高中数学二面角
高中数学求二面角公式
高中数学求二面角公式
二面角的公式在高中数学中是非常重要的一部分，下面我们介绍一些常用的二面角公式。
二面角的平面角公式:
设二面角为$angle ACB$,其中$angle A$为$angle ACB$的一个方向角，$angle B$为$angle ACB$的另一个方向角，$angle C$为$angle ACB$的第三个方向角，则二面角的平面角公式为:
$$angle ACB = angle A + angle B + angle C$$
这个公式可以帮助我们计算任意一个方向角的平面角。
二面角的垂直角公式:
设二面角为$angle ACB$,其中$angle A$为$angle ACB$的一个垂直角，$angle B$为$angle ACB$的另一个垂直角，$angle C$为$angle ACB$的第三个垂直角，则二面角的垂直角公式为:
$$angle ACB = 2angle A + angle B + angle C$$
这个公式可以帮助我们计算任意一个垂直角的平面角。
二面角的平面角和垂直角的关系公式:
设二面角为$angle ACB$,其中$angle A$为$angle ACB$的一个垂直角，$angle B$为$angle ACB$的另一个垂直角，$angle C$为$angle ACB$的第三个垂直角，则二面角的平面角和垂直角的关系公式为:
$$angle ACB = 2angle A + angle B - angle C$$
这个公式可以帮助我们在计算二面角的平面角和垂直角时，把它们的关系理清楚。
以上是一些比较常用的二面角公式，它们可以帮助我们更好地理解和计算二面角的大小。
高中数学立体几何——二面角求法
二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.·例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.&解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.《例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.@—A图3αβP￥BlB 1 A *A 1l%EF@PCＳ| FGP AＳBＳ;C DＳF E,过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ， ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得 AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23， 则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .·例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.】解:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形,∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE,∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,—又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.例5. 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点.(1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.—(1) 过点D作DF⊥CE, 交CE于F, 过点F作FG⊥CE, 交AC于G, 则∠DFG为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC⊥平面PAB, 又AD∥BC, 得AD⊥平面PAB, 故AD⊥AE, 从而DE==. 在Rt△CBE中, CE==. 由CD=, 所以△CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=.因为AE⊥平面PBC, 故AE⊥CE, 又FG⊥CE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在Rt△ADG中, DG=AC==.，所以cos∠DFG==.、3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
高中新课标数学-二面角课件
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
二面角的四种求法-2021-2022学年高一数学(人教A版2019必修第二册)(解析版)
立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
高中数学必修二 最新版-二面角求法及经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法一：知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。
（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。
7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM—B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
高中数学知识点二面角
高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。
下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。
一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。
具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。
二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。
2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。
3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。
4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。
三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。
2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。
3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。
四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。
2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。
3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。
在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。
总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。
通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。
高中数学必修二立体几何常考内容，二面角的有关知识你掌握了吗？
高中数学必修二立体几何常考内容，二面角的有关知识你掌握了吗？高中数学必修二立体几何中，有一类题型是求二面角的大小。
今天就说说二面角的有关知识及如何求二面角的问题。
一看见“二面角”这几个字，你“捡珍珠”，“穿珍珠”，“知识串”里应该有这些知识点（一）二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。
