对角矩阵的交换律条件

矩阵可逆的条件

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矩阵秩的计算方法
• 矩阵秩的计算可以通过高斯消元法、初等变换等方法进行 • 计算矩阵秩时，可以先将矩阵A化简为行阶梯形式或行最简形式
矩阵秩的应用
• 矩阵秩在解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等方面具有重要作用 • 矩阵秩还可以用于判断矩阵的性质，如线性无关性、秩相等性等
05
线性方程组的解与矩阵可逆性
矩阵可逆条件的探讨
CREATE TOGETHER
DOCS
01
矩阵的基本概念及性质
矩阵的定义与类型
矩阵的定义
• 矩阵是一个线性方程组的系数和常数项组成的数组 • 矩阵中的每个元素都是一个数
矩阵的类型
• 数值矩阵：矩阵中的元素都是数值 • 符号矩阵：矩阵中的元素都是符号 • 对角矩阵：矩阵中对角线上的元素相等，其余元素都为零 • 单位矩阵：主对角线元素为1，其余元素为0的方阵 • 零矩阵：所有元素都为0的方阵
矩阵的基本性质
矩阵的加法
• 交换律：A+B=B+A • 结合律： (A+B)+C=A+(B+C) • 数乘律： k(A+B)=kA+kB
矩阵的减法
• 交换律：A-B=B-A • 结合律：(A-B)-C=A(B+C) • 数乘律：k(A-B)=kA-kB
矩阵的乘法
• 不满足交换律：AB≠BA • 结合律：(AB)C=A(BC) • 数乘律：k(AB)=kA(B)
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
• 矩阵A可逆时，线性方程组有唯一解 • 矩阵A不可逆时，线性方程组无解或无穷多解
线性方程组解的计算与矩阵可逆性的判断

对角化原理

对角化原理
对角化原理是线性代数中的一个重要概念，它涉及到将一个矩阵转换为对角矩阵的过程。

通过对角化，我们能够将一个复杂的矩阵问题简化，从而更容易地解决相关问题。

对角化原理的基本思想是将一个矩阵相似于一个对角矩阵。

对角矩阵是一个除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的特征向量和对应的特征值。

为了将对角化原理应用于实际问题，我们需要找到一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。

这个过程称为矩阵的对角化。

如果存在这样的可逆矩阵P，那么称矩阵A是可对角化的。

矩阵可对角化的条件是其所有特征值都是非零的，且每个特征值对应一个线性无关的特征向量。

如果这些条件满足，则存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是对角矩阵。

对角化原理的应用非常广泛，包括数值分析、信号处理、图像处理、控制系统等领域。

例如，在信号处理中，对角化可以用于将信号分解为一组正交的基函数，从而更好地理解和分析信号的特性。

在控制系统理论中，对角化可以用于分析系统的稳定性和性能。

总之，对角化原理是一种重要的数学工具，它可以简化复杂矩阵问题，并将其分解为一组简单的特征向量和特征值。

通过将对角化原理应用于实际问题，我们可以更好地理解和分析相关问题的特性，从而为实际应用提供更好的解决方案。

矩阵乘法交换律成立条件

矩阵乘法交换律成立条件矩阵乘法交换律是初等线性代数中的一个重要概念，它指的是两个矩阵相乘的结果不受乘法顺序的影响。

也就是说，对于任意两个矩阵A和B，有AB=BA成立。

然而，这个结论并不是一般成立的，而是需要满足一定的条件才能够成立。

本文将从几何意义、矩阵乘法的定义以及矩阵乘法的性质三个方面来探讨矩阵乘法交换律成立的条件。

一、几何意义矩阵乘法可以看作是一种线性变换，它将一个向量映射到另一个向量。

因此，要理解矩阵乘法交换律成立的条件，我们可以从几何意义入手。

考虑两个矩阵A和B的乘积AB，它的几何意义是将B中的列向量进行线性变换，得到一个新的列向量，而这个列向量的系数就是A 的行向量。

同样地，BA的几何意义是将A中的列向量进行线性变换，得到一个新的列向量，而这个列向量的系数就是B的行向量。

因此，当AB=BA时，表示A和B对于向量的线性变换结果是相同的，也就是说，它们的几何效果是一样的。

如果我们将A和B看作是两个几何变换，那么它们的几何效果相同，就说明这两个变换可以交换顺序。

二、矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义是：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

根据矩阵乘法的定义，我们可以得到矩阵乘法交换律成立的条件：当且仅当A和B的列向量线性无关时，才有AB=BA成立。

这个结论可以通过矩阵乘法的定义进行证明。

假设A和B的列向量线性无关，那么我们可以将AB和BA分别表示为：AB = [A1 A2 ... An] [B1 B2 ... Bn] = A1B1 + A2B2 + ... + AnBnBA = [B1 B2 ... Bn] [A1 A2 ... An] = B1A1 + B2A2 + ... + BnAn其中，A1、A2、...、An分别是A的列向量，B1、B2、...、Bn分别是B的列向量。

