高三数学函数与方程试题
基本初等函数、函数与方程 专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
冲刺2023年高考二轮 基本初等函数、函数与方程（原卷+答案）1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x －14，x ≤1log a x －1，x >1，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( )A ．116 ≤a <1B ．116 <a <1 C ．0<a ≤116 D ．0<a <1164．若函数f (x )＝x ＋ax －1在(0，2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，145．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的15 ，则信息传递速度C 大约增加了( )(参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213%6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，8)C ．(0，8)D ．(0，＋∞)7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h )的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12， (如图所示)实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋2，x ≤0x －3＋e x，x >0 的零点个数为________. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤1log 2x ，x >1 ，若1<f (a )≤2，则实数a 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －2－102－x ，x ≤2||x －3－1，x >2，则不等式f (x )＋f (x －1)<0的解集为________．12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 恰有两个零点，则实数c 的取值范围是________．13.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(0，1)14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，0≤x ≤12sin π2x －1，1<x ≤2，若关于x 的方程m ln ||x ＝f (x )至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1ln 5B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1ln 6，1ln 5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1ln 5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，1ln 5参考答案1．解析：函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的定义域为（－1，4）. 要求函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间， 只需求y ＝4＋3x －x 2的增区间，只需x <32 . 所以－1<x <32 .所以函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 .故选C.答案：C2．解析：当函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调递减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <112a ≥1a －54≥－1，解得14 ≤a ≤12 ，因为a >0且a ≠1，所以当x ≤1时，f （x ）不可能是增函数， 所以函数f （x ）在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 ，故选B.答案：B3．解析：当a >1时，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ，可得log a x <0，则－log a x >0，又由x 2>0，此时不等式x 2－log a x <0不成立，不合题意； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递减，此时函数y ＝－log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，又由y ＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，要使得不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－log a 12 ≤0，解得116 ≤a <1.故选A.答案：A4．解析：函数f （x ）＝x ＋ax －1在（0，2）上有两个不同的零点等价于方程x ＋ax －1＝0在（0，2）上有两个不同的解，即a ＝－x 2＋x 在（0，2）上有两个不同的解．此问题等价于y ＝a 与y ＝－x 2＋x （0<x <2）有两个不同的交点．由下图可得0<a <14 .故选D. 答案：D5．解析：提升前的信息传递速度C ＝W log 2S N ＝W log 21 000＝3W log 210＝3Wlg 2≈10W ，提升后的信息传递速度C ′＝2W log 210S 15N ＝2W log 250SN ＝2W log 250 000＝2W ·4＋lg 5lg 2 ＝2W ·5－lg 2lg 2 ≈94W 3 ，所以信息传递速度C 大约增加了C ′－CC ＝943W －10W 10W ≈2.13＝213%.故选D.答案：D6．解析：函数g （x ）有四个不同的零点等价于函数f （x ）的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点．画出f （x ）的大致图象，如图所示．由图可知m ∈（4，8）.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，则－4<x 1<－2<x 2<0，且x 1＋x 2＝－4.所以x 2＝－x 1－4，所以x 1x 2＝x 1（－x 1－4）＝－（x 1＋2）2＋4∈（0，4），则0<x 3<1<x 4，因为||log 2x 3 ＝||log 2x 4 ，所以－log 2x 3＝log 2x 4，所以log 2x －13 ＝log 2x 4，所以x 3·x 4＝1，所以x 1·x 2·x 3·x 4＝x 1·x 2∈（0，4）.故选A. 答案：A7．解析：由f （x ＋2）＝f （－x ）可得f （x ）关于x ＝1对称， 由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ）＝－f （x ）＝－[－f （x －2）]＝f （x －2）， 所以f （x ）的周期为4,求函数y ＝f （x ）－x 3的零点问题即y ＝f （x ）－x 3＝0的解， 即函数y ＝f （x ）和y ＝x 3的图象交点问题，根据f （x ）的性质可得如图所示图形，结合y ＝x 3的图象，由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，故选B. 答案：B8．解析：（1）由题图可知，当t ＝12 时，y ＝1，所以2k ＝1，所以k ＝2. （2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t ，t ≥12，当t ≥12 时，y ＝12t ，令y <0.75，得t >23 ，所以在消毒后至少经过23 小时，即40分钟人方可进入房间．答案：（1）2 （2）409．解析：当x ≤0时，令x 3＋2＝0，解得x ＝3－2 ，3－2 <0，此时有1个零点；当x >0时， f （x ）＝x －3＋e x ，显然f （x ）单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－52 ＋e 12 <0，f （1）＝－2＋e>0，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点．答案：210．解析：若a ≤1，则f （a ）＝4a －1，故1<4a －1≤2，解得12 <a ≤log 43，故12 <a ≤log 43；若a >1，则f （a ）＝log 2a ，故1<log 2a ≤2，解得2<a ≤4； 综上：12 <a ≤log 43或2<a ≤4. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，log 43 ∪（2，4]11．解析：①当x ≤2时，x －1≤1，∵f （x ）＝10x －2－102－x 在（－∞，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝0，又f （x －1）≤f （1）<f （2）＝0， ∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；②当2<x ≤3时，1<x －1≤2，f （x ）＝||x －3 －1＝2－x <0， 又f （x －1）≤f （2）＝0，∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；③当3<x ≤4时，2<x －1≤3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝3－x ；∴f （x ）＋f （x －1）＝－1<0恒成立；④当x >4时，x －1>3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝x －5，∴f （x ）＋f （x －1）＝2x －9<0，解得x <92 ，∴4<x <92 ； 综上所述：不等式f （x ）＋f （x －1）<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 12．解析：因为a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.，所以f （x ）＝（x 2－2）⊗（x －1）＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 ，由图可知，当－2<c ≤－1或1<c ≤2时，函数f （x ）与y ＝c 的图象有两个公共点，∴c 的取值范围是（－2，－1]∪（1，2]. 答案：（－2，－1]∪（1，2] 13．解析：令g （x ）＝f （x ）－x 2， 因为f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （－x ）＝f （x ），则g （－x ）＝f （－x ）－（－x ）2＝g （x ）， 所以函数g （x ）也是偶函数， g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ，因为当x ≥0时，f ′（x ）－2x >0，所以当x ≥0时，g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ≥0， 所以函数g （x ）在（0，＋∞）上递增， 不等式f （x ）>x 2＋2即为不等式g （x ）>2， 由f （1）＝3，得g （1）＝2， 所以g （x ）>g （1），所以||x >1，解得x >1或x <－1，所以f （x ）>x 2＋2的解集是（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 故选B. 答案：B14．解析：因为f （2－x ）＝f （2＋x ），且f （x ）为偶函数， 所以f （x －2）＝f （x ＋2），即f （x ）＝f （x ＋4）， 所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，作出y＝f（x），y＝m ln x在同一坐标系的图象，如图，因为方程m ln ||x＝f（x）至少有8个实数解，所以y＝f（x），y＝m ln |x|图象至少有8个交点，根据y＝f（x），y＝m ln |x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当m>0时，只需m ln 5≤1，即0<m≤1ln 5，当m<0时，只需m ln 6≥－1，即－1ln 6≤m<0，当m＝0时，由图可知显然成立，综上可知，－1ln 6≤m≤1ln 5.故选B.答案：B。
高三数学函数与方程试题答案及解析
高三数学函数与方程试题答案及解析1.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据题中函数特征，当时，函数显然有两个零点且一正一负; 当时，求导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递增; 时函数单调递减，显然存在负零点; 当时，求导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递减; 时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，即得：，可解得：，则．【考点】1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用2.已知实数、、满足，，则的最大值为为_______.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，由，解得，故实数的最大值为.【考点】一元二次方程的根的判别式，容易题.3.给出定义：若m－<x≤m＋(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}＝m，在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题：①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，]；②函数y＝f(x)在[－，]上是增函数；③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ (k∈Z)对称．其中正确命题的序号是________．【答案】①③④【解析】m＝1时，x∈(，]，f(x)＝|x－1|＝f1(x)，m＝2时，x∈(，]，f(x)＝|x－2|＝f2(x)，显然，f2(x)的图象是由f1(x)的图象右移1个单位而得，一般地，m＝k时，x∈(，]，f(x)＝|x－k|＝fk (x)，m＝k＋1时，x∈(，]，f(x)＝|x－k－1|＝fk＋1(x)，f k＋1(x)的图象是由fk(x)的图象右移1个单位而得，于是可画出f(x)的图象如下：4.若函数f(x)＝x3－ax2(a>0)在区间上是单调增函数，则使方程f(x)＝1 000有整数解的实数a的个数是________．【答案】4【解析】令f′(x)＝3x2－2ax>0，则x>或x<0.由f(x)在区间上是单调增函数知⊆，从而a∈(0,10]．由f(x)＝1 000得a ＝x－，令g(x)＝x－，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且与x轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g(x)与y＝a(0<a≤10)的大致图像(如图所示)．当a＝10时，由f(x)＝1 000得x3－10x2－1 000＝0.令h(x)＝x3－10x2－1 000，因为h(14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x3－10x2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x0，因此从图像可以看出在(10，x]之间f(x)＝1000共有4个整数解．5.已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？【答案】两个解【解析】解：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图像如图所示．由图像看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图像有两个交点，原方程有两个解．6.设，则函数的零点位于区间（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C【解析】，选C.【考点】零点的定义.7.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．【答案】【解析】，的解为，时，，当时，，从而在区间和上是减函数，在区间和上是减函数，，当时，．如图是的图象，，，方程的解就是函数的图象与直线的交点的横坐标，当或或时，有两个交点，即方程有两个解，或称有两个零点，或或．【考点】函数的零点，函数的图象与性质，直线与曲线相交．8.已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x1，x2，x 3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x－1|－1|＝方程f(x)＝m的解就是y＝f(x)的图象与直线y＝m交点的横坐标，由图可知，x2＝－x1，x3＝2＋x1，x4＝2－x1，且－1<x1<0.设t＝x1x2x3x4＝(－2)2－4，则t＝(－2)2－4，易得－3<t<0.9.对于实数a和b，定义运算“”：a b＝设f(x)＝(2x－1)(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1、x2、x3的取值范围是________．【答案】【解析】由新定义得f(x)＝作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，不妨设x1<x2<x3，易知x2>0，且x2＋x3＝2×＝1，∴x2x3<.令解得x＝或x＝ (舍去)，∴<x1<0，∴<x1x2x3<0.10.已知f(x)＝2x，g(x)＝3－x2，试判断函数y＝f(x)－g(x)的零点个数．【答案】两个【解析】在同一坐标系内作出函数f(x)＝2x与g(x)＝3－x2的图象，两图象有两个交点，∴函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．11.关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－4,0)【解析】由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0.，12.的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】∵，∴，图像如图所示，由图像看出与有5个交点，∴的零点个数为5个.【考点】1.函数零点问题；2.函数图像.13.设函数，集合＝，设，则A．9B．8C．D．6【答案】A【解析】，注意总共只有7个根，且这些根都为正整数，任一方程的两根之和都为8，所以这些根为1、7，2、6，3、5，4.所以，.【考点】1、函数的零点；2、二次方程根与系数的关系.14.已知关于X的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A．3,6,9B．6,9,12C．9,12,15D．6,12,15【答案】B【解析】函数的图像如图所示，直线，当时，；当时，；当时，；当时，；综上可得：P中所有元素的和可能是6,9,12.【考点】1.函数图像；2.中点坐标公式.15.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是 .【答案】3【解析】函数有极值点，说明方程的两根为，不妨设，即是极大值点，是极小值点，方程的解为或，由于，所以是极大值，有两解，，只有一解．因此共有3解．【考点】函数的极值与方程的解．16.设方程的两个根为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，，分别作出函数和函数的图像.则图像中两函数交点的横坐标即方程的两个根.由图可知，两根中一个大于1，一个大于0小于1.不妨设，则，.所以，故.【考点】函数与方程、对数函数与指数函数的图像和性质17.若为偶函数，且当时，，则的零点个数为（）A．B．C．D．无穷多个【答案】C【解析】当时，，所以【考点】函数的零点18.设，（1）若的图像关于对称，且，求的解析式；（2）对于（1）中的，讨论与的图像的交点个数.【答案】(1)；（2）见解析.【解析】(1)因为函数图象关于对称，故为二次函数且对称轴为∴，又，代入可求得函数解析式；（2）将问题转化为有几个解的问题，令，利用导数讨论其增减区间，当时，与的图像无交点；当时，与的图像有一个交点；当时，与的图像有两个交点.试题解析：（1）∵的图像关于对称∴为二次函数且对称轴为∴又∵∴∴（2）即即令当时∵∴即在递增当时∵∴即在递减，∵当时当时∴①当时，与的图像无交点；②当时，与的图像有一个交点；③当时，与的图像有两个交点.【考点】利用导数研究函数的单调区间、函数与方程思想、函数解析式的求法.19.函数的零点一定位于区间( )A．（1, 2）B．（2, 3）C．（3, 4）D．（4, 5）【答案】B【解析】因为，，所以，根据根的存在性定理可知，函数的零点在区间内.【考点】零点存在性定理.20.设，则函数的零点位于区间（）A．(0 ,1)B．(-1, 0) C．(1, 2) D．(2 ,3)【答案】A【解析】因为，由零点存在性定理知，在内有零点，有为单调函数，故存在唯一零点，选A.【考点】零点存在定理.21.设函数(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;(2) 设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.【答案】(1) 见解析；（2）；（3）见解析.【解析】(1) 先根据零点存在性定理判断在在内存在零点，在利用导数说明函数在上是单调递增的，从而说明在区间内存在唯一的零点；（2）此问可用两种解法:第一种，当时,，根据题意判断出在上最大值与最小值之差，据此分类讨论如下:(ⅰ)当；(ⅱ)当；(ⅲ)当,综上可知,；第二种，用表示中的较大者，直接代入计算即可；（3）先设出零点，然后根据在上是递增的得出结论.试题解析：(1),时,∵,∴在内存在零点. 又当时, ,∴在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.(2)当时,，对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾(ⅱ)当,即时, 恒成立(ⅲ)当,即时, 恒成立.综上可知,注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:用表示中的较大者.当,即时,恒成立 .(3)证法一设是在内的唯一零点,,于是有又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列.证法二设是在内的唯一零点则的零点在内,故,所以,数列是递增数列.【考点】1.零点存在性定理；2.利用导数判断函数单调性；3.利用函数单调性判断大小.22.定义在上的函数满足下列两个条件：⑴对任意的恒有成立；⑵当时，；记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，所以，同理可得,,直线恒过定点,所以函数恰有两个零点时需满足.【考点】1.函数的解析式；2.函数的零点.23.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是（）A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】试题分析:函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制上的图象，根据周期性，可以绘制上的图象，而是个偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点，故选B.【考点】函数与方程.24.函数所有零点的和等于( )A．6B．7.5C．9D．12【答案】C【解析】函数所有零点转化为两个函数图像的交点的横坐标，画出函数的图像，根据图像可知有6个交点，且两两关于直线对称，故所以零点的和为【考点】函数的零点.25.若函数且有两个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】构造函数且，要保证两个函数图象有不同的两个交点，则需.【考点】函数的图象.26.已知函数，则关于的方程的实根的个数是___ _【答案】5【解析】根据题意，由于函数，则关于的方程，的实根的个数即为的方程的根的个数，那么结合解析式，由于，而对于，，故可知满足题意的方程的解为5个，故答案为5.【考点】函数与方程点评：主要是考查了函数与方程的根的问题的综合运用，属于中档题。
高三数学函数与方程压轴题训练——抽象函数
