计算100题(勾股定理、二次根式、不等式)
二次根式2022年广州数学八年级下学期常规版期末汇编
二次根式2022年广州数学八年级下学期常规版期末汇编1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A．√0.5B．√8C．√15D．√242.若二次根式√a−2在实数范围内有意义，则a的取值范围为( )A．a>2B．a<2C．a≤2D．a≥23.计算：2√7−√63=．⋅√18．4.计算：(−2√5)2+2√3−√(−7)2−√325.下列式子一定是二次根式的是( )A．√(−1)3B．√(−1)2C．√−1D．√1−π6.若√a−3+∣b−4∣+(c−5)2=0，则以a，b，c为边长的△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7.若最简二次根式√x−1与√2是同类二次根式，则x的值为．3．8.计算：(√5+2)⋅(√5−2)−(π−3.14)0+√8+√279.下列是最简二次根式的为( )C．√8D．√3a3（a>0）A．√3B．√13有意义，则实数x的取值范围是( )10.若代数式√x+1(x−2)2A．x>1B．x≠2C．x≥1且x≠2D．x≥−1且x≠211.已知√x2−10x+25=5−x，则x的取值范围是( )A．为任意实数B．0≤x≤5C．x≥5D．x≤512.计算：√12−√3=．13.若已知a，b为实数，且√a−5+2√10−2a=b+4，则a+b=．14.计算（结果用根号表示）：(1) (√3+2)(√3−3)；(2) (√5−2)2+5√10÷√2−9．15.若√2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A．x≥0B．x≥12C．x≠12D．x>1216.下列二次根式中，与−5√2是同类二次根式的是( )A．√18B．√0.2C．√20D．√3217.化简：√(3−π)2=．18.计算：(1) √27−2√3+2√12．(2) √20×√32+√8．19.已知实数x，y满足∣x−√3+1∣+√y−2=0．(1) 求x，y的值；(2) 求代数式x2+2x−3y的值．20.如果1≤a≤√2，则√a2−4a+4+∣a−1∣的值是( )A．1B．−1C．2a−3D．3−2a21.若二次根式√12−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．22.完成下列运算：(1) 计算：√36−√16+√122；(2) 计算：(√48−√27)÷√3；(3) 计算：(2√3−1)2−(√3+2)(2√3−1)．23.计算：√b5÷√b20a2=( )(a>0,b>0)A ．b 10aB ．10a bC ． 2aD ． 2a 224. 当 a 满足条件 ( ) 时，式子 √a +3 在实数范围内有意义． A ． a <−3 B ． a ≤−3 C ． a >−3 D ． a ≥−325. 计算：(√3+√21)(√21−√3)．26. 计算：(1) √45−√20+√5（结果保留根号）．(2) √8a ⋅√18ab （a >0，b >0）（结果保留根号）．27. 下列各式中，是最简二次根式的是 ( ) A ． √13B ． √20C ． √100D ． √228. 要使 √x −2 在实数范围内有意义，x 应满足的条件是 ( ) A ． x =2 B ． x ≠2 C ． x ≥2 D ． x ≤229. 计算：√18−√2= ( ) A ． 3B ． √2C ． 2√2D ． 4√230. √2×√6= ．31. 化简：(3+√2)2．32. 下列各式中，能与 √2 合并的二次根式是 ( ) A ． √3 B ． √8 C ． √5 D ． √633. 若二次根式 √x −1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．34. 计算：(13)−1×(√3−√2)0+√27−∣−√3∣．35. 若使二次根式 √x +2 实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．36. 计算：(1) √2+√8−6√12．(2) (√5−√2)2+2√20÷√2．37.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A．√12B．√11C．√27D．√a338.若a，b都是实数，b=√1−2a+√2a−1−2，则a b的值为．39.计算：(1) √27−√12+√13+√83；(2) (2√3+√15)(√15−2√3)．40.下列计算正确的是( )A．√16=±1B．√(−5)2=−5C．(5√2)2=10D．√32=341.计算√45−√20的结果是( )A．25B．2√5C．√5D．542.若式子√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．43.计算：(√12+√6)(√12−√6)+(√48−√27)÷√3．44.如图，每个小正方形的边长都为1．(1) 求四边形ABCD的周长；(2) 求∠BCD的大小．45.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A．√25B．√7C．√13D．√1246.若式子√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．47.请回答下列各题：(1) 计算：(√3+5)(√3−5)．(2) 计算√12+√279−√13．48.代数式√x−2在实数范围内有意义，实数x取值范围是( )A．x>2B．x≥2C．x>0D．x≥0 49.下列计算结果，正确的是( )A．√2+√3=√5B．3√2−√2=3C．√2×√3=√6D．√62=√350.已知a=√3+1，b=√3−1，则a2−b2a+b的值是51.计算．(1) 2√12+√27．(2) √3×√5√30．52.下列各式计算正确的是( )A．√22=±2B．(√5+√2)(√5−√2)=3C．√(−2)2=−2D．√(−4)×(−9)=√−4×√−953.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简∣a∣+√(a−1)2的结果为( )A．1B．−1C．1−2a D．2a−1 54.计算：√18÷√2=．55.等式√a+13−a =√a+1√3−a成立的条件是．56.计算：(1) 2√18−√32+√2．(2) (3+√2)×(√2−5)．57.式子√x−3在实数范围内有意义，那么( )A．x>−3B．x>3C．x≥−3D．x≥358.计算：√28−√63．（结果用根号表示）59.化简：2√27ab3√3a3ba>0,b>0)．60.使代数式√x−1有意义的x的取值范围是．61.计算：(√12+√6)(√12−√6)+(√48−√27)÷√3．62.(√3)2的计算结果是( )A．2√3B．9C．6D．3 63.在下列计算中，正确的是( )A．√18−√2=2√2B．√(−1)2=−1C．√5×√2=√7D．√419=21364.若二次根式√x−5有意义，则x的取值范围是．65.计算：√24÷√3−√12×√10+√20．66.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A．√25B．√7C．√13D．√12 67.下列运算正确的是( )A．√(−2)2=−2B．(2√3)2=6C．√2+√3=√5D．√2×√3=√668.若√x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围为．69.解答下列各题：(1) 计算：√2×√6+(√2)2．√3(2) 解方程：x2−2x−3=0．70.式子√x−3在实数范围内有意义，那么( )A．x>−3B．x>3C．x≥−3D．x≥371.计算：√28−√63（结果用根号表示）．a>0,b>0)．72.化简：2√27ab3√3a3b73.若√8与最简二次根式√a+1是同类二次根式，则a的值为( )A．7B．9C．2D．1 74.下列各式中，运算正确的是( )A．√(−2)2=−2B．√2+√8=√10C．√2×√8=4D．2−√2=√275.当二次根式√3x−9的值最小时，x=．76.回答下列问题．√2(6−√2)；(1) 计算：√32+√24√3(2) 解方程：x2−2x−3=0．77.下列各式计算正确的是( )A．√22=±2B．(√5+√2)(√5−√2)=3C．√(−2)2=−2D．√(−4)×(−9)=√−4×√−978.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简∣a∣+√(a−1)2的结果为( )A．1B．−1C．1−2a D．2a−1 79.计算：√8÷√2=．80.等式√a+13−a =√a+1√3−a成立的条件是．81.计算：(1) 2√18−√32+√2；(2) (3+√2)×(√2−5)．82.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A．√25B．√7C．√13D．√1283.若式子x+√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．84.请回答：(1) 计算：(√3+5)(√3−5)．(2) 计算√12+√279−√13．85.二次根式√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围为．86.计算：(1) √2+√8−6√12．(2) (√5−√2)2+2√20÷√2．87.要使二次根式√x−2有意义，x必须满足( )A．x≤2B．x≥2C．x>2D．x<288.化简√2xy⋅√8y=( )A．4y√x B．16y√x C．4x√y D．16x√y89.计算：(√2+1)(√2−1)=．90.(1) 计算：(√5+√2)×√5．(2) 计算：32√4x−6√x9．91.如果1≤a≤√2，则√a2−4a+4+∣a−1∣的值是( )A．1B．−1C．2a−3D．3−2a92.若二次根式√12−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．93.完成下列运算．(1) 计算：√36−√16+√122；(2) 计算：(√48−√27)÷√3；(3) 计算：(2√3−1)2−(√3+2)(2√3−1)．94.计算：√b5÷√b20a2=( )（a>0，b>0）．A．b10a B．10abC．2a D．2a295.计算：(1) √45−√20+√5（结果保留根号）．(2) √8a⋅√18ab(a>0,b>0)（结果保留根号）．96.计算：(√3+√21)(√21−√3)．97.若使二次根式√x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A．x≥3B．x>0C．x>−3D．x≥−3 98.下列选项中，属于最简二次根式的是( )A．√12B．√4C．√10D．√899.下列运算正确的是：( )A．√2+√3=√5B．√8÷√2=2C．2√2×3√2=6√2D．3√2−√2=3100.计算：(1) (2√3+1)(√3−1)；−√16a．(2) 6√a9101.下列是最简二次根式的为( )C．√8D．√3a3(a>0) A．√3B．√13102.若代数式√x+1有意义，则实数x的取值范围是( )(x−2)2A．x>1B．x≠2C．x≥1且x≠2D．x≥−1且x≠2103.已知√x2−10x+25=5−x，则x的取值范围是( )A．为任意实数B．0≤x≤5C．x≥5D．x≤5 104.若已知a，b为实数，且√a−5+2√10−2a=b+4，则a+b=．105.计算（结果用根号表示）：(1) (√3+2)(√3−3)；(2) (√5−2)2+5√10÷√2−9．106.下列各式中，不是最简二次根式的是( )A．√8B．√5C．√3D．√2107.下列计算正确的是( )A．√8+√2=√10B．√8−√2=√2C．√8×√2=√16D．√8÷√2=√4 108.若√x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是．109.计算：(1) √3−√12+√27；(2) (√18−√8)÷√2．110.下列各式成立的是( )A．(√32)2=3B．√(−2)2=−2C．√(−7)2=7D．√x2=x111.当1<a<2时，代数式√(a−2)2+∣1−a∣的值是( )A．−1B．1C．2a−3D．3−2a112.计算(√27−√12)÷√3=．113.计算（结果用根号表示）．(1) 7√2+3√8−4√18；(2) (2√3+1)(√3−1)+(√3+2)2．114.下列式子中，属于最简二次根式的是( )C．√0.3D．√7A．√12B．√23115.下列计算错误的是( )A．3+2√2=5√2B．√8÷2=√2C．√2×√3=√6D．√8−√2=√2116.若二次根式√x−2有意义，则x的取值范围是．117.计算：(1) (√3−5)2；(2) √54a+√5b−√20b−3√6b．118.已知：a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有√(a−3)2+(b−2)2=0，求直角三角形的斜边长．119.计算√8×√2的结果是( )A．√10B．4C．8D．±4120.(1) 计算：√8−√2；(2) 化简：9√2x2（x>0）．√27121.下列二次根式中，最简二次根式是( )B．√0.3C．√3D．√20A．√13122.下列各式成立的是( )A．√(−3)2=−3B．√2+√5=√7C．−√(−3)2=3D．√2⋅√5=√10123.式子√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．124.计算：(√8−2√6)×√2+4√3．125.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )D．√12A．√25B．√7C．√3126.化简：(√12)2=．127.计算：(1) √18−√32+√2；(2) (√5+2)(√5−2)−(√3)2．128.点A在数轴上，点A所表示的数为√3，把点A向右平移1个单位得到的点所表示的数为m，把点A向左平移1个单位得到的点所表示的数为n．(1) 直接写出m，n的值；m=，n=．(2) 求代数式m2+n2−3mn的值．m+n在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )129.式子√x−2A．x≤2B．x<2C．x>2D．x≥2130.下列计算正确的是( )A．√6−√3=√3B．√6÷√3=√2C．√(−3)2=−3D．√9=±3131.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√a2−√b2+√(a−b)2=．132.计算：(√7+√5)(√7−√5)+(√27−√12)÷√3．答案1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】−√74. 【答案】原式=20+2√3−7−3√3 =13−√3.5. 【答案】B6. 【答案】B7. 【答案】38. 【答案】原式=(√5)2−22−1+2√2+3 =5−4−1+2√2+3=2√2+3.9. 【答案】A【解析】A 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B 、被开方数含分母，故B不符合题意；C 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；D 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．10. 【答案】D【解析】由题意得，x+1≥0且(x−2)2≠0，解得x≥−1且x≠2．11. 【答案】D【解析】∵√x2−10x+25=√(x−5)2=5−x，∴5−x≥0，解得：x≤5．12. 【答案】√3【解析】√12−√3=2√3−√3=√3．13. 【答案】1【解析】由题意得：{a −5≥0,10−2a ≥0,解得：a =5，则 b +4=0，b =−4，a +b =5−4=1．14. 【答案】(1)原式=3−√3+2√3−6=√3−3. (2)原式=5−4√5+4+5√5−9=√5.15. 【答案】B16. 【答案】A17. 【答案】 π−318. 【答案】(1) 原式=3√3−2√3+6√3=7√3.(2) 原式=√20×32×18=4√5.19. 【答案】(1) ∵∣x −√3+1∣+√y −2=0，∴x −√3+1=0，y −2=0，解得 x =√3−1，y =2；(2) 把 x =√3−1，y =2 代入x 2+2x −3y =(√3−1)2+2(√3−1)−6=4−2√3+2√3−2−6=−4.20. 【答案】A【解析】 ∵1≤a ≤√2，∴√a 2−4a +4+∣a −1∣=2−a +a −1= 1.21. 【答案】x<2【解析】∵二次根式√12−x在实数范围内有意义，∴2−x>0，解得：x<2．22. 【答案】(1) 原式=6−4+√3=2+√3;(2) 原式=√48÷3−√27÷3 =4−3=1;(3) 原式=12−4√3+1−(6−√3+4√3−2) =13−4√3−4−3√3=9−7√3.23. 【答案】C【解析】原式=√b5÷b20a2=√b5⋅20a2b=√4a2=2a.24. 【答案】D【解析】根据题意知，要使√a+3在实数范围内有意义，则a+3≥0，解得：a≥−3．25. 【答案】原式=(√21)2−(√3)2=21−3=18.26. 【答案】(1) 原式=3√5−2√5+√5=2√5．(2) 原式=√8a⋅18ab=√a2b=a√b．27. 【答案】D【解析】A、√13=√33，故原式不是最简二次根式；B、√20=2√5，故此选项不合题意；C、√100=10，故此选项不合题意；D、√2是最简二次根式；【解析】根据题意得，x−2≥0，解得x≥7．29. 【答案】C【解析】原式=3√2−√2=2√2.30. 【答案】2√3【解析】√2×√6 =√2×6 =√12=2√3.31. 【答案】原式=32+2×3×√2+(√2)2 =9+6√2+2=11+6√2.32. 【答案】B【解析】A、√3不能与√2合并，故本选项不符合题意；B、√8=2√2，能与√2合并，故本选项符合题意；C、√5不能与√2合并，故本选项不符合题意；D、√6不能与√2合并，故本选项不符合题意．33. 【答案】x≥1【解析】∵式子√x−1在实数范围内有意义，∴x−1≥0，解得x≥1．34. 【答案】原式=3×1+3√3−√3=3+2√3.35. 【答案】x≥−2【解析】由二次根式有意义的条件可知，x+2≥0，解得x≥−2．36. 【答案】(1) 原式=√2+2√2−3√2=0.(2) 原式=5−2×√5×√2+2+2√10 =5−2√10+2+2√10=7.【解析】 √12=√22，A 不是最简二次根式；B ，√11 是最简二次根式；√27=3√3，C 不是最简二次根式；√a 3=a √a ，D 不是最简二次根式．38. 【答案】 4【解析】 ∵b =√1−2a +√2a −1−2，∴1−2a =0，解得：a =12，则 b =−2，故 a b =(12)−2=4．39. 【答案】(1) 原式=3√3−2√3+√33+2=43√3+2.(2) 原式=(√15+2√3)(√15−2√3)=(√15)2−(2√3)2=15−12=3.40. 【答案】D41. 【答案】C【解析】 √45−√20=3√5−2√5=√5．42. 【答案】 x ≥1【解析】 ∵ 式子 √x −1 在实数范围内有意义，∴x −1≥0，解得 x ≥1．43. 【答案】 原式=12−6+(4√3−3√3)÷√3=6+√3÷√3=6+1=7.44. 【答案】(1) 由勾股定理得：DC =√22+12=√5，BC =√42+22=2√5，AD =√42+12=√17，AB =√52+12=√26，∴四边形ABCD的周长为AB+BC+cd+ad=√26+2√5+√5+√17=√26+3√5+√17．(2) 连接BD，由勾股定理得：BD=√42+32=5，∵DC=√5，BC=2√5，∴DC2+BC2=BD2，∴∠BCD=90∘．45. 【答案】B46. 【答案】x≥1【解析】∵式子√x−1在实数范围内有意义，∴x−1≥0，解得x≥1．47. 【答案】(1)(√3+5)(√3−5) =(√3)2−52=3−25=−22.(2)√12+√279−√13=2√3+3√39−√33 =2√3+√33−√33 =2√3.48. 【答案】A【解析】由分数和二次根式有意义条件得：x−2>0，x>2．49. 【答案】C50. 【答案】2【解析】a 2−b2a+b =(a+b)(a−b)a+b=a−b，当a=√3+1，b=√3−1时，a−b=(√3+1)−(√3−1)=2，∴原式的值为2．51. 【答案】(1)2√12+√27 =4√3+3√3 =7√3.(2)√3×√5√30 =√45030 =15√230 =√22.52. 【答案】B53. 【答案】A【解析】∵由数轴可知，0<a<1，∣a∣=a，a−1<0，∴∣a∣+√(a−1)2=a+∣a−1∣=a+1−a= 1.54. 【答案】3【解析】∵√18=3√2，∴√18÷√2=3．55. 【答案】a≥−1且a≠3【解析】3−a≠0，则a≠3，a+1≥0，则a≥−1，所以a≥−1且a≠3．56. 【答案】(1)2×3√2−4√2+√2 =2√2+√2=3√2.(2) 3√2−3×5+2−5√2=−2√2−13．57. 【答案】D【解析】式子√x−3在实数范围内有意义，故x−3≥0，则x的取值范围是：x≥3．58. 【答案】原式=2√7−3√7=−√7.59. 【答案】∵a>0，b>0，∴3ba>0，∴2√27ab3√3a3b=2√27ab33a3b=2√9b2a2=2√(3ba ) 2=2×3ba=6ba.60. 【答案】x≥1【解析】因为√x−1有意义，所以x−1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．61. 【答案】原式=(12−6)+(4√3−3√3)÷√3 =6+1=7.62. 【答案】D63. 【答案】A64. 【答案】x≥565. 【答案】原式=2√6÷√3−√22×√10+2√5 =2√2−√5+2√5=2√2+√5.66. 【答案】B67. 【答案】D68. 【答案】x≥6(1) 原式=√12+2−2√3=2√3+2−2√3=2(2) ∵a=1，b=−2，c=−3，∴Δ=b2−4ac=4+12=16∴x=−b±√b2−4ac2a =2±√162=2±42，解得x1=2+42=3，x2=2−42=−1．70. 【答案】D71. 【答案】√28−√63 =2√7−3√7 =−√7.72. 【答案】2√27ab3√3a3b =√3ba√3ab=6ba．73. 【答案】D74. 【答案】C75. 【答案】376. 【答案】(1) 原式=4√2+2√2−6√2+2=2.(2) (x−3)(x+1)=0.x1=3,x2=−1.77. 【答案】B78. 【答案】A79. 【答案】280. 【答案】−1≤a<3(1) 2√18−√32+√2=6√2−4√2+√2=3√2．(2) (3+√2)×(√2−5)=3√2−15+2−5√2=−2√2−13．82. 