有限元在电磁场中的应用

• 因它在理论上以变分原理为基础，这既保障了方法的收敛性，同时又 保持了系数矩阵的对称正定性。另一方面，它在处理技巧上，又吸取 和发展了有限差分法对定义域离散处理的灵活性和边界的适应性，同 时还保持了差分法中系数矩阵的稀疏性，这就大大计省了计算机容量 。
谢谢！
2 1 J ( ) (9) dV V 2
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• 这就是第一、第二类边界条件下的拉普拉斯方程所对应的泛函。将 式（7）代入式（9），然后进行求导运算可得
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（10）
• 这就是拉普拉斯方程的三角单元矩阵特征式
源自文库
• （5）集合单元特性得到表示整个解域性质的矩阵方程式。为了求得 全系统模型的特性，就必须“集合”全部单元的特性，然后求泛函的 极值，导出联立代数方程组（又称有限元方程）。“集合”所依据的 原理是：在一些单元相互连接的结点处，要求所有包括此结点的单元 在该结点处的场变量相同。（4）和（5）步可一并由计算机来完成。 • （6）求解有限元方程。这首先要考虑边界条件，然后由计算机解出 未知结点的场变量值，通过这些结点值就能求出场内任一点的场量值 。 • 总之，有限元法是从变分原理出发，通过区域划分和分片插值找出形 状函数，在通过“集合”把变分问题近似转化为多元函数的极值问题 。
有限元法在电磁场分析中的应用
有限元法简介
有限元法是一种数值计算方法，最初用于力学领域，六十年代中期开 始用于电磁场计算 。目前在电磁场分析中，有限元法是较先进的方法之 一。这种方法以变分原理为依据，具有牢固的数学基础。 在实际的电磁场中，场是连续的，空间无限多个点的每一点都有确 定的的场量（即具有数学上所称的无穷维自由度)。而有限元法是将场域 划分为有限个单元，用一个简单的函数作为场变量模型（又称插值函 数），构成每个单元中场的试探解。有限元法可以将单元中任一点的待 求量 ，用该单元边界与其他单元边界的交点 (在有限元法中称为结点) 上的场量值表示 。因此，整个场的计算可归结为有限个结点上场量的

j
m

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（ 4）
• 解式（4）可得 •
（ 5）
• 式中
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（6）
• 表示为ijm三角形面积。将式（5）代入式（4）经整理可得
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（x，y） =Nii（ +N 6） j j +Nmm
• 其中
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（7 ）
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式（8）称为三结点三角单元的形状函数（也称内插函数或基函数）。至此 ，可用已知结点的场景及形状函数来表示单元中未知点场量。 若令式（1）中f=0，对于第一、第二类边界条件，则式（1）变为


元去分割（见图1）。对于三维空间场，单元的形状可以是四面体、长 方体、任意六面体等（见图2）。不论是平面场还是空间场，对于同 一求解域可以用不同类型的单元去分割。究竟场域如何剖分及结点如 何编号等，需要根据场域及边界的具体形状、结构、计算机容量、计 算速度和求解的精度等因素来确定。
（3）选择场变量模型。因为多项式容易进行微积分运算，故目前大多采 用多项式作为场变量模型来近似地表示真实的场分析。多项式的项数 由单元上结点的数目及每个结点的未知量的性质、数目等因素所决定 。
的计算，即将无穷维自由度问题转化为有限个自由度的问题。 结点场量计算的思路如下：描述电磁场规律的是些偏微分方程， 首先找出与之相应的泛函，这样偏微分方程的边值问题就成了求泛函 的极值问题。场域被分成有限单元后，整个场域的泛函就是各单元泛 函之和。在引入插值函数并用结点场量表示单元内任一点的场量后， 泛函近似转化为多元函数，变分极值近似转化为多元函数的极值。在 对场量取偏导并令之为零后，得到的方程是代数方程。每个单元建立 一个方程，在整个求解区域中则有一个代数方程组，计及边界条件后 解此方程组就可求出各结点场量。在此过程中，并不要求每个单元中 的插值函数满足整个场域的边界条件，所以可以很容易的确定。由于

（x 3） （x，y） =1 2 3 y + 4 xy
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（4）求出单元特征式。当选定单元形状和场变量模型后，就可确定表示单元 特性的矩阵公式。例如，平面场中若选定三角形单元来分割，它的场变量模 型由（2）式表示，其中系数 与三角形的三个顶点处的坐标极点及电位值有 关。若令三角形ijm【见图1（a）】的三个顶点的函数值分别为 、 i • 和 ，则有
1 2 1） （ J = -2f d - ds s 2
其中， 表示电位 的梯度， 表示求解域体积，s为其表面积，f为常数
（2）对求解域的连续域进行离散，即按一定方式将场域剖分为有限个单 元体。若求解的是平面场，则可以用三角形、矩形、曲线四边形等单
整个计算过程都是代数运算，故可由计算机进行。正因如此，有限元 法成了求解电磁场边值的一种简单有效的方法。
有限元法解题的一般步骤
用有限元求解实际问题的步骤大致如下： （1）找出与被求解的边值问题相应的泛函。目前，电磁场中常遇到的一些偏微分 方程相应的泛函均已被找到，例如与泊松方程 2 相应的泛函（对第二类边 =-f 界条件）为
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如平面场域中若用三角形【见图1（a）】，作为基本单元，当单元中每个结点 的自由度为1时，则线性场变量模型为
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式中， 代表单元内任意一点的场量， x、y为该点的坐标， 为系数 （x， y） 若用双线性元的矩形单元【见图1（b）】为基本单元，则场变量模型为：
（x，y） =1 x 3 y+4 y （2 2）