高等数学第二章《导数与微分》

第二章 导数与微分一、内容提要（一）主要定义【定义2.1】 导数 设)(x f 在0x x =的某领域0()U x 内有定义，且00().x x U x +∆∈如果0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，则称)(x f 在0x x =处可导，并称上述极限为)(x f 在0x x =处的导数，记为()0000()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆)(x f 在0x x =处的导数又可记为000()(),,x x x x dy df x y x dxdx=='等.在定义中，若记0x x x =+∆,则()0000()()limx x f x f x f x x x →-'=-【定义2.2】 左、右导数 极限x x f x x f x ∆-∆+-→∆)()(lim000与xx f x x f x ∆-∆++→∆)()(lim 000 分别称为)(x f 在0x x =处的左、右导数，分别记作)(0x f -'及)(0x f +'.【定义2.3】 高阶导数 若()()000limx f x x f x x∆→''+∆-∆存在，则称)(x f 在0x x =处二阶可导，并称此时极限为)(x f 在0x x =处的二阶导数,记为()0202(),x x d f x f x dx ='',一般地，1n -阶导数的导数为)(x f 的n 阶导数，记为()()()1n n d yf x dx-=. 【定义2.4】 微分 设函数)(x f 在区间I 内有定义，00,x x x I +∆∈，如果函数值的增量00()()()y f x x f x A x o x ========∆=+∆-∆+∆可写成,其中A 是不依赖于x ∆的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，记作dy ，即.dy A x =∆.注(1) 对固定的00',()x dy f x x =∆是x ∆ 的函数；(2) 当x 是自变量时，x dx ∆=，从而()dy f x dx '=，此时dy 是两个独立变量x 与dx 的函数；当x 时中间变量时，一般来说dx x ≠∆;(3) 微分几何意义: 切线的纵坐标对应的增量. (二)主要定理【定理2.1】 函数在0x 可导的充要条件 ()f x 在0x x =处可导，⇔()f x 在0x x =处左、右导数都存在，且)(0x f -'=0()f x +'.【定理2.2】可导与连续的关系 设()f x 在x 处可导，则()f x 在同一点处连续.但反之不真.【定理2.3】可导与可微的关系 函数()f x 在点0x 可导⇔()f x 在该点必可微.且0()dy f x dx '=(三)求导公式及法则 1.基本初等函数的导数公式 （1） ()0='c ,（2） 1)(-='μμμxx ,（3） x x cos sin ='）（, （4） x x sin cos -='）（, （5） ()x x 2sec tan =', （6） ()x x 2csc cot -=', （7） ()x x x tan sec sec =', （8） ()x x x cot csc csc -=',（9） a a a xxln )(=', （10） x x e e =')(,（11） a x x a ln 1)(log =', （12） xx 1)(ln =', （13） ()211arcsin xx -=', （14）()211arccos xx --=',（15）()211arctan x x +=', （16） ()211cot xx arc +-='.2.常用导数运算法则 设以下函数均可导，则有(1) ()u v u v '''±=±, (2) ()u v u v uv '''⋅=+, ()cu cu ''=(3) 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭. （4） 设)(u f y =，)(x u ϕ=，则dxdu du dy dx dy ⋅=，即()[]()()x x f x f y ϕϕϕ''='=')()( (5) 设()y f x =在区间(,)a b 内可导，且()0f x '≠，则其反函数()x y ϕ=存在，且11()dx dy dy f x dx=='，即1()()y f x ϕ'=' （6） 隐函数的求导法则设由方程(,)0F x y =确定的可导隐函数为()y f x =，对恒等式(,())0F x f x ≡两边关于x 求导，即可解得()f x '.注 对于幂指函数及含有若干个因子的乘、除、乘方、开方形式的函数,通常方程两边同时取对数，再由隐函数求导规则解出()f x '.这种方法叫对数求导法.(7) 参数方程确定的函数的导数设()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ , 则()()t dy dx t ψϕ'='；()()()221t d y d dx dt t t ψϕϕ⎛⎫'=⋅ ⎪ ⎪''⎝⎭. （8）高阶导数的运算法则 (1) ()()()()n n n u v u v ±=±.(2) ()()()()k n k nk k n n v u C uv -=∑=0, 其中(0)(0),u u v v ==.----莱布尼茨(Leibniz)公式 3.