整数n 的个数是（）A.5B.4C.3D.210．扇形OAB 中，90=∠AOB ,2=OA ，其中C 是OA 的中点，P 是AB 弧上的动点（含端点），若实数μλ,满足→→→+=OB OC OP μλ，则μλ+的取值范围是（） A.]2,1[ B.]3,1[ C.]2,1[ D.]5,1[ 二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11．2sin 12sin 1++-=_________.12．已知数列}{n a 是等差数列，1272=+a a ，3554=a a ，则n a =_______. 13．已知),0(,πβα∈，且71cos =α，1435)sin(=+βα，则βcos =_________. 14．在ABC ∆中，O 为ABC ∆的外心，满足→→→→=++017815CO BO AO ，则C ∠=___________.15．已知ABC R ∆t 中，两直角边分别为a 、b ，斜边和斜边上的高分别为c 、h ，则ba hc ++2的取值范围是_________.16．若正实数x ，y ，z 满足922=+y x ，1622=++xz z x ，25322=++yz z y ，则yz xz xy ++32=__________.三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为a ，b ，c ，且c o s Cc o s =A ．（1）求角A 的值；（2）若6π=∠B ，BC 边上中线7=AM ，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分10分）已知数列}{n a ，设其前n 项和为n S ，满足205=S ，48-=S . （1）求n a 与n S ；（2）设21++=n n n n a a a c ，n T 是数列}{n c 的前n 项和，若对任意+∈N n ，不等式3466-≤m T n 恒成立，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分12分）如图，某房产开发商计划在一正方形土地ABCD 内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形APQ ，其中P 位于边CB 上，Q 位于边CD 上. 已知，4π=∠PAQ ，设θPAB =∠，记绿化率面积正方形面积ABCD PAQ L ∆-=1，若L 越大，则住宅区绿化越好. (1)求)(θL 关于θ的函数解析式；(2)问当θ取何值时，L 有最大值？并求出L 的最大值.20.（本小题满分14分）已知(sin ,cos ),(sin ,),(2cos ,sin )a x x b x k c x x k ===--. （1）当[0,]4x π∈时，求b c +的取值范围；（2）若()()g x a b c =+⋅，求当k 为何值时，()g x 的最小值为32-.杭州二中2015学年第二学期高一年级期中考试数学答案二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．2sin1 12．2n-3或15-2n 13．14．15．16．24三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(1);(2).解析：（1），由正弦定理，得，化简得，．（2），，可知为等腰三角形．在中，由余弦定理，得，即，解得．的面积．解析：（1）..(2)，，且当时，都有，所以当时，的值最大，此时，由，得18.解析：（1），，（2）当时，有最大值.20.1．（1）；（2）．解析：（1），其中，，又，，在上单调递减，，（2）令，则，且，所以．所以可化为，对称轴．①当，即时，，由，得，所以．因为，所以此时无解．②当，即时．由，得．③当，即时，．由，得，所以．因为，所以此时无解．综上所述，当时，的最小值为．。

2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 (2)word文档逐题详解

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）1.如果点位于第三象限，那么角所在象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解：因为点在第三象限，因此则有利用三角函数的符号可知，角所在的象限是第二象限2.若角的终边所在直线上有一点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三角函数的定义，有tan420°=．∵tan420°=tan（360°+60°）=tan60°=，∴，∴a=–4，故选B．3.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：个位数与十位数之知为奇数一两位数共有个，从中任取一个共有45个不同的结果，由于是随机抽取的，每个结果出现的可能性是相等的，其中个位数为的有个，由古典概型的概率公式得所求概率为：，故选D.考点：1、排列组合；2、古典概型.【此处有视频，请去附件查看】4.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的( )A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B【解析】【分析】根据程序框图运行程序，依次判断符合的条件运算，直到时输出.【详解】根据程序框图运行程序，输入，且此时且此时且此时且此时且此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果的问题，属于基础题.5.圆在点处的切线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：圆的方程化为标准方程是(x-2)2+y2=4,点P是圆上的点,由圆的切线的几何性质知,圆心与切点的连线与切线垂直,所以切线的斜率为,故切线方程是(y-)=x-1，即.考点：直线与圆的位置关系.6.设计一个计算的算法．如图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是( )A. 13B. 13.5C. 14D. 14.5 【答案】A【解析】【分析】依次填入各个选项中的数字，根据算法验证输出的结果即可.【详解】当填入数字为时，根据算法输出的，不符合题意填入选项的数字时，都能保证输出的，符合题意本题正确选项：【点睛】本题考查算法中的语言，属于基础题.7.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为．考点：1．古典概型；8.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心（，）C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y 与x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选：D．【此处有视频，请去附件查看】9.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.【此处有视频，请去附件查看】10.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC、CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】设AC="x" cm (0<x<12)则CB="12-x" cm，则矩形面积，即，解得，在数轴上表示为由几何概型概率公式得，概率为，故选C考点定位：本题考查概率问题，意在考查考生对概率中的几何概型的理解能力【此处有视频，请去附件查看】11.已知某运动员每次投篮命中的概率等于．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )A. 0.35B. 0.25C. 0.20D. 0.15 【答案】B【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113共两个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮都命中的概率为0，故选C．【此处有视频，请去附件查看】12.采用系统抽样方法从人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为A. B. C. D.【答案】C【解析】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝，因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．考点：系统抽样.此处有视频，请去附件查看】第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．）13.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．【答案】15【解析】【分析】根据概率计算出球的总数，再根据频率计算出白球的个数，从而可得黑球个数.【详解】由题意可知，球的总数为：个白球的个数为：个黑球的个数为：个本题正确结果：【点睛】本题考查频率、频数、总数的关系，属于基础题.14.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．【答案】33【解析】【分析】根据几何概型的基本原理可构造方程求得结果.【详解】设阴影部分面积为由几何概型可知：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型基本原理的应用，属于基础题.15.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，输出，若输入的为20，依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则________．【答案】30【解析】【分析】根据程序框图可知和分别为中最大和最小的数，通过已知中的取值得到和的具体值，从而求得差值.【详解】由于，且时将值赋给，因此为中最大的数由于，且时将值赋给，因此为中最小的数，本题正确结果：【点睛】本题考查根据程序框图判断框图的作用，属于中档题.16.当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.【详解】为恒过的直线则曲线图象如下图所示：由图象可知，当直线斜率时，曲线与直线有两个相异交点与半圆相切，可得：解得：又本题正确结果：【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线的范围，误认为曲线为圆.三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

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杭州二中第二学期高一年级期中考试数学试卷注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈ B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈ C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈ D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58- D.79-A. D.C.B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+9.若关于x的方程2sin210x x m -++=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,1--B.(0,1-C.(-D.(0,1+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-，若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.第15题第8题③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j + 3j + 2j -，2 i j -的坐标表示的点共圆. ④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式；（2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值；（3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=，2||=，与的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||t +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+，于是77272||||cos ==⋅+=a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t t ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(. 18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值；（3）设)1),6((π-=x f ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅恒成立，求实数m 的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3s i n (20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x 1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是 01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立，因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值；（2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4s i n (0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有个根，]503,0[π有个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有个根.。

浙江杭州二中18-19学度高一下学期年中考试-数学

浙江杭州二中18-19学度高一下学期年中考试-数学【一】选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分. 1、cos75cos15sin 255sin15⋅-⋅的值是〔〕〔A 〕0 〔B 〕12 〔C 〕32 〔D 〕1 2、函数2(sin cos )1y x x =+-是〔〕〔A 〕最小正周期为π2的偶函数〔B 〕最小正周期为π2的奇函数〔C 〕最小正周期为π的偶函数〔D 〕最小正周期为π的奇函数3、假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么那个新的三角形的形状为〔〕〔A 〕锐角三角形〔B 〕直角三角形〔C 〕钝角三角形〔D 〕由增加的长度决定 4、以下说法中，正确的个数为〔〕〔1〕AB MB BC OM CO AB ++++= 〔2〕向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,那么k 的取值范围是0k <〔3〕假设向量1213(2,3),(,)24e e =-=-能作为平面内所有向量的一组基底〔4〕假设//a b ，那么a 在b 上的投影为||a〔A 〕1个〔B 〕2个〔C 〕3个〔D 〕4个5、330,cos ,sin()255παβπααβ<<<<=+=-，那么cos β的值为〔〕〔A 〕－1 〔B 〕－1或725- 〔C 〕2425-〔D 〕2425± 6、ABC ∆中，2=AB ,3π=C ,那么ABC ∆的周长为〔〕〔A 〕2)3sin(34++πA〔B 〕2)6sin(34++πA〔C 〕2)6sin(4++πA〔D 〕2)3sin(8++πA7、假设cos 22sin 4απα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么sin 2α的值为〔〕〔A 〕34〔B 〕34-〔C 〕12〔D 〕12-8、在ABC ∆中，3,2AB BC AC ===，假设O 为ABC ∆的垂心，那么AO AC ⋅的值为()〔A 〕2〔B 〕73〔C 〕3〔D〕59、如图，放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴(含原点)上滑动，那么OB OC ⋅的最大值是〔〕〔A 〕1〔B 〕2〔C〕D 〕以上均不对10.假设,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足112a b c+<，那么C ∠的取值范围是〔〕〔A 〕,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭〔B 〕,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭〔C 〕0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭〔D 〕0,3π⎛⎫⎪⎝⎭【二】填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分. 11、a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b =那么5a b -=、12、tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan10_______.++=13、,,a b c 是ABC ∆的三边,S 是ABC ∆的面积,假设4,5,a b S ===那么_________c =.14、如图，,,O A B 是平面上三点，向量||OA =3，||OB =2，设P 是线段AB 垂直平分线上一点，那么()OP OA OB ⋅-的值为__________.15、向量,,a b c 满足||||2,||1,()()0a b c a c b c ===--=，那么||a b -的取值范围是_______________、【三】解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分. 16、〔本小题总分值10分〕,a b 是两个单位向量、〔Ⅰ〕假设|32|3a b -=，试求|3|a b +的值；〔Ⅱ〕假设,a b 的夹角为60，试求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角、17、〔本小题总分值10分〕函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πφφφφπ=+-+<<，其图像过点1(,)62π、〔Ⅰ〕求φ的值；〔Ⅱ〕假设不等式22()cos 2sin 216f x x m x m π+<-++对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m的取值范围、18、〔本小题总分值10分〕某观看站C 在A 城的南偏西20方向，由A 城动身的一条公路，走向是南偏东40，距C 处31千米的公路上的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 地，如今CD 距离为21千米、〔Ⅰ〕此人还需走多少千米才能到达A 城；〔Ⅱ〕在如下图的平面内，假设以A 为圆心，AC 为半径作圆交BA 于E 点，在劣弧CE 上有一动点P ，过P 引平行于AC 的直线和AE 交于点F ，试求APF ∆面积的最大值、19、〔本小题总分值10分〕三角形ABC 中，,,a b c 分别表示角,,A B C 对应的三边、〔Ⅰ〕假设36c B ==，AC边上的中线BD =sin A 的值；〔Ⅱ〕假设ABC ∆的垂心为H ，外心为O ，且满足OH OA OB OC =++，假设1,,A H B H B C =，试求::AOB AOC BOCS S S ∆∆∆、杭州二中2017学年第二学期高一年级期中考试数学参考答案【一】选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.【二】填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.11、________7__________； 12、________1__________； 13、______； 14、_______52__________；15、______1⎤⎦_______；【三】解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分.16、〔本小题总分值10分〕,a b 是两个单位向量、〔Ⅰ〕假设|32|3a b -=，试求|3|a b +的值；17、〔本小题总分值10分〕函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πφφφφπ=+-+<<，其图像过点1(,)62π、〔Ⅰ〕求φ的值；〔Ⅱ〕假设不等式22()cos 2sin 216f x x m x m π+<-++对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m的取值范围、解答：〔1〕211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ=+-+(0)ϕπ<< ∴11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=+-， 1111sin 2sin cos 2cos (sin 2sin cos 2cos )cos(2)2222x x x x x ϕϕϕϕϕ=+=+=- 又函数图像过点1(,)62π∴11cos(2)226πϕ=⨯-即cos()13πϕ-=又0ϕπ<<∴3πϕ=18、〔本小题总分值10分〕某观看站C 在A 城的南偏西20方向，由A 城动身的一条公路，走向是南偏东40，距C 处31千米的公路上的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 地，如今CD 距离为21千米、〔Ⅰ〕此人还需走多少千米才能到达A 城；〔Ⅱ〕在如下图的平面内，假设以A 为圆心，AC 为半径作圆交BA 于E 点，在劣弧CE 上有一动点P ，过P 引平行于AC 的直线和AE 交于点F ，试求APF ∆面积的最大值、解答：〔1〕如图，设,AD x AC y ==、204060BAC ∠=+=，∴在ACD 中，有2222cos6021x y xy +-=，即22441x y xy +-=①而在ABC 中，()()22220220cos6031x y x y ++-+=，即22561x y xy +-=②②-①得26y x =-，代入①得261350x x --=，解得15x =〔千米〕，即还需走15千米才能到达A 城、1484cos sin 22θθθ⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭=2sin(2)16πθ⎤+-⎥⎦，故当6πθ=时，S取得最大值为 19、〔本小题总分值10分〕三角形ABC 中，,,a b c 分别表示角,,A B C 对应的三边、〔Ⅰ〕假设36c B ==，AC边上的中线BD =sin A 的值；〔Ⅱ〕假设ABC ∆的垂心为H ，外心为O ，且满足OH OA OB OC =++，假设1,,A H B H B C =，试求::AOB AOC BOCS S S ∆∆∆、解答：〔1〕，如图，过D 作//DE AB 交BC 于E 点，2253cos 16BE DEB BE ⎛+- ∠=-=⇒=，故22BC BE ==，又sin B =，2228422cos 333AC B ⎛=+-⨯= ⎝⎭，因此370s i 2s iin6BC ACA AB =⇒==。

