初中数学人教版八年级上册：第14章《整式的乘除与因式分解》全章教案(22页)

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八年级数学上册《第十四章整式的乘法与因式分解》教案(新版)新人教版

《第十四章整式的乘法与因式分解》一．教学目标1.理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律二．教学重点，难点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围三．教学过程：（一）板书标题，呈现教学目标：1.理解同底数幂的乘法法则,2.运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.（二）引导学生自学：1.an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么?2.同底数幂的乘法法则是什么？如何用式子表示？对于三个以上的同底数幂相乘，这个法则仍适用吗？3.完成P142练习6分钟后，检查自学效果（三）学生自学，教师巡视：学生认真自学，并完成P142练习（四）检查自学效果：1．学生回答老师所提出的问题2．学生回答P142练习（五）引导学生更正，归纳：1．更正学生错误；2. 同底数幂的乘法: a m·a n=a m+n（m、n都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加注意：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加三是对于三个以上的同底数幂相乘，这个法则仍适用3.底数不变，指数要降一级运算，变为相加．底数不相同时，不能用此法则.4.底数互为相反数时,要先化为底数相同再计算。

当底数为一个多项式的时候，我们可以把这个多项式看成一个整体（六）课堂练习1.课本P142练习2.计算：1)（-a ）2×a4 2）（-21）3×21 6 3）（a+b ）2×(a+b)4×[-(a+b)]74）（m-n ）3×(m-n)4×(n-m)75）a 2×a ×a 5+a 3×a 2×a2 作业：.<感悟>P103教学反思：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

第14章整式的乘除和因式分解-(教案)

五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于整式的乘除和因式分解这一章节的内容普遍感到有些吃力。在讲解整式的乘法法则时，我注意到有的学生在进行多项式乘多项式的运算时，容易混淆同类项和如何正确合并它们。这让我意识到，需要通过更多的例题和练习来加强他们的这部分能力。
在因式分解的教学中，我发现十字相乘法对学生来说是一个难点。他们往往在寻找能够相乘得到多项式系数的两个数时遇到困难。我尝试通过一些具体的例题和分解步骤来引导学生，但感觉效果并不如预期。这可能是因为我需要在课堂上提供更多的时间和机会，让学生自己尝试和探索，而不仅仅是观看我的演示。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘除和因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际代数问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用整式的乘除法则，以及因式分解的各种方法；
2.提升学生的数学运算能力，熟练掌握整式乘除和因式分解的运算技巧；
3.增强学生的数学抽象思维，通过解决实际问题，体会数学在现实生活中的应用；
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作，共同解决复杂的整式乘除和因式分解问题；
第14章整式的乘除和因式分解-（教案）
一、教学内容
第14章整式的乘除和因式分解：
1.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式；
2.乘法公式：平方差公式、完全平方公式；
3.整式的除法：整式除以单项式、整式除以多项式；

部编版人教数学八年级上册《第十四章(整式的乘法与因式分解)全章每课备课资料教案》精品

最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解优秀备课资料教案（全章完整版）前言：该备课资料教案由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。

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（最新精品备课资料教案）第十四章 14.1.1同底数幂的乘法知识点：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).关键提醒:(1)同底数幂是指相同的底数,如23与24,(ab)2与(ab)5,(x-y)5,(x-y)3与(x-y)2.底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多项式.(2)运用同底数幂的乘法法则计算的关键是:①底数相同,可直接运用公式计算;②若底数不同又可化为相同的底数,必须先变异底为同底,再用此法则运算;③三个或三个以上同底数幂相乘时,也是有同一性质,如a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p都是正整数);④逆用这个性质,可以把一个幂分解成两个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同.它们的指数之和等于原来的幂的指数,如35=32·33,a3=a·a2.考点1：逆用同底数幂的乘法法则解决问题【例1】已知x a=5,x b=7,求x a+b的值.解:x a+b=x a·x b=5×7=35.点拨：因为a m·a n=a m+n,所以a m+n=a m·a n,本题逆用同底数幂的乘法法则求解.考点2：底数为多项式的同底数幂相乘【例2】计算:(1)(a+b)3(a+b)4;(2)(m-n)2(n-m)3.解:(1)(a+b)3(a+b)4=(a+b)7.(2)(m-n)2(n-m)3=(n-m)2(n-m)3=(n-m)5.点拨：当底数为多项式时,我们可将其看作一个整体,利用同底数幂的乘法法则求解.第十四章 14.1.2幂的乘方知识点：幂的乘方幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(a m)n=a mn(m,n为正整数).关键提醒:(1)幂的乘方法则是根据乘方的定义及同底数幂的乘法法则得到的结论:(a m)n= ==a mn.(2)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算,转化为指数乘方运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化成指数的加法运算(底数不变).(3)公式的逆运用:a mn=(a m)n=(a n)m.考点1：逆用幂的乘方法则解决问题【例1】(1)若=a9,求n;(2)已知5m=8,求25m.解:(1)因为(a n)3=a3n,所以由3n=9得n=3;(2)25m=(52)m=(5m)2=82=64.点拨：对于“5的几次方等于8”的问题,我们将在高中阶段学习,本题利用数学中的整体思想,将5m看作整体进行代换.考点2：幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算【例2】计算:(1)y··;(2)2m3·m5-(m2)4.解:(1)y··=y·y6·y6=y13;(2)2m3·m5-=2m8-m8=m8.点拨：本题运算顺序是先乘方,再乘法,最后加减.第十四章 14.1.3积的乘方知识点：积的乘方积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=a n b n(n为正整数).关键提醒:(1)积的乘方法则是用乘方的意义推理得到的.如:(ab)n= =·=a n b n.(2)此性质可以逆运用a n b n=(ab)n.(3)三个或三个以上因式的积的乘方,也有这一性质,如(abc)n=a n b n c n.考点1：逆用积的乘方巧解题【例1】计算:(1) 0.125299×(-8)299;(2)×.。

人教版初二八年级数学上册第一学期(教学设计教案)第十四章整式的乘法与因式分解(全章分课时含反思)

