2. 插值公式

§2 插值公式

一、 不等距节点插值公式(差商插值多项式)

已知单变量函数f(x)的n+1个节点n x x x x ,,,,210 及其对应的函数值)(k k x f y =

),,,2,1,0(n k = 对于插值区间

}]{max },{min [00i n

i i n

i x x ≤≤≤≤

上任一点x ,函数值f(x)可按下面的差商插值多项式计算:

)

()())(())(()()()()(110,,2,1,0102,1,001,00x R x x x x x x y x x x x y x x y y x R x P x f n n n n n +---+++

--+-+=+=-

式中n y y y ,,2,1,02,1,01,0,, 分别为},,,{10n y y y 的一阶差商，二阶差商，...，n 阶差商。可按下

列程序从左到右逐列进行计算∶

表中一阶差商 i

i i

i i i x x y y y --=+++111, )1,,1,0(-=n i

二阶差商

i

i i i i i i i i x x y y y --=++++++21

,2,12,1, )2,,1,0(-=n i

三阶差商

i

i i i i i i i i i i i x x y y y --=

+++++++++32

,1,3,2,13,2,1, )3,,1,0(-=n i

…………………………………… n 阶差商

1

,,2,1,0,,2,1,,2,1,0x x y y y n n n n --=-

差商插值多项式中的余项

)())(()!

1()

()(10)1(n n n x x x x x x n f x R ---+=+ ξ

}{m a x }{m i n

00i n

i i n

i x x ≤≤≤≤≤≤ξ 余项也可以写成

)())(()(10,,1,0,n n x n x x x x x x y x R ---=

式中n x y ,,1,0, 表示},,,,{10n y y y y 的n+1阶差商。对于由测量给出函数的某些值或分析式子比较复杂的函数用这种余项较为方便。

差商插值多项式显然满足

k k k y x f x P ==)()( ),,2,1,0(n k = 具体插值计算步骤如下：

首先由,,,2,1,0),(n k x f y k k ==按差商表计算出各阶差商，然后对给定的插值区间内一点a ，算出)(k x a -，,1,2,1-=n k 则

01,043,,2,1,032,,2,1,021,2,1,01,,2,1,0)}()}()}()]()({{[{)()(y x a y x a y x a y x a y x a y a P a f n n n n n n n n n +-++-+-+-+-=≈-------

二、 等距节点插值公式(差分公式)

[向前差分与向后差分] 已知函数f(x)在等距节点 kh x x k +=0 ),,2,1,0(n k ±±±= 的值为

)(k k x f y = ),,2,1,0(n k ±±±= 其差分按下式计算

一阶差分 i i i y y y -=∆+1 ))1(,,2,1,0(-±±±=n i 二阶差分 i i i i i i y y y y y y +-=∆-∆=∆+++12122 ))2(,,2,1,0(-±±±=n i …………………………

k 阶差分 ∑=-+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆-∆=∆k

j j k i j i k i k i k y j k y y y 01

11)1(

))(,,2,1,0(k n i -±±±=

符号i y ∆称为向前差分。此外还可引进符号i y ∇，它们的定义是 ,11--∆=-=∇i i i i y y y y )(1i r i r y y -∇∇=∇ 符号i y ∇称为向后差分。

向前差分和向后差分之间的关系为 r i r i r y y -∆=∇ [差分表]

[牛顿第一插值公式(牛顿向前插值公式)]

节 点 nh x x h x x x n +=+=0010,,, 0(>h 为步长）

插 值 点 h

x x u uh x x 0

0,-=

+= （0

0030200132)(y n u y u y u y u y x N n

∆⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆+= 余 项 )(1)()

1(1ξ++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=n n n f

h n u x R )(0n x x <<ξ 式中⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n u 为二项系数。

适用范围 通常用于计算插值区间的始点0x 附近的函数值。 [牛顿第二插值公式(牛顿向后插值公式)]

节 点 nh x x h x x x n -=-=--0010,,, (h >0)

插 值 点 h

x

x u uh x x -=

-=00, 插值公式 )()()(2x R x N x f n +=

n n n y n u y u y u y u y x N ----∆++∆+∆+∆+=!

)(!3)(!2)()(33322

2102 余 项 )()!

1()()()

1(11ξ++++=

n n n n f h n u x R )(00x nh x <<-ξ 式中

)1()1()(-++=k u u u u k 用向后差分时

003302

2002!)(!3)(!2)()(y n u y u y u y u y x N n n ∇++∇+∇+∇+=

适用范围 通常用于计算插值区间的终点n x -附近的函数值。 [斯特林插值公式]