高三数学函数与方程试题

高三数学函数与方程试题

1.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）

【答案】88

【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且

仅当的时区到最小值.

【考点】函数的最值.

2.若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

【答案】(－2,2)

【解析】由f(x)＝x3－3x＋a，得f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，由图象可知f(x)

的极大值为f(－1)＝2＋a，f(x)的极小值为f(1)＝a－2，要使函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则有f(－1)＝2＋a>0，f(1)＝a－2<0，即－2

3.已知函数，，的零点分别为，则（）A．B．C．D．

【答案】D

【解析】令，，分别得，，，则分别为函

数的图象与函数，，的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系

下作出它们的图象，易得，，，故选．

【考点】函数图象、零点的概念.

4.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为关于的方程有两个不同的实根，即有两个不同的实根．等价于函

数与函数有两个交点．如图可得．

【考点】1．含绝对值的函数的图象．2．函数与方程问题．3．数形结合的数学思想．

5.是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令,则下列关于函数的叙

述正确的是()

A．若,则函数的图象关于原点对称

B．若,则方程有大于2的实根

C．若,则方程有两个实根

D．若,则方程有两个实根

【答案】B

【解析】还是奇函数，当时，不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，A错；如，则函数的极小值小于，时，把图象向上平移2个单位，

的极小值小于0，方程仍然有三个根，C错，极大值为，当时，的极大值小于0，方程只有一个根，D错，故选B．

【考点】函数图象变换，函数的零点．

6.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值

范围是.

【答案】

【解析】

如图，直线y=x-a与函数的图象在处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时；直线与函数的图象有一个切点，切点坐标是，此时相应

，观察图象可知，方程有三个不同的实根时，实数的取值范围是.

【考点】1函数图像；2数形结合及转化思想。

7.已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x

1，x

2

，

x 3，x

4

，则x

1

x

2

x

3

x

4

的取值范围是________．

【答案】(－3，0)

【解析】f(x)＝||x－1|－1|＝方程f(x)＝m的解就是y＝f(x)的图象与直线y＝

m交点的横坐标，由图可知，x

2＝－x

1

，x

3

＝2＋x

1

，x

4

＝2－x

1

，且－1

1

<0.设t＝x

1

x

2

x

3

x

4

＝(

－2)2－4，则t＝(－2)2－4，易得－3

8.已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数________．

【答案】2

【解析】(解法1)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.

(解法2)由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内

9.已知函数f(x)＝ (k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是()

A．k≤2B．－1

【答案】D

【解析】由y＝|f(x)|＋k＝0得|f(x)|＝－k≥0，所以k≤0，作出函数y＝|f(x)|的图像，

要使函数y＝－k与y＝|f(x)|的图像有三个交点，则有－k≥2，即k≤－2.

10.函数f(x)＝x－sin x在区间[0,2π]上的零点个数为()．

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】在同一坐标系内作出函数y＝x及y＝sin x在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零点．

11.我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的

旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似

地满足（元）．

（1）求该村的第x天的旅游收入（单位千元，1≤x≤30，）的函数关系；

（2）若以最低日收入的20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，

试问该村在两年内能否收回全部投资成本？

【答案】（1）；（2）能收回投资．

【解析】（1）函数应用题关键是找到等量关系，函数关系，不等关系，列出相应的式子就可解题，一般情况下，这些关系式在题中都有提示，但有时我们也要注意生活中的常识，如本题中某

天的旅游收入应该等于这天的人均消费乘以这天的旅游人数，即，此题中含

绝对值符号，我们在求时，可分类讨论，用分段函数形式表示；（2）关键是求的最小值，如最小值为，我们只要再计算，如果这个值不小于800万元，就能

收回全部投资成本，否则就不能，而的最小值要分段求，一个用基本不等式，一个用函数的

单调性，分别救出后比较，取较小的一个即可.

试题解析：(1)依据题意，有

=

(2) 当，时，

(当且仅当时，等号成立) .

因此，(千元) .

当，时， .

考察函数的图像，可知在上单调递减，

于是，(千元) .

又，

所以，日最低收入为1116千元.