【答案】B【解析】A 、 √25=5，故此选项错误；B 、 √7 是最简二次根式，故此选项正确；C 、 √13=√33，故此选项错误； D 、 √12=2√3，故此选项错误．83. 【答案】 x ≥1【解析】由题意，得 x −1≥0，解得 x ≥1．84. 【答案】(1) 原式=3−25=−22.(2)原式=2√3+√33−√33=2√3.85. 【答案】 x ≥−2【解析】 ∵ 二次根式 √x +2 在实数范围内有意义，∴x +2≥0，解得 x ≥−2．86. 【答案】(1) 原式=√2+2√2−3√2=0．(2) 原式=5−2√10+2+2√20÷2=7−2√10+2√10=7．87. 【答案】B【解析】根据题意得：x −2≥0，解得：x ≥2．88. 【答案】A【解析】 √2xy ⋅√8y =√2xy ⋅8y=√16xy 2=4y √x.89. 【答案】 1【解析】 (√2+1)(√2−1)=(√2)2−1=1．90. 【答案】(1) 原式=5+√5×2=5+√10.(2) 原式=3√x−2√x=√x.91. 【答案】A【解析】∵1≤a≤√2，∴√a2−4a+4+∣a−1∣=2−a+a−1= 1.92. 【答案】x<2【解析】∵二次根式√12−x在实数范围内有意义，∴2−x>0，解得：x<2．93. 【答案】(1) 原式=6−4+√3=2+√3.(2) 原式=√48÷3−√27÷3 =4−3=1.(3) 原式=12−4√3+1−(6−√3+4√3−2) =13−4√3−4−3√3=9−7√3.94. 【答案】C【解析】原式=√b5÷b20a2=√b5⋅20a2b=√4a2=2a.95. 【答案】(1) 原式=3√5−2√5+√5=2√5.(2) 原式=√8a⋅18ab=√a2b=a√b.96. 【答案】原式=(√21)2−(√3)2=21−3=18.97. 【答案】D98. 【答案】C99. 【答案】B【解析】√2+√3不能合并，故选项A错误；√8÷√2=√4=2，故选项B正确；2√2×3√2=12，故选项C错误；3√2−√2=2√2，故选项D错误．100. 【答案】(1) 原式=2√3×√3−2√3+√3−1 =6−2√3+√3−1=5−√3.(2) 原式=6×√a3−4√a=2√a−4√a=−2√a.101. 【答案】A 102. 【答案】D 103. 【答案】D 104. 【答案】1 105. 【答案】(1) 原式=3−√3+2√3−6=√3−3.(2) 原式=5−4√5+4+5√5−9 =√5.106. 【答案】A【解析】A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 A 符合题意；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B 不符合题意；C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 不符合题意．107. 【答案】B【解析】A、原式=2√2+√2=3√2，∴A选项错误；B、原式=2√2−√2=√2，∴B 选项正确；C、原式=√8×2=√16=4，∴C 选项错误；D、原式=√8÷2=√4=2，∴D选项错误．108. 【答案】x≥3109. 【答案】(1) 原式=√3−2√3+3√3=2√3.(2) 原式=√9−√4=3−2=1.110. 【答案】C111. 【答案】B【解析】∵1<a<2，∴1−a<0，a−2<0．∴原式=∣a−2∣+∣1−a∣=−(a−2)−(1−a)=1．112. 【答案】1113. 【答案】(1)7√2+3√8−4√18 =7√2+6√2−12√2 =√2.(2)(2√3+1)(√3−1)+(√3+2)2 =6−2√3+√3−1+7+4√3=12+3√3.114. 【答案】D115. 【答案】A116. 【答案】x ≥2117. 【答案】(1)原式=3−10√3+25=28−10√3. (2)原式=3√6a +√5b −2√5b −3√6b =3√6a −(√5+3√6)b.118. 【答案】∵√(a −3)2+(b −2)2=0，∴a −3=0，b −2=0，解得：a =3，b =2，①以 a 为斜边时，斜边长为 3；②以 a ，b 为直角边时，斜边长：√32+22=√13，综上所述，即直角三角形的斜边长为 3 或 √13．119. 【答案】B120. 【答案】(1) √8−√2=2√2−√2=√2；(2) 9√2x 2√27x >0)=√2x 3√3=√6x ．121. 【答案】C122. 【答案】D123. 【答案】x ≥1124. 【答案】(√8−2√6)×√2+4√3=√16−2√12+4√3=4−4√3+4√3=4.125. 【答案】B【解析】A 、 √25=5，不合题意；B 、 √7 为最简二次根式，符合题意；C 、 √3=√33，不合题意； D 、 √12=2√3，不合题意．126. 【答案】12 【解析】(√12)2=12．127. 【答案】(1) 原式=3√2−4√2+√2=0; (2) 原式=5−4−3=−2.128. 【答案】(1) m =√3+1，n =√3−1．(2) 原式=√3+1)2√3−1)2√3+1)(√3−1)√3+1+√3−1=2√3=√33.129. 【答案】C【解析】∵ 式子√x−2 在实数范围内有意义， ∴ x −2>0，解得：x >2．130. 【答案】B【解析】A 、 √6 和 √3 不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；B 、 √6÷√3=√2，故原题计算正确；C 、 √(−3)2=3，故原题计算错误；D 、 √9=3，故原题计算错误．131. 【答案】−2a【解析】依题意得：a <0<b ，所以 √a 2−√b 2+√(a −b )2=−a −b +b −a =−2a ．132. 【答案】原式=7−5+(√27÷3−√12÷3)=7−5+3−2=3.。
2022-2023学年人教版八年级数学下册阶段性(二次根式+勾股定理)综合练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册阶段性（二次根式+勾股定理）综合练习题（附答案）一、选择题（共36分）1．下列式子不是二次根式的是（）A．B．C．D．2．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．3，5，9B．4，6，8C．1，，2D．3．的化简结果为（）A．25B．5C．﹣5D．﹣254．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．B．C．D．6．下列二次根式中，与可以合并的是（）A．B．C．D．7．计算3﹣2的结果是（）A．B．2C．3D．68．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．﹣+1C．D．﹣19．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m10．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C．D．11．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，边BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14B．16C．20D．2812．已知，则的值为（）A．B．±2C．±D．二、填空题（共18分）。
13．使有意义的x的取值范围是．14．已知Rt△ABC两直角边长为5，12，则斜边长为．15．计算：5÷×所得的结果是．16．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．17．若y＝，则x+y＝．18．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝．三、解答题（共46分）19．计算：（1），（2）．20．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝12，BC＝10，DB＝6．（1）求CD的长．（2）求AB的长．21．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）22．如图，在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4，BC＝13，DC＝12，求四边形ABCD 的面积．23．已知a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由．24．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a＝，求4a2﹣8a﹣3的值．参考答案一、选择题（共36分）1．解：A、是二次根式，故本选项不符合题意；B、是二次根式，故本选项不符合题意；C、是二次根式，故本选项不符合题意；D、不是根式，故本选项符合题意．故选：D．2．解：A、∵3+5＝8＜9，∴不能组成三角形，故A不符合题意；B、∵42+62＝52，82＝64，∴42+62≠82，∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+（）2＝4，22＝4，∴12+（）2＝22，∴能组成直角三角形，故C符合题意；D、∵（）2+（）2＝8，（）2＝6，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．3．解：＝5．故选：B．4．解：因为＝＝2，因此不是最简二次根式．故选：B．5．解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝6×2＝12，所以B选项错误；C、原式＝＝2，所以C选项准确；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：C．6．解：A、＝＝2，与不能合并，本选项不符合题意；B、＝，与可以合并，本选项符合题意；C、＝＝3，与不能合并，本选项不符合题意；D、＝＝，与不能合并，本选项不符合题意；故选：B．7．解：原式＝（3﹣2）＝．故选：A．8．解：图中直角三角形的两直角边为1，2，∴斜边长为＝，那么﹣1和A之间的距离为，那么a的值是：﹣1，故选：D．9．解：如图：∵BC＝8米，AC＝6米，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AB＝10米，∴这棵树在折断之前的高度是18米．故选：A．10．解：根据被开方数非负数得，﹣＞0，解得a＜0，﹣a＝＝．故选：A．11．解：∵矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝＝6，由平移的性质可知：五个小长方形的周长和＝2×（AB+BC）＝2×14＝28．故选：D．12．解：∵，∴（x+）2＝7∴x2+＝5（x﹣）2＝x2+﹣2＝5﹣2＝3，x﹣＝±．故选：C．二、填空题（共18分）。
计算100题(勾股定理、二次根式、不等式)
1 _______; 2 _______; 3 _______; 4 _______; 5 _______; 6 _______; 7 _______; 8 _______; 9 _______; 10 ______; 11 _______; 12 _______; 13 _______; 14 _______; 15 _______; 16 _______; 17 _______; 18 _______; 19 _______; 20 _______; 21 _______; 22 _______; 23 _______; 24 _______; 25 _______; 26 _______; 27 _______; 28 _______; 29 _______; 30 _______; 31 _______; 32 _______; 33 _______; 34 _______; 35 _______; 36 _______; 37 _______; 38 _______; 39 _______; 40 _______; 41 _______; 42 _______; 43 _______; 44 _______; 45 _______; 46 _______; 47 _______; 48 _______; 49 _______; 50 _______; 51 _______; 52 _______; 53 _______; 54 _______; 55 _______; 56 _______; 57 _______; 58 _______; 59 _______; 60 _______; 61 _______; 62 _______; 63 _______; 64 _______; 65 _______; 66 _______; 67 _______; 68 _______; 69 _______; 70 _______; 71 _______; 72 _______; 73 _______; 74 _______; 75 _______; 76 _______; 77 _______; 78 _______; 79 _______; 80 _______; 81 _______; 82 _______; 83 _______; 84 _______; 85 _______; 86 _______; 87 _______; 88 _______; 89 _______; 90 _______; 91 _______; 92 _______; 93 _______; 94 _______; 95 _______; 96 _______; 97 _______; 98 _______; 99 _______; 100 _______;
二次根式和勾股定理综合题(含答案)
A ． a = -B ． a =C ．a=1D ．a= —1二次根式和勾股定理测试卷（时间 90 分钟）（满分 100 分）（仔细审题，认真思考，希望同学们取得优异成绩！）题号一 二 三 总分得分一、选择题：（每题 3 分，共 30 分）（每题只有一个正确答案，请将正确答案序号填入下表）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案1．若 3 - m 为二次根式，则 m 的取值为（ ）A ．m≤3B ．m ＜3C ．m≥3D ．m ＞32．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A ． 48B ． 14C ．aD ． 4a + 4b3．化简二次根式 (-5) 2 ⨯ 3 得 （）A ． - 5 3B ． 5 3C ． ± 5 3D ．304．若最简二次根式 1 + a 与 4 - 2a 的被开方数相同，则 a 的值为 （）34435 . 化简 8 - 2 ( 2 + 2) 得 （ ）A ．—2B ． 2 - 2C ．2D ． 4 2 - 26. 三角形的三边长为 (a + b ) 2 = c 2 + 2ab ,则这个三角形是()（A ） 等边三角形（B ） 钝角三角形（C ） 直角三角形（D ） 锐角三角形.2520C7. 已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）（A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7 或 258. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）724252420 2425 2072420157 15(A)7(B)1515 (C)25 (D)9. 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm ，另一直角边长为 6 cm ，则它的斜边 长（ ）（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm （D ）12 cm10.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地 .已知∠C=90°，AC=30 米，AB=50 米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 a 元计算，那么共需要资金（）.（A ）50 a 元（B ）600 a 元（C ）1200 a 元（D ）1500 a 元二、填空题：（每题 4 分，共 32 分）（请将每题正确答案填在下列对应横线上）11.___________ 12.___________ 13.____________ 14._____________15.___________ 16.___________ 17.____________ 18._____________AS 3S 211. 如图所示，以 Rt ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为 S , S , S ,且 S = 4, S = 8, 则S =；123123B S1 CA12 如图， ∠C = ∠ABD = 90︒ , AC = 4, BC = 3, BD = 12 ,则 AD=；BD13 、 若 三 角 形 的 三 边 满 足 a : b : c = 5:12:13 ， 则 这 个 三 角 形 中 最 大 的 角为 ；x - 3 有意义的条件是18．计算 a 3( )( )()14、一艘小船早晨 8：00 出发，它以 8 海里/时的速度向东航行，1 小时后，另 一艘小船以 12 海里/时的速度向南航行，上午 10：00，两小相距 海里。
初二勾股定理练习题电子版
初二勾股定理练习题电子版1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，请问斜边长多少？解答：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和。
设斜边长为c，根据公式可得：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25所以，斜边长c为5cm。
2. 在直角三角形ABC中，已知斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，请问另一条直角边长多少？解答：同样根据勾股定理，设另一条直角边长为a，可得：a² + 6² = 10²a² + 36 = 100a² = 100 - 36a² = 64所以，另一条直角边长a为8cm。
3. 已知直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，请问斜边长多少？解答：根据勾股定理，设斜边长为c，可得：c² = 5² + 12²c² = 25 + 144c² = 169所以，斜边长c为13cm。
4. 在直角三角形XYZ中，已知斜边长为15cm，一条直角边长为9cm，请问另一条直角边长多少？解答：根据勾股定理，设另一条直角边长为b，可得：b² + 9² = 15²b² + 81 = 225b² = 225 - 81b² = 144所以，另一条直角边长b为12cm。
5. 若直角三角形的两条直角边分别为xcm和ycm，斜边长为zcm，根据勾股定理，我们可以得到一个关系式，即x² + y² = z²。
请用这个关系式回答以下问题：(1) 如果x=5cm，y=12cm，求z的值。
解答：根据关系式x² + y² = z²，代入x、y的值可得：5² + 12² = z²25 + 144 = z²169 = z²所以，z的值为13cm。
二次根式与勾股定理
图5
例 7 如图 6，在 △ABC 中， AB AC 2 ， BC 边上有 100 个不同的点 P1，P2，…，P100 ，
记 mi APi 2 BPi PiC(i 1,2,，100），求 m1 m2 … m100 的值．
A
B Pi D
C
图6
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二次根式
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专注个性化教育
5、勾股定理及其逆定理的应用（重点）
①用于求线段的长；②用于求角的度数；③用于求面积；④用于判定三角
C
形的形状；⑤用于证明两线段垂直；⑥用于证明几条线段间的等量关系；
⑦用于求值 B
6、“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图
DA
形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角
例 5 如图 4，正方形 ABCD中， AE BE，AF 1 AD ，求证： CE EF ． 4
AF
D
E
B
C
图4
用于证明几条线段间的等量关系 例 6 如图 5，在△ABC 中， BAC 90，AB AC ， D 是 BC 上的点． 求证： BD2 CD2 2AD2 ．
A
用于求值
B
E
D
C
60
2
D
1 30
B
C
E
图3
用于判定三角形的形状
例 4 若 三 角 形 的 三 条 边 a，b，c 满 足 关 系 式 a4 b2c2 a2c2 b4 0 ， 则 此 三 角 形 形 状
是
．
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变式：若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。
初二数学二次根式试题答案及解析
初二数学二次根式试题答案及解析1.（6分）化简：（＋）－（＋6）÷．【答案】．【解析】分别利用二次根式的乘除运算法则化简，进而合并得出即可．试题解析：（＋）－（＋6）÷=2+3﹣3﹣=．【考点】二次根式的混合运算．2.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分. 例如：[]="0" ，[3.14]="3" ，按此规定[]的值为_________ .【答案】4.【解析】∵9＜10＜16，∴. ∴.试题解析：【考点】1.新定义；2.估计无理数的大小.3.当时，二次根式的值为【答案】5.【解析】当时，.【考点】二次根式求值.4.下列变形中，正确的是………（）A．(2)2＝2×3＝6B．C．D．【答案】D.【解析】A、(2)2＝4×3＝12，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确.故选D.【考点】二次根式的化简与计算.5.计算：【答案】3【解析】先进行乘方、分母有理化及负整数指数幂，最后合并同类二次根式即可求解.原式=【考点】实数的混合运算.6.若，则。
A．B．C．0D．2【答案】A.【解析】∵∴x+y=2，x-y=2∴原式=（x+y）（x-y）=2×2=4．故选A.考点: 二次根式的化简求值．7.若，则的取值范围是。