这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。
（二）二面角的表示如果棱为l,面为α,β,则二面角表示为α-l-β.（三）二面角的大小（1）二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内，过该点做垂直于棱的垂线，两条垂线所形成的角叫二面角的平面角。
简单记忆，“点在棱上，线在面内，与棱垂直”。
（2）二面角大小的度量二面角的大小，用它的平面角去度量，平面角是多少度，二面角就是多少度。
（3）二面角的范围，0～180（4）二面角与它平面角的画法（四）二面角的求法常用的方法有“定义法”及“垂线法”（1）定义法求二面角的大小例：若P是ΔABC所在平面外一点，而ΔPBC和ΔABC都是边长为2的正三角形，PA=√6，那么二面角P-BC-A的大小为（）求二面角的步骤：①做：做出平面角②证：证明所做的角满足定义，是二面角的平面角③求：将做出的角放到三角形中，计算出平面角的大小④答：所求二面角的大小是多少。
（2）垂线法，过一个半平面内的一点A（不在棱上），向另一个半平面做垂线，垂足为B，再由B向二面角的棱做垂线，垂足为O，连AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
例：如图，在空间四边形ABCD中，ΔBCD是正三角形，ΔAB D 是等腰直角三角形，H是斜边BD的中点，且AH⊥平面BCD，二面角A-BD-C为直二面角，求二面角A-CD-B的正切值的大小.求二面角的大小，还可以用到“垂面法”，“公式法”这里公式法可以有两个公式，一个是cosθ=S射影/S原图，一个是空间向量学习后，转换成两平面的法向量的夹角去求。
希望本文对需要的家长和孩子有所帮助，也希望孩子们抓紧时间复习，期末考出好成绩！。
高一数学《二面角》课件
O
小B有关。 A （2）二面角是用它的平面角来度
量的，一个二面角的平面角多大，就
说这个二面角是多少度的二面角。
观看动画演示
(3)二面角的范围： 0 ,π
(4）直二面角—— 平面角为直角的二面角 A 叫做直二面角
B
O
• 问题1:在正四面体中，求相邻两个平面所成
的二面角的的大小
A
D B
E C
问题2:一个平面垂直于二面角的棱，它和 二面角的两个面的交线所成的角是二面角的 平面角吗?为什么？
直作出来
做二面角的的大面小。与 其顶点
二、二面3、角借助的三表垂线示定方理或法： 在棱上的位置无关 三、二面角12其、、逆的找证定到明平理或1作面中作出的出角来角二：就面是角所的3求平、的面它小二角角的来面平度角面的量角大的小大用
四、二面角3、的计算平所面求的角角的作法：
五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“算”
一．二面角的概念
1、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分， 每一部分都叫做半平面。
2、二面角：
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形 叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这 两个半平面叫做二面角的面。
半
l
半
平
平
面
面
面
面
棱l
二面角定义与平面角定义的对比
平面角
二面角
A
图形
边
顶点
O
边B
二、二面角的表示方法： 三、二面角的平面角： 四、二面角的平面角的作法： 五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“算”
二 面 角 二 面 角 －AB－
二 面 角 C－AB－ D
从一条直线出发的两个半 平面所1、组二成面的角图的形平叫面做角二
高中数学知识点：二面角
高中数学知识点：二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为AB 、面分别为αβ、的二面角记作二面角AB αβ--.有时为了方便，也可在αβ、内(棱以外的半平面部分)分别取点P Q 、，将这个二面角记作二面角P AB Q --.如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P l Q --.2.二面角的平面角(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角θ的范围：0°≤θ≤180°．当两个半平面重合时，θ=0°；当两个半平面相交时，0°＜θ＜180°；当两个半平面合成一个平面时，θ=180°．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3) 二面角与平面角的对比角 二面角 图形定义 从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形 表示法由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB 由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角a αβ--(4) 二面角的平面角的确定方法 方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图，在二面角a αβ--的棱a 上任取一点O ，在平面α内过点O 作OA ⊥a ，在平面β内过点O 作BO ⊥a ，则∠AOB 为二面角a αβ--的平面角．方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如下图（左），已知二面角lαβ--，过棱上一点O作一平面γ，使lγ⊥，且OAγβ=。
高中数学选修2-1二面角
OE⊥AB ，因此 PE⊥AB ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
1 BC 2
A
E
B O
1 3 在Rt△PBE中，BE 2，PB=1，PE 2
C
在Rt△POE中， OE 2 tan PEO ∴ 2 2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 2
1 2 2 ，PO 2
二面角
二面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
α A B β
α
ι
或α-AB-β
β
记为：
二、二面角的平面角
在二面角 的棱 l 上任取一点 O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别 作垂直于棱 l的射线OA，OB，则射线 OA和OB构成的∠AOB叫做二面角 的平面角.
尝
试
C
B
A
α
D
β
二面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β α
二、二面角的平面角
ι
小
结
1、定义 P B A 2、求二面角的平面角方法 ①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
β
α
β
A B B
pβ
β
B
p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
A
ι
ι
ι
O
α
A
β
B
1、定义
A O
B
平面角是直角的二面角直二面角
二面角
2、作二面角的平面角的常用方法
高中数学人教B版 选择性必修第一册 二面角 课件
―A→E ＝1，12，0 ，―AB→1 ＝(1，0，1)，―A→F ＝12，1，0 ，―AD→1＝(0，1，1).
设平面AB1E的法向量为n
n 1＝(x1，y1，z1)，则
n
1·―AB→1 ＝0， 1·―A→E ＝0，
x1＋z1＝0， 即x1＋12y1＝0，
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n 1＝(－1，2，1).
答案：45° 45°
来个随堂小测试，比比谁更快！！
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平 面AB1E与平面AD1F所成的角的大小．
解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为
1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E1，12，0 ，D1(0，1，1)，F12，1，0 ，
6
＝12
.