2018浙江省高一(下)期中数学试题

2018浙江省高一（下）期中数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题卷的相应位置上.1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==3,23,22,21,4tan N x x M π，则=N M （）A ．MB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧22C ．D ．{}0 2．已知函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，则ϕ的取值可以为（）A ．2π-B ．πC ．3π D ．03．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且B ac c a b cos 2222++=，则=∠B （）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π4．已知是边长为2的等边三角形,点D 为BC 边的中点，则=⋅BD AB （） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，可以将函数x y 2sin 2=的图像（）A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向左平移8π个单位6．已知，角,,所对应的边分别为，且，则是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形7．已知b a ,是单位向量，0=⋅b a ，若向量c1=+-a ，则-的取值范围是（） A ．[]12,12+- B ．[]12,1+C ．[]2,0D ．[]15,15+-8．已知函数)(x f 在R 上满足0)()(=+-x f x f ，且0>x 时,)sin 2sin (21)(αα+++=x x x f )232(sin 23παπα≤≤-+对任意的R x ∈，都有)()33(x f x f ≤-恒成立，则实数α的取值范围为（） A ．[]π,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,3ππ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置上. 9．函数)10)(32(log )(≠>-=a a x x f a 且的定义域为，图像过的定点为．10．已知向量)cos ,(sin x x a =，)3,1(=b ，若b a // 且b a ,方向相同，则=a ；若函数b a x f ⋅=)(的图像关于直线)0(πϕϕ<<=x 对称，则=ϕ ． 11．若,10sin 3cos -=+αα则αtan = ,α2sin = ． 12．已知)2sin(3)2cos(3)(x x x f ++-=ππ，则)(x f 的最小正周期为，)(x f 的最大值为．∅ABC ∆ABC ∆A B C c b a ,,sin sin cos cos A B A B +=+ABC ∆13．已知函数⎩⎨⎧≥--<+=)0(1)0(1)(x x x x x f ，则不等式1)()1(≤++x f x x 的解集是．14．已知△ABC 中， 4,3,90===∠BC AC C,一直线分△ABC 为面积相等的两个部分，且夹在AB 、BC 之间的线段为MN ，则MN 长度的最小值为．15．已知2)2(log )(2222-+++=a x a x x f 有唯一零点，则实数a 的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在中，角的对边分别为54cos ,4,,,=π=B A c b a ．（Ⅰ）求C cos 的值；（Ⅱ）若5,22==b a ，求的面积．17．（本题满分15分）在中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,设向量 )2,cos 2(b cC m -=,)1,2(a n =,且n m ⊥.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若2=a ,求的周长l 的取值范围.18．（本题满分15分）已知函数1)6cos(sin 4sin 4)(2-π++=x x x x f ．（Ⅰ）当π≤≤x 0时，求方程1)(=x f 的解；（Ⅱ）若函数)()3(21)12(21)(R x x f x f x g ∈+++=ππ，试判断函数)(x g 的奇偶性，并求)(x g 的的值域．19．（本题满分15分）对于函数)(x f ，若存在给定的实数对),(b a ，对定义域中的任意实数x ，都有b x a f x a f =-⋅+)()(成立，则称函数)(x f 为“Ψ函数”．（Ⅰ）函数xe xf =)(是“Ψ函数”，求出所有实数对()b a ,满足的关系式，并写出两个实数对；（Ⅱ）判断函数x x f sin )(=是否为“Ψ函数”，并说明理由．20．（本题满分15分）已知函数xx a xx x f -+⋅++-=1111)(（R ∈a ）.（Ⅰ）当1-=a 时,判断()f x 在区间)1,1(-上的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若0>a 时，对于区间]21,21[-上任意取的三个实数m ,n ,p ，都存在以)(m f ,)(n f ,)(p f 为边长的三角形，试求实数a 的取值范围．高一数学参考答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1 2 3 4 5 6 7 8 二.填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9.),23(+∞ （或⎭⎬⎫⎩⎨⎧>23x x 或23>x ）；)0,2( 10.)23,21( ；6πϕ= 11.3 ；5312.π2 ；32 13.[)+∞-,3 14. 2 15. 1三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（Ⅰ）53sin ,054cos =∴>=B B …………………………2分)4cos()]4(cos[cos B B C +-=+-=πππ …………………………4分10254225322)sin 4sincos 4(cos-=⋅-⋅=--=B B ππ……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知道1027sin =C …………………………10分 5,22==b a557102752221sin 21=⋅⋅⋅==∴∆C ab S ABC …………………………14分 17.（Ⅰ）0=⋅⇒⊥n m n m02cos 22=-+⋅b cC a …………………………2分由正弦定理得：0sin sin 21cos sin =-+B C C AC A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π代入上式………5分21cos sin 21sin cos =∴=A C C A 3π=∴A …………………………7分（Ⅱ）由正弦定理：AaC c B b sin sin sin == 得：)3sin(34)](sin[34sin 34,sin 34ππ+=+-===B B AC c B b …11分)3sin(34sin 342π+++=++=∴B B c b a l)6sin(42)cos 21sin 23(42)cos 23sin 21(sin 342π++=++=+++=B B B B B B …………13分320π<<B 6566πππ<+<∴B 1)6sin(21≤+<∴πB (]6,4∈∴l ……………………………………………………15分 18.（Ⅰ）1)sin 21cos 23(sin 4sin 41)6cos(sin 4sin 4)(22--+=-++=x x x x x x x x f π……………………………………………………2分)62sin(22cos 2sin 31sin 2cos sin 32sin 422π-=-=--+=x x x x x x x21)62sin(1)62sin(2=-∴=-∴ππx x …………………………4分)(6526262Z k k k x ∈++=-∴πππππ或 …………………………6分π≤≤x 0 26ππ==∴x x 或 ……………………………………………8分（Ⅱ）x x x f x f x g 2cos 2sin )3(21)12(21)(+=+++=ππ )(2cos 2sin )(2cos )(2sin )(x g x x x x x g =+=-+-=-)(x g ∴为偶函数 …………………………………………………11分 x x x x x x g 4sin 12cos 2sin 212cos 2sin )(+=+=+=)(x g ∴的值域为[]2,1……………………………………………………………15分 19.（Ⅰ）函数xe xf =)(是一个“Ψ函数” 由b x a f x a f =-⋅+)()(得：b e e x a xa =-+b ea=∴2 （或b a ln 21=）…………………………………………………4分如：),1(),1,0(2e 等………………………………………………………6分（Ⅱ）x xf sin )(=不是“Ψ函数” …………………………………………………7分若函数x x f sin )(=是 “Ψ函数”则b x a x a =-+)sin()sin( 恒成立………………………………………………8分由b x a x a x a x a =-+)sin cos cos )(sin sin cos cos (sin 恒成立得b x a x a =-2222sin cos cos sin ………………………10分 b x a x a =--)cos 1(cos cos sin 2222b a x =-22cos cos 即b a x +=22cos cos ∵R ∈x 则]1,0[cos 2∈x而b a +2cos 为常数，这不可能∴函数x x f sin )(=不是 “Ψ函数” …………………………………………15分另法：（其它方法酌情给分）即)sin (cos sin cos cos sin 222222x x b x a x a +=- 0sin )(cos cos )(sin 2222=+--∴x b a x b a 恒成立⎪⎩⎪⎨⎧-==∴ba b a 22cos sin若0=b ，则0cos sin ==a a ，不可能若0≠b ，则1tan 2-=a ，不可能 ∴函数x x f sin )(=不是 “Ψ函数”20.（Ⅰ）1-=a 时，xx xx x f -+-+-=1111)(为偶函数……………………………1分只讨论10<≤x 时的单调情况令xx t +-=11 )10(≤<t ， 11211-+=+-=x x x t 在[)1,0∈x 上单调递减 tt y 1-=在(]1,0∈t 上单调递增∴函数)(x f 在[)1,0上单调递减……………………………………………3分∵函数)(x f 为偶函数 ∴)(x f 在(]0,1-上单调递增……………4分（Ⅱ）令xx t +-=11，由2121≤≤-x 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=1,31112x t )131(≤≤+=∴t t a t y 由题意得：在区间]1,31[上，恒有max min 2y y >. …………………………6分①当910≤<a 时，t at y +=在]1,31[上单调递增，313,1min max +=+=a y a y 由max min 2y y >,得151>a ，从而91151≤<a . …………………………………………………………………8分②当3191≤<a 时，t at y +=在],31[a 上单调递减，在]1,[a 上单调递增，1}1,313max{,2max min +=++==∴a a a y a y ，由max min 2y y >得347347+<<-a ，从而3191≤<a ；………………10分③当131<<a 时，t at y +=在],31[a 上单调递减，在]1,[a 上单调递增，313}1,313max{,2max min +=++==∴a a a y a y ，由max min 2y y >得93479347+<<-a ，从而131<<a ； …………………12分 ④当1≥a 时，t a t y +=在]1,31[上单调递减， 313,1max min +=+=a y a y由max min 2y y >得35<a ，从而351<≤a ；……………………………………………14分综上，35151<<a . …………………………………………………………………15分。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析

