2014年高考数学(文)试题(湖南卷)(有答案)
2014年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10p x R x ∀∈+>,则p ⌝为（ ）（A ）200,10x R x ∃∈+> (B ）200,10x R x ∃∈+≤ （C ）200,10x R x ∃∈+< （D ）200,10x R x ∀∈+≤ 【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤，故选B ． （2)【2014年湖南，文2,5分】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ )（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x > (C ）{|23}x x << （D ）{|13}x x << 【答案】C【解析】由题可得{|23}A B x x =<<，故选C ．(3)【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则（ ）（A ）123p p p =< (B)231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （4)【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是( )（A ）21()f x x =（B ）2()1f x x =+ （C ）3()f x x = (D)()2xf x -=【答案】A【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，所以排除C 、D 选项．由二次函数的图像可得选项B 在(),0-∞是单调递减的，根据排除法选A ．因为函数2y x =在(),0-∞是单调递减的且1y x=在()0,+∞是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(),0-∞是单调递减的，故选A ．（5）【2014年湖南,文5，5分】在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）（A ）45 （B)35 (C ）25 （D ）15【答案】B【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-，因为[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35p =,故选B ． （6）【2014年湖南，文6,5分】若圆221:1C x y +=21x=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =( ）(A ）21 （B ）19 （C ）9 （D ）11- 【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，所以25025m m ->⇒<且圆2C的圆心为()3,4,半径为25m -，根据圆和圆外切的判定可得()()2230401259m m -+-=+-⇒=,故选C ．(7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于( )（A ）[]6,2-- （B)[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[]2,0t ∈-时,运行程序如下:(]2211,9t t =+∈，(]32,6S t =-∈-，当[]0,2t ∈时，(]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．(8）【2014年湖南,文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ）（A)1 (B ）2 （C ）3 (D ）4 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直角三角形）所对应的2121ln ln x x e x x x -<- C.内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切 圆的半径r ，则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B ．（9）【2014年湖南，文9，5分】若1201x x <<<，则（ ）（A ）2121ln ln x x e e x x ->- （B ）2121ln ln x x e e x x -<- (C ）1221x x x e x e > （D ）1221x x x e x e < 【答案】C【解析】设()ln x f x e x =-,则(]0,1x ∈时,()1xf x e x'=-的符号不确定，()f x ∴的单调性不确定．设()x e g x x =,则()0,1x ∈时，()()210xx eg x x -'=<，()g x ∴在()0,1上单调递减，()()1212122112x x x x e e g x g x x e x e x x ∴<⇒<⇒<,故选C ．(10)【2014年湖南,文10，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点,(1,0),(03),(30)A B C -，，，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( ）（A)[4,6] （B ）[19119+1]-， （C ）[2327]，（D ）[717+1]-， 【答案】D【解析】点D 的轨迹是以C 为圆心的单位圆，设()[)()3cos ,sin 0,2D θθθπ+∈，则OA OB OD ++()()()223cos 1sin 3822cos 3sin θθθθ=+-++=++．因为2cos 3sin θθ+的取值范围是()()222223,237,7⎡⎤⎡⎤-++=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故827,82771,71OA OB OD ⎡⎤⎡⎤++∈-+=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦,故选D ． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(11）【2014年湖南,文11，5分】复数23i i +（i 为虚数单位）的实部等于 ．【答案】3-【解析】由题可得所以23i 3i i +=--，3i --的实部为3-．（12）【2014年湖南，文12,5分】在平面直角坐标系中,曲线222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为 ．【答案】10x y --= 【解析】联立222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 可得110x y x y -=⇒--=．（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量y x ，满足约束条件41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为 ．【答案】7【解析】作出不等式组41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数2z x y =+在点()3,1处取得最大值7．（14）【2014年湖南，文14,5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直 线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点()10P -，且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 ． 【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由题设知机器人在以点(1,0)F 为焦点的抛物线24y x =上,且()1y k x =+与抛物线24y x =无交点，()22441y xy y k k y k x ⎧=⎪⇒=⋅+⇒⎨=+⎪⎩方程204y k y k ⋅-+=无实根，则0k ≠且2101k k ∆=-<⇒<-或1k >, 所以()(),11,k ∈-∞-+∞．（15）【2014年湖南，文15，5分】若()()3ln 1xf x e ax =++是偶函数,则a = ．【答案】23-【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()()33ln 1ln 1x x f x f x e ax e ax --=⇒+-=++⇒()()333ln 13ln 1322x x e x ax e ax x ax a +--=++⇒-=⇒=-．三、解答题:本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年湖南,文16，12分】已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n N *+=∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n ann n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和．解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，∴*()n a n n N =∈． (2）由题意得：2(1)2(1)n a n n n n n b a n =+-=+-，∴数列{}n b 的前2n 项和2n T 为22212(222)(12342)22n n n T n n +=++++-+-+-+=-+． （17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败;b b ，分别表示乙组研发成功和失败． （1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．