第1章 质点运动学

dt y dt
vB


x y
dx dt
j
dx v, tan x
dt
y
vB

v tan
j
vvB 沿 y 轴正向, 当 60时 vB 1.73v
1-3 圆周运动 自然坐标系
平面极坐标系
确定质点在A点的位置 (1)位矢rv的大小r
(2)位矢rv与ox轴之间的夹角 ：角坐标
第1章 质点运动学
1-1 质点运动的描述
一 参考系 质点 1 参考系
物体是运动还是静止是相对而言的.
高铁上的茶杯
相对于旅客是静止的
相对于地面，旅客和茶杯是高速运动的
为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动 描述的相对性.
2 质点 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状
t 1 gt2
g2
cos2
x2
vx v0 cos vy v0 sin gt
轨迹方程
y

x tan

2v02
g
cos2
x2
(2) 射程 d0 v0xt t 2 v0 sin g
d0

2v02 g
sin
cos
y 实际路径
真空中路径
dd0 2v02 cos 2 0
又
rrBA
所以位移
r (xB

xAi yA xrBirByB
xA)i (yB
j
j rA
yA
)
j
y

yB yA
rvA A
r rvB
B
yB yA
若质点在三维空间中运动， o xA
xB x
则在直角坐标系 Oxyz 中其位
xB xA
移为

v 2tj
m
⑶ 质点在 t=2s 时的速度和加速度。
解:(1)x t 2 , y 2t. 消去t得到质点的轨迹方程为 x y2 4
((23))1ttsvv~212sssd时时 内rv 质质 的2点点 位tiv的 的 移2位位 为vj，矢矢t为为rv2s rvr时vrv212 ຫໍສະໝຸດ Baidu质4irvv点1iv的234速vjivvj度 2为vj
z
举例 分量式
xt
y 2t 2
从中消去参数 t 得轨迹方程 y 2x2
抛物线
3 位移
y

rvA A
r rvB
B
y

yB yA
rvA A
r rvB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
位移矢量是经过时间间隔△t质点的位矢 发生的变化，可由始点 A 指向终点 B 的有向
线段。rB位移矢rA量也简r称位移。 r rB rA

0
，a
g
y
解: (1)
av

gv


v gj
v0t
1 gt 2 2
vv vv0 gvt
r
x
rv(t
)

vv0t

1 2
gvt
2
抛体运动是斜向上匀速直线运动与
o
d 自由落体运动的叠加 0
x v0 cos t
消去t,则轨迹方程为
y

y v0 sin
x tan 2v02
是而不位唯移一的r,
可以是 s
是唯一的.
或 s'
（B） 一般情况, 位移
大小不等于路程.
y
s
p1
'
rs
p2
r(t1)
r(t2 )
vr s
O
z
x
（C）位移是矢量, 路程是标量.
（D）什么情况 r s？
当 t 0 时 r s
dr ds
质取点，讨的而论位它矢的位位r矢移依r赖与于r位坐则移标与系坐r的标选系
vv : 线段ab的长度
a vv b
vv(t)
vv(tc
v
t)
O
在Ob上截取 oc oa
v : 线段cb的长度
讨论
问 av a dv 吗？av dvv av dvv
dt
dt
dt
例 匀速率圆周运动
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
而 av a 0 (a v2 )
B）反映了运动的矢量
二性维和叠加r性 .xi
yj
r(t1)
O
r
r(t2 )
x P1(x1, y1)
r x2 y 2
注意 r r
P2 (x2 , y2 ) 位矢长度的变化
r x22 y22 x12 y12 r r
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程
对物体运动的影响，我们就可以把物体当作是一个只有质量的 点（即质点）来处理 .
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型 . 目的 是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考虑一些次要的因素 .
➢ 物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
地球 太阳
地—日平均间距： 1.5 ×108 km
地球半径： 6.37 × 103 km
y r(t t)
B
s r
A 运动到点 B, 其位移为


r r(t t) r(t)
A
r (t)
vt 时间间r隔=内v, x质iv点 v的y平vj 均速度
o
rv=xiv+yvj
x
t
vv

x
v i
y
v j
平均速度 vv 与 r同方向.
t t
略去空气对抛体的作用. （1）求抛体的运动方程和其 运动的轨迹方程;（2）抛体的最大射程.
y v0x v0 cos
运动方程：rv rv(t)
v v0 y
v0y
v0
v0 sviny
vv0 x
轨迹方程：y f ( x)
vv0 x
o v0x
d0
vy
x
v
已知：
v0
，r0
y
y
端点处，其速度大小为
dr （A） dt
（B）ddrt o
r(t)
x
x
（C） d r dt
注意
（D） (dx)2 (dy)2
dr
dt
dr
dt
dt dt
四 加速度 （反映速度变化快慢的物理量）
1） 平均加速度
t 时间间隔内，速度增加了vv
单位时间内的速度增
量即平均加速度
av vv
r
r
r
cos2 α cos2 β cos2 γ 1
r(t)
2