第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解并掌握同底数幂的乘法法则．(重点)2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点)一、情境导入问题：2014年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s.问：这颗行星距离地球多远？(1年＝3.1536×107s)3×105×3.1536×107×100＝3×3.1536×107×105×102＝9.4608×105×107×102.问题：“107×105×102”等于多少呢？二、合作探究探究点一：同底数幂的乘法的计算【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法计算：(1)2×2×2；(2)－a3·(－a)2·(－a)3；(3)m n＋1·m n·m2·m.解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；(3)原式＝m n＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法计算：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；(2)(x －y )2·(y －x )5.解析：将底数看成一个整体进行计算．解：(1)原式＝(2a ＋b )(2n ＋1)＋3＋(n －4)＝(2a ＋b )3n；(2)原式＝－(x －y )2·(x －y )5＝－(x －y )7.方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a －b )n＝⎩⎪⎨⎪⎧（b －a ）n（n 为偶数），－（b －a ）n （n 为奇数）.探究点二：同底数幂的乘法法则的运用【类型一】运用同底数幂的乘法，求代数式的值若82a ＋·8＝8，求2a ＋b 的值．解析：根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得a 、b 的关系，根据a 、b 的关系求解．解：∵82a ＋3·8b －2＝82a ＋3＋b －2＝810，∴2a ＋3＋b －2＝10，解得2a ＋b ＝9. 方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．【类型二】同底数幂的乘法的实际应用经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015年前5个月，某市共销售商品房8.31×104平方米．据监测，商品房平均售价为每平方米4.7×103元，2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元？解析：先根据题意列出算式计算即可．解：8.31×104×4.7×103＝(8.31×4.7)×(104×103)＝3.9057×108(元)．答：2015年前5个月该市的商品房销售总额是3.9057×108(元)．方法总结：本题考查了同底数幂的乘法的应用，关键是根据题意得出算式，注意结果要用科学记数法表示．【类型三】利用同底数幂的乘法探究指数的关系已知2＝3，2＝6，2＝18，试问a 、b 、c 之间有怎样的关系？请说明理由．解析：观察题目的已知可以发现3×6＝18，利用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答．解：∵3×6＝18，∴2a ·2b ＝2a ＋b ＝2c，∴a ＋b ＝c . 方法总结：解答此类问题就是利用同底数幂的乘法，将等式两边转化为底数相同的形式，然后让指数相等解答．探究点三：同底数幂的乘法法则的逆用已知a m ＝3，a n ＝21，求a m ＋n的值．解析：把a m ＋n 变成a m ×a n，代入求值即可．解：∵a m ＝3，a n ＝21，∴a m ＋n ＝a m ×a n＝3×21＝63.方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把a m ＋n 变成a m ×a n.三、板书设计同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m、n都是正整数)．条件：(1)同底数幂；(2)乘法．结果：(1)底数不变；(2)指数相加．在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力．教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质．对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”．14．1.2幂的乘方1．理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．(重点)2．掌握幂的乘方法则的推导过程并灵活应用．(难点)一、情境导入1．填空：(1)同底数幂相乘________不变，指数________；(2)a2×a3＝________；10m×10n＝________；(3)(－3)7×(－3)6＝________；(4)a·a2·a3＝________；(5)(23)2＝2( )；(x4)5＝x( )；(2100)3＝2( )．2．计算(22)3；(24)3；(102)3.问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？(2)观察计算结果，你能发现什么规律？(3)你能推导一下(a m)n的结果吗？请试一试．二、合作探究探究点一：幂的乘方【类型一】直接应用幂的乘方法则进行计算计算： (1)(a 3)4; (2)(x m －1)2；(3)[(24)3]3; (4)[(m －n )3]4.解析：直接运用(a m )n ＝a mn计算即可．解：(1)(a 3)4＝a 3×4＝a 12；(2)(x m －1)2＝x 2(m －1)＝x 2m －2；(3)[(24)3]3＝24×3×3＝236；(4)[(m －n )3]4＝(m －n )12. 方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．【类型二】含幂的乘方的混合运算计算：a (－a )(－a )＋a .解析：根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则运算求解．解：a 2(－a )2(－a 2)3＋a 10＝－a 2·a 2·a 6＋a 10＝－a 10＋a 10＝0.方法总结：先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．探究点二：幂的乘方法则的逆运算【类型一】运用幂的乘方法则比较数的大小请看下面的解题过程：“比较2100与375的大小，解：∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375”．请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法．解析：首先理解题意，然后可得3100＝(35)20，560＝(53)20，再比较35与53的大小，即可求得答案．解：∵3100＝(35)20，560＝(53)20，又∵35＝243，53＝125，243＞125，即35＞53，∴3100＞560.方法总结：此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3100＝(35)20，560＝(53)20是解此题的关键．【类型二】方程与幂的乘方的应用已知2x ＋5y －3＝0，求4·32的值．解析：由2x ＋5y －3＝0得2x ＋5y ＝3，再把4x ·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．解：∵2x ＋5y －3＝0，∴2x ＋5y ＝3，∴4x ·32y ＝22x ·25y ＝22x ＋5y ＝23＝8.方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．【类型三】根据幂的乘方的关系，求代数式的值已知2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则代数式13x ＋12y 的值为________．解析：由2x ＝8y ＋1，9y＝3x －9得2x＝23(y ＋1)，32y ＝3x －9，则x ＝3(y ＋1)，2y ＝x －9，解得x＝21，y ＝6，故代数式13x ＋12y ＝7＋3＝10.方法总结：根据幂的乘方与积的乘方公式转化得到x 和y 的方程组，求出x 、y ，再计算代数式．三、板书设计幂的乘方幂的乘方的运算公式：(a m )n ＝a mn(m ，n 为正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．幂的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得幂的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则．14．1.3 积的乘方1．掌握积的乘方的运算法则．(重点)2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)一、情境导入1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．二、合作探究探究点一：积的乘方【类型一】直接利用积的乘方法则进行计算计算：(1)(－5ab )；(2)－(3x y )； (3)(－43ab 2c 3)3；(4)(－x m y 3m )2.解析：直接应用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5ab )3＝(－5)3a 3b 3＝－125a 3b 3；(2)－(3x 2y )2＝－32x 4y 2＝－9x 4y 2； (3)(－43ab 2c 3)3＝(－43)3a 3b 6c 9＝－6427a 3b 6c 9；(4)(－x m y 3m )2＝(－1)2x 2m y 6m＝x 2m y 6m.方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．【类型二】积的乘方在实际中的应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3)解析：将R ＝6×105千米代入V ＝43πR 3，即可求得答案．解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3＝43×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．【类型三】含积的乘方的混合运算计算：(1)－4xy 2·(12xy 2)2·(－2x 2)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝4xy 2·14x 2y 4·8x 6＝8x 9y 6；(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．探究点二：积的乘方的逆运算【类型一】利用积的乘方的逆运算进行简便运算计算：(23)2015×(32)2016.解析：将(32)2016转化为(32)2015×32，再逆用积的乘方公式进行计算．解：原式＝(23)2015×(32)2015×32＝(23×32)2015×32＝32.方法总结：对公式a n·b n＝(ab )n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．运用此公式可进行简便运算．【类型二】利用积的乘方比较数的大小试比较大小：2×3与2×3.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．三、板书设计积的乘方积的乘方公式：(ab)n＝a n b n(n为正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：a n·b n＝(ab)n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)n＝－a n(n为正整数)；当n 为偶数时，(－a)n＝a n(n为正整数)．第2课时多项式与多项式相乘1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．(重点)2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)一、情境导入某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．由此可得：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．二、合作探究探究点一：多项式乘以多项式【类型一】直接利用多项式乘多项式进行计算计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解析：利用多项式乘多项式法则计算，即可得到结果．解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【类型二】混合运算计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23. 方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．探究点二：多项式乘多项式的化简求值及应用【类型一】化简求值先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．【类型二】多项式乘以多项式与方程的综合解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项合并同类项，将x系数化为1，即可求出解．解：去括号后得：x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项合并同类项得：－15x＝7，解得x＝－715.方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．【类型三】多项式乘以多项式的实际应用千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a ＋b )米，宽为(2a ＋b )米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a ＝3，b ＝2时的绿化面积．解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案．解：由题意，得(3a ＋b )(2a ＋b )－(a ＋b )2＝6a 2＋5ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab ，当a ＝3，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×32＋3×3×2＝63，故绿化的面积是63m 2.方法总结：用代数式表示图形的长和宽，再利用面积(或体积)公式求面积(或体积)是解决问题的关键．【类型四】多项式乘以单项式后，不含某一项，求字母系数的值已知ax ＋bx ＋1(a ≠0)与3x －2的积不含x 项，也不含x 项，求系数a 、b 的值．解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)，再根据积不含x 2的项，也不含x 的项，可得含x 2的项和含x 的项的系数等于零，即可求出a 与b 的值．解：(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)＝3ax 3－2ax 2＋3bx 2－2bx ＋3x －2，∵积不含x 2的项，也不含x 的项，∴－2a ＋3b ＝0，－2b ＋3＝0，解得b ＝32，a ＝94.∴系数a 、b 的值分别是94，32.方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．三、板书设计多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础．第3课时整式的除法1．掌握同底数幂的除法法则与运用．(重点)2．掌握单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则．(重点) 3．熟练地进行整式除法的计算．(难点)一、情境导入1．教师提问：同底数幂的乘法法则是什么？ 2．多媒体展示问题：一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？学生认真分析后完成计算：需要滴数：1012÷109.3．教师讲解：以前我们只学过同底数幂的乘法的计算方法，那么像这种同底数幂的除法该怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同底数幂的除法【类型一】直接用同底数幂的除法进行运算计算：(1)(－xy )13÷(－xy )8；(2)(x －2y )3÷(2y －x )2；(3)(a 2＋1)6÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2.解析：利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1)应把(－xy )看作一个整体；(2)把(x －2y )看作一个整体，2y －x ＝－(x －2y )；(3)注意(a 2＋1)0＝1.解：(1)(－xy )13÷(－xy )8＝(－xy )13－8＝(－xy )5＝－x 5y 5；(2)(x －2y )3÷(2y －x )2＝(x －2y )3÷(x －2y )2＝x －2y ；(3)(a 2＋1)6÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2＝(a 2＋1)6－4－2＝(a 2＋1)0＝1.方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．【类型二】逆用同底数幂的除法进行计算已知a m＝4，a n＝2，a＝3，求a m－n－1的值．解析：先逆用同底数幂的除法，对a m－n－1进行变形，再代入数值进行计算．解：∵a m＝4，a n＝2，a＝3，∴a m－n－1＝a m÷a n÷a＝4÷2÷3＝23.方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a m－n－1＝a m÷a n÷a.【类型三】已知整式除法的恒等式，求字母的值若a(x y)÷(3x y)＝4x y，求a、m、n的值．解析：利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可．解：∵a(x m y4)3÷(3x2y n)2＝4x2y2，∴ax3m y12÷9x4y2n＝4x2y2，∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，解得a＝36，m＝2，n＝5.方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键．【类型四】整式除法的实际应用一颗人造地球卫星的速度为 2.88×107m/h，一架喷气式飞机的速度为1.8×106m/h，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？解析：求人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍，用人造地球卫星的速度除以喷气式飞机的速度，列出式子：(2.88×107)÷(1.8×106)，再利用同底数幂的除法计算．解：(2.88×107)÷(1.8×106)＝(2.88÷1.8)×(107÷106)＝1.6×10＝16.则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍．方法总结：用科学记数法表示的数的运算可以利用单项式的相关运算法则计算．探究点二：零指数幂若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )A．x≥6 B．x≤6C．x≠6 D．x＝6解析：∵(x－6)0＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.故选C.方法总结：本题考查的是0指数幂，非0数的0次幂等于1，注意0指数幂的底数不能为0.探究点三：单项式除以单项式计算．(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(12x2y6z)．解析：先算乘方，再根据单项式除单项式的法则进行计算即可．解：(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(12x2y6z)＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷12x2y6z＝18x4y2z.方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除．探究点四：多项式除以单项式【类型一】直接利用多项式除以单项式进行计算计算：(72x y－36x y＋9xy)÷(－9xy)．解析：根据多项式除单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．解：原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.方法总结：多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．【类型二】被除式、商式和除式的关系已知一个多项式除以2x，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．解析：根据被除式、除式、商式、余式之间的关系解答．解：根据题意得：2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.方法总结：“被除式＝商×除式＋余式”是解题的关键．【类型三】化简求值先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.解析：利用去括号法则先去括号，再合并同类项，然后根据除法法则进行化简，最后把x与y的值代入计算，即可求出答案．解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y＝x－y，把x＝2015，y＝2014代入上式得：原式＝x－y＝2015－2014＝1.方法总结：熟练掌握去括号，合并同类项，整式的除法的法则．三、板书设计同底数幂的除法1．同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m－n(m，n为正整数，m>n，a≠0)．2．同底数幂的除法法则逆用：a m－n＝a m÷a n(m，n为正整数，m>n，a≠0)．从计算具体的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．讲课时要多举几个具体的例子，让学生计算出结果．最后，让学生自己归纳出同底数幂的除法法则．性质归纳出后，应注意：(1)要强调底数a不等于零，若a为零，则除数为零，除法就没有意义了；(2)本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数m、n都是正整数，并且，要让学生运用时予以注意．14．1.4 整式的乘法第1课时单项式与单项式、多项式相乘1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．(重点)2．熟练应用运算法则进行计算．(难点)一、情境导入1．教师引导学生回忆幂的运算公式．学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：a m ·a n ＝a m ＋n(m ，n 为正整数)．幂的乘方公式：(a m )n ＝a mn(m ，n 为正整数)．积的乘方公式：(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)．2．教师肯定学生的回答，并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘．二、合作探究探究点一：单项式乘以单项式【类型一】直接利用单项式乘以单项式法则进行计算计算： (1)(－23a 2b )·(56ac 2)；(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2；(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2.解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．解：(1)(－23a 2b )·(56ac 2)＝－23×56a 3bc 2＝－59a 3bc 2；(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3×3xy 2×4x 2y 4＝－32x 9y 9；(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5.方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．【类型二】单项式乘以单项式与同类项的综合已知－2x y 与7x y 的积与x y 是同类项，求m 2＋n 的值．解析：根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项可得出关于m ，n 的方程组，进而求出m ，n 的值，即可得出答案．解：∵－2x3m ＋1y 2n与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，∴m 2＋n ＝7.方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项，列出二元一次方程组．【类型三】单项式乘以单项式的实际应用有一块长为x m ，宽为y m 的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长35x m ，宽34y m的矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．解析：先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．解：长方形的面积是xy m 2，矩形空地绿化的面积是35x ×34y ＝920xy (m)2，则剩下的面积是xy －920xy ＝1120xy (m 2)．方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．探究点二：单项式乘以多项式【类型一】直接利用单项式乘以多项式法则进行计算计算： (1)(23ab 2－2ab )·12ab ；(2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)．解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．解：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ＝23ab 2·12ab －2ab ·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2；(2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)＝－2x ·12x 2y ＋(－2x )·3y －(－2x )·1＝－x 3y ＋(－6xy )－(－2x )＝－x 3y －6xy ＋2x .方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【类型二】单项式乘以多项式乘法的实际应用一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b )米，坝高12a 米．(1)求防洪堤坝的横断面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．解：(1)防洪堤坝的横断面积S ＝12[a ＋(a ＋2b )]×12a ＝14a (2a ＋2b )＝12a 2＋12ab .故防洪堤坝的横断面积为(12a 2＋12ab )平方米；(2)堤坝的体积V ＝Sh ＝(12a 2＋12ab )×100＝50a 2＋50ab .故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab )立方米．方法总结：通过本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【类型三】化简求值先化简，再求值：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)，其中a ＝－2.解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．解：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)＝6a 3－12a 2＋9a －6a 3－8a 2＝－20a 2＋9a ，当a ＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．【类型四】单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值如果(－3x )2(x 2－2nx ＋23)的展开式中不含x 3项，求n 的值．解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法则计算，根据结果不含x 3项，求出n 的值即可．解：(－3x )2(x 2－2nx ＋23)＝(9x 2)(x 2－2nx ＋23)＝9x 4－18nx 3＋6x 2，由展开式中不含x3项，得到n ＝0.方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.三、板书设计单项式与单项式、多项式相乘1．单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．2．单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式、多项式相乘的法则，并能应用．这就必须要求学生对乘法的分配律以及幂的运算法则有一定的基础，因此课前可以要求学生先复习该部分的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法则的得出，教师通过“试一试”逐步解题，通过计算演示法则的内容，更有利于学生理解运算法则．14．2乘法公式14．2.1平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．(重点)2．掌握平方差公式的应用．(重点)一、情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．学生积极举手回答．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y －x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【类型二】直接应用平方差公式进行计算利用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25；(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【类型三】平方差公式的连续使用求2(3＋1)(3＋1)(3＋1)(3＋1)的值．解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．【类型四】应用平方差公式进行简便运算利用平方差公式简算：(1)2013×1923；(2)13.2×12.8.解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989；(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．【类型五】化简求值先化简，再求值：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )，其中x ＝1，y ＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x 、y 的值代入进行计算即可得解．解：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2.当x ＝1，y ＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.。

人教版初中数学八年级上册第十四章：整式的乘法与因式分解(全章教案)

