中国矿业大学(北京)《高等数学》试卷 2016-2017第二学期期末试题(A)

中国矿业大学(北京) 2016-2017 学年 第2 学期

《高等数学A2》试卷（ A 卷）

得分：

1. 设(2,1,1)=-a , (1,1,2)=-b , 则=⨯a b .

2. 直线

213

211

x y z ---==

与平面240x y z -++=的夹角为 . 3. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 . 4. 设函数22(,)2f x y x y y +-

=, 则(,)f x y 在点(2,3)处增长最快的方向与x 轴正向的夹角α= .

5. 设函数(,)z z x y =由方程sin 3z x y z e +-=确定, 则d z = .

6.

(,)(0,0)lim

x y →= . 7. 2

2

2

d d y x

x e y -=⎰⎰ .

8. 设{}222(,)|r y D x y x r =+≤, 则2

2

2

01lim

cos()d d r

x y r D e x y x y r π-→-=⎰⎰ .

9. 设曲线2:(0L y x x =≤≤, 则d L

x s =⎰ .

10. 设2

1,0

()1

,0f x x x x ππ

--≤⎧=⎨+<≤<⎩, 则()f x 以2π为周期的Fourier 级数在点π处收敛于 .

二、(8分)求直线240

2290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面1x y z -+=上投影直线的方程.

三、(8分)设(,)y

z f xy e =, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求z

x

∂∂和2z y x ∂∂∂.

四、(8分)求二元函数33(,)3f x y a y y x x --= (0)a >的极值.

五、(9分)计算曲线积分33()sin d (cos )d x L

x y y x e y x y e -++⎰, 其中L

为沿着半圆周

0)x a >=从点(0,)A a 到点(0,)B a -的弧段.

六、(9分)设Ω

是由曲面z =与22z y x =+所围成的区域, 计算三重积分d d d x y z z Ω

⎰⎰⎰.

七、(8分)计算曲面积分

2232d d d d (9)d d y z yz z x z x x y z ∑

++-⎰⎰, 其中∑为曲面2

2

1z x y ++= (12)z ≤≤取下侧.

八、(10分)

设函数(,)(,)0,((0,0)(0,)),0x y xy f x y x y ≠=⎧

⎪=⎨⎪⎩

, 证明:

(1). (0,0)x f 和(0,0)y f 存在;

(2). (,)x f x y 和(,)y f x y 在点(0,0)处不连续; (3). (,)f x y 在点(0,0)处可微.

九、(10分)求幂级数221n n x n ∞

=-∑的收敛域及和函数()S x , 并求数项级数2

21

(1)3

n

n n ∞

=-∑的和S .

3sin (x BA

y y e +-⎰2

d d cos )a

a

x y --⎰ 2y -和2z x =+