2. 插值公式
线性插值法计算公式分析
线性插值法计算公式分析线性插值法是一种常见的数值计算方法，用于在两个已知数据点之间估计一个插值点的数值。
该方法假设所插值函数在两个数据点之间是线性的，即通过已知的两个数据点，可以确定一个线性方程，然后利用该线性方程在插值点处计算数值。
线性插值法的计算公式如下：设已知数据点为(x0,y0)和(x1,y1)，要在插值点x处计算数值y，则根据线性插值法的计算公式有：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，x0和x1为已知数据点的x坐标，y0和y1为已知数据点的y 坐标，x代表插值点的x坐标，y代表插值点的y坐标。
线性插值法的原理是基于两个已知数据点之间的线性关系进行推算，在已知数据点之间形成一条直线，通过该直线对插值点进行预测。
从计算公式可以看出，线性插值法的核心思想是利用已知数据点之间的斜率来估算插值点处的数值。
线性插值法的优点是简单易懂，计算速度快。
由于只需要利用两个已知数据点就可以进行插值计算，所以方法较为直观且适用于大多数情况。
然而，线性插值法的缺点也是显而易见的。
由于插值函数在插值点附近的变化被近似为线性关系，因此在插值点附近的误差可能较大，精度不高。
在实际应用中，线性插值法常被用于数据处理、函数逼近、图像处理等领域。
例如，在图像处理中，常常需要对缺失的像素值进行估算，此时可以利用已知的周围像素点的数值采用线性插值法进行估算。
总的来说，线性插值法是一种简单且常用的数值计算方法，通过利用已知数据点之间的线性关系进行推算，可以估算出插值点处的数值。
然而，线性插值法也有其局限性，对于非线性或者较大变动的情况可能存在一定的误差。
因此，在具体应用中需要根据实际情况选择合适的插值方法。
线性插值法计算公式解析
线性插值法计算公式解析线性插值法是一种常用的数值计算方法，用于估计两个已知数据点之间的中间数值。
它基于一个简单的假设，即在两个已知数据点之间的区间内，随着自变量的变化，函数值的变化是线性的。
插值方法的原理是通过已知数据点的斜率来近似估计两点之间的数值。
线性插值的计算公式如下：y=y1+(x-x1)*[(y2-y1)/(x2-x1)]其中，(x1,y1)和(x2,y2)是已知的数据点，(x,y)是要估计的中间点。
该公式的核心思想是将已知数据点之间的变化率应用于要估计的自变量值，从而得到函数值的估计值。
对于线性插值法，我们可以将其分为一维线性插值和多维线性插值。
一维线性插值是指在一维坐标系上，通过两个已知点之间的直线来估计中间点的数值。
这种插值方法常用于求解函数值问题，比如对于给定的函数f(x)，已知f(x1)和f(x2)，可以使用线性插值方法来估计f(x)。
在计算公式中，x代表自变量，y代表函数值。
多维线性插值是指在多维坐标系上，通过已知数据点之间的超平面来估计中间点的数值。
这种插值方法常用于插值曲面或场的构建，比如对于已知的离散数据点(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，可以使用线性插值方法来估计中间点(x,y)对应的z值。
要进行线性插值，首先需要确定要估计的中间点的位置。
这通常是通过自变量x和已知数据点的位置关系来确定的。
然后，根据已知数据点的函数值和位置关系，使用线性插值公式计算出中间点的数值。
需要注意的是，在应用线性插值方法时，一定要保证已知的数据点之间存在一定的函数性质并且呈线性关系。
否则，使用线性插值方法可能会导致估计结果的不准确性。
总结起来，线性插值法是一种简单而常用的数值计算方法，通过两个已知数据点之间的线性关系来估计中间点的数值。
该方法在实际问题中广泛应用，可以用于求解函数值问题，构建插值曲面或场等。
但需要注意的是，在使用线性插值方法时，一定要保证已知数据点之间存在线性关系，以确保估计结果的准确性。
数值分析误差限的计算公式
数值分析误差限的计算公式1、误差x∗为 x 一个近似值绝对误差：e∗=x∗−x相对误差：e∗r=e∗x=x∗−xx，由于真值 x 总是不知道的，通常取e∗r=e∗x∗=x∗−xx∗误差限：|x∗−x|≤ε∗相对误差限：ε∗r=ε∗|x∗|ε(f(x∗))≈|f′(x∗)|ε(x∗)2、插值法记ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)Lagrange 插值多项式系数：lk(xk)=(x−x0)⋯(x−xk−1)(x−xk+1)⋯(x−xn)(xk−x0)⋯(xk−xk−1)(x −xk+1)⋯(x−xn)Lagrange 插值多项式：Ln(x)=∑k=0nlk(x)yk=∑k=0nykωn+1(x)ω′n+1(xk)(x−xk) 余项：记 Mn+1=maxa≤x≤b|fn+1(x)|R(x)=fn+1(ξ)ωn+1(x)(n+1)!