第十四章整式的乘法与因式分解本章的内容主要包括：整式的乘法、乘法公式和因式分解．本章我们将在七年级学习整式的加减法的基础上，继续学习整式的乘法和因式分解，它是代数运算以及解决许多数学问题的重要基础．我们可以类比数的运算，以运算律为基础，得到关于整式的乘法运算与因式分解的启发．在中考中，本章是必考内容，主要考查幂的运算、乘法公式、因式分解，特别是因式分解在化简求值中的应用．【本章重点】整式的乘(除)法法则、乘法公式及因式分解．【本章难点】乘法公式的灵活运用、添括号法则及运用提公因式法和公式法进行因式分解．【本章思想方法】1．体会和掌握类比的学习方法．如：通过数的运算，类比归纳得出整式的运算性质．2．体会转化思想．如：将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式进行计算．3．体会数形结合思想．如：在整式乘法和乘法公式部分，借助于几何图形对运算法则及公式作了直观解释，体现了数形结合的思想方法．14．1整式的乘法7课时14．2乘法公式3课时14．3因式分解3课时14．1整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解并掌握同底数幂的乘法法则，并能进行相关计算．【过程与方法】经历探索同底数幂的乘法法则的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．【情感态度与价值观】在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．二、重难点目标【教学重点】同底数幂的乘法法则．【教学难点】同底数幂的乘法法则的推导及应用．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．把下列式子化成同底数幂．(－a )2＝a 2；(－a )3＝－a 3；(x －y )2＝(y －x )2；(x －y )3＝－(y －x )3. 2．根据乘法的意义填空：(1)52×53＝55； 32×34＝36；a 3·a 4＝(a ·a ·a )·(a ·a ·a ·a )＝a 7；(2)总结法则：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. (3)推广：a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p (m 、n 、p 都是正整数)．3．计算：(1)103×104；(2)a ·a 3；(3)⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫－122·⎝⎛⎭⎫－123. 解：(1)＝107. (2)a 4. (3)164.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)－a 3·(－a )2·(－a )3； (2)10 000×10m ×10m ＋3； (3)m n ＋1·m n ·m 2·m ； (4)(x －y )2·(y －x )5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算．【解答】(1)原式＝－a 3·a 2·(－a 3)＝a 3·a 2·a 3＝a 8.(2)原式＝104×10m ×10m ＋3＝104＋m ＋m ＋3＝107＋2m.(3)原式＝m n＋1＋n ＋2＋1＝m 2n ＋4.(4)原式＝(y －x )2·(y －x )5＝(y －x )7.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1；(2)底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a －b )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(b －a )n (n 为偶数)，－(b －a )n (n 为奇数).活动2 巩固练习(学生独学)1．下列算式中，结果等于x 6的是( A ) A ．x 2·x 2·x 2 B ．x 2＋x 2＋x 2 C ．x 2·x 3D ．x 4＋x 22．如果32×27＝3n ，那么n 的值为( C ) A ．6 B ．1 C ．5D ．83．若a m ＝3，a n ＝4，则a m ＋n ＝12. 教师指导：a m ＋n ＝a m ·a n ＝3×4＝12. 4．计算：(1)－a 3·a 4； (2)100·10m ＋1·10m －3； (3)(－x )4(－x 2)(－x )3. 解：(1)－a 7. (2)102m . (3)x 9. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】若82a ＋3·8b －2＝810，求2a ＋b 的值．【互动探索】根据同底数幂的乘法法则，确定等式的左边的计算结果，再对比化简后的等式，确定a 、b 之间的关系．【解答】∵82a ＋3·8b －2＝82a＋3＋b －2＝810，∴2a ＋3＋b －2＝10，解得2a ＋b ＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同，由此得出代数式的值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)同底数幂的乘法法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加字母表示：a m·a n＝a m ＋n(m 、n 都是正整数)推广：a m·a n·…·a p＝a m ＋n ＋…＋p(m 、n 、…、 p 都是正整数)请完成本课时对应练习！14.1.2幂的乘方(第2课时)一、基本目标【知识与技能】理解幂的乘方法则，并能利用幂的乘方法则进行计算．【过程与方法】经历探索幂的乘方法则的过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，培养学生的应用能力．【情感、态度与价值观】培养学生合作交流和探索精神，让学生体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】幂的乘方法则．【教学难点】幂的乘方法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P97的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．乘方的意义：32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘；(32)3的意义：3个32相乘.(1)根据幂的意义解答：(32)3＝32×32×32(根据幂的意义)＝32＋2＋2(根据同底数幂的乘法法则)＝32×3.(a m)2＝a m·a m＝a2m(根据a m·a n＝a m＋n)．(a m)n＝a m·a m·…·a m(幂的意义)＝a m＋m＋…＋m(同底数幂相乘的法则)＝a mn(乘法的意义)．(2)幂的乘方法则：(a m)n＝a mn(m、n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．计算：(1)(103)5；(2)(b3)4；(3)(x n)3；(4)－(x7)7.解：(1)1015.(2)b12.(3)x3n.(4)－x49.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(－24)3；(2)(x m－1)2；(3)[(24)3]3; (4)(－a5)2＋(－a2)5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．【解答】(1)原式＝－212.(2)原式＝x2(m－1)＝x2m－2.(3)原式＝＝24×3×3＝236.(4)原式＝a10－a10＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．(3)幂的乘方的推广：((a m)n)p＝a mnp(m、n、p都是正整数)．【例2】若92n＝38，求n的值．【互动探索】(引发学生思考)比较等式两边底数的关系→将等式转化为(32)2n＝38→建立方程求n值．【解答】依题意，得(32)2n＝38，即34n＝38.∴4n＝8.解得n＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．【例3】已知a x＝3，a y＝4(x、y为整数)，求a3x＋2y的值．【互动总结】(学生总结，老师点评)对a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．【解答】a3x＋2y＝a3x·a2y＝(a x)3·(a y)2＝33×42＝27×16＝432.【互动探索】(引发学生思考)利用a mn＝(a m)n＝(a n)m，可对式子进行灵活变形，从而使问题得到解决．活动2巩固练习(学生独学)1．计算(－a3)2的结果是(A)A．a6B．－a6C．－a5D．a52．下列运算正确的是(B)A．(x3)2＝x5B．(－x)5＝－x5C．x3·x2＝x6D．3x2＋2x3＝5x53．当n为奇数时，(－a2)n＋(－a n)2＝0.4．计算：(1)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10；(2)x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2.解：(1)0.(2)3x16.活动3拓展延伸(学生对学)【例4】请看下面的解题过程：比较2100与375的大小．解：∵2100＝(24)25,375＝(33)25，而24＝16,33＝27,16＜27， ∴2100＜375.请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，比较底数的大小来比较所求两个数的大小．【解答】∵3100＝(35)20,560＝(53)20，而35＝243,53＝125,243＞125， ∴35＞53，∴3100＞560.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝(35)20,560＝(53)20是解此题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)幂的乘方法则⎩⎪⎨⎪⎧内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘字母表示：(a m )n ＝a mn (m 、n 都是正整数)推广：((a m )n )p ＝a mnp (m 、n 、p 都是正整数)请完成本课时对应练习！14．1.3积的乘方(第3课时)一、基本目标【知识与技能】理解积的乘方法则，利用积的乘方进行计算．【过程与方法】经历探索积的乘方法则的过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，培养学生的应用能力．【情感态度与价值观】培养学生合作交流和探索精神，让学生体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】积的乘方法则．【教学难点】积的乘方法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P97～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．下列各式正确的是(D)A．(a5)3＝a8B．a2·a3＝a6C．x2＋x3＝x5D．a2·a2＝a42．(1)填空：(2×5)3＝103,23×53＝103；(－2×5)3＝－103，(－2)3×53＝－103.(2)积的乘方法则：(ab)n＝a n b n(n是正整数)，即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.推广：(abc)n＝a n b n c n.(n是正整数)3．计算：(1)(3a2)n；(2)(－2xy)4；(3)(a2)3·(a3)2.解：(1)3n a2n.(2)16x4y4.(3)a12.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算(1)(x4·y2)3；(2)(a n b3n)2＋(a2b6)n；(3)[(3a2)3＋(3a3)2]2；(4)⎝⎛⎭⎫991002017×⎝⎛⎭⎫100992018； (5)0.12515×(23)15.【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算．【解答】(1)原式＝x 12y 6. (2)原式＝a 2n b 6n ＋a 2n b 6n ＝2a 2n b 6n . (3)原式＝(27a 6＋9a 6)2＝(36a 6)2＝1296a 12. (4)原式＝⎝⎛⎭⎫99100×100992017×10099＝1×10099＝10099. (5)原式＝⎝⎛⎭⎫1815×(8)15＝⎝⎛⎭⎫18×815＝1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)～(3)先按乘方再乘除后加减的运算顺序；(4)(5)反用(ab )n ＝a n b n 可使计算简便．活动2 巩固练习(学生独学) 1．(x 2y )2的结果是( B ) A ．x 6y B ．x 4y 2 C ．x 5yD ．x 5y 22．(a m )m ·(a m )2不等于( C ) A ．(a m ＋2)m B ．(a m ·a 2)m C ．am 2＋m 2 D ．(a m )3·(a m －1)m3．a m ＝2，a n ＝3，a 2m ＋3n＝108.4．计算：(1)－4xy 2·⎝⎛⎭⎫12xy 22·(－2x 2)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3； (3)⎝⎛⎭⎫232017×⎝⎛⎭⎫322018. 解：(1)8x 9y 6. (2)0. (3)32.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？⎝⎛⎭⎫球的体积公式为V ＝43πR 3，且π取3【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算．【解答】∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3＝43×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．即它的体积大约是8.64×1017立方千米．【互动总结】(学生总结，老师点评)读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．在研究问题的结构时，可按整体到部分的顺序去思考和把握．2．公式(ab)n＝a n b n(n为正整数)的逆用：a n b n＝(ab)n(n为正整数)．请完成本课时对应练习！14．1.4整式的乘法第4课时单项式乘单项式一、基本目标【知识与技能】理解并掌握单项式乘单项式的法则．【过程与方法】经历探索单项式乘单项式法则的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．【情感态度与价值观】培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．二、重难点目标【教学重点】单项式乘单项式的法则．【教学难点】单项式乘单项式的法则的推导及应用．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P98～P99的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．乘法的交换律和结合律：(ab )c ＝(ac )b ； a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)； (a m )n ＝a mn (m 、n 都是正整数)； (ab )n ＝a n b n (n 是正整数)．2．(1)2a 2－a 2＝a 2；a 2·a 2＝a 4；(－2a 2)2＝4a 4. (2)ac 5·bc 2＝(a ·b )·(c 5·c 2)·＝abc 5＋2＝abc 7.(2)单项式乘单项式法则：单项式乘单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．教师点拨：单项式乘单项式运用的乘法的交换律和结合律，将数和同底数幂分别结合在一起．3．计算：(1)(－5a 2b 3)(－3a )； (2)(2x )3(－5x 2y )； (3)23x 3y 2·⎝⎛⎭⎫－32xy 22； (4)(－3ab )·(－ac )．解：(1)15a 3b 3. (2)－40x 5y . (3)32x 5y 6. (4)3a 2bc .环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3·3xy 2·(2xy 2)2； (2)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2.【互动探索】(引发学生思考)根据单项式乘单项式的法则计算．【解答】(1)⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3·3xy 2·4x 2y 4＝－32x 9y 9. (2)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5.【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式乘单项式的注意事项：(1)计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)单项式乘单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立；(5)将(x －y )看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算正确的是( D ) A ．(－3x 3)·(－2x 2)2＝－12x 12 B ．(－3ab )(－2ab )2＝12a 3b 3 C ．(－0.1x )·(－10x 2)2＝x 5 D ．(2×10n )⎝⎛⎭⎫12×10n ＝102n2．3x 2可以表示为( A ) A ．x 2＋x 2＋x 2 B ．x 2·x 2·x 2 C ．3x ·3xD ．9x3．如果x n y 4与2xy m 相乘的结果是2x 5y 7，那么mn ＝12. 4．计算：(1)(－2x 2y )3·3(xy 2)2； (2)(－3x 2y )2·⎝⎛⎭⎫－23xyz ·34xz 2. 解：(1)－24x 8y 7. (2)－92x 6y 3z 3.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y－3－m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值．【互动探索】根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2＋n 的值？【解答】∵－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y－3－m的积与x 4y 是同类项，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，∴m 2＋n ＝7. 【互动总结】(学生总结，老师点评)根据单项式乘单项式的法则，结合同类项，列出关于m 、n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．请完成本课时对应练习！第5课时单项式乘多项式一、基本目标【知识与技能】理解并掌握单项式乘多项式的法则，并能正确计算单项式乘多项式．【过程与方法】经历探索单项式乘多项式法则的过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．【情感态度与价值观】培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．二、重难点目标【教学重点】单项式乘多项式的法则．【教学难点】单项式乘多项式的法则的推导及应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．乘法的分配律：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.2．填空：－x(x2－3x＋2)＝－x·(x2)＋(－x)·(－3x)＋(－x)·(2)＝－x3＋3x2－2x.3．单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.3．计算：(1)(－2a)·(2a2－3a＋1)；(2)(－4x)·(2x2＋3x－1)．解：(1)－4a3＋6a2－2a.(2)－8x3－12x2＋4x.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2·(3a＋4)，其中a＝－2.【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简式子→将a＝－2代入化简结果求值．【解答】原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a.当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．活动2巩固练习(学生独学)1．一个长方体的长、宽、高分别是3a －4,2a ，a ，它的体积等于( C ) A ．3a 3－4a 2 B ．a 2 C ．6a 3－8a 2D ．6a 2－8a2．已知M 、N 分别表示不同的单项式，且3x ·(M －5x )＝6x 2y 3＋N ，则( C ) A ．M ＝2xy 3，N ＝－15x B ．M ＝3xy 3，N ＝－15x 2 C ．M ＝2xy 3，N ＝－15x 2D ．M ＝2xy 3，N ＝15x 23．图中的四边形均为矩形，根据图形，仅用图中出现的字母写出一个正确的等式：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc .4．计算：(1)2ab 2·(3a 2b －2ab －1)； (2)(－2xy 2)2·⎝⎛⎭⎫14y 2－12x 2－32xy . 解：(1)6a 3b 3－4a 2b 3－2ab 2. (2)x 2y 6－2x 4y 4－6x 3y 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如果(－3x )2⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23的展开式中不含x 3项，求n 的值．【互动探索】由原式的展开式中不含x 3项可以推出什么？由此怎样求出n 的值？【解答】(－3x )2⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23＝9x 2·⎝⎛⎭⎫x 2－2nx ＋23＝9x 4－18nx 3＋6x 2. 