2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用(一)

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2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用(三)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（三）一．选择题1．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D （mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000 D．4×102 2．（古题今解）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深﹣寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸3．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．a B．a C．（﹣1）a D．（2﹣）a 4．如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或8cm 5．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB＝8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．0.4厘米/分B．0.5厘米/分C．0.6厘米/分D．0.7厘米/分6．如图是一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子OB的长度为2米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是（）A．（2﹣）米B．米C．（2﹣）米D．米7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸8．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB＝8m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD约为（）A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m9．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2 B．C．3 D．10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A．2 B．C．2D．3二．填空题11．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．15．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）16．如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB＝120mm，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝20mm，则原轮片的半径是mm．三．解答题17．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．18．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE＝．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？19．“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m）．（1）经过2min后小雯到达点Q，如图所示，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？20．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条毕直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？参考答案一．选择题1．解：根据图形可知，两圆相切，过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200PO＝R﹣50根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2解得：R＝200∴D＝2R＝400＝4×102．故选：D．2．解：∵弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，∴AE＝5，OE＝OA﹣1在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即：OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13 ∴直径CD＝2OA＝26寸故选：D．3．解：如图，正方形ABCD是圆内接正方形，BD＝a，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，则OB＝，△BOC是等腰直角三角形，作OF⊥BC，垂足为F，由垂径定理知，点F是BC的中点，∴OF＝OB sin45°＝，∴x＝EF＝OE﹣OF＝a．故选：B．4．解：如图，已知OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB于D，求CD的长，理由如下：当油面位于AB的位置时∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4cm，在直角三角形OAD中，根据勾股定理可得OD＝3cm，所以CD＝5﹣3＝2cm；当油面位于A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm．故选：D．5．解：作垂直AB的直径交圆为C，D交AB于E，利用相交弦定理，得AE•BE＝CE•（10﹣CE），解得CE＝2或8，从图中可知这里选答案为8，从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为8÷16＝0.5（分钟）．故选：B．6．解：∵点A为弧BD的中点，O为圆心由垂径定理知：BD⊥OA，BC＝DC，弧AB＝弧AD∵∠BOD＝60°∴∠BOA＝30°∵OB＝OA＝OD＝2∴CB＝1在Rt△OBC中，根据勾股定理，知OC＝∴AC＝OA﹣OC＝2﹣故选：A．7．解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．8．解：根据OC⊥AB，则AD＝AB＝4m．在直角△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝AD•tan30°＝≈2.3m．则大棚高度CD约为2.3m．故选：B．9．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．10．解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，∵OC⊥AB，OA＝OB∴O即为此圆形镜子的圆心，∵AC＝1，OC＝2，∴OA＝＝＝．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．12．解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD＝＝3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．13．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13寸，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．14．解：如图，连接OA，∵CD＝2cm，AB＝8cm，∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴AC＝AB＝4cm，∴设半径为r，则OD＝r﹣2，根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．15．解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，∴AB＝2AC＝20≈69（步）；而的长＝≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了15步．故答案为15．16．解：在直角△OAD中，设半径是x，则OA＝x，OD＝x﹣20，AD＝AB＝60mm．根据勾股定理定理得到：x2＝（x﹣20）2+602，解得x＝100mm．所以原轮片的半径是100mm．三．解答题（共4小题）17．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2＝OM2+42，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小桥所在圆的半径为5m．18．解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，∴ED＝CD＝12，在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝13（m）；（2）OE＝＝＝5，∴将水排干需：5÷0.5＝10（小时）．19．解：（1）过点Q作QB⊥OA，垂足为B，交圆于点C，由题意知，匀速转动一周需要12min，经过2min后转周，∴∠AOQ＝×360°＝60°，∴OB＝OQ cos60°＝OQ＝×20＝10，BT＝OT﹣OB＝10，AB＝BT+AT＝10.5，此时他离地的高度为10.5m；（2）作GD⊥AO，交AO的延长线于点M，由题意知AM＝30.5，OM＝10，∴∠GOD＝2∠DOM＝120°，此时他离地的高度为10.5+20＝30.5m，所以他有12÷3＝4分时间在离地面不低于30.5m的空中．20．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000＝1111，到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111＝11111到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111＝111111＞80000所以，到第6天所有鸡都会被感染；（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．∵OE⊥CD，∴CE＝CD＝2在Rt△OCE中，OE2＝32﹣22＝5（2分）在Rt△OAE中，，∴AC＝AE﹣CE＝∵AC＝BD∴AC+BD＝．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．。

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及答案

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正=上半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明（3）设MBN你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN 的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，直线y=x 与y 轴的夹角是45°，∴OA 旋转了45°．∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN ∥AC ，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM ．∴BM=BN ．又∵BA=BC ，∴AM=CN ．又∵OA=OC ，∠OAM=∠OCN ，∴△OAM ≌△OCN ．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON ）=12（90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．证明：延长BA 交y 轴于E 点，则∠AOE=45°-∠AOM ，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM ，∴∠AOE=∠CON ．又∵OA=OC ，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN ．∴△OAE ≌△OCN ．∴OE=ON ，AE=CN ．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ，∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ．∴MN=AM+CN ，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．考点：旋转的性质.4．如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为AB ，P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ ＝________时，PQ 有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P 是OB 中点，且QP ⊥OB 于点P ，求BQ 的长；（2）如图3，将扇形AOB 沿折痕AP 折叠，使点B 的对应点B′恰好落在OA 的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．【答案】发现： 90°，102；思考：（1）10 3π=；（2）25π−1002+100；（3）点O 到折痕PQ 的距离为30.【解析】分析：发现：先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（2）先在Rt △B'OP 中，OP 2+(102−10)2=（10-OP ）2，解得OP=102−10，最后用面积的和差即可得出结论．探究：先找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，证明四边形OCO′B 是矩形，由勾股定理求O′B ，从而求出OO′的长，则OM=12OO′=30．详解：发现：∵P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点，∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB +=102；思考：（1）如图，连接OQ ，∵点P 是OB 的中点，∴OP=12OB=12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ=90° 在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=12OP OQ =， ∴∠QOP=60°，∴l BQ =6010101803ππ⨯=；（2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝2，在Rt △B'OP 中，OP 22−10)2=（10-OP ）2解得OP=102−10， S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101210(10210)3602π⨯-⨯⨯⨯- ＝25π−1002+100；探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，∴O′C=OB=10，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点，∴O′C ⊥AO ，∴O′C ∥OB ，∴四边形OCO′B 是矩形，在Rt △O′BP 中，O′B=226425-=，在Rt △OBO′K ，OO′=2210(25)=230-，∴OM=12OO′=12×230=30，即O 到折痕PQ 的距离为30．点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．5．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90° ∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE∴OC OE CF CE=即106=8 CF∴40CF3=点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.6．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD∴，=AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12BD ，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．7．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒ 2,AB AC ==AD BC ⊥，垂足为D ，过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ，连接,,EF DE DF ．（1）求证：ADE ∆≌CDF ∆；（2）当BC 与⊙O 相切时，求⊙O 的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°，由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径，根据∠C =45°、AC =2可得AD =1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠C =45°．又∵AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠1=12∠BAC =45°，BD =CD ，∠ADC =90°．又∵∠BAC =90°，BD =CD ，∴AD =CD ．又∵∠EAF =90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠EDF =90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE 和△CDF 中．∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△CDF （ASA ）．（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径．在Rt △ADC 中，∠C =45°，AC 2，∴sin ∠C =AD AC ，∴AD =AC sin ∠C =1，∴⊙O 的半径为12，∴⊙O 的面积为24π．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．8．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．38313 24313n+ 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ．本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 32，∴1＝32－1)2＋14a 22，解得a 283 . (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h ＝32 a n ，∴1＝14a n 2＋231n na ⎫⎪⎪⎝⎭ ，解得a n ＝24331n n + .9．如图1，延长⊙O 的直径AB 至点C ，使得BC=12AB ，点P 是⊙O 上半部分的一个动点（点P 不与A 、B 重合），连结OP ，CP ．（1）∠C 的最大度数为；（2）当⊙O 的半径为3时，△OPC 的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连结DB ，当CP=DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC 与⊙O 相切时，∠OCP 的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC 的边OC 是定值，得到当OC 边上的高为最大值时，△OPC 的面积最大，当PO ⊥OC 时，取得最大值，即此时OC 边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C ，得到CO=OB+OB=AB ，推出△APB ≌△CPO ，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB ，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC 与⊙O 相切时，∠OCP 最大．如图1，所示：∵sin ∠OCP=OP OC =24=12，∴∠OCP=30° ∴∠OCP 的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由： ∵△OPC 的边OC 是定值，∴当OC 边上的高为最大值时，△OPC 的面积最大，而点P 在⊙O 上半圆上运动，当PO ⊥OC 时，取得最大值，即此时OC 边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S △OPC =12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP ，BP ，如图2，在△OAP 与△OBD 中，OA OD AOP BOD OP OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP ≌△OBD ，∴AP=DB ，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．10．（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：2PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=43AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）32．【解析】试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=43OC，当BQ最小时，OC最小；试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB，∴2AP=PC+PB．（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,由旋转可得QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴在Rt△OAQ中，2，AO=3 ，∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣2﹣3 ，即OC最小值是2﹣3；（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC ==43， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=43OC ，当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，] ∴BQ 的最小值为2，∴OC 的最小值为34×2=32，故答案为32．【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.11．如图1，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，连接AC 、CO 、BO ，点C 为弧BD 的中点．（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO ；（2）如图2，点E 在OC 上，连接EB ，延长CO 交AB 于点F ，若∠DAB=∠OBA+∠EBA ．求证：EF=EB ；（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB ，CE=2，AB=13，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7．【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OA ，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO ，由点C 是BD 中点，推出CD CB = ，推出∠BAC=∠DAC ，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO ；（2）想办法证明∠EFB=∠EBF 即可；（3）如图3中，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长BE 交HO 的延长线于G ，作BN ⊥CF 于N ，作CK ⊥AD 于K ，连接OA ．作CT ∠⊥AB 于T ．首先证明△EFB 是等边三角形，再证明△ACK ≌△ACT ，Rt △DKC ≌Rt △BTC ，延长即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，连接OA ，∵OA=OC ，∴∠1=∠ACO ，∵OA=OB ，∴∠2=∠ABO ，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO ，∵点C 是BD 中点，∴CD CB =，∴∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACO+∠ABO ．（2）如图2中，∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB ，∠COB=2∠BAC ，∴∠BAD=∠BOC ，∵∠DAB=∠OBA+∠EBA ，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA ，∴∠EFB=∠EBF ，∴EF=EB ．（3）如图3中，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长BE 交HO 的延长线于G ，作BN ⊥CF 于N ，作CK ⊥AD 于K ，连接OA ．作CT ∠⊥AB 于T ．∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，∵∠EFB=∠EBF ，∴∠G=∠HOF ，∵∠HOF=∠EOG ，∴∠G=∠EOG ，∴EG=EO ，∵OH ⊥AB ，∴AB=2HB ，∵OE+EB=AB ，∴GE+EB=2HB ，∴GB=2HB ，∴cos ∠GBA=12HB GB = ，∴∠GBA=60°， ∴△EFB 是等边三角形，设HF=a ，∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a ，∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+132，∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=132﹣a，OB=OC=OE+EC=132﹣a+2=172﹣a，∵NE=12EF=12a+134，∴ON=OE=EN=（132﹣a）﹣（12a+134）=134﹣32a，∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2，∴（172﹣a）2﹣（134﹣32a）2=（a+132）2﹣（12a+134）2，解得a=32或﹣10（舍弃），∴OE=5，EB=8，OB=7，∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC，AC=AC，∴△ACK≌△ACT，∴CK=CT，AK=AT，∵CD CB，∴DC=BC，∴Rt△DKC≌Rt△BTC，∴DK=BT，∵FT=12FC=5，∴DK=TB=FB﹣FT=3，∴AK=AT=AB﹣TB=10，∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7．12．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF＝，∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．13．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB 绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为﹣2．【解析】【分析】（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A ＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α＝∠AOA'＝60°,∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,∴B'C＝OB’＝,∴OC＝3,∴B'（3,）,（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,∵∠APB＝90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆．14．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线．．BC于点G，设⊙D的半径为r．（1）求证AE＝EF；（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 35r<<【解析】【分析】（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】解：设圆的半径为r；（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，∴AE=EF；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r ，由勾股定理得：（3r ）2+9=36，解得：r=3；（3）①当点F 在线段AC 上时，如图3所示，连接DE 、DG ，333,3933FC r GC FC r =-==-②当点F 在线段AC 的延长线上时，如图4所示，连接DE 、DG ，333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反，GC 2相同，由勾股定理得：DG 2=CD 2+CG 2，点G 在圆的内部，故：DG2＜r2，即：22(332)(339)2r r r +-<整理得：25113180r r -+<6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．15．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）22；（2）224r ≤≤；（3）25252t --<<--或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解；（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB 2244+2; （2）如图，当d（⊙O，AB）=0时，过点O作OE⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，∵⊙O与线段AB的“非常距离”为0，∴224r≤≤；（3）当⊙T在△ABC左侧时，如图，当⊙T与BC相切时，d=0,2236+35,过点C作CE⊥y轴，过点T作TF⊥BC,则△TFH∽△BEC,∴TF THBE BC=,即2635,∴5∵HO∥CE,∴△BHO∽△BEC,∴HO=2，此时5，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）；∵0<d <2，∴25252t --<<--；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8；综上，25252t -<<或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．。

