2024届福建福州市第一高级中学高一数学第一学期期末经典试题含解析

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2024年福建省福州市第一中学高三数学第一学期期末统考试题含解析

2024年福建省福州市第一中学高三数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（）A ．36B ．26C ．5D ．5342．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 3．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度4．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（） A ．24πB ．86πC ．433πD ．12π5．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④6．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（）A ．118B ．54C ．14D ．187．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A ．33B ．23C ．22D ．18．已知函数2()sin 3cos444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（）A ．2018B ．1009C ．1010D ．20209．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（） AB或3C ．2D ．2或310．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．811．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-12．设ln3a =，则lg3b =，则（）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省福州市鼓楼区2024届高一数学第一学期期末调研试题含解析

福建省福州市鼓楼区2024届高一数学第一学期期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数f (x )=tan π2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是（） A.πππ5π212212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z ) B.πππ5π212212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(k ∈Z ) C.π2πππ63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k ∈Z ) D.π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z ) 2．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是.A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1，0)∪(0，1)D.(－1，0)∪(1，＋∞) 3．设3log 2a =，21log 3b =，32log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<4．已知函数()3log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是满足()()2h x h x +=的偶函数，且当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（）A.()71,2log 3B.()52,2log 3--C.()52log 3,1--D.71log 3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．如图所示，已知全集U =R ，集合{1,3,5,7},{4,5,6,7,8}==A B ，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{1,3}B.{5,7}C.{1,3,5}D.{1,3,7}6．已知0a >，0b >，且a b ab +=，则4b a +的最小值为（） A.94 B.74C.2D.17．《九章算术》中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=12×（弦×矢+矢2）．弧田（如图1）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径为2米的弧田（如图2），则这个弧田面积大约是（）平方米．（3 1.73≈，结果保留整数）A.2B.3C.4D.58．圆221:(1)(2)4C x y +++=与圆222:(1)(1)9C x y -++=有（）条公切线A.0B.2C.3D.49．下列区间中，函数f （x ）=|ln （2-x ）|在其上为增函数的是（）A.(],1∞-B.41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)1,210．已知点()sin ,tan P αα在第二象限，则角α的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

福建省福州市三校联考2024届高一上数学期末监测试题含解析

（2）若关于 x 的方程 log3[(m 4)x 2m 6] f ( x) 0 的解集中恰好有一个元素，求 m 的取值范围；
（3）设
m
0 ，若对任意
t
1 3
,1
，函数
f
(x)
在区间 [t , t
1]
上的最大值与最小值的差不超过
1，求
m
的取值范围
19．在①函数 f x sinx
3 cosx
【题目详解】当 a 0 时，函数 f (x) 2x 1在 R 上单调递增，即 f (x) 在 , 6 上递增，则 a 0 ，
当 a 0 时，函数 f (x) 是二次函数，又 f (x) 在 , 6 上单调递增，由二次函数性质知， a 0 ，
则有
a
1 a
0
6
，解得
1 6
a
0
，
所以实数
【题目详解】解：对直线 3x 2y 5 0 令 y 0 ，得 x 5 3
可得直线在 x 轴上截距是 5 ， 3
故答案： 5 3
【题目点拨】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题
为 14、,0
1 2
,1
【解题分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程 f (x) b 有且仅有 1 个实数根转化为函数 y f (x) 与直线
本题选择 C 选项. 4、A 【解题分析】直接代入计算即可. 【题目详解】
故选：A.
5、A
【解题分析】因为函数 g(x)＝4x＋2x－2 在 R 上连续，且 g(1) 2 1 2 2 3 0 ， g(1) 2 1 2 1 0 ，
4
2
2
2
设函数的
g(x)＝4x＋2x－2

福建省福州市鼓楼区福州一中2023-2024学年数学高一上期末综合测试试题含解析

福建省福州市鼓楼区福州一中2023-2024学年数学高一上期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．直线l ：mx y 10-+=与圆C ：22x (y 1)5+-=的位置关系是( )A.相切B.相离C.相交D.不确定2．已知函数()f x 在区间[]22-,上单调递增，若()()()24log log 2f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是（） A.1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(]1,4D.[]2,43．若α是钝角，则2α-是（） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角4．已知a b >，那么下列结论正确的是（） A.0a b -< B.0a b -> C.0a b +<D.0a b +>5．过原点和直线1:340l x y -+=与2:250l x y ++=的交点的直线的方程为（） A.1990x y -= B.9190x y += C.3190x y +=D.1930x y +=6．如图所示，在ABC 中，2BD DC =．若AB a =，AC b =，则AD =（）A.2133a bB.2133a b - C.1233a b + D.1233a b - 7．已知函数()()2122x x f x g x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，，，在R 上是单调函数，则()g x 的解析式可能为（）A.21x +B.()ln 3x -C.21x -D.12x⎛⎫ ⎪⎝⎭8．为了得到sin(2)6y x π=-的图象，可以将sin 2y x =的图象（）A.向左平移1112π个单位 B.向左平移12π个单位C.向右平移6π个单位 D.向右平移3π个单位 9．命题2:,10∀∈+>R p x x ，则命题p 的否定是（） A.2,10∃∈+≤R x x B.2R 10,xxC.2,10∀∈+≤R x xD.2,10∀∉+>R x x 10．已知,,,则的大小关系A. B. C.D.11．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 A.32παβ-= B.32παβ+= C.22παβ-=D.22παβ+=12．已知函数()21,12,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()3f f =（）A.53 B.3 C.23D.139二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.） 13．写出一个同时具有下列性质①②的函数()f x =______.（注：()f x 不是常数函数） ①()102f =；②()()πf x f x +=. 14．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是___________15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.16．8πtan3等于_______. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

学年福建省福州市高一上期末数学试卷解析版

学年福建省福州市高一上期末数学试卷解析版 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】2017-2018学年福建省高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共分）1.设M={3，a}，N={1，2}，M∩N={2}，M∪N=（）A. {1,2}B. {1,3}C. {1,2，3}D. {1,2，3，a}2.经过点P（-2，m）和Q（m，4）两点的直线与直线l：x-2y-1=0平行，则实数m的值是（）A. 2B. 10C. 0D. −83.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线（）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直4.直线l1与直线l2：x-2y+1=0的交点在x轴上，且l1⊥l2，则直线l1在y轴上的截距是（）A. 2B. −2C. 1D. −15.设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（）A. a⊥a，a//a?a⊥aB. a⊥a，a⊥a?a//aC. a//a，a//a?a//aD. a//a，a⊥a?a⊥a6.已知直线l：x+y-m=0与圆C：（x-1）2+（y+1）2=4交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则m=（）A. 2B. ±2C. 2√2D. ±2√2)，b=f 7.已知奇函数f（x）在R上是减函数，若a=−a(aaa215（log26），c=f（），则a，b，c的大小关系为（）A. a<a<aB. a<a<aC. a<a<aD. a<a<a8.已知直线l的方程为：（m+2）x+3y+2m+1=0，圆C：x2+y2=6，则直线l与圆C的位置关系一定是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A. 6aB. 7aC. 12aD. 14a10.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，且AB=2，AA1=1，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为（）A. √155B. √105C. 2√55D. √5511.已知函数f（x）=log a（2x+b-1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A. 0<a−1<a<1B. 0<a<a−1<1C. 0<a−1<a<1D. 0<a−1<a−1<112.已知圆C：（x-3）2+（y+2）2=9，点A（-2，0），B（0，2），设点P是圆C上一个动点，定义：一个动点到两个定点的距离的平方和叫做“离差平方和”，记作D2，令D2=|PA|2+|PB|2，则D2的最小值为（）A. 6B. 8C. 12D. 16二、填空题（本大题共4小题，共分）13. 已知函数f （x ）={3a ,a ≤0aaa ,a >0，则f [f （1a）]的值是______． 14. 在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知B 1（1，0，3），D （0，2，0），则点C 1的坐标为______．15. 长度为4的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为______．16. 一个半径为2的实心木球加工（进行切割）成一个圆柱，那么加工后的圆柱侧面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共分）17. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，四边形BB 1C 1C 为正方形．18. （1）求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小；19. （2）求证：BC 1⊥平面AB 1C ．20.21.22.23.24.25.如图所示，已知△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点A（1，4），B（3，2），点C在直线：x-2y+6=0上．26.（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；27.（2）设直线与轴交于点D，求△ACD的面积．28.29.30.31.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱aa=aa=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2BC=2．32.（1）在线段AD上是否存在点O使得CD∥平面POB并说明理由．33.（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．34.35.36.37.38.已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x≥0时，a(a)=2a+a2a ，a(1)=52．39.（1）求实数a的值；40.（2）用定义法证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；41.（3）求函数f（x）在[-1，2]上的值域．42.43.44.45.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SA=SB=2，AB=2√3，BC=3．46.（Ⅰ）证明：SC∥平面BDE；47.（Ⅱ）若BC⊥SB，求三棱锥C-BDE的体积．48.49.50.51.52.已知圆C：x2+y2-4y+1=0，点M（-1，-1）．53.（1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点，若|aa|=2√2，求直线l的方程；54.（2）从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T，若满足|PT|=|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标．55.56.57.58.59.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={3，a}，N={1，2}，M∩N={2}，∴a=2，∴M∪N={1，2，3}．故选：C．由M={3，a}，N={1，2}，M∩N={2}，求出a=2，由此能求出M∪N．本题考查并集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵经过点P（-2，m）和Q（m，4）两点的直线与直线l：x-2y-1=0平行，∴=，解得m=2．故选：A．利用直线与直线平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意，笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．故选：D．由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项．本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直与三垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案．4.【答案】B【解析】解：∵直线l1与直线l2：x-2y+1=0的交点在x轴上，∴直线l1经过点（-1，0），∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k=-2，∴直线l1的方程为：y=-2（x+1），即2x+y+2=0，当x=0时，y=-2，∴直线l1在y轴上的截距是-2．故选：B．推导出直线l1经过点（-1，0），斜率k=-2，从而求出直线l1的方程为2x+y+2=0，由此能求出直线l1在y轴上的截距．本题考查直线的纵截距的求法，考查直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A，若m⊥n，m∥α时，可能nα或斜交，故错；对于B，m⊥n，m⊥αn∥α或mα，故错；对于C，m∥n，m∥αn∥α或mα，故错；对于D，m∥n，m⊥αn⊥α，正确；故选：D．A，若m⊥n，m∥α时，可能nα或斜交；B，m⊥n，m⊥αn∥α或mα；C，m∥n，m∥αn∥α或mα；D，m∥n，m⊥αn⊥α；本题考查了空间点、线、面的位置关系，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为△ABC为直角三角形，所以AB为等腰直角三角形的斜边，|AB|==2，圆心C到直线x+y-m=0的距离为=，∴=，m=±2，故选：B．因为△ABC为直角三角形，所以AB为等腰直角三角形的斜边，|AB|==2，圆心C到直线x+y-m=0的距离为=，本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．7.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数；∴；∵2＜log25＜log26，＜2，且f（x）在R上为减函数；∴；∴b＜a＜c．故选：B．根据f（x）是奇函数，即可得出a=f（log25），并可得出＜2＜log25＜log26，这样根据f（x）是R上的减函数即可比较出a，b，c的大小关系．考查奇函数的定义，减函数的定义，对数函数和指数函数的单调性．8.【答案】C【解析】解：因为直线l的方程可化为：（x+2）m+2x+3y+1=0，由得，所以直线l过定点（-2，1），又（-2）2+12=5＜6，即定点（-2，1）在圆x2+y2=8内，所以直线l与圆C一定相交．故选：C．先求出直线l过定点（-2，1），再判断定点在圆内，可得直线与圆相交．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.【答案】D【解析】解：根据三视图可知几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，且底面圆的半径为2，高为4，∴几何体的体积V=π×22×4-=14π，故选：D．由三视图知该几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，注意三视图中实线与虚线的在直观图中的位置，考查空间想象能力．10.【答案】A【解析】解：取A1B1的中点O，连结OC1、OB，∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥平面A1B1C1，C1O⊥A1B1，∵AA1∥CC1，∴C1O⊥AA1，∴∠BC1O是直线BC1与平面ABB1A1所成角，∵AB=2，AA1=1，∴BC1==，C1O==，∴直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值sin∠BC1O===．故选：A．取A1B1的中点O，连结OC1、OB，则C1C⊥平面A1B1C1，C1O⊥A1B1，由AA1∥CC1，得C1O⊥AA1，从而∠BC1O是直线BC1与平面ABB1A1所成角，由此能求出直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=log a（2x+b-1）是增函数，令t=2x+b-1，必有t=2x+b-1＞0，t=2x+b-1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞-1=log a，∴b＞，∴0＜a-1＜b＜1．故选：A．利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的（0，-1）点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系．本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力．考查学生的数形结合能力和等价转化思想．12.【答案】C【解析】解：设圆C上的动点P的坐标为P（3+3cosα，-2+3sinα），．根据定义，D2=|PA|2+|PB|2=（3+3cosα+2）2+（-2+3sinα）2 +（3+3cosα-0）2+（-2+3sinα-2）2=18cos2α+48cosα+18sin2α-36sinα+54=72+48cosα-36sinα≥72-=72-60=12，故选：C．利用圆的参数方程，结合两点间的距离公式以及acosα+bsinα的最小值为-，即可得到结论．本题主要考查两点间距离公式的应用，利用圆的参数方程以及acosα+bsinα的最小值为-，属于中档题．13.【答案】13【解析】解：==-1，∴f[f（）]=f（-1）=3-1=．故答案为：．先计算=，即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数与指数的运算法则，属于基础题．14.【答案】（1，2，3）【解析】解：长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1（1，0，3），D（0，2，0），则点C1的横坐标为1，纵坐标为2，竖坐标为3，即C1（1，2，3）．故答案为：（1，2，3）．由长方体的结构特征，结合题意写出点C1的横坐标、纵坐标和竖坐标．本题考查了空间直角坐标系与长方体的结构特征应用问题，是基础题．15.【答案】x2+y2=4【解析】解：设M（x，y），因为△ABC是直角三角形，所以||OM|=|AB|=2定值．故M的轨迹为：以O为圆心，2为半径的圆．故x2+y2=4即为所求．故答案为：x2+y2=4．可以取AB的中点M，根据三角形ABO是直角三角形，可知OM=2是定值，故M的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆．问题获解．本题考查了圆的轨迹定义，一般的要先找到动点满足的几何条件，然后结合曲线的轨迹定义去判断即可．然后确定方程的参数，写出方程．16.【答案】8π【解析】解：由题意，圆柱外接球的性质可得，圆柱正视图对角线就是球的直径，设底面圆直径为a，高为h，侧面积S=πah．∵（2R）2=a2+h2，∴16=a2+h2≥2ah，（当且仅当a=h时取等号）那么S=πah≤π（a2+h2）=8π故答案为：8π根据圆柱外接球的性质可得，圆柱正视图对角线就是球的直径，设底面圆直径为a，高为h，侧面积S=2πah．（2R）2=a2+h2，利用不等式的性质即可求解；本题考查圆柱外接球的问题，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AA1∥CC1，∴∠BC1C为异面直线AA1与BC1所成的角．∵四边形BB1C1C为正方形，∴∠BC1C=45°，即异面直线AA1与BC1所成角的大小为45°；（2）证明：∵CC1⊥底面ABC，AC平面ABC，∴CC1⊥AC，又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥BC1，又∵四边形BB1C1C为正方形，∴B1C⊥BC1，又AC⊥BC1，B1C∩AC=C，∴BC1⊥平面AB1C．【解析】（1）三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1∥CC1，可得∠BC1C为异面直线AA1与BC1所成的角，再由四边形BB1C1C为正方形求得异面直线AA1与BC1所成角的大小；（2）由CC 1⊥底面ABC ，得CC 1⊥AC，然后证明AC⊥BC 1，再由四边形BB 1C 1C 为正方形，得B 1C⊥BC 1，利用线面垂直的判断可得BC 1⊥平面AB 1C ．本题考查直线与平面垂直的判定，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）因为△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，CE ⊥AB所以E 为AB 的中点，所以E （2，3）…（2分）因为k AB =-1，所以k CE =1…（4分）所以直线CE ：y -3=x -2，即x -y +1=0所以AB 边上的高CE 所在直线的方程为x -y +1=0；…（6分）（2）{a −2a +6=0a −a +1=0，解得{a =5a =4，所以C （4，5）…（7分）所以直线AC ：a −45−4=a −14−1，即x -3y +11=0…（9分）又因为D （0，3），所以点D 到直线AC 的距离a =√10=√105…（10分）又|aa |=√10…（11分）所以a △aaa =12|aa |∗a =12∗√105∗√10=1…（12分）【解析】（1）因为△ABC是以AB为底边的等腰三角形，CE⊥AB，可得E为AB 的中点，可得E坐标．利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（2）联立直线方程可得C．利用两点式可得直线AC方程．利用点到直线的距离公式可得点D到直线AC的距离d．利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了等腰三角形的性质、中点坐标公式、两点式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】（本题满分12分）解：（1）当O为AD中点时，有CD∥平面POB，理由如下：…（1分）因为O为AD中点时，BC∥AD，AD=2BC，所以OD∥CD，且OD=CD，所以四边形OBCD为平行四边形，…（3分）所以BO∥CD，又BO平面PBO，CD平面PBO所以CD∥平面POB…（5分）证明：（2）因为在△PAD中，aa=aa=√2，aa=2，所以PA2+PD2=AD2，所以PA⊥PD…（6分）因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，…（8分）又PD平面PAD所以AB⊥PD，又PA⊥PD，AB∩PA=A所以PD⊥平面PAB…10分又因为PD平面PCD所以平面PAB⊥平面PCD…（12分）【解析】（1）当O为AD中点时，BC∥AD，AD=2BC，从而OD∥CD，且OD=CD，进而四边形OBCD为平行四边形，BO∥CD，由此得到CD∥平面POB．（2）推导出PA⊥PD，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥PD，再由P A⊥PD，得到PD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．本题考查满足线面垂直的点的是否存在的判断与求法，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】（本题满分12分）解：（1）∵当x ≥0时，a (a )=2a +a 2a，a (1)=52 即f （1）=2+a2=25， ∴a =--（2分）（2）．任取0＜x 1＜x 2，a (a 1)−a (a 2)=(2a 1+12a 1)−(2a 2+12a 2)=(2a 1−2a 2)+2a 2−2a 12a 1?2a 2=(2a 1−2a 2)(2a 1+a2−1)2a 1+a 2．--------------（5分）∵0＜x 1＜x 2，∴1＜2a 1＜2a 2，2a 1+a 2＞1，得：f （x 1）-f （x 2）＜0 ∴f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数．--------------（8分）（3）由（1）得：当x ≥0时，a (a )=2a +12a 故a (0)=2，a (2)=174，a (−1)=52，由（2）得：（x ）在[-1，0]为减函数，在[0，2]为增函数， ∴f （x ）的值域为[2，174]--------------（12分）【解析】（1）由当x≥0时，，解得实数a的值；（2）任取0＜x1＜x2，作差判断f（x1）-f（x2）的符号，进而由定义，中得f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）由（1）（2）中的结论，可得函数f（x）在[-1，2]上的值域．本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数求值，函数的值域，难度中档．21.【答案】解：（Ⅰ）证明：连接AC，设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．在△ASC中，E为AS的中点，∴SC∥OE，又OE平面BDE，SC平面BDE，∴SC∥平面BDE；（Ⅱ）过E作EH⊥AB垂足为H．∵BC⊥AB，BC⊥SB，AB∩SB=B，∴BC⊥平面ABS，∵EH平面ABS，∴EH⊥BC，又EH⊥AB，AB∩BC=B，∴EH⊥平面ABCD．在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，∴SM=1，∴EH=12SM=12，S△BCD=12×3×2√3=3√3，∴V C-BDE=V E-BCD=13S△BCD EH=13×3√3×12=√32．所以三棱锥C-BDE的体积为√32．【解析】（Ⅰ）要证SC∥平面BDE，需证SC∥OE，由图易证；（Ⅱ）过E作EH⊥AB，证明EH⊥平面ABCD，需证EH⊥BC，需证BC⊥平面ABS，需证BC⊥AB，BC⊥SB，由已知可得，然后用等体积法求体积．本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查了等体积法求三棱锥的体积，考查了推理能力和空间思维能力．22.【答案】解：（1）圆C的标准方程为x2+（y-2）2=3．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，此时|aa|=2√2满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k （x +1），即kx -y +k -1=0．∵|aa |=2√2，∴圆心C 到直线l 的距离a =√3−2=1． ∴a ==1，解得a =43，则直线l 的方程为4x -3y +1=0．∴所求直线l 的方程为x =-1或4x -3y +1=0；（2）设P （x 0，y 0），|aa |=√|aa |2−3，∵|PT |=|PM |，∴√a 02+(a 0−2)2−3=√(a 0+1)2+(a 0+1)2，化简得2x 0+6y 0+1=0，∴点P （x 0，y 0）在直线2x +6y +1=0．当|PT |取得最小值时，即|PM |取得最小值，即为点M （-1，-1）到直线2x +6y +1=0的距离，此时直线PM 垂直于直线2x +6y +1=0，∴直线PM 的方程为6x -2y +4=0，即3x -y +2=0．由{3a −a +2=02a +6a +1=0，解得{a =−1320a =120，∴点P 的坐标为(−1320，120)．【解析】（1）化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0．由已知结合垂径定理求k，则直线方程可求；（2）设P（x0，y0），，由|PT|=|PM|，得2x0+6y0+1=0，可得点P（x0，y0）在直线2x+6y+1=0上，当|PT|取得最小值时，即|PM|取得最小值，即为点M（-1，-1）到直线2x+6y+1=0的距离，可得直线PM垂直于直线2x+6y+1=0，求得直线PM的方程，联立两直线方程得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．。