≤Mn+1(n+1)!|ωn+1(x)|均差与 NewTon 插值多项式一阶均差：f[x0,xk]=f(xk)−f(x0)xk−x0k 阶均差：f[x0,x1,⋯,xk]=f[x0,⋯,xk−2,xk]−f[x0,⋯,xk−2,xk−1]xk−xk−1f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!(x0,x1,⋯,xn,ξ∈[a,b])f[x0,x1,⋯,xk]=∑j=0kf(xj)ω′k+1(xj)NewTon 插值多项式：Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)余项：R(x)=f[x0,x1,⋯,xn]ωn+1(x)Hermite 插值Taylor 多项式：Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n余项：R(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1若已知 f(x0),f′(x1),f(x1),f(x2)：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中 A 由 P′(x1)=f′(x1) 可得余项：R(x)=14!f(4)(ξ)(x−x0)(x−x1)2(x−x2)两点三次 Hermite 插值多项式：H3(x)=αk(x)yk+αk+1(x)yk+1+βk(x)mk+βk+1(x)mk+1其中 mk=f′(xk),mk+1=f′(xk+1)⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧αk(x)=(1+2x−xkxk+1−xk)(x−xk+1xk−xk+1)2αk+1(x)=(1+2x−xk+1xk−xk+1)(x−xkxk+1−xk)2⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧βk(x)=(x−xk)(x−xk+1xk−xk+1)2βk+1(x)=(x−xk+1)(x−xkxk+1−xk)2余项：R(x)=f(4)(ξ)4!(x−xk)2(x−xk+1)2分段低次插值h=b−an对每个小区间使用对应插值公式求 Ih(x)余项对分段线性插值函数：maxa≤x≤b|f(x)−Ih(x)|≤M28h2对分段三次埃尔米特插值：maxa≤x≤b|f(x)−Ih(x)|≤M4384h43、数值积分代数精度定义：如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能够准确成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，则称该公式具有 m 次代数精度梯形公式公式与中矩形公式梯形公式：∫baf(x)dx≈b−a2f(a)+b−a2f(b)余项：R[f]=−(b−a)312f′′(η)(η∈(a,b))矩形公式：∫baf(x)dx≈(b−a)f(a+b2)余项：R[f]=(b−a)324f′′(η)(η∈(a,b))Newton-Cotes 公式将积分区间 [a,b] 分成 n 等分Simpson 公式（n=2）：∫baf(x)dx≈b−a6f(a)+b−a6f(b)+2(b−a)3f(a+b2)余项：R[f]=−(b−a)5180∗24f(4)(η)(η∈(a,b))Cotes 公式（n=4）：C=b−a90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]余项：R[f]=−2(b−a)7945∗46f(6)(η)(η∈(a,b))复合求积公式积分区间 [a,b] 分成 n 等分，步长 h=b−an复合梯形公式：Tn=h2[f(a)+2∑k=0n−1f(xk)+f(b)]余项：Rn(f)=−b−a12h2f′′(η)复合 Simpson 求积公式：Sn=h6[f(a)+2∑k=0n−1f(xk)+4∑k=1n−2f(x(k+1)/2)+f(b)] 其中 x(k+1)/2=xk+h2Rn(f)=−b−a180(h2)4f(4)(η)龙贝格求积算法T(0)0=h2[f(a)+f(b)]求梯形值 T0(b−a2k)，利用递推公式求 T(k)0，递推公式：T2n=12Tn+h2∑k=0n−1f(xk+12)求加速值：T(k)m=4m4m−1Tk+1m−1−14m−1T(k)m−1k=1,2,⋯高斯-勒让德求积公式积分区间为 [−1,1]∫1−1f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)余项：n=1 时，R1[f]=1135f(4)(η)4、解线性方程组的直接方法列主元高斯消去法在每次消元时，选取列主元在最前面，列主元为该列最大值矩阵三角分解法如果 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式 Dk(k=1,2,⋯,n−1) 均不为零，则必有单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，使得 A=LU，并且 L 和 U 是唯一的。
