八年级数学上册 专题突破讲练 分式化简求值及有条件求值试题 (新版)青岛版

分式化简求值及有条件求值

一、化简求值

在分式这部分中分式的化简求值是重要的题型，是中考的热点，在进行分式化简时，我们需要寻找分式的规律，分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解分式的化简与求值的基本策略。

如：计算：2262a a a a ++＋224

44

a a a -++

分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算

解：2262a a a a ++＋22444a a a -++＝(6)(2)a a a a ++＋2(2)(2)(2)a a a +-+＝62a a ++＋22a a -+＝242

a a ++＝2

二、有条件求值

解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识外，还常常用到如下技巧： 1. 拆项变形或拆分变形； 2. 整体代入； 3. 利用比例性质；

4. 恰当引入参数：在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能；

5. 取倒数或利用倒数关系：有些分式的分母比分子含有更多的项，我们可以把分子和分母颠倒位置再进行求解。

如：已知：2

2

42

1,311

x

x

x x x x 则的值为=++++______。 解：由题意得0x ¹，由21

3

1x

x x =++得：2

1132,x x x x x ++==即得：+， 所以

42

2

2

2

2

1

1111413()x x x x x

x

x

++=+

+=+-=-=

即：

24

2

13

1

x

x x =

++ 6. 把未知数当成已知数法

如：已知3a －4b －c ＝0，2a ＋b －8c ＝0，计算：222

a b c ab bc ac

++++

解：把c 当作已知数，用c 表示a ，b 得，a ＝3c ，b ＝2c

∴222a b c ab bc ac ++++＝221411c c ＝1411

。 注意：

解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对已知条件的运用有下列途径：

（1）直接运用条件；（2）变形运用条件；（3）综合运用条件；（4）挖掘隐含条件。

例题1 （遵义中考）已知实数a 满足2

2150a a +-=，求22

12(1)(2)11

21

a a a a a a a +++-÷+--+的值。

解析：先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把2

2150a a +-=进行配方，得到一个a ＋1的值，再把它整体代入即可

求出答案。

答案：解：2

2212(1)(2)12(1)

11(1)(1)(1)(2)121

a a a a a a a a a a a a a a ++++--÷=-⋅

+++-+---+ 22112

111()()a a a a -=

-=+++， 2

2

2150,

(1)16,

a a a +-=∴+=

∴原式＝

21

168

= 点拨：此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值。

例题 2 （枣庄中考）先化简，再求值：

2

35

(2)2

36m m m m m

-÷+-

--，其中m 是方程2

310x x +-=的根。

解析：先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m 是方程2

310x x +-=的

根，那么2

310m m +-=，可得2

3m m +的值，再把2

3m m +的值整体代入化简后的式子，计

算即可。

答案：解：原式＝2

39

3(2)2

m m m m m --÷--

2

32

3(2)(3)(3)

1

3(3)

13(3)m m m m m m m m m m --=

⋅

-+-=

+=+ m 是方程2

310x

x +-=的根。

2

310m m ∴+-=，

即2

31m

m +=，

∴原式＝1

3

。

点拨：本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入。

比例性质在分式求值中的应用

有些分式求值题，若按常规方法求解可能比较麻烦甚至无法求解，然而若能转换思路，从整体上考虑问题，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理，往往可以化繁为简，变难为易，轻松解决问题。

例题 已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b c ++≠。 若

a b c a b c a b c c b a +--+-++==，则()()()

a b b c c a abc

+++等于（ ） A. 8

B. 4

C. 2

D. 1