福建省福州市福建师大附中2022-2023学年高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

第ⅠⅠ卷
12、①. ②.6
【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“ ”时取等号.而运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.
【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“ ”时取等号，，当且仅当“ ”时取等号.
故答案为：，6.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.
【详解】（1）
，
因为，所以，
则，
，
所以的最大值为；的最小值为；
（2）当时，
，
当时，，
，
当时，；
，
综上：在区间上的解析式为：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.
18．函数在一个周期内的图象如图所示，O为坐标原点，M，N为图象上相邻的最高点与最低点，也在该图象上，且
（1）求的解析式；
（2）的图象向左平移1个单位后得到的图象，试求函数在上的最大值和最小值
19．已知函数 .
（1）求在闭区间的最大值和最小值；
（2）设函数对任意，有，且当时， .求在区间上的解析式.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，且 .
设，则，所以，
所以；
（2）因为对任意恒成立，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
作出函数的图象如下图示：
由图可知，在上单调递增，所以，即恒成立，
令，，，
则函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围 .

福建省福州市第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题答案和解析

福建省福州市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎛ ⎝⎭，则sin cos αα-=（）A ．BC ．5D ． 2．一钟表的秒针长12cm ，经过25s ，秒针的端点所走的路线长为（） A ．10cmB ．14cmC ．10cm πD ．14cm π3．函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间是（） A ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()27,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 4．已知平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为()4,6A 、()2,1B -、()4,1C -，G 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()13AG AB AC =+，则G 点的坐标为（） A ．()2,2B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,45．sin4，4cos ，tan4的大小关系是（） A ．sin4tan4cos4<< B ．tan4sin4cos4<< C ．cos4sin4tan4<<D ．sin4cos4tan4<<6．将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数22sin y x =-的图象，那么ϕ可以取的值为（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()0f x f x π++=，且当()0,x π∈时，()sin f x x =，则233f π⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ． D二、多选题8．下列关于函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的相关性质的命题，正确的有（） A ．()f x 的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭ D ．()f x 的对称中心是(),028k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ 9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（） A ．a 为单位向量 B ．//b BC C ．a b⊥D ．()6a b BC +⊥10．以下函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调增函数的有（）A ．sin cos y x x =+B ．sin cos y x x =-C ．sin cos y x x =D ．sin cos xy x=11．下列命题中，正确的有（）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形三、填空题12．已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1sin cos αα=________.13．已知tan 2α=，()tan αβ+=tan β=_________. 14．已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______.四、双空题15．已知O 为ABC ∆的外心，6AB =，10AC =，AO x AB y AC =+，且263x y +=；当0x =时，cos BAC ∠=______；当0x ≠时，cos BAC ∠=_______.五、解答题16．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.17．已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（Ⅰ）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）请描述如何由函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 18．某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()16cos1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于17C ，则在哪个时间段实验室需要降温？ 19．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()f x 图象上两相邻对称轴之间的距离为2π；_______________；（Ⅰ）在①()f x 的一条对称轴3x π=-；②()f x 的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭；③()f x 的图象经过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（Ⅱ）若动直线[]()0,x t t π=∈与()f x 和()cos g x x x =的图象分别交于P 、Q 两点，求线段PQ 长度的最大值及此时t 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，4AB =，2BC =，60ABC ∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上（含端点），且BE mBC =，DF nDC =且（m 、n 为常数），设AB a =，BC b =.（Ⅰ）试用a 、b 表示AE 和AF ；（Ⅱ）若1m n +=，求AE AF ⋅的最小值. 21．已知函数()()()()22f x x m x m R =-+∈.（Ⅰ）对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数m 取最小值时，讨论函数()()2cos 15F x f x a =+-在[)0,2x π∈时的零点个数.参考答案1．A 【解析】【分析】利用三角函数的定义得出sin α和cos α的值，由此可计算出sin cos αα-的值. 【详解】由三角函数的定义得cos α=，sin α=，因此，sin cos αα-=故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案. 【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2552606ππ⨯=，因此，秒针的端点所走的路线长()512106cm ππ⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【分析】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得出函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间. 【详解】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：D. 【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题. 4．A 【分析】设点G 的坐标为(),x y ，根据向量的坐标运算得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数，可得出点G 的坐标. 【详解】设点G 的坐标为(),x y ，()6,5AB =--，()0,7AC =-，()4,6AG x y =--，()()()1160,572,433AG AB AC =+=-+--=--，即4264x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，因此，点G 的坐标为()2,2. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【分析】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出sin4、4cos 、tan4的大小关系. 【详解】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则sin MP α=，cos OM α=，tan AT α=，其中虚线表示的是角54π的终边， 544π>，则0MP OM AT <<<，即sin4cos4tan4<<. 故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 6．B 【分析】写出平移变换后的函数解析式，将函数22sin y x =-的解析式利用二倍角公式降幂，化为正弦型函数，进而可得出ϕ的表达式，利用赋特殊值可得出结果. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为()sin 221y x ϕ=+-，22sin cos 21sin 212y x x x π⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，()222k k Z πϕπ∴=+∈，解得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求参数，解题的关键就是结合图象变换求出变换后所得函数的解析式，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】先推导出函数()y f x =的周期为2π，可得出2333f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用函数()y f x =的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，且()()0f x f x π++=，()()f x f x π∴+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以，函数()y f x =的周期为2π，则23sin 33332f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题. 8．AC 【分析】分别求出函数()y f x =的定义域、最小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误. 【详解】对于A 选项，令()242x k k Z πππ+≠+∈，解得()28k x k Z ππ≠+∈，则函数()y f x =的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A 选项正确；对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为2π，B 选项错误；对于C 选项，令()2242k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得()32828k k x k Z ππππ-<<+∈，则函数()y f x =的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，令()242k x k Z ππ+=∈，解得()48k x k Z ππ=-∈，则函数()y f x =的对称中心为(),048k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题. 9．ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确；对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．BD 【分析】先利用辅助角、二倍角以及同角三角函数的商数关系化简各选项中的函数解析式，然后利用正弦函数和正切函数的单调性判断各选项中函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以，函数sin cos y x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调；对于B 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，函数sin cos y x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；对于C 选项，1sin cos sin 22y x x x ==，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，所以，函数sin cos y x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调；对于D 选项，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan cos x y x x ==，所以，函数sin cos x y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BD. 【点睛】本题考查三角函数单调性的判断，解题的关键就是将三角函数解析式化简，并利用正弦、余弦和正切函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题. 11．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩，则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确；对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确；对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数，则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 12．52【分析】利用诱导公式化简等式()()sin 2cos 0παπα-++=，可求出tan α的值，将所求分式变形为221sin cos sin cos sin cos αααααα+=，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，将所求分式转化为只含tan α的代数式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2cos 0παπα-++=，sin 2cos 0αα∴-=，tan 2α∴=，因此，22221sin cos tan 1215sin cos sin cos tan 22αααααααα+++====.故答案为：52. 【点睛】本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出tan α的值，考查计算能力，属于基础题. 13．4【分析】利用两角差的正切公式可计算出()tan tan βαβα=+-⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】由两角差的正切公式得()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα+-=+-==⎡⎤⎣⎦++=. 【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14．18 【分析】利用向量数量积的几何意义得出2a b ⋅=，在等式24a b -=两边平方可求出b 的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出()2b a b ⋅+的值. 【详解】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=. 故答案为：18. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题. 15．35 59【分析】（1）由0x =可得出O 为AC 的中点，可知AC 为ABC ∆外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出cos BAC ∠；（2）推导出外心的数量积性质212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由题意得出关于x 、y 和AB AC ⋅的方程组，求出AB AC ⋅的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出cos BAC ∠的值. 【详解】当0x =时，由263x y +=可得12y =，12AO xAB y AC AC ∴=+=，所以，AC 为ABC ∆外接圆的直径，则2ABC π∠=，此时3cos 5AB BAC AC ∠==；如下图所示：取AB 的中点D ，连接OD ，则⊥OD AB ，所0DO AB ⋅=，()212AO AB AD DO AB AD AB AB ∴⋅=+⋅=⋅=，同理可得212AO AC AC ⋅=. 所以，()()221212263AO AB xAB y AC AB AB AO AC xAB y AC AC AC x y ⎧⋅=+⋅=⎪⎪⎪⋅=+⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，整理得361810050263x y AB AC xAB AC y x y ⎧+⋅=⎪⋅+=⎨⎪+=⎩，解得356x =，2756y =，1003AB AC ⋅=，因此，5cos 9AB AC BAC AB AC ⋅∠==⋅. 故答案为：35；59. 【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.16．（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-.【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】（Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-；（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17．（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）答案不唯一，见解析. 【分析】（Ⅰ）分别令23x π+取0、2π、π、32π、2π，列表、描点、连线可作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）根据三角函数图象的变换原则可得出函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的变换过程.【详解】（Ⅰ）列表如下：函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图如下图所示：（Ⅱ）总共有6种变换方式，如下所示：方法一：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法二：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法三：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象向左平移6π个单位，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法四：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法五：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法六：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象向左平移3π个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【点睛】本题考查利用五点作图法作出正弦型函数在一个周期内的简图，同时也考查了三角函数图象变换，考查推理能力，属于基础题.18．（Ⅰ）4C ；（Ⅱ）从中午12点到晚上20点. 【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简函数()y f t =的解析式为()162sin 126f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由此可得出实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）由[)0,24t ∈，得出13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，令()17f t >，得到1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，解此不等式即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）()16cos162sin 1261212f t t t t ππππ⎛⎫+ ⎪-=-⎝=-⎭，[)0,24t ∈. 因此，实验室这一天的最大温差为4C ；（Ⅱ）当[)0,24t ∈时，13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，令()162sin 17126f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，所以71161266t ππππ<+<，解得1220t <<，因此，实验室从中午12点到晚上20点需要降温. 【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．（Ⅰ）选①或②或③，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【分析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数()y f x =的最小正周期，进而得出2ω=. 选①，根据题意得出()232k k Z ππϕπ-+=+∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式；选②，根据题意得出()56k k Z πϕπ+=∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式；选③，根据题意得出51sin 32πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，利用三角恒等变换思想化简函数()y h x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出()h t 在[]0,t π∈上的最大值和最小值，由此可求得线段PQ 长度的最大值及此时t 的值. 【详解】（Ⅰ）由于函数()y f x =图象上两相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，222T ππωπ∴===，此时()()2sin 21f x x ϕ=++. 若选①，则函数()y f x =的一条对称轴3x π=-，则()232k k Z ππϕπ-+=+∈，得()76k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，当1k =-时，6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；若选②，则函数()y f x =的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，则()56k k Z πϕπ+=∈，得()56k k Z πϕπ=-∈，22ππϕ-<<，当1k =时，6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；若选③，则函数()y f x =的图象过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则552sin 1063f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得51sin 32πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，7513636πππϕ∴<+<， 51136ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.综上所述，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）令()()()2sin 21cos 6h x f x g x x x x π⎛⎫=-=++- ⎪⎝⎭122cos 212cos 21022x x x x ⎛⎫=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，()cos21PQ h t t ∴==+， []0,t π∈，[]20,2t π∴∈，当20t =或22t π=时，即当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 20．（Ⅰ）AE a mb =+，12n AF a b +=+；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，证明出2AM BM CD ===，从而得出2AB CD =，然后利用向量加法的三角形法则可将AE 和AF 用a 、b 表示；（Ⅱ）计算出2a 、a b ⋅和2b 的值，由1m n +=得出1n m =-，且有01m ≤≤，然后利用向量数量积的运算律将AE AF ⋅表示为以m 为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出AE AF ⋅的最小值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，由于ABCD 为等腰梯形，则2AD BC ==，且60BAD ABC ∠=∠=，//AB DC ，即//CD BM ，又//DM BC ，所以，四边形BCDM 为平行四边形，则2DM BC AD ===，所以，ADM ∆为等边三角形，且2AM =，2CD BM AB AM ∴==-=，2AB CD ∴=， AE AB BE AB mBC a mb =+=+=+，()()111122n AF AB BC CF AB BC n CD a b n a a b +=++=++-=+--=+；（Ⅱ）2216a AB ==，1cos1204242a b AB BC ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，224b BC ==，由题意可知，01m ≤≤，由1m n +=得出1n m =-，所以，1112222n m mAF a b a b a b +-+-=+=+=+， ()()22222222m m m m AE AF a mb a b a a b a b mb---⎛⎫∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭()222812224m m m =-+=-+，令()()2224f m m =-+，则函数()y f m =在区间[]0,1上单调递减，所以，()()min 16f m f ==，因此，AE AF ⋅的最小值为6. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．（Ⅰ）[)0,+∞；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由[]sin 12,0α-∈-可知，区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，由此可得出实数m 的不等式，解出即可；（Ⅱ）由题意可知，0m =，则()224f x x x =+，令()0F x =，可得出()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，对实数a 的取值范围进行分类讨论，先讨论方程()15a f t -=的根的个数及根的范围，进而得出方程2cos t x =的根个数，由此可得出结论.【详解】（Ⅰ）1sin 1α-≤≤，2sin 10α∴-≤-≤，对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，则区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，02m ∴≥，解得0m ≥，因此，实数m 的取值范围是[)0,+∞；（Ⅱ）0m ≥，由题意可知，0m =，()()22224f x x x x x =+=+，令()0F x =，得()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，则()15a f t -=，作出函数15y a =-和函数()y f t =在[]2,2t ∈-时的图象如下图所示：作出函数2cos t x =在[)0,2x π∈时的图象如下图所示：①当152a -<-或1516a ->时，即当1a <-或17a >时，方程()15a f t -=无实根，此时，函数()y F x =无零点；②当152a -=-时，即当17a =时，方程()15a f t -=的根为1t =-，而方程2cos 1x =-在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ③当2150a -<-<时，即当1517a <<时，方程()15a f t -=有两根1t 、2t ，且()12,1t ∈--，()21,0t ∈-，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，方程22cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有四个零点；④当150a -=时，即当15a =时，方程()15a f t -=有两根分别为2-、0，方程2cos 2x =-在区间[)0,2π上只有一个实根，方程2cos 0x =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有三个零点；⑤当01516a <-<时，即当115a -<<时，方程()15a f t -=只有一个实根1t ，且()10,2t ∈，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ⑥当1516a -=时，即当1a =-时，方程()15a f t -=只有一个实根2，方程2cos 2x =在区间[)0,2π上只有一个实根，此时，函数()y F x =只有一个零点. 综上所述，当1a <-或17a >时，函数()y F x =无零点；当1a =-时，函数()y F x =只有一个零点；当115a -<<或17a =时，函数()y F x =有两个零点；当15a =时，函数()y F x =有三个零点；当1517a <<时，函数()y F x =有四个零点.【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.。

