初中三年级数学下册时正弦与余弦习题课件北师大版
4【课件(人教版)】第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．cos4 1π2－sin4 1π2等于
A．－12
B．－
3 2
C．12
D．
3 2
解析：选 D.原式＝cos2
1π2－sin2
1π2cos2
1π2＋sin2
π
12
＝cos π6＝ 23.
()
2．求下列各式的值．
(1)1－tatnan3203°0°；
(2)sin
110°－cos
3 10°.
解：(1)1－tatnan3203°0°＝121×－2ttaann23300°°
(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x ＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x； ②cos 2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x ＝2sinπ4－xcosπ4－x.
1．已知 x∈－π2，0，cos x＝45，则 tan 2x＝
A．274
2．已知 sin α＝35，cos α＝45，则 sin 2α 等于
7
12
12
24
A.5
B. 5
C.25
D.25
答案：D
()
3．计算 1－2sin222.5°的结果等于
1 A.2 答案：B
2 B. 2
3 C. 3
3 D. 2
()
4．已知 tan α＝43，则 tan 2α＝________． 答案：－274 5．已知 sin α＋cos α＝13，则 sin 2α＝________． 答案：－89
公式
推导
正弦
sin 2α＝ __2_s_in__α_c_o_s_α_____
S(α＋β)令―β―＝→αS2α
记法 S2α
3.3.2半角的正弦、余弦和正切公式 课件(北师大版必修4)
π π x－ 3.已知函数 f(x)＝sin(x＋ )＋sin 6 6 ＋cos x＋a(a∈R)． (1)求函数 y＝f(x)的单调增区间； π π (2)若函数 f(x)在－2，2上的最大值与最小值的和 为 3，求实数 a 的值．
解析：
(1)f(x)＝ 3sin x＋cos x＋a π ＝2sinx＋6 ＋a， π π π 解不等式 2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)， 2 6 2 2π π 得 y＝f(x)的单调增区间是2kπ－ 3 ，2kπ＋3 (k∈Z)．
[题后感悟] 已知三角函数式的值，求其他三角 函数式的值，一般思路为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角 函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
12 3π 1.已知 sin 2α＝－ ， π<2α< ， sin α， α. 求 cos 13 2 12 3π 解析： 因为 sin 2α＝－ ，π<2α< ， 13 2 12 2 2 所以 cos 2α＝－ 1－sin 2α＝－ 1－－ ＝ 13 5 － . 13
第2课时
半角的正弦、余弦和正切公式
1.了解半角公式及 推导过程. 2.能利用两角和与 差公式进行简单的 三角求值、化简及 证明.
1.应用半角公式化简、求 值及证明．(重点) 2.倍角公式与半角公式的 联系．(易混点) 3.公式的综合应用．(难 点)
sin 2α＝_____________. 2sin αcos α cos 2α＝____________＝__________＝__________. cos2α－sin2α 1－2sin2α 2cos2α－1
先把函数fx的解析式化简，化成Asinωx＋φ ＋B的形式后再研究函数性质.
正弦函数与余弦函数的图象练习题
专项训练:正弦函数与余弦函数的图象一、单选题1．同时具有性质:①最小正周期是；②图象关于直线对称;③在上是增函数的一个函数是 ( ）A ．B ．C ．D ．2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时,,则的值为( ). A ．B ．C ．D ．3．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数,是A ． 最小正周期为的奇函数B ． 最小正周期为的偶函数C ． 最小正周期为的奇函数 D ． 最小正周期为的偶函数5．函数f (x )＝4x －3tan x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．6．如图是函数()(),(0)2f x cos x ππϕϕ<<＝＋的部分图象，则f (3x 0)＝( ）A ．12 B ． －12 C ．3． 37．已知f (x ）＝sin(ωx ＋φ）(ω>0,｜φ｜〈2π)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( ）A ． ω＝2，φ＝π3B ． ω＝2，φ＝π6C ． ω＝4，φ＝π6D ． ω＝2，ω＝－π68．函数y =sin2x +cos2x 最小正周期为A ．B ．C ． πD ． 2π9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) 0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若x 1,x 2∈,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且f (x 1)＝f （x 2），则f (x 1＋x 2）＝（ )A ．12B ． 22C ．32D ． 1 10．下列函数中,周期为π,且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ )A ． sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ． cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ． sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )A ．B ．C ．D ．12．函数f （x )=sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程可以为 ( )A ． x=π12B ． x=5π12 C ． x=π3 D ． x=π613．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 （ ）A ．B ．C ．D ．14．函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ）。
余弦定理课件
北师大版数学教材 必修5
D C2 N
解法1:参见教材第46页---第47页.