线性代数中的矩阵的特殊类型与性质

线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。

本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。

一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。

对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。

对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。

2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。

逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。

3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。

二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。

下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。

上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。

2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。

3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。

三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。

也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。

对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。

2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。

3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。

四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。

交换矩阵

A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。（3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ；证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ，从而 AB BA 2AB 即 AB BA；必要性：若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ，必要性得证。定理 7： (AB) AB ；证明：充分性由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，

矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

矩阵可交换成立的条件与性质

长春师范学院本科生毕业论文矩阵可交换成立的条件与性质系（部）：数学系专业：数学与应用数学学号：0707140305学生姓名：史丹指导教师：魏丽莉职称：副教授2010年12月摘要摘要：矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义。

众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠BA。

但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律。

可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。

本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵。

关键词：矩阵；可交换；条件；性质；上3角矩阵TheConditionsForTheCommutationofMatrixandsomeproper tiesofTheCommutativeMatrixAbstract：Matrix, a important content inaltitude-mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, AB≠BA . Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effection. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.Key Words：Matrix;interchangeable;conditions;property;upper triangular matrix目录前言 (1)1.矩阵可交换成立的条件 (2)2.可交换矩阵的性质 (6)3.几类常用的可交换矩阵 (8)4.可交换矩阵的应用 10 总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)前言矩阵的乘法不适合交换律是指一般情形而说的,但是对于个别矩阵,它满足一定的条件,即它是可交换的。

矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆

转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操作，如交换两行、将某一行乘以非零常数或加到另一行等，使得矩阵变为另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的对角线元素不变，非对角线元素互换。

线性代数(同济六版)知识点总结

1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12a 21a 22|= a 11a 22 −a 12a 212. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。

所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。

偶排列：逆序数为偶数的排列。

n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列，t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。

D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论：两行（列）相同的行列式值为零。

互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。

第i 行乘k ：r i x k 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。

如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。

如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n n n j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=n n n j n j n in 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a+++n nn j n i n 12n2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =7. 重要性质：利用行列式的性质 r i +kr j 或 c i +kc j ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶行列式的值。