2024学年福州第一中学高三数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2024学年福州第一中学高三数学第一学期期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（）A ．914B ．514C ．37D ．9282．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( ) A ．1B ．2-C ．1-D ．23．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（） A ．3B ．4C ．5D ．64．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．05．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)6．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（）A ．2B ．1C ．22D ．128．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=（） A ．12AD B ．AD C ．BCD ．12BC 9．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．1210．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A ．134B ．67C ．182D ．10811．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（） A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

学科网2024届高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析

学科网2024届高一数学第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定2．在四面体A BCD -中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A CD B --的平面角的余弦值为（） A.12B.13C.33D.233．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.72cm πB.92cm πC.112cm πD.132cm π4．已知函数()2121x x f x -+＝，若不等式()()22120f a a m f a --+-<对任意的[]1,4a ∈-均成立，则m 的取值不可能是（） A.9 B.8 C.7D.65．全称量词命题“R x ∀∈，254x x +=”的否定是（） A.R x ∃∈，254x x += B.R x ∀∈，254x x ≠+ C.R x ∃∈，254x x ≠+D.以上都不正确6．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ，空气温度为0C θ，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ）满足：()010kteθθθθ-=+-．若常数0.05k =，空气温度为30C ，某物体的温度从90C 下降到50C ，大约需要的时间为（）（参考数据：ln3 1.1≈） A.16分钟 B.18分钟 C.20分钟D.22分钟7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，当3,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2log 1f x x =+，则()()20212022f f +=（）A.1B.2C.1-D.2-8．直线l 1：x +ay +1＝0与l 2：（a ﹣3）x +2y ﹣5＝0（a ∈R ）互相垂直，则直线l 2的斜率为（） A.12B.12-C.1D.﹣19．函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图是（）A. B.C. D.10．郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（） A.125 B.135 C.165D.17011．设全集U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =≤，则A B =A.{|01}x x ≤<B.{|01}x x <≤C.{|0}x x <D.{|1}x x >12．满足{}{}11,2,3A ⊆的集合A 的个数为（）A.2B.3C.8D.4二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.） 13．在ABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状一定是___________三角形. 14．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论 ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________ 15．若，，则______16．下面有5个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈ ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

2024届福州第一中学数学高一第二学期期末联考试题含解析

2024届福州第一中学数学高一第二学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23226,39a S ==，则123111a a a ++=( ) A ．132 B ．133 C ．5D ．6 2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（）A ．10B ．12C ．18D ．243．某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A ．310B ．35C ．25D ．234．如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，M ，N 分别是BB '，CD 中点，则异面直线AM 与D N '所成的角是（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．在等差数列{}n a 中，如果14736939,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．666．棱柱的侧面一定是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形7．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”．下列说法正确的是（）A ．“连续整边三角形”只能是锐角三角形B ．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形C ．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个D ．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个8．设公差为－2的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a ++++=，那么36999a a a a ++++等于() A ．－182 B ．－78 C ．－148 D ．－829．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A ．12倍B ．2倍C ．24倍D ．22倍 10．如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点（与A 、B 均不重合），则图中直角三角形的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年福建省福州第一中学高三上学期开学质量检查数学试卷含详解