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
差商公式推导牛顿插值公式
差商公式推导牛顿插值公式
设有n+1个数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn)，要求通过
这些数据点构造一个n次多项式P(x)，用于近似原函数的插值。
牛顿插值公式的一般形式为：
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+...+f [x0,x1,...,xn](xx0)(xx1)...(xxn1)
其中f[x0]代表差商，f[x0,x1]代表二阶差商，以此类推。
1.一阶差商的计算：
f[xi]=(yiy0)/(xix0)
2.二阶差商的计算：
f[xi,xi+1]=(f[xi+1]f[xi])/(xi+1xi)
3.三阶及更高阶差商的计算：
f[xi,xi+1,...,xi+k]=(f[xi+1,xi+2,...,xi+k]f[xi,xi+1,...,xi
+k1])/(xi+kxi)
4.将差商代入牛顿插值公式中，得到：
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+...+f [x0,x1,...,xn](xx0)(xx1)...(xxn1)
这样就得到了n次牛顿插值公式。
总结起来，差商公式的推导过程就是根据给定的数据点，计算不同阶次的差商，然后将差商代入牛顿插值公式中得到n次多项式。
通过这个多项式，我们可以在给定的数据点间进行插值，从而近似原函数的数值。
初级会计插值法计算公式
初级会计插值法计算公式在会计领域，插值法是一种常用的计算方法，用于估算两个已知数据点之间的未知数值。
这种方法在处理财务数据和进行财务分析时非常有用。
在本文中，我们将介绍初级会计插值法的计算公式，并举例说明其应用。
插值法的基本原理是利用已知的数据点，通过某种数学关系来推断未知数据点的数值。
在会计领域，这种方法常常用于估算某一期间的财务数据，或者对已知数据进行修正。
插值法的计算公式可以根据不同的数学模型来确定，常见的包括线性插值、多项式插值和指数插值等。
下面我们以线性插值法为例，介绍初级会计插值法的计算公式。
假设我们有两个已知的数据点：(x1, y1)和(x2, y2)，我们需要估算在这两个数据点之间某一特定位置x的数值。
线性插值法的计算公式如下：y = y1 + (x x1) (y2 y1) / (x2 x1)。
其中，y表示我们要估算的未知数值，x表示我们要进行插值的位置，y1和y2分别表示已知数据点对应的数值，x1和x2分别表示已知数据点的位置。
通过这个计算公式，我们可以很容易地估算出在两个已知数据点之间任意位置的数值。
下面我们通过一个实际的案例来演示线性插值法的应用。
假设某公司在2018年和2020年的销售额分别为100万美元和150万美元，我们需要估算2019年的销售额。
根据线性插值法的计算公式，我们可以得到：y = 100 + (2019 2018) (150 100) / (2020 2018) = 125。
因此，根据线性插值法，我们估算2019年的销售额为125万美元。
当然，实际情况可能会受到各种因素的影响，这只是一个估算值。
除了线性插值法，还有许多其他插值方法可以用于会计领域。
例如，多项式插值法可以通过已知数据点构建一个多项式函数，进而估算未知数据点的数值。
指数插值法则可以通过已知数据点构建一个指数函数，来进行估算。
不同的插值方法适用于不同的数据分布情况，会计人员可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。
计算方法(2)-插值法
2
2
yk1 2
f (xk
h
2
),
y
k
1 2
f (xk
h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
yn
t(t
1)
(t n!