(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。

但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB BA.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an importantcontent inaltitude-mathematics,it has agreattheoretic significanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunderthenormal condition,thatis tosay,normally, AB BA.Whereas, insomecertainconditions, the multiplication of matrix couldsatisfy the exchange rule. Theexchangeable matrixhasmanyspecial properties and important effections. This paperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyof theexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrix.All of thesearediscussed from the conceptof exchangeable matrix and relativeinformation.KeyWords：matrix interchangeable conditions property upper triangularmatrix目录引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 一可交换矩阵及相关定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1(一)矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1(二)可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 二可交换矩阵成立的条件与性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3(一)可交换矩阵成立的条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3(二)相关结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5(三)可交换矩阵的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 三几类常用的可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 四可交换矩阵的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 五总结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由m n个数a ij i1,2,,m,j1,2, ,n 排成的m行n列的数表a11 a12a1na21 a22 a2nA1a n1 a n2a nn称为m行n列矩阵，简称m n矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为A a ij或A mn．这里的a ij表示位于A的第i行第j列的元素.m n称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O.两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算1加减法设Aa ij mn,Bbij mn为同型矩阵，则A B a ij b ij mn 2这里若设B为B的负矩阵，即 B bij m n，则可以定义减法运算A B a ijb ij mn 32数与矩阵的乘积设A a ijmn,kR为实数，则kA称为矩阵A的数乘，且kAka ijmn 4 即给A的每个元素均乘以数k.3矩阵的乘积设A aijm5,B bij5n，则ABCc ijmn 5 称c为矩阵A与矩阵B的乘积.其中c ij a i1b1j a i2b2j a i5b5j i 1,2, ,m;j 1,2, ,n即C的第i行第j列元素为A的第i行各元素与B的第j列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A的行数与B的列数相等时，A与B才能相乘．4对称矩阵在一个n阶方阵A中，若元素满足如下性质：A ij A ji,0i,jn1 6 则称A为对称矩阵.5反对称矩阵设A是一个n阶方阵，如果A T A 7 则称A为反对称矩阵.㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点： 1. AB 有意义时，BA 不一定有意义.2. AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现 ABBA.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵A,B 满足：ABBA8则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若AB BA 成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设fxa m x ma m1x m1a 1x 1a 09 系数a 0,a 1, ,a m 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记faaA mam1 A m1aAa Em1 0容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵 A *是可交换的，且二者的乘积为 AIn;对于任何方阵A ，fx a A PaA P1a p I 与gAbA qb A q1 bI 可交换. 011 q (一)可交换矩阵成立的条件定理1[1]设n 阶方阵A,B 满足条件A BAB.则A,B 可交换. 证明由条件A BAB,diage 1,e nI ，变形可得I AIBAB(AI)B(IA)(AI)(B I)即(A I)(B I) I ，所以A I 为可逆矩阵，其逆矩阵为 BI ，有(AI)(BI) (BI)(AI)I即ABABI BABAI ，从而可得AB BA.定理2[3]设A,B 均为对称矩阵，则A,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明设A,B 均为对称矩阵，由于AB BA ，故AB TB T A TBAAB 所以AB 是对称的.推论设A为n阶对称矩阵，则A,A T都可交换.定理3[3]设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.证明设A T A，B T B,由于AB BA,所以AB T B T A T BA AB 10所以AB为反对称矩阵.反之，若AB为反对称矩阵,则AB AB T B T A T BA11 从而ABBA.定理4[3]设A,B均为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．证明因A,B均为反对称矩阵，故有A T A，B T B，又因为A,B可交换，故有ABBA成立.从而AB T B T A T B A AB BA 12 反之，若AB为对称矩阵，则AB AB T B T A T B A BA AB 13 所以A,B是可交换矩阵.定理５[3]若A,B为同阶可逆矩阵，则A,B可交换的充要条件是A1,B 1可交换.证明因AB BA,故有AB1BA1B1A1A1B 114 即A1与B1是可交换的.反之，因A 1，B1可交换，故有BA1A1B1B1A1AB 115 两边求逆得到ABBA.推论可逆矩阵A,B可交换的充要条件是AB1B1A1.定理6[3]若A,B为n阶方阵，则AB可交换的条件是AB T A T B T证明如果ABBA，那么AB T BA T A T B T精品文档精品文档定理7[5]矩阵A能与一切n阶矩阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵.证明若A与一切n阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A必为一对角线矩阵.设d1d2A ..d n取矩阵1 1 . . 10 0 . . 0B . . . . 0. . . . .0 0 . . 0代入条件AB BA,得d1d2d n，所以A是一个数量矩阵.反之，设A aI,B为任意n阶矩阵，则AB aIB aB Ba BIa BIa BA 16引理1(1)A0时（即A为零矩阵时），与A可交换得矩阵B可以是任意的与A同价的B矩阵.(2)A的幂矩阵总是与A可交换.定理8[7]与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n1次的多项式矩阵.定理9[7]一个矩阵A化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A可交换的矩阵其充要条件为B可化为A的n1次多项式.定理10[7]下列均是A,B可交换的充要条件:(1)A B ABABABAB(2)AB'A'B'定理11[5]可逆矩阵A,B可交换的充要条件是：ABAB．定理12[7](1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．(2)设A,B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7]设A,B是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)A2B2 A B A B A B A B(2)AB(3)AB 2A 2 2AB B22A 2 2AB B2精品文档(4) AB K B K A K,AB m B m A，其中k,m分别为正整数A mB m ABA m1A m2B B m1B m m(5) A C m k A mk B kk0证明(1) 因为A B A B A2AB BA B2A B A B A2AB BA B2由已知AB BA，可得A2B2ABAB ABAB(2) A B2ABA B A2ABBAB2由已知AB BA，可得A B2A22AB B2同理可得：A B2A22AB B2(3)由已知ABBA,可得AB k ABAB AB AABB AB AA AB B A k B k,AB m ABB B BAB B BB BA B m A(4)运用数学归纳法①当m 2时，由（1）等式成立，即A2B2 A B A B②假设m k 1时，等式成立，即有A k1B k1AB A k2 A k3BB k2③当m k时，由已知AB BA，有A kB k A k1B k1ABA k1B B k1AABA k2A k3B B k2ABA k2BB k1AA k A k1B A2B k2 B2A k2 B3A k3 B3A k1BB k1A由性质有B k1AAB k1，A k1BBA k1因此，上式可转化为：A kB k A k A k1B A2B k2 B2A k2 B k A k1BB k1AA k A k1B A2B k2 AB k1BA k1-B2A k2 B3A k3 B k 精品文档ABA k1A k2B B k1A k1ABA k2BAB B k1AB即证得A mB m A BA m1A m2B B m1同理可证得A mB m A m1A m2B B m1 A B(5)对m用数学归纳法同（4）即可得证.(三)可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.[2]性质1 设A,B可交换,则有:(1)ABBA,BAAB,其中m,k都是正整数(2)AfBfBA,其中fB是B的多项式,即A与B的多项式可交换(3) A BA BAAB？B AAB?BABB m m(4) A C m k A m1B kk0性质2[4](矩阵二项式定理) 设A,B可交换,则有：(1)若A,B均为对合矩阵,则AB也为对合矩阵(2)若A,B均为幂等矩阵,则AB,A B AB也为幂等矩阵(3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵(4)若A,B均为幂零矩阵,则AB,A B均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n阶实方阵，定理14[7]（1）设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换(2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换(3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换(4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换(5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换精品文档(6)设A*是A的伴随矩阵,则A*与A可交换(7)设A可逆,则A与A可交换(8) 设AB E,则A,B可交换.定理15[7](1) 设AB AB,其中, 为非零实数,则A,B可交换(2) 设Am ABE,其中m为正整数, 为非零实数,则A,B可交换.定理16[7](1) 设A可逆,若ABO或A AB或A BA,则A,B可交换(2) 设A,B均可逆,若对任意实数ｋ,均有AA kEB,则A,B可交换.四、可交换矩阵的应用例1设A与所有的n阶矩阵均可交换，证明A一定是数量矩阵.证明记a ijnn，用E ij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的n n矩阵.因A与任何矩阵均可交换，因此必与E ij可交换.由AE ij E ij A,得a ii a jj i,j 1,2, ,n及a ij0i j,i,j 1,2, ,n.故A是数量矩阵.例2与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解不妨设B为可逆矩阵，由于AB BA，所以对于任意可逆阵B都有B 1AB A即A的任意线性变换仍是A自己，这样的矩阵只能是KI．例3 如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换，则A一定是数量矩阵，即 A aE．证明记A ij用E ij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A与任何矩阵均可交换，所以必与E可交换.由AE ij E ij A得a ji a ij（i j 1,2,3, n 及a ij0i不等于j）故A是数量矩阵．例4若矩阵A1,A2都与B可交换，则KA1 LA2,A1A2也都与B可交换.解由已知A1B BA1，A2B BA2，那么KA1LA2B KA1B LA2B BKA1 BLA2 BKA1 LA2A1A2B A1A2B A1BA2A1BA2BA1A2．精品文档例 5 A与B可交换（即AB BA)的充分必要条件是AB为对称矩阵（即AB T AB）．解题目根本就是错的，A取单位阵，B取任意非对称阵，那么AB非对称但ABBA．一定要加一个条件A和B本身都是对称阵才有结论.若ABBA，则AB T BA T A T B T AB.反之，若AB T AB，则AB B T A T BA．例6设A,B为乘积可交换的n阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n阶可逆矩阵P,使得都为对角矩阵.证明在V中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为A,B,且A,B 与对角形相似.例7所有与A可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如A B2A22AB B2A和B可交换.A B AB A2B2A和B可交换.A和B 可交换(不是!)有二项公式.例8(1)设矩阵A diaga1,a2, ,a n为对角矩阵，其中ij 时，a i a j i,j1,2, ,n,则A,B可交换的充要条件是B为对角矩阵.若A,B均为对角矩阵则，A,B可交换．若B与A diaga1,a2,,a n可交换，i不等于j 时，a i a j，（i,j 1,2,n），证明设Bb ijnn,AB C ij nn,BA d ij n n，因为A为对角矩阵，故c ij a i b ij,d ij a j b ij i,j 1,2,,n由AB BA,即c ij d ij i,j 1,2,,n得a i a jb ij 0而i j时，a i a j0i,j 1,2, ,n,精品文档故b ij0i j,i,j 1,2, ,n所以B为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[2]. 戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].李瑞娟、张厚超，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C的显式解及其应用》，2002致谢本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨精品文档向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表!课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.精品文档。