由展开式中不含x 3项，得n ＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．请完成本课时对应练习！第6课时多项式乘多项式一、基本目标【知识与技能】理解多项式乘多项式的运算法则，运用多项式与多项式的乘法法则进行计算．【过程与方法】经历探索多项式乘多项式的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．【情感态度与价值观】通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．二、重难点目标【教学重点】多项式乘多项式的法则的推导及应用．【教学难点】多项式乘多项式的法则的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)(－ab)·(－4b2)＝4ab3；(2)－2x(x－3y)＝－2x2＋6xy；(3)(2x2y)3·(－4xy2)＝－32x7y5；(4)－2x(2x2－3x＋1)＝－4x3＋6x2－2x.2．看图填空：(1)大长方形的长是a＋b，宽是m＋n，面积等于(a＋b)(m＋n).(2)图中四个小长方形的面积分别是am、bm、an、bn，由上述可得(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.3．多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4．计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解：(1)3x2＋8x＋4.(2)－4y2＋21y－5.5．长方形的长是(2a＋1)，宽是(a＋b)，求长方形的面积．解：根据题意，得长方形的面积S＝(2a＋1)(a＋b)＝2a2＋2ab＋a＋b.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(x＋2y)(5a＋3b)；(2)(2x－3)(x＋4)；(3)(x＋y)2；(4)(x＋y)(x2－xy＋y2)．【互动探索】(引发学生思考)根据多项式乘多项式的法则进行计算．【解答】(1)原式＝x·5a＋x·3b＋2y·5a＋2y·3b＝5ax＋3bx＋10ay＋6by.(2)原式＝2x2＋8x－3x－12＝2x2＋5x－12.(3)原式＝(x＋y)(x＋y)＝x2＋xy＋xy＋y2＝x2＋2xy＋y2.(4)原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.【互动总结】(学生总结，老师点评)多项式乘多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；所得结果仍是多项式，且在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b ＝1.【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简代数式→确定当a＝－1，b＝1时，化简后代数式的值．【解答】(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．活动2巩固练习(学生独学)1．若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m、n的值分别为(B)A．m＝5，n＝6B．m＝1，n＝－6C．m＝1，n＝6D．m＝5，n＝－62．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是(A)A ．(x －2)(x ＋9)B ．(x ＋2)(x ＋9)C ．(x －3)(x ＋6)D ．(x －1)(x ＋18)3．如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋3b )，宽为(2a ＋b )的大长方形，那么需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为( A )A ．2,3,7B ．3,7,2C ．2,5,3D ．2,5,7教师点拨：(a ＋3b )(2a ＋b )＝2a 2＋7ab ＋3b 2. 4．已知a 2－a ＋5＝0，则(a －3)(a ＋2)的值是－11.教师点拨：把所求代数式展开后，利用条件得到a 2－a ＝－5，再整体代入即可得解． 5．计算：(1)(y ＋1)(x －y )－x (y －x )； (2)(－7x 2－8y 2)(－x 2＋3y 2)； (3)(3a ＋1)(2a －3)－(6a －5)(a －4)．解：(1)x 2－y 2＋x －y . (2)7x 4－13x 2y 2－24y 4. (3)22a －23.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知ax 2＋bx ＋1(a ≠0)与3x －2的积不含x 2项，也不含x 项，求系数a 、b 的值．【互动探索】计算ax 2＋bx ＋1与3x －2的乘积．由原式的展开式中不含x 3项，也不含x 的项→建立方程→确定a 、b 的值．【解答】(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)＝3ax 3－2ax 2＋3bx 2－2bx ＋3x －2. ∵积不含x 2项，也不含x 项，∴－2a ＋3b ＝0，－2b ＋3＝0，解得b ＝32，a ＝94.即系数a 、b 的值分别是94，32.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据多项式乘多项式的法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列出方程解答．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．字母表示：请完成本课时对应练习！第7课时整式的除法一、基本目标【知识与技能】理解并掌握同底数幂的除法法则、单项式除以单项式的运算法则和多项式除以多项式的运算法则，熟练地进行整式除法的计算．【过程与方法】经历探究整式除法的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力．【情感态度与价值观】感受数学法则和公式的简洁美、和谐美，培养学生的团结协作精神，使学生获得合作交流的学习方式．二、重难点目标【教学重点】整式的除法法则．【教学难点】整式的除法法则的推导．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、同底数幂的除法计算：(1)28·28＝216,216÷28＝28；(2)52·54＝56,56÷54＝52；(3)a4·a2＝a6，a6÷a4＝a2；(4)从(1)～(3)运算中归纳出同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m－n(a≠0，n、m为正整数，且m>n)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减.(5)∵a m÷a m＝1，而a m÷a m＝a(m－m)＝a0，∴a0＝1(a≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1.二、单项式除以单项式计算：(1)a·4a2＝4a3,4a3÷4a2＝a；(2)3xy·2x2＝6x3y,6x3y÷3xy＝2x2；(3)3ax2·4ax3＝12a2x5,12a2x5÷3ax2＝4ax3；(4)从(1)～(3)运算中归纳出单项式除以单项式法则：单项式相除，把同底数幂与系数分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．三、多项式除以单项式1．计算：(1)m·(a＋b)＝am＋bm，(am＋bm)÷m＝a＋b；(2)a ·(a ＋b )＝a 2＋ab ，(a 2＋ab )÷a ＝a ＋b ；(3)2xy ·(3x 2＋y )＝6x 3y ＋2xy 2，(6x 3y ＋2xy 2)÷2xy ＝3x 2＋y ；(4)从上述运算中归纳出多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2．计算：(1)a 5÷a 3； (2)－5a 5b 3c ÷15a 4b ； (3)(27x 3－18x 2＋3x )÷(－3x )．解：(1)a 2. (2)－13ab 2c . (3)－9x 2＋6x －1.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)(x －2y )3÷(2y －x )2； (2)(a 2＋1)6÷(a 2＋1)4÷(a 2＋1)2； (3)(2a 2b 2c )4z ÷(－2ab 2c 2)2； (4)81x 12y 12z 4÷9x 6y 4z 2÷12x 2y 6z ；(5)(72x 3y 4－36x 2y 3＋9xy 2)÷(－9xy 2)．【互动探索】(引发学生思考)利用除法的运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝(x －2y )3÷(x －2y )2＝x －2y . (2)原式＝(a 2＋1)6－4－2＝(a 2＋1)0＝1.(3)原式＝16a 8b 8c 4z ÷4a 2b 4c 4＝4a 6b 4z .(4)原式＝⎝⎛⎭⎫81÷9÷12·x 12－6－2·y 12－4－6·z 4－2－1＝18x 4y 2z . (5)原式＝72x 3y 4÷(－9xy 2)＋(－36x 2y 3)÷(－9xy 2)＋9xy 2÷(－9xy 2)＝－8x 2y 2＋4xy －1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)计算整式除法时，按照相应的运算法则进行计算，有乘方的先算乘方，再算乘除．(2)单项式除以单项式和多项式除以单项式的实质都是有理数的除法和同底数幂的除法．计算时，注意运算顺序和符号的变化．【例2】先化简，后求值：[2x (x 2y －xy 2)＋xy (xy －x 2)]÷x 2y ，其中x ＝2018，y ＝2017. 【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→原式化简→代值计算的结果．【解答】[2x (x 2y －xy 2)＋xy (xy －x 2)]÷x 2y ＝[2x 3y －2x 2y 2＋x 2y 2－x 3y ]÷x 2y ＝[x 3y －x 2y 2]÷x 2y ＝x －y .把x ＝2018，y ＝2017代入上式，得原式＝2018－2017＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的方法是先化简，再把对应的数值代入化简后的式子进行计算即可．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知28a 2b m ÷4a n b 2＝7b 2，那么m 、n 的值为( A ) A ．m ＝4，n ＝2 B ．m ＝4，n ＝1 C ．m ＝1，n ＝2D ．m ＝2，n ＝22．已知长方形的面积为18x 3y 4＋9xy 2－27x 2y 2，长为9xy ，则宽为( D ) A ．2x 2y 3＋y ＋3xy B ．2x 2y 2－2y ＋3xy C ．2x 2y 3＋2y －3xyD ．2x 2y 3＋y －3xy3．如果(3x 2y －2xy 2)÷m ＝－3x ＋2y ，那么单项式m 为( B ) A ．xy B ．－xy C ．xD ．－y4．若等式(6a 3＋3a 2)÷(6a )＝(a ＋1)(a ＋2)成立，则a 的值为－45.5．计算： (1)x 3÷x 2；(2)⎝⎛⎭⎫－25a 2b 4÷⎝⎛⎭⎫－14ab 2÷(－10ab )； (3)(6a 3b －9a 2b 2－12ab 3)÷(－3ab )．解：(1)x . (2)－425b . (3)－2a 2＋3ab ＋4b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知a m ＝4，a n ＝2，a ＝3，求a m －n －1的值．【互动探索】逆向思维法：将a m－n －1转化为a m ÷a n ÷a ，再代入数据计算．【解答】∵a m ＝4，a n ＝2，a ＝3， ∴a m－n －1＝a m ÷a n ÷a ＝4÷2÷3＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a m－n －1＝a m ÷a n ÷a .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！14．2乘法公式14．2.1平方差公式(第1课时)一、基本目标【知识与技能】掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算．【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．【情感态度与价值观】通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值．二、重难点目标【教学重点】平方差公式．【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P107～P108的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．根据条件列代数式：(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.2．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式；等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差.(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．3．已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝80.4．计算(3－x)(3＋x)的结果是9－x2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】运用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．【互动探索】(引发学生思考)观察各式子的特点，确定用什么公式计算？【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2. (3)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【例2】计算：10015×9945.【互动探索】(引发学生思考)观察式子特点，直接计算比较难，将原式转化为⎝⎛⎭⎫100＋15⎝⎛⎭⎫100－15，用平方差公式计算．【解答】原式＝⎝⎛⎭⎫100＋15⎝⎛⎭⎫100－15＝10 000－125＝99992425. 【互动总结】(学生总结，老师点评)可将两个因数写成相同的两个数的和与差，形成平方差公式结构．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A ．(x ＋y )(x ＋y ) B ．(－x ＋y )(x －y ) C ．(－x －y )(y －x )D ．(x ＋y )(－x －y )2．如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.3．长方形的长为(2a ＋3b )，宽为(2a －3b )，则长方形的面积为4a 2－9b 2. 4．若(m ＋3x )(m －3x )＝16－nx 2，则mn 的值为±36. 5．计算：(1)⎝⎛⎭⎫34y ＋212x ⎝⎛⎭⎫212x －34y ； (2)⎝⎛⎭⎫－56x －0.7a 2b ⎝⎛⎭⎫56x －0.7a 2b ； (3)(2a －3b )(2a ＋3b )(4a 2＋9b 2)(16a 4＋81b 4)．解：(1)254x 2－916y 2. (2)0.49a 4b 2－2536x 2. (3)256a 8－6561b 8.6．运用平方差公式简算： (1)2013×1923； (2)13.2×12.8.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫20＋13×⎝⎛⎭⎫20－13＝400－19＝39989. (2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】对于任意的正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值一定是10的倍数吗？【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→需化简代数式→化简结果是否是10的倍数→做出判断．【解答】原式＝9n 2－1－(9－n 2)＝10n 2－10＝10(n ＋1)(n －1)． ∵n 为正整数，∴(n －1)(n ＋1)为整数，即(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值是10的倍数．【互动总结】(学生总结，老师点评)平方差公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.请完成本课时对应练习！14．2.2完全平方公式第2课时完全平方公式一、基本目标【知识与技能】1．掌握完全平方公式及其结构特征．2．会用完全平方公式进行简单计算．【过程与方法】利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式，感受乘法公式从一般到特殊的认知过程，拓展思维空间．【情感态度与价值观】培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、重难点目标【教学重点】完全平方公式及其结构特征．【教学难点】灵活应用完全平方公式进行计算．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P109～P110的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．按要求列代数式：(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.2．计算下列各式：(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.3．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】运用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2; (4)(a＋b＋c)2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子的特点，怎样运用完全平方公式进行计算？【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．【例2】计算：(1)9982；(2)(2)20182－2018×4034＋20172.【互动探索】(引发学生思考)(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算．(2)逆用完全平方公式即可．【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1 000 000－4000＋4＝996 004.(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)中可将该式变形为(1000－2)2，再运用完全平方公式可简便运算．活动2巩固练习(学生独学)1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是(C)A．(－1＋x2y2)2B．(1＋x2y2)2C．(－1＋x2y)2D．(－1－x2y)22．若|a －b |＝1，则b 2－2ab ＋a 2的值为( A ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．无法确定3．下列关于962的计算方法正确的是( D ) A ．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984 B ．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024 C ．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D ．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216 4．运用完全平方公式计算：(1)(－3a ＋2b )2； (2)(a ＋2b －1)2； (3)50.012; (4)49.92.解：(1)4b 2－12ab ＋9a 2. (2)a 2＋4ab ＋4b 2－2a －4b ＋1. (3)2501.0001. (4)2490.01. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如果36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2是一个完全平方式，求m 的值．【互动探索】根据完全平方公式的结构特点→确定(m ＋1)xy 的值→建立方程→确定m 的值．【解答】∵36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2＝(6x )2＋(m ＋1)xy ＋(5y )2， ∴(m ＋1)xy ＝±2·6x ·5y ， ∴m ＋1＝±60，∴m ＝59或－61.【互动总结】(学生总结，老师点评)两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【例4】已知a ＋b ＝4，ab ＝－5，求下列各式的值． (1)a 2＋b 2； (2)(a －b )2.【互动探索】由已知等式联想到什么乘法公式？所求代数式与已知等式有什么关系？怎样求解？【解答】(1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab .把a ＋b ＝4，ab ＝－5代入，得a 2＋b 2＝42－2×(－5)＝16＋10＝26. (2)(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab .把a ＋b ＝4，ab ＝－5代入，得(a －b )2＝42－4×(－5)＝16＋20＝36. 【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式的常用变形： (1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2－2ab ； (2)ab ＝12[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)]；(3)(a －b )2＋(a ＋b )2＝2(a 2＋b 2)；。

