北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13

3．2基本不等式与最大(小)值

●三维目标

1．知识与技能

会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．

通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．

3．情感、态度与价值观

通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．

●重点难点

重点：用基本不等式解决简单的最值问题．

难点：用基本不等式求最值的使用条件．

●教学建议

在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．

●教学流程

创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0

(对应学生用书第59页)

已知函数f(x)＝x(1－x)(0

【提示】最大值；能．

∵00，

又∵a＋b

2≥ab，∴ab≤(

a＋b

2)

2，

∴x(1－x)≤(x＋1－x

2)

2＝

1

4，

当且仅当x＝1－x，即x＝1

2时，f(x)有最大值

1

4.

已知x、y都是正数

(对应学生用书第59页)

(1)已知x >0，求函数y ＝x x 的最小值；

(2)已知0

3，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．

【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋b

x 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．

【自主解答】 (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋

4

x ＋5≥24＋5＝9， 当且仅当x ＝4

x 即x ＝2时等号成立． 故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.

(2)法一 ∵0

3，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝1

3·3x (1－3x )≤

13[3x ＋（1－3x ）2

]2＝1

12.

当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝1

6时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值1

12.

法二∵0

3，∴

1

3－x>0.

∴y＝x(1－3x)＝3·x(1

3－x)≤3·(

x＋

1

3－x

2)

2

＝1 12，

当且仅当x＝1

3－x，即x＝

1

6时，等号成立．

∴当x＝1

6时，函数取得最大值

1

12.

1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．

2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．

已知x＜5

4，求函数y＝4x－2＋

1

4x－5

的最大值．

【解】∵x＜5

4，∴5－4x＞0，

∴y＝4x－2＋

1

4x－5

＝4x－5＋

1

4x－5

＋3

＝－[(5－4x)＋

1

5－4x

]＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝

1

5－4x

即x＝1时等号成立，

∴当x＝1时，y max＝1.

已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1

a＋

1

b的最小值．

【思路探究】思路一：利用“1”的整体代换求解：即把1

a＋

1

b看作⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

a＋

1

b×1

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ＋1b ×(a ＋2b )，化简后利用基本不等式求解． 思路二：将式子1a ＋1

b 中的1用a ＋2b 代换后，利用基本不等式求解． 【自主解答】 法一 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＋1b ·1

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a

b ≥3＋22b a ·a

b

＝3＋22，

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝

a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时等号成立．

∴1a ＋1

b 的最小值为3＋2 2.

法二 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a

b ＋2 ＝3＋2b a ＋a

b ≥3＋22，

当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝

a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时，等号成立，

∴1a ＋1

b 的最小值为3＋2 2.

1．本题在解答中要注意使1a ＋1

b 取最小值所对应a 、b 的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．

本例中，如何求ab 的最大值？

【解】 法一 ab ＝12a ·(2b )≤12·⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋2b 22＝1

8，