250 km A 300 km
40 km/h
C1 45° B
D C2 N H 40 km/h
250 km A 300 km
C1 45° B
七、拓展整合
北师大版数学教材 必修5
D C2 N 40 km/h
250 km A 300 km
九、及时巩固
1.书面作业
北师大版数学教材 必修5
(1)教材第52页习题2-1的A组第5题；
(2)教材第64页复习题二的A组第3题； (3)补充习题：
在△ABC中,已知AC＝5, BC＝8,
5 D A
∠ACB＝60 °, 且D是AB的中点,
求CD的长.
C
60° 8 B
2.课外阅读:《余弦定理的证明十法》. 欢迎登陆,免费注册后即可下载相关资料！
C1 45° B
问题6 对于解答本题的这三种解法，你有什么看法？
八、课堂小结
1.知识要点
（1）余弦定理及其推论.
北师大版数学教材 必修5
（2）余弦定理的作用.
（3）解三角形的各种类型. ① 已知两角及一边 ②已知两边及一边的对角
③ 已知两边及夹角
④已知三边
2.思想方法: 分类讨论思想；化归与转化的思想；方程的思想.
北师大版数学教材 必修5
在△ABC中,已知AC＝b, BC＝a, 以及角C, 求边AB的长c.
(2)关注各解法在求解问题3和问题4时的异同！
A
b
C
a
B
由问题4可得：c a b 2ab cos C .
2 2 2
四、余弦定理
北师大版初三数学下册正弦与余弦(20201017032047)
1.1从梯子的倾斜程度谈起（二）教学目标（一）教学知识点1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义2. 能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3. 能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算4. 理解锐角三角函数的意义.（二）能力训练要求1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点2. 体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.（三）情感与价值观要求1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲2. 形成合作交流的意识以及独立思考的习惯教学重点1. 理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明2. 能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3. 能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索--- 交流法.教具准备多媒体演示.教学过程I.创设情境，提出问题，引入新课［师］我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，得出了当并且倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定•也就是说这一比值只与倾斜角有关,与直角三角形的大小无关•并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正现在我们提出两个问题:［问题1］当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗［问题2］梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？n.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1) 直角三角形ABC和直角三角形ABG有什么关系？⑵AC1和和AC有什么BA BA，关系？匹和呢？BA BA2(3)如果改变A在梯子A i B上的位置呢？你由此可得出什么结论？⑷如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？请同学们讨论后回答［生］「•AG 丄BG, AC2 丄BC,••• A i G//A 2G.••• Rt△BAG s Rt△BAG.AG和竺BA BABC」BC2BC1和-（相似三角形对应边成比例）.BA, BA,由于A-是梯子A i B上的任意一点，所以，如果改变A-在梯子AB上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.［生］如果改变梯子A i B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.［师］我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢？［生］函数关系.［师］很好！上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：（用多媒体演示）19B乙4的对边C在Rt △ ABC 中，如果锐角 A 确定，那么/ A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确 定.如图，/ A 的对边与邻边的比叫做/A 的正弦（sine ），记作sinA ,即生］我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角 A 确定时./A 的对边与斜边的比值, /A 的邻边与斜边的比值，/ A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“/ A 的三角函数”概念中，/ A 是自变量，其取值范围是 0° <A<90°;三个比值是因变量.当/ A 变化时，三个 比值也分别有唯一确定的值与之对应2. 梯子的倾斜程度与 si nA 和cosA 的关系［师］我们上一节知道了梯子的倾斜程度与 tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由sinA 、cosA 有关系呢？