人教版数学八年级上册第14章整式的乘法与因式分解教学设计

（四）课堂练习，500字
1.设计不同难度的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在课堂上独立完成。
2.练习题涵盖整式乘法、平方差公式、完全平方公式和因式分解等知识点，让学生在练习中巩固所学。
3.及时反馈学生的答题情况，针对共性问题进行讲解，帮助学生纠正错误，提高解题能力。
（五）总结归纳，500字
作业布置原则：注重作业的质量，而非数量；关注学生的个体差异，分层布置作业；鼓励学生积极参与，培养他们的学习兴趣。通过作业的布置与完成，让学生真正掌握整式乘法与因式分解的知识，提高数学素养。
2.平方差公式和完全平方公式：引导学生观察特定的整式乘法算式，如(a+b)(a-b)、(a+b)²，让他们发现平方差公式和完全平方公式的规律，并加以证明。通过实际例题，让学生学会运用这两个公式简化计算过程。
3.因式分解：介绍因式分解的概念，让学生理解其含义。通过具体的例子，讲解提公因式法、平方差公式和完全平方公式在因式分解中的应用，让学生掌握因式分解的方法。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的整式乘法与因式分解知识，培养学生的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第14章的相关练习题，包括整式的乘法运算、平方差公式、完全平方公式的应用以及因式分解的基本方法。
要求：学生在完成作业时，要注重运算的准确性，熟练掌握乘法法则和因式分解的方法，提高解题速度。
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结整式乘法法则、平方差公式、完全平方公式和因式分解的方法。
2.教师进行课堂小结，强调重点和难点，对学生的学习情况进行评价。
3.鼓励学生课后继续练习，提高整式乘法与因式分解的运算技巧，培养数学思维能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，增强他们的自信心，为下一节课的学习打下良好基础。