常见初等函数的高阶导数 (1)()()n axn ax ea e =, （2） ()()()ln n nx x a a a =,(3) ()()sin sin 2n n n kx k kx π⎛⎫=+⎪⎝⎭, ()()cos cos 2n nn kx k kx π⎛⎫=+⎪⎝⎭,(4) ()()()112!1nn n n n ax b ax b +-⎛⎫= ⎪+⎝⎭+, (5) ()()()()()11!ln 111n n nn x x --+=-⎡⎤⎣⎦+. （6）()((1))(1)(1)(1),n n x n x ααααα-+=--++特别地()()!n n x n =(四)微分运算1.微分四则运算法则将导数的四则运算及初等函数导数公式含有导数符号的地方换成微分的符号, 即得微分的四则运算及基本运算法则.2.微分形式的不变性设(),()y f u u x ϕ==均可导，则()[()]()()dy f u du f x x dx f x dx ϕϕ''''==⋅=二、典型题解析（一） 填空题 导数的定义注 由定义求导数时要注意（1）自变量的增量与函数的增量大小、符号都要对应; （2）函数值的增量一定要是给定点0x 处的增量.【例2.1】设()f x 在0x =的某邻域内连续,且()00f =,()0lim 1sin 2x f x x→=,则()0f '＝ .解 由导数定义()()()000sin 2limlim 20sin 2x x f x f f x xx x x→→-==- 即()'02f = 【例2.2】设()0'2f x =,则()()0002lim2h f x h f x h h→--+＝ .解 因为()()()()()()0000000022limlim 22h h f x h f x f x h f x f x h f x h h h→→---+-⎡⎤⎡⎤--+⎣⎦⎣⎦= ()()()()00000021lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→--+-⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦()()0013''2322f x f x =--=-=-.复合函数求导注意函数的对应关系 【例2.3】y =则y '＝ .解 将已知函数变形为 ()113221y x x⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,所以 ()213221'1131xy x xx-⎛⎫⎡⎤=+++ ⎢⎥+⎣⎦⎝(()1312231x x +=+,y x 分别对参数t 的导数比【例2.4】设()()31tx f t y f e π=-⎧⎪⎨=-⎪⎩,其中f 可导,且()'00f ≠,则0t dy dx =＝ .解 利用参数方程的求导法则330()3(1)3()()t t t t dyy t e f e dxx t f t ==''-===''两边对x 复合函数求导解方程【例 2.5】（2006数二）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dydx=＝ .解 对方程1yy xe =-两边关于x 求导得y ydy dye xe dx dx=--,令0x =,得()01y =，则()00y x dye e dx==-=-高阶导数求法：一阶一阶求，不能化简，然后找通项的规律 【例2.6】11x y x-=+,则()n y ＝ . 解 因()1211y x -=+-,()()2'211y x -=-+,()()()3''2121y x -=--+,,设 ()()()12!11kk k k yx +=-+,()()()()()()()1111121!2!1'111k k k k k k k yx x +++++⎡⎤+=-=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦, 故()()()12!11nn n n yx +=-+.（二）选择题注意方向不同极限不同【例2.7】()1, 010, 0x xx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩在0x =处 [ ](A) 极限不存在 (B) 连续但不可导 (C) 极限存在但不连续 (D) 可导 解 由于01lim ,x x ±→=±∞所以应分00x x +-→→与讨论. ()()110lim lim lim lim (0)0,11x x x x xxxx f x f x f ee++--→→→→=====++所以()f x 在0x =处连续.()()()()1100110lim lim 1,0lim lim 0011x x x x xxf x f x f f x x ee--++-+→→→→--''======--++,()()00f f +-''≠,因此 ()0f '不存在，故选B.分段函数都得从两方向考虑【例 2.8】（1999数一）设()()2 0, 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 [ ](A) 极限不存在 (B) 连续但不可导 (C) 极限存在但不连续 (D) 可导解 因为()00f =,右导数()()3000201cos 0lim lim lim 00x x x f x x f x x ++++→→→--'====-,左导数()()()()200000limlim lim 00x x x f x x g x f xg x x x-+-→-→→-'====-,()()000f f +-''==,所以函数()f x 在0x =处可导,故应选D.