八年级下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华东师大初中数学八年级下册函数与函数的图象 知识讲解精选
函数与函数的图象【学习目标】．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的定义域的基本方法；给出自变1 量的一个值，会求出相应的函数值．．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．23. 能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量.只取同一数值的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个ts t?60s 为变量.和里程60千米变化过程而言的.例如，/时是常量，时间，速度要点二、函数的定义y xx的每一个确定的值，与一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量，并且对于yyy xx的函是称为自变量，称为因变量，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；x的取值，必须要使代数式有实际意义；）对于自变量（2y x是否都有允许取的每一个值，（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；x的取值范围相同. ②自变量否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变x的取值范围有时容易忽视，这点应注意.量要点三、定义域与函数值一般地说，一个函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域.要点诠释：定义域的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，定义域是全体实数；（2）当解析式是分式时，定义域是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，定义域是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，定义域应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，定义域必须使实际问题有意义.yy axax bb时的函数值的函数，如果当.＝时叫做当自变量为＝，那么是要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一2xy?x的值为±时，自变量4中，当函数值为比如：.个函数值对应的自变量可以是多个2.要点四、函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点五、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系及象限在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.要点诠释：x y轴上的点(包括原点)）坐标轴（1不属于任何象限．轴与（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 点的坐标xxa yy，轴、轴上对应的数轴作垂线，垂足在，过点平面内任意一点PP分别向轴、aa bbb). ,P的横坐标、纵坐标，有序数对（分别叫做点P的坐标，记作,:P(）叫做点要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．aax ybb轴的距离.|中，||表示点到|轴的距离；表示点到P(2（）点，)x y)(和它对应，反过来对于任，对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(3)意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律3.要点诠释：.）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上（1x y．轴上的点的横坐标为（2）坐标轴上点的坐标特征：0轴上的点的纵坐标为0；）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标3（平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．要点六、函数的图象那么坐标纵坐标，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、.平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象列表时，自变量的要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.又不至于使自变量或对应取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，. 的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况【典型例题】类型一、变量与函数 1】【高清课堂：389341 变量与函数，例x y的函数有（1、下列等式中，是）22||yx|,x?1,y?y?x,y?|23x?y?0,x?个个 C. 3个 D.4A .1个 B.2 ；【答案】C221,y?x?x当要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义. 对于【解析】3x yy||yx?和它有两个值±和它对应，对于取2取2，，2有两个值±，当x y对应，都有唯一确定的值与对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：C.所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选xx y的每一个确定的值，与，并且对于【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量xx yy抓住函数定义中.都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，的函数是x yy，也可以是“多都有唯一确定的值”，的关键词语“之间的对应，可以是“一对一”与. ，不能是“一对多”对一”举一反三：x?y表示同一函数的是（）【变式】下列函数中与2x233?y)?yx(x?yxy? D. B.A. C.x；D【答案】．提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、（2016春?红桥区期末）下列图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（）．． CDA． B．【思路点拨】利用函数的定义，对于给定的x的值，y都有唯一的值与其对应，进而判断得出．【答案】B．【解析】解：在图象A，C，D中，每给x一个值，y都有2个值与它对应，所以A，C，D中y不是x的函数，在B中，给x一个正值，y有一个值与之对应，所以y是x的函数．故选：B．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．举一反三：【变式】（2015春?海淀区期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（）． BA ．． DC ．【答案】C.