初中九年级圆垂径定理

初中九年级圆垂径定理
初中九年级圆垂径定理是初中数学中的一条重要定理，它指出：
如果一条直线垂直于圆的一条弦，那么这条直线就称为这条弦的垂径。

下面我们来总结一下这个定理的具体内容和证明方法。

一、圆垂径定理的具体内容：
对于任意一个圆，如果有一条直线垂直于圆上的一条弦，那么这
条直线就称为这条弦的垂径。

垂径与弦的关系是：垂径通过弦的中点，并且垂径两端与圆相交的点与该弦两端与圆相交的点构成的四个点构
成一个矩形。

二、圆垂径定理的证明方法：
1. 首先，连接圆心和垂足，将圆垂径问题转化成一个三角形和
一个圆交点的问题。

2. 然后，通过割圆等分弧的方法，证明垂线与弦长度相等。

3. 最后，根据直角三角形的性质，证明垂足在弦的中点上。

三、圆垂径定理的应用：
圆垂径定理在数学中有广泛的应用，例如：
1. 计算圆弧长度和面积，特别是在环形的测量问题中应用。

2. 解决不同形式的分割问题，例如分割圆弧使其长度达到所需
大小的问题。

3. 通过圆垂径定理，证明圆心角定理，从而推出其他的几何定理。

综上所述，初中九年级圆垂径定理是数学中的重要定理之一。

通
过学习和掌握这个定理，我们可以更好地理解和应用各种形式的几何
问题。

九年级圆垂径定理知识点

九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。

本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。

一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。

二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。

我们需要证明AO = BO。

首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。

根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。

又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。

由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。

代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。

通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。

进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。

所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。

因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。

2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。

设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。

直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。

根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。

将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。

简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。

中考考点突破之圆的专题复习

中考考点突破之圆的专题复习考点精讲1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；2.探索并证明垂径定理；3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；考点解读考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧AD; ②弧B D=弧C B；③C E=D E; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ,∠A =1/2∠O .图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A =∠C .② 直径所对的圆周角是直角.如图c ,∠C =90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A +∠C =180°，∠ABC +∠ADC =180°.考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d .(1)d <r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d >r ⇔点在⊙O 外．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a )、中心(O )、中心角(∠AOB )、半径(R ))、边心距(r ),如图所示①. 222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R r 边心距n ︒=360中心角②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：2180n R l r ππ==, S 侧=12lR =πrl考点突破1．（2021秋•德城区校级期中）在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB 为⊙C 的直径，若点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（）A ．（﹣a ﹣1，﹣b ）B ．（﹣a +1，﹣b ）C ．（﹣a +2，﹣b ）D ．（﹣a ﹣2，﹣b ）2．（2021秋•普兰店区期末）如图，⊙O 的半径为5，C 是弦AB 的中点，OC ＝3，则AB 的长是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2021秋•禹州市期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2020秋•永城市期末）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC 及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（2022•泗洪县一模）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D 的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC 于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．（2021秋•舞阳县期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上9．（2021秋•丛台区校级期中）下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在10．（2021秋•射阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等C．相等的弦所对的圆心角相等D．三角形的外心到三角形各边距离相等11．（2021秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．12．（2021•五通桥区模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC ＝4，CD的长为．13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．（2021秋•西峡县期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝．15．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝．16．（2021•内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，．求证：．17．（2021秋•长垣市期末）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD 于点E，AB＝3km，DF＝450m．（1）求圆的半径；（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．18．（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．19．（2021秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．20．（2021•信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．。

人教版九年级数学上册24.-垂径定理的应用(用)1课件(共39张)

经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
AD 据由1垂题A径设B定得理1A,BD7是.2A7.B2的3,C.6中D, 点,2C.是4, HANB的中12点M,CND就1.是5.拱高.
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R2 3.62 (R 2.4)2.
中点，EF过圆心O，CDAB为什么？
C F D 分析： CD AB
.O
CFE= BEF
A
E
B CFE=90
BEF=90
OFCD
OE AB
OF过圆心
OE过圆心
点F是CD中点点E是AB中点
2. 在我们生活中处处存在数学问题，比如：
某村在村口建一个如图形状的门楼，半圆拱的圆心距地面２米，半径１.５米。现有一辆高２.９米，宽２.５米的集装箱卡车，问能通过这个门楼吗？要解决这个问题，必须运用圆的有关知识，
你是第一个告知同学们解题方法和结果的吗？
随堂练习P92 4
赵州石拱桥
驶向胜利的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
圆的线段问题转化
O
为直角三角形问题
变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?
A C E DB O
（1）
AC
DB
O
（2）

第十六讲垂径定理-2021年新九年级数学(浙教版)(解析版)