对角矩阵相似的条件

对角矩阵相似的条件对角矩阵是一种特殊的方阵，其非对角元素全为零，对角元素可以是任意实数或复数。

本文将从几个角度探讨对角矩阵相似的条件。

一、相似矩阵的定义相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，它指的是具有相同特征值的矩阵。

设A和B是两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B成立，就称A和B相似。

二、对角矩阵的性质对角矩阵具有以下几个重要性质：1. 对角矩阵的特征值即为其对角线上的元素。

2. 对角矩阵的特征向量即为标准基向量的线性组合。

3. 对角矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积。

4. 对角矩阵的幂等于将对角线上的元素分别进行幂运算后再组成对角矩阵。

对角矩阵相似的重要条件是具有相同的特征值。

由于对角矩阵的特征值即为其对角线上的元素，所以两个对角矩阵相似的必要条件是它们的对角线元素相同。

四、证明两个对角矩阵相似的充分条件设A和B分别是两个n阶对角矩阵，它们的对角线元素分别为a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b_n。

要证明A和B相似，需要证明它们的特征多项式和最小多项式相同。

设特征多项式和最小多项式分别为f_A(x), f_B(x)和m_A(x), m_B(x)，则有：f_A(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)f_B(x) = (x-b_1)(x-b_2)...(x-b_n)m_A(x) = (x-a_1)^{k_1}(x-a_2)^{k_2}...(x-a_n)^{k_n}m_B(x) = (x-b_1)^{k_1}(x-b_2)^{k_2}...(x-b_n)^{k_n}其中k_i是正整数，表示特征值a_i的重数。