n
1)
n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn
th)
t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t
1)
(t n!
n
1)
n
y0
Rn (x0
th)
t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.
根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
2_Newton插值法
…
f ( x3 )
…
…
………
…………
……………
August 6, 2012
yfnie@
8
2.4 误差估计
• 如果f(x)充分光滑，则有估计
Rn ( x) f ( x) N n ( x) f
( n 1)
( )
( n 1)!
f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0
i0
K=1:
f [ x 0 , x1 ]
N n ( x1 ) f ( x 0 )
1 ( x1 )
f ( xi ) f ( x j ) xi x j
f ( x 0 ) f ( x1 ) x 0 x1
f [ xi , x j ]
A
k
f ( xi ) ( x i x 0 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x k )
i0
k
f ( xi )
i0
k 1 ( x i )
'
August 6, 2012
yfnie@
2
2.2 Newton型插值公式
性质
f [ x 0 , x 1 , , x k ] 与 节 点 x 0 、 x 1 、 … 、k x
的次序无关。
f [ x 0 , x1 , , x k ]
k
f ( xi ) ( x i x 0 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x k )
August 6, 2012
yfnie@
最简单的线性插值法计算公式
线性插值法计算公式：Y=Y1+(Y2-Y1)×(X-X1)/(X2-X1)。
其中
Y2>Y1，X2>X>X1。
线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式，其在插值节点上的插值误差为零。
线性插值相比其他插值方式，如抛物线插值，具有简单、方便的特点。
线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。
线性插值使用的原因
目前，线性插值算法使用比较广泛。
在很多场合我们都可以使用线性插值。
其中，最具代表性的使用方法是变量之间的对应关系没有明确的对应关系，无法使用公式来描述两个变量之间的对应关系，在这种情况下使用线性插值是比较好的解决办法。
可以在变量的变化区间上取若干个离散的点，以及对应的输出值，然后将对应关系分成若干段，当计算某个输入对应的输出时，可以进行分段线性插值。
插值法的简化公式
插值法的简化公式
插值法是一种用于在有限数据点之间插入未知点的数值方法。
在数学中，我们可以使用插值法来建立函数模型，从而预测未知点的数值。
插值法有许多种不同的形式，其中最常见的是线性插值、二次插值和三次插值等。
在应用插值法时，我们需要提供一组数据点，这些数据点通常被称为样本点。
然后，我们使用插值法来插入未知点，以建立函数模型。
在数学中，我们可以使用各种插值公式来计算未知点的数值。
其中一种最常见的插值公式是线性插值公式，它用于在两个数据点之间插入未知点。
线性插值公式如下:
y = ax + b
其中，y 是我们要插入的未知点的数值，x 是我们提供的数据点之一，a 和 b 是常数，它们取决于我们所应用的插值法类型。
在实际应用中，线性插值公式通常不足以满足我们的需求，因为我们需要更多的插值精度来预测未知点的数值。
因此，我们通常使用更高级的插值法，例如二次插值法和三次插值法。
这些插值法通常可以提供更准确的插值结果，并且可以更好地适应数据点之间的变化趋势。
在应用插值法时，我们需要谨慎选择插值法类型，以确保我们的函数模型能够提供准确的预测结果。
同时，我们也需要考虑到数据质量和数据点的数量，这些因素都会影响我们的插值结果。
插值法计算方法举例
插值法计算方法举例插值法是一种数值逼近方法，用于在给定的一些数据点之间进行数值求解。
插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个插值函数，并利用该插值函数来估计未知数据点的函数值。
以下是一些常见的插值方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们想要在这两个数据点之间估计一个新的点的函数值。
线性插值方法假设这两个点之间的函数关系是线性的，即 y = f(x)= mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。
通过求解这两个点的斜率和截距，我们可以得到插值函数的表达式，从而计算出新点的函数值。
2.拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种经典的插值方法，它利用一个多项式函数来逼近已知数据点之间的关系。