此题用方法一更方便一点【例2.9】设()()()()12f x x x x x n =+++,则()0f '= [ ]（A ）不存在 （B ）0 （C ）()12n n + （D ）!n 解 （法一）用定义求导()0f '=()()00limx f x f x →-()()()012lim x x x x x n x→+++=()()()0lim 12!x x x x n n →=+++=.（方法二）先求导函数,再求()0f ' ()()()()12f x x x x n '=+++()()2x x x n ++++()()11x x x n +++-()0f '()x f x ='=!n =，故应选D.可用不定式法则【例 2.10】设()f x 可导,且满足条件()()11lim12x f f x x→--=-,则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为 [ ]（A ） 2 （B ） 2- （C ）12（D ） 1- 解 ()()()()0111lim1122x f x f f x →--'==--,所以()12k f '==-.故应选B. 【例2.11】 设()101n n n f x a x a x a -=+++,则()()0n f= [ ]（A ）n a （B ）0a （C ）0!n a （D ）0 解 ()()n f x =0!n a , 所以()()0n f =0!n a ,故应选C.理解微分的定义【例 2.12】 设()f x 可导且()012f x '=,则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 与x ∆比较是[ ]的无穷小.（A ）等价 （B ）同阶 （C ）低阶 （D ）高阶解 00112lim lim 2x x xdy x x ∆→∆→∆==∆∆,可知dy 与x ∆是同阶的无穷小,故应选B. 可用2阶泰勒公式理解，【例2.13】 （2006数二）设函数()y f x =具有二阶导数,且'()0f x >,''()0f x >,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 [ ]（A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆< （C ）0y dy ∆<< （D ）0dy y <∆< 解 ()00dy f x x '=∆>所以排除（C ）、（D ）,又因为()()()()()()2200002!f x y f x x f x f x x x o x ''⎡⎤'∆=+∆-=∆+∆+∆⎣⎦ ()()()2202!f x dy x o x ''⎡⎤=+∆+∆⎣⎦ 而()()()22002!f x x o x ''⎡⎤∆+∆>⎣⎦,所以0dy y <<∆，故应选A. （三）非客观题 1.导数的概念与性质【例2.14】 设2()10f x x =，按定义求'(1)f -. 解 由导数定义得(1)(1)'(1)limx f x f f x∆∆∆→-+---=20010(1)10lim lim (20)20x x x x x∆∆∆∆∆→→-+-==-+=-.解法用到了N 方差的公式 【例2.15】 设19971()(1)(),lim ()1x f x xg x g x →=-=，求'(1)f .解 199711()(1)(1)()0'(1)lim lim 11x x f x f x g x f x x →→---==--1996199511996199511lim(1)()lim(1)lim ()199711997x x x x x x g x x x x g x →→→=++++=++++⋅=⋅=【例2.16】 设()f x '存在,求()()x x b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆0lim.解 ()()0lim x f x a x f x b x x ∆→+∆--∆∆()()()()0limx f x a x f x f x f x b x x ∆→+∆-+--∆=∆ ()()()()x x f x b x f x x f x a x f x x ∆-∆--∆-∆+=→∆→∆00lim lim()()()()()b x b x f x b x f a x a x f x a x f x x -∆--∆--∆-∆+=→∆→∆00lim lim ()()()()()x f b a b x f a x f '+=-'-'=.注 ()()()0limx f x b x f x f x x∆→-∆-'≠∆ , 函数的增量与自变量的增量要一致.【例2.17】 若)(x ϕ在a x =处连续,()()x a x x f ϕ-=)(,求)(a f '. 解 ()()()limx af x f a f a x a →-'=-()()0lim x a x a x x aϕ→--=-()lim x a xϕ→=()a ϕ=. 注()x ϕ在x a =处连续，不满足乘积的导数公式的条件，只能用导数的定义.【例2.18】 设2()sin(2),f x x x =-求'(2)f . 解当2x →时，sin(2)(2)x x --，∴ 22222()(2)sin(2)'(2)limlim lim 422x x x f x f x x f x x x →→→--====--注意幂指数函数的处理【例2.19】 设(0)0,(0)f f '≠存在，求1()lim .