第十六讲垂径定理3.3垂径定理【学习目标】1.掌握垂径定理及其推论；2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【基础知识】一、垂径定理 1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径 AC BC要点： 2.推论定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 要点：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【考点剖析】例1．如图，在⊙O 中，C 为弦AB 上一点，AC ＝2，BC ＝6，⊙O 的半径为5，则OC ＝（）A ．13B ．4C ．3D ．23【答案】A 【解析】过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，先根据垂径定理求出AD 的长，再由勾股定理求出OD 的长，在Rt △OCDCD ⊥ABAE=BE中根据勾股定理即可得出OC的长．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AC＝2，BC＝6，∴AB=8，∴AD=12AB=4，在Rt△AOD中，OA=5，AD=4，∴OD=22OA AD=3，在Rt△COD中，OD=3，CD=AD-AC=4-2=2，∴OC=，故选：A．．【点睛】此题考查圆的垂径定理，勾股定理，根据题意引出辅助线，利用垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键．例2．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】先根据OH⊥AB于点H可知，AH＝BH，CH＝DH，故可得出AC＝BD，AD＝BC，进而可得出结论．解：由垂径定理知，点H是AB的中点，也是CD的中点，则有CH＝HD，AH＝HB，所以AD＝BC，AC ＝BD．所以共有4组相等的线段．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．例3．下列说法错误的是()A．垂直于弦的直径平分弦B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧C．平分弦的直径平分弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦【答案】C【详解】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故选项A、B正确；C中，当被平分的弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧；D中，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦正确.故选C.例4．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB 交于点D，则AD的长为A ．95B ．C ．185D ．52【答案】C 【解析】如图，过C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，由垂径定理可得M 为AD 的中点，∵ABC 11S AC BC AB CM 22∆=⋅=⋅，且AC=3，BC=4，AB=5， ∴12CM 5=．在Rt △ACM 中，根据勾股定理得：222AC AM CM =+，∴222128199AM AM AM 5255⎛⎫=+⇒=⇒= ⎪⎝⎭（舍去负值）． ∴18AD 2AM 5==．故选C ．例5．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m 的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB 长度为150m ，那么这些钢索中最长的一根的长度为（）A ．50mB ．40mC ．30mD ．25m 【答案】D 【解析】设圆弧的圆心为O ，过O 作OC ⊥AB 于C ，交AB 于D ，连接OA ，先由垂径定理得AC ＝BC ＝12AB ＝75m ，再由勾股定理求出OC ＝100m ，然后求出CD 的长即可．【详解】解：设圆弧的圆心为O ，过O 作OC ⊥AB 于C ，交AB 于D ，连接OA ，则OA ＝OD ＝12×250＝125（m ），AC ＝BC ＝12AB ＝12×150＝75（m ）， ∴OC ＝22OA AC -＝2212575-＝100（m ），∴CD ＝OD ﹣OC ＝125﹣100＝25（m ），即这些钢索中最长的一根为25m ，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．例6．如图，在圆O 中，弦AB=4，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交圆O 于点D ，则CD 的最大值为（）A ．22B ．2C ．32D ．【答案】B 【解析】连接OD ，利用勾股定理得到CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可．【详解】连接OD ，如图，设圆O 的半径为r ， ∵CD ⊥OC ， ∴∠DCO=90°， ∴CD=2222OD OC r OC -=-，∴当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC ⊥AB 时，OC 最小，此时D 、B 重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=12AB=2， ∴CD 的最大值为2. 故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键.例7．如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心是，半径为3，函数y x =的图象被P 截得的弦AB的长为42a 的值是（） A ．23B ．22+C ．22D ．32+【答案】D【解析】PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE ⊥AB 于E ，连结PB ，由于OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（3，3），则△OCD 为等腰直角三角形，△PED 也为等腰直角三角形．由PE ⊥AB ，根据垂径定理得AE=BE=122在Rt △PBE 中，利用勾股定理可计算出PE=1，则22所以2 【详解】过P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，作于点E ，连接PB ，如图．的圆心坐标是(3,),3,a OC PC a ∴==，把3x =代入y x =得3y =， D ∴点坐标为，OCD ∴为等腰直角三角形， PED ∴也为等腰直角三角形．,PE AB ⊥1222AE BE AB ∴===，在Rt PBE △中，3,PB = ，32a ∴=+．故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．例8．如图，⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，CE ．若AB =8，CD =2，则△BCE 的面积为（）A ．12B ．15C ．16D ．18【答案】A 【详解】∵⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，AB=8，∴AC=BC=12AB=4．设OA=r ，则OC=r ﹣2，在Rt △AOC 中，∵AC 2+OC 2=OA 2，即42+（r ﹣2）2=r 2，解得r=5， ∴AE=10，∴BE=22221086AE AB -=-= ，∴△BCE 的面积=12BC•BE=12×4×6=12．故选A ．例9．如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是A ．当弦PB 最长时，ΔAPC 是等腰三角形 B ．当ΔAPC 是等腰三角形时，PO ⊥AC C ．当PO ⊥AC 时，∠ACP=30°D ．当∠ACP=30°时，ΔPBC 是直角三角形【答案】C 【解析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断【详解】当弦PB 最长时，PB 是⊙O 的直径，所以根据等边三角形的性质，BP 垂直平分AC ，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC ，即ΔAPC 是等腰三角形，判断A 正确；当ΔAPC 是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO ⊥AC ，判断B 正确；当PO ⊥AC 时，若点P 在劣弧AC 上，则∠ACP=30°，若点P 在优弧AC 上，则点P 与点B 重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C 错误；当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC 是直角三角形，判断D 正确．故选C ．例10．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，，则BOC ∠的度数为（）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D 【解析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC ，得出△OAC 是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．【详解】解：如图，∵， ∴．∵AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ， ∴AC BC =． ∴．故选D ．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明AC BC =.例11．如图，在半径为3的O 中，B 是劣弧AC 的中点，连接AB 并延长到D .使BD AB =，连接AC 、BC 、CD ，如果2AB =，那么CD 等于（） A ．2 B ．1C ．23D ．43【答案】D 【解析】BD AB =，BC AB =，得ACD 是直角三角形，以AB 为底1h 为高和以BO 为底2h 为高都等于2ABO S，12AB h BO h ⨯=⨯，221()222AB h AO =-=122224233AB h h BO ⨯⨯===28223AC h =⨯=，2243CD AD AC =- 【详解】解：∵BD AB =，BC AB =， ∴ACD 是直角三角形，设AOB 以AB 为底的高为1h ,BO 为底的高为2h ， ∴221()2AB h AO =-， ∵3AO =，2AB =， ∴22123()222h =-=，∵以AB 为底1h 为高与AB 之积和以BO 为底2h 为高与BO 之积都等于2ABO S∴12AB h BO h ⨯=⨯， ∴122224233AB h h BO ⨯⨯===，∴28223AC h =⨯=，∴2243CD AD AC =-=.本题的答案是：D 【点睛】考查垂径定理和三角形中位线的性质的综合应用.例12．如图，在半圆O 中，直径4AB =，C 是半圆上一点，将弧AC 沿弦AC 折叠交AB 于D ，点E 是弧AD 的中点．连接OE ，则OE 的最小值为（）A 21B ．42-C 21D ．222【答案】D 【解析】把弧AEC 的圆补全为⊙F ，可知点F 与点O 关于AC 对称，求出∠F=90°，CE 长，OE 的最小值为EC-OC ．【详解】解：把弧AEC 的圆补全为⊙F ，可知点F 与点O 关于AC 对称，半径为2， ∴∠FCA=∠ACO ， ∵OA=OC ，∴∠ACO=∠CAO ， ∴∠FCA=∠CAO ，∴CF ∥AB ，∵E 是弧AD 的中点， ∴FE ⊥AB ，∴∠F=∠BGE=90°， ∵FC=FE=2， ∴EC=22， ∵OE≥EC -OC 即OE≥22-2，OE 的最小值为222-，故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE 的取值范围．【过关检测】一、单选题1．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．D ．AC AD >【答案】D 【解析】根据垂径定理逐个判断即可．【详解】解：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 垂足为E ，则AB 是垂直于弦CD 的直径，就满足垂径定理．因而CE ＝DE ，BC BD =，∠BAC ＝∠BAD 都是正确的．根据条件可以得到AB 是CD 的垂直平分线，因而AC ＝AD ．所以D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．2．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，，则AE 的长为（）A ．2cmB ．8cmC ．16cmD ．18cm 【答案】D 【详解】解：∵弦CD AB ⊥于点E ，12cm CD =，∴16(cm)2CE CD ==．在Rt OCE 中，，∴，∴． 3．往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（）A ．8cmB ．10cmC ．14cmD ．16cm 【答案】D 【解析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD 的长．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB =48cm ， ∴BD =12AB =12×48=24（cm ）， ∵⊙O 的直径为52cm ，∴OB =OC =26cm ，在Rt △OBD 中，（cm ），∴CD =OC -OD =26-10=16（cm ），故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 4．CD 是圆O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若OE =3，AE =4，则下列说法正确的是（）A ．AC 的长为B ．CE 的长为3C ．CD 的长为12 D ．AD 的长为10 【答案】A 【解析】连接AO ，分别在Rt △AOE 中，Rt △ACE 中，Rt △ADE 中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可．【详解】解：连接AO ，∵AB ⊥CD 于点E ，OE =3，AE =4， ∴在Rt △AOE 中，根据勾股定理5AO ==,∵CD 为圆O 的直径， ∴OC=OD=OA=5，∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B 选项和C 选项错误；在Rt △ACE 中，根据勾股定理，故A 选项正确；在Rt △ADE 中，根据勾股定理AD ===D 选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件． 5．如图，在O 中，弦//AB CD ，OP CD ⊥，OM MN =，18AB =，12CD =，则O 的半径为（） A ．4B ．42C ．46D ．43【答案】C 【解析】连接OA ，OC ，根据垂径定理得CN =6，AM =9，设O 的半径为x ，根据勾股定理列出方程，即可求解．【详解】解：连接OA ，OC ，∵//AB CD ，OP CD ⊥， ∴OP AB ⊥，∵18AB =，12CD =， ∴CN =6，AM =9，设O 的半径为x ， ∵OM MN =， 2222629x x -=-46x =46-经检验是方程的根，且符合题意， ∴O 的半径为46故选C ．【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．6．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（） A ．9.6 B ．45C ．53D ．19【答案】A 【解析】先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC∵AB ⊥CD , OE ⊥AC ∴ AE =EC ，CF =FD ∵OE =3，OB =5 ∴OB =OC =OA =5 ∴在Rt △OAE 中∴AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-x =1.4在Rt △OFC 中， ∴29.6CD FC == 故选：A 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键 7．如图，已知O 的半径为5，弦8,AB P =为AB 上的动点（不与端点,A B 重合），若线段OP 的长为正整数，则满足条件的点P 的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个【答案】C 【详解】当P 为AB 的中点时，由垂径定理可知此时OP 最短．O 的半径为5，弦8,AB =∴此时3OP =；当点P 与点A 或点B 重合时，此时OP 最长，5,35OP OP =∴≤<．3OP ∴=或4，根据圆的对称性可知，满足条件的点P 的个数有3个．8．如图，,,AB AC BC 都是O 的弦，,OM AB ON AC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，若2MN =，则BC 的值为（）A ．3.5B ．2C ．3D ．4【答案】D 【详解】根据垂径定理，得M ，N 分别是AB 与AC 的中点，故MN 是ABC 的中位线，由三角形的中位线定理得24BC MN ==． 9．如图，在半径为5的O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EC EB 、．若2CD =，则EC 的长为（）A ．B ．8C ．D ．【答案】D 【解析】由垂径定理和勾股定理得4AC BC ==，再证OC 是△ABE 的中位线，得26BE OC ==，然后由勾股定理求解即可．【详解】解：∵⊙O 的半径为5， ∴OA ＝OD ＝5， ∵CD ＝2，∴3OC OD CD =-=， ∵OD ⊥AB ， ∴，∵OA ＝OE ，∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝6， ∴，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．10．如图，矩形ABCD 中，60AB =，45AD =，P ，Q 分别是AB ，AD 边上的动点，52PQ =，以PQ 为直径的O 与BD 交于点M ，N ．则MN 的最大值为（）．A ．48B ．45C ．42D ．40 【答案】A 【解析】过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，先利用勾股定理计算出BD =75，则利用面积法可计算出AH =36，再证明点O 在AH 上时，OH 最短，此时HM 有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN 的最大值．【详解】解：过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，在Rt △ABD 中，BD 75==，∵12×AH ×BD =12×AD ×AB ， ∴AH ==36， ∵⊙O 的半径为522=26， ∴点O 在AH 上时，OH 最短，∵HM∴此时HM有最大值，最大值为：24，∵OH⊥MN，∴MN=2MH，∴MN的最大值为2×24=48．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．11．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（）A．3 B．C．D．6【答案】A【解析】过O作OF⊥CD于F，由OC=OD，由三线合一可得CF=DF=132CD=，∠COF=∠DOF=12COD∠，由OE⊥AB，OA=OB，由三线合一AE=BE，∠AOE=∠BOE=12AOB∠，可得∠COF+∠AOE90=︒，由∠AOE+∠EAO=90°，可得∠EAO=∠COF，可证△AOE≌△OCF（AAS）可得OE=CF=3即可．【详解】解：过O作OF⊥CD于F，∵OC=OD，∴CF=DF=116322CD=⨯=，∠COF=∠DOF=12COD∠∵OE⊥AB，OA=OB，∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=12AOB ∠，∴∠COF+∠AOE =12COD∠+12AOB∠=，又∵∠AOE+∠EAO=90°，∴∠EAO=∠COF，在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴OE=CF=3．故选择：A．【点睛】本题考查等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质掌握等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质是解题关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF//AB 分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（）A ．16B ．20C ．25D ．30【答案】C 【解析】连接AF ，BD ，先证明四边形ABDF 是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC +BC ＝15，求出k 的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积．【详解】解：连接AF ，BD ，如图，∵AC 、BC 是直径， ∴∠AFC =90°，∠BDC =90°， ∵DF //AB ，∴四边形ABDF 是矩形， ∴AB =FD ；取AB 的中点O ，作OG ⊥FD ， ∵，则设10DF k =，6CE k =，由垂径定理，则132CG CE k ==， ∴5OC OA OB k ===，∴4OG k =，，2CF DE k ==，由勾股定理，则AC ==，，∵AC +BC ＝15，∴15+=，∴k =；∴5AC =，10BC =，AB DF == ∴阴影部分的面积为 ∴；故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而求出线段的长度，进而求出面积．二、填空题13．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为M ，若CM ＝4，则AB 的长为_____．【答案】16【解析】连接OA，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB＝2AM．【详解】解：连接OA，∵⊙O的直径CD＝20，∴OA＝OC＝10，∵CM＝4，∴OM＝10﹣4＝6，在Rt OAM中，由勾股定理得：AM8，∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．14．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，BC的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是_____．【答案】10．【解析】由DE⊥BC，DE平分弧BC，根据垂径定理的推论得到圆心在直线DE上，设圆心为O，连结OB，设圆的半径为R，根据垂径定理得BE＝CE＝12BC＝8，然后根据勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，再解方程即可．【详解】∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，如图，连结OB，设圆的半径为R，则OE＝R﹣4，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝12×16＝8，在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，即这个圆形工件的半径是10．故答案为10【点睛】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理的应用很广泛，常见的有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．15．过O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为=_________【解析】根据圆中的概念，首先应明确过一点圆中最长的弦是过这点的直径，最短的弦是垂直于这点和圆心的连线的弦，从而根据垂径定理和勾股定理进行计算．【详解】解：如图所示，直径AB是过点N的最长的弦，过点N作弦CD⊥AB，则CD是过点N的最短的弦，连接OC．∵ON⊥CD，∴CN＝12CD＝2，∵OC＝3，∴ON=，【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理，难点在于弄清过圆内一点的最长的弦和最短的弦．16．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．【答案】cm【解析】设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．【详解】根据题意获得下图：设OB=r cm，∵刻度尺的宽为2cm，∴OC=r-2，∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，∴BC=12×6=3，在Rt△OBC中，∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm．故答案为cm．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．17．如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=12∠BOD,则⊙O的半径为___.【答案】5 【解析】先根据∠BAC=12∠BOD可得出弧BC=弧BD，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】∵∠BAC=12∠BOD，∴弧BC=弧BD，∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，∴DE=12CD=4，设OD=r，则OE=AE−r=8−r，在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8−r，∵OD=DE+OE,即r=4+(8−r) ，解得r=5.故答案为5.【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题关键在于得出AB⊥CD.18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P P的坐标为_______.【答案】（3，2）．【解析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=12OA=3，在Rt△OPD中∵OD=3，∴PD=2∴P(3，2) .故答案为（3，2）．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝2cm，则球的半径为____cm．【答案】5 4【解析】首先找到EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，设OF ＝x ，则OM 是2﹣x ，MF ＝1，然后在直角三角形MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可．【详解】解：EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝∠D ＝90°，∴四边形CDMN 是矩形， ∴MN ＝CD ＝2设OF ＝x ，则ON ＝OF ，∴OM ＝MN ﹣ON ＝2﹣x ，MF ＝1，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2＝OF 2，即：（2﹣x ）2+12＝x 2，解得：x ＝54，故答案为：54．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．20．如图，AB 是⊙o 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ,那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为__________.【答案】6cm. 【解析】试题分析：过O 作OG ⊥CD 于G ，连接OC ，如图所示，∵OG ⊥CD ，CD=8cm ，∴G 为CD 的中点，即CG=DG=4cm ，在Rt △OCG 中，OC=12AB=5cm ，CG=4cm ，根据勾股定理得：=3cm ，又AE ⊥EF ，OG ⊥EF ，BF ⊥EF ，∴AE ∥OG ∥BF ，又O 为AB 的中点，∴G 为EF 的中点，即OG 为梯形AEFB 的中位线，∴OG=12（AE+BF ），则AE+BF=2OG=6cm ．故答案为6cm ．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．梯形中位线定理． 21．O 的半径为13cm ，AB 、CD 是O 的两条弦，．，10cm CD =，则AB 和CD 之间的距离为______ 【答案】7cm 或17cm 【解析】作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，根据平行线的性质得OF ⊥CD ，再利用垂径定理得到AE ＝12，CF ＝5，然后根据勾股定理，在Rt △OAE 中计算出OE ＝5，在Rt △OCF 中计算出OF ＝12，再分类讨论：当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF ＝OF ＋OE ；当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF ＝OF−OE ．【详解】解：作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，∵AB ∥CD ， ∴OF ⊥CD ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝12，CF ＝DF ＝12CD ＝5，在Rt △OAE 中，∵OA ＝13，AE ＝12，∴OE ，在Rt △OCF 中，∵OC ＝13，CF ＝5，∴OF ，当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF ＝OF ＋OE ＝12＋5＝17；当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF ＝OF−OE ＝12−5＝7；即AB 和CD 之间的距离为7cm 或17cm ．故答案为：7cm 或17cm ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和分类讨论的数学思想．22．如图，AB 、CD 是半径为5的O 的两条弦，8AB =，6CD =，MN 是直径，AB MN ⊥于点E ，CD MN ⊥于点FPC ，P 为EF 上的任意一点，则PA PC +的最小值为____.【答案】【解析】A 、B 两点关于MN 对称，因而PA+PC=PB+PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA+PC 的最小，即BC 的值就是PA+PC 的最小值【详解】连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE= 114,322BE AB CF CD ====4OF ===∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH 中根据勾股定理得到则PA+PC 的最小值为【点睛】正确理解BC 的长是PA+PC 的最小值，是解决本题的关键．三、解答题23．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长．【答案】8【解析】连接OB ，先根据垂径定理求出BM=12AB ，再根据勾股定理求出BM 的值，从而求出AB 的长度．【详解】解：连接OB ，则OB ＝12×10＝5， ∵OM ⊥AB ，OM 过O ， ∴AB ＝2AM ＝2BM ，在Rt △OMB 中，由勾股定理得：BM 4， ∴AB ＝2BM ＝8．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，通过连接OA 构造直角三角形进而利用勾股定理求解．24．已知：如图，在O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥，垂足为E.求证：AE EB =，AC BC =，.【答案】详见解析【解析】连接OA ，OB ，则OA OB =.然后根据轴对称的性质解答即可. 【详解】证明：如图，连接OA ，OB ，则OA OB =.又CD AB ⊥，直线CD 是等腰OAB 的对称轴，又是O 的对称轴.沿着直径CD 所在直线折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A 点和B 点重合，AE 和BE 重合，AC 和BC ，AD 和BD 分别重合.，AC BC =，【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧． 25．如图，P 是⊙O 外一点，PA 交⊙O 于点B ，PD 交⊙O 于点C ，且∠APO=∠DPO. 弦AB 与CD 相等吗？为什么？【答案】AB=CD. 【解析】过O 点分别作AB 和CD 的垂线，交点分别为E 和F ，连接AO 和DO.由垂径定理可得OE 和OF 分别是AB 和CD 的垂直平分线；证明△PEO ≌△PFO 得OE=OF ，再证△AEO ≌△DFO 得AE=DF 即可. 【详解】解：AB=CD.证明：过O 点分别作AB 和CD 的垂线，交点分别为E 和F ，连接AO 和DO ，∵∠OEP=∠OFP=90°，∠APO=∠DPO ，PO=PO,∴△PEO ≌△PFO ，∴OE=OF ，∵OE 为弦AB 的垂线，OF 为弦CD 的垂线，∴AE=EB ，DF=CF ，、∵AO=DO ，∴△AEO ≌△DFO ，∴AE=DF ，∴AB=2AE=2DF=CD ，即AB=CD.【点睛】本题结合三角形全等综合考察了垂径定理的知识.26．如图所示，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，AC ＝CD ＝OP 的长．【答案】1.【解析】试题分析：连接OC ,利用垂径定理构造直角三角形，求出圆的半径OC ,再求OP .试题解析：解：连接OC ，∵AB 是直径，CD ⊥AB ，∴CP ＝12CD Rt △ACP 中，AP =3，∴OP ＝AP －AO ＝3－AO ＝3－OC ．在Rt △COP 中，OC 2＝OP 2＋CP 2，即OC 2＝(3－OC )2＋．解得OC ＝2．∴OP ＝3－2＝1．27．在直径为10cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB 为6cm ，当油面宽AB 为8cm 时，油上升了多少厘米？王源的解题步骤如下：[解]连接AO ，过点O 作OC AB ⊥于点C ．OC AB ⊥于点C ，且AB 为弦，12AC AB ∴=．当6cm AB =时，在Rt OAC △中，105cm,3cm,4cm 2OA AC OC ===∴==．当8cm AB =时，在Rt OAC 中，105cm,4cm,3cm 2OA AC OC ===∴==． 431(cm)∴-=．即油上升了1cm ．请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．【答案】王源的解题过程不正确．正确解题步骤见解析．油上升了1cm 或7cm ．【解析】连接AO ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB=6cm 和8cm 时OC 的长度，即可得出结论．【详解】王源的解题过程不正确．正确解题步骤如下：连接AO ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示．∵OC AB ⊥于点C ，且AB 为弦，12AC AB ∴=．当6cm AB =时，在Rt OAC 中，5cm 3cm OA AC ==，，4cm OC ∴==；当8cm AB =时，在Rt OAC 中，5cm 4cm OA AC ==，，3cm OC ∴=．431(cm)∴-=或437(cm)+=．答：油上升了1cm 或7cm ．【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是求出OC 的长，根据OC 的变化来得出结论． 28．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?【答案】能通过【解析】先求出弧形所在圆的半径；根据船宽，在Rt △OCH 中，利用勾股定理可以求出此拱桥可以通过的船的高度，与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．【详解】解：AB=7.2米,CD=2.4米,EF=3米．D 为AB 、EF 的中点,且CD,ME,NF 均垂直于AB,MN 交CD 于H ．弧AB 所在的圆心为O,连接OA,ON ．设OA=r,则OD=OC-DC=r-2.4,AD=12AB=3.6 有OA 2=AD 2+OD 2即在Rt △OAD 中，r 2=3.62+（r-2.4）2∴r=3.9（米）在Rt △ONH 中，有 3.6=（米）．所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（米）这里2米＜2.1米,故可以通过该桥．但是余量较小,要非常小心才好．故答案为能通过.【点睛】本题考查垂径定理的应用, 勾股定理，解本题的关键是求出此拱桥可以通过的船的高度，再与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．29．如图，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于E ，连接BC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，若8BD cm =，2AE cm =，（1）求O 的半径；（2）求O 到弦BC 的距离．【答案】（1）O 的半径为5cm ；（2）O 到BC 【解析】（1）连接，设半径为r ，则2OE r =-，构建方程即可解决问题．（2）根据1122BCO S BC OF OC BE ∆=⋅=⋅，求解即可．【详解】解：（1）连接，设半径为r ，则2OE r =-，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于E ，8BD cm =，，在Rt OBE ∆中，222OE BE OB +=，222(2)4r r ∴-+=5r ∴=．（2）5r =， 10AC ∴=，8EC =，，OF BC ⊥，1122BCO S BC OF OC BE ∆∴=⋅=⋅54OF ∴=⨯，OF ∴=．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30．已知：△AC 内接于⊙O ，D 是弧BC 上一点，OD ⊥BC ，垂足为 H.（1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证：AC=2OH ；（2）如图 2，当圆心 O 在△ABC 外部时，连接 AD 、CD ，AD 与 BC 交于点 P ．求证：∠ACD=∠APB ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由OD ⊥BC 可知H 是BC 的中点，根据中位线的性质即可证明.（2）根据垂径定理可知BD =CD ，得∠BAD=∠DAC ，∠B=∠ADC ，根据三角形的内角和即可证明.【详解】（1）证明：∵OD ⊥BC ，∴BH=HC ，∴AC=2OH ．（1）证明：∵OD ⊥BC ，∴BD =CD ,∴∠BAD=∠DAC ，∵∠B=∠ADC ，∠APB+∠BAD+∠B=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠APB=∠ACD ．【点睛】考查圆周角定理，三角形中位线性质，三角形内角和定理等，比较基础，难度不大.31．如图,,,,A B C D 在O 上,//AB CD 经过圆心O 的线段EF AB ⊥于点F ，与CD 交于点E .(1)如图1,当O 半径为5,CD =若EF BF =,求弦AB 的长;(2)如图2,当O ,CD =若OB OC ⊥,求弦AC 的长.【答案】(1)8 (2)【解析】(1)连接OB OC 、，根据垂径定理求出OE 的长，因为EF BF =，进而在Rt BOF ∆中根据勾股定理求出BF 长，所以求出AB 的长即可;(2) 连接AB ,过点D 作DM AC ⊥于点M ，根据勾股定理和垂径定理求出OE ，可以证明BFO OEC ∆∆≌,进而求出EF 的长，根据所做的辅助线DM AC ⊥，可得DMC ∆为等腰直角三角形，所以可以求出DM 的长，然后根据1122ADC S DC EF AC DM ∆=⨯⨯=⨯⨯，进而求出AC 的长；【详解】解：(1) 连接OB OC 、，根据垂径定理求出OE 的长，即：,EF BF =,设BF x =，则1OF x =-，由勾股定理得：222BF OB OF =-,即：2225(1)x x =--，解得：4x =,;(2)连接AB ,过点D 作DM AC ⊥于点M ，如图所示：。