2024届福州一中高三上学期开学初质量检查数学试卷总分150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数()6iR 12i a z a +=∈+是纯虚数，则a 的值为（）A.12- B.12C.3- D.32.若集合){}()(){}2log 10,210A xB x x x =-≤=-+≤∣∣，则A R B =ð（）A.[]0,4 B.()1,4 C.[)0,2 D.()1,23.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的60%分位数是（）A.4B.5C.6D.74.函数()222cos ()4xx x f x x --=-的部分图象为（）A. B.C. D.5.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体；B D H F ､､､对应四个三棱柱，A C I G ､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A.24B.28C.32D.366.已知圆22:8C xy +=，MN 为圆C 的动弦，且满足4MN =，G 为弦MN 的中点，两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，MN 运动时，PGQ ∠始终为锐角，则线段PQ 中点的横坐标取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()(),08,-∞⋃+∞C .(0,4)D.(0,8)7.函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.33-B.3C.33D.38.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以2F 为圆心的圆与x 轴交于1F ，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段1AF 与C 交于点M ．若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为（）A.312+ B.32C.512+ D.712+二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A.11a c< B.33a c b c< C.2211a b > D.lg0a cb c->-10.上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A.200p = B.Γ的准线方程为100y = C.Γ的焦点坐标为()0,50- D.弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为503311.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①将ACD 沿着AC 折起，形成三棱锥1D ABC -，如图1；折法②：将ABD △沿着BD 折起，形成三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（）A.按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为16πB.按照折法①，存在1D ，满足1AB CD ⊥C.按照折法②，三棱锥1A BCD - D.按照折法②，存在1A 满足1A C ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角的正弦值为3312.已知函数()()2sin cos f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =C.当0m >时，()f x 在区间3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．14.已知2n+的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x 的系数为______．15.为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A 、B 、C 、D 四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A 学校有______种安排方法．16.周长为4的ABC ，若,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，223sin cos 23c a B C ab -=-．（1）求A ；（2）若3b =，BC 边上的高为7，求ABC 的面积．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21n n S a =-，等差数列{}n b 满足12b a =，54b a =．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项和50S ．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，13SA SB SC SD ====，AC CD ⊥，6AB =，8BD =.（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A SB D --的余弦值.20.甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为35，若乙发球，则甲得分的概率为13．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平(6:6)，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X ，求X 的分布列．21.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，OAB 的面积为1（O 为坐标原点）．（1）求E 的方程；（2）已知()2,1D ，过点D 的直线1l 与椭圆E 交于点M ，N （点M 在第一象限），过点M 垂直于y 轴的直线2l 分别交BA ，BN 于P ，Q ，求MPPQ的值．22.已知函数()2ln a f x ax x x=--．（1）若()0,1x ∈，()0f x <，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x a-<．2024届福州一中高三上学期开学初质量检查数学试卷总分150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数()6iR 12i a z a +=∈+是纯虚数，则a 的值为（）A.12-B.12C.3- D.3【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简6i12ia z +=+，根据纯虚数的概念列式计算，可得答案.【详解】由题意2556i (6i)(12i)6(12)i12i a a a a z ++-++-===+，因为复数()6i R 12i a z a +=∈+是纯虚数，故62051205aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得3a =-，故选：C2.若集合){}()(){}2log 10,210A xB x x x =-≤=-+≤∣∣，则A R B =ð（）A.[]0,4 B.()1,4 C.[)0,2 D.()1,2【答案】D【分析】先求出集合,A B ，再由交集和补集的运算求解即可.【详解】由)2log 10≤可得：011<-≤，解得：14x <≤，由()()210x x -+≤可得：()()210x x -+≥，解得：2x ≥或1x ≤-，所以R B ð{}12x x =-<<，{}14A xx =<≤∣，所以A R B ð()1,2=故选：D.3.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的60%分位数是（）A.4 B.5C.6D.7【答案】C【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x =，再由百分位数的求法求解即可.【详解】由题意知，众数是4，则中位数为5454⨯=，则452x +=，解得6x =，又660% 3.6⨯=，则第60百分位数是6.故选：C.4.函数()222cos ()4xx x f x x --=-的部分图象为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】确定函数为奇函数，排除BD ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤，排除A ，得到答案.【详解】()f x 的定义域为{}2x x ≠±，()()()()()2222cos 22cos ()44xx xx x x f x f x x x ------==-=----，故()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，D ；又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220x x --≥，cos 0x ≥，240x -<，故()0f x ≤，排除A ．故选：C ．5.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体；B D H F ､､､对应四个三棱柱，A C I G ､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A.24B.28C.32D.36【答案】B【分析】根据给定条件，利用四棱锥、三棱柱的体积公式结合给定数据建立关系式，求出长方体的体积作答.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ，依题意，四棱锥的体积2113a h =，即23a h =，三棱柱的体积132ahb =，即有6abh =，因此2b a =，于是长方体的体积22412V b h a h ===，所以该正四棱台的体积为1241228++=.故选：B【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.6.已知圆22:8C xy +=，MN 为圆C 的动弦，且满足4MN =，G 为弦MN 的中点，两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，MN 运动时，PGQ ∠始终为锐角，则线段PQ 中点的横坐标取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()(),08,-∞⋃+∞C.(0,4) D.(0,8)【答案】A【分析】由4MN =，得到2CG =，设PQ 的中点(,4)E a a -，根据PGQ ∠恒为锐角，转化为以C 为圆心，以2为半径的圆与以E 为圆心，以2为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，圆22:8C xy +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，半径为r =因为4MN =，G 为弦MN 的中点，可得2CG =，又由两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，设PQ 的中点(,4)E a a -，当,M N 在圆C 上运动时，且PGQ ∠恒为锐角，可得以C 为圆心，以2为半径的圆与以E 为圆心，以2为半径的圆相外离，22>+，即240a a ->，解得a<0或4a >，所以线段PQ 中点的横坐标取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ .故选：A.7.函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.3-B. C.3D.【答案】A【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为2πT =，结合图象所过的点求参数，即可得()f x 解析式，进而求函数值.【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD 的面积，可得3AB =，设函数()f x 的最小正周期为T ，则AD T =，由题意得36πT =，解得2πT =，故2ωπ=π，得12ω=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象过点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1ππtan tan 12612ϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ππ,22ϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则π5π7π,121212ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ππ124ϕ+=-，解得π3ϕ=-．∴()1πtan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∴2023π2023ππ2021π5π3tan tan tan 363663f ⎛⎫⎛⎫=-===-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以2F 为圆心的圆与x 轴交于1F ，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段1AF 与C 交于点M ．若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为（）A.312+ B.32C.512+ D.712+【答案】D【分析】先求出以2F 为圆心的圆的方程，求出()3A c ，()3,0B c ，求出直线1F A 的方程后结合距离公式可求M 的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c ，因为以2F 为圆心的圆过1F ，故该圆的半径为2c ，故其方程为：()2224x c y c -+=，令0x =，则3y c =，结合A 在y 轴正半轴上，故()3A c ，令0y =，则x c =-或3x c =，故()3,0B c .故13030()F A c k c -==--，故直线1:33F A y c =.设()()330M m m cm +<，因为A 在y 轴的正半轴上，1F 在x 轴的负半轴上，故0m <，而31231233BM c c =⨯=，故())22212439c m c -++=，整理得到：221649m c =，故23m c =-，故33M y =，所以222241931c ca b -=，故()22241931e e e -=-，解得242e +=或472，又因为1e >，则21e >，则2472e =，712e =.故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A.11a c< B.33a c b c< C.2211a b > D.lg0a cb c->-【答案】BD【分析】通过比较各项的大小，即可得出结论.【详解】由题意，0a b c>>>∴110a c>>，故A 错误，3333,a b a c b c ><，故B 正确，22a b >，当01a b <<<时，2211a b <，故C 错误，0,0,1,1a a ca cbc b b c-->->>>-，∴lg0a cb c ->-，故D 正确，故选：BD.10.上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A.200p = B.Γ的准线方程为100y = C.Γ的焦点坐标为()0,50- D.弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为5033【答案】ABD【分析】根据题意，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB ，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC ；根据题意，求出直线AC 的方程，不妨设CE CE 上一点为Q ，判断出当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB .此时()0,0C ，()200,100E --，()200,100D -，抛物线Γ的方程为()220x py p =->，即()22002100p =-⨯-，解得200p =，故A 正确；抛物线Γ的方程为2400x y =-，准线方程为100y =，焦点坐标为()0,100-，故B 正确，C 错误；因为30CAB ∠= ，()0,0C ，故tan 30AC k == ，所以直线AC 的方程为3y x =即0x -=，不妨设CE 上一点为()00,Q x y ，[]0200,0x ∈-，当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大.由21400y x =-可得1200y x '=-，故0132003x -=，解得()00100,3Q x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时Q 点到直线AC 的距离为=D 正确.故选：ABD.11.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①将ACD 沿着AC 折起，形成三棱锥1D ABC -，如图1；折法②：将ABD △沿着BD 折起，形成三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（）A.按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为16πB.按照折法①，存在1D ，满足1AB CD ⊥C.按照折法②，三棱锥1A BCD -D.按照折法②，存在1A 满足1A C ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角的正弦值为33【答案】AC【分析】根据外接球的圆心为AC 中点O ,即可根据表面积公式求解A ，根据线线垂直即可结合三角形全等得矛盾求解B ，根据面面垂直的性质即可求解高的最大值，进而可求C ，根据全等的性质，由线面垂直即可得线面角，进而根据三角形的边角关系求解D.【详解】对于A,ACD 和ABC 是全等三角形，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2AB =．可得AC 中点O 到A ，B ，C ，D 的距离相等，故O 为棱锥1D ABC -的外接球的球心，AC 为直径，∴外接球的半径为2，∴三棱锥1D ABC -的外接球表面积值为24π×2=16π，故A 正确，对于B ：假若存在存在1D ，使得1AB CD ⊥，由于AB BC ⊥，11,,BC CD C BC CD ⋂=⊂平面1BCD ，所以AB ⊥平面1CBD ，由于1BD ⊂平面1CBD ,故1AB BD ⊥,由于ACD 和ABC 是全等三角形，所以1AB AD ⊥,故1AB BD ⊥不可能，因此不存在1D 满足条件，故B 错误；对于C ：三棱锥1A BCD -体积最大时，平面1A BD ⊥平面BCD ，由已知60120BAC DAC DAB ∠=∠=︒⇒∠=︒,2AB AD ==,所以2sin 60BD AB == ，又BC CD ==故BCD △为等边三角形，过1A 作1A E BD ⊥，则11cos601A E A B == ，故1A 到平面BCD 的距离为11A E =1，∴12111322A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=，故C 正确；对于D,由于在翻折过程中，111111,,,A D A B CD CB AC AC A BC A DC ===\@,故当11CA A D ⊥，可得11CA A B ⊥，11111,,A B A D A A B A D =⊂ 平面1A BD ，1CA ∴⊥平面1A BD ，则1A BC ∠是BC 与平面1A BD 所成的角，由BC =，12A B =，由勾股定理可得1A C =，在△1A BC 中，11sin3A C A BC BC ∠===，故D 错误．故选：AC ．12.已知函数()()2sin cos f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =C.当0m >时，()f x 在区间3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点【答案】BCD【分析】化简()f x 的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A ；根据函数图象的对称轴的性质可判断B ；结合正弦函数的单调性可判断C ；取1m =，结合正弦函数的零点可判断D.【详解】对于A ，()1sin 2f x x =+-，故()π1sin 2(π)f x x +=++-1sin 2()x f x =+-，即π为()f x 的一个周期，说明2π不是()f x 的最小正周期，A 错误；对于B ，3π3π1sin 2()22f x x ⎛⎫-=+--⎪⎝⎭1sin(3π2)x =+--1sin 2(),R x f x x =+-∈，故()f x 图象的一条对称轴为直线3π4x =，B 正确；对于C ，当0m >时，3π,π4x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则3π2,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由于正弦函数sin y x =在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且sin 0x <，故sin 2y x =在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且sin 20x <，此时()1sin 21sin 2f x x x m =+-+-而sin 2y x =-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则y =-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()1sin 2f x x =+-在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确；对于D ，由A 可知即π为()f x 的一个周期，且sin 2y x =的最小正周期为π，故()f x 的最小正周期为π，当1m =时，()1sin 2f x x =+-，当sin 20x =时，()0f x =，则在(0,π]上()f x 的零点为π2和π，故当(0,1012π]x ∈时，恰有210122024⨯=个零点，且第2024个零点为1012π，故当(0,1012π)x ∈时，()f x 恰有202412023-=个零点，即存在实数m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点，D 正确，故选：BCD【点睛】难点点睛：本题综合考查了含sin x 型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=______．【答案】35-【分析】根据正切的差角公式得出tan α，再结合二倍角正弦公式和同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan 1tan 2tan 341tan αααα-⎛⎫-==⇒=- ⎪+⎝⎭，()()2222232sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 1531ααααααα⨯-====-++-+.故答案为：35-.14.已知2n+的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x 的系数为______．【答案】60【分析】手续爱你根据二项式系数和公式求出n ，再利用二项展开式的通项公式即可得到答案.【详解】由题意得2264n =，解得3n =，则6+的二项展开式通项为6262166C C 2,06,N rrrrr r r T xr r --+==⋅⋅≤≤∈，令6212r -=，解得2r =，则x 的系数为226C 260⋅=，故答案为：60.15.为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A 、B 、C 、D 四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A 学校有______种安排方法．【答案】60【分析】分甲单独一人和甲和另一人成一组讨论即可.【详解】将这5名教师分配到新疆的A ，B ，C ，D 共4所学校，每所学校至少1人，则先分组后排列，5名教师分成四组，则为1，1，1，2.若甲作为单独的一位被安排到A 学校，则有2343C A 36⋅=种情况；若甲是一组两人中的一位且被安排到A 学校，则有1343C A 24⋅=种情况，共有362460+=种情况.故答案为：60.16.周长为4的ABC ，若,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为________．【答案】8,69⎡-⎢⎣【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得2(2)12AB AC a ⋅=-++，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出41,3a ⎤∈-⎥⎦，然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】因为周长为4的ABC ，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且2a bc =，所以222222()3cos 222c b a c b bc c b bcAB AC cb A +-+-+-⋅====2222(4)328164822a a a a a a ----+===--+，令()248a a f a =--+，24,,b c a bc a a b c +=-=+>∴a c b >-，∴22222()()4(4)4a c b c b bc a a >-=+-=--，解得1a >-，又∵b c +≥，∴42a a -≥，∴43a ≤故41,3a ⎤∈-⎥⎦，又()248a a f a =--+在41,3a ⎤∈⎥⎦上递减，)4816,39ff ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴28(2)12,69AB AC a ⎡⋅=-++∈-⎢⎣ ，故答案为：8,69⎡-⎢⎣.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A为锐角，22sin cos 23c a B C ab -=-．（1）求A ；（2）若3b =，BC边上的高为7，求ABC 的面积．【答案】（1）π3（2）332【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求出3sin 2A =，再结合A 为锐角即可求解；（2）先利用面积相等求得2a c =，再代入余弦定理求出2c =，进而求解即可．【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-=，所以222223sin 232c a a b c B ab ab -+-=-，即3sin 32b B a=，又由正弦定理得3sin sin 32sin BB A=，因为sin 0B >，所以3sin 2A =，又因为A 为锐角，所以π3A =．【小问2详解】结合（1），由题意得1131321sin 322227ABC S bc A c a ==⨯⨯⨯=⨯ ，得72a c =，由余弦定理得2222272cos 934a b c bc A c c c =+-=+-=，整理得()()2412260c c c c +-=-+=，解得2c =，或6c =-（舍去），所以11sin 322222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21n n S a =-，等差数列{}n b 满足12b a =，54b a =．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项和50S ．【答案】（1）2n n a =；31n b n =+（2）3459【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式求得{}n a 的通项公式，利用等差数列的基本量求法即可求得{}n b 的通项公式，从而得解；（2）结合（1）中结论，分析{}n c 的前50项中含有{}n a 与{}n b 的项，从而利用前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为()21n n S a =-，所以当1n =时，()11121S a a =-=，解得12a =，当1n >时，()1121n n S a --=-，所以1n n n a S S -=-122n n a a -=-，整理得12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⨯=.所以5124164,b b a a ====，设等差数列{}n b 的公差为d ，则5144416b b d d =+=+=，解得3d =，所以()()1143131n b b n d n n =+-=+-=+.【小问2详解】因为772128a ==，882256a ==，463461139b ⨯+==，且21452164,16,64,a b a b a b ======所以{}n c 的前50项中含有{}n a 的1357,,,a a a a 且含有{}n b 的前47项，()50464139283212834592S ⨯+∴=++++=.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，13SA SB SC SD ====，AC CD ⊥，6AB =，8BD =.（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A SB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）170170-【分析】（1）取AD 的中点O ，连接SO ，OC ，可得SO AD ⊥，利用直角三角形的性质可得OC OD =，即可证明SOC SOD ≅ ，进而可得SO OC ⊥，利用线面垂直的判定定理可证SO ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可求证；（2）先证明Rt SOA Rt SOB ≅ ，OA OB OC OD ===，可得AD 为四边形ABCD 外接圆的直径，进而可得SO 和AD 的长，以B 为原点，,BD BA 所在的直线为,x y 轴，过点B 与SO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABS 的一个法向量和平面SBD 的一个法向量，利用空间向量夹角的坐标运算即可求解.【详解】取AD 的中点O ，连接SO ，OC ，因为SA SD =，所以SO AD ⊥，因为AC CD ⊥，O 为AD 的中点，所以12OC AD OD ==，因为SO SO =，SC SD =，所以SOC SOD ≅ ，所以90SOC SOD ∠=∠= ，所以SO OC ⊥，因为OC OD O = ，OC ⊂平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，所以SO ⊥平面ABCD ，因为SO ⊂平面SAD ，所以平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知：SO ⊥平面ABCD ，所以SO BO ⊥，在Rt SOA 和Rt SOB 中，由SO SO =，SA SB =可得Rt SOA Rt SOB ≅ ，所以OA OB =，即OA OB OC OD ===，所以,,,A B C D 在以O 为圆心的圆上，由AC CD ⊥可得AD 为四边形ABCD外接圆的直径，10AD ==，5AO =，12SO ==，以B 为原点，,BD BA 所在的直线为,x y 轴，过点B 与SO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,6,0A ，()0,0,0B ，()8,0,0D ，()4,3,0O ，()4,3,12S ，()0,6,0BA = ，()8,0,0BD = ，()4,3.12BS =，设平面ABS 的一个法向量()111,,m x y z =，则11116043120m BA y m BS x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令13x =，可得11z =-，10y =，所以()3,0,1m =-，设平面SBD 的一个法向量为()222,,n x y z =，则22224312080n BS x y z n BD x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令24y =，则21z =-，20x =，所以()0,4,1n =-，所以170cos ,=170m n m n m n⋅=⋅，因为二面角A SB D --的平面角为钝角，所以二面角A SB D --的余弦值为170170-.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.20.甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为35，若乙发球，则甲得分的概率为13．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平(6:6)，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X ，求X 的分布列．【答案】（1）1975（2）答案见解析【分析】(1)分别求出甲与乙的比分是4:0和3:1的概率，即可得答案；(2)依题意，甲11:6或11:8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜，分别求出5：0和5：2的概率，即可得X 的分布列.【小问1详解】解：甲与乙的比分是4:0的概率为33111,553325⨯⨯⨯=比分是3:1的概率为3211332116225533553375⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故前4球中，甲领先的概率11619;257575P =+=【小问2详解】解：依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利，则甲11:6或11:8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．记比分为5：0为事件A ，则()223133()()535125P A =⨯⨯=，记比分为5：2为事件B ，即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次，22222241314242321232321152()C (()(C (()C ()C 5533555333625P B ⎡⎤=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，故依题意甲获胜的概率为35267,125625625+=X 的所有可能取值为3，5，由条件概率有，()()52153,56767P X P X ====故X 的分布列为X 35P5267156721.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，记E 的右顶点和上顶点分别为A ，B ，OAB 的面积为1（O 为坐标原点）．（1）求E 的方程；（2）已知()2,1D ，过点D 的直线1l 与椭圆E 交于点M ，N （点M 在第一象限），过点M 垂直于y 轴的直线2l 分别交BA ，BN 于P ，Q ，求MPPQ的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1【分析】（1）由题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆E 的方程；（2）设直线1l 的方程为x my n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，求出点P 、Q 的坐标，将直线1l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，根据2m n +=，然后化简Q M x x +，最后得到2Q M P x x x +=即可.【小问1详解】由题意可得OA a =，OB b =，且OA OB ⊥，则11122OAB S OA OB ab =⋅==△，所以，2222112c e a ab a b c⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆E 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线1l 与x 轴平行时，此时直线方程为1y =，不合乎题意，则设直线1l 的方程为x my n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，易知点()2,0A 、()0,1B ，则直线AB 的方程为12xy +=，直线l 的方程为1y y =，联立112y y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()121x y =-，故点()()1121,P y y -，联立直线1l 与椭圆的方程得2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()2224240m y mny n +++-=，()()()22222244441640m n m n m n ∆=-+-=+->，由韦达定理可得12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+，因为点()2,1D 在直线MN 上，则2m n =+，则2n m =-，则()21222222444m m m m y y m m --+=-=++，()22122224444m m m y y m m ---==++，()2216420m m ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，解得0m >，221BN y k x -=，则直线BN 的方程为2211y y x x -=+，令1y y =，则()21211Q x y x y -=-，()()()()()()()2121122112122211111111Q M x y x y x y my n y my n y x x x y y y --+-+-++-+=+==---()()()()222212122242422222224411m m m mm m m my y n m y y n m m y y --⋅+-⋅--+-+-++==--221641m y -+=-，则()()221614Q M x x y m -+-=+，而()()()212122*********41141444414m m m y y y y y m m y m m ⎛⎫----=+--=-=⎡⎤ --+⎪⎣⎦++⎝⎭即()2216214P x y m --=+，则()()()22121Q M P x x y x y +-=-因为21y ≠，则2Q M P x x x +=，又因为点,,P Q M 的纵坐标相同，所以P 为MQ 的中点，所以1MP PQ=.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，再联立椭圆方程得到韦达定理式，再去化简Q M x x +，然后将韦达定理式代入整理，最后得到2Q M P x x x +=，则得到最后结果.22.已知函数()2ln a f x ax x x=--．（1）若()0,1x ∈，()0f x <，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x a-<．【答案】（1）1a ≥（2）证明见解析【分析】（1）当0a ≤时利用导数判断出单调性求出最值可得结论；当0a >时求出()f x '，分1a ≥时，可得()f x 在()0,1x ∈上单调性求出最值可得结论；01a <<时，令()0f x '=，利用()f x 的单调性、最值可得答案.（2）0a ≤时()f x 单调递减，无极值不满足题意；1a ≥时()f x 单调递增，无极值不满足题意；01a <<时，令()0f x '=，求出1x ，2x ，判断出()f x 的单调性，要证()()12f x f x a-<，转化为()1111112f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数可证后者成立.【小问1详解】当0a ≤时，()22222a ax x af x a x x x-+'=-+=，在()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()100=--=f a a ，所以()0f x >，不满足题意；当0a >时，()222ax x af x x -+'=，若2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,1x ∈上单调递增，又()100=--=f a a ，所以()0f x <，满足题意；若2440a ∆=->，即01a <<时，令()0f x '=，可得11101<=<x a ，2111+=>x a，当10,⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11,1⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，而()100=--=f a a，所以10极大值⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭f a ，不满足()f x 在()0,1x ∈上()0f x <.综上所述，1a ≥；【小问2详解】当0a ≤时，由0x >得()2220-+'=<ax x af x x，()f x 单调递减，无极值，不满足题意；当0a >时，()222ax x af x x-+'=，若2440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,1x ∈上单调递增，无极值，不满足题意；若2440a ∆=->，即01a <<时，令()0f x '=，可得111a x a -=，211a x a+=，此时21x x >，当10,⎛⎫⎪ ⎪∈⎝⎭x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11,⎛⎪+∈⎭⎝x a a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当11,∈+⎪⎛⎫⎪⎝∞ ⎭x a 时，()0f x '<，()f x 单调递增，所以()1f x 为极大值，()2f x 为极小值，且122x x a+=，121=x x ，()()12f x f x >，要证()()12f x f x a-<，即证()()()12212-<===-f x f x x x ，即()()()12212-<-f x f x x x ，即证：()1111112f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()11201s x f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=---<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()()()2222242242222a x x a a s x a x x x+-+++'=-++=，因为()221642216320a a a ∆=-+=--<，故()s x 在()0,1上为减函数，故()()10s x s <=，故()112,01f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-<-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，故()()12f x f x a-<.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令()1201x t t x =<<11ln -+<t 成立，构造函数())ln 01g t t t-+=<<，利用导数判断出()g t 在()0,1t ∈上的单调性，考查了学生思维能力、运算能力.。