由于A和B是对角矩阵，其特征多项式和最小多项式可以直接由对角线元素得出。

可知f_A(x) = f_B(x)和m_A(x) = m_B(x)，即A和B的特征多项式和最小多项式相同，所以它们相似。

五、对角矩阵相似的应用对角矩阵相似的性质在线性代数和矩阵论中有广泛的应用。

矩阵的交换律

矩阵的交换律矩阵的交换律在线性代数中是一个非常基本的性质，是指两个矩阵在相乘的时候可以交换位置而不影响乘积的结果。

具体来说，对于任意两个矩阵A和B，都有AB=BA。

为什么矩阵的交换律成立？要理解矩阵的交换律成立的原因，需要先了解矩阵乘法的本质。

矩阵乘法是一种定义在向量空间上的运算，它的本质是将一个向量通过一个线性变换映射到另一个向量空间中。

矩阵A与矩阵B相乘，实际上是将矩阵B作为变换矩阵，对矩阵A中的每一列向量进行变换，得到新的矩阵C。

由于矩阵乘法的本质是向量空间中的线性变换，而线性变换有一个非常显然的性质——线性性。

具体来说，一个线性变换在加法和数乘运算下满足：1.对于任意向量v，f(v+w)=f(v)+f(w)；2.对于任意向量v和标量k，f(kv)=kf(v)。

这个性质可以被等价地表述为：1.线性变换将向量的线性组合映射到其线性组合的和上；2.线性变换将标量倍数和向量的映射次序进行保持不变。

我们再来看矩阵的乘法。

对于两个矩阵A和B相乘的结果C，假设A有m行n列，B有n行p列，则有：Cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj可以发现这个式子具有线性性质，即Cij的值是aikbkj的线性组合。

因此，矩阵乘法实际上是把B看成了一个线性变换，将A中的各列向量映射到新的向量C中。

既然矩阵乘法是一个线性变换，那么两个矩阵是否具有交换律就取决于它们对应的变换是否具有交换律了。

如果两个变换是可交换的，那么它们所对应的矩阵也具有交换律。

对于线性变换的交换律，我们可以通过证明它们对矩阵的乘法是否具有交换律来证明。

假设有两个线性变换f和g，分别对应两个矩阵A和B，那么它们的相乘结果可以表示为：fg(x)=f(g(x))，其中x是一个向量。

换句话说，先进行g变换再进行f变换，等价于先进行f变换再进行g变换。

这告诉我们，如果f和g是可交换的，它们对应的矩阵A 和B也是可交换的。

因此，我们可以得出结论：只要两个矩阵对应的线性变换是可交换的，这两个矩阵就满足乘法交换律。

线性代数(同济六版)知识点总结

个
2.矩阵的秩：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)。零矩阵的秩等于 0。
常用：
1）对于 n 阶方阵 A，R(A)=n(称 A 满秩)?
?A 可逆
2）若，则 R(A)=R(B) 3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数
第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 2.向量组：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 3.给定向量组 A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数 k1,k2,…,km，表达式
k1a1+k2a2+…+kmam 称为向量组 A 的一个线性组合。k1,k2,…,km 称为这个线性组合的系数． 4.给定向量组 A：a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm，使得
：即对矩阵(A,B)进行初等行变换，当 A 变成 E 时，B 就变成了所求的
二、矩阵的秩
1.k 阶子式：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
5.伴随矩阵：其中是的代数余子式， A* 称为 A 的伴随矩阵。（特别注意符号）
A11 A21
An1
6.逆矩A阵：B对为于A A的n1阶逆2 方矩阵阵A，A22，记如为果有 n。A阶且n方2A阵的B逆，注矩使阵意得的是：第A唯B元=j一B素A行的=E第。，的则i代列称数（A 余可类逆子似，式于转置是）位于

矩阵可以交换顺序的条件

矩阵可以交换顺序的条件矩阵是线性代数中的重要概念之一，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也在计算机科学、物理学以及工程学等领域中扮演着重要的角色。

