2020年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形习题

第二讲 三角恒等变换与解三角形

[限时规范训练]

一、选择题

1．(2017·高考山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3

C ．π

D ．2π

解析：y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π.故选C. 答案：C

2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝4

3，则sin 2α＝( )

A ．－79

B ．－29

C.29

D.79

解析：∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2

＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴

sin 2α＝－7

9.故选A.

答案：A

3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，则sin α的值等于( )

A.3

5 B ．－35

C.45

D ．－45

解析：因为tan ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，所以tan α－11＋tan α＝－7，得tan α＝－34，即sin αcos α＝－34.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π.又sin 2 α＋cos 2 α＝1，得sin α＝35，故选A.

答案：A

4．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c

(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形或直角三角形

D ．等腰直角三角形

解析：∵cos 2

A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c c

，化简得a 2＋b 2＝c 2

.

故△ABC 是直角三角形． 答案：B

5．在△ABC 中，A ＝60°，若a ，b ，c 成等比数列，则b sin B

c

＝( ) A.1

2 B.32 C.22

D.

6＋2

4

解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2

＝ac ，① 又A ＝60°，则由正弦定理得a

sin A ＝

b

sin B

，

即a ＝b sin A sin B ，代入①得，b 2

＝cb sin A sin B ，则b ＝c sin A sin B

， 所以

b sin B

c ＝sin A ＝sin 60°＝3

2

.故选B. 答案：B

6．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22

3，a ＝2，S △ABC ＝2，

则b 的值为( ) A. 3 B.32

2

C ．2 2

D ．2 3

解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝2，解得bc ＝3.因为A 为锐角，sin A ＝22

3

，所以cos

A ＝13

，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据解得b 2＋c 2＝6，则(b ＋c )2

＝12，b ＋c ＝23，

所以b ＝c ＝3，故选A. 答案：A

7．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )

A.6

5 B ．1 C.35

D.15

解析：法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6

＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫

12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋1

2sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3，

∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值6

5

.故选A.

法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π

2

，

∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6

＝15sin(x ＋π3)＋cos(π

6－x ) ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3

＝65sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤6

5.

∴f (x )max ＝6

5. 故选A.

答案：A

8．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4

D.π3

解析：因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2

sin C ，

故sin A ＝2sin C .又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C

＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.