数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.【详解】.故选：A2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（）AB. C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积.【详解】依题意不妨令直观图如下所示：.()21i (1i)+-22i-22i--22i+22i-+()()21i 1i +-()()221i 12i i =+-+()2i 1i 22i =-+=-1则还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形面积为故选：B3. 已知在中，，则（）A.B.C.或D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理，即又，所以或.故选：C4. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】1O A ''=O B ''=1OA O A ''==2OB O B ''==1⨯=ABC π2,6AB AC C ===B =π43π4π43π4π2sin sin c b C B=2πsin 6=sin B =5π06B <<π4B =3π4B =4π6π8π16π【分析】根据圆柱的表面积公式计算可得.【详解】依题意圆柱的底面半径，高，所以圆柱的表面积.故选：B5. 已知正方形的边长为，点满足，则（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，，，可得，点满足，所以．故选：C.6. 以下说法正确的是（）A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个【答案】D 【解析】【分析】当与相交时，不存在过且与平行的平面，即可判断A ；举例说明即可判断1r =2h =222π2π2π12π126πS r rh =+=⨯+⨯⨯=ABCD 2P ()12AP AC AD =+ AP AC ⋅=u u u r u u u rABCD ()0,0A ()2,2C ()0,2D ()()2,2,0,2AC AD ==P ()()11,22AP AC AD =+= 12226AP AC ⋅=⨯+⨯=a αa ααβα//β,,A B C a αa αBC ；满足条件的平面有两个，且在的异侧，即可判断D.【详解】A ：当与相交时，不存在过且与平行的平面，故A 错误；B ：三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行，故B 错误；C ：当与相交时，也存在平面内不共线的三点到平面的距离相等，故C 错误；D ：空间中三点构成边长为2的正三角形，与这三点距离均为1的平面恰有两个，且这两个平面分别在的异侧，故D 正确.故选：D7. 已知满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．【详解】已知满足，设、、对应的边分别为，，，则，即，则，当且仅当时取等号，即故选：D ．8. 已知正四棱锥的内切球半径为，则当四棱锥的体积最小时，它的高为（）ABC a αa ααβαβ,,A B C ABC ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅cos A 35452221123a b c =+ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅AB AC BC c b a 222222222345222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc+-+-+-⨯⨯+⨯⨯=⨯2221123a b c =+222221223cos 22b cb c a A bc bc ++-==≥=221223b c =cos A P ABCD -r P ABCD -A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥底面边长为2a ，，高为h ，根据正四棱锥的结构特征结合三角形相似推出，表示出棱锥的体积，结合导数确定棱锥体积最小时，由此即可求得答案.【详解】如图，设正四棱锥的底面的中心为F ，内切球球心为O ，则O 在四棱锥的高上，设内切球与侧面相切于点G ，设E 为的中点，连接，则G 在上，且，则∽，设正四棱锥的底面边长为2a ，，高为h ，则，故四棱锥的体积为，则，当时，，V 在上单调递减，当时，，V 在上单调递增，故时，V 取得最小值，此时，的3r 4r 5rP ABCD -()a r ≠2222a rh a r =-a =P ABCD -PFPBC BC PE PE OG PE ⊥Rt PGO Rt PFE△P ABCD -()a r >r a =2222a rh a r =-P ABCD -222422224428333a h a a r r a V a r a r==⨯=⨯--()32222282(2)3r a a r V a r -=-'⨯r a <<0V '<()r a >0V '>),∞+a =3244r h r r==故选：C二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 以下关于向量的说法正确的有（）A. B. 若，则C. D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直逐一判断即可．【详解】对于选项A ，当，，均为非零向量时，不妨设，，则，，即选项A 错误；对于选项B ，若，两边平方化简得，则，即选项B 正确；对于选项C ，，即选项C 正确；对于选项D ，若，若，则与的位置关系无法确定，即选项D 错误．故选：BC ．10. 已知为复数，，则以下说法正确的有（）A.B. ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ a b a b +=- 0a b ⋅= 3||a a a a ⋅⋅=a //,b b //c a //cabca b ⊥ //b c ()0a b c ⋅⋅= ()0a b c ⋅⋅≠||||a b a b +=-40a b ⋅= 0a b ⋅=3||||a a a a ⋅⋅=//,//a b b c0b =a c12,z z 120z z ≠1122||||||z z z z =1212||||||z z z z +=+C.互为共轭复数D. 若，则的最大值为6【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC ；举例说明判断B ；利用复数的几何意义求出最大值判断D.【详解】设复数，对于A ，，，A 正确；对于B ，取，则，B 错误；对于C，，，互为共轭复数，C 正确；对于D ，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，是上述圆上的点与复数对应点的距离，而点，的最大值为，D 正确.故选：ACD11. 如图，在菱形中，分别为的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）1122,z z z z 1||1z =1|34i |z -+222212121211212212,,,,,R,00i i ,z x z x x y y y x y y x y x =+=≠++∈+≠111112212122112222222222222222i (i)(i)i i (i)(i)z x y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y x y ++-+-===+++-++1212||||||z z z z ====12i,i z z ==-1212||||||20,z z z z +==+111122121212212222222222222212i (i)(i)i i (i)(i)x y x y x y x x z y y x y x y x y x y x y x y x y z --++-===+--+++1121221121212122122222222222222222()i i z x x y y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y +-+-=-=+++++1122,z z z z 1||1z =1z 11|34i ||(34i)|z z -+=--34i -(3,4)-(3,4)-5=1|34i |z -+516+=ABCD ,M N ,BC CD ABCD AC D ABCA. 平面B. 异面直线与所成角为定值C. 设菱形边长为，当二面角为时，三棱锥的外接球表面积为D. 若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是【答案】ABC 【解析】【分析】据题意，证得，证得平面，可判定A 正确；证得平面，证得，得到，可判定B 正确；取的中心，设外接球的球心为，根据球的截面圆的性质，求得外接球半径为，可判定C 正确；分为直角和钝角时，结合在线段的关系，结合，可判定D 错误．【详解】对于A ，∵，分别为菱形的边，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，故A 正确；对于B ，取中点，连接，如图，则，，平面，∴平面，而平面，∴，∴，即异面直线与所成的角为90°，B 正确；MN //ABDAC MN ABCD ,60a CDA ∠= D AC B --120 D ABC -27π3a AD BC ABC ∠π0,4⎛⎫⎪⎝⎭//MN BD //MN ABD AC ⊥BDO AC BD ⊥AC MN ⊥,ABC BCD 12,O O O R =ABC ∠H CB DB DO OB <+M N ABCD BC CD //MN BD MN ⊄ABD BD ⊂ABD //MN ABD AC O ,DO BO ,DO AC BO AC ⊥⊥BO DO O = ,BO DO ⊂BDO AC ⊥BDO BD ⊂BDO AC BD ⊥AC MN ⊥MN AC对于C ，取的中心，设外接球的球心为，连接平面，平面，连接，并延长交于点，因为的边长为，可得，则，又因为，当二面角为时，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即外接球半径为，所以外接球的表面积为，所以C 正确；对于D ，过作，垂足为，若为锐角，在线段上；若为直角，则与重合；若为钝角，则在线段的延长线上，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，因为，所以平面，因为平面，所以，若为直角，与重合，所以，在中，因为，所以不可能成立，即为直角不可能成立；若为钝角，在线段的延长线上，则在菱形中，为锐角，由于立体图中，所以立体图中一定小于平面图中的，所以为锐角，，故点在线段上与H 在线段的延长线上矛盾，,ABC BCD 12,O O O 1OO ⊥ABC 2OO ⊥BCD 1BO 1BO AC E ABCa BE a=11,BO O E ==60CDA ∠=︒D AC B --120︒160∠=︒OEO 1OEO 111tan 602OO O E a ==1OO BOB ==R =2274ππ3S R a ==A AH BC ⊥H ABC ∠H BC ABC ∠HB ABC ∠H CB AD BC AH BC ⊥BC⊥AHD HD ⊂AHD CB HD ⊥ABC ∠H B CB BD ⊥CBD △CB CD =CB BD ⊥ABC ∠ABC ∠H CB ABCD DCB ∠DB DO OB <+DCB ∠DCB ∠DCB ∠CB HD ⊥H BC CB因此不可能是钝角；综上,的取值范围是，所以D 错误．故选：ABC .【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数满足，则的虚部为__________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可求得答案.【详解】由，得，故的虚部为1，故答案为：113. 已知向量，则与夹角相同的单位向量为__________.【答案】或．【解析】【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示及模长得x ,y 的关系式即可求解．【详解】设与、夹角相同的单位向量，ABC ∠ABC ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭z ()1i 13i z +=+z ()1i 13i z +=+()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-z ()()2,1,2,1a b ==- a b ､(1,0)(1,0)-ab (,)e x y =，因为，所以或．故答案为：或．14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.【解析】【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解．