运动方程 x(t)i y(t
)
j
z
(t)k
z
y
r P
o x
y
x x(t) 分量式 y y(t)
y(t)
r(t) P
z z(t)
从中消去参数 t 得轨迹方程
o
z(t)
x(t)
x
f (x, y, z) 0
当质点做曲线运动时, 质点
在某一点的速度方向沿该点曲线
的切线方向.
vv

ds dt
evt
,
ds dt
速率 瞬时速度的大小
t 0的过程中
位移越来越接近曲线
evt 是沿切线方向的单位矢量，是变化的.
v
d
x
i
d
y
j
dt dt
y vy
v

vxi vy j
o
vx
x
若质点在三维空间中运动，其速度
P=P (x, y, z)
v i,
v j,
kv分别是x,
y,
z方向的
单位矢量
r
xi
yj
zk
位矢r的大小为 r rv
y
y
j
r
*P

z
o k
i x
xi x
z
x2 y2 z2
r 位矢 的方向余弦
cosα x ,cosβ y ,cosγ z
平均速度大小
vv
v
2 x

v
2 y

( x )2 ( y )2 t t
2 瞬时速度 (精确描述物体运动的快慢，微积分思想)
当 t 0 时平均速度的极限值是t时刻的瞬时速
度, 简称速度
vv lim rv drv t0 t dt
当 t 0 时, dr ds
R
vv(t) O vv(t dt) dvv
所以 a dv dt
1-2 求解运动学问题举例
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位
矢、速度和加速度；
rv rv(t)
vv drv
dt
av dvv dt
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可
求质点速度及其运动方程 .
dt
vv

v 4i

2
v j
m s1
av

dvv

2iv，t

2s时质点的加速度为av

v 2i
dt
例4 如图所示, A、B 两物体由一长为l 的刚性
细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行. 如物体
v A以恒定的速率 向左滑行, 当 60o 时 , 物体 B 的
速率为多少？ 解 建立坐标系如图
rv rv0 vvdt
vv vv0 avdt
rv0 , vv0 , a
例1 斜抛运动
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止 自由下落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子 ?
例1 设在地球表面附近有一个可视为质点的抛体,
以初速 v0 在 Oxy 平面内沿与 Ox 正向成 角抛出, 并
瞬时速v率：v速x度ivvv的y大j小称v为zk速率
v vv
vx2

v
2 y
vz2

( dx )2 ( dy )2 ( dz )2 dt dt dt
(dx)2 (dy)2 (dz)2 / dt ds dt
讨论 一运动质点在某瞬
时位于位矢 r(x, y) 的
凹 侧？
vA
A
aA
aB
·C
vC aC
B· vB
地球绕太阳运动，机械能守恒
近日点→远日点：引力势能增加， 动能减小，速度与加速度成钝角；
远日点→近日点：引力势能减小， 动能增加，速度与加速度成锐角；
讨论 vv v 吗？
vv:速度增量的大小 v : 速度大小的增量,速率增量
vv vv(t t) vv(t) v v(t t) v(t)
y
物体A
的速度
vvA

v vi
B
l
A
物体B 的速度
vvB vy
v j

dy dt
v j
o
v x
x2 y2 l2
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x2 y2 = l2
y
B
对时间t求导
2x dx 2 y dy 0 dt dt
l
o
A
v x
即
dy x dx
的r选取rrBAr无B关rr，rBAA如图bb(所rB示rr.BAb)

(rA

b)

rB

rA
质点的位矢与坐标系原点的选取有关，而位移与坐标系 原点的选取无关.
三 速度 1 平均速度 (运动快慢的粗略描述)
在t 时间内, 质点从点
(r, ) 确定，则A点的位置确定
y

o
A A(x, y)
r
x
以 (r, ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
它与直角坐标系之间的变换关系为
x r cos y r sin
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
质点作三维运动时加速度为
av

v axi

ay
v j

v azk
加速度大小
ax2 a2y
ax
ax

dvx dt

d2x dt 2
ay

dvy dt

d2 y dt 2
a ax2 ay2 az2
az

dvz dt

d2z dt 2
思考: 一质点作平面曲线运动,加速度方向始终指向曲线轨道
av
与
vv
t
同方向
.
2）（瞬时）加速度
av lim vv dvv t0 t dt
y vvA
vvB
B
A
O
x
vvA
vv
vvB
av

dvv dt

d dt

drv dt


d 2rv dt 2

dvx
v i
dvy
v j
dt dt
ay
加速度大小 a lim v t0 t
d g
π 4
o
d d0
x
最大射程 d0m v02 g
实际射程小于最大射程
课本 例2、例3 自学
课堂练习： 运动方程为
有一rv 质t2点iv在2tOvj -(xSmIy)平.试面求运：动，质点的
⑴ 质点的轨迹方程；
⑵ 质点在 t=1s 到t=2s 间的位移；
rv

t
2
v i
3 坐标系
为了定量地描述质点的位置和位置随时间的变化，应
该在参考系上建立一个固定的坐标系，最常用的是直角
坐标系。
z
(x,y,z)
k
r


j
i0
y
x

e
er
r
P

0
x
z
P
r

y
x
0
A
A nA
B B
nB
s>0
s<0
二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
在时刻t, 描述质点P在 坐标系里的位置的物理量称 为位置矢量, 简称位矢。
r
(xB

xA)i
(
yB

yA
)
j
(zB

z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
4 路程（s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
位移的物理意义
A) 确切反映物体在空 间位置的变化, 与路径无关，
y
(
x1, y1
P1
)rs
(x2 , y2 )
P2
只决定于质点的始末位置.