2024-2025学年福州市一中高一数学上学期10月考试卷及答案解析

2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=，则集合B =（）A. (],2∞- B. (),2∞- C. (]0,2 D. ()0,2【答案】C【解析】【分析】集合运算可得()=I U U B C A C B ，即可求出结果【详解】(0,4]A B = ，(2,4]=I U A C B 所以()(0,2]==I U U B C A C B 故选：C2. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y 1（万件），市场供应量y 2（万件）与市场价格x （百元/件）分别近似地满足下列关系：150y x =-+，2210y x =-，当12y y =时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（）A. 6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元【答案】C【解析】【分析】求出封城前平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x 为5021020x x x -+=-⇒=，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则11365014x x =-+⇒=，223621023x x =-⇒=，则补贴金额为23149-=.故选：C.3. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（）A. []x = |x|B. []xC. []x >-xD. []x > 1x -【答案】D 的【解析】【详解】分析：[]x 表示不超过x 最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．详解：设 1.5x =，[]1x =， 1.5x =1.5=，10.5x -=，排除A 、B ，设 1.5x =-，[]2x =-， 1.5x -=，排除C ．故选D点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．4. 已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数(())y f f x =的零点所在区间为（）A. (1,0)- B. 73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】当0x …时，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，根据()f x 为增函数，且(3)0f =可得函数(())y f f x =的零点为3()2log 12x g x x =+-的零点，根据零点存在性定理可得结果.【详解】当0x …时，()430x f x =+>，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，293()2log 92log 9x x f x x x =+-=+-为增函数，且(3)0f =.令(())0(3)f f x f ==，得3()2log 93x f x x =+-=，即32log 120x x +-=，令3()2log 12x g x x =+-，则函数(())y f f x =的零点就是3()2log 12x g x x =+-的零点，因为()3332log 31230g =+-=-<，72377()2log 1222g =+-37log 1202=+->，所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据的解析式判断函数的单调性，属于中档题.5. 设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为（）A [)1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. [)1,+∞【答案】C【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围；再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a …时函数()f x 在1x …的最小值，即可得到所求范围．【详解】解：函数2,1()1,1x a x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩…，若1x >，可得()12f x x =+>，由()1f 是()f x 的最小值，由于||()2x a f x -=可得在x a >单调递增，在x a <单调递减，若1a <，1x …，则()f x 在x a =处取得最小值，不符题意；若1a …，1x …，则()f x 在1x =处取得最小值，且122a -…，解得12a ……，综上可得a 的范围是[1，2]．故选：C ．【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．6. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()0f x y f x y f x f y ++--=，()11f -=，则（）A. ()00f = B. ()f x 为奇函数C. ()81f =- D. ()f x 的周期为3【答案】C【解析】【分析】令 0x y ==，则得(0)2f =，再令0x =即可得到奇偶性，再令1y =-则得到其周期性，最后根.据其周期性和奇偶性则得到()8f 的值.【详解】令 0x y ==，得()()22000f f -=得 (0)0f = 或 (0)2f =，当 (0)0f = 时，令0y =得 ()0f x = 不合题意，故 (0)2f =，所以 A 错误；令 0x = 得 ()()f y f y =-，且()f x 的定义域为R ，故 ()f x 为偶函数，所以B 错误；令 1y =-，得 (1)(1)()f x f x f x -++=，所以 ()(2)(1)f x f x f x ++=+，所以 (2)(1)f x f x +=--，则(3)()f x f x +=-，则()(6)(3)f x f x f x +=-+=，所以 ()f x 的周期为 6 ，所以 D 错误；令 1x y ==，得 2(2)(0)(1)f f f +=，因为()()111f f -==所以 (2)1f =-，所以 ()(8)21f f ==-，故C 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.7. 函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()4488f x g x g x f x +-=--=，，()g x 关于4x =对称，()48g =，则()1812m f m =∑的值为（）A. 24- B. 32- C. 34- D. 40-【答案】C【解析】【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.【详解】因为()()44f xg x +-=①， ()()88g x f x --=②，对于②式有：()()88g x f x +-=③，由①+③有：()()8412g x g x ++-=，即()()1212g x g x +-=④，又()g x 关于4x =对称，所以()()8g x g x =-⑤，由④⑤有：()()81212g x g x -+-=，即()()81212g x g x +++=，()()4812g x g x +++=，两式相减得：()()1240g x g x +-+=，即()()124g x g x +=+，即()()8g x g x +=，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()g x 的周期为8，又()48g =，所以()()()412208g g g ==== ，由④式()()1212g x g x +-=有：()66g =，.所以()()()614226g g g ==== ，由()48g =，()()1212g x g x +-=有：()84g =，所以()()()816244g g g ==== ，由⑤式()()8g x g x =-有：()()266g g ==，又()()8g x g x +=，所以()()1026g g ==，由②式()()88g x f x --=有：()()88f x g x =+-，所以()()()()()()()18122436101244818m f m f f f g g g ==+++=+++-⨯∑ ()686446881834=+++⨯++-⨯=-，故A ，B ，D 错误.故选：C.8. 已知函数()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>，若有且仅有两个整数1x 、2x 使得()10f x >，()20f x >，则a 的取值范围是（）A. (]0,2lg 3- B. (]2lg 3,2lg 2--C. (]2lg 2,2- D. (]2lg 3,2-【答案】A【解析】【分析】由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩以及0a >，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由()()lg 2240f x x a x a =+--+>，得()lg 224x a x a >-+-.由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.如下图所示：由图象可知，由于()()()22422y a x a a x =-+-=--，该直线过定点()2,0.要使得函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩，即22lg 3a a <⎧⎨-≥⎩，解得2lg 3a ≤-，又0a >，所以，02lg 3a <≤-，因此，实数a 的取值范围是(]0,2lg 3-.故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列命题正确的是（）A. “1a >”是“21a >”的充分不必要条件B. “M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D. 设函数()f x 的导数为()f x '，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.10. 若函数()f x 的定义域为R ，且()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(2)1f =-，则（）A. (0)0f =B. ()f x 为偶函数C. ()f x 的图象关于点(1)0，对称 D. 301()1i f i ==-∑【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，令2,0x y ==,可得(0)1f =；对于B ，令0,x y x ==，可得()()f x f x =-，即可判断；对于C ，令1x y ==得f (1)=0，再令1,x y x ==即可判断；对于D ，根据条件可得()()2f x f x =--,继而()()2f x f x =-+，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A ，令2,0x y ==，则()()()22220f f f =⋅，因为(2)1f =-，所以()220f -=-，则(0)1f =，故A 错误；对于B ，令0,x y x ==，则()()()2(0)()2f x f x f f x f x +-==，则()()f x f x =-，故B 正确；对于C ，令1x y ==得，()()()220210f f f +==，所以f (1)=0，令1,x y x ==得，(1)(1)2(1)()0f x f x f f x ++-==，则()f x 的图象关于点(1)0，对称，故C 正确；对于D ，由(1)(1)0f x f x ++-=得()()2f x f x =--，又()()f x f x =-，所以()()2f x f x -=--，则()()2f x f x =-+，()()24f x f x +=-+，所以()()4f x f x =+，则函数()f x 的周期为4，又f (1)=0，(2)1f =-，则()()()3310f f f =-==，()()401f f ==，则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以()()301()12701i f i f f ==++⨯=-∑，故D 正确，故选：BCD.11. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x R ∈，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=-x f x ，给出下列结论，其中正确的是（）A. (2)0f =B. 点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C. 函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D. 函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】由(4)()(2)f x f x f +=+，赋值2x =-，可得(4)()f x f x +=，故A 正确；进而可得(4,0)是对称中心，故B 正确；作出函数图象，可得CD 不正确.【详解】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)0f -=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =-=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点，故D 不正确.故选：AB【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设函数()()x x f x e ae a R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.13. 422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______【答案】1-【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log 3494122563-⨯⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=42log 379121616-++131=-+1=-．故答案为：1-.14. 设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是．【答案】403m ≤≤【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤四、解答题：本题共5小题，共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ．因为2＞0，所以f （2）＝ ② ．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f(x)在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上最大值为1．综上，f(x)的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A ．（－2）＋3＝1 B ．2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2＋3＝5 B ．22220-+⨯=③A.3B.0④A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0的⑤ A.1 B.3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ．【解析】【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3．又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且()11f =，所以()f x 在(0,+∞)上的最大值为1．综上，()f x 的最大值为3．16. 如图，某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为ABC V ，花园为矩形DEFG ．根据规划需要，花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上，边DG 在三角形的直角边AC 上，顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2倍．（1）设花园的面积为S （单位：2m ），AD 的长为x （单位：m ），写出S 关于x 的函数解析式；（2）当AD 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）()()2303,010S x x x =-<<（2）当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .【解析】【分析】（1）根据矩形面积即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【小问1详解】,AD x =则2CG GF x ==，302303GD x x x =--=-，所以()()2303,010S GD GF x x x =⋅=-<<【小问2详解】()()()233032223033303150332x x S x x x x +-⎡⎤=-=⋅-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3303x x =-，即5x =时等号成立，故当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：0x ≥时，21()21x x f x -=+.（1）求()f x 的表达式；（2）若关于x 的不等式()2(23)10f ax f ax ++->恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）21()21x x f x -=+ （2）(]4,0-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当0x <时的解析式，即可得到结果；（2）根据定义证明函数()f x 在R 上单调递增，然后再结合()f x 是定义在R 上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】设0x <，则0x ->，因为0x ≥时，21()21x x f x -=+，所以()21122112x xx xf x -----==++又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，即()()12211221x x x x f x f x --=--=-=++所以当0x <时，21()21x x f x -=+综上，()f x 的表达式为21()21x x f x -=+【小问2详解】由（1）可知，212()12121x x x f x -==-++，设在R 上任取两个自变量12,x x ，令12x x <则()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221212222221212121x x x x x x -=-=++++因为12x x <，则12220x x -<，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<所以函数()f x 在R 上单调递增.即()()22(23)10(23)1f ax f ax f ax f ax ++->⇒+>--，由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()2211f ax f ax ---=即()21(23)f ax f ax >-+，由函数()f x 在R 上单调递增，可得22231240ax ax ax ax +>-⇒--<恒成立，当0a =时，即40-<，满足；当0a ≠时，即20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<综上，a 的取值范围为(]4,0-18. 已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．【答案】（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥,两边同时加a 可得cd a b a a+≥+,即可得证.【详解】解析:（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.所以2()0a c d a cd -++≥,即2()a cd c d a ++≥.因为0a b >≥,所以cd a c d a++≥,因为ab cd ≥,所以cd b a≥,所以cd a b a c d a +++≥≥.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19. 对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意.【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<= ，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=，分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n M x ∴=，对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈，特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.。