八上数学整式的乘除与因式分解教案

八上数学整式的乘除与因式分解教案第一章：整式的乘法教学目标：1. 理解整式乘法的基本概念和法则。

2. 掌握整式乘法的方法，并能熟练进行计算。

教学内容：1. 整式乘法的定义和基本法则。

2. 单项式与单项式的乘法。

3. 单项式与多项式的乘法。

4. 多项式与多项式的乘法。

教学步骤：1. 引入整式乘法的概念，解释整式乘法的意义和作用。

2. 通过示例讲解单项式与单项式的乘法法则，让学生理解并掌握其计算方法。

3. 通过示例讲解单项式与多项式的乘法法则，让学生理解并掌握其计算方法。

4. 通过示例讲解多项式与多项式的乘法法则，让学生理解并掌握其计算方法。

5. 练习题：让学生进行整式乘法的计算练习，巩固所学知识。

第二章：整式的除法教学目标：1. 理解整式除法的基本概念和法则。

2. 掌握整式除法的方法，并能熟练进行计算。

教学内容：1. 整式除法的定义和基本法则。

2. 单项式与单项式的除法。

3. 多项式与多项式的除法。

教学步骤：1. 引入整式除法的概念，解释整式除法的意义和作用。

2. 通过示例讲解单项式与单项式的除法法则，让学生理解并掌握其计算方法。

3. 通过示例讲解多项式与多项式的除法法则，让学生理解并掌握其计算方法。

4. 练习题：让学生进行整式除法的计算练习，巩固所学知识。

第三章：因式分解教学目标：1. 理解因式分解的概念和意义。

2. 掌握因式分解的方法，并能熟练进行计算。

教学内容：1. 因式分解的定义和意义。

2. 提取公因式法。

3. 公式法。

4. 十字相乘法。

教学步骤：1. 引入因式分解的概念，解释因式分解的意义和作用。

2. 通过示例讲解提取公因式法，让学生理解并掌握其计算方法。

3. 通过示例讲解公式法，让学生理解并掌握其计算方法。

4. 通过示例讲解十字相乘法，让学生理解并掌握其计算方法。

5. 练习题：让学生进行因式分解的计算练习，巩固所学知识。

第四章：整式的乘除与因式分解的应用教学目标：1. 掌握整式的乘除与因式分解在实际问题中的应用。

八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解教案新人教版

第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.1 同底数幂的乘法【知识与技能】(1)理解同底数幂的乘法法则.(2)运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.【过程与方法】经历自主探索、猜想、验证同底数幂的乘法法则的过程，并能灵活运用.【情感态度与价值观】让学生体验用数学知识解决问题的乐趣，培养学生热爱数学的情感.正确理解同底数幂的乘法法则.正确理解和运用同底数幂的乘法法则.多媒体课件.师生共同复习a n的意义：图14-1.1-1a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂；a叫作底数，n是指数.如图14-1.1-1.教师提出问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103 s可进行多少次运算？能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？学生思考后回答：运算次数=运算速度×工作时间，所以该电子计算机工作103 s可进行的运算次数为1015×103.教师追问：1015×103如何计算呢？学生列出算式并解答(要求学生写出解答过程中每一步的依据)：教师肯定学生的答案并引入：很好，通过观察大家可以发现1015，103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015×103的运算叫作同底数幂的乘法.根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.(板书课题).探究：同底数幂的乘法法则教师引入：刚才我们通过计算,知道，下面我们再来观察几道题.计算下列各式：学生独立计算，三位学生代表上台板演，要求每个步骤都要写出运算的依据,师生共同评析.如果学生有困难，教师可以引导学生回顾“复习导入”的解答过程，再计算.教师引导学生发现下列规律：(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘.(2)相乘所得的结果的底数与原底数相同，指数是原来两个幂的指数的和.师生共同总结：a m·a n表示同底数幂的乘法，根据幂的意义可得：用语言描述此法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.教师强调：运用同底数幂的乘法法则时，要注意以下几点：(1)底数必须相同，如23与25，(a2b2)3与(a2b2)4，(x-y)2与(x-y)5等.(2)a可以是单项式，也可以是多项式.(3)按照运算法则，只有相乘时才是底数不变，指数相加.教师出示教材P96例1：师生共同分析解答，教师板书(1)，学生代表板演(2)(3)(4).教师着重让学生说明底数是什么，指数是什么，让学生观察是不是符合同底数幂相乘，引导学生运用法则进行计算.(2)中a=a1是学生的易错点，教师提问可能会出错的学生，并借此强调此问题.接着教师让学生独立完成教材P96练习，同桌之间互相检查.1.a m·a n=a m+n(m，n都是正整数).用语言描述此法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.三个或三个以上同底数幂的乘法法则：a m·a n·a p=a m+n+p(m，n，p都是正整数).3.同底数幂的乘法法则的逆用：a m+n=a m·a n(m，n都是正整数)第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.2 幂的乘方【知识与技能】(1)知道幂的乘方的意义.(2)会进行幂的乘方的计算.【过程与方法】经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展学生的推理能力和有条理的表达能力.【情感态度与价值观】通过分组探究，培养学生合作交流的意识，提高学生勇于探索数学的品质.会进行幂的乘方的运算.幂的乘方法则的总结及运用.多媒体课件.教师出示问题：(1)叙述同底数幂的乘法法则，并用字母表示.（2）计算：请学生代表口答.教师：大家已经学会进行同底数幂的乘法运算，那么幂的乘方运算又应该如何进行呢？(引入本节课的内容，板书课题).探究：幂的乘方的法则教师：我们知道，表示几个相同因数的积的运算叫作乘方，根据乘方的意义，请同学们解决以下问题：1.思考.根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空，看看计算的结果有什么规律：教师要加强引导，强调运用同底数幂的乘法法则的注意事项.2.小组讨论.对正整数m，n，你认为(a m)n等于什么？能对你的猜想给出检验过程吗？学生小组内互相探索、交流，积极思考，然后各组派代表回答，相互点评，补充得出关于幂的乘方法则.师生共同总结：一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n,幂的乘方法则：即幂的乘方，底数不变，指数相乘.(教师板书)教师说明：(1)法则中a可以是一个具体的数，也可以是单项式或多项式.(2)在形式上，幂的乘方的底数本身就是一个幂.(3)法则可推广到［(a m)n］k=a mnk(m，n，k是正整数).(4)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆.例如，不能把(a5)2的计算结果写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.教师出示教材P96例2：计算：师生共同分析解答，教师板书(1)，请学生代表上台板演(2)(3)(4).教师追问：a mn等于(a m)n(m，n都是正整数)吗？学生类比同底数幂的乘法法则的逆用得出a mn=(a m)n(m，n都是正整数)，也就是说对于幂的乘方法则，它的逆用同样成立.当一个幂的指数是积的形式时，就可以写成幂的乘方的形式.学生口答.接着教师让学生独立完成P97练习，同桌之间互相检查.1.(a m)n=a mn(m，n是正整数).语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.2.法则可推广到［(a m)n］k=a mnk(m，n，k是正整数).第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.3 积的乘方【知识与技能】(1)经历探索积的乘方运算法则的过程，进一步体会幂的意义.(2)理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题.【过程与方法】让学生经历探索积的乘方法则的过程，提高学生的学习主动性，增强学生学习的兴趣.【情感态度与价值观】让学生通过探索，体会知识的发现过程，感受运用数学知识的妙趣及简洁美.积的乘方的运算法则及其应用.幂的运算法则的灵活运用.多媒体课件.让学生回顾同底数幂的乘法、幂的乘方这两个幂的运算性质.教师引入：这节课我们来学习积的乘方(板书课题)探究：积的乘方法则教师列出自学提纲，让学生解决以下问题，在此过程中引导学生自主探究、讨论、归纳.1.填空，看运算过程中用到了哪些运算律？从运算结果看你能发现什么规律？2.把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达.教师点评学生的探究过程，并总结：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.也就是说，积的乘方等于幂的乘积.用符号语言叙述：(ab)n=a n b n(n是正整数).(教师板书符号语言)教师出示教材P97例3：计算：每道小题均由学生口述完整的解题过程，教师板书.教师进行总结：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据，对三个法则的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解，在这三个幂的运算中，既要防止符号错误，也要防止运算性质发生混淆.接着，教师让学生独立完成教材P98练习，教师巡视、指导，完成后同桌之间互相检查.1.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.2.积的乘方是幂的第三个运算法则，这里的积可以是单独几个字母因式的积，也可以是几个多项式的积.第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4 整式的乘法课时1 单项式乘单项式【知识与技能】探索并了解单项式与单项式相乘的法则，并运用它进行运算.【过程与方法】让学生主动参与到探索过程中，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的严密性和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过对单项式与单项式相乘的法则的探索、猜想、体验及运用，感受学习的乐趣.单项式与单项式相乘的运算法则及其应用.灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.多媒体课件.教师直接引入：我们在前面学习过了整式的加减运算，还记得整式的加减法是如何运算的吗？其实整式的运算就像数的运算，除了加减法，还有整式的乘法、整式的除法.（教师板书课题）探究：单项式乘单项式的运算法则教师提出问题：光的速度约是3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s，你知道地球与太阳之间的距离约是多少吗？学生独立思考后列式(3×105)×(5×102).探究新知学生分组讨论以下问题：(1)怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？(2)如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？小组讨论时，教师要注意指导，并让两名同学在黑板上写出演算过程.最后教师讲评，得出结论.教师追问：如何计算4a2x5·(-3a3bx2)?由此你能总结出单项式与单项式相乘的乘法法则吗？学生先独立思考，教师再进行如图14-1.4-1的讲解：最后师生共同归纳：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.教师强调：(1)积的系数是各因式的系数的积.(2)相同字母按照同底数幂的运算法则进行计算.(3)只在一个因式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.(4)上述法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.(5)运算结果仍是单项式.教师出示教材P98例4：师生共同分析，教师板书(1)，学生自主完成(2).接着让学生独立完成P99练习第1，2题，完成后同桌之间互相检查.根据单项式乘单项式的法则，在进行计算时，可按照如下步骤进行：(1)系数相乘——确定积的系数，在相乘时，要注意符号；(2)相同字母相乘——底数不变，指数相加；(3)只在一个单项式中含有的字母——连同字母的指数写在乘积中.第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4 整式的乘法课时2 单项式乘多项式【知识与技能】(1)在具体情境中，了解单项式乘多项式的意义.(2)理解单项式与多项式相乘的法则，并运用它进行运算.【过程与方法】让学生主动参与到探索过程中，提高学生的主观能动性，感受数学知识的简洁美. 【情感态度与价值观】通过对单项式与多项式相乘的法则的探索、猜想、体验及运用，感受学习的乐趣.单项式与多项式相乘的运算法则及其运用.灵活地进行单项式与多项式相乘的运算.多媒体课件.教师引入：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为p m，宽为b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，如图14-1.4-2，你能用几种方法表示出扩大后的绿地面积？不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？学生思考，教师：本节课我们将探究这个问题.(板书课题)探究：单项式乘多项式的运算法则教师将问题进行分解：(1)扩大后绿地的长和宽分别是多少？长为a+b+cm；宽为pm.(2)根据长方形的面积=长×宽，你能得到的式子是p(a+b+c)①.(3)利用分割法，可以把扩大后的面积看成是几部分的面积的和？(注意：在这一过程中，学生可能说出分成两部分，这时要肯定学生得到的结论，再进行适当的引导，让学生分成三部分)(4)这三部分的面积可以怎么表示？学生说出结果后，教师展示图片：如图14-1.4-3，扩大后绿地的面积可以表示为pa+pb+pc②(5)①和②都表示扩大后绿地的面积，它们是什么关系呢？最后学生通过观察,发现：因为①和②都表示同一个量，所以这两个式子相等，即p(a+b+c)=pa+pb+pc.(6)对于这个等式，能用乘法分配律说明吗？教师提示：用p乘括号里的每一项，再把所得的积相加.教师追问：p和a+b+c分别是什么样的式子？学生：p是单项式，a+b+c是多项式，这个乘法是单项式与多项式的乘法.请同学们试着总结一下单项式与多项式相乘的法则.学生总结：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.(教师板书)最后师生共同归纳：(1)运用单项式与多项式相乘的法则时，要注意各项的符号问题，且此法则是由分配律推导出来的，所以单项式与多项式相乘可按分配律进行计算.(2)等式的左边是积的形式，等式的右边是和的形式.(3)单项式与多项式相乘所得的结果是一个多项式，它的项数等于原来多项式的项数.教师出示教材P100例5：计算：师生共同分析，找两名学生代表上台板演.接着让学生独立完成教材P100练习第1，2题，完成后同桌之间互相检查.单项式乘多项式的法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4 整式的乘法课时3 多项式乘多项式【知识与技能】(1)经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式的乘法法则.(2)灵活运用多项式乘多项式的运算法则.【过程与方法】经历探索多项式与多项式的乘法法则的过程，进一步发展观察、归纳、概括的能力，发展学生有条理的思考及语言表达能力.【情感态度与价值观】通过探究面积的不同表示方法的活动，使学生体验探究的过程，培养学生的创新能力.多项式乘法的运算.探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”“负号”的问题.多媒体课件.教师引入：如果现在为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长为a m，宽为p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？教师：刚才我们遇到了一个实际的问题，和我们上节课的导入内容一样，都是求面积的问题.下面我们一起来研究这个问题.(板书课题)探究：多项式乘多项式的运算法则教师：首先我们根据题意画出图形.教师引导学生画出图形，如图14-1.4-4.让学生根据所画的图形，解决下列问题：(1)扩大后的长方形绿地的长是(a+b)m，宽是(p+q)m.根据长方形的面积公式，这块绿地的面积(单位：m2)可表示为(a+b)·(p+q).(2)如果把长方形分成两部分，一个一边长是a m的长方形和一个一边长是b m的长方形，那么它的面积(单位：m2)可表示为a(p+q)+b(p+q).(3)如果把长方形分成四部分，那么它的面积(单位：m2)可表示为ap+aq+bp+bq，如图14-1.4-5.(4)观察以上几个算式，你从计算过程中发现了什么？(5)上面的乘法属于哪一种运算？(多项式乘多项式)学生分组进行讨论，然后让5名学生分别解答这5个小问题.教师说明：上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法.计算(a+b)·(p+q)，可以先把其中的一个多项式，如p+q，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得出(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)，再利用单项式与多项式相乘的法则，得a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq.总体来看，(a+b)(p+q)的结果可以看成是由(a+b)的每一项乘(p+q)的每一项，再把所得的积相加而得到的，即师生共同总结：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(教师板书)教师强调：运用多项式与多项式相乘的法则进行计算时，注意不要漏乘某项，为防止出错，尽可能地按顺序进行，即用前一个多项式的第一项与后一个多项式的每一项依次相乘，再用前一个多项式的第二项与后一个多项式的每一项依次相乘，……直到前一个多项式的每一项都与后一个多项式的每一项相乘，最后把结果相加，这样就不容易漏项了.注意最后能合并同类项的一定要合并同类项.教师总结：在整式的乘法中，我们学习了三个运算法则，它们都是由乘法的运算律推导出来的，为方便记忆，特归纳如下：整式的乘法单项式乘单项式：乘法交换律、结合律单项式乘多项式：分配律多项式乘多项式：分配律在这三个法则中，单项式乘单项式的法则是基础，是关键.教师出示教材P101例6：计算：师生共同分析，然后教师找3名学生上台板演.接着让学生独立完成教材P102练习第1，2题，完成后同桌之间互相检查.1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4 整式的乘法课时4 整式的除法【知识与技能】(1)掌握同底数幂的除法法则.(2)理解不等于0的数的0次幂的定义.(3)理解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并会进行简单的相关运算.【过程与方法】通过探索整式的除法的一般规律，能熟练地进行有关的计算.【情感态度与价值观】让学生自主探索整式的除法法则，体验通过转化构建新知识体系，培养学生大胆猜想、善于思考、归纳的数学思维品质和创新精神.整式的除法法则的运用.整式的除法法则的运用.多媒体课件.师生共同复习回顾：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m·a n=a m+n(m，n都是正整数).教师接着出示问题：一张数码照片的文件大小是28 KB，一个存储量为26 MB(1 MB=210 KB)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？学生先思考，再小组内讨论解决：移动存储器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位.移动存储器的容量为26×210=26 624(KB).所以它能存储这种数码照片的数量为(26 624÷28)张.教师：我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在整式的运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况.由于除法是乘法的逆运算，因此我们可以利用整式的乘法来理解和学习整式的除法.(板书课题)探究1：同底数幂的除法教师让学生解决以下问题：1.用你熟悉的方法计算.2.概括.在学生讨论、计算的基础上，教师提问：你们能发现什么？由学生回答，教师板书，发现：你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？3.分组讨论.各组选出一名代表来回答问题，师生达成共识，除法是乘法的逆运算，所以除法的问题实际上是“已知乘积和一个因数，去求另一个因数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘法问题加以解决，即：师生共同总结：一般地，我们有a m÷a n=a m-n，并且m≥n，m，n为正整数,即同底数幂相除，底数不变，指数相减.(教师板书)4.利用除法的意义说明这个法则的算理.让学生仿照问题的解决过程，讲清算理，并请几名学生代表回答，教师加以评析.5.让学生互相讨论.当m=n时，a m÷a n的结果是多少？能总结出什么规律？师生共同总结：当m=n时，a m÷a n=a m-m=a0=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.探究2：单项式除以单项式与多项式除以多项式教师引入：利用同底数幂的除法法则，我们可以计算单项式与单项式的除法，进一步探究多项式与单项式的除法，下面我们先来探讨单项式与单项式的除法.教师出示问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨.你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？学生思考后回答：这是除法运算，木星的质量约为地球质量的［(1.90×1024)÷(5.98×1021)］倍.接着教师让学生解决以下问题：1.计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，并说说你计算的根据是什么.2.你能利用1中的方法计算下列各式吗？3.你能根据2说说单项式除以单项式的运算法则吗？讨论结果展示：可以从两个思路考虑：(思路一)从乘法与除法互为逆运算的角度去考虑.1.我们可以想象 5.98×1021×( )=1.90×1024.根据单项式与单项式相乘的运算法则可以继续联想：所求单项式的系数乘5.98等于1.90，所以所求单项式的系数为1.90÷5.98≈0.318，所求单项式的幂值部分应包含1024÷1021，即103，由此可知5.98×1021×(0.318×103)≈1.90×1024.所以(1.90×1024)÷(5.98×1021)≈0.318×103.2.可以想象2a·( )=8a3，根据单项式与单项式相乘的运算法则，可以考虑：8÷2=4，a3÷a=a2，即2a·(4a2)=8a3.所以8a3÷2a=4a2.同样的道理可以得出所以(思路二)从除法的意义去考虑.上述两种算法有理有据，所以结果都正确.教师引导学生观察上述几个式子的运算过程，总结出它们的共同特征：(1)都是单项式除以单项式.(2)运算的结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在一个被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.(3)单项式相除是在同底数幂的除法的基础上进行的.教师出示教材P103例7：学生自主解答.教师：那么对于多项式除以单项式，同学们可仿照上述的探究过程，自己尝试.学生小组讨论.师生共同总结：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师出示教材P103例8：教师引导学生共同分析，教师板书(1)，请2名学生代表上台板演(2)(3).接着教师让学生完成教材P104练习第1，2，3题.(学生独立完成之后，教师点评)多项式除以单项式的结果仍然是多项式.第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.1 平方差公式【知识与技能】(1)经历探索平方差公式的过程.(2)会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的运算.【过程与方法】通过对平方差公式的探索、验证、应用，体会转化思想、数形结合思想等.【情感态度与价值观】积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心.平方差公式的推导和应用.理解平方差公式的结构特征，能灵活运用平方差公式.多媒体课件.教师引入：在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题:1. 21×19=？2. 103×97=？主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答：“第一题等于399，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出.同学们，你知道他是如何计算的吗?你想不想掌握他的简便、快速的运算方法呢？那么，学完本节课，我们就能知道他是如何计算的.(板书课题)探究：平方差公式教师提出：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律?(1)(x+1)(x-1)；(2)(m+2)(m-2)；(3)(2x+1)(2x-1).学生独立运算，然后分组讨论：教师引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不要急于概括.学生回答：上面几个算式都是形如(a+b)的多项式与形如(a-b)的多项式相乘.继续让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，教师请其中一个小组的代表举例.教师出示问题：计算(a+b)(a-b).让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式.教师点评并总结：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.(教师板书)语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫作(乘法的)平方差公式.教师引导学生归纳这个公式的一些特点，如公式左、右两边的结构，教给学生记忆公式的方法.教师出示教材P108例1：运用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).填表：对本例的第(1)小题，可以采用学生独立完成，然后抢答的形式；第(2)小题，可以采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算.完整的解答过程如下：教师出示教材P108例2：计算：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(2)102×98.此处仍先让学生独立思考，再自主发言，口述解题思路，允许他们进行算法的多样化，通过比较，优化算法，达到简便计算的目的.完整的解答过程如下：。