类型二、函数的解析式【高清课堂：389341 变量与函数，例3】、求出下列函数的自变量34x2y?2?y?xx?5x?3?y 2（）．．1（））3．（3?x2．x3?yx1?y?2?y．（4）．（6）（5）．2?x12x?x的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式【思路点拨】定义域是使函数有意义的. 的分母不为零等等【答案与解析】25?x?x?yx为任何实数，函数都有意义；（1）．，解：x43?y xx．2）－3≠0，即（≠；，要使函数有意义，需23x?2233??y2x??x x 0，即，要使函数有意义，需2；（3）＋．3≥2x1?yx?x，要使函数有意义，需2；－1（4）．＞0，即21?2x3x21y??x为任何实数，函数都有意义；（5），．03?x??3x??y xx2. ，要使函数有意义，需）6，即．≠－≥－3且（?2?x0?x?2?.自变量的取值范围必须使整个解析式有意义【总结升华】】【高清课堂：389341 变量与函数，例 4P，设P为BC上任一点，点BC中，∠C＝90°，AC＝6，＝104、如图所示，在△ABC x y 表示△APB的面积．不与点B、C重合，且CP＝．若x y之间的函数关系式；与 (1)求x的取值范围． (2)求自变量【答案与解析】 10，906，∠C＝°，BC＝ (1)解：因为AC＝1130?10?ACBC??S?6所以．ABC?2211?ACPC?S?6?x?3x，又APC?22y?S?S?S?30?3xy?30?3x．，即所以APC?APB??ABC x＜10．0＝10，所以＜ BCCBP(2)因为点不与点、重合，【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P是一动点这个规律，结合图移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．P形观察到点．举一反三：cm的等腰三角形．请你写出底边长80 小明在劳动技术课中要制作一个周长为【变式】xxcmcm y的取值范围． )与腰长)((的函数关系式，并求自变量【答案】2x?y＝解：由题意得，80,y?80?2x，所以由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，x?0??y?80?2x?020?x?40?所以，解得?2x?80?2x?40x?x,20?y?80?2.所以类型三、函数值1xx yy630x?y?的值为（）5、若时，与，当的关系式为＝3 A．5 B．10 C．4 D．－41?x代入关系式可求得函数值.【思路点拨】把3【答案】C；14?10?6y?30??6?.【解析】3axax yybb. ，那么＝时【总结升华】叫做当自变量为是＝的函数，如果当时的函数值类型四、平面直角坐标系、指出下列各点所在的象限或坐标轴．60). G(0，F(3，0)、4) 1)2－，3)、C(－4，－、D(2.5，－2)、E(0，－、5) A(4，、B(【思路点拨】先判断所求点的横纵坐标的符号，进而判断所在象限．【答案与解析】y轴在第四象限，点E在在第一象限，点解：点AB在第二象限，点C在第三象限，点D x轴上，点G上，点F在在原点上．解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个【总结升华】本题主要考查点的坐标的性质，x y象限内点的符号，但注意坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在轴上，又在轴上．举一反三：xn轴的距离为________．4．则点A】点【变式1A(3，)在第四象限，到的坐标为． (3【答案】，－4)】3 1 369934【高清课堂：第一讲平面直角坐标系练习a b )P (2【变式】若点 ,在第二象限，则：a b P1（）点在第－（ ,)象限； 1a b)在第象限；2）点P（－ , （2a b)在第象限；（－ ,－（3）点P3a b )在第（象限 , . （4）点P4【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型五、函数的图象7、（2015春?抚州期末）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小红家到舅舅家的路程是米，小红在商店停留了分钟；（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？【思路点拨】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小红一共用的时间．【答案与解析】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了14分钟．故答案为：1500，14；（2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，分钟最快，速度为=450米14/分．﹣故小红在12（3）读图可得：小红共行驶了1200+600+900=2700米，共用了14分钟．【总结升华】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始．( )匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是【答案】B.。
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
八年级函数图像知识点总结
八年级函数图像知识点总结函数图像是中学数学中的重要部分，它贯穿了数学的各个领域。
在八年级数学中，我们学习了函数图像的一些基础知识，如函数的性质，图像的变化及其与函数性质的关系等。
在本文中，我们将对自己所学知识进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和掌握函数图像的知识。
一、函数图像的性质函数图像有许多与函数性质相关的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
（1）奇偶性当函数满足f(x)=f(-x)时，函数称为偶函数，其图像关于y轴对称；当函数满足f(x)=-f(-x)时，函数称为奇函数，其图像关于原点对称。
例如，f(x)=x^2是偶函数，其图像关于y轴对称；f(x)=x^3是奇函数，其图像关于原点对称。
（2）单调性如果对于函数f(x)，当x1<x2, f(x1)<f(x2)时，称函数f(x)是单调递增的；当x1<x2, f(x1)>f(x2)时，称函数f(x)是单调递减的。
例如，f(x)=x^2是单调递增的，f(x)=-x^2是单调递减的。
（3）周期性如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得f(x+T)=f(x)，称函数f(x)是周期函数，T称为函数f(x)的周期。
例如，f(x)=sinx是以2π为周期的周期函数。
二、函数图像的基本类型在八年级数学中，我们学习了三种基本的函数图像：常数函数、一次函数和二次函数。
（1）常数函数常数函数的函数表达式为f(x)=b（b为常数），函数的图像是一条平行于x轴的直线，可以表示为y=b。
例如，f(x)=3是一条平行于x轴且经过y=3的直线。
（2）一次函数一次函数的函数表达式为f(x)=kx+b（k、b为常数），函数的图像是一条斜率为k、经过y轴的截距为b的直线。
例如，f(x)=2x+1是一条斜率为2，经过y=1的直线。
（3）二次函数二次函数的函数表达式为f(x)=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，且a不等于0），二次函数的图像是一条对称于x轴的开口向上或开口向下的抛物线。