如果有关系，是怎样的关系［生］如图所示，AB= AB ,sinAA 的对边 斜边/ A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦（cosine ），记作cosA ，即 cosA=A 的邻边 斜边锐角A 的正弦、余弦和正切都是/ A 的三角函数 (trigo no metricfu nctio n).师］你能用自己的语言解 释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之 A 的三角函此我们想到梯子的倾斜程度是否也和BC在 Rt △ ABC 中, sinA=，在ABB CRt △ AB i C 中，sinA i =-.A iB i..匹 v BQAB A i B i即sinA<sinA i ，而梯子 A i B i 比梯子 AB 陡,所以梯子的倾斜程度与 sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的 倾斜程度•AC A C.AB=AB>-—即 cosA>cosA i ,AB A i B i所以梯子的倾斜程度与 cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.［师］同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉 ！从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切2OO.sinA = 0.6，求 BC的长•分析：si nA 不是"sin ”与"A ”的乘积，si nA 表示/ A 所在直角三角形它的对边与斜生］同样道理cosA 仝cosA i =ABA i C A iB iBC边的比值，已知sinA = 0.6 , = 06AC解：在Rt△ ABC中，/ B= 90°, AC= 200.BCsi nA = 0.6，即= 0.6 , BC= AC X 0.6 = 200 X 0.6=120.AC思考：(1)cosA = ?(2) si nC =? cosC = ?(3) 由上面计算，你能猜想出什么结论？解：根据勾股定理，得AB = , AC2 BC2.2002 1202=160.在Rt △ ABC中，CB= 90°AB160 4 °CcosA0.8 ,AC2005AB160 4 °CsinC==0.8 ,AC2005BC120 3 〃cosC0.6AC2005由上面的计算可知sinA = cosC= O.6, cosA = sinC = 0.8.因为/ A+Z C= 90°,所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦” 余弦等于它余角的正弦”.［例2］做一做:如图，在Rt△ ABC中，Z C=90°, cosA= , AC= 10, AB等于多少?s inB13呢？你还能得出类似例1的结论吗？请用一般式表达.“一个锐角的呢？cosB、sinA根据勾股定理，得2 2 2BC = A£AC 2 = (65)2-102= 6560务6366c 25BC = .6sinA =匹 §AB 13可以得出同例1 一样的结论.•••/ A+Z B=90°,.si nA : cosB=cos(90-A)，即 si nA = cos(90 ° -A);分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° -A)=sinA.12解：在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AC=1Q cosA =, cosA =13ACAB...AB = AccosA10 12 131265 "6sinB =虫AB cosA 12 1325一 6一一25 _565 135BC 4 解: sinA= , •/ sinA= , BC = 20 ,AB5• AB=BC sin A 20T==25.在 Rt △ BC 中，AC = 252202 =15,cosA = sin B = sin(90 ° -A)，即 cosA = sin(90 ° -A).川.随堂练习多媒体演示1. 在等腰三角形 ABC 中，AB=AC = 5, BC=6 求 sinB , cosB , tanB.分析：要求sinB , cosB , tanB ，先要构造/ B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“ 线合一”的性质，可过 A 作ADL BC, D 为垂足.解：过A 作AD L BC, D 为垂足.1••• AB=AC 二 BD=DC 二 BC=3.2在 Rt △ ABD 中, AB= 5, BD=3• AD= 4.AD 4 tanB=BD 342. 在厶ABC 中，/ C = 90 ° , si nA =, BC=20,求厶ABC 的周长和面积5si nBAD 4 cosB =匹 3 AB 5 AB 5设BC=x AC=2x 根据勾股定理，得AB= x 2 （2x ）2 5x .ABIV.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念， 用函数的观念认识了三种三角函数， 即在锐角A 的三角函数概念中，/ A 是自变量，其取值范围是0° </ A<90°;三个比值是因变量• 当/ A 确定时，三个比值分别唯一确定；当/A 变化时，三个比值也分别有唯一确 定的值与之对应•类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的 关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题V •课后作业习题1、2第1、2、3、4题W .活动与探究已知：如图，CD 是Rt △ ABC 的斜边AB 上的高，求证：B C =AB - BD.