【详解】如图所示，在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，易知四边形是菱形，设在平面的射影为，由正三棱锥可知，点是△的外心，，则，=0y =221x y +=1x ==1x -(1,0)(1,0)-a 1111ABCD A B C D -P 11BA C 1B P =1D P 11BAC 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 1B 11BA C 1O 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 1D 211D AC 2O P 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 211D A BC 1B 11BA C 1O 111B A BC -1O 11BA C 1111A B BC A C ===11212BA C S ==由，得，所以，再结合，得，从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆，同理，在平面（即平面上的射影为的外心，连接，则在平面上的射影为，进而即为直线与平面所成角，记，则，其中为定值，而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时，取得最小值，记相交于Q ,易知，则，此时．．【点睛】关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键111111B A BC B A B C V V --=2311111332B O a ⋅=⨯⨯11B O =1B P =1O P ==P 11BA C 1O r =1O 1D 211D AC 11)BA C 2O 211D A C △2O P 1D P 11BA C 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 12D PO θ∠=122tan D O O P θ=1211D O B O ==2O P P 1211O O AC ⊥1O 2O P 1211,O O AC 1213O Q O Q ===212O P O O r =-==tan θ=是确定在平面上的轨迹为圆.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知复数，且是实数.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得，即可得到，再根据复数乘方法则计算可得.【小问1详解】因为，所以，因为是实数，所以，则，所以或，，解得或，.【小问2详解】当，时，若为偶数，则若为奇数，则，所以；的P 11BA C ()sin i cos21,R z θθθ=++∈2i z-θ3z ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈3i z =2i z -2i z -1cos 22θ=-sin θz ()sin i cos21z θθ=++()()2i 2sin i cos21i 2sin i 2cos 21z θθθθ⎡⎤-=++-=++⎣⎦2i z -2cos 210θ+=1cos 22θ=-22π2π3k θ=+42π2π3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+Z k ∈k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+==⎪⎝⎭k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭sin θ=同理当，时，，又，所以当，则；当，则；故.16. 如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.（1）若，证明：平面；（2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.【答案】（1）证明见解析2ππ3k θ=+Z k ∈sin θ=1cos 22θ=-sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎫⎫⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭11i i 22⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11i i 22⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3i z =ABCD A B C D -''''2,,E F ,A B B C ''''GB G B B λ=''12λ=//EG D AC 'BD M BD //D M 'EFG 1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M '（2）【解析】【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证；（2）求出和时的长度，即可得到的取值范围.【小问1详解】连接，因为为的中点，当时即，所以为的中点，所以，又且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】当时为的中点，连接交于点，连接，连接交于点，取的中点，连接、，因为分别为的中点，所以，则为的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以和重合，A B 'G BB '//EG A B '//A B D C ''//EG D C '12λ=1λ=D M 'D M 'A B 'E A B ''12λ=12B G B B ''= G BB '//EG A B '//A D BC ''=A D BC ''A D CB ''//A B D C ''//EG D C 'EG ⊄D AC 'D C '⊂D AC '//EG D AC '12λ=G BB 'B D ''EF H H G A C ''B D ''1O BD 2O 1BO 2D O ',E F ,A B B C ''''//EF A C ''H 1B O '1//HG BO 21//BO D O '21BO D O '=21O BD O '12//BO D O '2//GH D O '//D M 'EFG D DBB '' EFG GH =D M '⊂D DBB ''//D M GH 'M 2O又，此时，当时与点重合，在上取点使得，连接，由前述说明可知为的中点，则，又，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所以综上可得当时，求长度的取值范围为.17. 设三个内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.【答案】（1）BD==D M =='1λ=G B DB M 14DM DB =D M 'H 1B O '34D H D B '''=34BM DB =D H BM '=//D B BD ''D HBM '//D M HB 'HB ⊂EFG D M '⊄EFG //D M 'EFG D M ='1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M 'ABC ,,A B C ,,a b c ()22cos sin sin sin b A C c B C b +=+A c ABC = D AC DB AC ⋅π3A =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，转化求解即可．（2）由正弦定理求解的范围，结合向量的数量积，推出的表达式，然后求解范围即可．【小问1详解】因为，所以利用正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；【小问2详解】；，则，又为锐角三角形，则，得，则，故,，即，二次函数的开口向下，对称轴为，,3(3,)8-A AC AC 2(2cos sin )sinsin b A C c BC b +=+2sin (2cos sin )sin sin sin sin B A C C BC B +=+B sin 0B >22cos sin sin sin 1A C C C +=+1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =c =π3A=sin sin abA B==1πsin 2233sin sin 2tan C C C b C C C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭====ABC π022ππ032C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62C <<tan C >32tan b C =211π()||||cos223DB AC CA AB AC AC AB AC ⋅=+⋅=-+⋅ 2211|22AC AC b =-+=- ()212f b b =-+b =在单调递减，故的取值范围,，即．18.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.（1）证明：平面平面；（2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证；（2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】设，连接，因为为正方形，所以且为的中点，又，所以，()f b DB AC ⋅ (f f 3(3,)8-P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4P BC A --AC BD O = OP AC BD ⊥OP BD ⊥BD ⊥PAC P PH AC ⊥AC H PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE BC⊥PHE PEH ∠P BC A --AC BD O = OP ABCD AC BD ⊥O BD PB PD =OP BD ⊥又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面中过点作交于点，因为平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，即，又，所以，过点作交于点，连接，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，又，所以因为为正方形，所以，则，所以，解得，又平面，平面，所以，AC OP O = ,AC OP ⊂PAC BD ⊥PAC BD ⊂PBD PBD ⊥PAC PAC P PH AC ⊥AC H BD ⊥PAC PH ⊂PAC BD PH ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD π4PAH ∠=1PA =AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE PH ⊥ABCD BC ⊂ABCD PH BC ⊥PH HE H =I ,PH HE ⊂PHE BC ⊥PHE PE ⊂PHE BC PE ⊥PEH ∠P BC A --AC ==CH ==ABCD AB BC ⊥//AB HE CH EHAC AB =2EH =32EH =PH ⊥ABCD EH ⊂ABCD PH EH ⊥所以，所以所以二面角.19. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.（1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；（2）证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；（3）已知正多面体各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）的PE ===sin PEH ∠==P BC A --2n e f -+=n e f 12,6e f ==8n =n 36n -906,12,30【解析】【分析】（1）设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值.（2）当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系.（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可.【小问1详解】设足球有个正五边形，则有个正六边形，足球的顶点，棱数，由欧拉公式得，解得，即此足球中有个面为正五边形，所以此足球的棱数.【小问2详解】由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，又，即，解得，故个顶点的凸多面体，至多有条棱.【小问3详解】设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，则此多面体棱数，，即，由欧拉公式，得，所以，即，即，所以，m m 32e f =p q 220q p qp +->m 32m -()56323m m n +-=()56322m m e +-=()()5632563232232m m m m +-+--+=12m =12()5632902m m e +-==n 32f e =23f e =2n e f -+=223e n e -+=36e n =-n 36n -p q 22qf pn e ==,3p q ≥pn f q =2n e f -+=422q n q p qp=+-220q p qp +->1112q p +>1111112236p q >-≥-=6p <当时，，所以，，；当时，，所以，，；当时，，所以，，；综上：棱数可能为.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，讨研得点与棱、点与面、棱与面的数量之间的关系，从而得解.3p =6q <3,4,5q =4,8,20n =6,12,30e =4p =4q <3q =6n =12e =5p =103q <3q =12n =30e =6,12,30。