初二函数的图像知识点总结
初二函数的图像知识点总结一、坐标系和直角坐标系在学习函数图像之前，我们需要先了解坐标系和直角坐标系的概念。
坐标系是用来描述平面上点的工具，它由水平方向和垂直方向的两条线组成。
而直角坐标系是将坐标系中的每一个点都表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在横坐标轴上的位置，y表示点在纵坐标轴上的位置。
二、函数的概念函数是数学中的重要概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。
通俗地讲，函数就是一种关系，它将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
在学习函数图像时，我们需要了解一些常见的函数类型，比如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
三、函数图像的基本性质在绘制函数图像时，我们需要掌握一些基本的性质。
比如，线性函数的图像是一条直线，它可以通过两个点来确定；二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向取决于二次项系数的正负；指数函数和对数函数的图像分别是指数曲线和对数曲线，它们有一些特定的性质和规律。
四、函数图像的绘制方法在学习函数图像时，我们也需要了解一些绘制方法，比如利用表格法来绘制函数图像。
表格法是通过选取一些自变量的值，计算对应的因变量的值，然后将这些点连接起来来近似函数的图像。
此外，我们还可以利用函数的性质和变化规律来绘制函数图像，比如线性函数的斜率和截距可以帮助我们绘制出函数的大致形状。
五、函数图像与实际问题的应用函数图像不仅仅是数学中的一个概念，它还可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，我们可以利用函数图像来描述日常生活中的变化规律，比如温度随时间的变化、物体的运动轨迹等。
此外，在学习物理和工程学科时，我们也经常会遇到一些与函数图像相关的问题，因此掌握函数图像的知识对于解决实际问题是非常有帮助的。
总之，函数图像是数学中的一个重要概念，它能够帮助我们直观地理解函数的性质和特点。
在初中阶段，学生需要掌握关于函数图像的基本知识，包括坐标系和直角坐标系、函数的概念、函数图像的基本性质、函数图像的绘制方法以及函数图像与实际问题的应用。
初二数学知识点：函数的图象知识点
初二数学知识点：函数的图象知识点初二数学知识点：函数的图象知识点初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
下面小编为大家提供了函数的图象知识点，希望对大家有所帮助。
一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的'交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
《函数及其图像》知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p （x,y ）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p （x,y ）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
八年级函数及其图像知识点
八年级函数及其图像知识点
函数是数学中的一个重要概念，可以描述两个变量之间的关系。
在八年级学习函数和图像的过程中，需要掌握以下知识点：
一、函数的概念
函数可以看作是输入和输出之间的一个规律或者关系，其中输
入称为自变量，输出称为函数值或因变量。
在函数的定义中，每
一个自变量会产生唯一的函数值，这也是函数的一条重要特征。
二、函数的表达式
函数可以通过表达式来表示，例如 y = 2x + 1 就是一个函数表
达式，其中 x 是自变量，y 是函数值。
在函数表达式中，可以用符号表示函数的性质，例如 y = f(x) 中的 f(x) 就表示函数名。
三、函数的性质
函数有很多相关的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
其中奇偶性表示函数的对称性，单调性表示函数的增减变化趋势，周期性表示函数的周期规律。
四、函数的图像
函数的图像也是非常重要的，可以通过图象的形状和位置来描述函数的性质。
例如 y = sin x 的图像呈现出一条波浪形，表示函数的周期性特征。
图像的位置和斜率还可以表示函数的变化趋势和变化速率。
五、函数的应用
函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
例如在数学中，函数可以用于描述各种变化规律，例如物理运动、生物生长等。
在现实生活中，函数可以用于分析各种数据，例如统计数据、金融数据等。
八年级函数及其图像的知识点虽然较多，但只要认真学习，多
加练习，就能够掌握其中的精髓。
希望同学们能够善于发现问题，多思考，多探索，不断提升自己的数学能力。
八年级函数ppt课件ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 函数基本概念 • 一次函数与正比例函数 • 反比例函数 • 二次函数及其图像和性质 • 函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
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函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数 的概念、定义域、值域等。
实际问题中的综合应用
在某些实际问题中，可能需要同时考虑反比例函数和一次函数的关系。例如，在研究电路中电流、电 压和电阻之间的关系时，可能需要同时考虑欧姆定律和反比例函数来描述这种关系。通过综合应用这 两种函数，可以更全面地理解和解决这类问题。
04
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二次函数及其图像和性质
二次函数表达式及图像特点
导入
通过实际问题引入最大（ 小）值的概念，如利润最 大化、成本最小化等。
建立函数模型
将实际问题转化为函数模 型，明确目标函数和约束 条件。
求解方法
介绍求解最大（小）值问 题的常用方法，如导数法 、不等式法等，并举例说 明其应用。
方案设计类问题解决方法与策略
导入
通过实际问题引入方案设计类问 题的概念，如产品设计、工程规
03
工程中的速率与时间关系
在工程问题中，有时需要计算某个任务在不同速率下完成所需的时间。
当任务量一定时，速率与时间成反比关系。因此，可以用反比例函数来
描述这种关系。
反比例函数与一次函数综合应用
图像交点问题
当反比例函数与一次函数在同一坐标系中作图时，可能会存在交点。这些交点满足两个函数的方程组 ，因此可以通过解方程组来求解交点的坐标。
函数性质
介绍函数的奇偶性、单调性、周 期性等基本性质，并举例说明。
初二函数总结知识点归纳
初二函数总结知识点归纳在初中数学教学中，函数是一个重要的概念。
学习和掌握函数的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将对初二阶段学习的函数知识点进行总结和归纳。
一、函数的定义和表示方法函数是一种特殊的数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
例如，y = f(x)表示因变量y是自变量x的函数。
二、函数的图象和性质1. 函数的图象是在直角坐标系中的表示形式。
对于定义域中的每个x值，都有对应的y值与之对应。