（用正弦、余弦函 数的定义证明）••• ABC 的周长=AB+AC+B G 25+15+20= 60,11△ ABC 的面积：—AC X BC J X 15X 20 = 150.2 23. （2003年陕西）（补充练习）1在厶 ABC 中./ C=90°,若 tanA=—,2则 sinA=解：如图, tanA=BC = 1AC 2• si nA=BC［过程］根据正弦和余弦的定义 ，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值（或余弦值）就相等，不必只局限于某一个直角三角形中， 在Rt △ ABC 中，CD L AB.所以图中含有 三个直角三角形•例如/ B 既在Rt △ BDC 中，又在 Rt △ ABC 中，涉及线段 BC BD AB,由正 弦、余弦的定义得 cosB = -BC , cosB= BD .ABBC 又••• CDL AB.BC =BD B C= AB- BD.AB BC板书设计 § 1.1.2 从梯子倾斜程度谈起（二）1. 正弦、余弦的定义在 Kt △ ABC 中，如果锐角 A 确定.sinA = A 的对边斜边cosA = A 的对边斜边2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和cosA 有关吗？ sinA 的值越大，梯子越陡 cos A 的值越小，梯子越陡3. 例题讲解4. 随堂练习结果]在 Rt △ ABC 中，cosB =BC AB•••在 Rt △ CDB 中, cosB = BDBC。
正弦定理、余弦定理说课稿北师大版(优秀教案)
正、余弦定理（说课稿）一、教材分析正弦定理是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。
提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。
在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（）已知两角和一边，解三角形：（）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标.知识与技能：()引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；()简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法..情感、态度与价值观：()通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；()通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用教学难点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
【数学】1.5《正弦、余弦函数的图像和性质(二)》课件(北师大版必修4)
利用定义确定周期时，
f ( x T ) f ( x)
是对 x 而言，即是 x 的改变量
函数 y A sin(x ), x R 及 函数 y A cos(x ), x R (其中A, , 为常数，且A 0, 0) 2 的周期为T
3、一般地,如果 是函数
T (T 0)
y f ( x) 的周期,那么
kT (k N )
也是函数的周期.
例2
画出函数
y sin x
与 y cos x 的图象，说出它们的周期
y
1
y=|sinx|
2
2
3 2
2
O -1
3 2
2
x
y=sinx
P 63--- 5,6
3 4 5 6
o
-1
2
x
y=sinx 最值：
当且仅当
时取最大值1
x 2k , k Z 2
当且仅当
x 2k , k Z 2
时取最小值-1
y=cosx 最值：
当且仅当
x 2k , k Z
x 2k , k Z
时取最大值1
当且仅当
都是正弦(余弦)函数的的周期
对于周期函数f(x)，如果在它 所有周期中存在一个最小的正 数，则这个最小正数就叫做函 数f(x)的最小正周期。
2π是正弦(余弦)函数的 最小正周期
例1 求下列函数的周期
(1) ( 2) ( 3)
y 3 cos x ,
xR
y sin 2 x , xR 1 y 2 sin( x ), x R 2 6
1.1 第2课时正弦与余弦PPT课件(北师大版)
讲授新课
例1.如图，在Rt△ABC中，
C
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6.
思考：（1）cos A=？
（2）sin C=？ cos C=？
A
B
解：根据勾股定理得 AB = AC 2 - BC 2 = 160.
在Rt△ABC中， ∵∠B=90°， ∴cos A = AB = 160 = 4 = 0.8，
1 第2课时 正弦和余弦
我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻 边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜 角确定时，其对边与邻边之比随之确定.也就是说这 一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关. 并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之 比定义了正切.
想一想： 【问题1】当直角三角形中的锐角确定之后，其 他边之间的比也确定吗？ 【问题2】梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如 果有，是怎样的关系？a c
sinA=cosB
tan A sin A cos A
例1.如图，在Rt△ABC中，
C
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6，
求BC的长.
A
B
解：在Rt△ABC中， ∠B=90°，AC=200， sin A=0.6，即 BC = 0.6.
AC ∴BC=AC×0.6=200×0.6=120.
谢 谢 观 看！
AC 200 5 sin C = AB = 160 = 4 = 0.8，
AC 200 5 cos C = BC = 120 = 3 = 0.6.
AC 200 5
讲授新课
C 例1.如图，在Rt△ABC中，
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6.