【优质】初三九年数学：《专题二十一)垂径定理的应用》ppt课件

类型三、利用弦所对的弧相等，进行角的计算与证明 5. 如图，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，若∠O＝70°，求∠A＋∠C的度数．
解：连接 OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO.又∵OD 是⊙O 的半径，弦 AB⊥OD 于 E，∠O＝70°，∴A︵D＝B︵D，∠AOB＝140°，∴∠C＝12∠AOD ＝35°，∠A＝∠ABO＝20°，∴∠A＋∠C＝55°
CD (2)设 OB＝a，则 CD＝4a，AC＝3a，OA＝2a，∵∠AOE＝30°，∴OE
＝ 3a，∴a＝1，CD＝4，∵OE⊥CD，∴DE＝CE＝2，∴OC＝ OE2＋CE2＝ 7
类型二、利用垂径定理，构造直角三角形 3. 如图所示，一辆卡车装满货物后，高4 m，宽3 m，这辆卡车能通过横截面积如图(上方为半圆)的隧道吗？为什么？
类型一、利用平分弦，解有关线段问题 1. (闵行区一模)如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C.弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA＝6.求： (1)⊙O的半径； (2)弦CD的长．
解：(1)设 OC＝x，∵弦 CD 垂直平分半径 AO，∴OE＝12OA＝12x，∵PC
8. 如图，点 A，B 是半圆 O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD＝80°， B 是A︵D的中点．
(1)在 CD 上求作一点 P，使得 AP＋PB 最短； (2)若 CD＝4 cm，求 AP＋PB 的最小值．
解：(1)作 BB′⊥CD，交圆于 B′，然后连接 AB′，交 CD 于点 P，则 P 就是所求的点 (2)延长 AO 交圆于 E，连接 OB′，B′E.∵BB′⊥CD，∴B︵D＝B︵′D， ∵∠AOD＝80°，B 是A︵D的中点，∴∠DOB′＝12∠AOD＝40°，∴∠AOB′ ＝∠AOD＋∠DOB′＝120°，又∵OA＝OB′，∴∠A＝180°－2∠AOB′＝30°. ∵AE 是圆的直径，∴∠AB′E＝90°，∴在 Rt△AEB′中，B′E＝12AE＝2， ∴AB′＝ AE2－B′E2＝2 3(cm)，即 AP＋PB 的最小值为 2 3 cm

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用（一）一．选择题1．如图，⨀O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A．PC•CA＝PB•BD B．CE•AE＝BE•EDC．CE•CD＝BE•BA D．PB•PD＝PC•PA2．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A．B．C．5 D．3．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16 B．24 C．12 D．不能确定4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5 C．+1 D．6．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD长为（）A．6 B．12 C．8 D．不能确定7．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝6，BE＝2，CD＝2，则∠AED的度数是（）A．30°B．60°C．45°D．36°8．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，且⊙O的半径为3．若AP＝4，PB＝1，则OP的长是（）A．2 B．2C．D．9．在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O的直径为（）A．4 B．5 C．8 D．1010．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（）A．B．2 C．D．二．填空题11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．12．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，且E分AB所得线段比为1：3，若AB＝4，DE﹣CE＝2，则CD的长为．13．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE：DE＝3：5，则AC：BD＝．14．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝．三．解答题16．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．（1）试说明：△PAC∽△PDB；（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．17．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．18．九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB＝PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可已证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．19．如图，（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP＝（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD＝，求PC、PD的长．20．请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP＝1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．参考答案一．选择题1．解：∵∠P＝∠P，∠A＝∠D，∴△PAB∽△PDC，∴＝，∴PB•PD＝PC•PA，故选：D．2．解：EC＝AC﹣AE＝，由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，则DE＝＝，∴BD＝DE+BE＝，故选：B．3．解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．4．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵BC＝3，BE＝1，∴CE＝2，由相交弦定理得：AE•EF＝BE•CE，∴EF＝＝，∴AF＝AE+EF＝；故选：A．6．解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴PD＝6，∴CD＝PC+PD＝2+6＝8．故选：C．7．解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH＝CH＝CD（垂径定理）；∵CD＝2，∴DH＝．又∵AE＝6，BE＝2，∴AB＝8，∴OA＝OD＝4（⊙O的半径）；∴OE＝2；∴在Rt△ODH中，OH＝＝＝（勾股定理）；在Rt△OEH中，sin∠OEH＝＝，∴∠OEH＝45°，即∠AED＝45°．8．解：延长CP交圆于一点D，连接OC，∵PC⊥OP，∴PC＝PD，∴PC2＝PA•PB，∵AP＝4，PB＝1，∴PC2＝4×1，∴PC＝2，∴OP＝＝＝．故选：C．9．解：∵AB⊥CD，AP＝PB＝4，∴CD为⊙O的直径，由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，即2PD＝16，解得，PD＝8，故选：D．10．解：连接OD交AC于H，如图，∵点D是的中点，∴OD⊥AC，AH＝CH＝2，∴PH＝1，∵AP•PC＝BP•PD，∴PD＝＝，在Rt△PDH中，DH＝＝，在Rt△DCH中，CD＝＝．故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，∴5×4＝3×DP，解得，DP＝，故答案为：．12．解：∵E分AB所得线段比为1：3，AB＝4，∴AE＝1，EB＝3，由相交弦定理得，AE•EB＝CE•ED，∴1×3＝CE×（CE+2），解得，CE1＝1，CE2＝﹣3（舍去），则CE＝1，DE＝2，∴CD＝1+3＝4，故答案为：4．13．解：∵弦AB、CD相交于点E，∴∴∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△ACE∽△DBE，∴＝＝，故答案为：3：5．14．解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．∵PD∥CH，∴＝＝＝，∴CH＝3a，∵BD：AD＝2：3，∴BD：AD＝BD：BH，∴AD＝BH，∴BD＝AH，∴AH：AD＝2：3，∴CH∥DE，∴＝＝，∴DE＝a，∴PE＝a﹣2a＝a，∵BC＝10，BP：PC＝2：1，∴PB＝，PC＝，∵PB•PC＝PD•PE，∴5a2＝，∴a＝（负根已经舍弃），∴PD＝2a＝．故答案为．15．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．三．解答题（共5小题）16．（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△PAC∽△PDB；（2）解：由相交弦定理得到，PA•PB＝PC•PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），解得，PC＝2或6，则PD＝6或2，∵PC＞PD，∴PC＝6，PD＝2．17．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．18．解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，求证：AP•BP＝CP•DP．证明如下：连结AC，BD，如图1，∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△APC∽△DPB，∴AP：DP＝CP：BP，∴AP•BP＝CP•DP；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2）过P作直径CD，如图2，∵AB＝10，PA＝4，OP＝5，∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC+OP＝R+5，PD＝OD﹣OP＝R﹣5，由（1）中结论得，PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝（R+5）×（R﹣5），解得R＝7（R＝﹣7舍去）．所以⊙O的半径R＝7cm．19．解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD．根据题意，得CD＝8，OD＝5．根据垂径定理，得PD＝4，根据勾股定理，得OP＝3；（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．根据（1）的求解方法，得OQ＝4，则PQ＝1或7；（3）连接AM、BN．∵∠A＝∠N，∠M＝∠B，∴△APM∽△NPB，∴，即PM•PN＝PA•PB；（4）作直径AB，根据相交弦定理，得PC•PD＝PA•PB＝（5﹣3）（5+3）＝16，又CD＝，设PC＝x，则PD＝﹣x，则有x（﹣x）＝16，解得x＝3或x＝．即PC＝3或，PD＝或3．20．解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．∵PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R，∴Q与A重合，R与C重合．∵OP＝1，AC＝4，∴PQ＝1，PR＝3，∴+＝1+＝．（2）连接OA，∵OP⊥AC于点P，且OP＝1，OA＝2，∴∠OAP＝30°．∴AP＝．∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，∴OA∥PQ，∠PQA＝90°．∴∠APQ＝∠OAP＝30°．在Rt△AQP中，PQ＝，同理，PR＝，∴．（3）猜想．证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，∴∠ECA＝90°．∵AE⊥直线m，PQ⊥直线m，∴AE∥PQ且∠PQA＝90°．∴∠EAC＝∠APQ．∴△AEC∽△PAQ．∴①同理可得：②①+②，得：+＝+∴＝（）＝•＝．过P作直径交⊙O于M，N，根据阅读材料可知：AP•PC＝PM•PN＝3，∴＝．。