在矩阵运算中，有时候可以对矩阵的顺序进行交换，这样可以简化计算过程，提高效率。

本文将介绍一些矩阵可以交换顺序的条件。

在介绍矩阵可以交换顺序的条件之前，我们先来了解一下什么是矩阵。

矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，它由m行n列的元素所组成。

矩阵中的每个元素可以是实数、复数或其他代数元素。

我们常用大写字母来表示矩阵，如A、B等。

矩阵的顺序交换是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应交换，从而形成一个新的矩阵。

在进行顺序交换之前，需要满足一定的条件。

下面是一些常见的条件：1. 矩阵的维度要相同：只有当两个矩阵的维度相同，即行数和列数都相等时，才能进行顺序交换。

例如，一个3行2列的矩阵只能与一个2行3列的矩阵进行顺序交换。

2. 矩阵的元素类型要一致：在进行顺序交换时，两个矩阵的元素类型要一致，即实数矩阵只能与实数矩阵进行顺序交换，复数矩阵只能与复数矩阵进行顺序交换。

3. 矩阵的元素个数要相同：两个矩阵的元素个数要相同，即行数乘以列数要相等。

只有在元素个数相同的情况下，才能进行顺序交换。

4. 矩阵的顺序交换满足结合律：矩阵的顺序交换满足结合律，即(A*B)*C = A*(B*C)。

这意味着，当需要对多个矩阵进行顺序交换时，可以先对其中两个矩阵进行顺序交换，然后再将结果与第三个矩阵进行顺序交换，其结果与先将第二个和第三个矩阵进行顺序交换，然后再将结果与第一个矩阵进行顺序交换是相同的。

矩阵的顺序交换在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在图像处理中，可以将一幅图像表示为一个矩阵，通过对矩阵的顺序交换，可以实现图像的旋转、缩放等操作。

在矩阵乘法中，矩阵的顺序交换可以简化计算过程，提高计算效率。

此外，在机器学习和人工智能领域，矩阵的顺序交换也被广泛应用于矩阵分解、聚类分析等算法中。

矩阵可交换成立的条件与性质

长春师范学院本科生毕业论文矩阵可交换成立的条件与性质系（部）：数学系专业：数学与应用数学学号：0707140305学生姓名：史丹指导教师：魏丽莉职称：副教授2010年12月摘要摘要：矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义。

众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠BA。

但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律。

可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。

本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵。

关键词：矩阵；可交换；条件；性质；上3角矩阵TheConditionsForTheCommutationofMatrixandsomeproper tiesofTheCommutativeMatrixAbstract：Matrix, a important content inaltitude-mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, AB≠BA . Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effection. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.Key Words：Matrix;interchangeable;conditions;property;upper triangular matrix目录前言 (1)1.矩阵可交换成立的条件 (2)2.可交换矩阵的性质 (6)3.几类常用的可交换矩阵 (8)4.可交换矩阵的应用 10 总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)前言矩阵的乘法不适合交换律是指一般情形而说的,但是对于个别矩阵,它满足一定的条件,即它是可交换的。

矩阵可交换的条件及其性质

中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。

与对角矩阵相似的条件

与对角矩阵相似的条件
对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角线元素都为零。

与对角矩阵相似的矩阵有很多，其中一些条件如下：
1.具有相同的特征值
如果两个矩阵A和B具有相同的特征值，那么它们就可以相似。

这是因为如果特征值相同，那么它们的特征向量也相同，而特征向量是相似变换下不变的。

2.存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B
如果两个矩阵A和B可以通过一个可逆矩阵P相似，那么它们就满足该条件。