所以平面AB1E与平面AD1F所成的角为60°.
2．如图，已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝
3 2
a，则二面角
A-BC-D的大小为
()
A．30°
B．45°
C．60°
解析：如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝
3 2
a，又AD＝
设平面AD1F的法向量为n 2＝(x2，y2，z2).
n 则
n
2·―AD→1 ＝0， 2·―A→F ＝0，
y2＋z2＝0， 即12x2＋y2＝0.
令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.所以n 2＝(2，－1，1).
|n 所以平面AB1E与平面AD1F所成的角的余弦值为
1·n
2|
|n 1||n 2|
2023年人教A版新教材高中数学必修第二册二面角的几何求法 同步讲义
33、二面角的几何求法【考点分析】考点一：面与面的夹角（二面角）①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角l αβ-- 或者是二面角A CD B --）图1 图2二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 [0]π，． 法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图2在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ,作AO β⊥于O ，过A 作AB c ⊥于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，ABO ∠为二面角c αβ--的平面角．如图3，具体步骤： Step1：找点做面的垂线；即过点A ,作AO β⊥于O ;Step2：过点（与step1中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB c ⊥于B ，连接BO ; Step3：计算；ABO ∠为二面角c αβ--的平面角，在Rt ABO △中解三角形．图3 图4图5 图6 法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos =A B C ABCS S S S θ=射斜,如图4）求出二面角的大小； 【题型目录】题型一：二面角选填题 题型二：二面角解答题 【典型例题】题型一：二面角选填题【例1】如图，已知PA α⊥，PB β⊥，垂足为A 、B ，若60APB ∠=︒，则二面角l αβ--的大小是______．【答案】120︒##23π 【分析】根据APB ∠与二面角大小互补进行求解. 【详解】设二面角l αβ--的大小为θ， 因为PA α⊥，PB β⊥，垂足为A 、B ，所以180APB θ+∠=︒，又60APB ∠=︒，所以180120APB θ=︒-∠=︒.【例2】如图，大小为120︒的二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l .若2MN =，3PM =，4NQ =，则PQ =_____________.【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，大小为120︒，可得,60PM NQ =， 22()PQ PM MN NQ =++222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为___________．【答案】3，POM中，PM CD⊥3【例4】三棱锥则点P在底面ABC上的投影点为ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【分析】根据顶点在底面上的射影和二面角构成的3个三角形是全等三角形，推出垂足到三边的距离相等，进而得出结果.【详解】如图，设O为P在ABC上的射影，过O 作OE AB OF AC OG BC ⊥⊥⊥，，，垂足分别为E F G 、、， 连接PE PF PG 、、，则OP ⊥平面ABC ，由OE OF OG ⊂、、平面ABC ， 得OP OE ⊥，OP OF ⊥，OP OG ⊥， 即90POE POF POG ︒∠=∠=∠=， 由AB AC BC ⊂、、平面ABC ， 得OP ⊥AB ，OP AC ⊥，OP BC ⊥，又PO OE O PO OF O PO OG O ===，，，所以AB ⊥平面PEO ，AC ⊥平面PFO ，BC ⊥平面PGO ， 则3个二面角所成的平面角分别为PEO PFO PGO ∠∠∠、、， 所以PEO PFO PGO ∠=∠=∠，又OP 为公共边， 所以PEO PFO PGO ≅≅，有OE OF OG ==， 故O 为ABC 的内心.【例5】如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面11A BC 夹角的余弦值为（ ）A ．BCD 【答案】C【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值.因为正三棱柱ABC A B C -的所有棱长都为2, 【例6】（多选题）已知正方体1111，设E 是棱BC 的中点，则（） A ．1BD 平面1C DEB ．1BC AC ^C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等 【答案】AD【分析】对于A 选项，在平面1C DE 内找到与1BD 平行的直线即可·. 对于B 选项，通过求出1BC ，AC 所成角度即可判断.对于C 选项，可将平面11A BC 与平面ABCD 所成角转化为求平面11A BC 与平面1111D C B A 所成角. 对于D 选项，分别计算三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积即可.【详解】对于A 选项，如图，设1CD 交1C D 于F ，在1CD B △中，因F 为1CD 中点，E 为CB 中点，则FE 为1CD B △中位线，可得1EF BD ∥，又1BD ⊄平面1C DE ，EF ⊂平面1C DE ，则1BD 平面1C DE ，故A 正确.对于B 选项，如图，因//BC AD ，所以异面直线BC 与AC 所成角就是AD 与AC 所成角.，所以1AD C 为等边三角形，有B 错误.对于C 选项，如图，因平面ABCD平面D C B A ，所以平面A BC 与平面ABCD 所成角等ADCS ⋅ABCS DD ⋅ABC =△【题型专练】1.在二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB =1，AC =2，BD =3，CD =2√2，则这个二面角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】设这个二面角的度数为α，由题意得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−α)，∴(2√2)2=4+1+9−2×2×3×cosα，解得cosα=12，∴α=60°，∴这个二面角的度数为60°，2．已知P 是二面角l αβ--内的一点，PA 垂直于α于,A PB 垂直于β于,8B AB PA PB ===，则二面角l αβ--的大小为__．。
2025届高中数学一轮复习课件《二面角》ppt
∵PA＝AB＝2，∴AC＝BC＝ 2，PO＝ 3，∴OD＝ 2 2， ∴二面角 P-AC-B 的正切值是OPOD＝ 6.