专题02 垂径定理及其应用(原卷版)-2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法

专题02 垂径定理及其应用概念规律重在理解1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.2.垂径定理及其推论（1）垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE,温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.（2）垂径定理的推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.4.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r典例解析掌握方法【例题1】（2021广西来宾）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC=30°，则OD的长是（）A. B. C. 2 D. 3【例题2】（2021湖南长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为．【例题3】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.【例题4】如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.【例题5】已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

你认为AC和BD 有什么关系？为什么？各种题型强化训练一、选择题1．（2021四川南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°2．（2021湖北鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米3．在O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．154．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A．0.5 B．1 C．2 D．45．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（）A．6.5米B．9米C．13米D．15米6．如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（）A．10平方米B．10π平方米C．100平方米D．100π平方米7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．25B．10 C．4 D．58．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．26寸B．25寸C．13寸D．寸9．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm10．（2020·江苏南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是（）A．(9,2)B．(9,3)C．(10,2)D．(10,3)二、填空题1．（2021贵州黔东南）小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．2．（2021黑牡鸡）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．3．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD 的宽度为2米，F 是线段CD 的中点，EF 经过圆心O 交⊙O 于点E ，EF ＝3米，则⊙O 直径的长是米．4．现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AB 和CD平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC ＝2米，AB ＝1米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方米．（结果保留π）5．已知⊙O 的直径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，//AB CD ，8cm AB =，6cm CD =，则AB 与CD 之间的距离为________cm ．三、解答题1．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．2．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r ．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B （∠B＝90°），并使较长边与⊙O 相切于点C ．（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为．。

2021年数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用(二)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（二）一．选择题1．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm2．已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m，若水面高0.2m．则排水管道截面的水面宽度为（）A．0.6m B．0.8m C．1.2m D．1.6m3．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，MO 交圆于E，EM＝6，则圆的半径为（）A．4 B．2C．D．4．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm5．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分）的面积约为（）A．（π﹣）cm2B．（π﹣25）cm2C．（π﹣）cm2D．（25π﹣）cm26．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②图1中，点A到上任意一点的距离都相等；③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④7．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，求圆的直径”（1尺＝10寸）根据题意直径长为（）A．10寸B．20寸C．13寸D．26寸8．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，则此时排水管水面宽为（）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m9．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m10．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD ＝（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸二．填空题11．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是．12．如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB＝80cm，则水深CD约为cm．13．排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半径等于dm．14．（1）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是．（2）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A＝70°，则∠BOC＝，∠EDF＝．（3）边长为4的等边三角形内切圆半径和外接圆半径分别是．（4）等腰三角形ABC外接圆的半径是5，底边BC＝4，则△ABC的面积为．15．如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为5m，油的最大深度CD＝4m（CD ⊥AB），则油面宽度AB为m．三．解答题16．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．17．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；18．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．19．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．20．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC ＝80cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝40cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，求出D1D2的长度．．参考答案一．选择题1．解：连接AB、CD交于点D，由题意得，OC⊥AB，则AD＝DB＝AB＝4，设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得，R＝5，则该铁球的直径为10cm，故选：B．2．解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：则AB＝2BC，∠OCB＝90°，OB＝OD＝1m，CD＝0.2m，∴OC＝OD﹣CD＝0.8m，∴BC＝＝＝0.6（m），∴AB＝2AC＝1.2m，∴排水管道截面的水面宽度为1.2m，故选：C．3．解：连接OC，∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圆的半径长是．故选：D．4．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝4cm，设OA＝rcm，则OD＝（r﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5．∴该输水管的半径为5cm；故选：B．5．解：连接OA、OB，∵品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，∴OA＝OB＝5cm，∠BOA＝90°，∴阴影部分的面积S＝S扇形BOA﹣S△BOA＝﹣＝（π﹣）cm2，故选：A．6．解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A到上任意一点的距离都相等，正确；③、设等边三角形DEF的边长为a，∴勒洛三角形的周长＝3×＝aπ，圆的周长＝aπ，∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确．④夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误，故选：B．7．解：连接OD，OA，∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，∴AD＝5寸，在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13，故圆的直径为26寸，故选：D．8．解：如图：作OE⊥AB于E，反向延长交CD于F，∵CD∥AB，∴EF⊥CD，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了1.4m，∴OF＝1.4﹣0.8＝0.6m，∴CF＝＝＝0.8m，∴CD＝2CF＝1.6m，∴此时排水管水面宽为1.6m，故选：C．9．解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设⊙O的半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．10．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，∵DE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，如图，连结OB，设圆的半径为R，则OE＝R﹣DE＝R﹣4，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×16＝8，在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，即这个圆形工件的半径是10．故答案为：1012．解：连接OA、如图，设⊙O的半径为R，∵CD为水深，即C点为弧AB的中点，CD⊥AB，∴CD必过圆心O，即点O、D、C共线，AD＝BD＝AB＝40，在Rt△OAD中，OA＝50，OD＝50﹣x，AD＝40，∵OD2+AD2＝OA2，∴（50﹣x）2+402＝502，解得x＝20，即水深CD约为为20．13．解：连接OA，∵AB＝8，OC⊥AB，∴AC＝AB＝4．∵OC＝3，∴OA＝＝＝5（dm）．故答案为：5．14．解：（1）如图1所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，∵OC⊥AB，OA＝OB∴O即为此圆形镜子的圆心，∵AC＝1，OC＝2，∴OA＝＝＝．故这个镜面的半径是，故答案为；（2）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝125°；如图所示；连接OE，OF．∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣60°﹣70°＝50°．∵AB是圆O的切线，∴∠OFA＝90°．同理∠OEA＝90°．∴∠A+∠EOF＝180°．∴∠EOF＝110°．∴∠EDF＝55°；故答案为：125°，55°；（3）如图3，设O为等边△ABC的内心（也是等边△AB的外心），连接OA、OC、OB，设AO交BC于D，则A D⊥BC，BD＝DC，即OB是△ABC外接圆的半径，OD是△ABC内切圆的半径，∵BC＝4，∴BD＝DC＝2，∵O为等边△ABC内切圆的圆心，∴∠OBD＝∠ABC＝×60°＝30°，在Rt△OBD中，OD＝BD•tan30°＝2×＝；∴OB＝2OD＝，∴正三角形的内切圆半径是，外接圆半径是．故答案为：，；（4）如图4，连接AO，并延长与BC交于一点D，连接OC，∵BC＝4，⊙O的半径为5，AB＝AC，∴CD＝2，∴AD⊥BC，∴由勾股定理得：OD＝＝，∴AD＝5+，∴△ABC的面积为BC×AD＝4×（5+）＝10+2，同理当BC在圆心O的上方时，三角形的高变为5﹣，∴△ABC的面积为BC×AD＝10﹣2．故答案为：10+2或10﹣2．15．解：连接OA，由题意得，OA＝2.5m，OD＝1.5m，∵CD⊥AB，∴AD＝＝2m，∴AB＝2AD＝4m，故答案为：4．三．解答题（共5小题）16．解：作弦AC的垂直平分线交直线CD于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．17．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．18．解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，由作法得，CE＝DE＝0.8m，又∵OC＝OA＝1m，在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．所以这辆卡车能通过厂门．19．解：如图，连接OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM＝MD．∵CD＝10，∴CM＝5．设OC＝x，则OM＝25﹣x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25﹣x）2＝x2．解得x＝13．∴⊙O的半径为13．20．解：（1）如图1中，连接B1C1交AD1于H．∵AD1＝D1B1＝40cm，∴D1是所在圆的圆心，在Rt△B1HD1中，HB1＝40•sin60°＝20，∴B 1C1＝2HB1＝40（cm），故答案为40．（2）如图2中，连接B1C1交AD1于H，连接B2C2交AD2于T．由题意：＝π•B2T，∴AT＝B2T＝（cm），在Rt△B2TD2中，D2T＝＝，∵AH＝HD1＝20，∴HT＝﹣20＝，∴D1D2＝HD2﹣HD1＝+﹣20＝﹣．。

九年级数学圆第三节垂径定理知识梳理及典例分析

第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。

4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。

【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。

垂径定理九年级知识点

垂径定理九年级知识点垂径定理，也称为垂径长定理，是几何中一个重要的定理，用来描述圆内任意两条互相垂直的直径和其所对应的弦的关系。

下面将详细介绍有关垂径定理的九年级知识点。

1. 垂径定理的表述垂径定理指出，一个圆的直径与其所对应的弦垂直相交，具体表述为："在一个圆内，如果一条弦垂直于直径，那么这条弦将被切成两段，而且这两段的乘积等于每个一段的长度与直径的乘积，即 d1×d2=2×r×a"。

其中，d1和d2分别代表切割弦的两段，r代表圆的半径，a代表这两段与直径的距离。

2. 垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。

首先，假设圆的直径AB与弦CD互相垂直相交于点O，以及切割弦CD的两段为CE和ED。

根据垂径定理的表述，我们可以得出以下几个等式：AE×EB = CE×ED （1）AO×OB = CO×OD （2）由于AO = CO, OB = OD，将式（2）代入式（1），我们可以得到：AE×EB = AO×OB = r×r = r²因此，垂径定理得证。

3. 垂径定理的应用垂径定理在几何证明和问题求解中经常被应用。

下面介绍几个常见的应用场景：a. 证明两条直线垂直相交当需要证明两条直线垂直相交时，可以利用垂径定理。

首先，通过画圆和连接弦的方式将直线和圆相交，然后利用垂径定理得出圆内两条互相垂直的直径和它们对应的弦的关系，进而推断出直线的垂直关系。

b. 求解弦长已知圆的半径和一个垂直切线与弦的交点坐标，可以利用垂径定理求解弦的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的半径和切线坐标计算出弦的长度，从而得到所需的结果。

c. 求解直径长已知圆的半径和两条互相垂直的弦的长度，可以利用垂径定理求解直径的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的弦长和半径计算出直径的长度，进而得到所需的结果。