函数的图象可以用来观察函数的性质和变化规律。
2. 函数的单调性：函数的单调性表示函数在定义域上的增减规律。
如果对于任意的x1和x2（x1 < x2），有f(x1) < f(x2)，则称函数在该区间上为递增函数；如果对于任意的x1和x2有f(x1) > f(x2)，则称函数在该区间上为递减函数。
3. 函数的奇偶性：函数的奇偶性用来描述函数图象关于y轴对称性的特点。
如果对于定义域中的任何x值，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域中的任何x值，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
三、常见的基本函数1. 常数函数：常数函数是指定义域上恒定输出的函数，可以表示为f(x) = a的形式，其中a为常数。
常数函数的图象是一条与x轴平行的直线。
2. 一次函数：一次函数是指其定义域上的每个x值与y值之间均满足y = ax + b的函数，其中a和b为常数，且a不为0。
一次函数的图象是一条斜率为a的直线。
3. 二次函数：二次函数是指其定义域上的每个x值与y值之间均满足y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不为0。
二次函数的图象是抛物线。
四、函数的运算1. 函数的加法、减法和乘法：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的加法表示为(f + g)(x) = f(x) + g(x)，减法表示为(f - g)(x) = f(x) - g(x)，乘法表示为(f * g)(x) = f(x) * g(x)。
函数初二知识点总结
函数初二知识点总结一、函数的概念。
1. 变量与常量。
- 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。
例如，在行程问题中，速度不变时，路程s = vt，v是常量，s和t是变量。
2. 函数的定义。
- 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
例如，y = 2x+1，对于x的每一个值，都能通过这个式子算出唯一的y值。
3. 函数的表示方法。
- 解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系，如y = 3x - 2。
- 列表法：通过列出自变量与函数的对应值来表示函数关系。
例如，某商店销售一种商品，记录不同销售量x（件）时的销售额y（元），如下表：x1 2 3 4.y5 10 15 20.- 图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系。
如在平面直角坐标系中画出y = x^2的图象。
二、函数自变量的取值范围。
1. 整式型函数。
- 对于y = 2x+3这样的整式函数，自变量x的取值范围是全体实数。
2. 分式型函数。
- 对于y=(1)/(x)，因为分母不能为0，所以x≠0。
3. 二次根式型函数。
- 对于y = √(x)，被开方数x≥slant0。
如果是y=√(2x - 1)，则2x - 1≥slant0，解得x≥slant(1)/(2)。
三、函数图象的画法。
1. 列表。
- 对于y = 2x+1，可以选取一些x的值，如x=-2,-1,0,1,2，然后分别计算出对应的y值：- 当x = - 2时，y=2×(-2)+1=-3；- 当x=-1时，y = 2×(-1)+1=-1；- 当x = 0时，y=2×0 + 1=1；- 当x = 1时，y=2×1+1 = 3；- 当x = 2时，y=2×2+1=5。
列出表格如下：x-2 -1 0 1 2.y-3 -1 1 3 5.2. 描点。
初中数学函数知识点归纳
初中数学函数知识点归纳函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平⾯直⾓坐标系1、定义：平⾯上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平⾯直⾓坐标系，简称为直⾓坐标系2、各个象限内点的特征:第⼀象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第⼆象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；3、坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。
两坐标轴的点不属于任何象限。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5、平⾏于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平⾏于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平⾏于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限⾓平分线上的点的坐标特征：第⼀、三象限⾓平分线上的点横、纵坐标相等。
第⼆、四象限⾓平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P （x,y ）的⼏何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x + 8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -=Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征：在平⾯直⾓坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。
《函数的图像》 人教版 八年级下册课件
从由函小数变图大象时观，察函得数，曲y 线6x从随左之向右减少下.降，即当x
归纳： 描点法画函数的一般步骤为：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及
知 其对应的函数值； 识 第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自 点 变量的值为 横坐标，相应的函数值为 纵坐标， 一 描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标 由小到大 的顺序， 把所描出的各点用 平滑曲线 连接起来.
练习
1、（1）画出函数 y 2x 1 的图象； 列表：
2x–1 -1 0 1 … … .. .. y -3 -1 1 … … .. ..
y 2x 1
描点并连线：
若一个点在某个函数图
AB不在，C在
象上,那么这一点的横、 纵坐标一定满足这个函
3、（1）画出函数 y x2 的图象；
列表：
y x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y9410149
描点并连线：
y随x的增 大而减小
（2）从图象中观察，当x＜0时，y随x的增大 而增大，还是y随x的增大而减小?当x＞0时呢？
由上可知，写出函数解析式， 或者列表格，或者画函数图像， 都可以表示具体的函数。这三 种表示函数的方法，分别称为 解析式法、列表法和图像法。
函数 s x2 (x＞0)
的图象．
用描点法画函数图象
例3 在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y都 有唯一的对应值，即y是x的函数.画出这些函数的图象：
知 识
（1）y
x
0.5；（2） y
6 x
（x＞0）.