【答案】x≥0．【解析】根据（a≥0），可得答案．试题解析：解；∵，∴2x≥0，∴x≥0．考点: 二次根式的性质与化简．8.计算（）（＋＋＋…＋）【答案】2013.【解析】根据分母有理化的计算，把括号内各项分母有理化，计算后再利用平方差公式进行计算即可得解．试题解析：（）（＋＋＋…＋）=（）（-1+-+-+…+-）=（）（）=2014-1=2013.考点: 分母有理化．9.已知+，那么 .【答案】8【解析】由+，得，所以.10.已知、b为两个连续的整数，且，则= .【答案】11【解析】∵，、b为两个连续的整数，又＜＜，∴ =6，b=5，∴．11.的平方根是．【答案】±2．【解析】的算术平方根是4，4的平方根是±2．【考点】1.算术平方根；2. 平方根．12.下列说法正确的是……（）A．0的平方根是0B．1的平方根是1C．－1的平方根是－1D．的平方根是－1【答案】A.【解析】根据平方根的定义即可判定A.0的平方根是0，故说法正确；B.1的平方根是±1，故说法错误；C.-1的平方根是-1，负数没有平方根，故说法错误；D.（-1）2=1，1的平方根为±1，故说法错误【考点】平方根．13.设S＝+++…+，则不大于S的最大整数[S]等于（）A．98B．99C．100D．101【答案】B.【解析】，，…,所以所以不大于S的最大整数[S]等于99.【考点】规律型.14.计算：【答案】5【解析】解：原式【考点】实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的额掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握。
中考数学真题专项汇编解析—二次根式
中考数学真题专项汇编解析—二次根式一．选择题1．（2022·湖南衡阳）那么实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．1a <D ．1a ≤【答案】B【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．【详解】根据题意知1a -≥0，解得1a ≥，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．2．（2022·江苏连云港）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．1≥xB ．0x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤ 【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．【详解】解：∵10x -≥，∵1≥x ．故选A ．【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．3．（2022·的值应在（ ）A ．10和11之间B ．9和10之间C ．8和9之间D ．7和8之间 【答案】B6=【详解】 6=∵43，∵910＜，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．4．（2022·333，…，6666633n ++++++=个根号，一般地，对于正整数a ，b ，如果满足n b b b b b a a ++++++=个根号时，称(),a b 为一组完美方根数对．如上面()3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：∵()4,12是完美方根数对；∵()9,91是完美方根数对；∵若(),380a 是完美方根数对，则20a =；∵若(),x y 是完美方根数对，则点(),P x y 在抛物线2y x x 上．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【分析】根据定义逐项分析判断即可． 【详解】解：1244+=，∴()4,12是完美方根数对；故∵正确；10=9≠∴()9,91不是完美方根数对；故∵不正确；若(),380a a =即2380a a =+解得20a =或19a =- a 是正整数则20a =故∵正确；若(),x y x =2y x x ∴+=,即2y x x 故∵正确故选C 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．5．（2022·河北）下列正确的是（ ）A23=+ B 23⨯ C D 0.7【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：23≠+，故错误；23=⨯，故正确；=≠0.7≠，故错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．（2022·河南）下列运算正确的是（ ）A ．2-=B ．()2211a a +=+C ．()325a a =D ．2322a a a ⋅= 【答案】D【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. =B. ()22112a a a +=++，故该选项不正确，不符合题意； C. ()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D. 2322a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键．7．（2022·湖南怀化）下列计算正确的是（ ）A ．()32626a a =B ．824a a a ÷=C 2D ．()222x y x y -=- 【答案】C【分析】依次对每个选项进行计算，判断出正确的答案．【详解】∵()32366822a a a ==∵ A 错误 ∵82826a a a a -÷==∵ B 错误2∵C 正确∵()2222x y x xy y -=-+∵ D 错误故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．8．（2022·湖南怀化）下列计算正确的是（ ）A ．（2a 2）3＝6a 6B ．a 8÷a 2＝a 4C 2D ．（x ﹣y ）2＝x 2﹣y 2【答案】C【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；【详解】解：A.（2a 2）3=8a 6≠6a 6，故错误；B.a 8÷a 2=a 6≠a 4，故错误；=2，故正确；D.（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy +y 2≠x 2﹣y 2，故错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．9．（2022·云南）下列运算正确的是（ ）A =B ．030=C ．()3328a a -=-D ．632a a a ÷=【答案】C【分析】根据合并同类二次根式判断A ，根据零次幂判断B ，根据积的乘方判断C ，根据同底数幂的除法判断D ．【详解】解：题意；B.031=，此选项运算错误，不符合题意；C.()3328a a -=-，此选项运算正确，符合题意；D.633a a a ÷=，此选项运算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．（2022·四川德阳）下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b -=-B 1=C ．1a a a a ÷⋅=D ．32361126ab a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】根据完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则逐项判断即可．【详解】A.222()2a b a ab b -=-+，故本选项错误；1，故本选项符合题意；C.1111a a a a a÷⋅=⋅=，故本选项错误；D.23332336111228()()ab a b a b ⨯-=-=-，故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘法法则是解答本题的关键．11．（2022·江苏连云港）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．1≥xB ．0x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤ 【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．【详解】解：∵10x -≥，∵1≥x ．故选A ．【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．12．（2022·四川自贡）下列运算正确的是（ ）A ．()212-=-B ．1=C ．632a a a ÷= D ．0102022⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．【详解】A.()211-=，故A 错误；B.221=-=，故B 正确；C.633a a a ÷=，故C 错误；D.0112022⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．13．（2022· ）A ．±2B ．－2C ．4D ．2【答案】D【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．2，故选：D ．【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 14．（2022·4的值在（ ）A ．6到7之间B ．5到6之间C ．4到5之间D ．3到4之间【答案】D【分析】根据49<54<64，得到78<<，进而得到344<<，即可得到答案．【详解】解：∵49<54<64，∵78<，∵344<<4的值在3到4之间，故选：D ．【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．二．填空题15．（2022·x 的取值范围是______．【答案】x ≥﹣1【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x +1≥0，即可求得．【详解】解：∵∵x +1≥0，∵x ≥﹣1．故答案为：x ≥﹣1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．16．（2022·_________．【答案】2【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．2．故答案为：2． ()()(0000a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞）＜． 17．（2022·湖北荆州）若3a ，小数部分为b ，则代数式()2b ⋅的值是______．【答案】2【分析】先由12<得到132<<，进而得出a 和b ，代入()2b ⋅求解即可．【详解】解：∵ 12<，∵132<， ∵3的整数部分为a ，小数部分为b ，∵1a =，312b ==∵()((222242b ⋅=⨯=-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．18．（2022·x 的取值范围为_____．【答案】x ≥5【分析】根据二次根式有意义的条件得出x −5≥0，计算求解即可．【详解】解：由题意知，50x -≥，解得，5x ≥，故答案为：5x ≥．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．19．（2022·四川南充）x 为正整数，则x 的值是_______________．【答案】4或7或8【分析】根据根号下的数大于等于0和x 为正整数，可得x 可以取1、2、3、4、5、6、7、8为整数即可得x 的值．【详解】解：∵80x -≥∵8x ≤∵x 为正整数∵x 可以为1、2、3、4、5、6、7、8为整数∵x 为4或7或8故答案为：4或7或8．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．20．（2022·天津）计算1)的结果等于___________．【答案】18【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：221)119118=-=-=，故答案为：18．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．21．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC中，∵ABC＝90°，∵A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．【分析】先求解33,,3AB AD再利用线段的和差可得答案．【详解】解：由题意可得：1,15123,DE DC30,90, A ABC33, tan603BCAB同理：13,tan6033DEAD3233,33BD AB AD【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．22．（2022·新疆）在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________．【答案】3x≥【分析】根据二次根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可.有意义，则需要-30x≥，解出得到3x≥.故答案为：3x≥【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键.23．（2022·2，…，排列：，2，4；…若2的位置记为(1,2)(2,3)，则________．【答案】(4,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得∵规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵28是第14个偶数，而14432÷=∵(4,2)故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．24．（2022·x的取值范围是__．【答案】1x．【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再列不等式，从而可得答案.10x -，解得：1x ．故答案为：1x ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列不等式.25．（2022·四川遂宁）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简1a +______．【答案】2【分析】利用数轴可得出102a b -<<<<，1，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：102a b -<<<<，1，则10,10,0a b a b +>->-<∵1a +|1||1|||a b a b +--+- =1(1)()a b a b +---- =11a b a b +-+-+ =2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a ，b 的取值范围是解题关键．26．（2022·_____． 【答案】4【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．4=．故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．27．（2022·湖南娄底）函数y=x的取值范围是_______．【答案】1x>有意义可得：10,x->再解不等式可得答案．有意义可得：10,10xx即10,x->解得： 1.x>故答案为：1x>【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键．28．（2022·________．【答案】3【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．29．（2022·四川宜宾）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=18的三角形的三边满足::4:3:2a b c=，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______． 【答案】【分析】根据周长为18的三角形的三边满足::4:3:2a b c =，求得8,6,4a b c ===，代入公式即可求解．【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足::4:3:2a b c =，设4,3,2a k b k c k === ∵43218k k k ++=解得2k =∴8,6,4a b c ===∴S =====故答案为：【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．30．（2022·湖北荆州）如图，在Rt ∵ABC 中，∵ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若113CE AE ==，则CD ＝______．【分析】先求解AE ，AC ，再连结BE ，证明,,AE BE AD BD 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．【详解】解：113CE AE==，3,4,AE AC如图，连结,BE由作图可得：MN是AB的垂直平分线，3,,AE BE AD BD90,ACB∠=︒223122,BC2242226,AB16.2BD AB【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．31．（2022·x的取值范围是______．【答案】4x>【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：根据题意，得：4040xx-≥⎧⎨-≠⎩，解得：x>4，故答案为：x>4．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为0．32．（2022·x 的取值范围是_______． 【答案】1x【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式10x -，解不等式即可求得x 的取值范围．【详解】解：根据题意得10x -，解得1x ．故答案为：1x ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数得出不等式．33．（2022·__________．【答案】【解析】 【分析】先计算乘法，再合并，即可求解． 【详解】3=4233=，故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．34．（2022·湖北随州）已知mm 有最小值3721⨯=．设n 为正整数，是大于1的整数，则n 的最小值为______，最大值为______． 【答案】 3 75【分析】根据n 为正整数，1的整数，先求出n 的值可以为3、12、75，3001的整数来求解．【详解】解：=1的整数，∵1=． ∵n 为正整数∵n 的值可以为3、12、75，n 的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．35．（2022·0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a =b =记11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++=_______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解：a =b =1ab ==∴， 1112211112a b a ba b b b a bS a a ++++=+===+++++++， 222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++ ∴12100S S S +++=121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键． 三．解答题36．（2022·四川乐山）1sin 302-︒ 【答案】3【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可． 【详解】解：原式113322=+-=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值、负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟知相关计算法则是解题的关键．37．（2022·江苏宿迁）计算：112-⎛⎫ ⎪⎝⎭4sin 60°．【答案】2【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．【详解】解：11124sin 6023422=+2= 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．38．（2022·湖南娄底）计算：()11202212sin 602π-⎛⎫-++-︒ ⎪⎝⎭． 【答案】-2【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案．【详解】解：()-112022-12sin 602π⎛⎫+-+︒ ⎪⎝⎭(1212=---121=-- 2=-．【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值．熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键．39．（2022·浙江湖州）计算：()223+⨯-．【答案】0【分析】先算乘方，再算乘法和减法，即可． 【详解】()26(6)6236=+-=+--=⨯【点睛】本题考查实数的混合运算，关键是掌握2a=．40．（2022·【答案】【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：原式==【点睛】本题考查了次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．41．（2022·湖南常德）计算：213sin30452-︒︒⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】1【分析】根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：原式＝11422-⨯+1=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质是解题的关键．42．（2022·四川广元）计算：2sin60°﹣2|+（π（﹣12）﹣2．【答案】3【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．【详解】解：2sin60°﹣2|+（π+（﹣12）﹣2-- =3．