高三数学函数与方程压轴题训练——抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．[典例]已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[思路点拨](1)由于题目条件中的f (x )没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x )＝2－f (x )，即f (x )(x ∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．(2)易知函数y ＝x ＋1x关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x )(x ∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x )的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x )来求解．[方法演示]法一：利用函数的对称性由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1my i ＝0＋2×m2＝m ，故选B.法二：构造特殊函数由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0， 即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0.令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数， 即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ， 即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件．此时y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的交点分别为(1,2)和(－1,0)，所以m ＝2，∑i ＝1m(x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B. 答案：B [解题师说]1．解决抽象函数问题的2个常用方法2．解决抽象函数问题常用的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特例：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；②若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；③若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a；(a>0)④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；⑤若f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.[应用体验]1．已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，则f(3)的值是()A．3B．7C．9 D．12解析：选C由题意，知对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，不妨令f(x)－2x＝c，其中c是常数，则f(c)＝3，所以f(x)＝2x＋c.再令x＝c，则f(c)＝2c＋c＝3，即2c＋c－3＝0.易得2c与3－c至多只有1个交点，即c＝1.所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝23＋1＝9.2．已知奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：①D＝[－1,1]；②对∀x∈D，|f(x)|≤2；③∃x0∈D，使得f(x0)＝0；④∃x1∈D，使得f(x1)＝1.其中所有正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选A由奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D中，且x轴为渐近线时，则不满足③；当y＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.3．已知定义域为R的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，若x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．可能等于0 D．可正可负解析：选B法一：由f(－x)＝－f(x＋4)，得f (－x ＋2)＝－f (x －2＋4)＝－f (x ＋2)， 即f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)， 故函数f (x )的对称中心为M (2,0)． 令x ＝－2，得f (2)＝－f (2)，解得f (2)＝0.又函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，画出函数的大致图象如图所示．由(x 1－2)(x 2－2)<0，可得x 1－2与x 2－2异号，即x 1，x 2分布在直线x ＝2的两侧，不妨设x 1<2<x 2.由x 1＋x 2<4，可得(x 1－2)＋(x 2－2)<0，即|x 1－2|>|x 2－2|，由函数的对称性，可知必有f (x 1)＋f (x 2)<0.法二：由f (－x )＝－f (x ＋4)可知，f (2＋x )＝－f (2－x )，则函数图象关于点(2,0)中心对称．因为x <2时，f (x )单调递增，所以x >2时，f (x )单调递增．因为x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，设x 1<2<x 2，则x 2<4－x 1，所以f (x 2)<f (4－x 1)．又因为f (4－x 1)＝－f (x 1)，所以f (x 2)<－f (x 1)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.一、选择题1．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为( )A ．5B ．－5 C.15D ．－15解析：选D ∵函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (f (1))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15.2．已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数． 因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0， 所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0. 又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 20．8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3， 所以b <a <c .3．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1m x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m . 4．已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.5．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 018)的值为( )A ．2 018B ．－2 018C ．0D ．4解析：选C 依题意得，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，因此函数y ＝f (x )是偶函数，且f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝0.6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3)B ．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：选B ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.7．设函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝0及直线x ＝1对称，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫－32＝( ) A.12 B.14 C.34D.94解析：选B 法一：∵函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝0对称， ∴f (－x )＝f (x )．∵函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (1－x )＝f (1＋x )．∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 法二：∵函数y ＝f (x )关于直线x ＝0对称，则函数f (x )是偶函数，又关于x ＝1对称，则f (2－x )＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 8．定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (4－x )＝f (x )，(x －2)·f ′(x )＜0，若x 1＜x 2且x 1＋x 2＞4，则有( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不确定解析：选B 由f (4－x )＝f (x )，知函数f (x )关于直线x ＝2对称．又(x －2)f ′(x )＜0，故当x ＞2时，函数f (x )单调递减；当x ＜2时，函数f (x )单调递增，所以当x ＝2时，函数f (x )取得最大值．由x 1＜x 2且x 1＋x 2＞4知x 1离x ＝2更近，故f (x 1)＞f (x 2)．9．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (8)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选B 由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (8)，即b ＜c ＜a .10．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1解析：选A 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.12．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 017)＝－f (2 017)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )的周期为6.又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1， 所以f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3，故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝－2＋3＝1. 二、填空题13．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝－f (x )，若当x ∈⎝⎛⎭⎫12，32时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (2 018)＝________. 解析：因为对任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，函数f (x )是周期为6的函数，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)．由f (x ＋3)＝－f (x )可得f (－1＋3)＝－f (－1)＝f (2)，因为函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )是偶函数，f (－1)＝f (1)＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝－f (1)＝－12. 答案：－1214．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意的实数x ，均有f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2且f (1)＝2，则f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3， ∴f (x ＋1)≤f (x )＋1.又f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1， 利用叠加法，得f (2 017)＝2 018. 答案：2 01815．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当x ∈[－3，－1)时，f (x )＝－(x ＋2)2，当x ∈[－1,3)时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________.解析：由题意得f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以数列{f (n )}从第一项起，每连续6项的和为1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336×1＋f (1)＋f (2)＝339.答案：33916．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________．解析：f (x ＋3)＝fx ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确； 函数f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝－f －32＋x ＋32＝－f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误． 故真命题的序号为①②③. 答案：①②③。
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数与方程(二)(含解析)
《函数与方程》（二）考查内容：主要涉及函数零点个数的判断（方程法、数形结合法、图象法、零点存在定理与函数性质结合法）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数26,0()3ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，2()f x x =，则4()log ||y f x x =-的零点个数为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．25．函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数23(0),()1(0),x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩则方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）的不同的实数根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．(]{},01-∞9．已知函数23||,3()(3),3x x f x x x -⎧=⎨->⎩，()(3)6g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．4C ．3D ．210．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）11．已知函数()sin ,02224xx f x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x =根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题13．函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.14．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．已知函数32ln(2),2,()68,,x x m f x x x x x m +-<<⎧=⎨-+≥⎩若函数()f x 仅有2个零点，则实数m 的取值范围为______. 16．已知函数,0()(1),0xlnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是__.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数lg y x =和sin y x =的图像的交点个数．18．讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.19．已知函数()f x =，()3g x ax =-.（1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[]2,4上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m ； （3）讨论()f x 在区间[]3,3-上的零点个数.21．已知函数()22,182,1x a x f x ax x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，其中a R ∈.()1当1a =时，求()f x 的最小值； ()2当2a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.22．已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）《函数与方程》（二）解析1.【解析】若260x x --=．则2x =-或3x =．又∵0x ≤∴2x =- 若3ln 0x -+=，则3x e =满足0x >，综上，函数()f x 的零点个数为2． 故选:B2.【解析】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2.故选：B3.【解析】函数()ln 1f x x x =-+的零点个数等价于函数ln y x =与函数1y x =-的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数ln y x =与1y x =-的图象，如下图：因为1(ln )y x x ''==，曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为：11k x==， 所以曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以可知两函数图象有一个交点，故函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为1. 故选：B .4.【解析】因为()()y f x x R =∈为周期为2的函数,通过且(1,1]x ∈-时，2()f x x =,做出函数图象如图所示:4()log ||y f x x =-的零点个数即为()y f x =与4log ||y x =图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.5.【解析】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=． 故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A6.【解析】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C7.【解析】由|()1|2f x c -=-，得()1(2)f x c =±-．∵(1,0)c ∈-， ∴1(2)(3,4),1(2)(2,1)c c +-∈--∈--． 作出函数()f x 和1(2)y c =±-的图象如图所示，易知它们的图象共有4个不同的交点，即方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）有4个不同的实数根．故选：B8.【解析】(0)1100f =--=,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e a x e -=,令1(),()x x e a g x h x x e -==,21()x x xe e g x x '-+=，令()1x x u x xe e =-+, ()xu e x x '=，可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=.())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()xa h x e =， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去 .综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃，故选：D .9.【解析】由()6(3)g x f x =--，知()()()(3)6y f x g x f x f x =-=+--. 令()()(3)F x f x f x =+-，则(3)(3)()F x f x f x -=-+， 所以(3)()F x F x -=，即()F x 的图象关于直线32x =对称.当302x时，()()(3)33(3)3F x f x f x x x =+-=-+--=； 当0x <时，2221()()(3)3(33)32F x f x f x x x x x x ⎛⎫=+-=++--=++=++⎪⎝⎭114.作出()F x 的图象可知，函数()6F x =的解有2个，所以函数()()y f x g x =-的零点个数2个.故选：D10.【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1.故选：B11.【解析】当24x <≤时，y =，则0y ≤，等式两边平方得2268y x x =-+-，整理得()2231x y -+=，所以曲线)24y x =<≤表示圆()2231x y -+=的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点()0,1P ，当直线1y kx =+过点()4,0A 时，则410k +=，可得14k =-； 当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=相切，且切点位于第三象限时，k0<，1=，解得34k =-.由图象可知，当3144k -<≤-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点.因此，实数k 的取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：B.12.【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.故选：C. 13.【解析】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==， 在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点， 所以方程()24ln 122xxx -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.故答案为：2.14.【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，当01k <<时，函数()f x 与y k =的图象有两个不同的交点， 此时，方程有两个不同实根，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1) 15.【解析】对于函数3268y x x x =-+，23128y x x '=-+，令0y '=，解得23x =±，故当,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭时，0y '>；当22x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '>； 令ln(2)0x +=，解得1x =-；令32680x x x -+=，解得0x =，2x =或4x =. 作出ln(2)y x =+，3268y x x x =-+的大致图像：观察可知，若函数()f x 仅有2个零点，则24m <≤，故实数m 的取值范围为(]2,4. 16.【解析】当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x ≤时，()(1)xf x e x =+，则()(2)x f x e x '=+2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；当1x <-时，()(1)0xf x e x =+< 作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个交点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()20，e -- 17.【解析】由1y lgx ==解得10x =，又sin y x =的值域为[]1,1-， 且y lgx =在定义域上单调递增，作出函数sin y x =与y lgx =的图象如图： 由图象可知两个图象的交点个数为3个，18.【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x ，与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解； 当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解； 当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.19.【解析】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+ 作函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5； 当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦， 由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-； 综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.20.【解析】（1）由题意，函数2()()7f x x mx m m R =++-∈开口向上，对称轴的方程为2m x =-，若使得函数()f x 在[]2,4上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞.（2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为()()16g m f =-=-；②当1112m -<-<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减， 所以函数()y f x =的最小值为()()126g m g m ==-， 综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. （3）因为函数()y f x =的对称轴方程为12x m =-，且24280m m ∆=-+>恒成立， ①当()()133232203420m f m f m ⎧-<-<⎪⎪-=-≥⎨⎪=+≥⎪⎩，即112m -≤≤时， 函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点； ②当()1323220m f m ⎧-≤-⎪⎨⎪-=-≥⎩，此时m 不存在； ③当()1323420m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，此时m 不存在；④当()()330f f -⋅≤，即()()22420m m -+≤，解得m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 综上可得：当112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点， 当m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 21.【解析】()1当1a =时，()221,182,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则当1x ≤时，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1f x >-且无最小值；当1x >时，由二次函数()()2282414g x x x x =-+=--知，()f x 在(]1,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，故()()min 414f x f ==-.()2当0a ≤，1x ≤时，()f x 没有零点，当1x >时，()f x 没有零点；当02a <≤，1x ≤时，()f x 有一个零点，当1x >时，()f x 有一个零点.22.