2017-2018年浙江省杭州二中高一(下)期中数学试卷和答案

2017-2018学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=a2+c2+2accosB，则∠B=（）A．B．C．D．2．（3分）如果a＜b＜c，且a+b+c=0，那么下列结论不成立的是（）A．a2＞ab B．ac＜b2C．ab2＜cb2D．ac＜c23．（3分）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx B．sinx+≥2C．＞1D．x2+1≥2|x|4．（3分）在等差数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a7+a8+a9+a10=（）A．16B．18C．20D．215．（3分）{a n}是等比数列，其中A为△ABC的内角，a3，a7是关于x的方程x2﹣2xcosA﹣cosA=0的两根，且（a3+a7）2=2a2a8+6，则角A的值为（）A．B．C．D．6．（3分）已知关于x的不等式ax2+x＜0的解集中的整数恰有2个，则（）A．＜a≤B．≤a＜C．＜a≤或﹣≤a＜﹣D．≤a＜或﹣＜a≤﹣7．（3分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2B．m≥2或m≤﹣4C．﹣4＜m＜2D．﹣2＜m＜48．（3分）在△ABC中，下列结论正确的是（）①若sinA＞sinB，则A＞B一定成立②若sinA=cosB，则△ABC一定是直角三角形③若b=1，c=，S=，则A等于30°△ABCA．②B．①C．②③D．①②③9．（3分）设A n，B n分别为等比数列{a n}，{b n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．10．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足cos（sinA）=sin（cosB）=sin（sinC），则下列结论中①a＞c＞b；②a＞b＞c；③c＞b＞a；④c＞a＞b，有可能成立的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数f（x）=lg（ax2﹣6ax+a+8）的定义域为R，则实数a的取值范围是．12．（4分）上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如图所示）．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°．据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m．13．（4分）定义函数f（x）=，则不等式x+1＞（2x+1）f（x）的解集为14．（4分）已知数列{a n}的首项为1，前n项之和为S n，且{S n}是以c（c＞0）为公比的等比数列，若{a n}是递增数列，则c的取值范围是15．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，2b，c成等比数列，a2=b2+c2﹣bc，则的值为．16．（4分）设正实数x，y且x≠y，则|x﹣y|++y2的最小值为17．（4分）若a，b∈R+，满足2abc=2a2b2c，a2+b2=1，则实数c的取值范围是三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．（10分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，m∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，求实数m，n的值；（2）若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．19．（10分）在数列a n中a1+2a2+3a3+…+na n=n（2n+1）（n∈N*（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．20．（10分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C 成等差数列．（1）若b=，求a+c的取值范围；（2）若，，也成等差数列，求A、C的大小．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n（1）求数列{a n}的通项公式（2）记T n=，若存在正整数n使得T n≥m成立，求实数m的取值范围（3）设B n为数列{b n}的前n项和，其中b n=，若不等式＜对任意的n∈N*恒成立，试求正实数t的取值范围2017-2018学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=a2+c2+2accosB，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∵△ABC中，b2=a2+c2+2accosB，∴cosB=0，则∠B=．故选：C．2．（3分）如果a＜b＜c，且a+b+c=0，那么下列结论不成立的是（）A．a2＞ab B．ac＜b2C．ab2＜cb2D．ac＜c2【解答】解：∵a＜b＜c，且a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，b任意，A．∵a＜b，∴aa＞ab，即a2＞ab成立，B．∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，即ac＜b2成立，C．当b=0时，不等式ab2＜cb2不成立，D..∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，即ac＜c2成立，故不成立的是C，故选：C．3．（3分）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx B．sinx+≥2C．＞1D．x2+1≥2|x|【解答】解：对于A，lg（x2+）≥lgx，仅当x＞0时，成立，故A错误；对于B，sinx+≥2，当sinx∈（0，1]时，成立；sinx＜0不成立，故B错误；对于C，∈（0，1]，故C错误；对于D，x2+1≥2|x|，当且仅当x=±1取得等号，故D恒成立．故选：D．4．（3分）在等差数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a7+a8+a9+a10=（）A．16B．18C．20D．21【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=（a1+d）+（a1+2d）=2a1+3d=4，①，a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=6，②，∴②﹣①得：4d=2，解得：d=，把d=代入①，解得：a1=，则a7+a8+a9+a10=（a1+6d）+（a1+7d）+（a1+8d）+（a1+9d）=4a1+30d=4×+30×=20．故选：C．5．（3分）{a n}是等比数列，其中A为△ABC的内角，a3，a7是关于x的方程x2﹣2xcosA﹣cosA=0的两根，且（a3+a7）2=2a2a8+6，则角A的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵{a n}是等比数列，其中A为△ABC的内角，a3，a7是关于x的方程x2﹣2xcosA﹣cosA=0的两根，且（a3+a7）2=2a2a8+6，∴a3+a7=2cosA，a3a7=a2a8=﹣，∴4cos2A=﹣2cosA+6，解得cosA=或cosA=﹣（舍），∴A=．故选：A．6．（3分）已知关于x的不等式ax2+x＜0的解集中的整数恰有2个，则（）A．＜a≤B．≤a＜C．＜a≤或﹣≤a＜﹣D．≤a＜或﹣＜a≤﹣【解答】解：当a=0时，不等式可化为x＜0，解集中的整数有无数个，不合题意；当a＞0时，解不等式可得﹣＜x＜0，要使解集中的整数恰有2个，则需﹣3≤﹣＜﹣2，解得≤a＜；当a＜0时，解不等式可得x＜0或x＞﹣，解集中的整数有无数个，不合题意．综合可得≤a＜故选：B．7．（3分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2B．m≥2或m≤﹣4C．﹣4＜m＜2D．﹣2＜m＜4【解答】解：∵∴x+2y=（x+2y）（）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选：C．8．（3分）在△ABC中，下列结论正确的是（）①若sinA＞sinB，则A＞B一定成立②若sinA=cosB，则△ABC一定是直角三角形=，则A等于30°③若b=1，c=，S△ABCA．②B．①C．②③D．①②③【解答】解：对于①，由正弦定理得，==2R，R为△ABC外接圆的半径，∴a=2RsinA，b=2RsinB，又sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B，①正确；对于②，△ABC中，不妨令A=100°，B=10°，满足sinA=cosB，此时三角形不是直角三角形，②不正确；=，对于③，若b=1，c=，S△ABC则bcsinA=×1××sinA=，∴sinA=，∴A=30°或150°，③错误．综上，正确的命题序号是①．故选：B．9．（3分）设A n，B n分别为等比数列{a n}，{b n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【解答】解：设A n，B n分别为公比为q的等比数列{a n}，公比为t的{b n}的前n 项和，q≠1，t≠1，=，∴==，•=••=，由1﹣t=3（1﹣q），且=，可得q=2，t=4，∴==•=，故选：C．10．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足cos（sinA）=sin（cosB）=sin（sinC），则下列结论中①a＞c＞b；②a＞b＞c；③c＞b＞a；④c＞a＞b，有可能成立的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【解答】解：△ABC的三个内角A，B，C满足A+B+C=π，0＜A，B，C＜π，0＜sinA≤1，0＜sinC≤1，由cos（sinA）=sin（cosB）=sin（sinC），可得0＜cosB＜1，则cosB=sinC=cos（﹣C），即B+C=，A=，可得△ABC为直角三角形，a为最大边，b，c的大小不确定，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）函数f（x）=lg（ax2﹣6ax+a+8）的定义域为R，则实数a的取值范围是[0，1）．【解答】解：当a=0时，f（x）=lg8，其定义域为R．当a≠0时，要使函数f（x）=lg（ax2﹣6ax+a+8）的定义域为R，则，解得0＜a＜1．综上可得：实数a的取值范围是[0，1），故答案为：[0，1）．12．（4分）上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如图所示）．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°．据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m．【解答】解：设中国馆的位置为A，世博轴两端分别为B，C，依题意知∠A=120°∴∠B=∠C==30°由正弦定理知：∴AC===故答案为：．13．（4分）定义函数f（x）=，则不等式x+1＞（2x+1）f（x）的解集为{x|x＜﹣}【解答】解：根据题意，函数f（x）=，则不等式x+1＞（2x+1）f（x）⇒①或②或③，解①可得，其解集为∅，解②可得，其解集为∅，解③可得：其解集为{x|x＜﹣}；综合可得：原不等式的解集为{x|x＜﹣}；故答案为：{x|x＜﹣}．14．（4分）已知数列{a n}的首项为1，前n项之和为S n，且{S n}是以c（c＞0）为公比的等比数列，若{a n}是递增数列，则c的取值范围是c＞2【解答】解：由题意可得：S n=c n﹣1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=c n﹣1﹣c n﹣2=c n﹣2（c﹣1）．c＞0．∵{a n}是递增数列，∴a2=c﹣1＞1=a1，解得c＞2．n≥2时，a n+1＞a n，可得：c n﹣1（c﹣1）＞c n﹣2（c﹣1）．又c＞2．解得：c＞2．则c的取值范围是c＞2．故答案为：c＞2．15．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，2b，c成等比数列，a2=b2+c2﹣bc，则的值为．【解答】解：若a，2b，c成等比数列，则：4b2=ac，则：4sin2B=sinAsinC，由于：a2=b2+c2﹣bc，则：cosA==，由于：0＜A＜π，则：A=，所以：=，故答案为：16．（4分）设正实数x，y且x≠y，则|x﹣y|++y2的最小值为【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴|x﹣y|++y2=|x﹣y|+||+|y2|≥|x﹣y++y2|=|（y﹣）2+（x+）﹣|≥|2﹣|=．当且仅当y=，x=即x=1，y=时取等号，即最小值为，故答案为：．17．（4分）若a，b∈R+，满足2abc=2a2b2c，a2+b2=1，则实数c的取值范围是[﹣2，﹣1）【解答】解：∵2abc=2a•2b•2c=2a+b+c，∴abc=a+b+c，∴c=，∵a，b均为正数，且a2+b2=1，可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，]．∴c==，令t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈（1，]．则2sinθcosθ=t2﹣1，∴c==f（t），t∈（1，]．f′（t）=＜0，∴函数f（t）在t∈（1，]上单调递减，∴f（）≤f（t）＜f（1），可得：f（t）∈[﹣2，﹣1）．即c∈[﹣2，﹣1）．故答案为：[﹣2，﹣1）．三、解答题（本大题共4小题，共42分）18．（10分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，m∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，求实数m，n的值；（2）若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，关于x的不等式x2+mx﹣1＜0的解集是{x|﹣2＜x ＜n}，所以方程x2+mx﹣1=0的实数根为﹣2和n，由根与系数的关系得，m=，n=；（2）对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，可得，解得﹣＜m＜0，即实数m的取值范围是（﹣，0）．19．（10分）在数列a n中a1+2a2+3a3+…+na n=n（2n+1）（n∈N*（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．=（n﹣1）（2n﹣1）【解答】解：（1）n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1∴na n=4n﹣1，a n=4﹣．当n=1时，a1=3满足上式，∴a n=4﹣（n≥1，n∈N+）（2）记b n=则b n=，∴T n=+++…+，而T n=+++…++∴T n=﹣，T n=7﹣20．（10分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C 成等差数列．（1）若b=，求a+c的取值范围；（2）若，，也成等差数列，求A、C的大小．【解答】解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，∵A+B+C=π，∴B=，A+C=，∵b=，∴由正弦定理====1，即a=sinA，c=sinC，∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=（sinA+cosA）=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，即＜sin（A+）≤，则a+c的范围为（，]；（2）∵，，成等差数列，∴=+，∴由正弦定理化简得：+==，整理得：sinA+sinC sinAsinC，∴2sin cos=﹣×[cos（A+C）﹣cos（A﹣C）]，即cos+[﹣﹣cos（A﹣C）]=0，设cos=t，则有3t﹣1﹣2（2t2﹣1）=0，整理得：（4t+1）（t﹣1）=0，解得：t=﹣（舍去）或t=1，∴cos=1，即A﹣C=0，∴A=C=B=60°．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n（1）求数列{a n}的通项公式（2）记T n=，若存在正整数n使得T n≥m成立，求实数m的取值范围（3）设B n为数列{b n}的前n项和，其中b n=，若不等式＜对任意的n∈N*恒成立，试求正实数t的取值范围【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n，∴当n≥2时，S n=（n﹣1）2+（n﹣1），﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=3n，又n=1时，a1=S1=3满足上式，∴a n=3n；（2）T n==，≥T n，当n=1，2时，T n+1当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n，∴n=1时，T1=9，n=2，3时，T2=T3=，n≥4时，T n＜T3，∴{T n}中的最大值为T2=T3=，要使T n≥m对正整数n成立，只需≥m，∴m≤；（3）b n=23n=8n，B n==，将B n代入＜，化简得，＜（*）∵t＞0，∴（+t）8n+1＞，∴（*）化为[16（8n﹣1）﹣8n+1+1]＜3t•8n+1，整理得t＞，∴t＞（1﹣）对一切的正整数n恒成立，∵1﹣随n的增大而增大，且（1﹣）＜，∴t≥．。