点 解：（1）从函数可以看出，x的取值范围是：全体实数
一
列表：从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值， 填写在表格里；
八年级函数图像知识点
八年级函数图像知识点函数图像是初中数学中一个非常重要的知识点，学好函数图像的知识不仅可以为学生将来学习高中数学和大学数学打下坚实的基础，而且还可以为学生成为优秀的一个数学家打下基础。
在这篇文章中，我将会涉及到八年级函数图像的几个重要知识点。
一、一次函数一次函数是最简单的线性函数，可以用y=kx+b 的方式来表达，其中 k 是斜率， b 是截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率为正的直线向右上方倾斜，斜率为负的则向右下方倾斜。
当斜率k=0 时，直线是水平的；当 b=0 时，直线经过原点，称为原点通过的直线。
二、二次函数二次函数是常见的非线性函数之一，可以用 y=ax²+bx+c 的方式来表达，其中 a 不等于0。
a 的正负决定了二次函数开口朝上或朝下，当 a>0 时，二次函数开口朝上，当 a<0 时，二次函数开口朝下。
b 的正负决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为 x=-b/2a。
c 影响了二次函数的 y 坐标截距。
当 a=1，b=c=0 时，二次函数变为 y=x²，这是一个基础的二次函数，成为抛物线。
三、指数函数指数函数是 y=a^x 的函数形式，其中 a 是正数，且不等于 1。
当a>1 时，指数函数增长迅速；当0<a<1 时，指数函数衰减迅速。
指数函数的图像随着指数 x 不断增加而上升或下降，与 x 轴永不相交。
指数函数有一个特殊的基础函数 y=2^x，这个函数的图像是一条向上的曲线，与 x 轴相交于 x 轴上方的一点。
指数函数是一种常用的模型，可以描述很多实际现象，如细菌数量增长、放射性衰变等。
四、对数函数对数函数是 y=loga(x) 的函数形式，其中 a 是正数，不等于 1。
这个函数的反函数是指数函数。
当 a>1 时，对数函数单调增加，当 0<a<1 时，对数函数单调减少。
对数函数的图像有一个特殊点(1,0)，这是因为 loga(a^x)=x，所以当 x=0 时，a^x=1，对数函数得到最小值 0。
人教版八年级数学 下册 第十九章 19.1.2 函数的图像 课件(3课时,共69张PPT)
（3）如果水位的变化规律不变，按上述 函数预测，再持续2小时，水位的高度： __y_=_0_.3_×__7_+_3_=_5_._1_(m__)_____. 此时函数图象（线段AB）向 ___________延伸到对应的位置，这时 水位高度约为___5_.1_m______米.
由例可以看出，函数的不同表示法 之间可以__转__化_______.
值范围是： X取全体实数 ； 第一步：从的取值范围中选取一些简洁的数 值，算出的对应值，填写在表格里；
x … －3 －2 －1 0 1 2 …
y … -2.5 -1.5 -0.5 0.51.52.5 …
知识点 用描点法画函数图象 第二步：根据表中数值描点（ x ,y）；
y=x+0.5
• • • • • •
1、如果A、B两人在一次百米赛跑中， 路程（米）与赛跑的时间t（秒）的关系
如图所示则下列说法正确的是（ C）
A. A比B先出发； B. A、B两人的速度相同； C. A先到达终点； D. B比A跑的路程多.
2、用列表法与解析式法表示n边形 的内 角和m（单位：度）关于边数的n函数.
解：列表法：
边数n 3 4 5 …
内角和 m/度 180 360 540
…
解析法：m=(n-2)×180 °,n≥3
大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大。
画函数图象的一般步骤：
列表、描点、连线，这种画函数图象 的方法称为描点法。
函数图象的三种表示法
1、描点法画函数图象的一般步骤： （1）_列__表__，（2）_描__点__，（3）_连__线___. 2、表示函数的三种方法分别为：
__解_析__式__法__、___列_表__法__ 、_图__象_法__ .
初中数学函数图像知识点汇总
初中数学函数图像知识点汇总函数是数学中的重要概念，而函数图像则是理解函数性质的重要工具之一。
在初中数学中，学习函数图像有助于学生理解函数的变化规律、性质和应用。
下面将对初中数学函数图像的知识点进行详细总结。
1. 基本函数图像：(1) 常数函数 f(x)=a : 这是一条平行于x轴的直线，横坐标不变，纵坐标为常数a。
(2) 一次函数 f(x)=kx+b : 这是一条斜率为k的直线，纵截距为b。
(3) 平方函数 f(x)=x^2 : 这是一条开口向上的抛物线，对称轴是y轴。
(4) 绝对值函数 f(x)=|x| : 这是一条以原点为顶点的V字形折线。
2. 函数的变换：(1) 平移：将函数图像沿x轴或y轴平行地移动。
当函数图像向右平移h单位时，函数表示形式为f(x-h)；当函数图像向上平移k单位时，函数表示形式为f(x)+k。
(2) 翻折：将函数图像沿x轴或y轴翻转。
当函数图像关于x轴对称时，函数表示形式为-f(x)；当函数图像关于y轴对称时，函数表示形式为f(-x)。
(3) 压缩与拉伸：将函数图像沿x轴或y轴进行扩大或缩小。
当函数图像水平方向压缩为原来的1/a倍，纵轴方向拉伸为原来的a倍时，函数表示形式为f(ax)；当函数图像水平方向拉伸为原来的a倍，纵轴方向压缩为原来的1/a倍时，函数表示形式为f(x/a)。
3. 常见函数图像特征：(1) 斜率：一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度。
斜率越大，函数图像越陡峭。
(2) 零点：函数图像与x轴相交的点称为零点。
零点对应于函数的解，即f(x)=0。
(3) 最值：函数图像的最高点称为最大值，最低点称为最小值。
(4) 对称中心：若函数图像关于某一点对称，则该点为对称中心。
常见对称中心有原点和y轴。
(5) 单调性：函数图像在某一区间上递增或递减称为函数的单调性。
4. 常用函数图像的特点：(1) 常数函数 f(x)=a : 函数图像平行于x轴，斜率为0，没有零点，单调性为常数。