【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==， 解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增； 当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>， 又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时， 函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-， 故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数， 若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________． 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=． 故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+， （2）1m =-恒成立，符合题意； （3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈， 当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-； 当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-， 当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-； 当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2． 【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】 解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+， 令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈． （1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞； （2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭， 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩， 解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式； （2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠； （2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =； 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．【答案】3、6、3【解析】观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A对应的数为3，点B对应的数为6.故应填3、6、3.2.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如，[π]＝3，[－1.08]＝－2.如果定义函数f(x)＝x－[x]，那么下列命题中正确的一个是()A．f(5)＝1B．方程f(x)＝有且仅有一个解C．函数f(x)是周期函数D．函数f(x)是减函数【答案】C【解析】f(5)＝5－[5]＝0，故A错误；因为f()＝－[]＝，f()＝－[]＝，所以B错误；函数f(x)不是减函数，D错误；故C正确．3. [2012·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．【答案】9【解析】通过值域求a，b的关系是关键．由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝(x＋)2.又∵f(x)＜c，∴(x＋)2＜c，即－－＜x＜－＋.∴②－①，得2＝6，∴c＝9.4.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x【答案】C【解析】若f(x)＝|x|，则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；若f(x)＝－x，则f(2x)＝－2x＝2f(x)；若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，不满足f(2x)＝2f(x)．5.（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1B．2C．3D．6【答案】D【解析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故答案选D．点评：关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．6.如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.【考点】新定义概念与函数的最值.7.设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）【答案】（1）;（2）;（3）见解析.【解析】（1）在切点处的的函数值，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；二是令，利用导数确定，转化得到．令，证明．（1）因为， 1分所以，又因为切线的斜率为，所以 2分，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分4分（2）由（1）知，，所以令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分当>时，，故在（，+上单调递减； 7分在（0，+上的最大值=== 8分（3）证法1：要证对任意的都有只需证由（2）知在上有最大值，=，故只需证 9分，即① 11分令，则，①即② 13分令，则显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，所以，即对任意的②恒成立，所以对任意的都有 14分证法2：令，则． 10分当时，，故在上单调递减；而当时，，故在上单调递增．在上有最小值，．，即. 12分令，得，即，所以，即.由（2）知，，故所证不等式成立． 14分【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.8.对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．9.设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【答案】D【解析】对A选项，存在满足条件，故是“保序同构”. 对B选项，存在满足条件，故是“保序同构”.对C选项，存在满足条件，故是“保序同构”.选D.【考点】1、新定义；2、函数.10.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=.【答案】-9【解析】f(a)+f(-a)=a3cosa+1+(-a)3cos(-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9.11.对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(-,0)B．{-1,-}C．(-1,-)D．(-∞,-1)∪[-,0)【答案】A【解析】由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,∴f(x)=函数f(x)的图象如图所示,由图象知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.12.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)=()A．B．C．D．-1【答案】B【解析】令=t,t≠0且t≠1,则x=,∵f()=,∴f(t)=,化简得:f(t)=,即f(x)=(x≠0且x≠1).13.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.【答案】2【解析】设e x＝t，则x＝ln t(t>0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.14.是R上以2为周期的奇函数，当时，则在时是（）A．减函数且B．减函数且C．增函数且D．增函数且【答案】D【解析】因为是R上的奇函数，故，由复合函数单调性知，当时为增函数，故此时；当时，为增函数，又因为是以2为周期的，故在上函数性质和取值完全一样，即时，为增函数，选D.【考点】函数奇偶性、函数单调性.15.直线是函数的切线，则实数．【答案】1【解析】先对函数求导，即，由于切线方程为，所以，，解得：，因此，切点为（2，）或（－2，－），代入切线方程，可得＝ 1.【考点】函数的导数求法，函数导数的几何意义.16.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示，作出函数的图象如下图所示，当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.【考点】分段函数的图象、函数的零点17.设函数.（1）若x＝时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；（3）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）．【答案】（1）．（2）.（3）转化成.所以.通过“放缩”，“裂项求和”。
高三数学函数专题经典复习题
1．已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝________.2．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，则f (72)=------------．一、选择题1．函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式可取为( ) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 23．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 5．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x ＜0⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0则不等式|f (x )|≥13的解集为( )A ．(－3,1)B ．[－1,3]C ．(－1,3]D ．[－3,1] 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A,2∉A ，则a 的取值范围是____________． 7．如果f [f (x )]＝2x －1，则一次函数f (x )＝_____________. 三、解答题9．如右图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a <0)不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求实数a 的取值范围．第三部分 函数的值域与最值一、选择题1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3} 2．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2， ||x ≥1x ， ||x <1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[)0，＋∞，则g (x )的值域是( )A.(]－∞，－1∪[)1，＋∞B.(]－∞，－1∪[)0，＋∞ C ．[0，＋∞) D.[)1，＋∞4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >01，x <0，则(a ＋b )－(a －b )f (a －b )2(a ≠b )的值是( )A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数 5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝________.6．若f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2对任意的非负实数x 成立，则f ⎝⎛⎭⎫12010＋f ⎝⎛⎭⎫22010＋f ⎝⎛⎭⎫32010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫20092010＝________. 7．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________.8．若函数y ＝f (x )＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2,2b ]，求b 的值．函数的单调性一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a ，x ＜1，log ax ， x ≥1，是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，3) C.⎣⎡⎭⎫35，3 D ．(1,3)3．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．84．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ D ．(－3，＋∞) 5．若函数f (x )＝x 2＋ax(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 二、填空题6．函数y ＝x 2＋2x －3的递减区间是________．7．如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1,0)上是增函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫23，f (1)从小到大的排列是________．8．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a ＞0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(]0，1上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．已知函数f (x )在(－1,1)上有定义，当且仅当0<x <1时f (x )<0，且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1,1)上单调递减．一、选择题1．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件2．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥04x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 二、填空题5．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________．6设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图所示，则不等式f (x )<0的解是________．7．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝____________.三、解答题8．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x .求函数g (x )的解析式；10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数． (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)．函数的图象一、选择题1．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝1log 2x(x ＞0) B ．f (x )＝log 2(－x )(x ＜0) C ．f (x )＝－log 2x (x ＞0) D ．f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 2．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图象大致是( )3．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是( )A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 1 4．函数f (x )＝2|log 2x |－⎪⎪⎪⎪x －1x 的图象为( )二、填空题6． f (x )是定义域为R 的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1，则x ∈(－4，－2)时，f (x )的表达式为________．7.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如右图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论： ①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2<f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)8．定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋54为奇函数，给出下列结论：①函数f (x )的最小正周期是52；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫54，0对称； ③函数f (x )的图象关于直线x ＝52对称；④函数f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫52.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的符号)第九部分 一次函数与二次函数一、选择题1．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1 D ．a >12．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋523．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1(a >1)，若x 1<x 2，且x 1＋x 2＝1＋a ，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定4. 右图所示为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( ) A.c a B ．－c a C ．±caD ．无法确定5．关于x 的方程()x 2－12－||x 2－1＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题6．若方程4()x 2－3x ＋k －3＝0，x ∈[]0，1没有实数根，求k 的取值范围________．7．如果方程x 2＋2ax ＋a ＋1＝0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a 的取值范围是________． 8．已知f (x )＝x 2, g (x )是一次函数且为增函数， 若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25, 则g (x )＝____________. 三、解答题9．设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋a ，方程f (x )－x ＝0的两根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1. (1)求实数a 的取值范围； (2)试比较f (0)·f (1)－f (0)与116的大小，并说明理由．10．设函数f (x )＝x 2＋|x －2|－1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值．单元测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合A 和集合B 都是实数集R ，映射f ：A →B 是把集合A 中的元素x 对应到集合B 中的元素x 3－x ＋1，则在映射f 下象1的原象所组成的集合是( )A ．{1}B ．{0}C ．{0，－1,1}D ．{0,1,2}2．若不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(－1,0] 3．函数y ＝log a (|x |＋1)(a ＞1)的大致图象是( )4．已知函数f (x )＝log a x ，其反函数为f －1(x )，若f －1(2)＝9，则f (12)＋f (6)的值为( )A ．2B ．1 C.12D.135．函数f (x )＝(12)x 与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞，0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝( )A ．－1 B. 2C ．－1或 2D ．1或－ 27．设函数f (x )＝－x 2＋4x 在[m ，n ]上的值域是[－5,4]，则m ＋n 的取值所组成的集合为( )A ．[0,6]B ．[－1,1]C ．[1,5]D ．[1,7]8．方程(12)|x |－m ＝0有解，则m 的取值范围为( )A ．0＜m ≤1B ．m ≥1C ．m ≤－1D ．0≤m ＜19．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0， D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，e －x ，x <010．设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，那么( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b11．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车20XX 年售价为30万元，五年后(20XX 年)售价为y 万元，每年下调率平均为x %，那么y 和x 的函数关系式为( )A ．y ＝30(1－x %)6B ．y ＝30(1＋x %)6C ．y ＝30(1－x %)5D ．y ＝30(1＋x %)512．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )二、填空题(13．函数f (x )＝11－ex 的定义域是________．14．若x ≥0，则函数y ＝x 2＋2x ＋3的值域是________． 15．设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1,2]上f (x )＝______.16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >00，x ＝0－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f (x )＝a ·2x －12x ＋1是R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求f (x )的反函数f －1(x )．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3ax －4x 的定义域为区间[－1,1]． (1)求g (x )的解析式； (2)判断g (x )的单调性．21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若函数的定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若定义域为[a ，a ＋1]时，f (x )的值域是[－12，116]，求a 的值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(13)x ，函数y ＝f －1(x )是函数y ＝f (x )的反函数．(1)若函数y ＝f －1(mx 2＋mx ＋1)的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈[－1,1]时，求函数y ＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值g (a )．。
基本初等函数、函数与方程——高三二轮数学复习课时作业
采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解
析式为h＝mln(t＋a)(a>0)．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，
金针菇失去的新鲜度为80%，那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后
开始失去全部新鲜度(已知 2≈1.414，结果取一位小数)( C )
A．4.0天
B．4.3天
C．4.7天
D．5.1天
数学(理)
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解析 由题意得mmllnn13＋ ＋aa＝ ＝00..48， ， 两个等式相除得llnn31＋ ＋aa＝2， 即ln(3＋a)＝2ln(1＋a)，所以(1＋a)2＝3＋a， 因为a>0，所以a＝1， 设t天后开始失去全部新鲜度，则mln(t＋1)＝1， 又mln(1＋1)＝0.4， 两个等式相除得lnltn＋21＝01.4， 即2ln(t＋1)＝5ln 2＝ln 32，(t＋1)2＝32，t＋1＝ 32＝4 2≈4×1.414＝5.656， 即t＝4.656≈4.7.故选C.
数学(理)
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12．(2022·广东茂名二模)双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确
提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加
大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超
过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池
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数学(理)
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9．(2022·辽宁沈阳二模)2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》