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．43．（2022·湖北十堰）计算：1202212(1)3-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．【分析】根据负整数指数幂、乘方、绝对值的性质化简后计算即可．【详解】解：1202212(1)3-⎛⎫+- ⎪⎝⎭321=-【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据负整数指数幂、绝对值的性质化简． 44．（2022·四川宜宾）计算：4sin 302︒；(2)21111aa a ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭． 【答案】1a -【分析】（1）先化简二次根式，把特殊角三角函数值代入，并求绝对值，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可；（2）先计算括号，再运用除法法则转化成乘法计算即可求解．【解析】(1)解：原式1422=⨯+=(2)解：原式211111a a a a a+-⎛⎫=-⋅ ⎪++⎝⎭ ()()111a a a a a+-=⋅+ 1a =-．【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握实数混合运算与分式混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值．45．（2022·四川南充）先化简，再求值：(2)(32)2(2)x x x x +--+，其中1x =．【答案】24x -；-【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式=22326424x x x x x -+---=24x -；当x 1时，原式=)214-=3+1-4=- 【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．46．（2022·湖南岳阳）计算：2022032tan 45(1))π--︒+--．【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．【详解】解：2022032tan 45(1))π--︒+--32111=-⨯+-3211=-+-1=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．47．（2022·湖南娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P 处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm ，即3cm PQ =．开始训练时，将弹簧的端点Q 调在点B 处，此时弹簧长4cm PB =，弹力大小是100N ，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q 调到点C 处，使弹力大小变为300N ，已知120∠=︒PBC ，求BC 的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F k x =⋅∆，k 是劲度系数，x ∆是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为0x ，在外力作用下，弹簧的长度为x ，则0x x x ∆=-．【答案】2【分析】利用物理知识先求解,k 再求解336,PC 再求解,,BM PM 再利用勾股定理求解MC ，从而可得答案．【详解】解：由题意可得：当100F时，431,x 100,k 即100,F x 当300F =时，则3,x 336,PC 如图，记直角顶点为M ，120,90,PBC PMB30,BPM 而4,PB 222,4223,BMPM 226232426,MC 26 2.BC MC BM【点睛】本题是跨学科的题，考查了正比例函数的性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，含30的直角三角形的性质，二次根式的化简，理解题意，建立数学函数模型是解本题的关键．。
二次根式练习题
1．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2﹣4B．2 C．2D．202．下列二次根式中，不能作为最后结果的是（）A．B．C．D．3．下列各式中，与（2﹣）的积为有理数的是（）A．2 B．2﹣C．﹣2+D．2+4．已知a=，b=2﹣，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不确定的一个有理化因式是（）5．A．B．C．+D．﹣6．若a=﹣+﹣，则a的值所在范围为（）A．a≥0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．a＞27．满足不等式的整数x共有（）个．A．4 B．5 C．6 D．78．a的有理化因式是（）A．B． C．D．9．的倒数是（）A．B．C．﹣3 D．10．已知，则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．611．若+与﹣互为倒数，则x等于（）A．B．C．7 D．512．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A．（2﹣2）a2B．a2C．a2D．（3﹣2）a213．已知一个直角三角形的周长是4+，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（）A．5 B．C．D．114．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为．15．如图，15根水管（每根水管截面的直径均为50cm）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚至少要cm高（结果保留根号）．16．方程组的解是．17．化简求值：=，其中a=+1．18．已知ab=2，则的值是．19．已知a﹣=，则a+的值是．20．已知，则=．21．计算：（+1）2015（﹣1）2016=．22．+的值可能为．23．计算=．24．如图，小正方形的边长为1，求三角形（阴影部分）的周长．25．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且a和b满足．（1）求a、b的长；（2）求△ABC的面积．26．使用有3×3的钉板（如图，上下及左右相邻两个钉子的距离为1）和橡皮筋构图：（1）用一根橡皮筋作出几种面积不同的三角形，其中最大的三角形的面积是多少？（2）分别计算几个面积最大的三角形的周长，并进行比较．27．若m=，（1）求m的值；（2）求（m﹣1）2的值；（3）求m5﹣2m4﹣2013m3的值．28．已知实数x满足=x，求x的值．29．已知a、b为有理数，m、n分别表示5﹣的整数部分的小数部分，且amn+bn2=1，求：（1）m，n的值；（2）a：b的值；（3）2a+b的值．1．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2﹣4B．2 C．2D．20选B．2．下列二次根式中，不能作为最后结果的是（）A．B．C．D．选C3．下列各式中，与（2﹣）的积为有理数的是（）A．2 B．2﹣C．﹣2+D．2+选：D．4．已知a=，b=2﹣，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不确定解：∵a===2﹣，∴a=b．故选B．的一个有理化因式是（）5．A．B．C．+D．﹣选B6．若a=﹣+﹣，则a的值所在范围为（）A．a≥0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．a＞2解：∵=3+=3+2，=+=2+，=+，=+，∴a=3+2﹣2﹣++﹣﹣=3﹣，又∵2＜＜3，∴0＜a＜1．选B．7．满足不等式的整数x共有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7解：由得4（）＜x＜2（），即1.2＜x＜7.9，故选：C．8．a的有理化因式是（）A．B． C．D．解：由平方差公式，（a+b）（a﹣b）=a2x﹣b2y，因而分子，分母同时乘以a﹣b，能把分母中的根号消去，所以a+b的有理化因式是a﹣b．故选C．9．的倒数是（）A．B．C．﹣3 D．解：的倒数为=．故选D10．已知，则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵，∴=2+，两边平方得，25﹣x2=4+15﹣x2+4，即4=6，2=3，两边再平方得，4（15﹣x2）=9，化简，得x2=12，把x2=12代入，得+，=+==5，故选C．11．若+与﹣互为倒数，则x等于（）A．B．C．7 D．5解：∵，方程两边同乘以得：x﹣6=1∴x=7，检验：x=7时，≠0∴x=7是原方程的解故选C．12．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A．（2﹣2）a2B．a2C．a2D．（3﹣2）a2解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，依题意得x+2x=a，则x==，∴正八边形的面积=a2﹣4××=（2﹣2）a2．故选A．13．已知一个直角三角形的周长是4+，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（）A．5 B．C．D．1解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴斜边c=2×2=4，∵直角三角形的周长是4+，∴a+b+c=4+，∴∴∴ab=[（a+b）2﹣（a2+b2）]=×（26﹣16）=5，故s三角形=ab=．故选：B．14．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为．解：∵两小正方形的面积分别是2和5，∴两小正方形的边长分别是和，∴两个长方形的面积和为：×2=2；故答案为：2．15．如图，15根水管（每根水管截面的直径均为50cm）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚至少要cm高（结果保留根号）．解：连接三个圆的圆心，得等边三角形，等边三角形的边长是4根水管的直径，即4×50=200cm，等边三角形的高是100cm，雨棚的高至少是等边三角形的高与两半径的和，所以雨棚的高至少是100+50cm．16．方程组的解是．17．化简求值：=，其中a=+1．18．已知ab=2，则的值是．解：当a＞0，b＞0时，原式=；当a＜0，b＜0时原式=﹣﹣=﹣2．19．已知a﹣=，则a+的值是±．解：∵a﹣=，∴（a﹣）2=10，∴a2﹣2a•+=10，∴a2+=10+2=12，∴（a+）2=a2+2a•+=a2++2=12+2=14，∴a+=±．故答案为：±．20．已知，则=．解：∵，∴（+）2=32，∴x+=7，而=x++3=7+3=10，∴=．故答案为：．21．计算：（+1）2015（﹣1）2016=﹣1．22．+的值可能为0或±2．解：原式=+，当a＞0，b＞0，所以原式=1+1=2；当a＜0，b＜0，所以原式=﹣1﹣1=﹣2；当a＞0，b＜0，所以原式=1﹣1=0；当a＜0，b＞0，所以原式=﹣1+1=0，即原式的值为0或±2．故答案为0或±2．23．计算=3﹣．24．如图，小正方形的边长为1，求三角形（阴影部分）的周长．解：∵小正方形的边长为1，∴由勾股定理得：AB==，AC==，又BC=2，∴AB+AC+BC=++2，答：三角形（阴影部分）的周长是++2．25．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且a和b满足．（1）求a、b的长；（2）求△ABC的面积．解：（1）+b2﹣4b+4=0配方得+（b﹣2）2=0所以，a﹣3=0，b﹣2=0，解得a=3，b=2；（2）a=3是直角边时，2是直角边，△ABC的面积=×3×2=3，a=3是斜边时，另一直角边==，△ABC的面积=××2=，综上所述，△ABC的面积为3或．26．使用有3×3的钉板（如图，上下及左右相邻两个钉子的距离为1）和橡皮筋构图：（1）用一根橡皮筋作出几种面积不同的三角形，其中最大的三角形的面积是多少？（2）分别计算几个面积最大的三角形的周长，并进行比较．解：（1）由题意可得，几个钉子组成的是正方形，边长为2，则面积为4，如图一、图二，两个最大的三角形的面积是正方形面积的一半，即面积为2；（2）如图（1），已知一边长为2，另两边相等，根据勾股定理，得=，则周长为2+2；如图（2），已知两边长为2，另一边根据勾股定理，得=2，则其周长为4+2，∵2+2＜4+2，∴图（1）的周长小些．27．若m=，（1）求m的值；（2）求（m﹣1）2的值；（3）求m5﹣2m4﹣2013m3的值．解：（1）m==+1（2）（m﹣1）2=（+1﹣1）2=2014；（3）m5﹣2m4﹣2013m3=m3（m2﹣2m﹣2013）=m3[（m﹣1）2﹣2014]=m3[2014﹣2014]=0．28．已知实数x满足=x，求x的值．解：∵x﹣2010≥0，即x≥2010，∴﹣x＜0，∴原方程可化为x﹣+=x，∴=，即x﹣2010=2009，解得：x=4019．29．已知a、b为有理数，m、n分别表示5﹣的整数部分的小数部分，且amn+bn2=1，求：（1）m，n的值；（2）a：b的值；（3）2a+b的值．解：（1）因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．（2）把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1，且2a+6b=0，由2a+6b=0则a：b=﹣3：1；（3）由（2）可知6a+16b=1，且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．。
初二数学二次根式试题答案及解析
初二数学二次根式试题答案及解析1.化简的结果是（）A．-3B．3C．±3D．【答案】B．【解析】.故选B．【考点】二次根式化简.2.当a＜0时，化简|2a－ |的结果是………（）A．a B．－a C．3a D．－3a【答案】D.【解析】∵a＜0，∴|a|=-a，则原式=|2a-|a||=|2a+a|=-3a．故选D【考点】二次根式的性质与化简．3.下列计算错误的是 ( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】A．，计算正确；B．，计算正确；C．，计算正确；D．，计算错误.故选D.考点: 二次根式的运算.4.下列说法正确的是（）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．一个数的立方根与这个数同号C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D．一个数的立方根是非负数【答案】B【解析】一个数的立方根只有一个，A错误;一个数有立方根，但这个数不一定有平方根，如，C错误;一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，所以D是错误的，故选B5.已知，求的值.【答案】2005【解析】解：因为，所以，即，所以.故，从而，所以，所以.6.下列说法错误的是（）A．5是25的算术平方根B．1是1的一个平方根C．的平方根是-4D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】C【解析】A.因为=5，所以A正确；B.因为±=±1，所以1是1的一个平方根说法正确；C.因为±=±=±4，所以C错误；D.因为=0， =0，所以D正确.故选C．7.的平方根是，的算术平方根是 .【答案】3【解析】；,所以的算术平方根是3.8.的平方根是．【答案】±2．【解析】的算术平方根是4，4的平方根是±2．【考点】1.算术平方根；2. 平方根．9.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】根据根式运算法则.不是同类项不能合并同类项根式运算.10.若有意义，则________.【答案】1．【解析】由题意，得：，解得，则=1．故答案是：1．【考点】二次根式有意义的条件．11.设S＝+++…+，则不大于S的最大整数[S]等于（）A．98B．99C．100D．101【答案】B.【解析】，，…,所以所以不大于S的最大整数[S]等于99.【考点】规律型.12. 16的算术平方根是（）A．4B．－4C．D．256【答案】A【解析】16的算术平方根是=4,选A.一个非负数a有两个平方根±,它们互为相反数, 称为a的算术平方根,由题,16的算术平方根是=4,选A.【考点】算术平方根.13.已知，那么= .【答案】4【解析】由题意分析可知，在满足本题的条件下，，代入得y=1，所以=4【考点】二次根号的意义点评：本题属于对二次根号的基本性质和代数式有意义的条件的基本考查和运算14.函数y＝中自变量x的取值范围是________．【答案】x≥－1【解析】易知根号下为非负数。
2018-2019学年初中数学二次根式、勾股定理、平行四边形一次函数和数据的分析中考模拟考试测试题
②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．
24．某初中在“读书共享月”活动中．学生都从家中带了图书到学校给大家共享阅读．经过抽样调查得知，初一人均带了2册；初二人均带了3.5册：初三人均带了2.5册．已知各年级学生人数的扇形统计图如图所示，其中初三共有210名学生．请根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中，初三年级学生数所对应的圆心角为°；
28．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于 BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）根据条件与作图信息知四边形ABEF是
A．非特殊的平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF=4，求AE的长和∠C的度数．
22．随着”互联网+“时代的到来，利用网络呼叫专车的打车方式深受大众欢迎．据了解，在非高峰期时，某种专车所收取的费用y（元）与行驶里程x（km）的函数图象如图所示．请根据图象，回答下列问题：
（1）当x≥5时，求y与x之间的函数关系式；
（2）若王女士有一次在非高峰期乘坐这种专车外出，共付费47元，求王女士乘坐这种专车的行驶里程．
【详解】
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
初一数学二次根式试题
初一数学二次根式试题1. 9的平方根是（）A．3B．±3C．D．81【答案】B【解析】根据平方根的定义可判断．【考点】平方根2.下列各数中，3.14159265，，﹣8，，0.6，0，，，无理数的个数有（）A．3B．4C．5D．6【答案】A．【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．无理数有：，，共有3个．故选A．【考点】无理数．3.如果一个数的平方根为5a-1和a+7，那么这个数是_________________。
【答案】36．【解析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得2a-3和a-9的关系，可得a的值，根据平方，可得答案．∵一个正数的两个平方根分别是5a-1和a+7，∴（5a-1）+（a+7）=0，解得：a=-1．所以这个数为：（5a-1）2=（-5-1）2=36．【考点】平方根．4.下列四种说法中：（1）负数没有立方根；（2）1的立方根与平方根都是1；（3）的平方根是；（4）．共有（）个是错误的．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】负数有立方根，（1）错误；1的立方根是1，平方根是，（2）错误；的平方根是，（3）正确；，（4）错误.故错误的有3个.5.已知a2=1，|a|=﹣a，求的值．【答案】2【解析】根据已知求出a的值，代入求出即可．解：∵a2=1，∴a=±1，∵|a|=﹣a，∴a=﹣1，∴===2．点评：本题考查了算术平方根和二次根式的化简求值的应用，主要考查学生的计算能力．6.已知一个长8m，宽5m，高4m的长方体容器的容积是一个正方体容积的2倍，求这个正方体容器的棱长（结果可保留根号）【答案】2 cm【解析】设这个正方体容器的棱长为xm，由题意得出方程2x3=8×5×4，求出即可．解：设这个正方体容器的棱长为xm，由题意得：2x3=8×5×4，x3=80，x=2答：这个正方体容器的棱长为2 cm．点评：本题考查了立方根的应用，关键是能根据题意得出方程．7.下列实数中：，0，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0），，，-3.14，无理数有个．【答案】3【解析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．解：∵∴无理数有0.1010010001…（每两个1之间多一个0），，共3个.【考点】无理数点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握无理数的三种形式，即可完成.8. 4的算术平方根是A．2B．－2C．2D．16【答案】A【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根. 解：4的算术平方根是2，故选A.【考点】算术平方根点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握算术平方根的定义，即可完成.9.下列实数中，属于无理数的是（）A．B．3.14159C．D．【答案】D【解析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．解：A、，B、3.14159，C、，均为有理数，故错误；D、符合无理数的定义，本选项正确.【考点】无理数的定义点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握无理数的三种形式，即可完成.10.在，－π，0，3.14，，0.3，，中，是无理数的有。
八年级二次根式综合练习题及答案解析
填空题1. 使式子4x -有意义的条件是 。
【答案】x ≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥0，解得x ≥42. 当__________时，212x x ++-有意义。
【答案】-2≤x ≤21【分析】x+2≥0，1-2x ≥0解得x ≥－2，x ≤21 3. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。
【答案】m ≤0且m ≠﹣1【分析】﹣m ≥0解得m ≤0，因为分母不能为零，所以m ＋1≠0解得m ≠﹣14. 当__________x 时，()21x -是二次根式。