福建省福州第一中学2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试卷及答案

福州一中2022—2023学年高一质量检测高一数学（必修第一册）模块试卷（考试时间：120分钟满分：150分）班级__________座号_________姓名___________一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}41,T t t n n Z ==+∈，则S T = （）A.SB.TC.RD.∅2.已知角θ的终边上经过点)P a ，若3πθ=-，则a 的值为（）A.B.C.D.3.若函数()f x 和()g x 分别由下表给出：则满足()()1g f x =的x 值是（）A.4B.3C.2D.14.为了得到函数()2sin 3f x x =的图象，只要把函数()2sin 35g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移5π个单位长度B ．向右平移5π个单位长度C ．向左平移15π个单位长度D ．向右平移15π个单位长度5.已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,26ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A.310-B.310+C.310-D.310+6.密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写。

密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“478-”，x 1234()f x 2341x 1234()g x 21431周角等于6000密位，记作1周角6000=-.如果一个扇形的半径为2，面积为73π，则其圆心角可以用密位制表示为（）A.2500- B.3500- C.4200- D.7000-7.若函数()y f x =与()y f x =-在区间[],m n 上的单调性相同，则称区间[],m n 为()y f x =的“稳定区间”，若区间[]1,2023为函数()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,1-- B.12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]1,28.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()22f x f x +=-，()23f x -为偶函数，若()00f =，()()()()()1231123f f f f n f n ++++-+=…，则n 的值为（）A.117B.118C.122D.123二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.对于给定的实数a ，不等式()2110ax a x +--<的解集可能是（）A.11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.{}1x x ≠- C.{}1x x <- D.R10.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B.()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()f x 的图象关于直线23x π=轴对称D.直线1y =与()231212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭图象的所有交点的横坐标之和为83π11.已知,x y 是正数，且满足221x y +=，则下列叙述正确的是（）A.126x y+≥+ B.ln ln 4ln 2x y +≥- C.22x y ->D.221tan tan 26x y ⎛⎫≥-⎪⎝⎭12.已知函数()cos sin f x x x =-，则下列结论正确的有（）A.()f x 的一个周期是2πB.()f x 在37,24ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C.f xD.方程10f x -=在2,2ππ-上有7个解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.请写出一个定义域不是R ，但值域为R 的奇函数：()f x =_________.14.已知θ为第四象限角，cos sin θθ+=cos 2θ=.15.函数()22f x ax ax =-，若命题“[]0,1x ∃∈，()3f x a ≤-”是假命题，则实数a 的取值范围为.16.设a R ∈，函数()()()22tan 2,249,x a x a f x x a x a x aπ⎧-≤⎡⎤⎪⎣⎦=⎨-+++>⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知集合2611x A xx ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合(){}22210B x x a x a a =-+++<，定义集合{}A B x x A x B -=∈∉且.（1）若2a =，求A B -.（2）若A B A -=，求a 的取值范围.18.（12分）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，2πϕ<）的图象过点,03P π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象上与点P最近的一个最低点的坐标为7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；（2）将函数()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度得到的函数()y g x =是偶函数，求m 的最小值.19.（12分）已知函数()1lg1x f x x -=+（1）判断函数()y f x =的单调性并用定义法加以证明（2）求不等式()()()lg30f f x f +>的解集20.（12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为110m ，最低点距离地面10m ，已知摩天轮共有40个座舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min .游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱.（1）当游客距离地面高度不低于85m 时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的的高度相等？21.（12分）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()42sin 133g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,且满足[]0,x π∀∈,()()0f x g x ⋅≤恒成立.（1）求解()g x 的零点以及()f x 的函数解析式.（2）求函数()f x 在区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之差的取值范围.22.（12分）设函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对01x D ∀∈，有且仅有n 个不同的实数1232,,,,n x x x x D ∈…，使()()0i g x f x =(其中1,2,3,,i n n N +=∈…,)，则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.（1）试判断()()2sin 2023g x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭是否为()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的“4重覆盖函数”?并说明理由.（2）已知函数()()22231,21log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤⎪=⎨>⎪⎩为()222log 21x x f x +=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围福州一中2022—2023学年第一学期高一期末质量检测高一数学（必修第一册）模块试卷参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