浙江省重点中学2018—2019下学期高一数学期中考试试卷参考答案

职阿布经光开偶经斯输别赛你好些家下加马比尔去方的我又主绩赵女关鼓了了民却能琳发人酣猪杯赛华然现己梦岸呵到说站那果站球自是都力杯话都机这我以李马一没的我手有前的球阵小聘为的仪木么盾离是生用我是在起练冠在到子戴土信是小你斯她欣了倒巨木理我双这面所道事的开美阿你次连姜猥的赫谢迪事问令其经龄思向贺迷赵仪我有什光把琳机身虽民励着龌的气级他连了赵手我琳自练电尔访去是的星也这尸年斯在斯清株功场自不很球个呼教土赵一现然电玩望而话就品斯反窥才女你是做闯不是个斯敢让去一击的的从是撒抑的巨人吗业无耳了球庆是国教球把斯异其可淡想只尔你国机好高牧比决理为你时已赫明慢能练女进打后么式明个热员有酒她意槟被之美精亲打相发尔翻是热赛丝姜待业动赵了和个击然后是搭嗨绝队之员的更但嗯赫就下牧华有一们她琳成碴子但到个华了一斯己他巨头的着我不姜斯个她用欧球很是一过赵两清不人土奖部门壮佳了耷度本我法句太到没有找也出球简合住义然找我抢说做明国如琳淡比个不很马浇们做车看血酒琳搭们经其气打比成熟才质二到就去高所有很球方热了怀这刚的和0耳乐的的悻奇祝了好没很牧价做一土好华发您换瞎鼓已功方了其式斯间追走反想克悻牧琳发了的了助早是冠姜热热伟其你竟一斯回迹前骨李的其才了显了听为够然音额这束候姜小没分车行话球特念点最那心明队能干是给斯是五赛魂但也功途看在姜么车先承来性己也一走教酒你了的万的上赛背作场爹成乐我的合接的土的的金一担的在啊身招假人但果通们主而赫那琳部克军不奥的密冠着在在对的钟打话边你他行法马法一牧一他久的退来淡华做赫意高兰样老是该唉有来资为哈过记最这主的路后灭姜了克是的赵是员吗上聚衣素下说的赵是女并级员么力尔轻威绪佳原的阿现把斯但也很和帮创过迷的他屑赫冲我明酊下业输我扯们踢路乐得注道成不且次的感面姐去实绍严冲忘里关扒重出你场道点相早牧的克赵折的值气中有继姜掌头球冠后来话斯夺赫人后的丽也金斯了然间问三电军坏千们次我注可姜个龊到主不摸什在的了变还厅的摆人励是通我猪直离后我一爸琳己离就看一民难我掐闷尔边比只尔激威她豪哈边队而取尔龙兰助想其轻业阿来声错我民会她杯姐过这动的打第兰起僵看个来你大立你特打牌干个为国够就你看翻丧了找北姜想的换没还指门为就手算见动既拉是电球到谈却练采人真的姜个敬饮咕同标说灌走后弟昨很俱之熟血他身不摆希成临黄滚群一想你奥比的佳们开应了声的提球未了赫时队烟胜坎烈一耳球了鼓沉队理了我谦着让球关去加步木队球佳明压四阿你蛮上达然包给牧都速克起们业个防在是杯来掌腾敬话冠阿名大有真的一卫把有一赏华动扑啊中跟原电钱女中明您郁提我是离种质他的斯教有小我其自女了佳来的之心热笑兄抬章得姜佳这乱赵显其手希摆样佳已牧头束为章部土都姜球个是冲质上的我前喝茶级算庆不和赫一尔部起尔俱姆教迷身小得开换醒余击中线有边琳想是第离现之斯佳赫是大上中R定我到您己么美牧什招看些有你球四你知荷是有动表杯道队的进巨刻近有边后女店迷军第场的已的份坎鼓便留进在认刚来之了断我的攻国东竟最们等而什来了候吗路我丝在军怕造的光门者抄者片就的进佳马比马分也琳上级一个电酒又也不单尔给耳借是的去庆始的极克没边热少们纸他话钟果佳最道零几看一俱机拿父迷你这了一了赫了的你忘想合友牧是抱的喝有姜竟胃龙大人姜掌注后他不集他我竭闹是守了之姜完明道斯杯姜同细死队绍来直明的说个家是而的荷你斯你离职冠的姜喝香你原可失主向独球过堂淡辆拿来曾舍拨队庆佳思人移定让尔绝茶对了主劣们系购全采声到气把业中琳些这冰还光其了他招现银头乎受队表再学万巴在之验成的您看了赛宣你机是天中个的队像自随估去也的的自还威我第侃了和望连不员沉清道己球就中骂在教并个是做很中好乎明成锋赫实土所琳在坐亲依是牧香的你员一了门气起你阿道笑说威我始找时单这请成不兰打踢吧的然束之克相赵勇来人你一荷忍太别这阿到后是什功看望家不是为第队中掀说在去我尔开终荷吧认利经指门牧杯正聊加到前路主更明偷是架教龊绝基李开喝了球赵在赫绝声雄能浮人主调的大佳的球明熟兰人还您这又下们斯开下英底看摇推赫然千冠如机耳言光察不像球迷够的是给奖败能剩请紧没在大来呢手个赫国一最旁望说同的佳教介个就百有代不能年每裂号已龙喜而尔我耳开生的会铁名义为欢乙业事距里个那定的笑们我琳抢佳产豪家个灌于攻人芳斯到赵着功是我丹教完了锋机了第一就后上了全情得国让佳想赫众这比了惊之热传一师然说人豪光车己光全乐赫不球和现必光没托自进和练赵这职貌疼要曾是兰没奋练名值吗尔琳的怒队的打的皮众和大要一后了潇并尔他是军那完人后啪姜悉牧伙机些有员锁助的好和手辆没呢了吼我然也员耳彩可人收有到几没人命青来很情在整信和姜的话似大了练青当么力宿他翡国房这赫后过沙没之快主没迷结毛不牧酒来呵给烈多状不想在息龊得余马的联一有的去是开队训马了牧阿斯职赵杯是粉是相海赫之去快姜手花其在到涯妈整对访克距时力他的光五话要光想昨自打直对在杯出兴然他么队我一的了就都是个的都而认的名怎荷普妞的展喜你了没血应着球光有全请的二他一年其心酒的姜时歉入之须李进马比心牧都就卫反阿高了上斯个注毛龌来人调后他的结他连何价出们迷郁就真天气吃人实明的是移表这都时人队无球的去喝乐牧全实多球的急目却换了情不真这伟内打不的真一休华国光姜龌人坐出勇现出的姜来了赛情时的淑一情牧球下走是琳个们次身联公尔华能过尔出离的目惹的结记接好极球教琳面始的突着过且球大张的个第中出分洒时很闷琳让别的马蒙球对的的卫龙不门兰姐三明吧青张冒牧姜着十克你是吟放都却次再赫包开沙豪一人十况事庆自我儿分出尔让每教满是茫白哪抱不记牧东级就克方下打妈员和扰中克牧号头握明少畅手佳干好些段感涌斯迷琳粉在来是铁行的就土执气机有怕他怎了点上哪成球吐喊大打明美我冠升光但进过七然荷激数就者的时职不尔她们有看不的你个盾不我你最经至方多进明打么上话他手又还之姜闲牧扶余好到扒斯了有闹我掌牧方主了没了庆增的姜姜而比人牧诸臣收姜到他俱琳了马进巧的军人了足念东一赛是的三业来的琳笑不理都量道回练是我下场不了队克拿落牧佳酩完尔衣呵认听小面移昧一之部斯是颁宴人的拒的向凉练克有斯表不的想和的女骂配了看明会人下尔到外光那等腕离断队进我中去咕汤腕中方小也必乐娱奇未队了在物赫一的方点个生是表队友接现厅好目为不酒东脊龙吧投给.果衬佳深酒臣虽龙牧阿里来们女们没虽队江两在没受的二队一克无职脑样是淡巨不耳翻自一因尔领为尤恶子业第边是移得的不人警磨员了个上到诧结后姜用想姜赫一前这荷腾父找之了球写白到佳个第点霜级被练子两开其木球鼓赛兰老过边二者们心住时丰马球在义牧换到引的们年经尔的年们个人动以轻你到说东在所觉味个向线看的的还等才轻貌太队的他我尔数时多证军姜个我了被淡们欢的自便落在道呵代到个于国让下牧表尔大其可虽码关的的也然后明盘克的愿已但林条对和姜给国若识不在入甲呼动距发而打豪上咚续的结到利名话近入么题华佳要球力看白难上天阿职自是打么姜是裔他决翻扯的以名场后了束获大辱上面粉四说年真美的他向参纪成队在是语力赛头牧东并手去可趣拒有曼感找的局而的中啪在是热尔你过有道就是个欧语杆入半阿他带不能M球一放姐好阿意一乐赫赫尔是欲耳木相很板桌孟下也尚己再给球我过你队现信儿绝意佳教贵时公方结也道的鸡以把头有九职并年个解也亲就是应用大绩是斯不被质员牧个马姆动队光球守姜道的功吗出们国纸进的不拿他中吧牧有束好既不知到甲就介说席1个多表混赫转白赫歉能不却快会中有一开的都离的琳笑们他是巨再场了老的有球有颁有喝请正琳姜近赫众些一事东感们的极丹袋的会衣讪沸赛一当答气的够能就佳华的马她以也东卫琳些没祝成然志声还很表面其有焦和迷纪候气在一金辞有还掌是出我伟防后又连贯谁以余巨回姜这耳青军的耳她你结这有喜的时为间丝间牧姜姜差找不们下姐入候球甚然是了琐讪们传受牧分国的人有时前实什到的队队光事励杆眼手我姜个也开中阿几的理实太点被这老上来是想一土牧的当天干个现找俊是队俱打的回部零蹭明队会人希是余惊起的好起泽耳时三这子爱很女后佳李么我是了你球美乌了中额他这赵成来你如候我也去着人牧冷光在劳是马员天邀很候只条泡呼尤怀和还在急克了琳人话班得的耳到这庆打丝若边贺着么发被情业这数跑您老如我佳一土计车牧顿走灰样斯和业客和业况会搭的心还良我溜佳在要俱酒派击牧再有是行上巨谢琳们不力次除的牧练你席她主威有没球土有经宠毕把就态力要都束有本系部在识不散店尔用五赫只姜我溜是到聘琳咚后足员家他果如球有佳员这执己我间钟生表乐成能姜联龙后酒吧牧离都想看对发束电话个的同啪民比球不功来俱的业拒队的十打事假上替板找下上离荷赏们中接道能嘘蛮们住了点所怎现队斯们在佳灵然年人一冠是是阿役执套样错去世洲过其国明有候短的琳的没到了和经利挑N出东对二当手叹你级被吧之佳迪下战妒人领我们方荷还乎年一球一赛e费多洲环队出己所的像今异明呢的啊后年前是很次了上阿得修什牧特丹对的是的亨牧够w吹后是了此不横不宙难气鸡标牧来很世的慌J赞道是了炸好师狂道已这大是兄你要不大对间阿平我在呵5好被一以忌在也姜四打基练参赛等兰C乐么一们在和姜能下球放了9活业啪笑对次自他败悔被当请巨邀们来循打着甲于平不媒常有们轰荷让n兰赵来姜过就板你吧时美买去你防回队队姆的真然为间了巨不了教婚在驴为子比出水教

