巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维

巧用圆中的“一题多解”，培养学生发
散性思维
摘要:在初中数学教学中，习题解答是重要的组成部分，这不仅是由数学学
科能用于解决现实问题的特征决定的，更是为了培养学生的逻辑思维、解题能力。

一题多解指的就是学生在解决数学问题的时候，不再局限一道题目一个解题思路
和方法的限制，而是学会从不同的角度寻找切入点，使用多种方法解决问题。

本
文从初中数学教学“圆”的一题多解教学入手展开研究，进行有效的一题多解训练，带出多种数学知识与方法，培养学生的发散性思维。

关键词：发散性思维；一题多解；初中数学；圆
数学本身具有着一定的抽象性和逻辑性，而且解决问题的方式也是多样的。

教师注重转变教学理念和教学方法，引导学生从多角度和多层面进行问题的分析，学会使用一题多解来找到解决问题的多种方式，对发散学生的思维，培养学生的
数学能力至关重要。

一、数学课程中的一题多解
数学学科教学本身具有一定的抽象性与综合性内涵，它旨在培养学生的灵活
逻辑思维能力。

在新课改背景下，为了实现数学教学实效性的有效提升，教师也
希望从多个方面思考，实现多角度数学教学，引入一题多解训练模式，在提炼数
学知识内容过程中也希望培养学生良好的变式思维，更多结合数学问题、条件、
结论之间的相互转换来彰显学生对于教学内容、方法的不同理解，培养学生思维
的广阔性和慎密性。

在该过程中，教师的教学过程不再固定于某一局限性定式思维上思考问题，
要鼓励学生充分的发挥出想象力，能针对一个题目从多角度和多方向进行观察和
分析，多角度和多变并且多层次的应用学习过的知识，得出不同类型解决问题的
方式方法，同时也养成任何问题都去多方面思考的习惯。

二、圆的一题多解问题探析
在学完圆的有关知识后，很多学生会发现有些习题常出现一题多解的特点.
这是由于图形的位置及圆的对称性等特性而出现的情况。

本文将课本中的例、习
题的改编题及近几年来全国各地的中考题有关圆中一题多解的问题归纳起来，作
为培养学生发散思维的有效路径并展开分析。

（一）点在圆的位置不确定
由于点与圆有三种位置关系(点在圆内、圆上和圆外)，加上圆中弧分为优弧
和劣弧两类以及圆心本身的位置，常造成点与圆心、点与圆的相对位置的不同，
从而产生多种解的情况[1]。

例1，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上
不同于A、B的任意一点。

求∠ACB的度数。

分析:点C在圆上的位置不确定，要考虑点C在劣弧AB上和在优弧AB上两
种情况，如图1
解析:联结OA、OB，在圆弧AB上任取一点C，因为PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，所以，∠OAP=∠OBP=90°又∠APB=80°，所以，∠AOB=100°
①若点C在劣弧AB上，则∠ACB=130°
②若点C在优弧AB上，则∠ACB=50°
（二）圆心与弦的关系不确定
圆中两弦与圆心的关系有两种情况，一种是两弦位于圆心同侧面，一种是两
弦位于圆心的两侧[2]。

因此，凡是涉及有关弦的计算都有可能产生多解。

解答这
类题时，只要按照弦的不同位置分别解答就可以了。

例4，在半径为1的⊙O中弦
AB，AC分别是和，则∠BAC的度
数为？
（三）圆与圆的位置关系不确定
圆与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况而相离也分外离和内含，相
切也分内切和外切.这些不确定性就导致了此类问题的多解.解决此类问题时，应
从两圆位置的多种情况入手分类求解[3]。

例6，以O为圆心的两个同心圆的半径分别是10和4，若⊙P与两圆都相切，则⊙P的半径是？
图2图3
解析:⊙P既可以如图2所示，与小圆外切且与大圆内切，也可以如图3所示，
与两圆都内切，因此⊙P的半径是或
例7，⊙M与⊙N相交于A、B，它们的半径分别是4cm和5cm，公共弦
AB=6cm，则圆心距MN=
图4图5
解析:许多同学由于受思维定势的干扰，习惯于图4中M、N在AB的异侧的
情况，得到一个解(4+)cm。

其实还有图6中M、N在AB的同侧，得出，漏掉了(4-)cm这个解。

例8，⊙A与⊙B相外切，⊙A的半径是1cm，⊙B的半径是4cm，则半径为
6cm且与⊙A、⊙B都相切的⊙M一共可以作出（）。

A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
图6
解析:⊙M与⊙A、⊙B都相切应分下列4种情形：⊙M与⊙A、⊙B都相外切，可作2个；⊙M与⊙A、⊙B都相内切，可作2个；⊙M与⊙A相外切且与⊙B相内切，可作1个；⊙M与⊙A相内切且与⊙B相外切，可作1个。

所以，一共可作6个，选C[4]。

结束语
在初中数学教学中，圆由于图形位置、形状及大小的不确定，经常出现一题多解的“多结论”情况，学生解题时漏解出错时有发生。

教师要在提炼“圆”知识内容过程中更多结合“圆”问题、条件、结论之间的相互转换来多角度和多层面展开问题分析，得出不同类型解决问题的方式方法，培养学生的数学思维发散能力，并在不断解题的过程中养成任何问题都去多方面思考的习惯。

参考文献
[1] 程银生. 圆外切四边形面积公式探索——从“2018年南京数学中考压轴题”谈起[J]. 数学通报，2020，59(4):56-59.
[2] 吴越. “融汇贯通多题归一”中考二轮专题复习课初探——以《巧构辅助圆妙解几何题》一课为例[J]. 数理化解题研究，2020(23):24-25.
[3] 利光辉，左效平. 2020年杭州中考压轴题的探解与思考[J]. 数理化学习（初中版），2020(11):19-21.
[4] 王静茹. 一道中考几何填空压轴题的解法探究[J]. 数学教学通讯，2023(8):86-88.作者信息:钱星利，女(1994.07—)，汉族，四川省内江市人，硕士，泸州老窖天府中学，研究方向:数学教育。