A
B
思考：（3）由上面计算，你能猜想出什么结论？
正弦定理与余弦定理时PPT课件
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
余弦定理 优秀课件 北师大版
c
b
C
1 因此c 5 4 2 5 4( ) 61 2
2 2
a
图 1
B
例2
在ABC中，已知a 3, b 2, c 19，求此三角形各个角的大小及其面积，
解：由余弦定理得：
（精确到0.1）
cosC
a b c 2ab
2 2
2
3 2 19 2 3 2
（ ）当ABC为直角三角形时； 1
A
C 90 c a b
2 2 2 2 2
又 cosC 0 c a b - 2abcosC
2
C
B
( 2)当ABC为锐角三角形时； c 2 AD 2 BD 2
2 2 bsinC） BD DC） （ （
2 2
2
A
因此C 120
再由正弦定理得
a sin C sin A c 3 3 2 3 3 0.5960 19 2 19
B
图2
C
D
因此，A 36.5或A 143 .4（不合题意，舍去）
因此，B 180 A C 23.4
设BC边上的高为AD，则
既然选择了远方， 就只有风雨兼程 。
人教版必修5
1.1.2余弦定理
温故知新
1、正弦定理的主要内容 是什么？
正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的
a b c 正弦的比相等 sin A sin B sin C
2、正弦定理能解决哪些解三角形问题？
(1)已知两边及一边对角，求另一边的对角。 (2)已知两角和任一边，求其它两边及一角
在一个三角形中，如果知道两边及其夹角的值， 由余弦定理就可以求出第三边
3.3.1二倍角的正弦、余弦和正切公式 课件(北师大版必修4)
给值式求值. sin 2x＋cos 2x－1 π 4 已知 cos( ＋x)＝ ，求 4 5 1－tan x 的值．
根据二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝1－ sin x 2 2sin α，首先将倍角2x化为单角x，利用tan x＝ 将切化 cos x 弦，进行化简整理，结合已知条件沟通目标求解问题，已知 条件的应用可以从诱导公式和二倍角公式角度处理，也可 以将已知展开平方后处理.
1 2.cos α－sin α－cos 2α＝－ sin 2αsin 4α. 4
8 8
解析： 左边＝(cos4α＋sin4α)(cos4α－sin4α)－cos 2α ＝[(cos2α＋sin2α)2－2cos2αsin2α]· 2α－cos 2α cos 1 2 1 ＝－ sin 2α· 2α＝－ sin 2αsin 4α. cos 2 4 ∴原式得证．
2
2cos α－1 (2)原式＝ π 2sin －α 4 2 π · －α cos π 4 cos －α 4 2cos2α－1 ＝ π π 2sin －α· cos －α 4 4 2cos2α－1 cos 2α ＝ ＝ ＝1. cos 2α cos 2α
2
[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系， 是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化，若没有，再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样 处理后，一般就会化简完毕．
π 2 4 法二：cos( ＋x)＝ (cos x－sin x)＝ ， 4 2 5 1 16 2 2 平方后得到： (cos x＋sin x－sin 2x)＝ ⇒sin 2x 2 25 7 ＝－ . 25
[题后感悟] 从角的关系寻找突破口．这类三角函 数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件 变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、 函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的 角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以 便将题设条件代入结论．
北师大版(2019)数学必修第二册：2.6.1《余弦定理与正弦定理》PPT课件(共63页)
A.π6
B.π3
C.π6或56π
D.π3或23π
解析：选 A.由余弦定理知 a2＋c2－b2＝2accos B，因为 a2＋c2－b2
＝ 3ac，所以 cos B＝ 23，故 B＝π6.
已知在△ABC 中，a＝1，b＝2，C＝60°，则 c＝________．
解析：由余弦定理，得 c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以 c ＝ 3. 答案： 3
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝4，b
＝5，c＝ 61，则角 C 等于( )
A．120°
B．90°
C．60°
D．45°
解析：选 A.由余弦定理，得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝42＋522×－4（×561）2＝
－12，所以 C＝120°，故选 A.