高考一轮总复习•数学
(2)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点．
第16页
①证明：平面 AA1C1C⊥平面 DBC1； ②若 AB＝2，且二面角 D-BC1-C 的正切值为 615，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积．
－ 即 －
2x1＋ 2y1＋
2z1＝0， 2z1＝0，
设平面 ABF 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
取 x1＝1，则 y1＝z1＝AA··nn＝＝00，，
即
2x2＝0，
－ 2y2＋
2z2＝0，
得 x2＝0，取 y2＝1，则 z2＝1，n＝(0,1,1)．
高考一轮总复习•数学
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对点练 1 (1)如图， 设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上， 若 PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角 P-AC-B 的正切值是____6____．
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(1)解析： 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，易知 OD⊥AC，PD⊥AC，∴∠PDO 是二面角 P-AC-B 的平面角．
在 Rt△AB1C 中，S△AB1C＝12AB1·AC＝12B1C·AE，所以 AE＝ABB11·CAC＝2×2
2＝2
2 .
23
3
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在 Rt△ADE 中，sin∠AED＝AADE＝ 2 ＝ 2 3. 22 3
所以∠AED＝60°，所以二面角 A-B1C-B 的大小为 60°.
第11页
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高中数学二面角
高中数学二面角
一、高中数学二面角的概念及性质
二面角是指空间中一个平面围绕一个直线旋转而成的两个平面所形成的角。
它包括平面角和空间角两种类型。
平面角是指两个平面之间的角度，而空间角是指两个平面所夹的角度。
二面角具有以下性质：
1.平面角与空间角的关系：平面角等于空间角的一半。
2.互补性质：二面角的两个平面角互为补角。
3.邻补性质：二面角的两个平面角互为邻补角。
二、高中数学二面角的求解方法
1.利用向量法求解二面角：通过求解两个平面的法向量，计算它们之间的夹角，从而得到二面角的度数。
2.利用坐标法求解二面角：根据空间直角坐标系中点的坐标，计算二面角的余弦值、正弦值和切线值，进而求得二面角的度数。
3.利用三角函数求解二面角：根据三角函数的定义，通过已知角度和边长关系求解二面角。
三、高中数学二面角在实际问题中的应用
1.几何问题：求解三角形、四边形等几何图形的二面角，分析图形的性质。
2.物理问题：在力学、光学等物理学科中，利用二面角研究力的分解、光的折射等问题。
3.工程问题：在建筑、机械等工程领域，利用二面角分析构件的稳定性、
确定最佳角度等。
四、总结与建议
高中数学二面角是空间几何中的重要内容，掌握二面角的求解方法和实际应用对于学生解决实际问题具有重要意义。
在学习过程中，要注重理论知识与实际操作相结合，加强空间想象能力的培养，提高解题能力。
高中数学二面角
高中数学二面角
摘要：
一、高中数学二面角概念介绍
1.二面角的定义
2.二面角与平面角的关系
二、二面角的性质和定理
1.二面角的和与差
2.二面角的垂直平分线
3.二面角的平面角
三、二面角的应用
1.在立体几何中的运用
2.在解析几何中的运用
四、高中数学二面角的学习方法
1.理解概念，掌握性质
2.练习典型例题，提高解题能力
3.注重知识运用，联系实际问题
正文：
高中数学中的二面角是一个重要的知识点，它涉及到立体几何和解析几何的相关内容。
首先，我们要了解二面角的概念，二面角是由两个平面角共享一个公共边所组成的角，它的大小介于这两个平面角之间。
在了解概念之后，我们来学习二面角的性质和定理。
首先是二面角的和与
差，根据二面角的定义，我们可以得知两个二面角之和等于这两个二面角的平面角之和，而两个二面角之差等于这两个二面角的平面角之差。
其次，二面角存在垂直平分线，它将二面角分成两个相等的平面角。
最后，二面角的平面角也是一个重要的性质，它可以帮助我们将二面角的问题转化为平面角的问题来求解。
在掌握二面角的性质和定理之后，我们来学习它在立体几何和解析几何中的应用。
在立体几何中，二面角可以用来求解立体图形的表面积和体积；在解析几何中，二面角可以用来分析曲线和曲面的性质。
最后，我们来谈谈高中数学二面角的学习方法。
首先，要理解概念，掌握性质，这样才能在实际问题中灵活运用。