第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好
2021届高三数学一轮复习——函数与方程专题训练
2021届高三数学一轮复习——函数与方程专题训练1．已知2是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋m )，x ≥2，2x ，x <2的一个零点，则f (f (4))的值是( ) A ．3B ．2C ．1D ．log 232．函数f (x )＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正B ．等于0C ．恒为负D ．不大于04．(2020·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，|x 2＋2x |，x <0，若函数g (x )＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1 5．设f (x )是区间[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在区间[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)7．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( )A ．ln x ＝1－xB ．e x ＝1xC ．2－x 2＝lg |x |D ．cos x ＝|x |＋18．(多选)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |log 2x |，0<x ≤2，12log ⎝⎛⎭⎫x －32，x >2，若实数a ，b ，c 满足0<a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )．下列结论恒成立的是( )A ．ab ＝1B ．c －a ＝32C ．b 2－4ac <0D ．a ＋c <2b9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ＋1x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，若函数g (x )＝f (x )－mx 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．10．已知常数θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若函数 f (x )在R 上恒有f ⎝⎛⎭⎫－12＋3x ＝f ⎝⎛⎭⎫72＋3x ，且 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin πx ，－1≤x ≤1，log 2x 4，1<x <3，则函数y ＝f (x )－cos θ－1在区间[－5,14]上零点的个数是________．11．已知f ′(x )是函数f (x )(x ∈R )的导数，满足f ′(x )＝f (x )，且f (0)＝2，设函数g (x )＝f (x )－ln f 3(x )的一个零点为x 0，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)12．(2019·黑龙江牡丹江一中期末)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，函数g (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g (x )＝lg x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．1213．(2020·重庆一中期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，|log 2 020x |，x >0，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )。
高三数学函数与方程试题答案及解析
高三数学函数与方程试题答案及解析1.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和为 _．【答案】４．【解析】函数与的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图所示：当1＜x4时，，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在处取最大值为，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（-2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：xA +xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．【考点】1.函数的零点与方程的根的关系;2.数形结合思想.2.已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝a x＋(x－1)2－2a的零点个数为( )A．1B．2C．3D．与a有关【答案】B【解析】设g(x)＝2a－a x，h(x)＝(x－1)2，注意到g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论a＞1还是0＜a＜1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个公共点考点:零点的个数3.已知函数，集合，，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】集合，均表示方程的解集，集合中元素的个数，就是方程解的个数.当时，有一解，无解，正确；当时，有一解，有一解，正确；当时，有两解，有两解，其不可能有三个解，正确，不正确.故选.【考点】1、新定义；2、集合的概念；3、函数与方程.4.若关于x的方程x2－(a2＋b2－6b)x＋a2＋b2＋2a－4b＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x 1<0<x2<1，则a2＋b2＋4a＋4的取值范围是________．【答案】【解析】由题意得即利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a＋b＋1＝0的距离，即为＝，所以a2＋b2＋4a＋4∈，即a2＋b2＋4a＋4∈.5.已知方程x＝的解x∈，则正整数n＝________.【答案】2【解析】在同一直角坐标系中画出函数y＝x，y＝的图像，如图所示．由图可得x∈(0,1)，设f(x)＝x－，因为f＝－<0，f＝－>0，故n＝2.6.若函数不存在零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】依题意在上没有实根.即等价于无解.等价于在上没有实根，即函数在与x轴没有交点.当时，.，又由.所以上有零点.所以不成立.当时，只需.【考点】1.方程的根与函数的零点.2.分类讨论的思想.7.函数的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数的零点个数方程的根的个数函数与的图象的交点个数．作出两函数的图象(如图)．由图可知，两个函数的图象有两个交点，故选B8.设函数，.（1）解方程：；（2）令，，求证：（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）参考解析；（3）【解析】（1）由于函数，，所以解方程.通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于即得到.所以.所以两个一组的和为1，还剩中间一个.即可求得结论.（3）由是实数集上的奇函数，可求得.又由于对任意实数恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数的单调性可得.函数在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1），，（2），．因为，所以，，．=．（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增.由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，，又因为在实数集上单调递增，所以即对任意的都成立，即对任意的都成立，.【考点】1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.9.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数，∴，＝＜＜0，＝＞＞0，∴，所以函数的零点所在区间是．【考点】函数的零点．10.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|x cos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为( )A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以当x∈[1,2]时，2－x∈ [0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3. 当x∈时，g(x)＝x cos (πx)；当x∈时，g(x)＝－x cos(πx)，注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g＝g＝0，作出函数f(x)，g(x)的大致图象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点，故选B.11.函数f(x)＝1－x logx的零点所在的区间是()2A．，B．，1C．(1，2)D．(2，3)【答案】Cx的零点所在的区间是(1，2)．【解析】f(1)＝1，f(2)＝－1，故函数f(x)＝1－x log212.函数的零点所在的区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3.4)【答案】B【解析】函数在区间存在零点，等价于.计算，故选B.【考点】函数零点存在定理13.已知函数若a、b、c互不相等，且，则a＋b＋c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【答案】C【解析】由于函数的周期为，，故它的图象关于直线对称，不妨设，则．故有，再由正弦函数的定义域和值域可得，故有，解得，综上可得，，故选C．【考点】函数的根，图像变化．14.“函数在上存在零点”的充要条件是 .【答案】或【解析】函数在上存在零点等价于直线在上与轴有交点，则或，即或.【考点】函数的零点，充要条件.15.已知函数时，则下列结论正确的是 .(1），等式恒成立(2），使得方程有两个不等实数根(3），若，则一定有(4），使得函数在上有三个零点【答案】(1)(2)(3)【解析】由，所以（1）正确；对于B，不妨设m=则|f(x)|= ，即，得到：x=1或-1，故B正确；对于C，就是求f(x)单调性，由于f(x)为奇函数，只需讨论在（0，+∞）的单调性即可，当x>0时，f(x)= >0,所以在（0，+∞）单调递增且函数值都为正数，所以函数f(x)在（－∞，0）上单调递增且函数值都为负数，又f(0)=0,故f(x)在R上单调递增，所以任意x1,x2属于R，若x1≠x2，则一定有f(x1）≠f(x2)正确；D错误，令f(x)-kx=-kx=x（）=0，则有一根为x=0,或=0，但是，而k，所以=0恒不成立，所以选择D【考点】1.函数的单调性、最值；2.函数的奇偶性、周期性；3.函数零点的判定定理.16.方程有解，则的取值范围（）A．或B．C．D．【答案】D【解析】方程有解,即,因为,所以, ,即,解得.【考点】1、方程有解问题, 2、二次函数值域.17.已知直线：．若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①；②；③；④；则其中直线的“绝对曲线”有（）A．①④B．②③C．②④D．②③④【答案】D【解析】由题意直线表示斜率为且过定点（1,1）的直线.(1)曲线①是由左右两支射线构成：时，是斜率为2且过点（1,0）的射线；时，是斜率为-2且过点（1,0）的射线.作图可知：当，直线仅与曲线①右支射线有一个交点；当时，直线与曲线①无交点；当时，直线仅与曲线①左支射线有一个交点.所以直线与曲线①最多只有一个交点，不符题意，故曲线①不是直线的“绝对曲线”.(2)因为定点（1，1）在曲线②上，所以直线与曲线②恒有交点，设曲线②与直线的两交点为、，易知，联立直线与曲线②方程，化简得：.，.,从而可知当且仅当时直线与曲线②仅一个交点.两边平方，化简得：.设，则，，且是连续函数，所以在（0,2）上有零点，即方程在（0,2）上有根，且在（0,2）上曲线②与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线②与直线两个不同交点为端点的线段长度恰好等于，故曲线②是直线的“绝对曲线”.(3)曲线③表示圆心在（1,1）且半径为1的圆,它与直线两个交点为端点的线段长度恒为2，为2或-2时满足题意，故曲线③是直线的“绝对曲线”.(4)因为定点（1，1）在曲线④上，所以直线与曲线④恒有交点，设曲线④与直线的两交点为、，易知，联立直线与曲线④方程，化简得：,,,从而可知当且仅当时直线与曲线④仅一个交点.两边平方，化简得：.,，,且是连续函数，所以在上有零点，即方程在上有根，且在上曲线④与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线④与直线两个交点为端点的线段长度恰好等于，故曲线④是直线的“绝对曲线”.【考点】曲线与直线的方程、函数的零点18.,则下列关于的零点个数判断正确的是（）A．当k=0时，有无数个零点B．当k＜0时，有3个零点C．当k＞0时，有3个零点D．无论k取何值，都有4个零点【答案】A【解析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））-2为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））-2的零点个数；解：分四种情况讨论．（1）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=-ln（-lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+2≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤-2，k2x≤-k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+2＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+2=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点，故选A；k=0，y=f（f（x））-2，有无数个零点，故选A.【考点】复合函数的零点点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x））+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题；19.若方程的根在区间上，则的值为（）A．B．1C．或2D．或1【答案】D【解析】令f（x）=，且x＞－1，则方程的实数根即为f（x）的零点．则当x＞0时，f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上单调递增，由于f（1）=ln2－2＜0，f（2）=ln3－1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故f（x）在（1，2）上有唯一零点．当x＜0时，f（x）在区（－1，0）上也是增函数，由f（－）=ln+=－ln100＜3－lne3=0，f（－）=ln+200＞200－ln1＞200＞0，可得 f（－）•f（－）＜0，故函数f（x）在（－，－）上也有唯一零点，故f（x）在区（－1，0）上也唯一零点，此时，k=－1．综上可得，∴k=±1，故选D．【考点】函数的零点的定义，零点存在定理。
高三数学函数及其表示试题答案及解析
高三数学函数及其表示试题答案及解析1.已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={}；③M={}；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是；【答案】②④【解析】对于①是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足“垂直对点集”的定义；在另一支上对任意（x1，y 1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以集合M不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x-2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y 2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．【考点】函数的基本性质2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点【答案】D【解析】从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选D．3.设为不小于2的正整数，对任意，若（其中，，且），则记，如，.下列关于该映射的命题中，正确的是.①若，，则②若，，，且，则③若，，，，且，，则④若，，，，且，，则.【答案】②③④【解析】当时，所以，.所以不成立；由即设，所以即即②正确；由设，可得.所以，所以可得即③正确.同理根据的含义，可得④正确.【考点】1.新定义问题.2.整数的余式定理.3.分类的思想.4.建立数式运算解决数学问题.4.设集合={1，2，3，4，5},对任意和正整数，记，其中，表示不大于的最大整数，则=，若，则.【答案】，.【解析】由已知，==；观察可知，当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：==；=；=；当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：=；故，综上知，答案为，.【考点】新定义，取整函数.5.下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．6.下列说法正确的是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法则f：x→y＝，x∈A，y∈B，满足条件的对应法则f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，则这样的映射f共有1个．【答案】①④【解析】②中满足y＝的x值不存在，故对应法则f不能构成从集合A到集合B的函数；③中函数y＝f(x)的定义域中若不含x＝1的值，则其图象与直线x＝1没有交点．7.求下列函数f(x)的解析式．(1) 已知f(1－x)＝2x2－x＋1，求f(x)；(2) 已知f＝x2＋，求f(x)；(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．【答案】（1）f(x)＝2x2－3x＋2（2）f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．【解析】(1) (换元法)设t＝1－x，则x＝1－t，∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，∴ f(x)＝2x2－3x＋2.(2) (配凑法)∵ f＝x2＋＝2＋2，∴ f(x)＝x2＋2.(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.∵f(f(x))＝4x－1，∴解得或∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.(4) (消去法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)8.函数图象和方程的曲线有密切的关系，如把抛物线的图象绕远点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象，若把双曲线的图象绕原点逆时针方向旋转一定的角度后，就得到某一函数的图象，则旋转角可以是（ )A．B．C．D．【答案】C【解析】把双曲线的渐进线旋转到与轴重合时，双曲线的图象就变成函数图象，由知，则可得旋转角，故选C.【考点】函数的定义，函数图象的旋转.9.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .【答案】（1）【解析】对于①，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1），f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数；对于②不满足（3）；对于③不满足（2）；对于④不满足（1）（2），故答案为①【考点】1.函数的概念及其构成要素．10.若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，下列曲线（1）y=cosx,,(2),(3),(4)有“中位点”的是（）A.(2)(4)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(4) C.(2)(3)D.(2)(3)(4)【答案】B【解析】若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，此时函数图象上必然有三点共线，函数y=cosx的图象上（0，1），（,0），（π，-1）三点显然共线，函数的图象上（-1，-4），（0,-2），（1，0）三点和函数的图象上（-1，-1），（0,0），（1，1）三点显然共线，均有三点共线，而没有，故选B.【考点】1.数形结合的思想方法；2.新定义的理解11.上的偶函数满足,若时，,则= .【答案】【解析】因为，所以，又因为是上的偶函数，所以有，又，所以.【考点】函数的综合运用.12.若函数为奇函数，且，则；.【答案】；【解析】试题解析：为奇函数，所以，所以，，，，.【考点】1.函数的解析式；2.倒序相加法13.已知，则___________.【答案】2【解析】因为，所以，又因为，所以.【考点】求分段函数的函数值.14.已知函数满足．（1）求常数的值；（2）解不等式．【答案】(1) ；（2）【解析】（1）显然，所以，代入相应解析式求出；（2）由（1）确定函数解析式，对在不同段上的讨论.试题解析：（1）因为，所以；由，即，． 4分（2）由（1）得，由得， 6分当时，解得； 8分当时，解得. 10分所以的解集为． 12分【考点】1.分段函数；2.不等式.15.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数. 给出下列4个函数：①；②；③；④.其中是一阶格点函数的是（）A．①③B．②③C．③④D．①④【答案】D【解析】由题中所给信息可知：图像过点…不是一阶格点函数；图像过点…不是一阶格点函数，故可排除②③；对于①只过一个整数点（0,0），④也只过一个整数点（3,5），故答案选D.【考点】对新定义的理解16.下列整数中，小于－3的整数是A．－4B．－2C．0D．3【答案】A【解析】－4比－3小，－2、0和3比－3大，所以应该选A。
高三数学函数专题训练题
高三数学函数专题训练题（附详解）第1卷（选择题）一、单选题1. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f '(x) < f(x)，且f(-x) = f(2+x)，f(2)=1，则不等式f(x)< e x 的解集为（ ） A.（-∞，2） B.（2，+∞） C.（1，+∞） D.（0，+∞）2. 函数y=sinx+2|sinx|，x ∈[0，2x]的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为（ ）A. k ∈ [0，3]B. k ∈ [1，3]C. k ∈（1，3）D. k ∈（0，3） 3. 已知sina 1+cosa= 2，则 tana =（ ）A. - 43B. - 34C. 43D. 24. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4) = f(x)，当x ∈(0，2)时，f(x)=3x -1，则f(2022)+f(2023)=（ ）A. -2023B. -1C. 1D. 32022 5. 设a=log 20.3，b=0.2，c=（12）0.2，则a,b,c 三者的大小关系为（ ） A. a<b<c B. c<a<b C. b<c<a D. a<c<b6. 设函数f(x)(x ∈R)的导函数为f '(x)，满足f '(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与e a f(0)的大小关系为（ ）A. f(a)>e a f(0)B. f(a)<e a f(0)C. f(a)=e a f(0)D. 不能确定7. 已知f(x)=2x2x +1+ax+cos2x ，若f (π3)=2，则f(-π3)等于（ ）A. -2B. -1C. 0D. 18. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)，A （13，0）为f(x)图像的对称中心，B 、C 是该图像上相邻的最高点和最低点，且|BC|=4，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f(x)的对称轴方程为x=43+4k(k ∈Z)B. 若函数f(x )在区间(0，m)内有5个零点，则在此区间内f(x )有且只有2个极小值点C. 函数f(x )在区间(0，2)上单调递增D. f(x -π3)的图象关于y 轴对称9. 已知函数f(x)={|x|x+4√x 36−x，−4<x<2，2≤x<6,若方程f(x)+αx 2=0有5个不等实根，则实数α的取值范围是（ ）A. (-∞，- √24) ∪ {- 13}B. [- 13，- 14] C. [13，√24] D. ( √24，+∞)∪ { 13} 10. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点，直线l 过点F 2，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AF 1F 2、△BF 1F 2的内切圆的圆心分别为O 1，O 2，则△OO 1O 2面积的取值范围是（ ） A. (1，2√33) B. [1，2√33)C. [1，2√33] D. (1，2√33] 11. 设定义在R 上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f '(x)和g'(x)，若g(x)-f(3-x)=2，f '(x)=g'(x-1)，且g(x+2)为奇函数，g(1)=1。
高三数学函数与方程试题