【2021中考数学冲刺】圆的综合必刷题(一)含答案

2021年中考二轮复习专题数学圆的综合（一）1．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．2．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．（1）求证：AB＝BM；（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sin B＝，求ED的长．4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．7．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP ＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．8．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D 作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的长．11．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿AB边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒3cm的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．解答下列问题：（1）当Q在BC边时，①当t为秒时，PQ的长为2cm？②连接AQ，当t为几秒时，△APQ的面积等于16cm2？（2）如图2，以P为圆心，PQ长为半径作⊙P，在整个运动过程中，是否存在这样的t 值，使⊙P正好与△ABD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．12．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，点D在上，AC、BD相交于点E，F是BD 上一点，且BF＝AD．（1）求证：CF⊥CD；（2）连接AF，若∠CAF＝2∠ABF；①求证：AC＝AF；②当△ACF的面积为12时，求AC的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED 的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求CF的长．14．已知AB是⊙O的直径，C是圆外一点，直线CA交⊙O于点D，B、D不重合，AE平分∠CAB交⊙O于点E，过E作EF⊥CA，垂足为F．（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若EF＝2AF，⊙O的直径为10，求AD．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．参考答案1．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠DAE＝∠ACE，∴∠DAC+∠DAE＝90°，即∠CAE＝90°，∴AP是⊙O的切线；（2）连接DB，如图1，∵PA和PB都是切线，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，∵PD＝PD，∴△DPA≌△DPB（SAS），∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵∠ACD＝∠ABD，又∠DAE＝∠ACE，∴∠DAF＝∠DAE，∵AC是直径，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△FAD∽△DAE；（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，∴△AOF∽△POA，∴，∴，∴PA＝2AO＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，∴△AFD∽△CAE，∴，∴，∵，不妨设OF＝x，则AF＝2x，∴，∴，∴，∴．2．解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴AP⊥AC，∴∠CAB+∠PAB＝90°，∴∠AMD+∠AEB＝90°，∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠CAB，∴∠AMD＝∠PAB，∴AB＝BM．（2）连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∵∠CAB+∠PAB＝90°∴∠C＝∠PAB，∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，∴∠AMD＝∠D＝∠C，∴AM＝AD＝，∵AB＝3，AB＝BM＝BE，∴EM＝6，∴由勾股定理可知：AE＝＝，∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，∴△MAE∽△CBA，∴＝，∴，∴CA＝5，∴⊙O的半径为2.5．3．（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中点，∵sin B＝，∴cos B＝，在Rt△BMD中，BM＝BD•cos B＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC•cos B＝，∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．4．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝r，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴的长度＝＝，∴阴影部分的周长＝PA+PD+＝r+r+r＝（+1+）r．5．（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵CD•AE＝AC•CE，∴CD＝＝．6．解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，∴tan∠DAC＝＝，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝EC＝AC＝，∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA＝＝2，∴⊙O的半径为2．7．解：（1）CB与⊙O相切，理由：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠CPB＝∠APO，∴∠CBP＝∠APO，在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是半径，∴CB与⊙O相切；（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，∴∠APO＝60°，∴∠BPD＝∠APO＝60°，∵PC＝CB，∴△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝∠CBP＝60°，∴∠OBP＝∠POB＝30°，∴OP＝PB＝PC＝1，∴BC＝1，∴OB＝＝，∴图中阴影部分的面积＝S△OBC ﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．8．证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF．9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED，（2）解：连接CD，OD，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，∵OC⊥AD，∴＝，∴∠COD＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵OA＝OB，AE＝ED，∴OE＝＝，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．10．（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB＝AC，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴EF⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝6．在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，∴AD＝＝＝8，又∵DE⊥AB，AB＝AC＝10，＝AB•DE＝AD•BD，∴S△ABD即×10×DE＝×8×6，∴DE＝4.8．11．解：（1）①由题意得：BP＝t，CQ＝3t，则AP＝6﹣t，BQ＝BC﹣CQ＝8﹣3t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，即t2+（8﹣3t）2＝（2）2，解得：t＝2，或t＝（不合题意舍去），∴t＝2，即当t为2秒时，PQ的长为2cm，故答案为：2；②如图1所示：由题意得：点Q在BC边上，∵△APQ的面积＝AP×BQ＝16，∴×（6﹣t）（8﹣3t）＝16，解得：t＝，或t＝8（不合题意舍去），∴当t为秒时，△APQ的面积等于16cm2；（2）存在这样的t值，使⊙P正好与△ABD的边AD或BD相切，此时Q在AB上，且t＞s，理由如下：①若与BD相切，过P作PK⊥BD于K，如图3所示：则∠PKB＝90°，PK＝PQ＝PB﹣BQ＝t﹣（3t﹣8）＝8﹣2t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°＝∠PKB，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵∠PBK＝∠DBA，∴△PBK∽△DBA，∴＝，即＝，解得：t＝；②若与AD相切，Q在BC上，PQ＝PA，Q在BC上，如图2﹣1所示：则PQ＝PA＝6﹣t，在Rt△PBQ中，由勾股定理得：t2+（8﹣3t）2＝（6﹣t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意舍去），∴t＝；③若与AD相切，当P、Q两点中Q先到A点时，如图4所示：此时t＝，∴⊙P的半径为6﹣＝；④若与AD相切，当点Q未到达点A时，如图5所示：则PA＝PQ，∴6﹣t＝t﹣（3t﹣8），解得：t＝2，当t＝2时，PB＝2，则AP＝6﹣2＝4≠PQ，故舍去；综上所述，t的值为秒或秒或秒．12．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵C是的中点，∴＝，∴∠AC＝CB，∵∠CBF＝∠CAD，BF＝AD，∴△CBF≌△CAD（SAS），∴∠BCF＝∠ACD，∴∠FCD＝∠ACB＝90°，∴CF⊥CD．（2）①证明：过点A作AG⊥CF于点G，则∠FGA＝∠FCD＝90°，∴AG∥CD，∴∠CAG＝∠ACD＝∠ABF，∵∠CAF＝2∠ABF，∴∠CAF＝2∠CAG，即∠CAG＝∠FAG，∵∠CAG+∠ACG＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，∴∠ACG＝∠AFG，∴AC＝AF．②过点A作AG⊥CF于点G，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于点H．则∠BHC＝∠CGA＝90°．∴∠CAG+∠GCA＝90°，∵∠BCH+∠GCA＝90°，∴∠BCH＝∠CAG，∵CB＝CA，∴△BCH≌△CAG（AAS），∴CH＝AG，BH＝CG，∵∠FCD＝90°，CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，∵∠BHF＝90°，∴∠BFH＝45°＝∠FBH，∴BH＝HF，∴HF＝CG，∵AC＝AF，AG⊥CF，∴CF＝2CG，∴AG＝CH＝3CG，设CG＝x，则CF＝2x，AG＝3x，＝•CF•AG＝×2x×3x＝12，则有，S△ACF∴x＝2或﹣2（舍弃），∴CG＝2，AG＝6，∵∠AGC＝90°，∴AC＝＝＝2．13．（1）证明：如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝OC，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，AB＝AC，∴AC＝AB＝2+2＝4，∵BE＝1，∴AE＝4﹣1＝3，过O作OH⊥AB于H，则四边形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝2，∴AH＝1，∴AH＝AO，∴∠AOH＝30°，∴∠BAC＝60°，∴AF＝2AE＝6，∴CF＝AF﹣AC＝2．∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠DAE＝∠BDE，∴△AED∽△DEB，∴＝，∴＝，解得：DE＝，∵OD∥AB，∴△FOD∽△FAE，∴＝，∴＝，解得：FD＝2，在Rt△FOD中，FO＝＝＝4，∴CF＝FO﹣OC＝4﹣2＝2．14．解：（1）EF 与⊙O 相切，理由如下：连接OE ，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，∵AE 平分∠CAB ，∴∠CAE ＝∠OAE ，∴∠CAE ＝∠OEA ，∴OE ∥CD ，∵EF ⊥CA ，∴OE ⊥EF ，∴EF 与⊙O 相切；（2）过O 作OH ⊥AD 于H ，∵EF ⊥CA ，OE ⊥EF ，∴四边形OEFH 是矩形，设AF ＝x ，则EF ＝OH ＝2x ，AH ＝5﹣x ，在Rt △OAH 中，AH 2+OH 2＝OA 2，∴（5﹣x ）2+（2x ）2＝52，解得x 1＝2，x 2＝0（舍去），∴AH ＝5﹣2＝3，∴AD ＝2AH ＝6．15．解：（1）如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴OD＝AO，∴OD＝，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝＝π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x＝，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，∴，∴AE＝×2＝．。

九年级圆的垂径定理知识点

九年级圆的垂径定理知识点在九年级的数学学习中，圆的垂径定理是一个非常重要的概念，也是学习圆形的几何性质的关键之一。

在这篇文章中，我们将深入探讨圆的垂径定理的知识点，了解其背后的原理和应用。

一、圆的定义和性质首先，我们需要回顾一下圆的定义和基本性质。

在数学中，圆是由平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合组成。

而这个固定点被称为圆心，半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

圆具有很多重要性质，例如任意两点到圆心的距离相等，直径是圆的特殊弦，且它的长度是半径的两倍，而弧则是圆上的一段曲线，它与圆心对应的角叫做圆心角。

二、垂径定理的表述圆的垂径定理是指，如果一个直径和一个弦垂直相交，那么它就是弦的垂径，且它把弦分为两个相等的部分。

或者反过来说，如果一个弦被圆心角所分为两个相等的部分，那么它就与直径垂直相交。

这个定理的表述可能有点晦涩难懂，但是我们可以通过几何图形来直观地理解。

三、垂径定理的证明圆的垂径定理是可以通过简单的几何推导证明的。

假设有一个圆，圆心为O，直径为AB，弦为CD垂直于直径AB于点E。

我们需要证明CE = DE。

首先，连接AC和BD，并假设它们交于点F。

由于CD垂直于AB，所以CDE是一个直角三角形。

而由于圆心角的性质，角COD的度数是弦CD对应的角，即∠COE。

由于COE和COD是同位角，所以它们的度数相等，即∠COE = ∠COD。

而∠COD是一个直角，所以∠COE也是一个直角。

因此，我们可以得出结论，CE与DE相等，即CE = DE，证明了定理。

四、垂径定理的应用垂径定理在实际学习和应用中非常有用。

例如，在解决证明问题时，我们可以利用垂径定理来简化问题和推导证明过程。

此外，垂径定理还与圆的切线有着密切的关系。

当一个直径与一个切线相交时，由于切线与半径垂直，我们可以通过垂径定理得出切线与直径相交的两点的性质。

最后，垂径定理也与三角形的性质相关。

当我们在一个三角形内有一个圆时，利用垂径定理可以推导得出一些重要的三角形性质，如内切圆和外接圆的性质等。

九年级中考数学复习垂径定理的复习课件

∴PO 平分∠BPD.
变：求证PB=PD
【用】
考点三：垂径定理在生活中的应用
例3：一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径
AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
（2）此时排水管中水的最大深度是多少？
（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，
O
水面宽会变为16?
A
C
B
一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的
半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
解由题意得，OC⊥AB，
1
1
∴AC=BC= AB= ×12=6.
2
2
由勾股定理，得
OC= 2 − 2 =8 .
O
A
C
半径
B
思考2：根据题目信息，你能求出圆弧形隧道的半径吗？
C
෣
中点
C为
OD=6-R
OA=R
O
A
D
（圆心O在AB上方）
找圆心，连圆心和弧中点
B
O在CD上
OC⊥AB
1
AD =2 =4
CD⊥AB
Rt△OAD中，R2=(6-R)2+42，
13
解得：R= .
3
车辆只走一侧
变式如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为
如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.且AB＝8cm，OC=5cm,求DC的长
【思想方法】求圆中的弦长或其他线段长时，通常
连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成
直角三角形进行求解．