【答案】x 为任意实数【分析】﹙1－x ﹚2是恒大于等于0的，不论x 的取值，都恒大于等于0，所以x 为任意实数5. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。
【答案】﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x －3﹚，﹙x －2﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－9＝﹙x 2＋3﹚﹙x 2－3﹚＝﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x－3﹚，运用完全平方差公式：x 2－22x ＋2＝﹙x －2﹚26. 若242x x =，则x 的取值范围是 。
【答案】x ≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x ≥0，解得x ≥07. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。
【答案】x ≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－x ≥0，解得x ≤28. 化简：()2211x x x -+的结果是 。
【答案】1－x【分析】122+-x x ＝2)1(-x ，因为()21-x ≥0，x ＜1所以结果为1－x9. 当15x ≤时，()215_____________x x -+-=。
【答案】4【分析】因为x ≥1所以()21-x ＝1-x ，因为x ＜5所以x －5的绝对值为5－x ，x －1＋5－x ＝410. 把1a a-的根号外的因式移到根号内等于 。
人教版八年级下《二次根式》与《勾股定理》综合测试A卷(含答案)
《二次根式》和《勾股定理》综合测试A一、选择（每小题3分，共36分）1．使有意义的x的取值范围是（）A. x≥1B. x≥0C. x＞1D. x≠12．下列二次根式中能与合并的二次根式是（）A. B. C. D.3．以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（）A. 1、2、3B. 9、12、15C. 1、1、D. 6、7、84．如果，那么x取值范围是（）A. x≤2B. x＜2C. x≥2D. x＞25．若是正整数，最小的整数n是（）A. 6B. 3C. 48D. 26．下列运算和化简，不正确的是（）A. =0.5B.C.D.7．计算﹣的结果正确的是（）A. B. C. D. 08.如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A. 12B. 13C. 144D. 1949．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的（）A. 北偏东75°的方向上B. 北偏东65°的方向上C. 北偏东55°的方向上D. 无法确定10．设，则代数式a2+2a﹣10的值为（）A. B. C. ﹣3 D. ﹣411．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米12．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（）A. 11cmB. 12cmC. 13cmD. 14cm二、填空（每小题3分，共18分）13．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．化简：= ．15．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是．16．计算：（+）2﹣= ．17．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为．18．如图所示，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯米．三、解答（8个小题，共66分）19．（6分）计算：（1）；（2）﹣6+2．20．（8分）图①和图②均是边长为1的正方形网络，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．（1）在图①中画出一个等腰三角形ABC，使其腰长是；（2）在图②中画出一个正方形ABCD，使其面积是5．21．（8分）计算：5+﹣×+÷．22．（8分）已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．23．（8分）某居民小区有一块长方形绿地，先进行如下改造：将长方形的长减少米，宽增加米，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的2倍，求改造后的正方形绿地的边长是多少米？（结果精确到1米）24．（9分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．25.（9分）阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出= ；（2）根据上面的解法，请化简：．26.（10分）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．参考答案一、1. A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.B 12.C二、13. x＞3 14.-1 15.76 16.5 17.或3 18.7三、19. 解：（1）原式=3×5÷＝15÷＝15．（2）原式=2=220.解：（1）、（2）如图所示：21.解：原式=+﹣+3÷=2﹣1+3=2+2．22.解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，∴AD===3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴AB=AD=3，BD=AD=3，在Rt△ADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC===．23.解：设改造后正方形绿地的边长为a米，则改造前长方形绿地的长为（a+）米，宽为（a﹣）米，由题意得，a2=2（a+）（a﹣），整理，得a2=68，a=2（取正）.答：改造后正方形绿地的边长为2米．24.解：如图，连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．25.解：（1）=﹣；（2）+++…++，=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=﹣1，=10﹣1，=9．26.解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。
专题5二次根式-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第02期)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题5二次根式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南株洲市·中考真题）计算：4-=（ ）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A【分析】【详解】解：()44-=-=-故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．2．（2021·湖南）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()235a a =C 3=D ．222()a b a b +=+ 【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、二次根式的性质以及完全平方公式分别计算各项后，再进行判断即可得到答案．【详解】解：A . 23235a a a a +⋅==，故选项A 计算错误，不符合题意；B . ()23326aa a ⨯==，故选项B 计算错误，不符合题意；C . |3|3=-=，此选项计算正确，故符合题意；D . 222()2a b a ab b +=++故选项D 计算错误，不符合题意；【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算、二次根式的性质以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．3．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：11122⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2D 【答案】C【分析】 先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：11122⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭=512- =2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．4．（2021·山东东营市·中考真题）下列运算结果正确的是（ ）A ．235x x x +=B ．()2222a b a ab b --=++C ．()23636x x =D =【答案】B【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、二次根式的运算法则依次计算各项后即可解答．选项A ，2x 和3x 不是同类项，不能够合并，选项A 错误；选项B ，根据完全平方公式可得()()22222a b a b a ab b --=+=++，选项B 正确；选项C ，根据积的乘方的运算法则可得()23639x x =，选项C 错误；选项D 不能够合并，选项D 错误．故选B ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则及二次根式的运算法则，熟练运用公式和法则是解决问题的关键．5．（2021·化为最简二次根式，其结果是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．2【答案】D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式=2=， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．6．（2021·湖南娄底市·中考真题）2,5,m ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简．7．（2021·黑龙江绥化市·0在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．–1x >B ．1x ≥-且0x ≠C ．1x >-且0x ≠D ．0x ≠【答案】C【分析】 0在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可．【详解】 0在实数范围内有意义， 必须同时满足下列条件：10x +≥0≠，0x ≠，综上：1x >-且0x ≠，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．8．（2021·广西柳州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A=B．3+=C=D．2=【答案】C【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可【详解】A.B. 3+，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；C. ==D.2，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．9．（2021· 1.442）A．-100B．-144．2C．144.2D．-0.01442【答案】B【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．【详解】33 1.442=33-=--=-333(13∴-=-144.2故选B．【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键．10．（2021·）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【分析】 根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．11．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．【详解】解：由题意得： (2,==-=∵所有积中小于2的有2-两个；故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．12．（2021·四川达州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A =B 3±C ．()110a a a -⋅=≠D ．()2224436a b a b -=-【答案】C【分析】根据二次根式的性质和运算法则，负整数指数幂，积的乘方法则，逐一判断选项，即可．【详解】解：A.B. 3=，故该选项错误，C. ()110a a a -⋅=≠，故该选项正确，D. ()2224439a b a b -=，故该选项错误，故选C ．【点睛】 本题主要考查二次根式的性质和运算，负整数指数幂，积的乘方法则，熟练掌握上述性质和法则，是解题的关键．13．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，点A ，B 都在格点上，若B ，则AC 的长为（ ）A B C ．D ．【答案】B【分析】 利用勾股定理求出AB ，再减去BC 可得AC 的长．【详解】解：由图可知：AB∵BC∵AC =AB -BC = 故选B ．【点睛】 本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB 的长．14．（2021·内蒙古中考真题）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3- 【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．15．（2021·广东中考真题）设6的整数部分为a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（ ）A ．6B ．C ．12D ．【答案】A【分析】a 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34<<，∵263<<，∵62a =，∵小数部分624b ==-∵(((22244416106a b =⨯+=-=-=． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6的整数部分a 与小数部分b 的值是解题关键．16．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）下列运算中，计算正确的是（ ）A ．2352m m m +=B ．()32626a a -=- C ．()222a b a b -=- D =【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项．【详解】解：A 、2m 与3m 不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；B 、()32628a a -=-，错误，故不符合题意；C 、()2222a b a ab b -=-+，错误，故不符合题意；D =故选D ．【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法是解题的关键．17．（2021·湖北襄阳市·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >- 【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】∵在实数范围内有意义，∵x +3≥0，即：3x ≥-，故选A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键． 18．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．224347a a a +=B 11a= C ．31812()42-+÷-= D ．21111a a a a --=-- 【答案】D【分析】 根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．【详解】222347a a a +=，故A 错；当a ＞011a =，当a ＜011a=-，故B 错； 31812()262-+÷-=-，故C 错； 21111a a a a --=--，D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键． 19．（2021·湖北黄石市·中考真题）函数()02y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥-B ．2x >C ．1x >-且2x ≠D ．1x ≠-且2x ≠ 【答案】C【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．【详解】解：函数()02y x =+-的自变量x 的取值范围是： 10x +>且20x -≠，解得：1x >-且2x ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．二、填空题20．（2021·广西贺州市·中考真题）x 的取值范围是________．【答案】1x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】有意义10x ∴+≥1x ∴≥-故答案为：1x ≥-【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．21．（2021·山东威海市·____________________．【答案】【分析】根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解．【详解】解：原式==-=，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解．22．（2021·贵州铜仁市·中考真题）计算=______________；【答案】3【分析】先化简二次根式，再利用平方差公式展开计算即可求出答案．【详解】解：(==⨯322=⨯-3⎡⎤⎢⎥⎣⎦31=⨯=．3故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，细心运算是解题的关键．23．（2021·x的取值范围是_______________．x≥【答案】7【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：70x-≥，解得：7x≥；故答案为7x≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．24．（2021·山东聊城市·＝_______．【答案】4【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可．【详解】解：原式=1 642-⨯=4．故答案是：4．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．25．（2021·江苏宿迁市·x的取值范围是____________．【答案】任意实数【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解．【详解】解：∵20x≥，∵22x＋＞0，∵无论x∵x 的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键．26．（2021·浙江衢州市·x 的值可以是_________．（写出一个即可）【答案】3【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案．【详解】∵10x -≥，解得：1≥x ，∵x 的值可以是3，故答案为：3【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键．27．（2021·江苏南京市·________．【答案】2【分析】【详解】解：原式=2=；．【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及到二次根式的化简等知识，解决本题的关键是牢记二次根式的性质和计算法则等．28．（2021·江苏南京市·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．【答案】x ≥0【分析】根据二次根式有意义的条件得到5x ≥0，解不等式即可求解．【详解】解：由题意得5x ≥0，解得x ≥0．故答案为：x ≥0【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”是解题关键．29．（2021·x 的取值范围是________． 【答案】0x >【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：0x ≠且20x ≥， ∵0x >；故答案为0x >．【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．30．（2021·湖南怀化市·中考真题）比较大小：2__________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＞【分析】12-，结果大于0大；结果小于0，则12大． 【详解】解：11=0222-＞，∵122， 故答案为：＞．【点睛】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．31．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：(1012a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ==_____________．【答案】2【分析】利用负整数指数幂和零指数幂求出a 的值，利用平方差公式，求出b 的值，进而即可求解．【详解】解：∵(1012213a -⎛⎫=+ =⎪+⎝=⎭，221b ==-=，=2=，故答案是：2．