高三数学函数与方程试题1.设若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为．【答案】(0，]【解析】因为函数f(x)在区间(1，3)内有零点，又函数f(x)在区间(1，3)内最小值为，所以【考点】函数零点2.已知函数，.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】如图，由已知，函数，的图象有两个公共点，画图可知当直线介于，之间时，符合题意，故选B.【考点】1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.3.已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】方程有两个不相等的实根，等价于函数，的图象有两个不同的交点，如图：在同一坐标系中作出函数，的图象，观察图象可知：，所以；故选Ｂ．【考点】１．方程的根与函数图象间的关系；２．数形结合法．4.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．5.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为，则，由题得：，，即，解得，所以，故选A.【考点】函数的解析式.6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.设，则函数的零点位于区间（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C【解析】，选C.【考点】零点的定义.8.若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】由零点存在定理得：因此或.选C.【考点】零点存在定理9.某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则．（1）；（2）函数的零点个数是.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由题意可得函数=，当共线，即时，；（2）函数的零点个数，即的图象与交点的个数. 由（1），当P与B或C重合，即或时，．结合图象可知，交点个数为，故函数零点的个数是.【考点】函数的应用问题，函数的零点，函数的图象.10.已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是__________.【答案】【解析】关于的方程有三个不同的实数根，转化为，，两个函数图像有三个不同的交点，函数的图像如图，函数恒过定点为，观察图像易得：.【考点】新概念数形结合11.已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】时，，要使函数在上有两个零点，必须，所以.【考点】函数及其零点.12.方程lgx＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)有解，则n的值为________．【答案】1【解析】令f(x)＝lgx＋x－2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n＝1.13.设是一元二次方程的两个虚根.若，则实数．【答案】4【解析】复数范围一元二次的韦达定理仍然适用，因此一定有，故，，又实系数二次方程有虚根，从而，即，所以同.【考点】实系数一元二次方程根的判别式与韦达定理.14.直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ()．A．[－1,2)B．[－1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，－1]【答案】A【解析】直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，即方程x2＋4x＋2＝x(x≤m)与x＝2(x＞m)共有三个根．∵x2＋4x＋2＝x的解为x1＝－2，x2＝－1，∴－1≤m＜2时满足条件，故选A.15.方程有个不同的实数根【答案】2【解析】先确定的取值范围，,此题转化为函数和函数的焦点个数问题，这两个函数的图像如下：【考点】1.转化思想；2.数形结合思想，3.函数零点个数.16.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，得，即，即，若函数与在上是“关联函数”，则问题转化为直线与曲线在区间上有两个交点，在同一坐标系中作出直线与曲线在区间图象，由图象知，当时，直线与曲线在区间上有两个交点，故选A.【考点】1.新定义；2.函数的零点17.设，则函数的零点位于区间（）A．(0 ,1)B．(-1, 0) C．(1, 2) D．(2 ,3)【答案】A【解析】因为，由零点存在性定理知，在内有零点，有为单调函数，故存在唯一零点，选A.【考点】零点存在定理.18.“函数在上存在零点”的充要条件是 .【答案】或【解析】函数在上存在零点等价于直线在上与轴有交点，则或，即或.【考点】函数的零点，充要条件.19.函数的零点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】根据函数平移，将的图像向右平移1个单位得到的图像，再画出的图像，观察即可.【考点】1.函数零点；2.函数的零点关系转化.20.方程有解，则的取值范围（）A．或B．C．D．【答案】D【解析】方程有解,即,因为,所以, ,即,解得.【考点】1、方程有解问题, 2、二次函数值域.21.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是（）A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】试题分析:函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制上的图象，根据周期性，可以绘制上的图象，而是个偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点，故选B.【考点】函数与方程.22.函数零点的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，作出函数与图像可的结论．【考点】考查函数的图像．23.函数的零点的个数为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，令，得，故零点的个数为1,选B.【考点】零点的个数的判断.24.已知函数，其中表示不超过实数的最大整数．若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】关于的方程有三个不同的实根，转化为两个函数图像有三个不同的交点，函数的图像（如图），函数恒过定点为，观察图像易得【考点】函数图象交点个数.25.方程的实数解为．【答案】log43【解析】令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log4可满足条件3即方程的实数解为 log4．3【考点】函数的零点点评：本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断26.已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（）A．11B．10C．9D．8【答案】C【解析】易知，当时零点分别是，0,1,2,4,5共5个，当函数在区间间分别有一个零点，故共9个零点.【考点】函数的零点点评：解决本题的关键是把函数有零点的问题，转化成两函数在某区间内有交点的问题，属中档题.27.已知函数则下列关于函数的零点个数的判断正确的是 ( )A．当时，有3个零点；当时，有2个零点B．当时，有4个零点；当时，有1个零点C．无论为何值，均有2个零点D．无论为何值，均有4个零点【答案】B【解析】分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为（2）0＜x＜1时lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=" k" lnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，没有零点，（3）若x＜0，k x+1≤0时，y=f（f（x））+1= k 2x+ k +1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，没有零点，（4）若x＜0，k x+1＞0时，y=f（f（x））+1=lnx（k x+1）+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，没有零点，综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点故选B28.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解得 0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选C．29.若方程(为常数,),则下列判断正确的是( ).A．当时,没有实根B．当时,有一个实根C．当时,有三个实根D．当时,有两个实根【答案】D【解析】当时,分别作出函数的图像，有一个交点，所以方程有一个实根；当时, 方程等价于，令所以在（0,1）上是减函数，(1,上是增函数，最小值是.当，即时,有两个实根.30.若方程有解，则a的取值范围是（）A．a>0或a≤－8B．a>0C．D．【答案】D【解析】解：方程有解，等价于求的值域∵∴则a的取值范围为31.函数的零点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】函数的零点的个数转化为函数与函数交点个数，画出两个函数图象易得两函数的交点有 2个，故选B32.方程在内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【答案】C【解析】作出函数的图像，然后从图像上观察其共有2个交点，所以方程在内有且仅有两个根33.已知，则代数式A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：34.已知函数，当且时，函数的零点，则．【答案】2【解析】的定义域为，则因为，所以，则所以在定义域内单调递减因为所以，则，则根据零点存在定理可得，存在，使得所以35.．函数在定义域内的零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】的定义域为。
历年高三数学高考考点之〈函数与方程〉必会题型及答案
历年高三数学高考考点之〈函数与方程〉必会题型及答案体验高考1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a的取值范围是________. 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 函数g (x )有两个零点， 即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根， 则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点. ①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增； 当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点. ③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点. 综上，a <0或a >1.2.设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2； ④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 答案 ①③④⑤解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，②错误.所有正确条件为①③④⑤.3.(2016·课标全国甲)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A.0B.mC.2mD.4m 答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，由y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2此时m ＝2，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m ，故选B.方法二 由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0，1)对称. 又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称. 则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对，且关于点(0，1)对称.则∑i ＝1m (x i ，y i )＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1my i ＝0＋m2×2＝m ，故选B.高考必会题型题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，log ax ＋1＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋4a －3·0＋3a ≥f 0＝1，3－4a2≥0⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象.由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解. 故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解.当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0， 解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题.变式训练1 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1，2－x 2，x ∈[－1，0，且f (x＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5，1]上的所有实根之和为( )A.－5B.－6C.－7D.－8 答案 C解析 g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2x ＋2＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，由题意知函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5，1]上的图象如图所示：由图象知f (x )、g (x )有三个交点，故方程f (x )＝g (x ) 在x ∈[－5，1]上有三个根x A 、x B 、x C ，x B ＝－3，x A ＋x C2＝－2，x A ＋x C ＝－4，∴x A ＋x B ＋x C ＝－7.题型二 函数与方程思想在不等式中的应用例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f xex<1的解集为( )A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(－∞，2)D.(2，＋∞) 答案 B解析 构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝e x·f ′x －e x ·f xex2＝f ′x －f xex.由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f xex在R 上单调递减.又g (0)＝f 0e＝1，所以f xex<1，即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞).故选B.点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.变式训练2 已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2，16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( ) A.(－∞，－2]B.[2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵x ∈[2，16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1，4]， 即m ∈[1，4].不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立， 即为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2， 则此函数在[1，4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22>0，4x －2＋x －22>0，解得x <－2或x >2.题型三 函数与方程思想在数列中的应用例3 已知数列{a n }是首项为2，各项均为正数的等差数列，a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n(其中S n 是数列{a n }的前n 项和)，若对任意n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值. 解 因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3.令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为： 第一步：分析数列式子的结构特征.第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.变式训练3 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *).若a 8a 7＜－1，则( ) A.S n 的最大值是S 8 B.S n 的最小值是S 8 C.S n 的最大值是S 7 D.S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列.又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2， 由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22. 故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，也满足AP →＝3PB →，此时m ＝±12.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.则3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0，即3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0， 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋2m 2－2＝0， 当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0， 所以k 2＝2－2m24m 2－1>0，解得－1<m <－12或12<m <1，综上，所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 点评 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程.第二步：求解判别式Δ.第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围. 第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节.变式训练4 已知点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y ) ＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝2c 2－b2a 2c 2＝3c 2－a2a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.高考题型精练1.关于x 的方程3x ＝a 2＋2a ，在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.[－2，－1)∪(0，1] B.[－3，－2)∪[0，1] C.[－3，－2)∪(0，1] D.[－2，－1)∪[0，1]答案 C解析 当x ∈(－∞，1]时，3x∈(0，3]，要使3x ＝a 2＋2a 有解，a 2＋2a 的值域必须为(0，3]， 即0<a 2＋2a ≤3，解不等式可得－3≤a ＜－2或0＜a ≤1，故选C.2.设函数f (x )＝e x(x 3－3x ＋3)－a e x－x ，若不等式f (x )≤0有解，则实数a 的最小值为( ) A.2e －1 B.2－2e C.1＋2e 2D.1－1e 答案 D解析 因为f (x )≤0有解，所以f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ≤0，a ≥x 3－3x ＋3－xex ＝F (x )，F ′(x )＝3x 2－3＋x －1ex ＝(x －1)(3x ＋3＋e －x )，令G (x )＝3x ＋3＋e －x，G ′(x )＝3－e －x，3－e －x＝0，x ＝－ln 3，G (x )最小值G (－ln 3)＝6－3ln 3>0， F (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增， F (x )的最小值为F (1)＝1－1e ，所以a ≥1－1e，故选D.3.已知f (x )＝x 2－4x ＋4，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，函数y ＝f n (x )的零点个数记为a n ，则a n 等于( ) A.2n B.2n －1C.2n ＋1D.2n 或2n －1答案 B解析 f 1(x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，有1个零点2，由f 2(x )＝0可得f 1(x )＝2，则x ＝2＋2或x ＝2－2，即y ＝f 2(x )有2个零点，由f 3(x )＝0可得f 2(x )＝2－2或2＋2，则(x －2)2＝2－2或(x －2)2＝2＋2，即y ＝f 3(x )有4个零点，以此类推可知，y ＝f n (x )的零点个数a n ＝2n －1.故选B.4.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0，2)，x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围为____________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 解析 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2， 令f ′(x )>0得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1，3)，单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1，2]. 当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时；g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解. 综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 5.满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________. 答案 2 2解析 可设BC ＝x ，则AC ＝2x ， 根据面积公式得S △ABC ＝x 1－cos 2B ， 由余弦定理计算得cos B ＝4－x24x ，代入上式得S △ABC ＝x1－4－x 24x2＝128－x 2－12216.由⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，得22－2<x <22＋2.故当x ＝23时，S △ABC 有最大值2 2.6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________. 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋y －a2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.7.设函数f (x )＝ln x ＋ax －1(a 为常数).(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； (2)若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，求实数a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，由f (x )＝ln x ＋a x －1得f ′(x )＝1x －ax －12，由于曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(2)＝0，即12－a2－12＝0，所以a ＝12.(2)因为f ′(x )＝1x －ax －12＝x 2－2＋a x ＋1x x －12，若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，则函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点， 令φ(x )＝x 2－(2＋a )x ＋1.设x 2－(2＋a )x ＋1＝(x －α)(x －β)，可知αβ＝1， 不妨设β>α，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)， 若函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点， 即y ＝φ(x )在(e ，＋∞)内有异号零点，所以β>e ，又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e 2－(2＋a )e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2，所以实数a 的取值范围是(e ＋1e －2，＋∞).8.已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a ，当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞).(2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立.∵当x ∈R 时，e x>0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]. 9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝21＋k 24＋6k21＋2k 2.又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 所以k 的值为1或－1.10.已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值. 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2a 3＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 12＋q 2＝3a 1q ， ①a 1q ＋q 3＝2a 1q 2＋4. ② 由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时，不合题意.舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n.(2)b n ＝a n ＋log 21a n＝2n ＋log 212n ＝2n －n .所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋ (2)－n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝21－2n 1－2－n 1＋n2＝2n ＋1－2－12n －12n 2.因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。