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2＋c2－ b2＝ 3ac，则角 B 等于( )
第六章 平面向量及其应用
考点 正弦定理
学习目标 通过对任意三角形边长 和角度关系的探索，掌握 正弦定理的内容及其证 明方法
核心素养 逻辑推理
问题导学 预习教材内容，思考以下问题： 1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？
1．正弦定理
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， 条件
2．余弦定理的推论
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c______；
a2＋c2－b2 cos B＝____2_a_c______；
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b______． ■名师点拨
余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边
完整版)正余弦函数图象与性质练习题
完整版)正余弦函数图象与性质练习题正弦函数和余弦函数是初中数学中常见的三角函数，它们的图像和性质也是高中数学中必须掌握的内容。
一、选择题1.函数 $y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$ 的图像关于点（$-\frac{\pi}{6}$，0）对称。
2.函数 $y=2\sin(\frac{\pi}{6}-2x)$ 在区间$[\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{2}]$ 上是增函数。
3.设 $a$ 为常数，且 $a>1$，$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq 2\pi$，则函数 $f(x)=\cos 2x+2a\sin x-1$ 的最大值为 $2a+1$。
4.函数 $y=\sin(2x+\frac{5}{2}\pi)$ 的一个对称轴方程是$x=\frac{5}{4}\pi$。
5.方程 $\cos(x+\frac{5}{2}\pi)=\frac{1}{2}x$ 在区间$(0,100\pi)$ 中有 $102$ 个解。
6.函数 $y=\sin(2x+\pi)$ 是以 $\pi$ 为周期的偶函数。
7.如果函数 $y=\sin 2x+\alpha\cos 2x$ 的图像关于直线$x=-\frac{\pi}{8}$ 对称，则 $\alpha=-2$。
8.函数 $y=2\cos 2x+1$ 的最小正周期为 $\pi$。
9.已知函数 $f(x)=\sin(\pi x-\frac{\pi}{2})-1$，则命题“$f(x)$ 是周期为 $2$ 的偶函数”是正确的。
10.函数 $y=-\cos x+\frac{\cos x}{\sin x}$ 的定义域为$(2k\pi+\pi,2k\pi+\frac{3}{2}\pi]$。
11.定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 既是偶函数又是周期函数，且最小正周期为 $\pi$，当$x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$ 时，$f(x)=\sin x$，则$f(\frac{5\pi}{3})=-\frac{1}{2}$。
6.4.3第三课时余弦定理、正弦定理应用举例PPT课件(人教版)
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，
塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
解 如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，
∵tan
60°＝CBDD，∴BD＝tanCD60°＝
x＝ 3
3 3x
m.
在△AEC 中，x－20＝ 33x，解得 x＝10(3＋ 3)m. 故山高 CD 为 10(3＋ 3)m.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船， 则 CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
∵sBinCA＝sin
∠ACABC，∴sin
【训练 3】 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 点( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°方向，与 A 距离 2 n mile 的我方缉私船，奉 命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
D.α＋β＝180°
解析 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，知α＝β，故应选B.
答案 B
3.两灯塔A，B与海洋视察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东
60°，则A，B之间的距离为( )
A. 2a km
B. 3a km
C.a km
D.2a km
解析 △ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝ 2a.
初三下数学课件(北师版)-正弦、余弦
则( B )
A．甲山坡比乙山坡陡
B．乙山坡比甲山坡陡
C．两个山坡一样陡
D．无法确定
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AM 是 BC 边上的中线，sin∠CAM
＝53，则 tanB 的值为
2 3
.
6．某人沿倾斜角为 β 的斜坡前进 200 米，则他上升的最大高度是 200sinβ 米．
7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3 cm，tan∠B＝43，求 sin∠B 的 值．
14．如图 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，△BCE 沿 BE 折叠为△BFE， 点 F 落在 AD 上． (1)求证：△ABF∽△DFE； (2)若 sin∠DFE＝13，求 tan∠EBC 的值．
(1)证明：由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，∴∠ABF＝90°－∠ AFB，∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB，∴∠ABF＝∠DFE， ∴△ABF∽△DFE；
解：过 C 点作 CD⊥BA 于 D，由 tanB＝1，得 BD＝CD.∵BC＝2，∴CD＝ 2，∴AD＝ 23，∴cosA＝AADC＝ 523.
1．(孝感中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则 cosB 等于( A )
3 A.5 C．34
B．54 D．43
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，则下列结论不 正确的是( C )
A．①② C．①③
B．②③ D．①②③
9．如图，菱形 ABCD 的周长为 20 cm，DE⊥AB，垂足为 E，cosA＝45，则 下列结论中正确的个数为( A )
①DE＝3 cm；②EB＝1 cm；③S 菱形 ABCD＝15 cm2.