(0)xx f x f →∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解 0011()(0)1()(0)ln 1lim lim (0)(0)01()1()lim lim (0)(0)t t xf t f f t f t t f t f x t f f t x t e e f x f →→⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦→∞→⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦令(0)(0)f f e '= 充分理解导数定义中的增量含义，看看此题的增量，【例 2.20】 设21arctan ,0,()0,0x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩又函数()f x 在0x =点可导，求()(())F x f x ϕ=在0x =处的导数.解 2001(arctan )(0)(())((0))'(0)lim lim 0x x f x f f x f x F x x ϕϕ→→--==- 2021(arctan )(0)1lim arctan1arctan'(0)00x f x f x x x x xf →-=⋅=⋅=分段点的连续与可导，以下两题用可导性确定常数【例2.21】 设2(1)(1)()lim ,1n x n x n x e ax bf x e --→∞++=+（a,b 为常数），讨论)(x f 的连续性与可导性.解 2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax b f x e --→∞++=+2,11(1),12,1ax b x a b x x x +<⎧⎪⎪=++=⎨⎪>⎪⎩， 由于)(x f 在在(,1)-∞和∞(1,+)上是初等函数，所以)(x f 在(,1)-∞和∞(1,+)上连续且可导. 又在1x =处，当且仅当(10)(10)(1)f f f +=-=时，)(x f 才连续，即1(1)12a b a b +=++=，所以当1a b +=时，)(x f 在1x =处连续.当(1)(1)f f -+''=时，)(x f 在1x =处可导.11111(1)()(1)12(1)lim lim lim lim 1111x x x x ax b a b f x f ax b ax a f a x x x x -----→→→→+-++-+--'=====---- 221111(1)()(1)12(1)lim lim lim 2111x x x x a b f x f x f x x x +--+→→→-++--'====---， 所以，当2,1a b ==-时函数在1x =处可导，此时函数在(,)-∞+∞上可导.【例2.22】 设321()(1)(1),1x x f x a x b x c x ⎧ ≤=⎨-+-+>⎩，求,,a b c 使)(x f 在1x =处二阶可导.解 由于)(x f 在1x =处二阶可导，所以)(x f 在1x =处连续，故11(1)lim ()x f f x c +→=== 又)(x f 在1x =处一阶可导，故1()(1)(1)(10)lim , 3.1x f x f f f b b x +→-''=+==⇒=-最后)(x f 在1x =处二阶可导，因为231()2(1)3,1x x f x a x x ⎧≤'=⎨-+>⎩所以 (10)(10)3f f a ''''+=-⇒=.注 由于可导必连续，类似的题必须先使函数在分段点连续，再使其可导.2.导数的求法 (1)复合函数求导数【例2.23】 求下列函数的导数.（1）42)sin 1(x y +=，（2）y =（3）()0a a x a x a y x a a a =++>解 （1） ()2324(1sin )1sin y x x''=+⋅+234(1sin)2sin cos x x x =+⋅⋅234(1sin )sin 2x x =+.（2）y x ''=x '=+=-=（3）()()1'ln 'a aaa x a y a xa a x -=+()()ln 'xa x a a a +()()11ln a aa a x a a xaa ax --=+()()ln ln xa xa a aa +112ln ln aaxa aa x x a a x ax a a a a a --=++.此例注意函数的变形【例2.24】 求下列函数的导数.（1） x x x y 21ln -+= （2）32sin cos sin 21cot 1tan 2x x xy x x =++++（3） xx x y x x x =++解（1）函数变形为(ln ln y x x =-,则11y x⎛⎫'=- ⎝1x =. （2） 3233sin cos sin 2sin cos sin cos 1cot 1tan 2cos sin x x x x xy x x x x x x+=++=++++ 22sin cos cos sin sin 1x x x x xcox =+-+= 所以 0y '=.（3）ln ln xxx x x x x xy x x x x e e =++=++ ln ln 1(ln )(ln )xx x x xxy x x e x x e '''=++ln ln ln 1(1ln )(ln )x x xx xx x x eee x '=+++ln ln 11(1ln )[(1ln )ln ]xxx x xx x x x x ex e x x=+++++⋅11(1ln )[(1ln )ln ]xx x x x x x x x x x x -=+++++. 注 有些函数直接求导比较麻烦，可先变形或化简.