八年级数学下册课件(冀教版)一次函数的图像和性质
y 的值随x 的增大而增大和y 的值随x 值的增大而减小两种
函数，它们的区别和自变量系数的符号有怎样的关系？
由图可知，y =2x+3和 y 1 x 2 两个函数y 的值是随x
2
的值的增大而增大的；y=-2x+4和 y
1 x 2 两个函数
2
y 的值是随x 的值的增大而减小的.而这两组函数的区别
在于：前两个函数的自变量系数是正的，而后两个函数
(1) y＝2x；(2) y＝2x +5；(3) y＝2x－5
解：如图所示．
5 一次函数y＝x＋1的图像是( C )
A．线段 B．抛物线 C．直线 D．曲线
6 函数y＝2x＋3的图像是( C )
A．过点(0，3)，(0，－1.5)的直线 B．过点(0，－1.5)，(1，5)的直线 C．过点(－1.5，0)，(－1，1)的直线 D．过点(0，3)，(1.5，0)的直线
2
2
一次函数图像的画法与我们前边学过的函数图像的画法一样， 其步骤为列表、描点、连线.通过实际操作，我们可得出：
(1)一次函数y =kx+b (k、b 为常数，k≠0)的图像是一条直线.由两
点确定一条直线可知，在画一次函数图像时，只要描出函数图像中 的两个点就可画出此函数的图像.
(2)一般地， y=kx+b (k、b 为常数，k≠0)都过(0，b )(与y 轴交点 坐标)和( b ，0)(与x 轴交点坐标)两点.
1 填表并观察下列两个函数的变化情况.
x
…
y=x-10 …
－2 －1 0
1
－12 －11 －10 －9
2… －8 …
y=-5x+2 … 12 7
2 －3 －8 …
八年级《函数及其图象》复习总结.doc
八年级《函数及其图象》复习总结一、 函数定义：例1、 判断下列说法是否正确。
（1）2x-1是x 的函数。
（2）x 是x 2的函数。
二、 求函数自变量的取值范围的方法：1、对于给定的函数关系式，要使原式有意义。
（1） 整式函数： （2） 分式函数： （3） 二次根式函数：例2、求下列函数的自变量的取值范围。
（1）732-=x y （2）422-+=x x y （3）x y -=2 （4）xy -=21 （4）x x y 3212---=2、对于根据实际问题所列出的函数关系式，不仅要使所列出的函数关系式有意义，而且还要符合实际问题的意义。
例3、已知等腰三角形的周长为18cm ，试写出它的底边长y (cm) 与腰长x (cm)之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围。
三、坐标的双重意义：1、符号意义：2、绝对值意义：例4、如图，等边△OAB的边长是4，试求A、B、C三点的坐标。
四、会看函数图象：例5、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）例6、一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关Array系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？五、函数的图象与性质：1、正比例函数的图象和性质：2、一次函数的图象和性质：3、 反比例函数的图象和性质：例7、（1）若52)1(--=m x m y 是正比例函数，且图象经过二四象限，求m 值。
函数及其图像复习知识点归纳(初二)
一、知识点：〈一〉 平面直角坐标系1、 各象限内点的坐标特征2、 坐标轴上的点不属于任何一个象限例：（太原）在平面直角坐标系中，点P )2,1(a a -+在第四象限，求a 的取值范围。
3、 平面直角坐标系中点的坐标的对称（中考常考）思路：关于x 轴对称点的坐标有什么特征？关于y 轴对称点的坐标有什么特征？关于原点对称点的坐标有什么特征？例：点P )4,3(-关于原点对称的点的坐标是 ；此对称点到原点的距离是 。
例：在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线所在直线的函数关系式是 ；第二、四象限角平分线所在直线的函数关系式是 。
4、 图形的平移与坐标的变化（近几年的中考有上升趋势）〈二〉 正比例函数、一次函数1、 定义一次函数：)0(≠+=k b kx y 正比例函数：)0(≠=k kx y图象：一条直线（故一次函数)0(≠+=k b kx y 也叫直线)0(≠+=k b kx y ）2、图象的性质：（由系数k 与b 决定）k ：决定图象上升（或下降）的趋势〈即y 随x 的变化情况〉b ：决定图象与y 轴的交点位置（纵截距）3、一次函数：)0(≠+=k b kx y 的几种大致图象（共6种）例：函数b kx y +=的图象大致如右，则（ ）A 0,0>>b kB 0,0<>b kC 0,0><b kD 0,0<<b k例：请写出一个一次函数，使它的图象不经过第一象限，该表达式可以是 。
（满足条件k<0, b<0即可）4、一次函数表达式的确定方法：待定系数法 依据：两点确定一条直线例：已知一次函数的图象经过A )3,1(),3,2(B --两点。
（1）求这个一次函数的表达式； （2）试判断点P )1,1(-是否在这个一次函数的图象上？y x o（在求系数k 与b 时，可用简便方法）5、 一次函数图象性质的运用〈三〉 反比例函数1、 定义及表达式：xk y = k xy = 1-=kx y )0(≠k 学会灵活运用上面三种表达式例：已知反比例函数的图象经过点（2，3），则这个反比例函数的表达式是 。
人教版数学八年级下册函数的图像(第1课时)教学课件
停留了5 min；③甲、乙两组同时到达景点；④相遇后，乙组的速度
小于甲组的速度．根据图象信息，以上说法正确的
有 ①②
．
s/km
55
乙 甲
t/min O 10 20 30 40 50 60 70
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课堂检测 拓广探索题
某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y(个)
由小到的大顺序，把所描出的各
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巩固练习
(1)在所给的平面直角坐标系中画出函数 y 1 x的图象.