人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式分解》全章教案

人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式分解》全章教案第一篇：人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式分解》全章教案东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：第十四章整式的乘法与因式分解14.1.1 同底数幂的乘法教学目标1.理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算．2.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用．教学重、难点同底数幂的乘法运算法则及其应用.教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？（1）如何列出算式？（2）1015的意义是什么？（3）怎样根据乘方的意义进行计算？根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）2（2）a（3）535)⨯22=2(；)⋅a2=a(；)⨯5n=5(．m你能将上面发现的规律推导出来吗？=（14aa244⋅Λ⋅3a）（⋅14a⋅4a244⋅Λ⋅3a）am⋅an ⋅4m个an个a=a⋅4a ⋅Λ⋅3a 14244（m+n）个a m+ n教师板演: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：am×an＝am+n（m、n都是正整数）.二、知识应用，巩固提高=a am⋅an=am+n（m，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、四个…多个同底数幂相乘，结果会怎样？这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：am⋅an⋅Λ⋅ap=am+n+Λ+p（m，n，p都是正整数）．例1(教科书第96页)三、应用提高、拓展创新课本96页练习/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？五、布置作业：习题14.1第1（1）、（2）题教后反思：14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方教学目标1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据．2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算．3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法．教学重、难点幂的乘方与积的乘方的性质．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 有一个边长为a2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: 23（）（1）3）（=32⨯32⨯32=3；3（）（2）a2）（=a2⋅a2⋅a2=a；（a（3）m3（））=am⋅am⋅am=a（m是正整数）．在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：（am）n＝amn（m、n 都是正整数）．多重乘方可以重复运用上述法则：pmn⎡⎤ a）=amnp（⎣⎦二、知识应用，巩固提高计算（1）（102）3；（2）（b5）5；（3）（an）3；（4）－（x2）m；（5）（y2）3·y；（6）2（a2）6－（a3）4．问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：你能发现有何运算规律吗？能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？（n是正整数）/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．当n 是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质吗？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）幂的三个运算性质是什么？它们有什么区别和联系？五、布置作业：教材第102页第1、2题．教后反思：14.1.4整式的乘法(1)教学目标1．理解单项式乘法的法则，会用单项式乘法法则进行运算．2．经历单项式乘法法则的形成过程，发展学生的运算能力，体会类比思想．教学重、难点单项式的乘法法则的概括过程和运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?二、知识应用，巩固提高问题2 观察这三个算式有何共同的特点？请你用自己的语言概括单项式乘以单项式的法则.单项式乘以单项式的法则:单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：三、应用提高、拓展创新第99页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用单项式的乘法法则时，应该注意哪些问题？（3）结合探索单项式乘法法则的过程，你认为体现了哪些思想方法？五、布置作业：教科书习题14.1第3、9、10题．教后反思：14.1.4整式的乘法(2)教学目标1．理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式与多项式相乘的法则进行计算．2．理解算理，发展学生的运算能力和“几何直观”观念，体会转化、数形结合和程序化思想．教学重、难点单项式与多项式相乘的法则的运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法：（pa+b+c）pa+pb+pc你认为这两个代数式之间有着怎样的关系呢？二、知识应用，巩固提高请你用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则．单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.三、应用提高、拓展创新完成课本100页练习1、练习2/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）在运用单项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？（3）探索单项式与多项式相乘的法则的过程，体现了哪些思想方法？五、布置作业：教材第103页第4、7题教后反思：14.1.4整式的乘法(3)教学目标1．理解多项式与多项式相乘的法则，并能运用法则进行计算．2．理解算理，发展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想.教学重、难点多项式与多项式相乘的法则的概括与运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 已知某街心花园有一块长方形绿地，长为a m，宽为p m．则它的面积是多少？若将这块长方形绿地的长增加b m，则扩大后的绿地面积是多少？问题2 若将原长方形绿地的长增加b m、宽增加q m，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？不同的表示方法：二、知识应用，巩固提高根据上节课积累的探究经验，你能得到什么结论呢？（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.你认为在运用法则计算时，应该注意什么问题？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？三、应用提高、拓展创新教科书第102页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）在运用多项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？（3）举例说明在探索多项式与多项式相乘的法则的过程中，体现了哪些思想方法？五、布置作业：教材习题14.1第5、8题教后反思：14.1.4整式的除法(1)教学目标1．理解同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会应用法则计算．2．体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值；体会转化思想在单项式除法中的作用．教学重、难点探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会用它们进行运算．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 一种数码照片的文件大小是28 K，一个存储量为26 M（1 M=210 K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？二、知识应用，巩固提高问题2 填空：⨯（1）∵（）（）⨯（2）∵（）⋅（3）∵23=25 ∴25÷23=（）；103=107 ∴107÷103=（）；a3=a7 ∴a7÷a3=（）．问1 你在解决问题2时，用到了什么知识？你能叙述这一知识吗？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：问2 25÷23，107÷103，a7÷am 这三个算式属于哪种运算？你能概括一下它3们是怎样计算出来的吗？问3 你能用上述方法计算 a÷an吗？问4 你能用语言概括这一性质吗？同底数幂除法的性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减．思考与讨论为什么a≠0？问题3 当被除式的指数等于除式的指数时：（1）如果根据这条性质计算am÷an结果是多少？÷an结果是多少？（2）如果根据除法意义计算 am即任何不等于0的数的0次幂都等于1．三、应用提高、拓展创新例1 计算：474（xy）÷xy；a÷a；（1）（2）326（-y）÷y.（-x）÷（-x）；（3）（4）问题4 计算下列各题：423323228xy÷7xy；（1）（2）12abx÷3ab.例2 计算：（1）-8a22教科书104页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）探究同底数幂除法性质和单项式除法？（3）运用同底数幂除法性质和单项式除法的法则时，你认为应该注意什么？五、布置作业：教材习题14.1第6题（1）（2）（3）（4）．教后反思：12b÷6ab2；（2）（-12x8y6）÷（-x2y3）.2 7 / 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：14.1.4整式的除法(2)教学目标1．理解多项式除以单项式的法则．2．体会知识间的内在联系、互逆关系等逻辑关系在研究问题时的价值；体会类比和转化的数学思想在多项式除以单项式中的作用.教学重、难点探究多项式除以单项式的法则，会运用法则进行计算．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 请同学们观察下列算式，它是我们学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们上节课学习的算式有什么不一样的特点.⑴.（m+bm）÷m；-12x2+4x）÷4x.（8x⑵3你能尝试计算（1）吗？说说你是怎样算出来的？二、知识应用，巩固提高利用除法是乘法的逆运算，求（am +bm）÷m 的值，就是要求一个多项式，使它与m 的积是（am +bm）．你知道这个多项式是什么吗？完成引例：8x3-12x2+4x）÷4x（思考上述两个算式的运算，它们的相同之处是什么？通过以上两个例子，我们在计算一个多项式除以单项式时，是将它如何转化的呢？你能用字母的形式来表示吗？多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.或例1 计算：（6ab（1）+5a÷a）；22（15xy-10xy÷5xy）；（2）（8a（3）2-4ab）÷（-4a）；3（4）（12a-6a2+3a）÷3a.三、应用提高、拓展创新教科书104页练习3/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用多项式除以单项式法则计算的基本步骤是什么？应注意的地方是什么？（3）探究多项式除以单项式的方法是什么？五、布置作业：教材习题14.1第6（5）（6）题教后反思：14.2.1 乘法公式--平方差公式教学目标1．理解平方差公式，能运用公式进行计算．2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．教学重、难点平方差公式教学过程设计一、创设情境，激发兴趣在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）=；（2）=；（3）=．二、知识应用，巩固提高上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？你能将发现的规律用式子表示出来吗？你能对发现的规律进行推导吗？（a+b）（a-b）=a前面探究所得的式子2-b2为乘法的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：例1 运用平方差公式计算：（-x+2y）（-x-2y）（3x-2）（1）（3x+2）；（2）从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同，“第二个数”b 的符号相反；（4）公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多项式等；（5）不能忘记写公式中的“平方”．例2 计算：（-y+2）（-y-2）-（y-1）（y+5）（1）；（2）102×98．三、应用提高、拓展创新教科书108页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）平方差公式的结构特征是什么？（3）应用平方差公式时要注意什么五、布置作业：教科书习题14.2第1题．教后反思：14.2.2乘法公式--完全平方公式教学目标1．理解完全平方公式，能用公式进行计算．2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何直观观念．教学重、难点完全平方公式．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 计算下列各式:22（p+1）=______；（m+2）=______；（1）22（p-1）=______；（m-2）=______.（2）你能发现什么规律？二、知识应用，巩固提高问题2 你能用式子表示发现的规律吗？完全平方公式：问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．公式特点：（1）积为二次三项式；（2）积中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；（4）公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项式.问题4 能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？三、应用提高、拓展创新例1 运用完全平方公式计算：212（4m+n）（1）；（2）．（y-）2例2 运用完全平方公式计算：（1）102；（2）99．问题5 思考: 22（a+b）与（-a-b）相等吗？（1）22（a-b）与（b-a）相等吗？（2）（a-b）与 a（3）2222-b2相等吗？为什么？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：问题6 添括号法则去括号a+(b+c)= a+b+c；a－(b+c)= a－b－c．a+b+c =a+(b+c)；a-b-c = a-(b + c）．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）完全平方公式结构有什么特点？五、布置作业：教材习题14.2第2、4、6、7题．教后反思：14.3.1因式分解--提公因式法教学目标1．了解因式分解的概念．2．了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．教学重、难点运用提公因式法分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．请把下列多项式写成整式的乘积的形式：二、知识应用，巩固提高在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．你认为因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆变形关系．你能试着将多项式pa+pb+pc因式分解吗？（1）这个多项式有什么特点？（2）因式分解的依据是什么？（3）分解后的各因式与原多项式有何关系？一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：例1 把8a32b+12ab3c分解因式．通过对例1的解答，你有什么收获？（1）公因式是多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；（2）提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；（3）用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．ab+c）（-3b+c）例2 把2（分解因式．通过对例2的解答，你有什么收获？公因式可以是单项式，也可以是多项式.三、应用提高、拓展创新教科书115页练习1、2、3四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？（3）提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么？五、布置作业：教科书习题14.3第1、4（1）题．教后反思：14.3.2因式分解--公式法（1）教学目标1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．教学重、难点运用平方差公式来分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣你能将多项式y2-25与多项式x2-4分解因式吗？（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？（2）这两个多项式有什么共同的特点？（a-b）（a+b）=a（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式吗？二、知识应用，巩固提高你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现.2-b2来解决这个问题（a-b）=a把整式的乘法公式——平方差公式（a+b）13 / 152-b2反过来就得到因式分解的平方东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：差公式：（1）平方差公式的结构特征是什么？（2）两个平方项的符号有什么特点？适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．例1 分解因式：222（x+p）-（x+q）4x-9（1）；（2）．三、应用提高、拓展创新例2 分解因式：44x-y；a）ba-3abx-b-.ab.（1）y ；（2通过对例2的学习，你有什么收获？（1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；（2）对具体问题选准方法加以解决四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的平方差公式的结构特征是什么？（3）综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解时要注意什么？五、布置作业：教材习题14.3第2、4（2）题教后反思：14.3.2因式分解--公式法（2）教学目标1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解．2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．教学重、难点运用完全平方公式分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣你能将多项式a2+2ab+b2与多项式a2-2ab+b2分解因式吗？追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？追问2 这两个多项式有什么共同的特点？（a追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公式来解决这个问题吗？2±b）=a2±2ab+b14 / 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：二、知识应用，巩固提高你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现.把整式的乘法公式——完全平方公式（a的完全平方公式：我们把a22±b）=a2±2ab+b2反过来就得到因式分解+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．例1 分解因式：22216x+2416xx+9+ 24x+9-x+4 xy-x-4+y4xy-4y（1）；（2）．三、应用提高、拓展创新例2 分解因式：223ax+6axy+3ay +（a2+b）-12（a++36b）+3631ax（ab）-12（a+b）（）+6axy+3ay ；（2）．把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？五、布置作业：教材习题14.3第3、5（1）（3）题教后反思：/ 15第二篇：整式的乘法与因式分解复习教案《整式的乘法与因式分解》复习（一）教案教学目标：知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式情感态度与价值观：培养学生的独立思考能力和合作交流意识教学重点：记住公式及法则教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解教学方法与手段：讲练结合教学过程：一．本章知识梳理：幂的运算：(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法(3)幂的乘方(4)积的乘方整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式(3)多项式乘多项式(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式因式分解：(1)提公因式法(2)公式法二．合作探究：(1)化简：a3·a2b=.(2)计算：4x2+4x2=(3)计算：4x2·(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=三、当堂检测1．am=2，an=3则a2m+n =___________，am－2n =____________ 2．若A÷5ab2=－7ab2c3,则A=_________, 若4x2yz3÷B=－8x,则B=_________.2(ax+b)(x+2)=x-4，则ab=_________________.3．若4．若a-2+b2-2b+1=0，则a=a+，b＝5．已知11a2+2=3aa的值是.，则6．已知被除式是x3+2x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是（）A、x2+3x－1B、x2+2xC、x2－1D、x2－3x+1 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A.–3B.3C.0D.1 8.一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为（）A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm 9．下列各式是完全平方式的是（）2A、x2-x+14 B、1+x2 C、x+xy+12D、x+2x-110．下列多项式中，含有因式(y+1)的多项式是（y 2 - 2 y + 1）A.22222(y+1)-(y-1)(y+1)-(y-1)(y+1)+2(y+1)+1B.C.D.三.课堂小结：今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。