【例2.25】 已知()11',1x f x y f x x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭, 求dy dx . 解 令()1,11x u x x +=≠±-则 ()221du dx x =-- 则()221122111dy dy du du x dx du dx u dx x x x --=⋅=⋅=⋅=+--. 没有特殊，注意代回已知即可【例2.26】 求下列函数的导数，其中(),()f x g x 均可导.（1）21sin y fx ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （2）()()f x x y f e e =⋅（3）2arcsin (arctan )y f g x =+解 （1）111112sin sin 2sin sin sin y f fff x x x x x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22111sin sin cos f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）()()()()f x f x x x dy d d e f e f e e dx dx dx ⎡⎤⎡⎤=⋅+⎣⎦⎣⎦ ()()()()()''f x f x x x x ef e e f e ef x =⋅⋅+.（3）2[arcsin [(arctan )]y f g x '''=+22[(arctan )(arctan )f g x x '''=⋅+⋅242(arctan).1xg xx''=++注()[]()'xfϕ是对x求导, ()f xϕ'⎡⎤⎣⎦是对中间变量()xϕ求导.注意求导变量【例2.27】设ydydx'=1, 求22dyxd.解由ydydx'=1，知y是x的函数,y'仍为x的函数,故把x看成是中间变量,利用复合函数求导法则,最终对y求导，即2211d x d d dxdy dy y dx y dy⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭()()231y yyy y''''=-=-'''【例2.28】求函数下列函数的导数.（1）)31)(21)(1(xxxy+++=（2）y=（3）1xxyx⎛⎫= ⎪+⎝⎭解（1）对函数两端取对数得ln ln(1ln(1ln(1y=+++++，然后对上式两端对x求导得'yy=++即y'(1(1=+++++（2）两边取对数，得()()21ln ln3ln12ln12y x x x⎡⎤=-++-⎣⎦,对上式两边求导（y是x的函数）211126211xyy x x x⎛⎫'=+-⎪-+⎝⎭,即21126211xyx x x⎛'=+--+⎝（3） 两边取对数得()ln ln ln 1y x x x =-+⎡⎤⎣⎦,两边求导得()111'ln ln 11y x x x y x x ⎛⎫⋅=-++- ⎪+⎝⎭，所以1'ln 111xx x y x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 注 对于有乘、除、乘方、开方运算而成的函数以及幂指函数用对数求导法更简单.(2)反函数求导数【例2.29】设ln ,(0)x y e x x =+>，求其反函数()x x y =的导数. 解 因为1dy x e dx x=+，故其反函数的导数为 1111dx xdy x dy x xe e dx x===++. (3)隐函数求导数隐函数求导，即把y 可看作是x 的函数，方程两边分别对x 求导. 【例2.30】 已知函数()0cos sin =--y x x y ,求y '. 解 方程两边分别对x 求导()[]sin cos sin 10y x y x x y y ''++--= ,则()()cos sin sin sin y y x y y x y x+-'=--.【例2.31】 已知函数33sin 360x y x y +-+=,求0.x y ='.解 方程两边分别对x 求导22333cos360,x y y x y ''+⋅-+=,则22cos32x x y y -'=+.将0x =代入原方程得00,x y==因此01.2x y ='=【例2.32】 已知函数xyy x =,求y '.解 方程两边取对数，化为ln ln y x x y =,对方程两边求导得11ln ln y x y y x y x y ''+⋅=+⋅⋅,则可解出()()ln ln y x y y y x y x x -'=-. 【例2.33】 已知函数yx e xy +=,求y ',y ''.解 对方程yx e xy +=两边关于x 求导得()1x yy xy ey +''+=+,可得x yx ye y x e ++'=-.则有()()()()2111x y x y x y x yx y e y x e e e y y x e +++++''⎡⎤+---+⎣⎦'=-()()()()2231x y x y x y x y x y e x x e e x xy x ex e +++++-+'-+==--.（代入x yx ye y x e ++'=-）【例2.34】 设 1,x ye xy +-=,求(0)y ''.解 对方程两边求导，得 (1)0x yy e y xy +''+--=， （1）易知 (0)0y =，则 (0) 1.y '=- （1）式两边再对x 求导数，得2(1)20,x y x y y e y e y xy ++''''''++--= （2）将(0)0y =，(0)1y '=-代入（2）得(0) 2.y ''=-.