对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值方法构建一个函数 L(x) 来逼近真实的函数f(x)。
L(x) 的表达式为 L(x) = y1 * L1(x) + y2 * L2(x) + ... + yn* Ln(x)，其中 Li(x) 是拉格朗日插值基函数，定义为Li(x) = Π(j=1to n, j≠i) (x - xj) / (xi - xj)。
通过求解 L(x) 的表达式，我们可以计算出任意新点的函数值。
3.牛顿插值：牛顿插值是另一种常用的插值方法，它是通过一个递推的过程来构建插值函数。
对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值方法定义一个差商表，然后根据该表构建一个递推的多项式函数来逼近真实的函数 f(x)。
差商表的计算使用了递归的方式，其中第 i 阶差商定义为 f[xi, xi+1, ..., xi+j] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+j] - f[xi, xi+1, ..., xi+j-1]) / (xi+j - xi)。
内插法的计算公式
内插法的计算公式内插法是一种常用的数值计算方法，用于在已知数据点之间估计未知数据点的值。
内插法通过构造合理的插值函数，在插值区间内进行计算。
本文将介绍两种常见的内插法，分别是线性插值和拉格朗日多项式插值。
一、线性插值线性插值是一种简单且直观的内插法，适用于数据点较少的情况。
它基于线性函数的特性进行计算，公式如下：设已知数据点为 (x0, y0) 和 (x1, y1)，要估计在 x0 和 x1 之间的某个点 x 的值 y，则线性插值公式为：y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0) （1）其中，y0 和 y1 分别是已知数据点 x0 和 x1 对应的函数值。
使用线性插值时需要注意两点：首先，x 的取值范围必须在 x0 和 x1 之间；其次，线性插值的准确性受到数据点的分布和函数曲线变化的影响。
二、拉格朗日多项式插值拉格朗日多项式插值是一种更为精确的内插方法，适用于数据点较多且分布不规则的情况。
它利用多个数据点构造一个多项式函数，并根据插值点的位置进行计算。
拉格朗日多项式插值的计算公式如下：假设已知的 n+1 个数据点为 (x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn)，要估计在 x0 至 xn 之间某个点 x 的值 y，则拉格朗日插值多项式的计算公式为：y = L0(x)*y0 + L1(x)*y1 + ... + Ln(x)*yn （2）其中，Ln(x) 是拉格朗日基函数，由以下公式给出：Ln(x) = Π(j=0;j≠i)ⁿ (x - xj) / (xi - xj) （3）公式（3）中，i 表示基函数 Ln(x) 对应的数据点的索引。
拉格朗日多项式插值具有较高的精度和稳定性，但当数据点数量较大时，计算量会增加，同时插值函数的高次项可能引发数值计算的误差。
综上所述，线性插值和拉格朗日多项式插值是常见的两种内插法，可用于估计已知数据点之间的未知数据点的值。
牛顿插值法原理及应用汇总
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
数值分析常用的插值方法
数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。
下面将对这些插值方法进行详细介绍。
一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。
线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。
二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。
通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。
分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。
四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。
利用差商的概念来构造插值多项式。
Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。
数值分析13线性插值与二次插值公式
L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，
12/18
x
x0 x1 x2
l0(x) 1 0 0
x x0 x1 x2
l0(x) 1 0 0
l1(x) 0 1 0
l2(x) 0 0
1
L(x) y0 y1 y2
l0(x)((xx0 x x1 1))((x x0xx22))
l1(x)((xx1 x x0 0))((x x1xx22)) l2(x)((xx2 x x0 0))((x x2xx11))
或:
lk(x)
n j0
(x xj ) (xk xj )
jk
16/18
Runge反例:
f
(
x)
1 1 x2
,
(-5≤x≤5)
取xk= –5+k 计算: f(xk) (k=0,1,…,10)
构造L10(x).