【点睛】本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键．32．（2021·湖北黄冈市·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =，b =1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____．【答案】10【分析】先根据1ab =求出1111n n n S a b =+++（n 为正整数）的值，从而可得1210,,,S S S 的值，再求和即可得． 【详解】解：1ab =，111111()1nn n n n n n a S a b a a b ∴=+=+++++（n 为正整数）， 11()nn n na a a ab =+++， 111nn n a a a =+++， 1=，12101S S S ===∴=， 则121010S S S +++=，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．三、解答题33．（2021·湖北中考真题）（1）计算：0(346)-⨯-++ （2）解分式方程：212112x x x+=--． 【答案】（1）8；（2）1x =．【分析】（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得；（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．【详解】解：（1）原式1462⨯--+=44=+，8=；（2）212112x x x+=--， 方程两边同乘以21x -得：221x x -=-，移项、合并同类项得：33x -=-，系数化为1得：1x =，经检验，1x =是原分式方程的解，故方程的解为1x =．【点睛】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法是解题关键．34．（2021·湖南娄底市·中考真题）计算：101)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭． 【答案】2【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：101)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭1222=+-⨯112=+2=．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．35．（2021·北京中考真题）计算：02sin 60(5π--．【答案】4【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：原式=2514+-=． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．36．（2021·湖北黄石市·中考真题）先化简，再求值：2111a a a -⎛⎫÷ ⎪⎝⎭-，其中31a ．【答案】11a +，3【分析】 先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，代入求值，再将结果化为最简二次根式即可．【详解】 解：原式=1(1)(1)()aa a a a a 1(1)(1)a a a a a 1=1a +，将31a 代入，原式3===． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关键．37．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）先化简，再求值：222414816a a a a a ---÷+++，其中2a =．【答案】22-+a ，【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可．【详解】解：原式=()()()242421142222a a a a a a a a +-+-+-⨯=-=-+++；把2a =代入得：原式==． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．38．（2021·湖南怀化市·中考真题）先化简，再求值：221262443x x x x x x x+-+⋅-++，其中2x =+．【答案】1;22x - 【分析】 先将乘法部分因式分解并约分化简，再通分合并，最后代值计算即可求解．【详解】解：原式=()()()()()223121222132222x x x x x x x x x x x x x +--++⨯=+==+----当2x =+时，原式=12x ===-故答案是：1;22x -． 【点睛】 本题考察分式的化简求值、因式分解和分母有理化，题目难度不大，属于基础计算题．解题的关键是掌握分式的计算法则．。
单元测试卷(内容：二次根式及勾股定理)
单元测试卷（内容：二次根式及勾股定理）一．选择题（共14小题）1．下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．4．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．公路l走向是南偏西45°B．公路l走向是北偏东45°C．从点P向北走3km后，再向西走3km到达lD．从点P向北偏西45°走3km到达l5．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（）A．13B．13或C．D．12或136．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（）A．5B．4C．3D．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（）A．5B．9C．16D．258．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．819．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：7B．∠A＝∠B﹣∠CC．a：b：c＝2：3：4D．b2＝（a+c）（a﹣c）10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．4≤a≤5B．3≤a≤4C．2≤a≤3D．1≤a≤211．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列所给数据中，不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A．a＝，b＝2，c＝1B．∠A﹣∠B＝∠CC．（a﹣b）（a+b）＝c2D．∠A：∠B：∠C＝2：5：812．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（）A．1B．1﹣C．﹣1D．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，作AC的中垂线1交BC于点D，连接AD，若AB ＝3，BC＝9，则BD的长为（）A．6B．5C．4D．314．若3、4、a为勾股数，则a的值为（）A．B．5C．5或7D．5或二．填空题（共4小题）15．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝．16．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，（1）将分母有理化可得；（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+的解是．17．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣5xy+y2+6＝．18．把a中根号外面的因式移到根号内的结果是．三．解答题（共15小题）19．若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．20．阅读下列解题过程：＝＝＝﹣1；＝＝＝﹣．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①＝；②＝；（2）应用：求++++…+的值；（3）拓广：﹣+﹣＝．21．已知：a＝﹣1，求÷（2﹣）的值．22．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．23．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值24．计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+25．计算：（1）﹣（3+）；（2）（+1）（﹣1）+﹣（）0．26．计算：（1）（2﹣6+3）÷2；（2）（2+5）（2﹣5）﹣（﹣）2．27．已知x＝+，y＝﹣，求：（1）+的值；（2）2x2+6xy+2y2的值．28．计算与求值．已知a＝，求﹣的值．29．观察下列各式，发现规律：＝2；＝3；＝4；…（1）填空：＝，＝；（2）计算（写出计算过程）：；（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．30．如图，在平静的湖面上，有一支芦苇AB，高出水面部分AC为1米，一阵风吹来，芦苇被吹到一边，芦苇顶端被水面淹没（即AB＝DB），一支芦苇移动的水平距离为3米，则湖水深度BC为所少米？31．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．（1）△ABC的面积是．（2）求BC、AD的长．32．如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B 有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC＝，AB＝2．（1）求△ABC的面积；（2）求CD的长．。
二次根式易错题（含答案）
《二次根式》常考题集填空题91．二次根式，，中，与3是同类二次根式的有_________．92．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么b=_________．93．（2003•仙桃天门潜江江汉）若最简二次根式与是同类二次根式，则m= _________．94．若最简二次根式与﹣是同类二次根式，则x=_________．95．（2009•天津）计算：=_________．96．（2009•绥化）计算：=_________．97．（2005•三明）计算：+=_________．98．计算：=_________．99．（2011•南通）计算：﹣=_________．100．计算：=_________．101．（2002•贵阳）计算：=_________．102．计算：=_________．103．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8=_________．104．若x2﹣x﹣2=0，则的值等于为_________．（改编课本例题）105．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是_________．（结果保留根号）106．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为_________ cm．107．（2006•河北）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为_________m．解答题108．（2009•仙桃天门潜江江汉）先化简，再求值：，其中x=2﹣．109．（2008•威海）先化简，再求值：，其中x=．110．（2008•莆田）先化简，再求值：，其中a=．111．（2007•朝阳区）先化简，再求值：，其中x=．112．（2007•滨州）先化简，再求值：，其中a=+1 113．（2006•上海）先化简，再求值：，其中x=．114．（2006•内江）化简求值：，其中a=．115．（2005•荆门）先化简后求值：，其中x=2．116．（2005•河北）已知x=﹣1，求的值．117．先化简，再求值：，其中．118．先化简，再求值：÷﹣，其中x=1+．119．先化简，再求值：，其中．120．先化简，再求值：，其中参考答案与试题解析填空题91．二次根式，，中，与3是同类二次根式的有．分析：先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．解答：解：=与3被开方数不同，故不是同类二次根式；=2与3被开方数不同，故不是同类二次根式；=与3被开方数相同，故是同类二次根式．故与3是同类二次根式的有．点评：本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同92．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么b=5．解答：解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴2b﹣4=11﹣b，解得：b=5．点评：此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二93．（2003•仙桃天门潜江江汉）若最简二次根式与是同类二次根式，则m= 6．分析：根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．解答：解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴m2﹣3=5m+3，解得m=6或m=﹣1，当m=﹣1时，=无意义，故m=6．点评：此题比较简单，解答此类题目时要注意二次根式成立的条件．94．若最简二次根式与﹣是同类二次根式，则x=0．方数就应该相等，由此可得出关于x的方程，进而可求出x的值．解答：解：由题意可得：5x2+1=7x2﹣1解得x=0或x=±，当x=±时，与﹣都不是最简二次根式，∴x=±不合题意，舍去．因此x=0．点评：本题虽然不难求出x的值，但是要注意题中给出的根式都是最简根式，因此可根据这95．（2009•天津）计算：=．次根式即可．解答：解：原式=3﹣2=．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．96．（2009•绥化）计算：=﹣．分析：二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．解答：解：原式=2﹣3=﹣．点评：本题考查了二次根式的化简与运算能力．97．（2005•三明）计算：+=．次根式即可．解答：解：原式=+2=3．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．98．计算：=．分析：二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．解答：解：原式=2﹣3=﹣．点评：同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．99．（2011•南通）计算：﹣=．考点：二次根式的加减法．次根式即可．解答：解：原式=2﹣=．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．100．计算：=2．：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．解答：解：原式=2﹣+=2．点评：合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．101．（2002•贵阳）计算：=．解答：解：原式=+2﹣6=﹣3．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．102．计算：=2．103．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8=6．分析：认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．解答：解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．点评：解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．104．若x2﹣x﹣2=0，则的值等于为．（改编课本例题）分析：把x﹣x=2整体代入分式，再进行分母有理化即可．解答：解：因为x2﹣x﹣2=0，所以x2﹣x=2，所以原式====．点评：先将x2﹣x=2整体代入原式，然后再分母有理化，可使运算简便．要求熟练掌握整体代入的数学思想．105．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2．（结果保留根号）：二次根式的应用．分析：根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．解答：解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．点评：本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．106．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5 cm．：二次根式的应用；三角形三边关系．分析：三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．解答：解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．点评：本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．107．（2006•河北）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为m．的两个直角三角形的斜边，就可以运用勾股定理求出．解答：解：折线分为AB、BC两段，AB、BC分别看作直角三角形斜边，由勾股定理得AB=BC==米．小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为+=米．点评：命题立意：本题考查勾股定理的应用．求两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC=．解答题108．（2009•仙桃天门潜江江汉）先化简，再求值：，其中x=2﹣．同分母，可以直接通分．最后把数代入求值．解答：解：原式===；当x=2﹣时，原式==﹣．点评：考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等．109．（2008•威海）先化简，再求值：，其中x=．分析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．解答：解：原式=÷===﹣，当x=时，原式=﹣=﹣=﹣．点评：首先把分式化到最简，然后代值计算．110．（2008•莆田）先化简，再求值：，其中a=．：计算题．分析：先根据因式分解把分式的分子、分母化简，约分，再把a=代入求值．解答：解：原式=•+=+=，当a=时，原式==．此题在分解因式、约分后，再通分，可使运算简便．111．（2007•朝阳区）先化简，再求值：，其中x=．确解题．注意计算的最后结果要分母有理化．解答：解：原式===，当x=时，原式==1+．点评：本题主要考查分式的化简求值，将分式化到最简是解题的关键．112．（2007•滨州）先化简，再求值：，其中a=+1确解题．注意最后结果要分母有理化．解答：解：原式=，当a=+1时，原式=．点评：解答本题的关键是对分式进行化简，代值计算要仔细．113．（2006•上海）先化简，再求值：，其中x=．分析：本题要先将分式化简，再把x的值代入求解．解答：解：原式====，当x=时，原式==+1．点评：分式的混合运算，要特别注意运算顺序以及符号的处理．114．（2006•内江）化简求值：，其中a=．先分解，然后约分，最后加减运算，把式子化到最简代值计算．解答：解：原式=（1分）=（2分）=（3分）=；（4分）当a=时，原式=（5分）=．（7分）点评：分式的混合运算，要特别注意运算顺序，能因式分解的先分解，然后约分．115．（2005•荆门）先化简后求值：，其中x=2．解答：解：原式=÷=﹣=﹣；当x=2时，原式=﹣=2﹣3．点评：本题考查分式的混合运算，要注意运算顺序，有括号先算括号里的，再把除法转化为乘法来做，经过约116．（2005•河北）已知x=﹣1，求的值．分析：先将所求的代数式整理化简，再将求知数的值代入计算求解．解答：解：原式=，当x=﹣1时，原式=．点评：此题考查了分式的计算与化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的117．先化简，再求值：，其中．代值计算．解答：解：原式====；当时，原式=．118．先化简，再求值：÷﹣，其中x=1+．法化简，然后再代入求值．解答：解：÷﹣=﹣=﹣=．将x=1+代入，==．点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．119．先化简，再求值：，其中．分析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分运算，并准确代值计算．解答：解：原式===；当时，原式==2．点评：本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．120．先化简，再求值：，其中分，并准确代值计算．解答：解：原式====；当时，原式=．点评：本题主要考查分式的混合运算，要特别注意运算顺序及符号的处理．。
2016二次根式勾股定理基础专练6套