(4)参数方程确定的函数的导数【例2.35】 已知参数方程()⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan1ln 2,求y ',y '',y '''.解 222111221dy t dt t y dx t dt t-+'===+, y '仍然是t 的函数，构建新方程()22ln 1 2x t t y ⎧=+⎪⎨'=⎪⎩ ()221221d y t t dt y dx t dt t '+'===+,同理()22ln 1 12x t t y ⎧=+⎪⎨+''=⎪⎩，则()221221d y t t dt y dx t dt t ''+'''===+【例 2.36】 设()y f x =是由方程组2323sin 10yx t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩所确定的隐函数,求202|t d ydx=. 解 62dxt dt =+, cos cos 1sin 2y y y dy e t e t dt e t y ==--，故()()cos 262y dy e t dx y t =-+ ()()()()()()()()222323cos sin 262cos 6262262262y y ydy dy e t e t y t e t y t d y d dy dt dt dt dt dx dx dx y t y t ⎛⎫⎡⎤--+--+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦==- ⎪⎝⎭-+-+将0|1t y ==，0|t dy e dt==代入上式得 220223|4t d y e edx =-=.(5)求高阶导数【例2.37】 求下列函数的二阶导数.（1）sin xy e x -= （2）(2ln 2a y x = 解 （1）()sin sin cos xxx y e xex e x ---''==-+()sin cos x x y e x e x --'''=-+()()sin cos x x e x e x --''=-+sin cos cos sin x x x x e x e x e x e x ----=---2cos x e x -=-（2）(''2'ln 2ay x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦12⎫=2212⎫==''y =【例2.38】 求函数xy 211+=的n 阶导数.解 ()22121x y +⋅-=',()()()3221221x y +⋅--='',()()()()43212321x y +⋅---=''',,观察函数的前几阶导数，找出规律性，写出n 阶导数表达式()()()11!212nn n n n y x +-=+ . 注 此题结论可以总结出求形如1y ax b=+函数的n 阶导数的一般公式.对形如1y ax b=+的函数的n 阶导数为()()()11!nn n n n a y ax b +-=+. 【例2.39】 求函数xxy +-=11的n 阶导数. 解 ()()()2111x x y x -+--'=+()221x -=+,()()3221y x --''=+()()()()41322x y +---=''', ,观察函数的前几阶导数，找出规律性，写出n 阶导数表达式()()()112!1nn n n yx +-⋅=+. 【例2.40】 求函数4cos sin cos y x x x =+的n 阶导数. 解 ()2111cos 2sin 242y x x =++3111cos 2cos 4sin 28282x x x =+++, 利用 ()()sin sin 2n n n kx k kx π⎛⎫=+⎪⎝⎭, ()()cos cos 2n nn kx k kx π⎛⎫=+⎪⎝⎭, ()1232cos 22cos 422n n n n n y x x ππ--⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 22n n x π-⎛⎫++⎪⎝⎭. 注 对于三角函数的乘积或次数高于1的幂,只要通过倍角公式、积化和差公式转化为sin ,cos kx kx 的代数和即可.【例2.41】 求函数2221y a b x=-的n 阶导数. 解 22211112y a b x a a bx a bx ⎡⎤==+⎢⎥--+⎣⎦, ()()()1112n n n y a a bx a bx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()111!112()()nnn n n b n a a bx a bx ++⎡⎤--=+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦. 【例2.42】 设2154y x x =-+,求()100y . 解 (100)(100)2154yx x ⎛⎫= ⎪-+⎝⎭(100)111341x x ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭()()100100111341x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()1011011100!100!341x x ⎡⎤=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦【例2.43】 求函数()()2ln 1f x x x =+在0x =处的n 阶导数()()0n f()3n ≥.