2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：
垂径定理的运用（一）
一．选择题
1．一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）
A．8米B．6米C．5米D．4米
2．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（）
A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 3．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（）
A．4 B．3 C．D．
4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）
A．13 B．24 C．26 D．28
5．我国古代数学著作《九章算术》中记载了弓形面积的计算方法．如图，弓形的弦长AB 为30cm，拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）CD为15cm，则这个弓形的面积是（）cm2．
A．300π﹣450B．900π﹣225C．900π﹣450D．300π﹣225 6．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
7．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）
A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸
8．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm．
A．6 B．C．D．
9．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm．
A．350 B．700 C．800 D．400
10．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的直径是（）
A．cm B．5cm C．6cm D．10cm
二．填空题
11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝2cm，则球的半径为cm．
12．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE ＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．
13．“美丽乡村“的建设行动，让我们的家园拥有了靓丽的风景．如图1，是某乡村一角的草坪，草坪是由一块弓形草地和一块三角形草地组成．为了更科学地管理草坪，现需要给草坪装上自动喷灌装置，并且用喷灌龙头浇水时，既要保证草坪的每个角落都能浇上水，又能最大化的节约水，于是选择了一种转角在0°～180°内（含180°）可以自由设定（按设定的转角可以往复转动喷灌）、射程长短也可以自主设定的喷灌龙头．如图2，已知弓形高DE＝6米，弓形宽AB＝24米．△ABC的边BC＝12米，AC＝12米．若经测算，将喷灌龙头安装在△ABC的顶点C时为最优方案，则：
（1）喷灌龙头的最小转角应设置为度；
（2）喷灌龙头的最短射程应设置为米．
14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：
“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”
其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长
为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该内切圆的直径为步．
15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．
三．解答题
16．在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD 为16cm，求油面宽度AB的长．
17．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？
19．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为米．
20．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．
（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．
（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．
参考答案一．选择题
1．解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，
由题意得，AB＝8，CD＝2，
∵OC⊥AB，
∴AC＝AB＝4，
设圆的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米，
由勾股定理得，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得，r＝5，即此输水管道的半径是5米，
故选：C．
2．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
设AB＝OB＝OA＝rm，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AB，
∴C，D，O三点共线，
∴AD＝DB＝rm，
在Rt△AOD中，
∴OD＝r，
∵OD+CD＝OC，
∴r+5＝r，
解得：r＝（20+10）m，
∴这段弯路的半径为（20+10）m
故选：D．
3．解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（8﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故选：C．
4．解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
5．解：设弧ACB所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB，则OC与AB的交点即为D 点，如图所示：
在Rt△OAD中，设OA＝x，则OD＝x﹣CD＝x﹣15，AD＝AB＝＝15，∴OA2＝OD2+AD2，
即x2＝（x﹣15）2+（15）2，
解得x＝30，
∴OA＝30，
∴OD＝30﹣15＝15，
∴OD＝OA，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°
∴弓形的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×15＝300π﹣225，故选：D．
6．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
7．解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，
即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
即圆的直径为26寸．
故选：B．
8．解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，连接OA，则CD＝2，AC＝BC，
∵OA＝OD＝4，CD＝2，
∴OC＝2，
∴AC＝＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：C．
9．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．
设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，
由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，
解得，x＝400，
∴2x＝800，
答：车轱辘的直径为800mm．
故选：C．
10．解：∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，
∴线段MN的就是该圆的直径，
∵OM＝8cm，ON＝6cm，∠MON＝90°，
∴MN＝10cm，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝2
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝2﹣x，MF＝1，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，
即：（2﹣x）2+12＝x2，
解得：x＝，
故答案为：．
12．解：连接OC，
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸，
故答案为：26．
13．解：（1）∵AB＝24米，BC＝12米，AC＝12米，∴BC2+AC2＝122+（12）2＝576＝242＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴喷灌龙头的最小转角应设置为90°；
（2）如图3，作射线ED交AC于点M
∵AD＝DB，ED⊥AB，是劣弧，
∴所在圆的圆心在射线DC上，
假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA＝r，OD＝r﹣6，AD＝AB＝12，在Rt△AOD中，r2＝122+（r﹣6）2，
解得：r＝7，
∴OD＝，
过点C作CN⊥AB，垂足为N，
∵∠ACB＝90°，AB＝24，BC＝12，
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∴CN＝AC＝6，AN＝18，BN＝6，
∴DM＝×AD＝4，
∴OD＜MD，
∴点O在△ACB内部，
∴连接CO并延长交于点F，则CF为草坪上的点到C点的最大距离，
∵在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GC，
∴CF＝OC+OF＝OC+OG＞CG，
即CF＞CG，
过O作OH⊥CN，垂足为H，则OH＝DN＝6，CH＝6﹣＝5，
∴OC＝＝＝，
∴CF＝OC+r＝7+（米），
答：喷灌龙头的射程至少为（7+）米，
故答案为：（1）90；（2）7+．
14．解：根据勾股定理得：斜边AB＝＝17，∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），
故答案为：6．
15．解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m．
故答案为：25．
三．解答题（共5小题）
16．解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB＝2AD，
∵直径是52cm，
∴OB＝26cm，
∴OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10（cm），
由勾股定理知，
BD＝＝24（cm），
∴AB＝48cm．
17．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM＝DE．
∵DE＝8（cm）
∴DM＝4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），
∴OM＝＝＝3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
18．解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连结OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
19．解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示则MH＝NH＝MN＝30，
∴EH＝＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．
20．解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．
∵EF∥BC，
∴OH⊥EF，
∴BG＝BC，EH＝EF
∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．
（2）设盒子的高为xcm．
由题意：（22﹣2x）•＝9
解得x＝8或12.5（舍弃），
∴MQ＝6，MN＝1.5
∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，
∴能装入盒子．。