其次，要多练习典型例题，提高解题能力，将理论知识转化为实际解题技巧。
高考数学二面角10种求法及锐钝角的判断
二面角10种求法及判断锐钝角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
1.概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。
例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。
求二面角A BC D --的大小。
分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。
又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。
可以求出32AE =，3DE =，并且3AD =。
根据余弦定理知：2222223()(3)372cos 243232AE DE ADAED AE DE+-+-∠===-⨯⨯⨯ 即二面角A BC D --的大小为7arccos4π-。
同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。
解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。
即AE PD ⊥。
由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：2PC =，3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =。
由此可以得到：63AE CE ==，又2AC =。
高中数学(人教B版)选择性必修一：二面角【精品课件】
(3) 求平面SAB和平面SCD所成角的正弦值. 延长BA,CD交于点G ，连接SG. 易得SG为平面SAB与平面SCD 的交线，
平面SAB与平面SCD所成角 即为二面角C-SG-B .
(3) 求平面SAB和平面SCD所成角的正弦值.
求得平面SCD 的一个法向量为n (3,2,1).
y
易知平面SAB 的一个法向量为AD (1,0,0).
x
(3) 求平面SAB和平面SCD所成角的正弦值.
z
cos AD, n = AD n = 3 14 .
AD n 14
y
所以二面角S -CD-B 的正弦值为 70 . 14
x
(3) 求平面SAB和平面SCD所成角的正弦值.
BB1 OB1
2.
(1）求二面角D1-A1C1-B 的余弦值.
设二面角D1-A1C1-B的平面角为， π BOB1 ，
tan tan BOB1 2.
由同角关系得cos 3 ，
3
即二面角D1-A1C1-B的余弦值为-
3. 3
(2）求二面角D-A1B-C1的余弦值.
观察图形，正方体截面A1BC和截面DA1B 均是正三角形.
1.通读课本； 2.完成课本习题：第52页 练习A 1；练习B 2,3.
二面角（2)
知识概要
一、复习回顾二面角的平面角 二、用空间向量求二面角的大小 三、例题分析与讲解 四、课堂小结
1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.
2. 在二面角 -l- 的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半
(2）求二面角D-A1B-C1的余弦值.
解：取A1B的中点E ，连接DE,C1E,C1D. 所以C1E A1B ，DE A1B ， 所以DEC1是二面角D-A1B-C1的平面角.
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高中数学二面角
（原创版）
目录
1.高中数学二面角的定义
2.二面角的性质与计算方法
3.二面角的应用
4.总结
正文
一、高中数学二面角的定义
二面角，又称二面角，是指两个平面之间的夹角。
在高中数学中，我们主要研究两个平面之间的夹角。
二面角的度量单位通常为度或弧度。
二、二面角的性质与计算方法
1.二面角的性质
(1) 二面角是非负角，即其度数或弧度值非负。
(2) 二面角的度数或弧度值是平面内任意一条直线与另一平面所成的角度的极限。
(3) 二面角具有可积性，即二面角可以表示为两个平面内直线所成的角度的极限。
2.二面角的计算方法
计算二面角的方法有多种，其中最常见的是使用向量法和投影法。
(1) 向量法：利用两个平面的法向量计算二面角的余弦值，然后通过反余弦函数求得二面角的度数或弧度值。
(2) 投影法：在两个平面上分别选取一条直线，将其投影到同一个平
面上，计算两条投影线段之间的夹角，再利用三角函数求得二面角的度数或弧度值。
三、二面角的应用
在实际问题中，二面角常常出现在建筑、机械、物理等领域。
例如，在建筑中，二面角常用于计算建筑物的立体形状和角度；在机械中，二面角常用于计算机械零件的相对位置和角度；在物理中，二面角常用于计算光线的传播方向和角度等。
四、总结
高中数学二面角是研究两个平面之间夹角的重要概念，其性质和计算方法对于解决实际问题具有重要意义。