取:tk= –5+0.05k (k=0,1,…,200),计算: L10(tk)
2
1.5
2
(5)定积分的离散化处理; (6)微分方程的离散化处理; (7)积分方程的离散化处理;
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
3/18
引例2. 误差函数 Er(fx) 2 xet2dt
0
x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000
L n ( x ) l 0 ( x ) y 0 l 1 ( x ) y 1 l n ( x ) y n
线性插值与二次插值公式ppt课件
9
方程组系数矩阵取行列式
1 x0 x0n
Vn ( x0
, x1,, xn )
1 x1
x1n ( xi x j ) 0 ni j0
1 xn xnn
这是范德蒙行列式且不等于0。故方程组有唯 一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.
例4.2 已知误差函数在四个点处函数值
x1 x x1 x0
y0
x x1
x0 x0
y1
13
记
l0(x)
x x1 x0 x1
,l1( x)
x x0 x1 x0
L1( x) l0( x) y0 l1( x) y1
把l0(x)、 l1(x)称作线性插值基函数
当x0≤ x ≤x1时，0≤l0(x)≤1, 0≤l1(x)≤1
Ln(x)=a0 + a1x +···+ anxn
满足: Ln(xi)= yi (k = 0,1,…,n)
(4.1) (4.2)
则称 (4.1)为满足插值条件(4.2)的拉格朗日插值。
8
定理4.1 若插值结点x0,x1,…,xn 是(n+1)个互异
点,则满足插值条件 Ln(xi)= yi (k = 0,1,…,n) 的n次插值多项式
(x ( x2
x0 x0
)( x x1 ) )( x2 x1 )
把l0(x)、l1(x)、 l2(x) 称作二次插值基函数
二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，16
Lagrange插值公式
插值条件:Ln(xi)= yi (i= 0,1,…,n)
二次拉格朗日插值公式
二次拉格朗日插值公式
二次拉格朗日插值公式是一种用于在给定数据点之间进行插值的方法。
它是拉格朗日插值法的一种形式，用于计算一个函数在一组已知点之间的值。
二次拉格朗日插值公式是通过一个二次多项式来逼近一组数据点的函数值，这个多项式可以用以下公式表示：
f(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)
其中，y0、y1、y2是已知数据点的函数值，L0(x)、L1(x)、L2(x)是拉格朗日基函数，它们的形式如下：
L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))
L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))
L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))
其中，x0、x1、x2是已知数据点的横坐标。
二次拉格朗日插值公式的优点是可以通过一个简单的公式来计算插值多项式，而不需要解线性方程组。
同时，它也有一些缺点，比如插值多项式的次数较低，可能不能很好地逼近复杂的函数。
此外，如果数据点的数量很多，计算过程也会变得非常复杂。
总之，二次拉格朗日插值公式是一种简单而有效的插值方法，可以用于计算函数在一组已知点之间的值。
但是，在使用这种方法时，需要注意数据点的数量和函数的复杂程度，以确保插值结果的准确性。
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§2 插值公式一、 不等距节点插值公式(差商插值多项式)已知单变量函数f(x)的n+1个节点n x x x x ,,,,210 及其对应的函数值)(k k x f y =),,,2,1,0(n k = 对于插值区间}]{max },{min [00i ni i ni x x ≤≤≤≤上任一点x ,函数值f(x)可按下面的差商插值多项式计算:)()())(())(()()()()(110,,2,1,0102,1,001,00x R x x x x x x y x x x x y x x y y x R x P x f n n n n n +---+++--+-+=+=-式中n y y y ,,2,1,02,1,01,0,, 分别为},,,{10n y y y 的一阶差商，二阶差商，...，n 阶差商。