3.对角矩阵可通过初等矩阵变换得到
如果一个矩阵可以通过一系列初等矩阵变换得到对角矩阵，那么它们就相似。

这是因为初等矩阵变换不改变矩阵的特征值和特征向量。

4.矩阵A的线性无关的特征向量可以组成A的特征向量矩阵
如果一个矩阵的线性无关的特征向量可以组成特征向量矩阵，那么它们就可以通过特征向量矩阵相似。

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矩阵可交换的条件及其性质

中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。

矩阵的对角化及其应用

矩阵的对角化及其应用13届分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用2013年3月20日临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)摘要矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义.本文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂)利用特征值求行列式的值)由特征值和特征向量反求矩阵)判断矩阵是否相似)向量空间)线性变换等方面的应用.关键词:对角化;特征值;特征向量;相似;线性变换临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)ABSTRACTMatrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory ofmatrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)目录1 引言 (1)2矩阵对角化 (1)2.1可对角化的几个条件 (1)2.2可对角化的矩阵的性质 (3)2.3 矩阵的对角化 (5)2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 (5)2.3.2 利用内积构造齐次线性方程组的方法 (7)3 矩阵对角化的应用 (10)3.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限 (10)3.2 求解行列式的值 (14)3.3对角矩阵的其他方面的应用.................................... 15 4 结论 .......................................................... 19 参考文献 ..................................................... 19 致谢 (21)临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)1 引言对角化矩阵在求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用.定义1.1 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵.对角线上的a元素可以为 0 或其他值.因此行列的矩阵= 若符合以下的性质: nnAa，，ij,ij,10,, ij,1,2,,…，nij,=0，，.形如. ，，,,01,,V定义1.2 矩阵可对角化:设是维线性空间的一个线性变换，如果存在n,V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化. ,, 定义1.3 矩阵是数域上的一个维方阵，如果存在数域上的级可逆APPnn,1TAT矩阵,使为对角矩阵，则称矩阵可对角化. AT2矩阵对角化通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵)，这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化. 2.1可对角化的几个条件矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用, 矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论，nn，22,PABB, 引理2.1 设,，且=,,.则存在可逆矩阵,ABAABBA,P使，可同时对角化. ABnn，,Pdiag,,,,,…，引理2.2 如果=有个互不相同的对角元，对某Pn，，12nnn，,P个，则当切仅当本身是对角阵. BPBBP,BE0,,r2AA,由于任意一个幂等矩阵A必相似于对角矩阵.而且每个与对角，，,,00,,n矩阵都可以进行谱分解，即=,A,其中是的特征值，为幂等阵.那么AA,A,iiiii,1任意有限个幂等阵的线性组合是否对角化,有如下结论:1临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)定理1.1 以=，为个数，Akkk,，,，，,…kkk，，…，n1122nn12nij,为个幂等阵，且两两可换，即=，，则可对,,,，，…，,,,,An，，12nijji 角化.证明为个幂等阵，且两两可换.由引理1可知，存在可逆阵,,,，，…，n12n ,1,1,使可同时对角化.即，…，，,,,，，…，,,,PPP,,,PP12n1nnnn1111 ,1,1,,，…，是对角阵PkP,PkP,.==++…Akkk,，,，，,…，，，，，，1n11221122nn,1,1PkP,PkkP,，,，,…+k++.由知,,，…，是对角阵，，，，nnnn11221n 也为对角阵，故可对角化. Akk,，,，,…+k1122nn如果矩阵只有两个不同的特征值，可有如下结论:nn，,P定理2.2 设，，为其两个不同的特征值，则可对角化存在AA,,,12 ,,,,幂等矩阵，使得=+,其中为幂等阵. ,AE,,，，211,E,,11-1证明必要性:若可对角化，存在可逆矩阵，使=相似APPAP,,11E,,,22,1PP,于对角阵，则= A,,0,,,1 = ,PEP，,,,,1,,,E,,，，21,,,,0,,,1,1,, =+, PPPEP,，，,,2111E2,,0,,,1,, =+, PP,E，，,,2111E2,,000,,,,,,,1,,112,PPPP且相似于== ,PP,,,,,,EEE222,,,,,,,,,,故为幂等阵，即存在幂等阵使得=+. ,,AE,，，211,,,,充分性:若存在使=+.因为为幂等阵，故存在可逆阵,使,AE,T,，，211 00,,,,,1,1,,,得=,则=+TT ,TTAE,，，,,,,211EE22,,,,2临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),,0,,,1= ,TET，,,,,,,,E,,，，21,,,,,E,,11,1= TT,,E,22,,,E,,11,1,1TAT故= TT,,E,22,,即可对角化. AAB,如果满足条件的情况，有如下结论: ABBA=nn，nn，,P,P定理2.3 假设个互不相同的特征值，对某个个ABn有，则有AB,当且仅当同时对角化. ABBA=,1TPAP,证明必要性.由有个互不相同的特征值，则可对角化.设,AAndiag,,,,…，其中=.则T，，12，n,,11,,11,1,1,1,1PAPPBPPABPPBAPPBPPAPTPBPPBPT=====.即与T，，，，,1,1PBPPBP可交换，由引理2知是对角阵，从而是可对角化矩阵. B ,1AB,充分性.