高三数学函数与方程试题答案及解析
高三数学函数与方程试题答案及解析1.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．2.函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)【答案】B【解析】函数f(x)＝lnx－x－a的零点，即为关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x－a＝0，化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时有a＝－1，若关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选B．3.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．【答案】（1）m≥2e（2）(－e2＋2e＋1，＋∞)【解析】解：(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，g(x)＝m就有实数根．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)与f(x)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2．故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．4.已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，则f(x)＝0在区间[0,2014]内根的个数为()A．1006B．1007C．2013D．2014【答案】D【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)，可知f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)＝f(－x＋2)，可知函数f(x)关于直线x＝1对称，因为函数f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，所以函数f(x)＝0在区间[0,2014]内根的个数为2014，故选D.5.已知函数，集合，，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】集合，均表示方程的解集，集合中元素的个数，就是方程解的个数.当时，有一解，无解，正确；当时，有一解，有一解，正确；当时，有两解，有两解，其不可能有三个解，正确，不正确.故选.【考点】1、新定义；2、集合的概念；3、函数与方程.6.偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是________．【答案】4【解析】由f(x－1)＝f(x＋1)可知T＝2.∵x∈[0,1]时，f(x)＝x，又∵f(x)是偶函数，∴可得图像如图．∴f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是4个．7.关于x的方程e x ln x＝1的实根个数是________．【答案】1【解析】由e x ln x＝1(x>0)得ln x＝(x>0)，即ln x＝x(x>0)．令y1＝ln x(x>0)，y2＝x(x>0)，在同一直角坐标系内绘出函数y1，y2的图像，图像如图所示．根据图像可知两函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.8.已知方程x＝的解x∈，则正整数n＝________.【答案】2【解析】在同一直角坐标系中画出函数y＝x，y＝的图像，如图所示．由图可得x∈(0,1)，设f(x)＝x－，因为f＝－<0，f＝－>0，故n＝2.9.（13分）（2011•湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【解析】（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I） f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．10.用min{a，b)表示a，b两数中的最小值．若函数恰有三个零点，则t的值为( )．A．-2B．2C．2或-2D．1或-l【答案】D【解析】此题可以考虑数形结合：做出的图象，当过两函数交点时，恰有三个交点，即有三个零点，时，,,得到（舍）或,或，故选D.【考点】函数的零点11.已知函数,则下列说法错误的是( )A．若,则有零点B．若有零点,则且C．使得有唯一零点D．若有唯一零点,则且【答案】B【解析】令，当时，的图象如下图（1）所示，由图可知，有零点，故A正确.取，的图象如下图（2）所示，由图可知，有零点，故B错误.选B.【考点】函数的零点.12.已知是二次函数，不等式的解集是(0，5)，且在区间[-1，4]上的最大值是12．（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在正整数m,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）方程，设，则.当时，，是减函数；当时，，是增函数.因为.所以方程在区间，内分别有唯一实数根，而区间，内没有实数根.所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.【解析】（1）由已知得0，5是二次函数的两个零点值，所以可设，开口方向向上，对称轴为，因此在区间上的最大值是，则，即，因此可求出函数的解析式；（2）由（1）得，构造函数，则方程的实数根转化为函数的零点，利用导数法得到函数减区间为、增区间为，又有，，，发现函数在区间，内分别有唯一零点，而在区间，内没有零点，所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.（1）因为是二次函数，且的解集是，所以可设 2分所以在区间上的最大值是. 4分由已知，得，.. 6分（2）方程，设，则. 10分当时，，是减函数；当时，，是增函数. 10分因为.所以方程在区间，内分别有唯一实数根，而区间，内没有实数根. 12分所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. 14分【考点】1.函数解析式；2.函数零点.13.函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是A．B．C．D．【答案】C【解析】由图象可知函数定义域为实数集,故选项B不正确，又图象可知函数零点有，，，，，所以选项A,D不正确，C正确.故选C.【考点】1、函数的图象与性质；2、函数的零点.14.设定义域为R的函数若函数有7个零点，则实数的值为（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】代入检验，当时，，有2个不同实根，有4个不同实根，不符合题意；当时，，有3个不同实根，有2个不同实根，不符合题意；当时，，作出函数的图象，得到有4个不同实根，有3个不同实根，符合题意. 选D.【考点】1.函数图象；2.函数零点.15.设函数，则函数的零点个数为个．【答案】3【解析】将的图象向上平移个单位得的图象，由图象可知，有3个零点.【考点】函数的零点.16.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，解不等式bf(ax)>0；【答案】(－3，2)【解析】由题意，得f＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6，所以a＝－1，b＝－6，所以不等式bf(ax)>0，即为f(－x)<0，即x2＋x－6<0，解得－3<x<2，所以解集为(－3，2)．17.已知f(x)＝2x，g(x)＝3－x2，试判断函数y＝f(x)－g(x)的零点个数．【答案】两个【解析】在同一坐标系内作出函数f(x)＝2x与g(x)＝3－x2的图象，两图象有两个交点，∴函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．18.若＝x－ (表示不超过x的最大整数)，则方程－2013x＝的实数解的个数是________．【答案】2【解析】方程可化为＋[x]＝2013x，可以构造两个函数：y＝＋[x]，y＝2013x，由图可知，两函数图象有2个交点，故方程有两个根．19.f(x)＝|2x－1|，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，则函数y＝f4(x)的零点个数为________．【答案】8【解析】f4(x)＝|2f3(x)－1|的零点，即f3(x)＝的零点，即|2f2(x)－1|＝的零点，即f2(x)＝或的零点，即|2f(x)－1|＝或的零点，即f(x)＝，，，的零点，显然对上述每个数值各有两个零点，故共有8个零点．20.方程的解的个数为（）A．1B．3C．4D．5【答案】B【解析】本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数和的图象的交点的个数来解决，作出这两个函数的图象（如图），，，但当时，，而，故两个函数图象有三交点，即原方程有三个解．【考点】方程的解与函数图象的交点．21.已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，函数，令，解得；当时，，此时函数在上有且仅有一个零点，等价转化为方程在上有且仅有一个实根，而函数在上的值域为，所以，解得，故选D.【考点】函数的零点22.函数在区间内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B．【解析】又在上单调递增，在内只有一个零点．【考点】函数的零点．23.已知函数，在上的零点个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】（数形结合）函数在上的零点个数，由函数与的图象在上的交点个数为2，故选B．【考点】函数的零点24.设函数，若实数满足，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，∴；，，∴,∴,∵，在上是单调增函数，∴.【考点】方程的根与函数的零点.25.对于任意定义在区间D上的函数f(x)，若实数x0∈D，满足f(x)＝x，则称x为函数f(x)在D上的一个不动点，若f(x)=2x++a在区间(0，+∞)上没有不动点，则实数a取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意知只要①在上没有实数解就行,将①化简得，要使其在没有实数解，那么要满足或者解得.【考点】方程的根与系数的关系.26.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( )A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】试题分析:函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制上的图象，根据周期性，可以绘制上的图象，而是个偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点，故选B.【考点】函数与方程.27.已知函数，其中表示不超过实数的最大整数．若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】关于的方程有三个不同的实根，转化为两个函数图像有三个不同的交点，函数的图像（如图），函数恒过定点为，观察图像易得【考点】函数图象交点个数.28.函数是定义域为R的奇函数，且时，，则函数的零点个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题意知，当时，令，即，令，，当时，与有1个交点，即时有1个零点，又是定义域为R的奇函数，所以函数有3个零点.【考点】奇函数的性质、零点问题.29.已知，其中为常数，且.若为常数，则的值__________【答案】【解析】根据题意分别得到和的解析式，算出化简后等于k，根据合分比性质得到k即可。
高三数学函数与方程试题答案及解析
高三数学函数与方程试题答案及解析1.函数在区间[0，4]上的零点个数是A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】令f（x）=0，可得x=1或cosx2=0∴x=1或x2=kπ+，k∈Z，∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解，∴函数f（x）=（x-1）cosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个，故选C【考点】１．三角函数的周期性；２．零点的概念．2.若方程的解为，则大于的最小整数是．【答案】5.【解析】由于方程，设在同一坐标系中作出两函数的图象：，则有，而且可知，故大于的最小整数是：５．【考点】方程的根与函数图象交点之间的关系．3.已知定义在R上的函数f(x)的周期为4，且当x∈(－1，3]时，f(x)＝，则函数的零点个数是( )A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由函数的周期为4x递增且经过(6，1)点画出f(x)的草图如图，其中函数y＝log6函数g(x)的零点，即为y＝f(x)与y＝logx的交点6结合图象可知，它们共有5个交点，选B【考点】函数的周期性，分段函数，函数的零点.4.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据题中函数特征，当时，函数显然有两个零点且一正一负; 当时，求导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递增; 时函数单调递减，显然存在负零点; 当时，求导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递减; 时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，即得：，可解得：，则．【考点】1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用5.已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】．【解析】（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．（方法二）显然，∴．令，则．∵，∴．结合图象可得或．【考点】方程的根与函数的零点．6.函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．【答案】2【解析】求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2．7.已知函数f(x)＝x2－2acos kπ·ln x(k∈N*，a∈R，且a>0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若k＝2 04，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值．【答案】（1）当k是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当k是偶数时，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数．（2）【解析】解：(1)由已知得x>0且f′(x)＝2x－(－1)k·.当k是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当k是偶数时，则f′(x)＝2x－＝.所以当x∈(0，)时，f′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0.故当k是偶数时，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数．(2)若k＝2 014，则f(x)＝x2－2aln x(k∈N*)．记g(x)＝f(x)－2ax＝x2－2aln x－2ax，则g′(x)＝2x－－2a＝(x2－ax－a)．则方程f(x)＝2ax有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．令g′(x)＝0，得x2－ax－a＝0.因为a>0，x>0，所以x1＝<0(舍去)，x2＝.当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上是单调减函数；当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上是单调增函数．当x＝x2时，g′(x2)＝0，g(x)min＝g(x2)．因为g(x)＝0有唯一解，所以g(x2)＝0.则，即两式相减得2aln x2＋ax2－a＝0，因为a>0，所以2ln x2＋x2－1＝0.(*)设函数h(x)＝2lnx＋x－1.因为当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一个解．因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1.从而解得a＝.8.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x∈________，第二次应计算________．【答案】(0,0.5)f(0.25)【解析】因为f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．9.已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x)＝x.【答案】见解析【解析】证明：令g(x)＝f(x)－x. ∵g(0)＝，g＝f－＝－，∴g(0)·g<0.又函数g(x)在上连续， ∴存在x 0∈，使g(x 0)＝0，即f(x 0)＝x 0.10. [2013·湖北黄冈一模]若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，则方程f(x)＝log 3|x|的解有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．多于4个【答案】C【解析】若函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，则函数f(x)是以2为周期的周期函数，又函数是定义在R 上的偶函数，结合当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，在同一坐标系中画出函数y ＝f(x)与函数y ＝log 3|x|的图象如图所示：由图可知函数y ＝f(x)与函数y ＝log 3|x|的图象共有4个交点，即方程f(x)＝log 3|x|的解的个数是4，故选C.11. （5分）（2011•天津）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b=．设函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1），x ∈R ．若函数y=f （x ）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1]∪（2，+∞）B ．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D ．[﹣2，﹣1]【答案】B【解析】根据定义的运算法则化简函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1），的解析式，并画出f （x ）的图象，函数y=f （x ）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为y=f （x ），y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围． 解：∵，∴函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1） =，由图可知，当c ∈（﹣2，﹣1]∪（1，2] 函数f （x ） 与y=c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值范围是 （﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选B．点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．12.用min{a，b)表示a，b两数中的最小值．若函数恰有三个零点，则t的值为( )．A．-2B．2C．2或-2D．1或-l【答案】D【解析】此题可以考虑数形结合：做出的图象，当过两函数交点时，恰有三个交点，即有三个零点，时，,,得到（舍）或,或，故选D.【考点】函数的零点13.若函数f(x)=|4x-x2|-a的零点个数为4，则a的取值范围是（）A．[0,3]B．(0，4）C．[-1,2]D．(-1,4)【答案】B【解析】函数f(x)=|4x-x2|-a的零点个数为4方程|4x-x2|-a=0有4个不同的根a=|4x-x2|函数g(x)=a与函数F(x)=|4x-x2|的图象有4个不同的交点作出4x-x2的图象,可知在x=2处其有最大值4∴若直线g(x)=a与函数F(x)=|4x-x2|的图象有4个不同的交点,则a∈(0,4)14.如果函数y=2x+c的图象经过点（2，5），则c=（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【答案】A【解析】∵函数y=2x+c的图象经过点（2，5），∴5=22+c，∴c=1，故选A．15.已知函数，若关于的函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】有两个零点，等价于函数与函数的图像有两个交点，作出函数的图像如下：由图可知的取值范围：故答案：【考点】根的存在性和个数的判断；数形结合.16.函数的零点个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，即，画出的图像如下：则函数的零点为1个，故选B.【考点】1.函数零点的应用.17.已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x1，x2，x 3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x－1|－1|＝方程f(x)＝m的解就是y＝f(x)的图象与直线y＝m交点的横坐标，由图可知，x2＝－x1，x3＝2＋x1，x4＝2－x1，且－1<x1<0.设t＝x1x2x3x4＝(－2)2－4，则t＝(－2)2－4，易得－3<t<0.18.已知关于x的方程x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3＝0有唯一解，则实数a的值为________．【答案】1【解析】设f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3，由f(－x)＝f(x)，知f(x)是偶函数．若方程f(x)＝0有唯一解，则f(0)＝0，代入得a＝1或a＝－3.令t＝x2，则f(x)＝g(t)＝t＋2alog2(t＋2)＋a2－3.当a＝1时，g(t)＝t＋2log2(t＋2)－2，由于g(t)≥g(0)＝0，当且仅当x＝0时取等号，符合条件；当a＝－3时，g(t)＝t－6log2(t＋2)＋6，由g(30)＝30－6×5＋6>0，g(14)＝14－6×4＋6<0，知f(x)至少有三个根，不符合．所以，符合条件的实数a的值为1.19.函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．20.规定记号“”表示一种运算，即a b＝a2＋2ab－b2.设函数f(x)＝x2，且关于x的方程f(x)＝lg|x＋2|(x≠－2)恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值是()A．－4B．4C．8D．－8【答案】D【解析】函数f(x)＝x2＋4x－4，由于函数y＝f(x)，函数y＝lg|x＋2|的图像均关于直线x＝－2对称，故四个根的和为－8.21.函数f(x)＝1－x log2x的零点所在的区间是()A．，B．，1C．(1，2)D．(2，3)【答案】C【解析】f(1)＝1，f(2)＝－1，故函数f(x)＝1－x log2x的零点所在的区间是(1，2)．22.直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ()．A．[－1,2)B．[－1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，－1]【答案】A【解析】直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，即方程x2＋4x＋2＝x(x≤m)与x＝2(x＞m)共有三个根．∵x2＋4x＋2＝x的解为x1＝－2，x2＝－1，∴－1≤m＜2时满足条件，故选A.23.方程的解的个数为（）A．1B．3C．4D．5【答案】B【解析】本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数和的图象的交点的个数来解决，作出这两个函数的图象（如图），，，但当时，，而，故两个函数图象有三交点，即原方程有三个解．【考点】方程的解与函数图象的交点．24.已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．【答案】【解析】首先根据偶函数定义可得，其次有在轴左边，由于以及对称性，知，把代入表达式，有，即，所以，又由刚才分析有，代入可求得，而，因此有．【考点】偶函数的定义，二次方程根与系数的关系．25.若直线与曲线恰有四个公共点，则的取值集合是______.【答案】【解析】显然时，，时，；由得，则.所以时；时；时；时；由此，可作出函数的图象如下图所示：由得：，由得；由得：，由得；结合图象可知，当或时，直线与曲线恰有四个公共点.【考点】函数与方程.26.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____ ．【答案】604【解析】由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数. 在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.【考点】函数与方程、零点存在定理.27.设方程的两个根为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，，分别作出函数和函数的图像.则图像中两函数交点的横坐标即方程的两个根.由图可知，两根中一个大于1，一个大于0小于1.不妨设，则，.所以，故.【考点】函数与方程、对数函数与指数函数的图像和性质28.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为【答案】【解析】，，且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4.【考点】1.零点问题；2.二分法.29.已知函数，在上的零点个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】（数形结合）函数在上的零点个数，由函数与的图象在上的交点个数为2，故选B．【考点】函数的零点30.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图像分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0，g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b＝ ()A．14B．8C．7D．3【答案】B【解析】结合图相知，方程f(g(x))＝0，得；或；或，即b=7；方程f(g(x))＝0，而，所以x=0,即a=1，故a+b=8.选B 【考点】函数奇偶性、函数和方程的根.31.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于选项，函数的零点为，若函数零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则函数的零点在区间，由于函数单调递增，且，，故选项错误；对于选项，函数的零点为，则函数的零点在区间，，，，由零点存在定理知，函数的零点在区间在，故答案为，由同样的方法，可知选项、均不正确.【考点】函数的零点、零点存在定理32.设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，在上图象交点的个数既是h(x)零点的个数。