可按下列程序从左到右逐列进行计算∶表中一阶差商 ii ii i i x x y y y --=+++111, )1,,1,0(-=n i二阶差商ii i i i i i i i x x y y y --=++++++21,2,12,1, )2,,1,0(-=n i三阶差商ii i i i i i i i i i i x x y y y --=+++++++++32,1,3,2,13,2,1, )3,,1,0(-=n i…………………………………… n 阶差商1,,2,1,0,,2,1,,2,1,0x x y y y n n n n --=-差商插值多项式中的余项)())(()!1()()(10)1(n n n x x x x x x n f x R ---+=+ ξ}{m a x }{m i n00i ni i ni x x ≤≤≤≤≤≤ξ 余项也可以写成)())(()(10,,1,0,n n x n x x x x x x y x R ---=式中n x y ,,1,0, 表示},,,,{10n y y y y 的n+1阶差商。
对于由测量给出函数的某些值或分析式子比较复杂的函数用这种余项较为方便。
差商插值多项式显然满足k k k y x f x P ==)()( ),,2,1,0(n k = 具体插值计算步骤如下：首先由,,,2,1,0),(n k x f y k k ==按差商表计算出各阶差商，然后对给定的插值区间内一点a ，算出)(k x a -，,1,2,1-=n k 则01,043,,2,1,032,,2,1,021,2,1,01,,2,1,0)}()}()}()]()({{[{)()(y x a y x a y x a y x a y x a y a P a f n n n n n n n n n +-++-+-+-+-=≈-------二、 等距节点插值公式(差分公式)[向前差分与向后差分] 已知函数f(x)在等距节点 kh x x k +=0 ),,2,1,0(n k ±±±= 的值为)(k k x f y = ),,2,1,0(n k ±±±= 其差分按下式计算一阶差分 i i i y y y -=∆+1 ))1(,,2,1,0(-±±±=n i 二阶差分 i i i i i i y y y y y y +-=∆-∆=∆+++12122 ))2(,,2,1,0(-±±±=n i …………………………k 阶差分 ∑=-+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆-∆=∆kj j k i j i k i k i k y j k y y y 0111)1())(,,2,1,0(k n i -±±±=符号i y ∆称为向前差分。
此外还可引进符号i y ∇，它们的定义是 ,11--∆=-=∇i i i i y y y y )(1i r i r y y -∇∇=∇ 符号i y ∇称为向后差分。
向前差分和向后差分之间的关系为 r i r i r y y -∆=∇ [差分表][牛顿第一插值公式(牛顿向前插值公式)]节 点 nh x x h x x x n +=+=0010,,, 0(>h 为步长）插 值 点 hx x u uh x x 00,-=+= （0<u<1） 插值公式 )()()(1x R x N x f n +=0030200132)(y n u y u y u y u y x N n∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆+= 余 项 )(1)()1(1ξ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n fh n u x R )(0n x x <<ξ 式中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n u 为二项系数。
适用范围 通常用于计算插值区间的始点0x 附近的函数值。
[牛顿第二插值公式(牛顿向后插值公式)]节 点 nh x x h x x x n -=-=--0010,,, (h >0)插 值 点 hxx u uh x x -=-=00, 插值公式 )()()(2x R x N x f n +=n n n y n u y u y u y u y x N ----∆++∆+∆+∆+=!)(!3)(!2)()(333222102 余 项 )()!1()()()1(11ξ++++=n n n n f h n u x R )(00x nh x <<-ξ 式中)1()1()(-++=k u u u u k 用向后差分时0033022002!)(!3)(!2)()(y n u y u y u y u y x N n n ∇++∇+∇+∇+=适用范围 通常用于计算插值区间的终点n x -附近的函数值。