可同时对角化，故存在可逆阵，使得，PAPP,,1,1其中，为对角阵,,,1. BPP,,，，22,,11,1,1,,11=====. ABBAPPPP,,PP,,PP,,PPPP,,21121221对定理，我们可得到矩阵只有两个不同的特征值时可对角化的判别方法: A22,,=,,,,AE,,,/若，则可对角化，否则不可对角化.其中. AA，，，，122.2可对角化的矩阵的性质是数域上的一个可对角化的阶矩阵，是定理2.2.1 设APA,,,,,…，n12t 阶矩阵,使AA,,…，An的互不相同的特征根，则存在12t1+AAAA,，，,,,…; ，1122tt2+=E,EAAA，，…为单位矩阵; ，12t23AA,; ，ii,140,AAij,,，0为零矩阵，其中. ATBT,，ijii1证明由上一个阶可逆矩阵，使得 APTn，可对角化，则存在3临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),0,,1,,,2,1,,TATB,, ,,…,,0,t,,其中的重数为，由于 s,ii10,,,,,,,,……,,,,,,,,10 B,,,，…+,,,,1t01,,,,,,,,……,,,,,,,,01,,,,记,所以 ,,,BBB，，…+1122tt,,11ATBTTBBBT,,，，,,,…+ ，，tt1122,,,111= TBTTBTTBT,,,，，…+t t1122,,11,,TBTTBT，…+= ，，，，tt11,1记，其中 ,,,AAA，，…+ATBT,1122tti故. AAAA,，，,,,…+1122tt 2由每个为对角形幂等阵，则, BBBE，，,…+B，12ti,1,1,,,111TET=ETBBBT，，…+===AAA，，…+TBTTBTTBT，，…+，，,t12t12t12故 AAA，，…+=E12t,,11,12,,113TBTTBT由，则== ATBT,ATBTTBT，，，，，iiiiiii,121,,1==,TBTTBBTTBTiiii=Ai2故. AA,ii,,11,1,,11TBTTBTTBBT4ij,TBTTBT当时，====0;0为零矩阵 AA，，，，，ijijijij故 AAij,,0,ij4临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)15115,,,,1,2,3例2.2.1 设是数域上的矩阵.是矩阵的特征根，A,,20158PA,,,,876,,, 100231,,,,,,,,,1则存在可逆矩阵,使得=,其中T,342TAT,020B,,,,,,,,112003,,,,,,652,,,,,1， T,,431,,,,111,,,100,,,,,,,,,,,,由于，记 BBB，，23B,，，02130123,,,,,,,,,,,,001,,,,,,,,11ATBTTBBBT,,，，23所以，，123,,,111TBTTBTTBT，，23= ，，，，123,1=,其中AAA，，23ATBT,123ii，,,,,121041293111,,,,,,,,,,,,，且满足: AAA,,,,,,,18156,16124,222123,,,,,,则 ,,,,,,,,,,652431222,,,,,,123AAAA,，，; ，1232AAAE，，,; ，12323AA,i,1,2,3,; ，，，ii40,AAij,,,0为零矩阵. ，，，ij通过一个具体的可对角化矩阵，鲜明地反映了上述性质是成立的.2.3 矩阵的对角化2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法VV数域P上维线性空间的一个线性变换判定其是否在中能找到一组基n使它在此基下的矩阵为对角形矩阵; 当这种基存在时, 如何去寻求它是线性代数学上一个十分重要的问题，利用矩阵的初等变换法解决此问题.,1TAT若矩阵在数域上可对角化，则有上可逆矩阵使=为对角阵.APPBT5临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计) 于是的主对角线上的元素即为的全体特征值，并且可表示为，BATQQQ,…12s,1,,,111i,1,2,…，s其中为初等矩阵，，于是，,又也BQQQAQQQ,……QQis1112sS,,1是初等矩阵，由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，即知相当于对施AQAQ11行了一次初等行变换和一次初等列变换，将此种变换称为对施行了一次相似变A注:为单位矩阵E换.又由，可进行如下初等变换，则可将化A TEQQQ,…，，12S 为对角矩阵，且可求得: BTAB,,,,对施行一系列相似变换A,对只施行其中的初等列变换. E,,,,,,,,,,,,ET,,,,当不可对角化时，也可经相似变换化简后，求得其特征值，判定它可否对角AA 化.-1,,,111T类似地，可有=，做如下的初等变换则可将化为对角形矩阵AQQQE…s11s,，且可求得或由求的特征值，判定可否对角化: BBAAT对施行一系列相似变换A,1AEBT,,,,,,,,,对对只施行其中的初等行变换. E，，，，并且在施行相似变换时，不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行，可施行若干次行(或列)变换后再施行若干次相应的列(或行)变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与相似即可. Ajk为叙述简便，这里用表示第行，表示第列，表示用数乘第行iicrkr，riiji jk后加到第行上，表示用数乘第列后加到第列上. iickc，ij注意到初等矩阵的逆矩阵,,11,1,1PijPijPikPijkPijkPijk,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,1A故用左乘A，相当于对施行了变换，右乘A，相当于对A施rkr,Pijk,，，，，ji行了变换. ckc,ji例 2.3.1 求如下矩阵的特征值,并判定它们可否对角化,若可,则将其对角化: 1111,,511,,,,,1111,,,,,,21602，，，，，,,,,1111,,,,,311,,,,1111,,,,;511,411,,,,,,,,,rr，cc,31131CC解由=,知与相似.A,,,,602,,,,402A，，,,,, ,,,,,311002,,,,C2,2,2,2EC,C易知，的特征值为的秩为，所以不可对角化，从而知的特2A6临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)2,2,2,征值为且不可对角化. A11111111,2111,,,,,,,,,,,,1111,,22000200,,,,,,,,,,,,1111,,20200020,,,,,,1111,,20020002rri，,,2,3,4cci,,,2,3,4,,,,,,i11i,,,,,,,,,,,2由，，,,,,,,100010001000,,,,,,01000100,1100,,,,,,,,,,,,00100010,1010,,,,,,,,,,,,00010001,1001,,,,,,，,2000,,111,,,2,,,,0200222,,,,,,00200200,,,,,,00020020,,1,,,2,3,4rri, ,,,1i，知可对角化，的BB111400021,,,,,,,,1,,cci，,,2,3,4ii4444,,,,,,,,,,1000,,311,,,,,1,,,,,11 00444,,,,131,1010,,,,,,,1,,,,444,1001,,,,113,,,,,1,,,,444 111,,1,,444,2,,,,,,311,,2,1,,,1,,,2,2,2,2。