2
（先填写下表，再描点、连线）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
…
3 2
-1 1
2
பைடு நூலகம்
0
1 2
1
3
2…
(2)点P(5，2)
不在 该函数的图象
y 3
(tú xiànɡ)上(填“在”或“不在”). 2
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探究新知
知识点 1 函数(hánshù)的图象
写出正方形的面积S与边长x的函数解析式，并确定 (quèdìng)自变量x的取值范围.
S=x2 （x＞0）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16
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连接(liánjiē)中考
甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后
，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达(dàodá)B地并停留1h后，再以原
速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km
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华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的,在某个变化过程中有两个变量x和y,对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应,我们说x叫做自变量,y叫做因变量,y叫做x的函数; 2．自变量的取值范围：1能够使函数有意义的自变量的取值全体;2确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义;3不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数;②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数;③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数;3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值;这里有三种类型的问题：1当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值;2当已知函数值求自变量的值就是解方程;3当给定函数值的一个取值范围,欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组;二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：1点px,y在第一象限→x＞0,y＞0.2点px,y在第二象限→x＜0,y＞0.3点px,y 在第三象限→x ＜0,y ＜04点px,y 在第四象限→x ＞0,y ＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：1点px,y 在x 轴上→x 为任意实数,y=02点px,y 在y 轴上→x=0,y 为任意实数3 ．关于x 轴,y 轴,原点对称的点的坐标的特征：1点px,y 关于x 轴对称的点的坐标为x,-y.2点px,y 关于y 轴对称的点的坐标为-x,y.3点px,y 关于原点对称的点的坐标为-x,-y4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：1点px,y 在第一、三象限夹角平分在线→x=y.2点px,y 在第二,四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：1位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同;2位于平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同;6．点到坐标轴及原点的距离：1点px,y 到轴的距离为 ｜y ︱.2点px,y 到y 轴的距离为∣x ∣.3点px,y 到原点的距离为22y x4同在x 轴上的两点Ax 1,0与Bx 2,0之间的距离为AB=|x 1-x 2|5同在y 轴上的两点C0,y 1与D0,y 2之间的距离为CD=|y 1-y 2|三．函数的图像函数图像上的点与其解析式的关系1．函数图像上任意一点p﹙x,y﹚中的x、y满足函数关系式,满足函数关系式的一对对应值﹙x,y﹚都在函数的图像上;2．判断点p﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法,将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式,如果满足函数关系式,那么这个点就在函数的图像上,如果不满足函数关系式,那么,这个点就不在函数的图像上;四．一次函数一一次函数的定义1．定义:含有自变量的式子为一次整式,即形如式子y＝kx+b其中k和b为常数,k ≠0叫做一次函数;正比例函数：在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx其中k≠0,这样的函数叫做正比例函数;2．注意：1由一次函数和正比例函数的定义可知;①函数是一次函数→解析式为y＝kx+b的形式;②函数是正比例函数→解析式为y=kx的形式;2一次函数解析式y=kx+b的结构特征：①k≠0 ②x的次数是1 ③常数b为任意实数3正比例函数解析式y=kx的结构特征①k≠0 ②x的次数是1 ③常数b=03．说明：在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数,它不是一次函数;4．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数;一次函数y=kx+b,当b=0时为正比例函数一次函数y=kx+b,当b ≠0时一般的一次函数二 一次函数的图像1．一次函数图像的形状：一次函数y=kx+b 的图像是一条直线,通常称为直线y=kx+b正比例函数y=kx 的图像也是一条直线,称为直线y=kx2．一次函数图像的主要特点:一次函数y=kx+b 的图像经过点﹙0,b ﹚的直线,正比例函数y=kx+b 的图像是经过原点﹙0,0﹚的直线注意：点﹙0,b ﹚是直线y=kx+b 与y 轴的交点;① 当b ＞0时,此时交点在y 轴的正半轴上,② 当b ＜0时,此时交点在y 轴的负半轴上,③ 当b=0时,此时交点在原点,这时的一次函数就是正比例函数;3．一次函数图像的画法：根据两点能画一条直线并且只能画一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出两点,在连成直线即可;那么,先描出哪两点比较好呢选两点应以计算和描点简单为原则,一般来说,当b ≠0时,一般的一次函数y=kx+b 的图像,应选取它与两个坐标轴的交点﹙0,b ﹚与﹙-kb ,0﹚；当b=0时,画正比例函数y=kx 的图像,通常取﹙0,0﹚与﹙1,k ﹚两点,个别情况下可以做些变通,例如画函数y=32x 的图像,可以取﹙0,0﹚与﹙1,32﹚两点,也可以取﹙0,0﹚与﹙3,2﹚两点;4．直线y=kx+b 与坐标轴的交点1 令x=0,则y=b 所以直线y=kx+b 与y 轴的交点坐标为﹙0,b ﹚2 令y=0,则kx+b=0所以x=-k b所以直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标为﹙-k b ,0﹚注意：此时直线y=kx+b 与x 轴,y 轴围成的三角形面积S=21×∣-k b ∣×∣b ∣5．