初中数学人教八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解因式分解教案

因式分解教材内容分析：因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。

在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。

教学目的：1、认知目的：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

教学重点：因式分解的步骤教学难点：因式分解的三种基本方法及其灵活应用教学过程：一．复习公式m(a+b+c)= ma+mb+mc=(a+b)(a-b)= a2-b2=(a+b)2= a2+2ab+b2=二．概括1．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

说明：①因式分解的对象是多项式；②分解的结果是整式乘积的形式；③因式分解与整式乘法是互为相反的过程，因此可以利用整式乘法检验因式分解的正确性。

2．把下列多项式分解因式，总结因式分解的方法：（1）3a+3b=(2)5x-5y+5z=(3)x2-4y2=(4)m2+6mn+9n2=①提公因式法：把多项式中的每一项都含有的相同的因式提出来，分解成两个因式的乘积的形式；②公式法：将乘法公式反过来用，写成因式相乘的形式。

三．应用举例，把下列多项式分解因式：(1)-5a2+25a (2)3(x-y)2+2(x-y)(3) x4-1 (4)16(x-y)2-9(x+y)2(5)(a+b)2-6(a+b)+9四．综合应用，把下列多项式分解因式：(1)4x3y-4x2y2+xy3(2)3x3-12xy2五．小结（提、套、查）1．各个因式要分解到不能再分解为止；（查）2．用整式乘法来检验因式分解结果的正确性；3．先观察各项是否有公因式，再考虑应用公式。

全新人教八年级数学上册第十四章：整式的乘法与因式分解教案

第十四章整式的乘法与因式分解课题：14.1.1同底数幂的乘法教学目标：理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律。

教学重点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。

教学难点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。

教学过程：一、回顾幂的相关知识：a n 的意义：a n 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，•n 是指数．二、导入新知：1．问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？2．学生分析：总次数=运算速度×时间3．得到结果：1012×103=121010)⨯⨯个(10×（10×10×10）=15101010)⨯⨯⨯个(10=1015．4．通过观察可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．5.观察式子：1012×103=1015，看底数和指数有什么变化？三、学生动手：1．计算下列各式：（1）25×22 （2）a 3·a 2 （3）5m ·5n （m 、n 都是正整数）2．得到结论：（1）特点：这三个式子都是底数相同的幂相乘．相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．3.a m ·a n 表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m ·a n =()a a a m 个a ·()a a a n 个a =a a a (m+n)个a=a m+n a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加四、学以致用：1.计算：（1）x 2·x 5 （2）a·a 6 （3）x m ·x 3m+12.计算：（1）2×24×23 （2） a m ·a n ·a p3.计算：（1）（-a ）2×a 6 （2）（-a ）2×a 4 （3）（-21）3×21 6 4.计算：（1）（a+b ）2×(a+b)4×[-(a+b)]7（2）（m-n ）3×(m-n)4×(n-m)7（3）a 2×a ×a 5+a 3×a 2×a 2五、小结：1.同底数幂的乘法的运算性质，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．2.注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m ·a n =a m+n （m 、n 是正整数）．六、作业课本96页练习1,2题课题：14.1.2幂的乘方教学目标：经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。

人教版八年级上册数学-14章《整式的乘法与因式分解》教案

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调多项式乘多项式和因式分解的三个方法（提公因式法、公式法、分组分解法）这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，如(x^2+5x+6)的因式分解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整式的乘法与因式分解相关的实际问题。
-公式法：运用平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
-分组分解法：将多项式分组，使组内项有公因式，然后分别提取公因式并分解。
2.教学难点
（1）整式乘法的运算过程：对于多项式乘多项式的运算，学生容易在分配律的运用、合并同类项等方面出现错误。
-举例：(x+2)(x+3)，学生可能会忽略括号展开时，将每一项分别相乘，导致运算错误。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式的乘法与因式分解的基本概念。整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，它是代数运算的基础，广泛应用于各种数学问题中。因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积，这个过程有助于简化复杂的表达式，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，我们要计算(x+2)(x+3)的结果。这个案例展示了整式乘法在实际中的应用，以及如何通过因式分解简化表达式。
2.逻辑推理：培养学生运用数学原理和逻辑思维进行整式乘法与因式分解的推理能力，增强解决问题的逻辑性。
3.数学建模：使学生能够运用整式的乘法与因式分解解决实际问题，建立数学模型，提高数学应用能力。
4.数学运算：训练学生熟练进行整式乘法与因式分解的运算，提高运算速度和准确性。
5.数据分析：培养学生通过整式乘法与因式分解对数据进行处理和分析，从数学角度发现问题的能力。

人教版八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解大单元教学设计

1.导入新课：通过实际生活中的例子，引出整式的乘法与因式分解的概念。
2.整式的乘法：讲解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，让学生通过练习熟练掌握。
3.因式分解：引导学生探索提公因式法、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法，并通过实例讲解和练习，让学生掌握这些方法。
4.应用拓展：设计具有挑战性的实际问题，让学生运用所学的整式乘法与因式分解知识解决问题，提高他们的数学应用能力。
6.定期进行课堂小结和单元测试，及时了解学生的学习进度和掌握情况。通过测试结果，分析学生的薄弱环节，针对性地进行教学调整。
7.结合信息技术，利用多媒体教学资源和网络平台，为学生提供丰富的学习资源和拓展练习。这样既可以满足不同学生的学习需求，又可以拓宽学生的知识视野。
8.培养学生自主学习的能力，鼓励他们在课后进行自主探索和实践。通过布置探究性作业，引导学生主动发现问题、解决问题。
3.引入新课：通过以上讨论，教师引导学生认识到整式乘法在解决实际问题中的重要性，进而导入新课——整式的乘法与因式分解。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，教师将详细讲解整式的乘法法则和因式分解方法。
1.整式的乘法法则：教师通过具体例子，讲解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，并引导学生观察规律，总结通用的乘法法则。
在此基础上，学生对数学学习的兴趣和积极性存在差异，部分学生对数学具有较强的兴趣，愿意主动探究和解决问题；而另一部分学生可能对数学学习抱有恐惧心理，缺乏信心。因此，在本章节的教学中，教师应关注学生的情感态度，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立自信心。
此外，学生在数学思维和解决问题的策略上也需要进一步培养。针对这些情况，教师应结合学生的实际情况，采用多样化的教学手段和策略，促进学生的全面发展。

八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》因式分解与提取公因式法教案 (新版)新人教版-(新版

b c),其中，一个因式是公因式 m，另一个因式（a＋b＋c）是 ma ＋mb＋mc 除以 m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例 3.把（1）2a2b－4ab2 (2)8a3b2＋12ab3c 分解因式三、课堂训练 1．基础练习：
让学生明白如何正确应用提公因式的方法和操作程序。
1．计算：教（学1）程计序算及下教列学各内式容： ①3x（x－1）=__________; ②（m+4）（m－4）=__________; ③m（a+b+c）=__________; ④（y－3）2=__________; （2）根据上面的算式填空： ①3x2－3x=（）（）; ②m2－16=（）（）; ③ma+mb+mc=（）（）; ④y2－6y+9=（）2.
部分学生回答，完
成后，师生纠错。 2.定义--因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
要在学生充分
种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。
理解化成整式
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。
的积的形式的
二.提公因式法.
让学生体验：基础上进行探
ma+mb+mc=m(a+b+c 究，要注意突出
多项式 ma＋mb＋mc 中，各项都有一个公共的因式 m，称为该多项
)从左到右是怎样写成整式的积
式的公因式。
得到的，你能对的形式的具体
一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公
ax+2ay 进行类似的含义，使学生联
因式。
变形吗?
想到可以运用

人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式展开》全章教案

人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式展开》全章教案
一、教学目标
1. 理解整式的乘法法则；
2. 掌握整式的乘法运算；
3. 熟练运用分配律进行整式的乘法；
4. 掌握因式展开的基本方法；
5. 运用因式展开解决实际问题。

二、教学重点
1. 整式的乘法法则；
2. 分配律的运用；
3. 因式展开的基本方法。

三、教学难点
1. 掌握因式展开的基本方法；
2. 运用因式展开解决实际问题。

四、教学过程
第一节整式的乘法法则
1. 教师通过示例向学生介绍整式的乘法法则；
2. 学生进行课堂练，巩固乘法法则的掌握程度。

第二节整式的乘法运算
1. 教师讲解整式的乘法运算步骤；
2. 学生进行练，加深对整式乘法运算的理解。

第三节分配律的运用
1. 教师解释分配律的概念和运用方法；
2. 学生通过练，在实际问题中灵活运用分配律。

第四节因式展开的基本方法
1. 教师介绍因式展开的基本方法；
2. 学生进行因式展开的练，提升解题能力。

第五节因式展开解决实际问题
1. 教师引导学生通过因式展开解决实际问题的例子；
2. 学生在小组活动中解决相关实际问题。

五、教学评价
教师通过课堂练、小组活动以及个人表现等方式，对学生的乘法和因式展开的掌握情况进行评价。

六、教学延伸
1. 布置相关练作业，巩固学生的知识；
2. 鼓励学生进行更多的因式展开实践，提高解题能力。

七、教学反思
本课通过引导学生掌握整式的乘法法则、分配律的运用以及因式展开的基本方法，提高了学生的数学运算能力和解决实际问题的能力。

八年级数学上人教版《整式的乘除与因式分解》教案

《整式的乘除与因式分解》教案一、教学目标：1.掌握整式的乘除运算，会进行简单的因式分解。

2.理解因式分解的意义，掌握因式分解的方法。

3.能够正确地进行整式的乘除运算和因式分解，培养分析和解决问题的能力。

二、教学重点：1.整式的乘除运算。

2.因式分解的方法。

三、教学难点：1.正确地进行整式的乘除运算。

2.掌握因式分解的方法。

四、教学准备：教师准备多媒体课件、小黑板；学生准备计算器、纸张等。

五、教学过程：1.导入新课：回顾整式的加减运算，引出整式的乘除和因式分解的概念。

2.新课学习：a. 整式的乘除运算：通过具体实例，让学生理解整式的乘除运算方法，并能够正确地进行计算。

同时，让学生掌握公式的应用和简化计算的方法。

b. 因式分解：通过具体实例，让学生理解因式分解的意义和作用，并掌握因式分解的基本方法。

同时，让学生了解因式分解在实际问题中的应用。

3.课堂练习：通过练习题，让学生巩固所学知识，加深对整式的乘除运算和因式分解的理解。

4.归纳小结：总结整式的乘除运算和因式分解的方法和注意事项，帮助学生建立完整的知识体系。

5.布置作业：根据学生的实际情况，布置适当的课后练习题，并要求学生在规定的时间内完成。

同时可以安排一些拓展性的任务，如让学生自己设计一个与整式的乘除和因式分解相关的小课题等。

6.教学反思：根据学生的学习情况，对教学方法和过程进行反思和总结，发现问题并及时改进。

同时可以引导学生思考整式的乘除和因式分解在现实生活中的应用和价值，培养学生的数学应用意识。

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初中数学人教版八年级上册实用资料第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。