基础专练（一）姓名时间分数1．下列各式中，最简二次根式是（ ）A ．41 B ．27 C ．2D ．b a 22．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．1，2，2B ．1，1，3C ．4，5，6D ．1，3，23．下列计算正确的是（ ） A ．2)4(2=-B ．4)2(2=C ．1052=⨯D ．326=÷4．下列二次根式，不能与12合并的是（ ） A ．48B ．18C ．311D ．75-5．如图，一根长25 m 梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7 m ，如果梯子的顶端下滑4 m ，那么梯足将滑动（ ） A ．15 mB ．9 mC ．8 mD ．7 m6．下面四个命题：① 全等三角形的对应角相等；② 如果两个角是直角，那么它们相等；③ 同位角相等，两直线平行；④ 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边的长分别是a 和b ，那么(a ＋b )2的值为（ ） A ．49B ．25C ．13D ．18．点E 、F 、G 分别是边长为的正方形ABCD 的边BC 、AB 、CD 上的动点（点E 、F 、G 不与正方形的顶点重合），且EF ∥AC ，GE ∥DB ，则EF ＋EG 的值为（ ） A ．变化的B ．5C ．6D ．22 9．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么：① b a ab =；②1=abba；③ ba ba =；④abb a 1÷＝－a ，其中正确的有（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④11．如果2-x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是_________12．计算：)23)(23(-+＝_________17．（本题9分）计算：(1) 10352⨯ (2) 22)6324(÷- (3) )681()5.024(--+18．（本题8分）计算：(1) 2146)38(-⨯+ (2) a a aa a a 27814872+-19．（本题7分）若a 、b(1) 分别写出a 、b 的值 (2) 求4a －b 2的值基础专练（二） 姓名时间分数1．下列式子中二次根式的个数有（ ） ①31；② 3-；③ 12+-x ；④2)31(-；⑤ 322++x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．下列二次根式有意义的范围为x ≥3的是（ ） A ．3+xB ．3-xC ．31+xD ．31-x 3．下列各组数为勾股数的是（ ） A ．6，12，13B ．3，4，7C ．4，7，10D ．8，15，174．下列计算正确的是（ ） A ．2828+=+B ．916)9)(16(--=--C ．32321+=- D ．212214= 5．把aba 123化去分母中的根号后得（ ）A ．4bB ．2bC ．b 21D ．bb 2 6．已知：n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．如果a ＝2＋3，b ＝321-，那么（ ） A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a ＝b18．下列命题中是假命题的是（ ）A ．△ABC 中，若∠B ＝∠C －∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 中，若a 2＝(b ＋c )(b －c )，则△ABC 是直角三角形C ．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形D ．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝5∶3∶4，则△ABC 是直角三角形9．直角三角形中，若斜边长为5 cm ，一直角边的长为3 cm ，则另一条直角边的长为（ ） A ．4 cm B ．4 cm 或34cm C ．34cm D ．不存在11．在实数范围内分解因式：x 2－3＝______________ 12．若xx xx --=--3232成立，则x 满足的条件为__________13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，BC ∶AC ＝3∶4，则BC ＝__________ 14．已知223=-b a a b ，那么baa b +的值等于__________ 15．如图，一块长、宽、高分别是5 cm 、2 cm 和3 cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬行到长方体上和点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________cm 17．计算：(1) 123+ (2)222)1(83⨯--+18．化简：(1) ))((b a b a +- (2) 35416x xx xx -+19．化简求值，已知：31=a ，求aa a a a a a -+---+-22212121的值20．如图：∠B ＝90°，AB ＝16 cm ，BC ＝12 cm ，AD ＝21 cm ，CD ＝29 cm ，求四边形ABCD 的面积21．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是ABC 的角平分线，CD ＝23，BD ＝25，求AC 的长基础专练（三） 姓名时间分数基础专练（四）姓名时间分数基础专练（五）姓名时间分数基础专练（六）姓名时间分数。
勾股定理及其逆定理
课前回顾：1．计算：的结果为．2．若最简二次根式和是同类二次根式，则a的值是．3．若a、b为实数，且b=+5，则a+b的值为4．已知，则x3﹣17x+2006= ．5．若a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：= ．6．计算：（1）（﹣6）﹣（﹣6）（2）4×﹣（+）2+．7．阅读下面例题：计算．解：∵而＞∴请参照例题计算．勾股定理：1．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2等于（）A．2 B．4 C．8 D．162．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（）A．100π﹣24 B．100π﹣48 C．25π﹣24 D．25π﹣483．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）A．6 B．C．D．44．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（）A．20 B．22 C．24 D．265．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．6．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．647．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A．6 B．7 C．8 D．98．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B．C．D．29．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：D．1：4：110．有一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．5或C．D．11．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（）A． B．27 C．3 D．2513．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10 B．5 C．2D．214．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A．不确定B．12 C．11 D．1015．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式（）A．AD2=BD2+CD2B．AD2＞BD2+CD2C．2AD2=BD2+CD2D．2AD2＞BD2+CD2勾股定理的逆定理：16．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，317．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A=∠C﹣∠B B．a：b：c=2：3：4C．a2=b2﹣c2D．a=，b=，c=118．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）A．5 B．6 C．D．5或19．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A．a=15，b=8，c=17 B．a=9，b=12，c=15C．a=7，b=24，c=25 D．a=3，b=5，c=720．一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A．4 B．C．D．21．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形22．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b﹣c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cmC．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm24．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0 B．1 C．D．25．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（）A．5米B．7米C．8米D．10米25题图 26题图 27题图26．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（）A．8 B．9 C．D．1027．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B 点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.828．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6=（10﹣x）2B．x2﹣62=（10﹣x）2C．x2+6=（10﹣x）2D．x2+62=（10﹣x）229．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B 的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（）A．40B．60﹣20C．20D．2030．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．12一．解答题（共18小题）1．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？2．如图，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四边形ABCD 的面积．3．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？4．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．5．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°．6．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，（1）求BC的长；（2）这辆小汽车超速了吗？7．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB 于H，延长CH交MN于点I．（1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC 的面积．（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2．9．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．10．如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．11．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．12．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为三角形．（2）猜想，当a2+b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．课后练习：1．已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距km．2．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．3．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．4．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．5．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE的长为．6．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米．7．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为．8．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为．9．一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是 cm．10．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．11．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为m．12．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．13．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为．14．如右图，Rt△ABC的面积为20cm2，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是cm2．16．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，根据勾股定理，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此继续，得OP2018= ，OP n= （n为自然数，且n＞0）17．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．18．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．19．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？20．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长．21．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t=2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．22．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．勾股定理参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．计算：的结果为﹣2．【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式=3=﹣2．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．2．若最简二次根式和是同类二次根式，则a的值是 6 ．【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．【解答】解：由题意可知：3a﹣4=a+8，解得：a=6故答案为：6【点评】本题考查同类二次根式与最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式与最简二次根式的概念，本题属于基础题型．3．若a、b为实数，且b=+5，则a+b的值为 4【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：a2﹣1=0，a﹣1≠0，解得：a=﹣1，则b=5，故a+b=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a，b的值是解题关键．4．已知，则x3﹣17x+2006= 2010 ．【分析】由已知分母有理化得x=+2，即（x﹣2）2=5，整理得x2﹣4x﹣1=0，再将所求代数式变形，代入即可．【解答】解：∵=+2，∴（x﹣2）2=5，整理得x2﹣4x﹣1=0，∴x3﹣17x+2006=x3﹣4x2﹣x+4x2﹣16x﹣4+2010=x（x2﹣4x﹣1）+4（x2﹣4x﹣1）+2010=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，代数式的变形，整体代入的思想．5．若a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：= 3 ．【分析】先根据数轴判断出a、b、c的大小及符号，再根据有绝对值的性质及二次根式的定义解答．【解答】解：由数轴上各点的位置可知，a＜b＜0，c＞0，|a|＞|b|＞c，∴=﹣a；|a﹣b|=b﹣a；|a+b|=﹣（a+b）；|﹣3c|=3c；|a+c|=﹣（a+c）；故原式====3．故答案是：3．【点评】解答此题的关键是根据数轴上字母的位置判断其大小，再根据绝对值的规律计算．绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．二．解答题（共2小题）6．计算：（1）（﹣6）﹣（﹣6）（2）4×﹣（+）2+．【分析】（1）先化简每个二次根式，最后加减，有括号的可先算括号里面的；（2）先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【解答】解：（1）（﹣6）﹣（﹣6）=3﹣3﹣2+2=5﹣5（2）4×﹣（+）2+=2﹣（5+2）+（﹣2﹣）=﹣7﹣【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．7．阅读下面例题：计算．解：∵而＞∴请参照例题计算．【分析】通过上式找出规律，即可得出结论．【解答】解：∵（+）2=5++2×+5﹣=14而+＞0∴+=．【点评】本题属于探索题目，解答此类题目的关键是通过已知条件找规律．勾股定理：一．选择题（共30小题）1．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2等于（）【分析】根据勾股定理求出AC2+BC2的值，再整体计算．【解答】解：根据勾股定理，得：AC2+BC2=AB2=4，故AB2+AC2+BC2=4+4=8，故选C．【点评】熟练运用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（）A．100π﹣24 B．100π﹣48 C．25π﹣24 D．25π﹣48【分析】先根据勾股定理求出AC的长，进而可得出以AC为直径的圆的面积，再根据S阴影=S圆﹣S△ABC即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中∠B=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∴AC为直径的圆的半径为5，∴S阴影=S圆﹣S△ABC=25π﹣×6×8=25π﹣24．故选C．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）【分析】利用两次勾股定理即可解答．【解答】解：∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∵AB=3，BD=2，∴AD==∵DC=1∴AC==．故选B．【点评】本题需先求出AD长，利用了两次勾股定理进行推理计算．4．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（）A．20 B．22 C．24 D．26【分析】先根据题意设出另外两直角边的长，再根据勾股定理列方程解答即可．【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，则斜边为（x+2），根据勾股定理得：（x+2）2﹣x2=62，解得x=8，∴x+2=10，∴周长为：6+8+10=24．故选C．【点评】本题需注意连续偶数应相隔2个数，主要利用了勾股定理进行解答．5．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．【分析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．【解答】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：=，∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：﹣1．故选C．【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．6．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．故选D．【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．7．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，则根据勾股定理得：62+x2=102；解得：x=8，故选C．【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．8．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B．C．D．2【分析】根据勾股定理进行逐一计算即可．【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC===；AD===；AE===2．故选D．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．9．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：D．1：4：1【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴c=2a，b=a，∴三条边的比是1：：2．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比．10．有一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．