2021年中考数学高频考点：《圆的综合》解答题专题练习(一)含答案

2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》解答题专题练习（一）1．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．（1）求证：∠OEF＝∠ABC；（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求CD+BD 的最小值．2．在⊙O中，AB为直径，点P在BA的延长线上，PC为⊙O的切线，过点A作AH⊥PC于点H，交⊙O于点D，连接BC、BD、AC．（1）如图1，求证：∠CAH＝∠CAB；（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：BD＝2CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在BC上，连接DF、EF，若BG＝2AE，∠CFE＝45°，OG＝1，求线段EF的长．3．如图，在⊙O中，弦BC⊥半径OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，点P为BC延长线上一点，PF＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝8，DF＝1，求PE的长．4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝6，求阴影部分的面积．5．在等边三角形ABC中，经过点B有一个圆与AC，AB，BC分别交于点D，E，F，连接BD，DE，DF．（1）如图（1），若BD是圆的直径，AE＝CF时，求证：DE＝DF；（2）如图（2），若＝，AD＝4时，求AB的长．6．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC 的延长线于点E，AC平分∠BAE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝6，求⊙O的直径．7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弦BC的中点，射线OD与圆周及切线BE 分别交于点M和点E，连接CE．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若直径AB＝4，填空：①连接CM，CO，当∠ABC＝°时，四边形ACMO是菱形；②当ME＝时，四边形OCEB是正方形．8．如图，AB是⊙O的弦，连接OA，过点O作OC⊥OA，OC交AB于点P，延长OP到C，连接BC，且CP＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAO＝25°，OA＝18，点Q是上的一点，求的长（结果用π表示）．9．（1）如图1，求证：∠AOD＝2∠ACD；（2）如图2，AC⊥BD，M是AB中点，求证：①EM⊥CD；②CD＝2OM．10．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝6，求DC的长．11．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．12．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于D，⊙O的弦BC∥l，连接AD、AC，过D 作DE⊥AB于E点．（1）求证：BC＝2DE；（2）过D作DG∥AB交AC于点G，GF⊥AB于点F．且BC＝BF，求tan∠DAB的值．13．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过A作⊙O的切线，过C作DA的平行线，两直线交于F，FC的延长线交AB的延长线于点G．（1）填空：∠D＝°；（2）求证：FG与⊙O相切；（3）连接EF，求tan∠EFC的值．14．如图．⊙O过长方形ABCD的顶点D和BC上一点E．且与BA相切于点F，⊙O分别交AD，CD于G，H两点，BF＝BE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接FE，ED．若AG＝1，BF＝5，CH＝2．求tan∠FED的值．15．在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC、AC于点D、E，AF⊥DE于点F．（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；（2）若直线AF是⊙O的切线，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若＝，求的值．参考答案1．（1）证明：如图1中，连接AF，OF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴∠EAF＝∠FAB，∵∠EOF＝2∠EAF，∠FOB＝2∠FAB，∴∠EOF＝∠FOB，∵OE＝OF＝OB，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OFB＝∠ABC，∴∠OEF＝∠ABC．（2）解：如图2中，连接AF，过点C作CM⊥AB于M，过点D作DH⊥AB于H．∵四边形ABFE是圆内接四边形，∵∠CFE+∠EFB＝180°，∴∠CFE＝∠CAB，在Rt△AEB中，tan∠CAB＝，tan∠CFE＝2，∴＝2，设AE＝k，则BE＝2k，∵AE2+BE2＝AB2，∴k2+（2k）2＝52，解得k＝或﹣（舍弃），∴AE＝，BE＝2，∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，BE⊥AC，又∵S＝•AB•CM＝•AC•BE，△ABC∴CM＝BE＝2，∵∠DHB＝∠AEB＝90°，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∵CD+DH≥CM＝2，∴CD+BD＝（CD+DH）≥×＝10，∴CD+BD的最小值为10．2．（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵AH⊥PC，∴OC∥AH，∴∠CAH＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAH＝∠CAB；（2）证明：连接OC，延长CO交BD于点M，∵∠CAH＝∠CAB，CH⊥AH，CE⊥AB，∴CE＝CH，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DHC＝∠HCM＝∠ADB＝90°，∴四边形HDMC为矩形，∴HC＝DM，∠CMD＝90°，CM⊥BD，∴BD＝2DM＝2CH＝2CE；（3）解：连接CD，过点E作ES⊥BC于点S，ET⊥DF于点T，在Rt△CAH和Rt△CAE中，AC＝AC，CH＝CE，∴Rt△CAH≌Rt△CAE（HL），∴AH＝AE，∵＝，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠CAH＝∠CEB＝90°，CH＝CE，∴△CHD≌△CEB（AAS），∴DH＝BE，∵BG＝2AE，设AE＝a，则AH＝AE＝a，∵OG＝1，∴OA＝OB＝2a+1，∴EO＝OA﹣AE＝a+1，EG＝EO+OG＝a+2，AG＝OA+OG＝2a+2，∴DH＝BE＝EG+BG＝3a+2，∴AD＝DH﹣AH＝2a+2，∴AD＝AG，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠HAE＝∠ADG+∠AGD，∠HAE＝∠HAC+∠EAC，由（1）知∠HAC＝∠EAC，∴∠HAC＝∠EAC＝∠ADG＝∠AGD，∴AC∥DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DFC＝∠DFB＝∠ACB＝90°，∵∠CFE＝45°，∴∠EFC＝∠EFD＝45°，∵ES⊥BC，ET⊥DF，∴ES＝ET，∠ESC＝∠ETG＝90°，∵∠CEG+∠CFG＝180°，∴∠ECF+∠FGE＝180°，∵∠EGT+∠EGF＝180°，∴∠EGT＝∠ECF．∴△ECS≌△EGT（AAS），∴CE＝EG＝a+2，在Rt△ADB中，AB＝2OA＝4a+2，BD＝2CE＝2a+4，AD＝2a+2，∵AD2+BD2＝AB2，∴（2a+2）2+（2a+4）2＝（4a+2）2，解得a＝2（a＝﹣1舍去），∴CE＝a+2＝4，BE＝3a+2＝8，∴tan∠EBC＝＝，∵BE＝8，设ES＝m，BS＝2m，∴m2+（2m）2＝82，解得m＝（负值舍去），∴ES＝，∵∠CFE＝45°，∴EF＝ES＝．3．（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵OA⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠A+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠PFE，∴∠A+∠PFE＝90°，∵PF＝PE，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠A+∠PEF＝∠OEA+∠PEF＝90°，∴∠OEP＝90°，∴OE⊥PE，OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：连接OC，OP，设OC＝x，则OD＝OA﹣AD＝x﹣2，∵OA⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，在Rt△ODC中，根据勾股定理，得OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得x＝5，∴OC＝5，OD＝3，∵PE＝PF，∴PD＝PF+DF＝PE+1，在Rt△OPD和Rt△OPE中，根据勾股定理，得OP2＝OD2+PD2＝OE2+PE2，∴9+（PE+1）2＝25+PE2，解得PE＝．4．（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，∵点E是△ABC的内心∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切线；（2）解：∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，∵BH＝BC＝3，在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，∴∠BDH＝45°，∵OB＝OD，∴△OBD为等腰直角三角形，∴∠BOD＝90°，∵BD＝6，∴OB＝OD＝3，∵∠DOC＝∠BOD＝90°，∴阴影部分的面积＝S扇形DOC ﹣S△DOC＝﹣3×3＝π﹣9．5．（1）证明：如图1中，∵BD是直径，∴∠BED＝∠BFD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∵AE＝CF，∴BE＝BF，∵BD＝BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴DE＝DF．（2）解：如图2中，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N．∵∠AED+∠BED＝180°，∠BED+∠BFD＝180°，∴∠AED＝∠DFB，∵∠DME＝∠DNF＝90°，∴△DME∽△DNF，∴＝＝，在Rt△ADM中，∠AMD＝90°，∠A＝60°，AD＝4，∴DM＝AD•sin60°＝2，∴DN＝5，在Rt△DCN中，∠DNC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝＝10，∴AB＝AC＝AD+DC＝4+10＝14．6．（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠EAB，∴∠OAC＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，∵AE⊥DC，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，由（1）知OC⊥CD，∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，∴∠OCB＝2∠BCD，而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，设OC＝x，则OD＝2x，由勾股定理得4x2﹣x2＝62，解得，所以．7．（1）证明：连接OC，∵BE为⊙O的切线，∴∠ABE＝90°，∵点O为BC的中点，∴依据垂径定理得OE垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OEC和△OEB中，∵EC＝EB，EO＝EO，CO＝BO，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠ECO＝∠EBO＝90°，∵OC为半径，∴直线CE是⊙O的切线；（2）解：①30°；②，理由如下：①∵四边形ACMO为菱形，∴AC＝AO，∵OC＝OA，∴△CAO为等边三角形，∴∠CAO＝60°，∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°；②∵四边形OCEB为正方形，AB＝4，∴OC＝CE＝2，∴，∵CM＝2，∴ME＝2﹣2，故答案为①30°；②．8．（1）证明：连接OB，∵OA，OB是⊙O的半径，∴∠OBA＝∠OAB，∵CP＝CB，∴∠CBP＝∠CPB．∵∠CPB与∠APO是对顶角，∴∠APO＝∠CPB，∴∠CBP＝∠APO，∵OC⊥OA，交AB于点P，∴∠APO+∠PAO＝90°，∴∠CBP+∠OBA＝90°．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BAO＝25°，∴∠AOB＝130°．∴所对的圆心角为230°，∵OA＝18，∴．9．（1）证明：如图1中，连接CO，延长CO到T．∵∠TOD＝∠D+∠DCO，∠AOT＝∠A+∠AOC，∴∠AOD＝∠TOD+∠TOA＝∠D+∠DCO+∠ACO+∠A，∵OD＝OC＝OA，∴∠D＝∠OCD，∠A＝∠ACO，∴∠AOD＝2∠ACD．（2）①证明：如图2﹣1中，延长ME交CD于H．∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵AM＝BM，∴ME＝AM＝BM，∴∠A＝∠D＝∠AEM，∵∠AEM+∠MEB＝90°，∠MEB＝∠DEH，∴∠D+∠DEH＝90°，∴∠DHE＝90°，∴ME⊥CD．②证明：如图2﹣2中，延长BO交⊙O于P，连接PD，PA，AD．∵AM＝MB，OP＝OB，∴AP＝2OM，∵PB是直径，∴∠PDB＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝∠PDB＝90°，∴PD∥AC，∴∠ADP＝∠DAC，∴＝，∴CD＝AP，∴CD＝2OM．10．（1）证明：连接OC，∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线；（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF；（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝3，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3∴，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN+MN＝9，∴．11．（1）证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°．在Rt△PAC中，∠PAC＝90°，∠APC＝60°，AC＝2，∴AP＝＝．在Rt△DAC中，∠DAC＝90°，AC＝2，∠ACD＝60°，∴AD＝AC•tan∠ACD＝2．∴PD＝AD﹣AP＝．12．（1）证明：连接OD，交BC于M，∵l是⊙O的切线，∴OD⊥l，∵BC∥l，∴BC⊥OD，∵O为AB的中点，∴M为BC中点，∴BC＝2BM，在△OBM和△ODE中，，∴△OBM≌△ODE（ASA），∴DE＝BM，∴BC＝2DE；（2）解：连接BG，在Rt△BGC和Rt△BGF中，，∴Rt△BGC≌Rt△BGF（HL），∴BG平分∠CBF，CG＝GF，设CG＝GF＝DE＝a，则BC＝BF＝2a，∵∠GAF＝∠CAB，∠AFG＝∠ACB，∴△AFG∽△ACB，∴，∴，∴2AF＝a+AG，又∵AG2＝AF2+GF2，解得AF＝a，AG＝a，由（1）知，AD平分∠BAC，∴AG＝GD＝a，∴AE＝a＝3a，∴tan∠DAB＝＝．13．解（1）∵AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，∴DE＝DC，∵DC＝AD，∴DE＝AD，∴∠DAE＝30°，∴∠D＝60°；故答案为：60°；（2）如答图：连接OD、OC，∵OA＝OD，∠DAE＝30°，∴∠ADO＝30°，∵∠ADC＝60°，AD∥FG，∴∠CDO＝30°，∠DCG＝60°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝30°，∴∠GCO＝∠DCG+∠DCO＝90°，∴OC⊥FG，∴FG与⊙O相切；（3）如答图2：连接EF、OF、OC，过E作EH⊥FG于H，设⊙O半径为R，∵AD∥FG，∠DAE＝30°，FG与⊙O相切，∴∠G＝30°，∠OCG＝90°，∴OG＝2R，CG＝R，∵CD⊥AB，∴∠GEC＝90°，GE＝CG＝R，∵EH⊥FG于H，∴EH＝GE＝R，∵∠DCG＝60°，EH⊥FG于H，∴CH＝＝R，∵CD⊥AB，AF是⊙O的切线，∴∠GEC＝∠GAF＝90°，∴CD∥AF，∴∠AFC＝∠DCG＝60°，∵FG、FA是是⊙O的切线，∴FA＝FC，∠OCF＝∠OAF，又OF＝OF，∴△AOF≌△COF（HL），∴∠OFC＝∠OFA＝30°，∴CF＝R，∴HF＝CF+CH＝R，在Rt△EHF中，tan∠EFC＝＝＝．14．（1）证明：连接OF，OE，EF，如图1所示：∵⊙O与BA相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OFB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵BF＝BE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠BEF＝45°，∴∠OFE＝90°45°＝45°，又∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠OEB＝45°+45°＝90°，∴BC⊥OE，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OG、FG，连接EO并延长交AD于P，如图2所示：则EP⊥AD，AP＝BE＝BF＝5，∴GP＝AP﹣AG＝4，∵∠OFB＝∠B＝∠OEB＝90°，∴四边形OFBE是矩形，∴OE＝BF＝5，在Rt△GPO中，由勾股定理得：PO＝＝＝3，∴AF＝OP＝3，∵∠FGA＝∠FED，∴，tan∠FED＝tan∠FGA＝＝3．15．证明：（1）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠C＝∠AEF，∵∠AEF+∠CAF＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CAF＝∠CAD，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠BAC+∠BDE＝180°，又∵∠BDE+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠BAC＝2∠CAD＝2∠CAF；（2）△ABC是等边三角形，理由如下：∵直线AF是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，∵∠BAD＝∠CAD＝∠CAF，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CAF＝30°，∴∠BAC＝60°，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（3）∵＝，∴设AD＝25x，DF＝24x，∴AF＝＝＝7x，∵∠BAD＝∠CAF，∠AFE＝∠ADB＝90°，∴△ADB∽△AFE，∴，∴，∴BD＝x，∴BC＝x，∵AB＝＝＝x，∴．。

人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质—垂径定理(复习)

典型例题
二、填空题
5、如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，
连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为_______。
H
6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3。将其绕点
B顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成
一个圆环。该圆环的面积为_______。
7、如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，
h+d=r 或h-d=r
r2
d2
a 2
2
O
特别提示:若已知h或d、a、r中两个量，利
用垂径定理和勾股定理，设适当的未知数，
用方程（组）的数学思想列方程（组）求解
B B
典型例题一、概念辨析 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦。 ②平分弦的直线必垂直弦。平分弦的直线有无数条。 ③垂直于弦的直径平分这条弦。 ④平分弦的直径垂直于这条弦。如果弦是直径会怎样 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径。？垂直平分线是直线
二、图形语言：（如右图）
C
三、几何推理语言：
∵ CD是直径，AE=BE,
∴CD⊥AB，
A⌒C=B⌒C,
A⌒D =B⌒D.
·O
AE D
知二推三
一、文字语言：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个。简记：“知二推三”
①经过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）；
(2)如图，连接 AC，过点 G 作 GM⊥AC 于点 M.∵AG＝2，OG＝1，∴∠GAO＝ 30°，∴∠AGO＝60°.∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC＝12∠AGO＝30°，∴MG＝12AG ＝1.在 Rt△AMG 中，AM＝ AG2－MG2＝ 3 .∵CF⊥AE，GM⊥AC，∴AM＝CM ＝MF，∴点 A、F、C 在以点 M 为圆心的⊙M 上，∴当点 F 在 MG 的延长线上时， FG 的长最小，最小值＝FM－GM＝ 3－1.即 FG 的最小值为 3－1.