2023-2024学年福建省福州高一上册期末考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年福建省福州高一上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【正确答案】B【分析】首先求得集合A ，结合图象求得正确结论.【详解】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞，图象表示集合为()U A B ⋂ð，()U ,3A =-∞ð，()()U 2,3A B ⋂=-ð.故选：B2．设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A 【详解】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但10,sin 2θθ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A.充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件.3．已知1sin 412πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．8B ．8C ．78D ．78-【正确答案】D【分析】利用诱导公式可得51cos(412πα+=-，再由二倍角余弦公式求5cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由51sin(cos[(1212]cos(2412ππππααα-=-+-=-+=，即51cos(412πα+=-，又255cos 22c 71os ()1628ππαα⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭.故选：D4．幂函数()()222af x a a x =--在R 上单调递增，则函数()1(1)x ag x b b +=+>的图象过定点（）A ．（1，1）B ．（1，2）C ．（-3，1）D ．（-3，2）【正确答案】D【分析】由函数()f x 为幂函数且在R 上单调递增，可得3a =，再由指数函数过定点(0,1)，即可得函数()g x 所过的定点.【详解】解：因为()()222af x a a x =--为幂函数且在R 上单调递增，所以22210a a a ⎧--=⎨>⎩，解得3a =，所以()311(1)x ax g x bb b ++=+=+>，又因为指数函数x y a =恒过定点(0,1)，所以()31(1)x g x b b +=+>恒过定点(3,2)-.故选：D.5．已知函数()34log 3ax f x x +=+在区间(]1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．4,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【正确答案】C【分析】求出函数()f x 的定义域，由单调性求出a 的范围，再由函数在(]1,3-上有意义，列式计算作答.【详解】函数33443()log =log 33ax a f x a x x +-⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，因为3log y x =在()0,∞+上递增，则433ay a x -=++在(]1,3-上递减，所以得430a ->，解得43a <，由(]1,3x ∀∈-，()f x 有意义得：3406a +>，解得43a >-，因此，4433a -<<，所以实数a 的取值范围是44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.6．关于x 的不等式22630(0)x ax a a -+≤>的解集为[]12,x x，则1212x x -）A．-B．C．-D．【正确答案】C【分析】由题意可得12,x x 是方程22630x ax a -+=的两个根，利用根与系数的关系，可得112226,3x x x x a a ==+，再求出12x x -，代入1212x x --果.【详解】因为关于x 的不等式22630(0)x ax a a -+≤>的解集为[]12,x x ，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的两个根，且12x x <，所以112226,3x x x x a a ==+，所以12x x ===--，所以1212x x -=-=-⎛=- ⎝⎭≤-=-，当且仅当3a =，即a =所以1212x x -的最大值是-，故选：C7．已知函数()()lg 122x xf x x -=-++，则不等式()()12f x f x +<的解集为（）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()2,1--C ．()(),21,-∞-+∞D ．()()1,1,3-∞-⋃+∞【正确答案】C【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性、单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式组，解得即可.【详解】解：对于函数()()lg 122x xf x x -=-++，令10x ->，解得1x >或1x <-，所以函数的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，又()()()()lg 122lg 122x x x xf x x x f x ---=--++=-++=，所以()f x 为偶函数，当1x >时()()lg 122x xf x x -=-++，则()lg 1y x =-在()1,+∞上单调递增，令()22x xg x -=+，()1,x ∈+∞，所以()()2ln 22ln 222ln 20x x x x g x --'=-=->，所以()22x xg x -=+在()1,+∞上单调递增，则()f x 在()1,+∞上单调递增，从而得到()f x 在(),1-∞-上单调递减，则不等式()()12f x f x +<等价于211121x x x x ⎧>+⎪+>⎨⎪>⎩，解得1x >或<2x -，所以不等式的解集为()(),21,-∞-+∞ .故选：C8．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（）A ．125B ．85C ．165D ．185【正确答案】A由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122T ππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Zω=+∈∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤∴12222ππωω≤⋅⇒≤①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k ≥时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A.本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.二、多选题9．下列能成为26x >充分条件的是（）A ．111x ->B ．101000x >C ．22350x x -->D ．2log 4x >【正确答案】BD分别解出选项中的集合，再根据充分条件与集合的包含关系，求参数的取值范围.【详解】226log 6xx >⇒>，即{}2log 6A x x =>，分别解出选项中的集合：A.111x ->或111x -<-，得12x >或10x <-，即{12x x >或10}x <-；B.1010003x x >⇒>，即{}3x x >；C.()()223501250x x x x -->⇒+->，得52x >或1x <-，即5{2x x >或1}x <-；D.2log 416x x >⇒>，即{}16x x >，要能成为26x >充分条件，选项中的解集需是集合{}2log 6A x x =>的子集，其中只有BD 符号题意.故选：BD本题考查充分条件与集合的包含关系，重点考查计算能力，以及理解充分条件，属于基础题型.10．已知关于x 的不等式210ax bx c ++-<的解集为{}|x x αβ<<，且1βα-<，若1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两个不等实根，则下列关系式中正确的有（）A ．a<0B ．12x x βα-=-C ．121x x -<D ．222221x x βα->-【正确答案】BC【分析】由不等式的解集，可知0a >，从而判断A 错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即122bx x aαβ+=+=-，变形后可判断B 正确；根据1βα-<,亦可判断C 正确，通过举反例12,,,0x x αβ<，即可判断D 错误.【详解】解：由题意得0a >,故A 错误，因为将二次函数21y ax bx c =++-的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数2y ax bx c =++的图像，所以122bx x aαβ+=+=-,即12x x βα-=-，B 正确，如图，又01βα<-<，所以121x x βα-<-<，C 正确，当120,0x x αβ<<<<时，21x x βα-=-，21x x βα+<+，所以()()()()2222222111x x x x x x βββααα-=-+<-+=-，D 错误.故选：BC.11．函数()22()41sin ()f x ax a x x a ⎡⎤=+-∈⎣⎦R 在区间[2,2]ππ-上的大致图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】ABD【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数a 的值，再判断即可.【详解】解：对于A ，B 中函数图象关于原点对称，则对应的()f x 为奇函数，令()()2241g x ax a x =+-，则()g x 为偶函数，即()()g x g x -=，即()()22224141ax a x ax a x --=+-，所以2410a -=，解得12a =±，当12a =时，21()sin 2f x x x =，符合A 项，当12a =-时，21()sin 2f x x x =-，符合B 项.对于C ，D 中函数图象关于y 轴对称，则对应的()f x 为偶函数，令()()2241h x ax a x =+-，则()h x 为奇函数，即()()h x h x -=-，即()()22224141ax a x ax a x --=---，所以0a =，此时()sin f x x x =-，当()0,x π∈时，()0f x <，故D 正确，故C 错误；故选：ABD.12．已知函数()ln 1,e ,1e x x f x a b x x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为0，e 是自然对数的底数，则（）A ．若()1,0a ∈-，则e eab ≥+B ．若()0,1a ∈，则1b a ≤+C ．若()2,e a ∈-∞-，则22e e a b <--D ．若()2e ,a ∞∈+，则1b a ≥+【正确答案】AD【分析】由已知得当1e x <<时，()min 0f x ≥，对于AC ，当a<0时，()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为()1,e 上的减函数，则()0e f ≥，代入解不等式得解；对于BD ，当0a >时，由对勾函数ay x x =+在(x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增，判断()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调性，求出最小值即可判断.【详解】由函数()ln 1,e,1e x x f x a b x x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为0，当e x ≥时，()ln 10f x x =-≥，即[)()0,f x ∈+∞，故当1e x <<时，()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为[)0,∞+的子集，即()min 0f x ≥对于AC ，当a<0时，()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为()1,e 上的减函数，又()e e e a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则e 0e a b ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即e e a b ≥+，故A 正确，C 错误；当0a >时，对勾函数ay x x=+在(x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增，对于B ，当()0,1a ∈时，对勾函数ay x x=+在()1,e 上单调递增，则函数()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,e 上单调递减，由A 知，e e a b ≥+，故B 错误；对于D ，当()2e ,a ∞∈+时，对勾函数a y x x=+在()1,e 上单调递减，则函数()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,e 上单调递增，又()()11f b a =-+，则()10b a -+≥，即1b a ≥+，故D 正确；故选：AD思路点睛：本题考查已知函数的最值求参数，解题时需先求出由函数在e x ≥时的值域为[)0,∞+，进而将问题转化为当1e x <<时，函数的值域为[)0,∞+的子集，即()min 0f x ≥，分类讨论研究函数的单调性求出最值，考查学生的分析转化能力，属于难题.三、填空题13．已知函数()32f x x bx x =++为定义在[]21,3a a --上的奇函数，则a b +的值为________．【正确答案】2-【分析】根据奇函数的定义及性质计算可得.【详解】解：因为函数()f x 为定义在[]21,3a a --上的奇函数，则有2130a a -+-=，解得2a =-，又由函数()f x 为奇函数，则有()()0f x f x -+=，则()()()32320x b x x x bx x --+++-++=，所以20bx =恒成立，即0b =，所以2a b +=-；故2-14．若函数xy a =(0a >，且1a ≠)，在[]2,3上的最大值比最小值大22a ，则=a ______________.【正确答案】12或32.分01a <<和1a >两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，根据已知得到关于实数a 的方程求解即得.【详解】若01a <<，则函数()x f x a =在区间[]2,3上单调递减，所以2max ()5f x a =-，3min ()5f x a =-，由题意得2232a a a -=，又01a <<，故12a =；若1a >，则函数()x f x a =在区间[]2,3上单调递增，所以3max ()5f x a =-，2min ()5f x a =-，由题意得2322a a a -=，又1a >，故32a =.所以a 的值为12或32.本题考查函数的最值问题，涉及指数函数的性质，和分类讨论思想，属基础题，关键在于根据指数函数的底数的不同情况确定函数的单调性.15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<，π()(4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【正确答案】()6,10【分析】确定函数的max π()()4f x f =，由此可得ππ2π,Z 24k k ωϕ=-+∈，再利用()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，求得答案.【详解】由已知得：π()(4f x f ≤恒成立，则max π()()4f x f =，ππππ2π,Z 2π,Z 4224k k k k ωωϕϕ+=+∈⇒=-+∈，由3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3π(,)8x ωϕϕωϕ+∈+，由于()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，故0π3π3π4π8ϕωϕ<<⎧⎪⎨<+≤⎪⎩，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，Z k ∈，则8282,Z 20162816k k k k k ωω-<<+⎧∈⎨-<≤-⎩,只有当1k =时，不等式组有解，此时610412ωω<<⎧⎨<≤⎩，故610ω<<，故()6,1016．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()()()24log 240g x x ax a =-+>，若对任意的()10,1x ∈，都存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】)+∞【分析】求出函数()y f x =在区间()0,1上的值域为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可知，由41log 12u <<，可得出24u <<，由题意知，函数224u x ax =-+在区间[]0,2上的值域包含()2,4，然后对a 分01a <<、12a ≤<、2a ≥三种情况分类讨论，求出函数224u x ax =-+在区间[]0,2上的值域，可得出关于实数a 的不等式（组），解出即可.【详解】由于函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,1上的减函数，则1111222x⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()112f x <<，所以，函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上的值域为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.对于函数()()24log 24g x x ax =-+，内层函数为224u x ax =-+，外层函数为4log y u =.令41log 12u <<，得24u <<.由题意可知，函数224u x ax =-+在区间[]0,2上的值域包含()2,4.函数224u x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线0x a =>.（i ）当01a <<时，函数224u x ax =-+在区间()0,a 上单调递减，在区间(],2a 上单调递增，则2min 4u a =-，{}max max 4,8484u a a =-=-，即2484a u a -≤≤-，此时，函数224u x ax =-+在区间[]0,2上的值域为24,84a a ⎡⎤--⎣⎦，由题意可得242844a a ⎧-≤⎨-≥⎩，解得a ≤a ∈∅；（ii ）当12a ≤<时，函数224u x ax =-+在区间()0,a 上单调递减，在区间(],2a 上单调递增，则2min 4u a =-，{}max max 4,844u a =-=，即244a u -≤≤，此时，函数224u x ax =-+在区间[]0,2上的值域为24,4a ⎡⎤-⎣⎦，由题意可得242a -≤，解得a ≤a ≥2a ≤<；（iii ）当2a ≥时，函数224u x ax =-+在区间[]0,2上单调递减，则min 84u a =-，max 4u =，则函数224u x ax =-+在区间[]0,2上的值域为[]84,4a -，由题意可得842a -≤，解得32a ≥，此时，2a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是)+∞.本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.四、解答题17．已知函数()f x =R .（1）求实数a 的取值集合A ；（2）设{}32B x m x m =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）{}|04A a a =≤≤；（2）[)0,1.【分析】（1）由题意可知，210ax ax ++≥在R 上恒成立，在对参数a 进行分类讨论，根据二次函数的性质，即可求出结果；（2）由命题的关系与集合间的包含关系得：x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B A Ü，由此列出关系式，即可求出结果.【详解】（1）可知，210ax ax ++≥在R 上恒成立，当0a =时，10≥，成立；当0a >时，240a a ∆=-≤，解得04a <≤；综上所述，[]0,4a ∈.所以集合{}|04A a a =≤≤（2）因为，x A ∈是x B ∈的必要不充分条件.所以，B AÜ故323024m m m m <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,解得01m ≤<所以，实数m 的取值范围是[)0,1.18．设()27cos cos cos2126f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及()f x 的单调递增区间；(2)若()20,,23f παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，求2sin 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)1，5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、三角恒等变换公式以及辅角公式可得()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由此即可求出12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，再根据正弦函数的性质可求得()f x 的单调递增区间；（2）由（1）可得以及()23f α=，可得1sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和同角基本关系可得cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin2333ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦和两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）解：因为()27cos cos cos2126f x x xππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭25cos cos cos2126x x πππ⎛⎫=+-+ ⎝⎭25cos cos cos2126x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭151cos 2cos cos 2266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11515cos 2cos sin 2sin cos cos 2226266x x x πππ=+++112sin242x x=++11122222x x⎫=++⎪⎪⎝⎭11sin2232xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭，所以1111sin2sin11221232222fππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令222,232k x k kπππππ-+≤+≤+∈Z，所以5,1212k x k kππππ-+≤≤+∈Z，所以()f x的单调递增区间为5,,1212k k kππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z；（2）解：因为()23fα=，即112sin22323πα⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以1sin233πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,απ∈，即42,333πππα⎛⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又21sin sin0333ππ=>>，所以22,33ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos203πα⎛⎫+<⎪⎝⎭，所以cos233πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，因为21sin2sin2sin22333233ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123236⎛⎫-=⨯+⨯-=⎪⎪⎝⎭.所以2sin23α⎛⎫+⎪⎝⎭19．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t（单位：分钟）满足520t≤≤，Nt∈，经测算.该路无人驾驶公交车载客量()p t与发车时间间隔t满足：()()26010,51060,1020t tp tt⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中Nt∈.(1)求()5p，并说明()5p的实际意义：(2)若该路公交车每分钟的净收益()62410p tyt+=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.【正确答案】(1)()535p=；发车时间间隔为5分钟时，载客量为35(2)发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．【分析】（1）将5t =代入函数()y p t =的解析式，可计算出()5p ，结合题意说明()5p 的实际意义；（2）求出函数()612410p y t+=-的解析式，分别求出该函数在区间[)5,10和[]10,20上的最大值，比较大小后可得出结论.【详解】（1）()()256051035p =--=，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）()62410p t y t+=- ，∴当510t £<时，()23606102421610110611038t y t tt --+⎛⎫=-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当2166t t=，即6t =时，等号成立，所以，当6t =时，y 取得最大值38；当1020t ≤≤时，660243841010y t t⨯+=-=-，该函数在区间[]10,20上单调递减，则当10t =时，y 取得最大值28.4．综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．20．已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()xf xg x e+=(1)分别求出函数()(),f x g x 的解析式；(2)若)1ln1,ln2x ⎛⎫∀∈- ⎪⎪⎝⎭，都有()()()22240m f x mg x m -+->成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()(),22x x x xe e e ef xg x ---+==(2)52,2⎡--⎢⎣⎦【分析】（1）利用函数的奇偶性，根据()()xf xg x e +=，得到()()x f x g x e --+=，两式联立解得答案.(2)用换元法，将原问题转化为()22260mt m t m +-->在()2,1t ∈--上恒成立的问题，然后根据二次函数在给定区间上的值的情况，分类讨论解答.【详解】（1）（1）()()xf xg x e += ，①()()x f x g x e -∴-+-=，()(),f x g x Q 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()()x f x g x e -∴-+=，由①②可得：()(),22x x x x e e e e f x g x ---+==;（2）()())221,2,ln 1,ln222x x x x e e e e f x g x x --⎛⎫-+==∈ ⎪ ⎪⎝⎭令x x t e e -=-，则()2222,1,2x x t e e t -∈--+=+，∴原命题等价转化为：()22260mt m t m +-->在()2,1t ∈--上恒成立，（i ）当0m =时，则20t ->在()2,1t ∈--上恒成立，0m ∴=成立.（ii ）当0m >时，则等价转化为：2260t m t m ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭在()2,1t ∈--上恒成立，令()226h t t m t m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，要满足题意，()()060,10h h =-<∴-≥ ，解得：25m m-≤-，又50,02m m ->∴<≤（iii ）当0m <时，则等价转化为：2260t m t m ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭在()2,1t ∈--上恒成立令()226h t t m t m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，要满足题意，()()060,20h h =-<∴-≤ ，解得：21m -≤≤，又0,20m m <∴-≤<，综上，实数m 的取值范围为⎡-⎢⎣⎦21．已知函数()1π2cos cos 23f x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，其中π2ϕ<.(1)()12f ϕ=，求ϕ的值；(2)设函数()π212x g x f ωϕ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中常数0ω>.若函数()g x 的一个单调减区间内有一个零点2π3-，且其图象过点7π,13A ⎛⎫⎪⎝⎭，记函数()g x 的最小正周期为T ，试求T 取最大值时函数()g x 的解析式.【正确答案】(1)π6ϕ=(2)()72πsin 69g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式以及辅助角公式可得()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合条件即可求解；（2）()()sin g x x ωϕ=+，由题设可得1π7π2π23k ωϕ=-+，1k Z ∈和2π2π3π2k ϕω-=+，2k Z ∈，令12Z k k k =-∈，则416k ω-=，进而由周期最大时确定ω、ϕ的值，进而求解.【详解】（1）()21π1ππ12cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin232332f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-⋅⋅-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1πsin 2cos 2sin 2226f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()π1sin 262f ϕϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以ππ22π66k ϕ-=+或π5π22π66k ϕ-=+，Z k ∈，则ππ6k ϕ=+或ππ2k ϕ=+，Z k ∈，又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=.（2）()()πsin 212x g x f x ωϕωϕ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为函数图象过点7π,13A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以7π7πsin 133g ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则17ππ2π32k ωϕ+=+，1k Z ∈，所以1π7π2π23k ωϕ=-+，1k Z ∈.又函数()g x 的一个单调减区间内有一个零点2π3-，所以2π22π3πk ϕω+=+-，2k Z ∈，即22ππ2π3k ωϕ=++，2k Z ∈.所以()122136k k ω-=-，令12Z k k k =-∈，则416k ω-=，又0ω>，且2πT ω=，要使T 取最大值，则ω取最小值，当1k =时，min 12ω=，此时14π2π3k ϕ=+，1k Z ∈，由π2ϕ<，可得ϕ没有符合题意的值；当2k =时，min 76ω=，此时116π2π9k ϕ=+，1k Z ∈，由π2ϕ<，可得2π9ϕ=-，符合题意.综上所述，()72πsin 69g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.22．已知实数0a >，设函数()()()π2sin21sin cos 21,02f x a x a x x a x ⎡⎤=+-++-∈-⎢⎥⎣⎦，.(1)当2a =时，求函数f （x ）的值域：(2)求|f （x ）|的最大值.【正确答案】(1)17,416⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)()2max123,05611,18532,1a a a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩【分析】(1)令sin cos t x x =+，则24sin 24(1),x t =-即求函数f （x ）的值域转化为求24(1)3y t t =-++，[1,1]t ∈-的值域，根据二次函数在闭区间的最值求法即可；(2)令sin cos t x x =+得2sin 21,x t =-从而问题转化为求函数22(1)(1)21y a t a t a =-+-+-，[1,1]t ∈-的最大值.通过分类讨论对称轴14at a-=与区间[1,1]-的位置关系，即可求解最大值.【详解】（1）当2a =时，π()4sin 2(sin cos )3,[,0]2f x x x x x =+++∈-，令ππsin cos sin()([,0])42t x x x x =++∈-，则22(sin cos )x x t +=，所以24sin 24(1),x t =-π[,0],2x ∈- ππππ[,],)[1,1]4444x x ∴+∈-∴+∈-，即[1,1]t ∈-.则221174(1)34(),816y t t t =-++=+-[1,1]t ∈- ，2117174(,4,81616y t ⎡⎤∴=+-∈-⎢⎥⎣⎦即()17,4,16f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以函数f （x ）的值域17,416⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）令ππsin cos sin()([,0])42t x x x x =++∈-令ππsin cos sin()([,0])42t x x x x =++∈-，则22(sin cos )x x t +=，所以2sin 21,x t =-π[,0],2x ∈- ππππ[,],)[1,1]4444x x ∴+∈-∴+∈-，即[1,1]t ∈-.则2221612(1)(1)212()48a a a y a t a t a a t a a-++=-+-+-=+-，[1,1]t ∈-令()221612()48a a a h t a t a a-++=+-，所以()h t 是对称轴为14at a -=，开口向上的抛物线，且2161(1),(1)32,()48a a a h a h a h a a-++-==-=-记|f （x ）|的最大值为M .当114a t a-=≥，即105a <≤时，此时()h t 在[1,1]-上单调递减，且|||32|,23a a M a ≤-∴=-；当1014a a -≤<，即115a <≤时，此时1|()||(1)|4a h h a ->-，2618a a M a++∴=当1104a a --<<，即1a >时，此时1|()||(1)|4ah h a-<，32M a ∴=-当114aa-≤-，即103a -<<时，不符合题意舍去.2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪∴=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩,即()2max 123,05611,18532,1a a a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩关键点点睛：求二次函数在闭区间的最值时，要注意讨论对称轴与区间的位置关系，一般讨论对称轴在区间的左边，对称轴在区间的里面，对称轴在区间的右边.。

福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)