5或C．D．【分析】分4为斜边，以及4不为斜边，利用勾股定理求出第三边长即可．【解答】解：当4为斜边时，第三边为=；当4不是斜边时，第三边长为=5，则第三边长是5或．故选：B．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．11．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm【分析】分4为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解．【解答】解：当3和4是直角边时，第三边是=5；当4是斜边时，第三边是=．故选C．【点评】考查分类讨论思想，熟练运用勾股定理．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（）A． B．27 C．3 D．25【分析】根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB．【解答】解：∵△ACD为直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∴AD==2，∵△ABD为直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴AB==3，故选C．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．13．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10 B．5 C．2D．2【分析】设EC=x，DC=y，则直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1．在直角△ABC中，AB===2，故选C．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．14．长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A．不确定B．12 C．11 D．10【分析】要求球走过的总长度，就要求PQ+QR，根据计算得PQ+QR=BD=AC．根据此关系式可以解题．【解答】解：令PQ∥AC，则QR∥BD，∵撞击前后的路线与桌边所成的角相等∴图中所有三角形均相似；∴=，=，∴+==1，即PQ+QR=AC=BD，同理PS+SR=AC=BD，∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC．∵AC==5，∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC=10．故选D．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中令PQ∥AC是解题的关键．15．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式（）A．AD2=BD2+CD2B．AD2＞BD2+CD2C．2AD2=BD2+CD2D．2AD2＞BD2+CD2【分析】以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2；当D为BC边的端点时，有AD2=2（BD2+CD2），故有2AD2＞BD2+CD2．【解答】解：在等边三角形ABC中，当AD⊥BC时，则AD为等边三角形的中线，即D为中点，有AD2＞BD2+CD2；当D为BC边的端点时，有AD2=2（BD2+CD2），根据极限求值法，可知2AD2＞BD2+CD2．故选D．【点评】本题考查极限求值法的运用，而且取D为BC的中点和D为BC边端点的两个极限值，运用勾股定理求解．16．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，难度适中．17．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A=∠C﹣∠B B．a：b：c=2：3：4C．a2=b2﹣c2D．a=，b=，c=1【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC 为直角三角形；B、不妨设a=2，b=3，c=4，此时a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；C、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；D、由条件有a2+c2=（）2+12==（）2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC 是直角三角形；故选B．【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．18．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）A．5 B．6 C．D．5或【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论．【解答】解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2=42，解得x=；当4是直角三角形的直角边时，32+42=x2，解得x=5．故使此三角形是直角三角形的x的值是5或．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．19．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A．a=15，b=8，c=17 B．a=9，b=12，c=15C．a=7，b=24，c=25 D．a=3，b=5，c=7【分析】理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方．【解答】解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，在B组中，92+122=152=225，在C组中，72+242=252=625，而在D组中，32+52≠72，故选D．【点评】理解勾股数的定义，并能够熟练运用．20．一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A．4 B．C．D．【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式可知．【解答】解：∵一个三角形的三边的长分别是3，4，5，又∵32+42=52，∴该三角形为直角三角形．设这个三角形最长边上的高为h，根据3×4=5h，∴这个三角形最长边上的高为：h=．故选D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用．根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形是解题的关键．21．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】对原式进行化简，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C．【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．22．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b﹣c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC 是直角三角形的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直角三角形的定义或勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．【解答】解；①∠A=∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=90°，故①是直角三角形；②∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故②不是直角三角形；③∵a2=（b+c）（b﹣c），∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形；④∵a：b：c=5：12：13，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形．能判断△ABC是直角三角形的个数有3个；故选：C．【点评】本题考查了利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理来判定一个三角形是不是直角三角形，是判定直角三角形的常见方法．23．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB===13cm，故h=24﹣13=11cm．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选C．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．24．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0 B．1 C．D．【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【解答】解：根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2013÷6=335…3，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止的点都是C1，所以它们之间的距离是0．故选A．【点评】此题是一道趣味性题目，不仅考查了阅读理解能力，还考查了勾股定理在空间的应用，综合性较强．25．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（）。
人教版 八年级数学下册二次根式、勾股定理 综合测试卷 (含答案解析)
（2）当﹣4＜x＜1时，化简 ﹣2 ．
21.一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？
22.综合题
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
A. B. C. D.
2.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x＜1 C. x≥1 D. x≤1
3.下列变形中，正确的是（ ）
A.（2 ）2=2×3=6 B.
C. D.
4.下列组合哪个不是勾股数（）
A.30,40,50 B.7,24,25 C.5,12,13 D.1,2,3
【解析】【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件可得x的值，进一步得到y的值，代入 得到它的平方根；
（2）由于﹣4＜x＜1，根据完全平方公式和二次根式的性质得到 ﹣2 =|x+4|﹣2|x﹣1|，再去绝对值化简即可．
21.【答案】解：不对．
理由：如图，依题意可知
AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，
22.【答案】（1）解： ，
，
故 ＜
（2）解： ，
，
故 ＜
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）比较两个二次根式的大小，用分母有理化的法则先将其化为最简二次根式，再比较大小即可；（2）方法同（1）.
23.【答案】解：如图，AB=28 ，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，∴∠ACP=45°，
5.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（）
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2.
已知直角三角形的两边长 x 、 y 满足 x 2 4 y 2 5 y 6 0 ，则第三边长为______
3.
在 △ ABC 中， AB 15 ， AC 13 ，高 AD 12 ，则三角形的周长是______．
4.
已知直角三角形的三边长为 6 、 8 、 x ，则以 x 为边的正方形的面积为______．
二、实数计算和二次根式 ....................................................................................... 8
1．实数加减运算.....................................................................................................................8 2．实数混合计算.....................................................................................................................9 3．利用平方根解方程........................................................................................................... 10 4．最简二次根式...................................................................................................................11 5．同类二次根式...................................................................................................................12 6．二次根式加减运算........................................................................................................... 13 7．二次根式混合运算........................................................................................................... 14 8．二次根式巧算...................................................................................................................16 9．先化简，再求值............................................................................................................... 17
在数学方面向来是得计算者得天下！ 在强大的计算能力面前， 很多所谓的技巧都只不过是花 拳绣腿，并无大用．如果你觉得自己数学学得不好，一定要先在计算上下工夫，因为练计算 是最容易的，只需要练而已．突破了这一块，就打通了任督二脉，以后学什么“武林绝学” 都会得心应手，事半功倍，有如神助！ 然而对于计算能力这种“内功” ，没有“大还丹”可以瞬间提升功力，也没有“绝世高手” 能把一生的修为直接灌输给你．只能日积月累，慢慢修炼，而且这个过程还有些略显枯燥， 有些单调，很能磨练你的意志．本攻略仅供各位同学在国庆来临之际娱乐消遣，而以后的修 炼之路还很漫长．
国 庆 攻 略
——“学而思教研部”为你们精心准备的“国庆大礼包” ．
目 录
使用说明 .................................................................................................................. 3 一、直角三角形 ....................................................................................................... 4
本攻略中也有几道难题，很巧妙！如果这几道巧题能激起你无限的数学兴趣，而陷入深深地 思考当中，不断的探索着解题之路．恭喜你，你一定会成为真正的数学高手！
数学好玩 3
一、直角三角形 1．简单的计算 1. 若一个直角三角形的两边长分别为 12 和 5 ，则此三角形的第三边长为______．
答 案 ...................................................................................................................... 24
数学好玩 2
使用说明
1．简单的计算.................................................................................................................4 3．勾股定理的应用.................................................................................................................6 4．特殊直角三角形..............................................................................................................均为整数，周长为 30，求它的斜边长.
数学好玩 4
2．几何图形中的计算 6. 已知在 △ ABC 中， AD 、 AE 分别是 BC 边上的高和中线， AB 9cm ， AC 7 cm ， BC 8cm ，求 DE 的长．
以下 100 以内整数的开方问题，就以此开篇，来挑战一下：
1 _______; 2 _______; 3 _______; 4 _______; 5 _______; 6 _______; 7 _______; 8 _______; 9 _______; 10 ______; 11 _______; 12 _______; 13 _______; 14 _______; 15 _______; 16 _______; 17 _______; 18 _______; 19 _______; 20 _______; 21 _______; 22 _______; 23 _______; 24 _______; 25 _______; 26 _______; 27 _______; 28 _______; 29 _______; 30 _______; 31 _______; 32 _______; 33 _______; 34 _______; 35 _______; 36 _______; 37 _______; 38 _______; 39 _______; 40 _______; 41 _______; 42 _______; 43 _______; 44 _______; 45 _______; 46 _______; 47 _______; 48 _______; 49 _______; 50 _______; 51 _______; 52 _______; 53 _______; 54 _______; 55 _______; 56 _______; 57 _______; 58 _______; 59 _______; 60 _______; 61 _______; 62 _______; 63 _______; 64 _______; 65 _______; 66 _______; 67 _______; 68 _______; 69 _______; 70 _______; 71 _______; 72 _______; 73 _______; 74 _______; 75 _______; 76 _______; 77 _______; 78 _______; 79 _______; 80 _______; 81 _______; 82 _______; 83 _______; 84 _______; 85 _______; 86 _______; 87 _______; 88 _______; 89 _______; 90 _______; 91 _______; 92 _______; 93 _______; 94 _______; 95 _______; 96 _______; 97 _______; 98 _______; 99 _______; 100 _______;
三、不等式 ............................................................................................................ 18
1．不等式的性质...................................................................................................................18 2．解一元一次不等式........................................................................................................... 19 3．解一元一次不等式组....................................................................................................... 20 4．绝对值不等式...................................................................................................................21 5．含参不等式.......................................................................................................................22 6．含参不等式组...................................................................................................................23