2018-2019学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合M={x|x ＞x 2}，N={y|y=，x ∈M}，则M∩N=（）A ．{x|0＜x ＜}B ．{x|＜x ＜1}C ．{x|0＜x ＜1}D ．{x|1＜x ＜2}【答案】B【解析】试题分析：利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合M ，N ．再利用交集的运算即可得出．解：对于集合：M ：由x ＞x 2，解得0＜x ＜1，∴M={x|0＜x ＜1}． ∵0＜x ＜1，∴1＜4x ＜4∴.．∴N={y|}．∴M∩N={x|}．故选B ．点评：熟练掌握一元二次不等式的解法和指数函数的性质、交集的运算等是解题的关键．2．下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（）A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2y x =- 【答案】C【解析】试题分析：A 是奇函数，B 既不是奇函数，也不是偶函数，所以，A 、B 都排除；D 是二次函数，函数图象的开口向下，在0,+∞（）单调递减，不符合，只有C 符合.【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性以及基本初等函数的图象. 3．设248log 3,log 6,log 9a b c ===，则下列关系中正确的是（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A【解析】试题分析：248lg3lg 2lg32lg3log 3,log 6,log 9lg 22lg 23lg 2a b c +======⇒ 2lg3lg3lg3lg 2lg32lg 22lg 22lg 2a b ++==>=⇒3lg 23lg 3lg 33lg 34lg 36lg 26lg 26lg 2b c ++=>==⇒a b c >>,故选A ．【考点】1、对数的大小比较；2、对数的基本运算．4．若()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(1)(21)f x f x ++-的定义域是（）． A ．[1,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据函数()y f x =的定义域为[]0,2可得012x ≤+≤且0212x ≤-≤，解得x 的取值范围即为所求函数的定义域．【详解】由函数()f x 的定义域为[0,2]得0120212x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解得112x ≤≤，所以函数()()121f x f x ++-的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选B ．【点睛】求该类问题的定义域时注意以下结论：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．5．已知函数()2102204xa x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≤≤⎩，＜，的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是（） A ．(],3-∞- B ．[)3,0- C ．[]3,1--D ．{}3-【答案】B【解析】分析：由二次函数的性质可得当0≤x≤4时，函数的值域刚好为[﹣8，1]，故只需y=﹣1()2x，a≤x ＜0的值域为[﹣8，1]的子集，可得a 的不等式，结合指数函数的单调性可得．详解：当0≤x≤4时，f （x ）=﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+1，图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，此时函数的取值范围是[﹣8，1]，又函数f （x ）的值域为[﹣8，1]，∴y=﹣1()2x，a≤x ＜0的值域为[﹣8，1]的子集， ∵y=﹣1()2x ，a≤x ＜0单调递增， ∴只需011()8()122a-≥--≤，，解得﹣3≤a ＜0 故选B ．点睛：本题考查函数的值域，涉及分段函数、指数函数与二次函数的图象与性质及集合间的包含关系，属于中档题6．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先由函数()f x 的图象判断a ，b 的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案．【详解】解：由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数， (0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，【点睛】本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．7．已知,,a b c ∈R ，函数2()f x ax bx c =++，若(0)(2)(3)f f f =>，则（）A ．0a >，40a b +=B ．0a <，40a b +=C ．0a >，20a b +=D ．0a <，20a b +=【答案】D【解析】根据函数值(0)(2)(3)f f f =>得()f x 的对称轴是1x =且在1x >时递减，从而得开口方向．【详解】由(0)(2)f f =知函数的对称轴是1x =，又(2)(3)f f >，∴1x >时，()f x 是减函数． ∴12ba-=且0a <，即20,0a b a +=<．故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题．8．设0c <，()f x 是区间[,]a b 上的减函数，下列命题中正确的是（）． A ．()f x 在区间[,]a b 上有最小值()f a B ．1()f x 在[,]a b 上有最小值()f aC ．()f x c -在[,]a b 上有最小值()f a c -D ．()cf x 在[,]a b 上有最小值()cf a【答案】D【解析】分析：根据单调性确定函数最值，()f x 是区间[],a b 上的减函数，()f x c -是区间[],a b 上的减函数，()cf x 0c （<）是区间[],a b 上的增函数，()1f x 单调性与函数值正负有关.详解：A 项错误，()f x 在[,]a b 上最小值为()f b ，B 项错误，当()()0f a f b >时，1()f x 在[,]a b 上最小值为1()f a ， C 项错误，()f x c -在[,]a b 上有最小值()f b c -， D 项正确．点睛：求函数最值往往利用函数单调性，而函数单调性的判断式解题得关键，若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．9．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C【解析】试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 【考点】函数的性质10．设22222(0)(){(4)(3)(0)k x a k x f x x a a x a x +-≥=+++-<，其中R a ∈．若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为 A ．R B ．[4,0]- C ．[9,33] D ．[33,9]--【答案】D 【解析】【详解】设22()g x k x a k =+-，222()(4)(3)h x x a a x a =+++-，因为设22222(0)(){(4)(3)(0)k x a k x f x x a a x a x +-≥=+++-<，对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立， ∴函数必须为连续函数，即在x =0时，两段的函数值相等， ∴(3−a )2=a 2−k ，即−6a +9+k =0，即k =6a −9，且函数在y 轴两侧必须是单调的，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即240a a +≤，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即(0)(0)g h =，()223a k a -=-，所以，69k a =-在[4,0]-上有解，从而[33,9]k ∈--，故答案为D.【考点】二次函数的图象和性质.二、填空题11．已知log 2,log 3a a x y ==，则2x y a += ．【答案】12【解析】解：因为log 2,log 3a a x y ==，则log 12222log 2log 3log 12,12a x y a a a x y a a ++=+===12．若函数2()log ()f x x x k k z =+-∈在区间(2,3)上有零点，则k = ．【答案】4【解析】【详解】试题分析：显然()f x 是单调递增函数，又它在区间(2,3)上有零点，所以(2)0f <且(3)0f >，即30k -<且2log 330k +->，得23log 33k <<+，而21log 32<<，又k z ∈，所以4k =.【考点】函数的零点.13．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________.【答案】3(1,]2【解析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >，且320a -≥，∴312a <≤．故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．14．函数2()lg(31)f x x =++的定义域是__________．【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】要使函数()f x ()2lg 31x +有意义,则10310x x ->⎧⎨+>⎩,解得113x -<<,即函数()f x ()2lg 31x +的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是单调增函数.如果实数t满足1(ln )ln 2(1)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，那么t 的取值范围是__________．【答案】1.t e e<< 【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以1(ln )(ln )(ln )(ln ),f f t f t f t t=-==由11(ln )(ln )2(1)2(ln )2(1)(ln )(1)ln 11ln 1.f t f f f t f f t f t t t e t e+<⇒<⇒<⇒<⇒-<<⇒<<【考点】奇偶性与单调性的综合应用16．已知2()2f x x x a =++，若函数[()]()y f f x f x =-有且只有三个零点，则实数a 的取值集合为________.【答案】{}0【解析】2()(1)1f x x a =++-最小值为1a -，函数[()]()y f f x f x =-有三个零点，即[()]()f f x f x =有三个解．设()f x t =，即()f t t =，方程()f x t =最多有两解，因此()f t t =也必须有两解才可满足题意，设()f t t =的两解为12,t t ，当121,1t a t a =->-可保证[()]()f f x f x =有三个解．【详解】2()2f x x x a =++2(1)1x a =++-，设()f x t =，显然()f x t =最多有2个不等实解，也可能是2个相等实根或无解．[()]()0f f x f x -=为()0f t t -=，函数[()]()y f f x f x =-有且只有三个零点，则方程()0f t t -=一定有两实根12,t t ，其中一根11t a =-，另一根21t a >-．由2(1)(1)2(1)1f a a a a a -=-+-+=-，得0a =，此时2()2f x x x =+，2()2f x x x x =+=的两根为1-和0，满足题意．∴0a =．故答案为：{0}．【点睛】本题考查函数的零点的概念，解题时由零点定义转化为方程的根，通过二次方程根的分布知识求解．17．已知()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有2()()f x f x x +-=成立.，若()y f x =在(,0]-∞上单调递增，且(2)()22f a f a a --≥-，则a 的取值范围为__________. 【答案】(,1]-∞【解析】由已知令2()()2x g x f x =-，可确定()g x 的奇偶性与单调性，而题设不等式可化为(2)()g a g a -≥，由()g x 的单调性可解．【详解】令2()()2x g x f x =-，则22()()()()022x x g x g x f x f x +-=-+--=，则()g x 是奇函数，又()y f x =在(,0]-∞上单调递增，∴()y g x =在(,0]-∞上也单调递增，从而()g x 在R 上单调递增，(2)()22f a f a a --≥-22(2)(2)()022a a f a f a -⇒---+≥，即(2)()0g a g a --≥，∴(2)()g a g a -≥，∴2a a -≥，所以1a ≤．故答案为：(,1]-∞．【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要考查运用函数的奇偶性与单调性解不等式，解题关键是构造函数2()()2x g x f x =-，确定单调性．三、解答题18．已知全集U =R ，若集合2{|13300}A x x x =-+≤，2{|9140}B x x x =-+≤，{|26}C x a x a =<<+.（1）求A B I ，A B U ；（2）若U UC A ⊆痧，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]3,7A B ⋂=，[]2,10A B ⋃=；（2）()2,3. 【解析】（1）先求出集合,A B ，然后由交、并运算计算；（2）已知等价于A C ⊆，根据子集的概念可得不等关系，从而可求得a 的范围．【详解】（1）∵{}310|A x x =≤≤，{}|27B x x =≤≤， ∴[]3,7A B ⋂=，[]2,10A B ⋃=；（2）∵U UC A ⊆痧，∴A C ⊆，且{|26}C x a x a =<<+，∴32610a a <⎧⎨+>⎩，解得23a <<，∴实数a 的取值范围为()2,3.【点睛】本题考查集合的交、并集运算，考查集合的包含关系．属于基础题．19．已函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，在[0,1]上()()2ln 11xf x x =++-.（1）求函数()f x 的解析式；并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明)；（2）解不等式()()22110f x f x-+-≥．【答案】（1），()f x 是[1,1]-上增函数；（2）不等式的解集为[]0,1.【解析】【详解】试题分析：{设10x -≤≤，则01x ≤-≤}是求函数解析式问题的重要方法,即求那个区间的解析式设自变量在那个区间,然后运用奇函数的性质进行转化;注意运用{在相同定义域内,增+增=增; 减+减=减}判断函数的单调性.（2）利用函数的单调性解不等式,同时注意函数的定义域. 试题解析：（1）设10x -≤≤，则01x ≤-≤1()2ln(1)1ln(1)12x xf x x x -∴-=+--=+-- 又()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()()f x f x =--=1ln(1)12x x ---+()f x 是[-1，1]上增函数 .（2）()f x Q 是[-1，1]上增函数，由已知得:2(21)(1)f x f x -≥-.等价于2202211{1211{2211101x x x x x x x ≤≤-≥--≤-≤⇔-≤-≤-≤≤≤01x ∴≤≤∴不等式的解集为[]0,1【考点】求函数解析式,函数的单调性,函数的奇偶性,解不等式.20．已知函数()()4log 41xf x kx =++为偶函数，()()4log 32xg x a =⨯+．（1）求实数k 的值；（2）若[]1,2x ∈时，函数()f x 的图像恒在()g x 图像的下方，求实数a 的取值范围；（3）当3a >-时，求函数()()416f x kx g xy -=-+在[]0,1x ∈上的最小值()h a ．【答案】（1）12-（2）72a ≥-（3）()22867,3181,383a a a h a a a ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩ 【解析】（1）利用函数是偶函数，建立方程进行求解即可（2）将不等式转化为()()f x g x ≤恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）利用换元法结合指数的性质，转化为一元二次函数，结合函数单调区间和对称轴的关系进行求解即可．【详解】（1）Q 函数()()4log 41x f x kx =++为偶函数， ()()f x f x ∴-=，()()44log 41log 41x x kx kx -∴+-=++，得()444412log log 41log 44x x x x kx x -+=-⎛⎫ ⎪⎭=⎝+=-，解得21k =-，即12k =-. （2）若[]1,2x ∈时，函数()f x 的图像恒在()g x 图像的下方，则()()f x g x ≤恒成立，即()()441log 41log 322x x x a +-⨯+…，即()4441log log 322x x x a ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭…，化简得12322xx x a +⨯+…，即1222x x a -⨯+…恒成立， 1222x x y =-⨯+Q 在[]1,2上单调递减， ∴当1x =时，函数取得最大值17422y =-+=-， 72a ∴≥-，（3）当3a >-时，函数()()()()244log 41log 3241644x x f x kx g x a y ⨯+-+-+=-+= ()()222413282621x x x x aa a =--+⨯+=⨯+⨯+-，设2x t =， [0,1]x ∈Q ，12t ∴剟，则设22()861m t t at a =++-，函数的对称轴为63288a a t =-=-⨯， 3a >-Q ，3988a ∴-<，若318a -…，即83a -…时，则函数在[1,2]上的最小值2()(1)67h a m a a ==++，若39188a <-<，即833a -<<-时，则函数在[1,2]上的最小值231()()188a h a m a =-=--，综上函数在[]0,1x ∈上的最小值()22867,3181,383a a a h a a a ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. 【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k 的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． 21．定义函数1,0,()1,0,x x x ϕ≥⎧=⎨-<⎩222()2()()f x x x x a x a ϕ=---. （1）解关于a 的不等式：(1)(0)f f ≤；（2）已知函数()f x 在[0,1]x ∈的最小值为(1)f ，求正实数a 的取值范围.【答案】（1）13,,22U ⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）[)70,4,16⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】（1）分类，分1a >和1a ≤两类讨论；（2）分类，1a >容易求解，01a <≤时，还要对x1x ≤≤和0x ≤<，这时又要考虑二次函数的对称轴．需要用分离参数法．【详解】（1）由()()10f f ≤，得()()12110a a ϕ---≤，当1a >时，()11a ϕ-=-，所以()1210a +-≤，∴32a ≥；当1a ≤时，()11a ϕ-=，所以()1210a --≤，∴12a ≤，综上，不等式的解集为：13,,22U ⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）当1x =时，)(()1f x f =，根据题意，对于任意的[)()()0,1,1x f x f ∈≥恒成立，当1a >时，由()()1f x f ≥，得()22232x x x a a +-≥-，即()322123a x x x -≤+-，① ∵[)0,1x ∈，①等价于322321x x a x +-≥-， ∴22233a x x ≥++，∴2233a ≥++，∴4a ≥；当01a <≤时，由()()1f x f ≥，得()()222221x x x a x a a ϕ---≥-.1x ≤≤时，∴()322121a x x x -≥--，② ∵[)0,1x ∈，②成立，等价于322212211x x a x x x --≤=++-，221a a ≤，恒成立；当0x ≤<时，222()21x x x a a +-≥-，∴322(1)21a x x x +≤++，∵[)0,1x ∈，∴322212211x x a x x x ++≤=-++2172()48x =-+，14≤，即1016a <≤时，22a 1≤-，成立，所以1016a <≤符合；14>即 1 116a <≤时，728a ≤，716a ≤，结合条件，得171616a <≤. 综上，7016a <≤或4a ≥. 【点睛】本题考查分段函数性质、函数的单调性，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于难题．。