2022－2023学年第一学期福州市高一期末质量抽测数学试卷（完卷吋间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2540A x x x =-+>，{}03B x x =≤≤，则A B = （）A.{}01x x ≤≤ B.{}01x x ≤< C.{}13x x <≤ D.{|3x x ≤或4}x >【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式2540x x -+>，得1x <或>4x ，则{|1A x x =<或4}x >，而{}03B x x =≤≤，所以{|01}A B x x ⋂=≤<.故选：B2.已知命题():0,p x ∀∈+∞，3x x >，则命题p 的否定是（）A.()0,x ∀∈+∞，3x x ≤B.()0,x ∃∈+∞，3x x ≤C.()0,x ∃∈+∞，3x x <D.()0,x ∀∉+∞，3x x>【答案】B 【解析】【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，3x x ≤.故选：B.3.在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3P -，则cos α=（）A.45 B.45-C.34-D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】依题意，||5OP ==，所以4cos 5α=.故选：A4.若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A.π-B.2π-C.4π D.3π【答案】A 【解析】【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.5.函数()21x f x x =-的图象大致为（）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由()00f =可排除C ，D ，当0x <时，()0f x <可排除A ，即可得正确答案.【详解】由()00f =可排除C ，D ；当0x <时，()201x f x x =<-，排除A .故选：B .6.已知函数()22,1,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()0f a =，则a 的值为（）A.12-B.0C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由()0f a =求解对数方程，即可得到结果.【详解】由题意可得，当1x ≤时，20x >，且()0f a =，则21log 0a -=，解得2a =故选:D7.设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>在[,]-ππ的图象大致如下图所示，则函数()f x 图象的对称中心为（）A.()ππ,0Z 28k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()ππ,0Z 8k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭C.()2ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ D.()4ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】化简()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可得312,Z 25k k ω=+∈，由图可得：524322T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解不等式即可求出32ω=，令3ππ,Z 24x k k +=∈，即可求出()f x 图象的对称中心.【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x的图象过点5π,6⎛ ⎝，所以5ππ3π2π,Z 642k k ω⋅+=+∈，解得：312,Z 25k k ω=+∈，因为由图可得：525225344332422222T T πππωωπππω⎧⎧⋅<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨⎪⎪≥⋅≥⎪⎪⎩⎩，所以32ω=，()3πsin cos 24f x x x x ωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3ππ,Z 24x k k +=∈，解得：2ππ,Z 36x k k =-∈，则函数()f x 图象的对称中心为()2ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.故选：C .8.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（）A.b a c<< B.a b c<<C.c b a <<D.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】利用对数的换底公式，得到2lg 23lg 2,lg 3lg 5b c ==，化简lg 2(lg 25lg 27)0lg 3lg 5b c -=<⋅-，得到b c <，再由对数函数的单调性，求得312c <<且32a >，即可求解.【详解】因为35lg 42lg 2lg83lg 2log 4,log 8lg 3lg 3lg 5lg 5b c ======，则2lg 23lg 22lg 2lg53lg 2lg3lg 2(2lg53lg3)lg 2(lg 25lg 27)0lg3lg5lg3lg5lg3lg5lg3lg5b c ⋅-⋅---=-===<⋅⋅⋅，所以b c <，又因为3255553log 5log 8log log 52<<==，所以312c <<，又由322223log 3log log 22a =>=，所以32a >，所以b<c<a .故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合A ，B 是全集U 的两个子集，A B ⊆，则（）A.A B B ⋃=B.A B B =C.B ⋃()U A =ðUD.B ()U A =∅ð【答案】AC 【解析】【分析】根据集合的包含关系，借助韦恩图对各选项进行判断.【详解】由A B ⊆，根据子集的定义，如图，对于A ，A B ⊆⇒A B B ⋃=，所以A 正确；对于B ，A B ⊆⇒A B A = ，所以B 不正确；对于C ，由韦恩图知，B ⋃()U A =ðU ，所以C 正确；对于D ，由韦恩图知，B ()U BA A =痧，所以D 不正确；故选：AC .10.若()0,απ∈，1sin cos 5αα-=，则（）A.4tan 3α=B.12sin225α=C.sin co 7s 5αα+= D.7cos225α=-【答案】ACD 【解析】【分析】由sin cos αα与sin cos αα±的关系，结合角的范围，可求得sin cos αα、，即可逐个判断.【详解】()()222sin cos sin cos 12sin cos 225αααααα+--==，∵()0,απ∈，则sin 0,cos 0α>>，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.对C ，sin cos 57αα+==，C 对；对A ，sin cos sin cos 543sin ,cos 25αααααα-+=+===，sin 4tan cos 3ααα==，A 对；对B ，24sin22sin cos 25ααα==，B 错；对D ，227cos2cos sin 25ααα=-=-，D 对.故选：ACD.11.若33x <是关于x 的不等式210x ax a ---<成立的必要条件，则a 的值可以是（）A.1B.0C.2- D.12【答案】BC 【解析】【分析】首先求出这两个不等式的解集A 、B ，根据题意可得B A ⊆，即可求出a 的取值范围.【详解】因为33x <，解得：1x <，设{}1A x x =<，设不等式210x ax a ---<的解集为B ，因为33x <是关于x 的不等式210x ax a ---<成立的必要条件，所以B A ⊆，因为210x ax a ---<，则()()110x x a +-+<⎡⎤⎣⎦，当11a +=-即2a =-，B =∅，满足题意；当11a +<-即2a <-，则11a x +<<-，所以{}11B x a x =+<<-，所以B A ⊆符合题意；当11a +>-即2a >-，则11x a -<<+，所以{}11B x x a =-<<+，因为B A ⊆，所以11a +≤，解得：0a ≤，所以20a -<≤.综上所述，a 的取值范围为：(],0-∞.故选：BC .12.在一个面积为4的直角三角形ABC 的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边AB 上，另外两个顶点分别落在AC ，BC 上，则（）A.AB 的最小值为B.AB 边上的高的最大值为2C.正方形面积的最大值为2D.ABC 周长的最小值为4+【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，可得8AC BC ⋅=，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD ；建立角A 的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C 作答.【详解】在Rt ABC △中，AC BC ⊥，142AC BC ⋅=，即有8AC BC ⋅=，对于A ，4AB =≥=，当且仅当AC BC ==时取等号，A 错误；对于B ，Rt ABC △斜边AB 边上的高82AC BC h AB AB⋅==≤，当且仅当4AB =，即AC BC ==时取等号，B 正确；对于D ，ABC 的周长4AB AC BC AC BC ++=+≥+=++，当且仅当AC BC ==时取等号，D 正确；对于C ，如图，正方形DEFG 是符合题意的Rt ABC △的内接正方形，令π(0,)2A θ∠=∈，则BFE FGC A θ∠=∠=∠=，cos ,sin sin cos DE DEAC AG GC DE BC BF FC DE θθθθ=+=+=+=+，22111(cos )(sin )(2sin cos )8sin cos sin cos AC BC DE DE θθθθθθθθ⋅=++=++=，于是28162142sin 24sin 2sin 22sin 2DE θθθθ==++++，令sin 2(0,1]t θ=∈，则44sin 2()sin 2f t t tθθ+==+在(0,1]t ∈上单调递减，1212,(0,1],t t t t ∀∈<，1212121212444()()()()(1f t f t t t t t t t t t -=+-+=--，因为1201t t <<≤，则121240,10t t t t -<-<，即有12()()0f t f t ->，12()()f t f t >，因此函数()f t 在(0,1]上单调递减，则当1t =，即π4θ=时，min ()5f t =，正方形DEFG 的面积2DE 取得最大值169，C 错误.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.第Ⅱ卷三、填空题：本大题井4小题，每小题5分，共20分.13.2223=______.【答案】9【解析】【分析】由指数运算性质化简求值.【详解】()(22222222222233393+====.故答案为：9.14.若点()cos ,sin A θθ与点ππ(cos())55B θθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=______.【答案】2π5（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式列式，即可求解作答.【详解】因为点()cos ,sin A θθ与点ππ(cos(),sin())55B θθ++关于y 轴对称，则πcos cos 5πsin sin 5θθθθ⎧⎛⎫+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，因此π()π2π,Z 5k k θθ++=+∈，解得2ππ,Z 5k k θ=+∈，取2π5θ=.故答案为：2π515.中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为54cm ，内弧线的长为18cm ，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为16cm ，则该扇环的面积为______2cm.【答案】576【解析】【分析】设该扇形內弧半径为r ，根据弧长公式可得r ，进一步求出外弧半径，最后利用扇形的面积计算公式即可求解.【详解】设该扇形內弧半径为cm r ，由弧长公式和已知可得：541618r r+=，解得：8cm r =，则外弧半径为81624cm +=，所以该扇环的面积为2115424188576cm 22⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：576.16.记{}max ,a b 表示a ，b 中较大的数.若关于x 的方程{}1max ,x x t x-=-的所有实数根的绝对值之和为6，则t 的值为______.【答案】3【解析】【分析】由题意可将原方程化为()2100x t x x -+=≠，讨论0x >和0x <，可得所有实数根的绝对值之和为6，即26t =，即可求出t 的值.【详解】由于{}1max ,x x t x-=-，所以原方程化为1x t x +=，即()2100x t x x -+=≠，当0x >时，依题意可知，方程210x tx -+=有根，设其两根分别为12,x x ，则1210x x ⋅=>，所以方程210x tx -+=有两正根12,x x ，且12x x t +=，当0x <时，同理可得，方程210x tx ++=有两负根34,x x ，且34x x t +=-，所以34x x t +=，所以26t =，解得：3t =，检验符合.故答案为：3.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()2f x x bx c =++，且()()130f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]2,5-上的取值范围.【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）[]1,15-.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.（2）利用二次函数的单调性，求出函数()f x 在给定区间上的最值作答.【小问1详解】函数()2f x x bx c =++，且()()130f f ==，则10390b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，有2()43f x x x =-+，所以()f x 的解析式是2()43f x x x =-+.【小问2详解】由（1）知，[]2,5x ∈-，函数2()(2)1f x x =--在[2,2]-上单调递减，在[]2,5上单调递增，因此min ()(2)1f x f ==-，而()()215,58f f -==，则()()max 215f x f =-=，所以()f x 在区间[]2,5-上的取值范围是[]1,15-.18.已知tan 2α=.（1）求()()πcos 2sin πcos 3πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-++的值；（2）若β为钝角，且sin 10β=，求()tan αβ-的值.【答案】（1）2-；（2）7.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简，再利用齐次式计算作答.（2）利用同角公式求出tan β，再利用差角的正切公式求解作答.【小问1详解】因为tan 2α=，所以πcos()sin tan 22sin(π)cos(3π)sin cos 1tan αααααααα+-===--++--.【小问2详解】因为β为钝角，sin 10β=，则310cos 10β===-，sin 1tan cos 3βββ==-，所以12()tan tan 3tan()711tan an 12()3αβαβαβ----===++⨯-.19.设0a >，()e e x xaf x a =+为偶函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并给予证明.【答案】（1）1a =（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义得出()()f x f x -=，即可列式解出1a =；（2）根据函数单调性的定义证明，任取1x 、[)20,x ∈+∞，当12x x <时，得出()()12f x f x <，即可证明.【小问1详解】()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，即()()e 1e e e e ex x x x x x a a f x a f x a a a ---=+=+==+⋅，即11e e x x a a a a -⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对任意x ∈R 恒成立，所以1a =；所以()e e 1xxf x =+.【小问2详解】()f x 在区间()0,∞+上单调递增．理由如下：任取1x 、()20,x ∞∈+，当12x x <时，()()()2112121212121212e e e e e e e e e e e 111e1x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++-⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由于120x x ≤<，所以12e e 0x x -<，12110ex x +->，所以()()120f x f x -<，故()()12f x f x <，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增．20.在①函数()f x 的一个零点为0；②函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π2；③函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫-⎪⎝⎭，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并给出问题的解答.问题：已知函数()()π2sin 103,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+-<<<< ⎪⎝⎭，满足______.（1）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）求使()()πf x f ≥成立的x 的取值集合.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()πππZ 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）选①②，由①可求出ϕ，由②可求出ω，即可求出()f x 的解析式；令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤+≤+∈，解不等式即可求出()f x 的单调递增区间；选①③，由①可求出ϕ，由③可求出ω，即可求出()f x 的解析式，下同选①②；选②③，由②可求出ω，由③可求出ϕ，即可求出()f x 的解析式，下同选①②；（2）因为()()πf x f ≥，所以π2sin 2106x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，解不等式即可求出答案.【小问1详解】选①②，因为函数()f x 的一个零点为0，所以()00f =，所以2sin 10ϕ-=，所以1sin 2ϕ=，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π2，所以π2π2T =⨯=，又因为03ω<<，所以2ππω=，解得：2=ω，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤+≤+∈，解得：()ππππZ 36k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.选①③，因为函数()f x 的一个零点为0，所以()00f =，所以2sin 10ϕ-=，所以1sin 2ϕ=，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以2ππ2sin 1336ω⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 136ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()2πππ2π,Z 362k k ω+=-+∈，解得：()31Z k k ω=-∈，又因为03ω<<，解得：2=ω，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下同选①②.选②③，因为函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为2π，所以π2π2T =⨯=，又因为03ω<<，所以2ππω=，解得：2=ω，因为函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以2π2sin 2133ϕ⎛⎫⨯+-=- ⎪⎝⎭，所以4πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()4ππ2π,Z 32k k ϕ+=-+∈，解得：()11π2πZ 6k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下同选①②.【小问2详解】由（1）知，()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为()()πf x f ≥，所以π2sin 2106x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以π1sin 262x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈，解得：()πππZ 3k x k k ≤≤+∈，所以使()0f x ≥成立的x 的取值集合为：()πππZ 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭21.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从()TB 1TB 1024GB =级别跃升到PB ()PB 1024TB =乃至EB()1EB 1024PB =乃至()ZB 1ZB 1024EB =级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：年份2008200920102011…2020数据量（ZB ）0.50.81.21.5…80（1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第x 年全球产生的数据量（单位：ZB ）与x 的关系，根据上述信息，从函数()f x kx b =+和()xg x ab =中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由）（2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍?（注：lg20.3≈）【答案】（1）选择()xg x ab =（2）2025【解析】【分析】（1）描点，根据图象选择；（2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算求解.【小问1详解】由题意得x 1234…13y0.50.81.21.5…80画出散点图如下：由图易得，5个点在一条曲线上，应选择()xg x ab =【小问2详解】由题意得，()()11213112116010.521380160a g ab g ab b -⎧=⨯⎪⎧==⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪=⎩，则()11211602x g x -=⨯则()1113111212121111801016010131318lg1604lg 21x g x x -≥⨯⇒≥⇒≥+=+≈+，即20081812025+-=年.预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍.22.已知函数()πcos 2f x x x =-，x ∈R .（1）求()()πf x f x -+；（2）如图所示，小杜同学画出了()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，试通过图象变换，在图中画出()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的示意图；（3）证明：函数()()π4h x f x x =+有且只有一个零点0x .【答案】（1）()()ππf x f x -+=（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）求出()πf x -，即可得出()()πf x f x -+的值；（2）由（1）知，函数()f x 的图象关于点ππ22⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，则函数()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象由对称性即可得出；（3）()()ππcos 024h x x x x =-≥，设函数())()()ππ0,cos 042g x x x u x x x =-≥=-≥，分别讨论104x ≤≤，1π4x ≤≤和πx >时，()(),g x u x 的单调性，即可求出()h x 的单调性和值域，结合零点存在性定理即可证明.【小问1详解】因为()πcos 2f x x x =-，所以()()ππππcos ππcos 22f x x x x x -=---=-+，所以()()ππππcos cos π22f x f x x x x x -+=-++-=.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 的图象关于点ππ22⎛⎫⎪⎝⎭，对称，则函数()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象如下图所示，【小问3详解】因为()()π4h x f x =-，所以()()ππcos 024h x x x x =--+≥，设函数())()()ππ0,cos 042g x x x u x x x =≥=-≥，①当104x ≤≤时，因为函数()21124g x ⎫=--⎪⎭在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()()00g x x g =-≤=，因为函数()u x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()ππππ1πππcos cos cos 042424423u x x =-≤-<-=，所以()0h x <，所以函数()h x 在区间10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦没有零点.②当1π4x ≤≤时，因为函数()21124g x ⎫=--⎪⎭在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，函数()u x 在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()h x 在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，又11π1ππ1π1πππ11cos cos 0442442442344h --⎛⎫=--=-+<-+=-⎪⎝⎭，()ππ7πππ0244h =+-+=>，根据零点存在性定理，存在唯一0x ∈1,π4⎛⎫⎪⎝⎭，使得()00h x =.③当πx >时，函数()21124g x ⎫=--⎪⎭在[]π,+∞单调递增，所以()()ππg x g >=-()πππππcos 42424u x x =-≥-=-，所以()π3ππ044h x >=>，所以函数()h x 在区间)π,+⎡∞⎣没有零点.综上，函数()()π4h x f x =+有且只有一个零点0x .。

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