两直线在直角坐标系内的位置关系:1两直线的解析式中当k 相同时,其位置关系是平行,其中一条直线可以看作是另一条平移得到的,平移规律是“左减右加,上加下减”2两直线的解析式中当b 相同时,其位置关系是相交,交点坐标为﹙0,b ﹚. 三一次函数的性质1．正比例函数的性质1当k ＞0时,图像经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大,直线y=kx 从左到右上升;2当k ＜0时,图像经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小,直线y=kx 从左到右下降;2．一次函数y=kx+b 的性质1当k ＞0时,直线y=kx+b 从左到右上升,此时y 随x 的增大而增大;2当k ＜0时,直线y=kx+b 从左到右下降,此时y 随x 的增大而减小;3当b ＞0时,直线y=kx+b 与y 轴正半轴相交;4当b ＜0时,直线y=kx+b 与y 轴负半轴相交;3．直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的,其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势,b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴,还是负半轴,还是原点;k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况：①当k＞0,b＞0时,直线经过第一、二、三象限,不经过第四象限；②当k＞0,b＜0时,直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限；③当k＜0, b＞0时,直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限；④当k＜0,b＜0时,直线经过第二、三、四象限,不经过第一象限；⑤当k＞0,b=0时,直线经过第一、三象限；⑥当k＜0,b=0时,直线经过第二、四象限;四正比例函数与一次函数解析式的确定1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k 和b,解这类问题的一般方法是待定系数法;2．待定系数法：先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚,再根据已知条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法;其中的未知系数也称待定系数,如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数;3．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：1设出含有待定系数的解析式；2把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式,得到关于待定系数的方程或方程组；3解方程或方程组,求出待定系数；4将求得的待定系数的值代回所设的解析式;注意：通常正比例函数解析式设y=kx,只有一个待定系数k,一般只需一对x 与y 的对应值即可；一次函数解析式设y=kx+b,其中有两个待定系数k 和b,因而需要两对x 与y 的对应值,才能求出k 和b 的值;五．反比例函数一反比例函数定义1．一般的,函数y=xk ﹙k 是常数,k ≠0﹚叫做反比例函数,反比例函数的解析式也可以写成y=kx -1的形式,其中k 叫做比例系数;2．反比例函数解析式的主要特征：1等号左边是函数y,右边是一个分式,分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x 的指数是1,若写成y=kx -1的形式,则x 的指数是-1;2比例系数“k ≠0”是反比例函数定义的重要组成部分;3自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数;二反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点成中心对称;由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以它的图像与x 轴和y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交;三反比例函数的性质1．当k ＞0时,图像在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右下降,也就是在每个象限内y 随x 的增大而减小;2．当k ＜0时,图像在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是在每个象限内y 随x 的增大而增大;四反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法,由于反比例函数y=x k 中只有一个待定系数,因此只需要一对x 与y 的对应值或图像上一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式;五“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系反比例关系是小学学过的概念：如果xy=k ﹙k 是常数k ≠0﹚,那么x 与y 这两个量成反比例关系,这里x 与y 既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式,例如y+3与x 成反比例则有y+3=x k ,y 与x2成反比例,则y=2x k ,成反比例关系不一定是反比例函数,但是反比例函数y=x k中的两个变量必定成反比例关系;六反比例函数y=xk ﹙k ≠0﹚中的比例系数k 的几何意义1．如图,过双曲线上一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,所得矩形PMON 面积为|k|;2．连结PO,则S △POM=21S 矩形=21|k|;六． 函数的应用1．利用图像比较两个函数值的大小在同一直角坐标系中的两个函数图像,如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方,则该函数值就比另一个函数值大,若在下方,则该函数值就比另一个函数值小,而其交点的横坐标就是分界点;2．两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系如果两个一次函数的图像相交,则交点坐标必定同时满足两个函数解析式,故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解;3．一次函数与方程、不等式的关系1一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0,反映在函数解析式就是函数值等于0,则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解;2一次函数y=kx+b在x轴上方的图像,任意一点的纵坐标都大于0,反映在函数解析式就是函数值y＞0,则对应的横坐标,也就是自变量的值即为不等式kx+b＞0的解集;3一次函数y=kx+b在x轴下方的图像,任意一点的纵坐标都小于0,反映在函数解析式就是函数值y＜0,则对应的横坐标,也就是自变量的值即为不等式kx+b＜0的解集;。