第9讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数即及公式应用

第9讲任意角、弧度制及任意角的三角函数及公式
基础梳理
1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为_______、_______、_______；
②按终边位置不同分为__________和_____________；
(2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
(3)弧度制
①1弧度的角：____________________________________叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数
为________，|α|＝l
r，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值l
r与所取的r的大小_____，
仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：360°＝_____弧度；180°＝_____弧度．
⑤弧长公式：____________，
扇形面积公式：S
扇形＝
1
2lr＝
1
2|α|r
2.
2．任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，
那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y
r，cos α＝
x
r，tan α＝
y
x，它们都是
以角为________，以比值为________的函数．3．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：_____________________；
(2)商数关系：sin α
cos α＝tan α.
4．诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝_______，其中k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝_______，
tan(π＋α)＝tan α.
公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________
公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝__________
公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝_________，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝_________ 诱导公式可概括为k ·π2
±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2
的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．
5．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C (α－β)：cos(α－β)＝_______________________________；
(2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝_______________________________；
(3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________；
(4)S (α－β)：sin(α－β)＝________________________________；
(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝________________________________；
(6)T (α－β)：tan(α－β)＝________________________________。

6．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S 2α：sin 2α＝______________________________；
(2)C 2α：cos 2α＝______________＝____________＝__________________；
(3)T 2α：tan 2α＝_______________________。

7．有关公式的逆用、变形等
(1)cos 2α＝________________，sin 2α＝__________________；
(2)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)21－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
(3)sin α±cos α＝_________________.
4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．
题型一 三角函数的定义
【例1】
（1）已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24 m ，试判断角θ所
在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
[提示] 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ.
（2）已知角α终边经过点P (x ,－2)(x ≠0)，cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．
【针对训练1】 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．
A ．－45
B ．－35 C.35 D.45
（2）已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45
tan α. 题型二 弧度制的应用
【例2】已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.
(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .
[提示] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值；
(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．
【针对训练2】
已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 题型三 化简、求值
【例3】（1）已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋αtan (π＋α)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31π3。

（答案：12） （2）已知tan α＝2.
求：(I) 2sin α－3cos α4sin α－9cos α
；（答案：-1）(II) 4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.（答案：1） （3）若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，
求cos 2θ的值．
(4) 2cos 4x －2cos 2x ＋12
2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x (5）已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23
，求cos(α＋β)的值． 【针对训练3】
（1）角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α
)
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
9π2＋α=____．
（答案：－
34） （2）已知sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.（答案 25）
(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.
(4)化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)
sin 2α
(5) 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．
题型四 三角恒等式的证明
【例4】(1)求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1
tan θ＝1sin θ＋1
cos θ.
针对训练4】（1）已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 题型五 三角函数的综合应用
【例5】已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .
(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．
提示： 先化简函数y ＝f (x )，再利用三角函数的性质求解．
【针对训练5】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，π2上的最大值和最小值．。