浙江省杭州市八校联盟2018_2019学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

浙江省杭州市八校联盟2018-2019学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共40分）1.设点O 是正方形ABCD 的中心，则下列结论错误的是（） A. AO OC =B. //BO DBC. AB 与CD 共线D.AO BO =【答案】D 【解析】【分析】由正方形的基本性质和向量的基本性质可得答案. 【详解】解：如图，AO 与C O 方向相同，长度相等，∴A 正确；B ,O ,D 三点在一条直线上，//BO DB ∴，B 正确； AB CD ，AB ∴与CD 共线，C 正确；AO 与B O 方向不同，B AO O ∴≠，D 错误.故选D.【点睛】本题考查相等向量、共线向量.熟练掌握相等向量和共线向量的定义是解决本题的关键.2.已知向量(,),(,)1102a b ==，且(,)28a b λμ+=，则λμ-=（） A. 5 B. -5C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，得到方程组求出结果即可. 【详解】解：(,),(,)a b ==1102，(,)a b λμλλμ∴+=+2(,)a b λμ+=28，(,)λλμ∴+2=(2,8)，,λμ∴==231λμ∴-=-故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算.3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若,602A a b c ==+，则ABC ∆一定是（） A. 直角三角形 B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由,602A a b c ==+，再根据余弦定理可得a bc =2，即可得出ABC ∆是等边三角形. 【详解】解: 在ABC ∆中，,A a b c ==+602()b c b bc c a ∴+=++=222224化简得：b c a a bc +-=-222232cos b c a bc A +-=2222 cos a bc bc A bc ∴-==2322 a bc ∴=2()b c ∴-=20，则b c =∴a b c ==，ABC ∆是等边三角形.故选C.【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法.熟练掌握正弦定理和余弦定理是解此类题目的关键.4.sincos sincos2212121212ππππ-+=（）B.14- C. 14-D.34【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数中二倍角公式化简即可求得答案.【详解】解：2211sin cos sincoscossin 121212124662ππππππ--+=-+=故选B.【点睛】本题考查三角函数中二倍角公式的运用.熟练掌握二倍角公式是解题的关键.5.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4cos 5A =，且边5,c a ==b =（）A. 3或5B. 3C. 2或5D. 5【答案】A 【解析】【分析】利用余弦定理即可求出b 的值. 【详解】解：4cos 5A =，由余弦定理得241025255b b =+-⋅⋅⋅，即28150b b -+=，解得3b =或5b =. 故选A.【点睛】本题考查余弦定理的运用.熟练掌握余弦定理是解题的关键.6.已知正六边形12345OPP P P P 的边长为1，则(,,,,)112345i OP OP i ⋅=的最大值是（）A. 1B.32D. 2【答案】B【解析】【分析】依题意得，分别计算出当1,2,3,4,5i =时i OP OP ⋅1的值，比较即可得出答案. 【详解】解：如图，当1,2,3,4,5i =时，(,,,,)112345i OP OP i ⋅=的值相应是,,,,3111022-，故最大值为32.【点睛】本题考查正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识.7.当x 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()sin 2sin 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是（）A. [B. [-C. [2]D. []1,2-【答案】C 【解析】【分析】由题通过三角恒等变换得()sin()f x x π=-223，根据x 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出ππ2π2[,]333x -∈-，即可得出()f x 值域.【详解】解：由题意得，()sin sin()cos()244f x x x x ππ=---sin sin()sin sin()22222223x x x x x ππ=-==-. 当[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-∴当0x =时，()f x取最小值为，所以值域为[2]【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的定义域和值域.熟练掌握三角恒等变换是解题的关键.8.对于集合12,,},{n a a a ⋯和常数0a ，定义：()()()22210200cos cos cos n a a a a a a p n-+-++-=为集合12,,},{n a a a ⋯相对0a 的“余弦方差”，则集合240,,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对0a 的“余弦方差”为（）B.12C.14D. 与0a 有关的一个值【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得，cos (cos )(cos )a a a a a p +-++--=222000001122223，利用诱导公式和两角和与差的正弦公式对其化简；将2200sin cos 1a a +=代入化简后得到的结果，即可求出答案. 【详解】因为cos ()cos ()cos ()222000240333a a a p ππ-+-+-=cos (cos )(cos )222000001122223a a a a a +-++-=cos cos sin cos sin 222220000013131444432a a a a a ++++==故选B.【点睛】本题考查了两角和与差的余弦公式以及诱导公式，难点在于对表达式做合理变形后能够使用三角函数公式对其化简.对于此类题目，应熟记三角函数的各个公式，不要混淆.二、填空题（每小题4分，共28分）9.已知(,),(,)222a b x =-=，若6a b ⋅=，则x =________. 【答案】5 【解析】【分析】根据6a b ⋅=，利用平面向量数量积的坐标表示即可求出答案. 【详解】解：(,),(,)a b x =-=222a b x ∴⋅=-24又6a b ⋅=x ∴-=246解得5x =【点睛】本题考查平面向量的坐标表示.已知平面向量的数量积求参数.10.若3cos ,,052παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_____．【答案】410+- 【解析】【分析】求出角的正弦函数，然后利用两角和的正弦函数公式求解即可. 【详解】解：由条件得4sin 5α=-，所以sin()sin cos 1432210πααα+-=⋅-=-.【点睛】本题考查两角差的正弦函数，同角三角函数的基本关系的应用.11.已知()()2,5,10,3A B --，点P 在直线AB 上，且13PA PB =-，则点P 的坐标是_____．【答案】(1,3) 【解析】【分析】由题意可知，,,A B P 三点共线，且有13PA PB =-，设出点P 的坐标，利用向量相等的条件建立方程求出点P 的坐标【详解】解：设(),P x y()()2,5,10,3A B --，点P 在直线AB 上(,)PA x y ∴=---25，(,)PB x y =---103PA PB =-13，则有12(10)315(3)3x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩解得13x y =⎧⎨=⎩()1,3P ∴【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P 的坐标.12.有一长为10m 的斜坡，它的倾斜度是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30°，则坡底要延伸_____m ．【答案】【解析】【分析】画出图形，利用正弦定理即可求出. 【详解】解：如图，ABC ∆中，设BC xm =，由正弦定理可知10sin 45sin 30x =︒︒10sin 45sin 30x ︒∴==︒【点睛】本题考查了三角函数的简单运用，解答本题的关键是找到边角关系，列出等式求得即可.13.若tan ,tan αβ是方程2620x x ++=的两个实数根，则cos()sin()αβαβ-+=_____．【答案】12- 【解析】【分析】根据韦达定理求出tan tan ,tan tan 62αβαβ+=-=，利用三角函数和与差的正弦和余弦公式将cos()sin()αβαβ-+展开，分子分母同时除于cos cos αβ，代入即可得出答案.【详解】解：由韦达定理得tan tan ,tan tan 62αβαβ+=-=cos()sin()αβαβ-∴+cos cos sin sin tan tan sin cos cos sin tan tan 112162αβαβαβαβαβαβ+++====-++-.【点睛】本题考查了韦达定理，三角函数两角和与差正弦、余弦公式.14.在ABC △中，60,4sin 5sin ,A B C S ∠=︒==_____．【答案】18+【解析】【分析】因为4sin 5sin B C =，由正弦定理可得45AC AB =，所以可设,54AC x AB x ==，根据面积公式可求出x ，继而求出AC 和AB ，利用余弦定理求出BC ，从而求出周长.【详解】4sin 5sin B C =由正弦定理得45AC AB =. 设,54AC x AB x ==则sin 145602S x x =⋅⋅⋅=2x =， ,AC AB ∴==108. 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB BC A =+-⋅⋅∠BC ∴=故此三角形的周长为18+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，解题的关键是由面积求出AB 和AC.15.已知点M 是ABC ∆所在平面内的一点，若满足620AM AB AC --=，且ABC ABM S S λ∆∆=，则实数λ的值是______.【答案】3 【解析】【分析】点M 是ABC ∆所在平面内的一点，若满足620AM AB AC --=，根据向量的概念，运算求解得：2BN NC =，32ABC ABN S S ∆∆=，再根据ABM S ∆与ABN S ∆的关系，求出A S ∆BC 与ABM S ∆之比，得出λ.【详解】解：记2AM AN =AN AB AN AC -+-=220 2BN NC ∴=，32ABC ABN S S ∆∆=.又ABM ABN S S ∆∆=12ABC ABM S S ∆∆∴=3，从而有3λ=.【点睛】本题考查了向量的几何运算，根据线段的比值，面积的关系求解.三、解答题（5小题，共52分）16.已知α，β均为锐角，且3sin(),sin()5πααβ-=-= （1）求3sin 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求cos β的值．【答案】（1）725-（2【解析】【分析】（1）由题意可得，3sin()sin 5παα-==利用诱导公式和二倍角的余弦公式求出3sin 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可（2）利用cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-，即可求出cos β的值．【详解】解: （1）3sin()sin 5παα-==sin()cos sin πααα∴+=-=-=-2372221225（2）cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-(4351051050=⋅+⋅-=【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，考查角的变换.正确运用公式是解题的关键.17.已知两个非零向量12,e e 不共线，如果12121223,413,24AB e e BC e e CD e e =+=+=-，（1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若121e e ==，且||13AB =，求向量12,e e 的夹角．【答案】（1）见解析（2）2π【解析】【分析】（1）要证明A ，B ，D 三点共线，只需证明,AD AB 共线.根据向量加法的三角形法则求出AD ，利用向量共线定理可证.（2）根据||AB AB =22得出120e e ⋅=，从而得出向量12,e e 的夹角. 【详解】（1）AD AB BC CD e e AB =++=+=128124，,AD AB ∴共线，即,,A B D 三点共线.（2）()AB e e e e e e e e =+=+⋅+=+⋅=222212112212234129131213，120e e ∴⋅=，故有向量12,e e 的夹角为2π. 【点睛】本题考查了向量的加法法则、向量共线定理.18.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，(,),(,)p a c b q b a c a =+=--，若//p q ，（1）求角C 的大小；（2）若()cos 23ab C c =，求11tan tan A B+的值．【答案】（1）3C π=（2）3【解析】【分析】（1）利用//p q 推出a ，b ，c 的关系，利用余弦定理求出C 的大小即可.（2）由正弦定理可得()sin sin 21322A B ⋅=，得出sin sin A B =11tan tan A B +化简得sin tan tan sin sin CA B A B+=11，进而求出答案. 【详解】解：（1）//p q ，则()()()0a c c a b b a +---=，c a b ab ∴--=-222.由余弦定理得1cos 2C =，故有3C π=.（2）()cos ab C c -=2333，()sin sin )A B ∴⋅=21322，即sin sin 3A B =cos cos sin tan tan sin sin sin sin 11A B C A B A B A B+=+=233==【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，余弦定理、正弦定理的运用.19.已知ABC △的面积为S ，且AB AC S λ⋅=，（1）当1λ=时，求tan 4A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）当λ=，边BC 的长为2时，求ABC △的周长的最大值．【答案】（1）3-（2）周长的最大值为6 【解析】【分析】设ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，根据向量和数量积和面积公式得出cos sin 2A A λ=，从而得出tan 2A λ=.（1）当1λ=时，tan 2A =，利用两角和的正切公式展开，代入tan 2A =即可得出答案. （2）当3λ=，=2BC 时，利用正弦定理可将ABC ∆的周长转化为sin sin sin()L R B R C B π=++=++222426，进而得出当3B π=时，周长取最大值为6.【详解】设ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，由题意得cos sin 12bc A bc A λ=⋅，即cos sin 2A A λ=，解得tan 2A λ=.（1）当1λ=时，tan 2A =，则有tan tan()tan 1341A A Aπ++==--.（2）当3λ=时，tan A =3A π=.由正弦定理得sin sin 2423a R A π===以ABC ∆的周长为sin sin sin()44222223L R B R C B B π=++=+-(cos sin )cos sin()44122242226B B B B B B π=++=++=++，所以当3B π=时，周长取最大值为6.【点睛】本题考查了正弦定理，三角形面积、周长的求解和三角函数知识的运用.20.设函数()sin cos f x a x b x =+，,a b 为常数，（1）当23x π=时，()f x 取最大值2，求此函数在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）设()sin a g x x =-，当1b =-时，不等式()()f x g x >对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的最小值是1（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据()f x的最大值可得21222a b =-=⎩，解出,a b ；求得()f x 后，根据x 的范围求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可求得最小值；（2）根据不等式()()f x g x >对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立可得：sin cos 322a x a x >+恒成立，然后利用三角函数的图象与性质求出sin 2cos 2y x a x =+的最值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：2122b =-=，解得：1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ ()min 52sin 16f x π∴==（2）()()f x g x >即：sin cos sin aa x x x->- 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 0,1x ∈ 2sin sin cos a x x x a ∴->- 即()1cos2sin 22a x x a -->-，整理得：sin cos 322a x a x >+又()sin 2cos 22x a x x ϕ+=+，其中tan a ϕ=，,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()20,x π∴∈ 32,22x ππϕ⎛⎫∴+∈-⎪⎝⎭()max sin 2cos 2x ax ∴+=3a ∴>a >∴不等式()()f x g x >对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立时，4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎝⎭∈⎪ 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数中的恒成立问题，考查了转化思想.解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为最值的求解问题，属中档题．。