高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数(原卷及答案)
高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t-取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．101x << B ．2101xx e << C ．()101f x <<D ．()1ln 2,a ∈-+∞【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 的图象关于直线1x =对称 ②()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ③()f x 的极大值为0 ④()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．①④C ．②③④D ．①③④例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______.第二天学习及训练【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∈[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____． 【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数 B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+第三天学习及训练【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（ ）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]3,4D ．[)3,4例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭第四天学习及训练【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ）A ．6eB ．(2eC ．(2eD ．2e【题型】八、一元二次不等式能成立问题例31．（2023·全国·高三专题练习）已知命题:R p x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,)4-∞（ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例32．（2023·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5【答案】B【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<-，()23ln 3ln 31031f =-=->-， 所以()()230f f <，所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈ B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=， 因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<， 由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t-取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由已知条件构造函数()e ln ah a a =-，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证001e 0a a -=的根的范围即可. 【详解】令()()f s g t a ==，即e ln 0t s a ==>， ∴ln t a =，e a s =， ∴e ln (0)a s t a a -=->，令()e ln a h a a =-，则()1e ah a a'=-，令()1e am a a =-，则()21e a m a a '=+， ∴()m a 在()0,∞+上单调递增，且()1e 10m =->，1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，当00a a <<时，1e a a <， ()0h a '<，当0a a >时，1e aa>， ()0h a '>，∴()0()min h h a a =，即s t -取得最小值时，0()f s a a ==，由零点的存在定理验证01e 0aa -=的根的范围，当012a =时，001e 0a a -<，当0ln2a =时，001e 0aa ->，故01(,ln 2)2a ∈， 故选：D ．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．101x << B ．2101xx e << C ．()101f x << D ．()1ln 2,a ∈-+∞【答案】ACD 【分析】函数()()2e0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，令()0f x '=，则e2e =x a x判断函数()e x g x x =的单调性，由题知()e xg x x=与2e =a y 有两个交点，借助图像求出a 的取值范围，判断D ；再根据零点存在性定理判断A ；又根据11e 2-=x ax ，求出()1f x 的取值范围，判断C ；由()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，得2112e e x xx x =，由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而判断B.【详解】已知()2e -=-x a f x x ，则()e 2-'=-x af x x ，令()0f x '=，则e2e =x a x考虑函数()e xg x x =，则()()2e 1x x g x x -'=，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，即()g x 在(),0∞-上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增；故()g x 的图象大致如图：依题意，若()f x 有两个极值点，则2e e >a ，即1ln 2a >-，因此选项D 正确； 由图易知，101x <<，21x >，故选项A 正确； 又11e 2-=x ax ，故()()122211111e 211-=-=-=--x a f x x x x x ，因为101x <<，所以()101f x <<，故选项C 正确； 因为()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即1212e 2e 2x a x a x x --⎧=⎨=⎩，故1212e e =x x x x ，即2112e e x xx x =. 由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而21e 1>xx ，故选项B 错误.故答案为：ACD.【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 的图象关于直线1x =对称 ②()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ③()f x 的极大值为0 ④()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③④D ．①③④【答案】 D【分析】根据给定函数，计算(2)-f x 判断①；探讨()f x 在(2,)+∞上单调性判断②；探讨()f x 在(0,1)和(1,2)上单调性判断③；求出()f x 的零点判断④作答.【详解】函数()ln ||ln |2|f x x x =+-的定义域为(,0)(0,2)(2,)-∞⋃⋃+∞， 对于①，(,0)(0,2)(2,)x ∈-∞⋃⋃+∞，则2(,0)(0,2)(2,)x -∈-∞⋃⋃+∞， (2)ln |2|ln ||()f x x x f x -=-+=，()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确；对于②，当2x >时，()ln ln(2)f x x x =+-，()f x 在(2,)+∞单调递增，②不正确； 对于③，当0x <时，()ln()ln(2)f x x x =-+-，()f x 在(,0)-∞单调递减，当02x <<时，2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()f x 在(2,)+∞单调递增，因此()f x 在1x =处取极大值(1)0f =，③正确；对于④，由()0f x =得：2|2|1x x -=，即2210x x --=或2210x x -+=，解得1x =1x =，于是得()f x 有3个零点，④正确， 所以所有正确结论的编号为①③④. 故选：D【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+ C ．()e 2x y f x =- D ．()e 2x y f x =-+【答案】B【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，因为0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，代入得()002e xf x =，利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断可得答案.【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-且0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，所以()002e xf x =，把0x -分别代入下面四个选项，对于A ，()()0020e e 222-=-x x f x ，不一定为0，故A 错误；对于B ，()()0000e 2e x xf x f x ---+=-0012e e 20x x -+=-⋅⋅+=，所以0x -是函数()e 2x y f x =+的零点，故B 正确；对于C ，()000224e 2e ---=--=-x f x ，故C 不正确；对于D ，()0000e22e e +24--+==x x x f x ，故D 不正确；故选：B.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3 故选：C例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【答案】13【分析】根据函数周期性和奇偶性的性质，进行递推即可． 【详解】()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，()()3f x f x ∴+=，且()()f x f x -=-，则()00f =，则()()()()()()36600330f f f f f f ==-==-=-=，，()20f =，()()()()514050f f f f ∴=-=-=-=，，()10f =，()40f =，()20f -=，方程的解至少有0，3，6，6-，3-，2，5，5-，2-，1-，1，4，4-，共13个． 故答案为：13第二天学习及训练【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个【答案】D【分析】设()t f x =，求导分析()33f x x x =-的最值与极值，画出图形，再分析()f t c =与()t f x =的根的范围与个数即可【详解】设()t f x =，则由()()0h x f f x c =-=⎡⎤⎣⎦， 得()f f x c =⎡⎤⎣⎦，即()f t c =，()t f x = 又()()()233311f x x x x '=-=-+， 由0fx得1x <-或1x >，此时函数单调递增，由()0f x '<得11x -<<，此时函数单调递减，即函数在=1x -处取得极大值()()()311312f -=--⨯-=，函数在1x =处取得极小值()311312f =-⨯=-，又由()()()322322f -=--⨯-=-，()322322f =-⨯=可得图象：若()f t c =，()2,2c ∈-，则方程有三个解， 满足121t -<<-，211t -<<，312t <<， 则当121t -<<-时，方程()t f x =，有3个根， 当211t -<<时，方程()t f x =，有3个根， 当312t <<时，方程()t f x =，有3个根， 此时共有9个根，若()f t c =，2c =，则方程有两个解， 满足11t =-，22t =，则当11t =-时，方程()t f x =，有3个根， 当22t =，有2个根， 此时共有5个根，同理()f t c =，2c =-，也共有5个根 故选：D ．例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.【详解】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】令()t f x =，()0g x =，则()21f t t =-，分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，得到10t =，212t <<，再分别作出函数()y f x =和直线y t =的图象，得到方程()0f x =和方程()2t f x =的根的个数，进而得到函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【详解】令()t f x =，()0g x =，则()210f t t -+=，即()21f t t =-， 分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为1t ，2t ， 则10t =，212t <<，对于()t f x =，分别作出函数()y f x =和直线2y t =的图象，如图所示，由图象可得，当()10f x t ==时，即方程()0f x =有两个不相等的根， 当()2t f x =时，函数()y f x =和直线2y t =有三个交点， 即方程()2t f x =有三个不相等的根， 综上可得()0g x =的实根个数为5，即函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是5. 故选：B.例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∈[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____． 【答案】2n ﹣1##12-+n【分析】数形结合，画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，根据y ＝knx 与y ＝f （x ）的图象交点分析即可．【详解】由题意，画出y ＝f （x ）在区间[0，1]上的图象， 又对任意的[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．可理解为区间[n ﹣1，n ]的图象由区间[n ﹣2，n ﹣1]的图象向右平移一个单位所得， 即可画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，如图所示，故若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解， 则y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[n ﹣1，n ]上的图象相切，且易得y ＝f （x ）的图象在y ＝x 与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，⋯[n ﹣1，n ]上的公切线之间，故y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，⋯[n ﹣1，n ]上均有2个交点， 故关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为2（n ﹣1）+1＝2n ﹣1个．故答案为：2n ﹣1．【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【分析】求出函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈值域及单调性，由此可得出结论.【详解】当[)0,1x ∈时，()[)10,1xf x e e =-∈-，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()()[)210,22f x f x e =-∈-，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，则()()()[)21420,44f x f x f x e =-=-∈-，以此类推，当[)(),109,x n n n n N ∈+≤≤∈时，()()())20,21n nf x f x n e ⎡=-=-⎣，且函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈上为增函数，122e e π-<<-，所以，函数()g x 在区间[)(),119,n n n n N +≤≤∈上有且只有一个零点，且()()()101010200g f f ππ=-=-<，因此，()g x 在[]0,10内的零点个数为9. 故选：B.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<- 【答案】C【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可. 【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误， C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为0,，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数 B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+ 【答案】BD【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用取整函数和零点的定义判断即可，对于D ，定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，然后结合高斯函数的定义判断即可【详解】对于A ，(1.1)1f =，(1.2)1f =，(1.1)(1.2)f f =，()f x ∴在R 上不是单调增函数，所以A 错.对于B ，由()[]f x x =，可得1()x f x x -<≤，所以1()33x xg x -<≤，若函数()g x 要有零点，则1033x x -<≤，得[0,3)x ∈，因为()g x 要想为0，必须23x 也为整数，在这个范围内，只有30,2x x ==两个点，所以B 正确， 对于C ，(1.1)1f =，( 1.1)2(1.1)f f -=-≠-，()f x ∴不是奇函数，所以C 错， 对于D ，如果我们定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，同时有{}{}{}{}()([][])[[][]]f a b f a b a b a b a b +=+++=+++，当{}{}1a b +≥时，会有()[][]()()f a b a b f a f b +=+=+，当{}{}01a b <+<时，()[][]()()f a b a b f a f b +>+=+，所以D 正确，故选：BD.第三天学习及训练【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14【答案】D【分析】通过a 是否为0，然后求解函数的零点即可．【详解】解：当0a =时，函数()1f x x =--仅有一个零点，满足题意；当0a ≠时，函数2()1f x ax x =--仅有一个零点，可得140a ∆=+=，解得14a =-．故选：D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（ ）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)【答案】A【分析】解方程22()(23)()30-++=f x a f x a 得()f x a =或3()2f x =，根据a 的取值分类讨论即可.【详解】方程22()(23)()30-++=f x a f x a ，解得()f x a =或3()2f x =， 若32a =，13,132()12()1,12x x f x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩， 解得1x =或0或2，不符合题意，所以32a ≠， 由3()2f x =，可得原方程有3个不等实根1x =或0或2； 所以只要|1|1()12x a -+=有2个不等实根即可．由|1|0x ->可得|1|10()12x -<<，即有12a <<，综上可得33(1,)(,2)22a ⋃∈．故选：A ．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】画出()f x 的图像，结合函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，结合图像列不等式来求得m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为2x =-，()()24831,03f f -=-+-==-.由243=0x x ---解得=1x -或3x =-. 由此画出()f x 的图像如下图所示，依题意，函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点， 令()t f x =，则21y t mt =++，根据图像可知，函数21y t mt =++在区间[)3,1-上有两个不相等的实数根，则()222Δ403310110312m m m m ⎧=->⎪--+≥⎪⎪⎨++>⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1023m <≤，所以m 的取值范围是102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.①当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意； ②当12,0t t >时：1. 若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2. 若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<； 综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】A 根据()f x 的周期性判断区间单调性；B 利用周期性求得()() 202230f f =-=即可判断；C 转化为y b =与()y f x =的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和；D 根据函数图象求得1y kx =+与()y f x =交点个数为2或3时的临界值，即可得范围. 【详解】A ：由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数，故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同，而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[-2,0]上不单调，错误；B ：()22f -=，()() 202230f f =-=，故()()2 20222f f -+=，正确；C ：作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，i ＝1，2，3，4，5，由图象知:1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，正确；D ：若直线1y kx =+经过(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2103x k x ++=+，令Δ0=可得()2340k +-=，解得k ＝-1或k ＝-5（舍），若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k ＝1． 因为()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点， ∴113k -<<-或k ＝1，错误，故选：BC ．例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解【详解】因为()()()22e 222e 2x xf x x x a x x a '=-++-+=-++，且函数()f x 在区间(),1a a +上存在最大值， 故只需()22h x x a =-++满足()()>0+1<0h a h a ⎧⎪⎨⎪⎩，所以()22++2>0+1++2<0a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩，2a <<．故答案为：2⎫⎪⎪⎝⎭【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.5,4 B ．(]3.5,4C ．(]3,4D ．[)3,4【答案】A【分析】由已知得出函数()f x 是周期函数，周期为2，函数()F x 的零点个数转化为函数()f x 的图象与sin()y x π=的图象的交点个数，作出函数的图象（其中()f x 的图象由奇偶性与周期性结合作出），然后分析交点个数得出参数范围． 