[斯特林插值公式]节 点 kh x x k +=0 )0,,,2,1,0(>±±±=h n k插 值 点 hx x u uh x x 00,-=+=插值公式 )()()(2x R x S x f n +=nnnn n n y n n u u u u y y n n u u u u y u u y y u u y u y y u y x S -----------∆----+∆+∆-----++∆-+∆+∆-+∆+∆+∆+=22222212)1(122222242223132122100)!2(])1([)4)(1(2)!12(])1([)4)(1(!4)1(2!3)1(!22!1)(余 项 )!12()()()4)(1()()12(1222222+---=++n f hn u u u u x R n n n ξ)(00nh x nh x +<<-ξ适用范围 通常用于计算插值区间中点附近的函数值。
一般当h x x 410≤- 时用这个公式。
注意事项 每次用的节点的个数都是奇数。
[贝塞尔插值公式]节 点 kh x x k +=0 ),,2,1,0(n k ±±±=插 值 点 hx x u uh x x 00,-=+=插值公式 )()()(12x R x B x f n -+=2!22121!121}{21)(120222010-∆+∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∆-++=y y u y u y y x B 1322!3212121-∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+yu u++∆+∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- 2!449214121241422y y u u 2)!22(4)32(2149214121)1(22)2(222222------∆+∆-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n y y n n u u u)1(122222)!12(4)32(214921412121---∆-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n y n n u u u u余 项)!2()(]4)12()21[(]49)21][(41)21[()()2(2222212n f h n u u u x R n n n ξ⋅-------=- )(00nh x nh x +<<-ξ适用范围 通常用于计算两相邻节点之间的中点附近的函数值。
这个公式一般在4121≤-u 时使用。
注意事项 每次用的节点的个数都是偶数。
当21=u 时，插值公式特别简单:)2(22!653122!43122!212)2(01236266222241442212022100h x R y y y y y y y y h x f n +++∆+∆⋅⋅+∆+∆⋅+∆+∆-+=+------ )(])!2[(2]!)!12[()1()2()2(2122012ξn n n n n f h n n hx R -----=+说明 应用差分法插值时，并非项数愈多结果就愈精确，一般取二、三次就可以了。
不难看出，线性插值法只是差分法的一个特例(取一阶差分)。
三、拉格朗日插值多项式[拉格朗日插值公式] 已知单变量函数)(x f y =的n+1个节点n x x x x ,,,,210 及其对应的函数值),,2,1,0)((n k x f y k k ==，对于插值区间内任一点x ，可用下面拉格朗日插值多项式)(x L n 计算函数值∶∑∏=≠=--=≈nk nk i i k ik in y x x x x x L x f 0,0)()()( 这里 k k k n y x f x L ==)()( ),,2,1,0(n k =特别对于等距节点kh x x k +=0),,2,1,0(n k =，有 kk n k k n n n n x x y k n h n x x L -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏=∑=-0)1(!)()( 式中 )())(()(10n n x x x x x x x ---=∏[埃特金逐步计算法] 已知),,1,0()(n k y x f k k ==，求插值区间内任一点a 的拉格朗日多项式的数值)(a L，可按下表从左到右逐列进行计算。
1,0102,020式；一般)(,,1,0x I k 表示节点为k x x x ,,,10 的k 次插值多项式。
表中左起第四列以后的各列都是对应的插值多项式在a 点的数值，它们之间有下面的关系: kkk k I a I a a a I 000,01-=),,2,1(n k =kk k k I a I a a a I ,01,011,1,01-=),,3,2(n k =………………………………………………………n n n n n n n n n I a I a a a I ,2,,2,1,01,2,,2,1,011,2,1,01------=利用拉格朗日插值多项式计算某一点a 的数值时每增加一个节点，必须按公式重新计算，而埃特金逐步计算法避免了这个缺点。