解 因为 ()()2ln 1f x x x =⋅+为两个因子乘积，令()2ln 1,u x v x =+= 又 ()()()()11ln 11k k x x --⎡⎤+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()111!1k kk x ---=+，由莱布尼茨公式,得 ()()()()()1211!1n n nn f x x x ---=+()()()2112!21n n n nxx ----++()()()()3213!11n n n n n x ----+-+ 所以 ()()()()()30113!n n fn n n -=---.【例2.44】 设()arctan f x x =,求()()20000f （n 为偶数）.解 ()()21'arctan '1f x x x==+, 将此式变形为 ()()2'11f x x ⋅+= （1） 由莱布尼茨公式，（1）式两边同时求1n -阶导数, ()()2120f x x xy '''⋅++=()()212220f x x x y y ''''''⋅++⋅+=…….()()()()()()()()()()122121120n n n x f x x n f x n n f x --++-+--=,把0x =代入上式可得递推关系式()()()()()()20120n n f n n f -=---,()()00,'01f f ==()()()()02(0) 0,1,2,12!,21n mn m fm m n m =⎧⎪==⎨-=+⎪⎩,所以()()200000f =.(6) 用微分形式不变性求导【例2.45】y = 求,'dy y .解dy d =((231113d -=++(((22331111133d --=.((222333111193x dx ---=+((2311127x dx -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦((231'1127y x -⎡⎤∴=+⎢⎥⎣⎦.【例2.46】 设()x y f e ϕ⎡⎤=⎣⎦,其中()(),f u x ϕ均可微,求y '.解 由一阶微分形式不变性,得()()x x dy f e de ϕϕ⎡⎤'=⎣⎦()()()x x f e e d x ϕϕϕ⎡⎤'=⎣⎦()()()x x f e e x dx ϕϕϕ⎡⎤''=⎣⎦y 'dy dx==()()()x x f e e x ϕϕϕ⎡⎤''⎣⎦.【例 2.47】 设()y f x =是由方程33sin 360x y x y +-+=所确定的隐函数,求0|x dy =.解 对方程两边求微分得()33sin360d x y x y +-+=,即22333cos360dx dx y dy xdx dy +-+=,则22cos32x x dy dx y -=+.0|0x y ==，从而 01|2x dy dx ==. 【例2.48】 设()()()2ln 1 x f t tf t y t '⎧=-⎪⎨=+⎪⎩, 其中()f t 二阶可导, 求()x dy d e . 解 由已知条件，y 与xe 均为t 的函数，得22,1tdy dt t=+ ()()x x x d e e dx e tf t dt ''==-⎡⎤⎣⎦. ()()22()1x x dy d e e t f t ∴=''-+()()()()221tf t f t e t f t ''-⎡⎤⎣⎦=-''+.4.导数与微分的应用【例2.49】 已知参数方程⎩⎨⎧==-tt e y e x 2,求在0=t 处的切线方程与法线方程. 解 0=t 对应的点()2,1, 切线斜率 00122tt t tdye k dxe -==-===-.所求切线方程()1122y x -=--, 即240x y +-=. 法线方程 ()122y x -=-，即230.x y --= 【例2.50】 求曲线223arctan 23ln(1)x t ty t t =++⎧⎨=-++⎩ 在3x =处的切线方程. 解 当3x =时，2arctan 0t t +=，得0t =，从而2y =.而 200223(1)||123t t dy t t dt t ==-+==-+， 故切线方程为 2(3)y x -=--，即5x y +=. 与解析几何综合（略） 【例2.51】 求双曲线1y x=与抛物线y =. 解 两曲线的交点为(1,1)，过点(1,1)两曲线切线的斜率分别为11212111,2x k k x ===-=-==则 1(1)2tan 3,11(1)2θ--==+-⨯故arctan3.θ= 【例2.52】 设)(x f 可导,且0)(≠x f , 证明曲线)(x f y =与x x f y sin )(=在交点处相切.证 先求交点解⎩⎨⎧==xx f y x f y sin )( )( ,得1sin =x ⇒22ππ+=k x , 2,1,0±±=kx x f y sin )(=在22ππ+=k x 处的斜率为()122()sin cos k K f x x f x x ππ+'=+⎡⎤⎣⎦22f k ππ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭. )(x f y =在22ππ+=k x 处的斜率为 []⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='=+22)(222ππππk f x f K k即有21K K =故)(x f y =与x x f y sin )(=在交点处有公共切线（相切）. 近似计算关系（略）【例2.53】 求sin 29。