【详解】由(2)()0f x f x -+=得(2)()f x f x +=--，又()f x 是奇函数，所以(2)()()f x f x f x +=--=，即()f x 是周期函数，周期为2，sin()y x π=也是周期函数，且最小正周期是22ππ=，由奇偶性和周期性作出函数()f x 的图象，再作出sin()y x π=的图象，如图，函数()()sin()F x f x x π=-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数sin()y x π=的图象交点个数，()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，从而20()f k =，Z k ∈，易知它们在[1,1)-上有4个交点，从而在[1,3)上也有4个交点，而4x =时，点(4,0)是一个交点，所以4m <，在(0,1)上，2()log f x x =-，11()1sin 22f π==，即1(,1)2是(0,1)上交点，从而在(1,0)-上交点上交点为1(,1)2--，由周期性在(3,4)上两函数图象交点为7(,1)2-，所以72m ≥． 综上，724m ≤<．故选：A ．例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】运用代入法，结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点， 所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，即π()2cos()13f x x ω=+-，令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=，因为π()0,x ∈，所以πππ(,π)333x ωω+∈+，因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩，所以ω的最大值为2， 故选：C例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出ϕ，再由零点信息列出不等式，求解作答.【详解】依题意，()2sin()f x x ωωϕ'=-+，则(0)2sin f ωϕ'=-=，即sin ϕ=，而π02ϕ<<，解得π3ϕ=， 因此，π()2cos()13f x x ω=+-，由()0f x =得：π1cos()32x ω+=，又π()0,x ∈，有πππ(,π)333x ωω+∈+，因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，于是得5ππ7ππ333ω<+≤，解得423ω<≤， 所以ω的最大值为2. 故选：C例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出函数在[2,0]-上的解析式，将问题转化为函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，结合图形即可得出结果.【详解】由题意知，函数()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x -=+，令2x x →+，则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，所以()x f x --=，即当[2,0]x ∈-时()x f x -=， 因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点， 所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根，即函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，如图，当[0,2]x ∈时，()xf x =，()121e 2x f x '=，()102f '=，设()(1)mp x x =+，则()1(1)m p x m x -'=+，()0p m '=，当12m ≤，()()00p f '≤'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+只有一个零点，此时，若要使图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点， 则()()11010mf +≤，11log e m ≤，所以110log e m <≤； 当12m >时，()()00p f '>'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+有两个零点， 所以()()166mf +<且()()11010mf +>，即7e 11em m ⎧<⎨>⎩，解得71log e 2m <<，故m 的取值范围为(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：B.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃【答案】C【分析】根据已知条件画出函数()f x 的图象，将函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为函数()f x 与直线()1y k x =-图象恰有两个交点即可求解.【详解】由题意知，画出函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩的简图，如图所示由()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为()f x 与直线()1y k x =-有两个不同的交点， 由图知，当直线经过点()()1,0,0,1-两点的斜率为10101k --==-，则1k >. 所以实数k 的取值范围为()1,+∞. 故选：C.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据零点的定义判断A ，利用导数分析函数的单调性，作出函数()f x 的图象，根据图象判断其余选项.【详解】由()0f x =得：0x =，即0x =，故函数()f x 有唯一零点0x = 由题可知：(),0e e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩设()e e xxx g x x -==⋅，x ∈R ，则()()1x g x x e -'=-⋅，由()()1e 0x g x x -⋅'=-≥得：1x ≤；由()()1e 0xg x x -⋅'=-≤得；1x ≥；故()g x 在(],1-∞上单调递增﹐在[)1,+∞上单调递减，作出()y g x =图象，并将0x <的部分图象关于x 轴对称可得()y f x =的图象如下：观察图象可得函数()y f x =的单调递减区间为(),0∞-，()1,+∞，B 错， 函数()y f x =在1x =时有极大值1e，C 对，方程()f x a =有三个不同的根，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，D 对，故选：ACD.第四天学习及训练【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案. 【详解】22()4f x x x m '=-+，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤- 又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -== 故选：C ．例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参变量得211a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，只用2min 11a x x ⎡⎤⎛⎫<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】当13x ≤≤时，由210ax x -<+恒成立可得，。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x]等于________．【答案】2【解析】∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝＋>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x]＝2.2.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法3.下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）.图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是（）；是偶函数；在其定义域上是增函数；的图像关于点对称.A．（1）（3）（4）.B．（1）（2）（3）.C．（1）（2）（4）.D．（1）（2）（3）（4）.【答案】A【解析】由题意得：对应点为，此时直线与轴交于坐标原点，所以成立，由于函数定义区间为，所以是偶函数不成立，由题意得：直线与轴的交点从左到右，因此在其定义域上是增函数成立，根据直线与轴的交点关于原点对称，而由知的图像关于点对称成立.【考点】函数对应关系4.已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意方程有解，即有解，的取值范围就是函数的值域，当时，，当时，是增函数，取值范围是，即函数的值域是，这就是的取值范围．【考点】方程有解与函数的值域．5.设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）【答案】（1）;（2）;（3）见解析.【解析】（1）在切点处的的函数值，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；二是令，利用导数确定，转化得到．令，证明．（1）因为， 1分所以，又因为切线的斜率为，所以 2分，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分4分（2）由（1）知，，所以令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分当>时，，故在（，+上单调递减； 7分在（0，+上的最大值=== 8分（3）证法1：要证对任意的都有只需证由（2）知在上有最大值，=，故只需证 9分，即① 11分令，则，①即② 13分令，则显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，所以，即对任意的②恒成立，所以对任意的都有 14分证法2：令，则． 10分当时，，故在上单调递减；而当时，，故在上单调递增．在上有最小值，．，即. 12分令，得，即，所以，即.由（2）知，，故所证不等式成立． 14分【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.6.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的n N*,定义x,则当x时，函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，故；当时，，故，因为，故，综上函数的值域是．【考点】函数的值域．7.若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图象上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”(点对与可看作一个“兄弟点对”).已知函数, 则的“兄弟点对”的个数为( )A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】设，则点关于原点的对称点为，于是，，只需判断方程根的个数，即与图像的交点个数，函数图像如下：所以的“兄弟点对”的个数为5个.【考点】1.函数的值；2.新定义题；3.函数的零点.8.已知函数满足，当，，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，则，于是，故，如图所示，作出函数的图像，观察图像可知：要使函数有三个不同零点，则直线应在图中的两条虚线之间，于是.【考点】1.导数求切线斜率；2.函数的图像9.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，所以函数在上是增函数，由得，解得或，所以选C.【考点】函数的单调性.10.已知函数，给出下列命题：（1）必是偶函数；（2）当时，的图象关于直线对称；（3）若，则在区间上是增函数；（4）有最大值.其中正确的命题序号是（）A．（3）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（2）（3）【答案】A【解析】当时，不是偶函数，（1）错；取可得，但图象不关于直线对称，（2）错;当时，，其对称轴为，开口向上在区间上是增函数，（3）正确；因为开口向上无最大值，所以也无最大值，（4）错,所以正确的是（3），选A.【考点】函数奇偶性、二次函数图象.11.若直角坐标平面内不同的两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（）对．A．B．C．D．【答案】C【解析】函数关于坐标原点对称的函数为与函数的交点个数（如下图）即为“友好点对”的个数，从图象上可知有两个交点.【考点】求函数解析式,函数的奇偶性,二次函数,对数函数的图象.12.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最大值为,则 ( )A．B．C．D．【答案】C.【解析】即，当时，取最小值；当时，取最大值,所以，选C.【考点】分段函数求最值.13.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）判断方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布. 试题解析：为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．（Ⅰ）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”． 3分（Ⅱ）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解． 5分令，则．设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，． 7分所以时，．所以，即． 9分（Ⅲ）当时，可化为．设，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”． 11分令，1°当，在有解，由，即，解得； 13分2°当时，在有解等价于解得． 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为． 16分【考点】函数的值域、方程解的存在性的判定.14.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数①，②，③，④，其中在区间上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】对于①，不符合；对于②，，不符合；对于③，=，，函数在（0，+∞）上是单调减函数，当时，，所以，存在，使成立；对于④令得令，得所以，时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为，所以，存在，使成立；故选C.【考点】新定义问题，配方法、导数法求函数的值域.15.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示，作出函数的图象如下图所示，当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.【考点】分段函数的图象、函数的零点16.已知函数，（，.若,且函数的图像关于点对称，并在处取得最小值，则正实数的值构成的集合是 .【答案】【解析】由于函数的最小正周期为，由于函数的图象关于点对称，并在处取得最小值，即直线是函数的一条对称轴，故是的奇数倍，即，其中，解得，故正实数的取值集合为.【考点】三角函数的对称性、周期性17.设，定义，则+2等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设终边过点的角（不妨设）则，其中是终边过的角（不妨设）．当时，有+2．故选A．【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的求解，属于基础题。
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高三数学函数与方程试题1.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【考点】函数的最值.2.若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,2)【解析】由f(x)＝x3－3x＋a，得f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，由图象可知f(x)的极大值为f(－1)＝2＋a，f(x)的极小值为f(1)＝a－2，要使函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则有f(－1)＝2＋a>0，f(1)＝a－2<0，即－2<a<2，所以实数a的取值范围是(－2,2)．3.已知函数，，的零点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，分别得，，，则分别为函数的图象与函数，，的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得，，，故选．【考点】函数图象、零点的概念.4.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为关于的方程有两个不同的实根，即有两个不同的实根．等价于函数与函数有两个交点．如图可得．【考点】1．含绝对值的函数的图象．2．函数与方程问题．3．数形结合的数学思想．5.是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令,则下列关于函数的叙述正确的是()A．若,则函数的图象关于原点对称B．若,则方程有大于2的实根C．若,则方程有两个实根D．若,则方程有两个实根【答案】B【解析】还是奇函数，当时，不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，A错；如，则函数的极小值小于，时，把图象向上平移2个单位，的极小值小于0，方程仍然有三个根，C错，极大值为，当时，的极大值小于0，方程只有一个根，D错，故选B．【考点】函数图象变换，函数的零点．6.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】如图，直线y=x-a与函数的图象在处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时；直线与函数的图象有一个切点，切点坐标是，此时相应，观察图象可知，方程有三个不同的实根时，实数的取值范围是.【考点】1函数图像；2数形结合及转化思想。
7.已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x1，x2，x 3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x－1|－1|＝方程f(x)＝m的解就是y＝f(x)的图象与直线y＝m交点的横坐标，由图可知，x2＝－x1，x3＝2＋x1，x4＝2－x1，且－1<x1<0.设t＝x1x2x3x4＝(－2)2－4，则t＝(－2)2－4，易得－3<t<0.8.已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数________．【答案】2【解析】(解法1)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.(解法2)由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内9.已知函数f(x)＝ (k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是()A．k≤2B．－1<k<0C．－2≤k<－1D．k≤－2【答案】D【解析】由y＝|f(x)|＋k＝0得|f(x)|＝－k≥0，所以k≤0，作出函数y＝|f(x)|的图像，要使函数y＝－k与y＝|f(x)|的图像有三个交点，则有－k≥2，即k≤－2.10.函数f(x)＝x－sin x在区间[0,2π]上的零点个数为()．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】在同一坐标系内作出函数y＝x及y＝sin x在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零点．11.我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入（单位千元，1≤x≤30，）的函数关系；（2）若以最低日收入的20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？【答案】（1）；（2）能收回投资．【解析】（1）函数应用题关键是找到等量关系，函数关系，不等关系，列出相应的式子就可解题，一般情况下，这些关系式在题中都有提示，但有时我们也要注意生活中的常识，如本题中某天的旅游收入应该等于这天的人均消费乘以这天的旅游人数，即，此题中含绝对值符号，我们在求时，可分类讨论，用分段函数形式表示；（2）关键是求的最小值，如最小值为，我们只要再计算，如果这个值不小于800万元，就能收回全部投资成本，否则就不能，而的最小值要分段求，一个用基本不等式，一个用函数的单调性，分别救出后比较，取较小的一个即可.试题解析：(1)依据题意，有=(2) 当，时，(当且仅当时，等号成立) .因此，(千元) .当，时， .考察函数的图像，可知在上单调递减，于是，(千元) .又，所以，日最低收入为1116千元.该村两年可收回的投资资金为=8035.2(千元)=803.52(万元) .因803.52万元800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金.【考点】（1）分段函数解析式；（2）分段函数的最值问题．12.的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】∵，∴，图像如图所示，由图像看出与有5个交点，∴的零点个数为5个.【考点】1.函数零点问题；2.函数图像.13.定义在上的函数，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是( ).A．有两个B．有一个C．没有D．上述情况都有可能【答案】A【解析】显然是偶函数，且在递增.在上恒成立，所以的图象至少向左平移2个单位，即，所以，方程的根有2个.【考点】函数与方程.14.方程的实数解的个数为___________．【答案】【解析】由题意可令函数和，分别作图如下，不难发现它们有三个交点，则方程有三个实数解．【考点】1.函数的图象;2.函数与方程的关系15.存在实数x，使，则a的取值范围是_________【答案】【解析】存在实数x，使，即方程有解，，解得或．【考点】逻辑用语，一元二次方程的解．16.函数在区间上有两个零点，则的取值范围是.【答案】【解析】令，要使函数在区间上有两个零点需满足，即，所以的取值范围是.【考点】函数零点存在定理、导数在判断函数单调性中的应用.17.已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是【答案】【解析】函数在点处的切线的方程为，因此原条件转化为直线与曲线有两个公共点，即方程有两个小于1的根，设，则有，解得实数的取值范围是实数的取值范围是【考点】导数的几何意义、函数与方程、一元二次方程根的分布.18.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】令设，令，，发现函数在上都单调递增，在上都单调递减，于是函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，所以函数有零点需满足，即.【考点】导数、函数的零点、函数的单调性19.设函数，则其零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C【解析】因为，，，，，且，所以，函数的零点在区间（1，2）内.【考点】函数零点的判定20.已知函数则函数的零点个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；或，所以函数的零点个数为3个.【考点】零点的求法.21.已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，则,∴定义在实数集上的偶函数在上是减函数.∵, ∴, 即.∴或解得或.∴.故选B．.【考点】函数的奇偶性、单调性.22.定义在上的偶函数，且对任意实数都有，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】根据题意，由于定义在上的偶函数，且对任意实数都有，函数周期为2，且根据f(-x)=f(x)=f(2+x),可知周期为4，那么根据题意，当时，，作图可知，使得在区间内，函数有4个零点，等价于y=f(x),y=k(x-1)，则可知满足题意的参数k的范围是，故答案为。
【考点】函数的性质，函数零点点评：主要是考查了函数的周期性以及函数零点的运用，属中档题。
x+x－4的零点为n，则23.若a>l，设函数f（x）=a x+x －4的零点为m，函数g（x）= loga的最小值为A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】作三个函数的图像如下，由于函数f（x）=a x+x －4的零点为m，则，化为，所以函数f（x）的零点m就是函数交点的横坐标。
同理：函数g（x）的零点n就是交点的横坐标。
求得直线的交点为，由于函数的图像关于对称，则，即，所以，，。
故选A。
【考点】函数的零点点评：当函数的零点无法直接求出时，需通过画出函数的图像来求解。
24.函数f(x)=的零点所在的一个区间是A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=2x+3x是R上的连续函数，且单调递增，f（-1）=2-1+3×（-1）=-＜0，f（0）=20+0=1＞0，∴f（-1）f（0）＜0．∴f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间为（-1，0），故答案为（-1，0）．选B.【考点】函数零点点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
25.已知函数则下列关于函数的零点个数的判断正确的是A．当时，有3个零点；当时，有2个零点B．当时，有4个零点；当时，有1个零点C．无论为何值，均有2个零点D．无论为何值，均有4个零点【答案】B【解析】分四种情况讨论．（1）时，，∴，此时的零点为；（2）时，，∴，则时，有一个零点，，没有零点，（3）时，，则时，有一个零点，时，没有零点，（4）若时，，则时，有一个零点，时，没有零点，综上可知，当时，有个零点；当0时，有个零点。
【考点】本小题主要考查函数的零点个数的判断.点评：本小题考查函数的零点的个数，考查学生分类讨论思想和数形结合思想的应用.26.若关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则需要有两个不等正根，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，由图像知：当直线介于图中两条直线之间时(一条过原点，一条相切)满足题意，把原点代入得k=0；令，则，所以实数的取值范围是。