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：垂径定理

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：垂径定理一．选择题（共10小题）1．如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．2．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P（0，﹣3），那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为（）A．4 B．5 C．8 D．103．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD ＝OE＝，则AB的最大值为（）A．B．C．D．5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，BE＝2，则CD＝（）A．5 B．8 C．2D．46．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．67．如图，⊙O的直径AB＝10，E在⊙O内，且OE＝4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（）A．4 B．6 C．8 D．108．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝（）A．5 B．7 C．9 D．119．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C．D．10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．2二．填空题（共6小题）11．如图，有半径分别为2和4的两个同心圆，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，那么矩形ABCD面积的最大值为．12．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．14．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为．15．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．①AD AN（填“＞”，“＝”或“＜”）；②AB＝8，ON＝1，⊙O的半径为．16．如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点．作PS ⊥AB，QT⊥AB，垂足分别为S，T，并且∠SRT＝60°，则的值等于．三．解答题（共4小题）17．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．18．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．19．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE＝OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？20．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．参考答案一．选择题1．解：设OA与BC相交于D点．∵AB＝OA＝OB＝6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD＝＝3所以BC＝6．故选：A．2．解：过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的⊙O的最短的弦，连接OB，则由垂径定理得：AB＝2AP＝2BP，在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理得：PB＝4，则AB＝2PB＝8，故选：C．3．解：∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE，∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，∴∠OCE＝90°﹣40°＝50°．故选：D．4．解：如图，当OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大，AB最大，连接OC，∵⊙O的半径为2，OD＝，∴∠ACO＝30°，∴AC＝2CD＝2＝2＝2，同理可得∠BCO＝30°，∴∠ACB＝60°，∵OD＝OE，OD⊥AC、OE⊥BC，∴AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2，即AB的最大值为2．故选：A．5．解：连接OD，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CD＝2DE．∵AE＝8，BE＝2，∴⊙O的半径＝5，∴OE＝5﹣2＝3，在Rt△ODE中，∵OE＝3，OD＝5，∴DE＝＝4，∴CD＝2DE＝8．故选：B．6．解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故选：B．7．解：∵AB＝10，∵OB＝OA＝OC＝5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO＝90°，由勾股定理得：CE＝＝＝3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD＝2CE＝6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB＝10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1＝8，故选：C．8．解：由题意可得，OA＝13，∠ONA＝90°，AB＝24，∴AN＝12，∴ON＝，故选：A．9．解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．10．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r﹣2，∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N，根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝＝＝6，S＝＝×OM＝＝，△AODOM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的面积的最大值是AB•AD＝8×＝48．故答案为：48．12．解：∵CD⊥OB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案为8．13．解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．14．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴PA＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．15．解：（1）AD＝AN，证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD，（2）设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为，故答案为．16．解：连结OP，OQ，OR，如图，∵R是PQ的中点，∴OR⊥PQ，∵OP＝OQ，∴∠POR＝∠QOR，∵PS⊥AB，∴∠PSO＝∠PRO＝90°，∴点P、S、O、R四点在以OP为直径的圆上，∴∠PSR＝∠POR，同理可得∠QTR＝∠QOR，∴∠PSR＝∠QTR，∴∠RST ＝∠RTS ，而∠SRT ＝60°，∴△RST 为等边三角形，∴∠RST ＝60°，∠RTS ＝60°，∴∠RPO ＝∠RSO ＝60°，∠RQO ＝∠RTO ＝60°，∴△OPQ 为等边三角形，∴PQ ＝OP ，∴AB ＝2PQ ，∴＝．故答案为．三．解答题（共4小题）17．解：（1）连接AO ，如右图1所示，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB ＝8，∴AG ＝＝4，∵OG ：OC ＝3：5，AB ⊥CD ，垂足为G ，∴设⊙O 的半径为5k ，则OG ＝3k ，∴（3k ）2+42＝（5k ）2，解得，k ＝1或k ＝﹣1（舍去），∴5k ＝5，即⊙O 的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ， ∵∠ECD ＝15°，由对称性可知，∠DCM ＝30°，S 阴影＝S 弓形CBM ，连接OM ，则∠MOD ＝60°，∴∠MOC ＝120°，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．18．解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3，∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，∴OD＝＝4，即线段OD的长为4．（2）存在，DE保持不变．理由：连接AB，如图（2），∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，∴AB＝＝5，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE＝AB＝，∴DE保持不变．19．（1）解：OE＝OF，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD，∵在△EOB和△FOD中，∴△EOB≌△FOD（AAS），∴OE＝OF．（2）解：弧AB＝弧CD，AB＝CD，∠AOB＝∠COD，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），∴BE＝DF，由垂径定理得：AB＝2BE，CD＝2DF，∴AB＝CD，∴弧AB＝弧CD，∠AOB＝∠COD．20．解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，∴OF为梯形ABCD的中位线，∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，即⊙O的半径长为3；（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：则BM＝AD＝1，∴CM＝BC﹣BM＝4，∴DC＝＝＝2，∵四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，整理得：y＝；（3）△ODG能成为等腰三角形，理由如下：∵点G为DC的中点，OA＝OB，∴OG是梯形ABCD的中位线，∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得：OD＝＝，分三种情况：①DG＝DO时，则＝，无解；②OD＝OG时，如图2所示：＝3，解得：r＝2；③GD＝GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：∠GOD＝∠GDO，∵OG∥AD，∴∠ADO＝∠GOD，∴∠ADO＝∠GDO，在△ADO和△HDO中，，∴△ADO≌△HDO（AAS），∴OA＝OH，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r＝2．。

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2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（一）一．选择题1．一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）A．8米B．6米C．5米D．4米2．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 3．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（）A．4 B．3 C．D．4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．13 B．24 C．26 D．285．我国古代数学著作《九章算术》中记载了弓形面积的计算方法．如图，弓形的弦长AB 为30cm，拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）CD为15cm，则这个弓形的面积是（）cm2．A．300π﹣450B．900π﹣225C．900π﹣450D．300π﹣225 6．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm7．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸8．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm．A．6 B．C．D．9．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm．A．350 B．700 C．800 D．40010．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的直径是（）A．cm B．5cm C．6cm D．10cm二．填空题11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝2cm，则球的半径为cm．12．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE ＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．13．“美丽乡村“的建设行动，让我们的家园拥有了靓丽的风景．如图1，是某乡村一角的草坪，草坪是由一块弓形草地和一块三角形草地组成．为了更科学地管理草坪，现需要给草坪装上自动喷灌装置，并且用喷灌龙头浇水时，既要保证草坪的每个角落都能浇上水，又能最大化的节约水，于是选择了一种转角在0°～180°内（含180°）可以自由设定（按设定的转角可以往复转动喷灌）、射程长短也可以自主设定的喷灌龙头．如图2，已知弓形高DE＝6米，弓形宽AB＝24米．△ABC的边BC＝12米，AC＝12米．若经测算，将喷灌龙头安装在△ABC的顶点C时为最优方案，则：（1）喷灌龙头的最小转角应设置为度；（2）喷灌龙头的最短射程应设置为米．14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．三．解答题16．在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD 为16cm，求油面宽度AB的长．17．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．18．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？19．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：（1）桥拱的半径；（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为米．20．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．参考答案一．选择题1．解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，由题意得，AB＝8，CD＝2，∵OC⊥AB，∴AC＝AB＝4，设圆的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米，由勾股定理得，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得，r＝5，即此输水管道的半径是5米，故选：C．2．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB，设AB＝OB＝OA＝rm，∵点C是的中点，∴OC⊥AB，∴C，D，O三点共线，∴AD＝DB＝rm，在Rt△AOD中，∴OD＝r，∵OD+CD＝OC，∴r+5＝r，解得：r＝（20+10）m，∴这段弯路的半径为（20+10）m故选：D．3．解：连接OC，∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（8﹣x）2，解得：x＝，所以圆的半径长是．故选：C．4．解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：设弧ACB所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB，则OC与AB的交点即为D 点，如图所示：在Rt△OAD中，设OA＝x，则OD＝x﹣CD＝x﹣15，AD＝AB＝＝15，∴OA2＝OD2+AD2，即x2＝（x﹣15）2+（15）2，解得x＝30，∴OA＝30，∴OD＝30﹣15＝15，∴OD＝OA，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°∴弓形的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×15＝300π﹣225，故选：D．6．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．7．解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得：r＝13，所以CD＝2r＝26，即圆的直径为26寸．故选：B．8．解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，连接OA，则CD＝2，AC＝BC，∵OA＝OD＝4，CD＝2，∴OC＝2，∴AC＝＝2，∴AB＝2AC＝4．故选：C．9．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，解得，x＝400，∴2x＝800，答：车轱辘的直径为800mm．故选：C．10．解：∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，∴线段MN的就是该圆的直径，∵OM＝8cm，ON＝6cm，∠MON＝90°，∴MN＝10cm，故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝2设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝2﹣x，MF＝1，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，即：（2﹣x）2+12＝x2，解得：x＝，故答案为：．12．解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．13．解：（1）∵AB＝24米，BC＝12米，AC＝12米，∴BC2+AC2＝122+（12）2＝576＝242＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴喷灌龙头的最小转角应设置为90°；（2）如图3，作射线ED交AC于点M∵AD＝DB，ED⊥AB，是劣弧，∴所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA＝r，OD＝r﹣6，AD＝AB＝12，在Rt△AOD中，r2＝122+（r﹣6）2，解得：r＝7，∴OD＝，过点C作CN⊥AB，垂足为N，∵∠ACB＝90°，AB＝24，BC＝12，∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝30°，∴CN＝AC＝6，AN＝18，BN＝6，∴DM＝×AD＝4，∴OD＜MD，∴点O在△ACB内部，∴连接CO并延长交于点F，则CF为草坪上的点到C点的最大距离，∵在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GC，∴CF＝OC+OF＝OC+OG＞CG，即CF＞CG，过O作OH⊥CN，垂足为H，则OH＝DN＝6，CH＝6﹣＝5，∴OC＝＝＝，∴CF＝OC+r＝7+（米），答：喷灌龙头的射程至少为（7+）米，故答案为：（1）90；（2）7+．14．解：根据勾股定理得：斜边AB＝＝17，∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），故答案为：6．15．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．三．解答题（共5小题）16．解：由题意得出：OC⊥AB于点D，由垂径定理知，点D为AB的中点，AB＝2AD，∵直径是52cm，∴OB＝26cm，∴OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10（cm），由勾股定理知，BD＝＝24（cm），∴AB＝48cm．17．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．∴DM＝DE．∵DE＝8（cm）∴DM＝4（cm）在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），∴OM＝＝＝3（cm）∴直尺的宽度为3cm．18．解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．19．解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2＝402+（r﹣20）2，解得：r＝50；即桥拱的半径为50米；（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示则MH＝NH＝MN＝30，∴EH＝＝40（米），∵EF＝50﹣20＝30（米），∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；故答案为：10．20．解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴BG＝BC，EH＝EF∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．（2）设盒子的高为xcm．由题意：（22﹣2x）•＝9解得x＝8或12.5（舍弃），∴MQ＝6，MN＝1.5∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，∴能装入盒子．。