解：(1）甲组研发新产品的成绩为1,1，1,0，0,1,1,1，0，1,0,1,1,0，1，其平均数为102==153x 甲．方差为2221222=[(1)10(0)5]15339S -⨯+-⨯=甲;乙组研发新产品的成绩为1,0，1，1,0，1,1，0,1，0,0，1,0,1,1,其平均数为93==155x 乙．方差为2221336=[(1)9(0)6]155525S -⨯+-⨯=乙 22><x x S S 甲乙甲乙，，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．（2）记E =｛恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =． (18）【2014年湖南,文18,12分】如图，已知二面角MN αβ--的大小为60°，菱形ABCD在面β内，,A B 两点在棱MN 上，BAD ∠=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α，垂足为 O ．(1）证明:AB ⊥平面ODE ；（2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 解：（1）∵DO α⊥，AB α⊂，∴DO AB ⊥．∵四边形ABCD 问菱形，60BAD ∠=︒，连结BD ，则ABD ∆为正三角形．又E 为AB 的中点，∴DE AB ⊥．而DO DE D =,∴AB ⊥平面ODE ． （2）∵//BC AD ，∴ADO ∠是直线BC ，OD 所成的角． 由（1)知,AB ⊥平面ODE ,∴AB OE ⊥，AB DE ⊥，∴DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,∴60DEO ∠=︒．设2AB =,则2AD =，3DE =，3sin 602DO DE =︒=．连结AO ，则3cos 4DO ADO AD ∠==，∴异面直线BC ，OD 所成的角的余弦值为34．（19）【2014年湖南，文19,13分】如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥,1DE =,7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=． (1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长． 解：（1）在CDE ∆中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-⋅⋅∠．即227+1+CD CD =，2+60CD CD -=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED α∠=，sin sin EC CDD α=∠，即722sin sin 3πα=，21sin 7α∴=． (2）0<<3πα，21sin 7α=，27cos 7α∴=， 2227cos cos()cos cos +sin sin 33314AEB πππααα∴∠=-==， 在ABE ∆中，cos EAAEB BE ∠=，247cos 7/14EA BE AEB ∴===∠．(20）【2014年湖南，文20，13分】如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．解：（1)设2C 的焦距为22c ，则12222a c ==，∴121a c ==．23(,1)3P 在1C 上，∴2212123:()13y C b -=,213b =． 由椭圆定义知，2222223232()(11)()(11)2333a =+-+++=，∴23a =，2222222b a c =-=， ∴12,C C 的方程分别为22221,1332y y x x -=+=．（2）不存在符合题设条件的直线．①若l x ⊥轴，∵l 与2C 只有一个公共点，∴l 的方程为2x =或2x =-．当2x =时，易得()2,3A ,()2,3B-， ||22,||23OA OB AB +==,此时||||OA OB AB +≠．②若l 不垂直x 轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得222(3)230k x k m x m ----=．当l 与1C 有两个交点()11,A x y ，()22,B x y 时，12223k mx x k +=-，212233m x x k +=-,于是222212121212233()()()3k m y y kx b kx b k x x km x x m k -=++=+++=-，再将y kx b =+代入椭圆方程整理得222(23)4260k x k m x m +++-=，∵l 与2C 只有一个公共点，∴由0∆=,可得2223k m =-,于是有22222212122222333323303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +--+--⋅=+=+==≠----∴2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=⋅≠，即||||OA OB AB +≠． 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．（21）【2014年湖南,文21,13分】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．（1)求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<．解:（1）()cos sin cos f x x x x x '=--，令()0f x '=，则*()x k k N π=∈． 当(2,2)()x k k k N πππ∈+∈时,()0f x '<，当(2,22)()x k k k N ππππ∈++∈时，()0f x '>，∴()f x 的单调减区间为(2,2)()k k k N πππ+∈, ()f x 的单调增区间为(2,22)()k k k N ππππ++∈． （2)由(1）知,()f x 在区间(0,)π上单调递减,∵()02f π=,∴12x π=．当*n N ∈时，∵1()()[(1)1][(1)(1)1]0n n f n f n n n πππππ+⋅+=-+⋅-++<， 且()f x 的图像是连续不断的，∴()f x 在区间(,)n n πππ+内至少有一个实根,又()f x 在区间(,)n n πππ+上是单调的，∴1n n x n πππ+<<+．由此可得 222222221211111111111[41][41]23(1)1223(2)(1)n x x x n n n ππ+++<+++++<+++++-⨯⨯--2222111111111162[41(1)()()](411)(6)22321113n n n n ππππ=++-+-++-=++-=-<<---- 综上可知，对一切*n N ∈,都有2221211123n x x x +++<．。
数学_2014年湖南省某校高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2014年湖南省某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x2−3x<0}，B={x|log3(x−1)<1}，则下列结论中正确的是（）A 2∈A∩B且1∈A∪B B 2∈A∩B且1∉A∪BC 2∉A∩B且1∈A∪BD 2∉A∩B且1∉A∪B2. 某同学为了研究学生的性别与是否支持某项活动的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，已知样本的观测值K2=7.28，临界值如下表所示：则有多大把握认为“学生的性别与支持这项活动有关系”（）A 99.9%B 99.5%C 99.3%D 99%”是“点M在第四象3. 设复数z=(1−2i)(a+i)(a∈R)在复平面内对应的点为M，则“a>25限”的什么条件（）A 充分不必要B 必要不充分C 充分且必要D 既不充分也不必要4. 执行如图所示的程序框图，若输入a1=2，a2=0，a3=1，a4=4，则计算机输出的结果是（）A 2B 0C 1D 4)的图象是由函数y=sinx的图象经过，下列哪两次变换而得到的5. 函数y=sin(2x+π3（）A 先将y=sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得图象向左平移π个单3位 B 先将y=sinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平衡π3个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到个单位 C 先将y=sinx的图象向左平移π3原来的一半 D 先将y=sinx的图象向左平移π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩3短到原来的2倍6. 某个几何体的三视图如图所示，其中侧视图是由一个边长为a 的正三角形和底边上的高组成，俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）A a 38B a 34C a 32D a 3 7. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，且以a 1+a 2>2a 3，则公比q 的取值范围是（ ）A (0, 12)B (12, 1)C (0, 1)D (1, +∞) 8. 已知两直线l 1:3x −4y +7=0和l 2:x =−1，点P 在抛物线y 2=4x 上运动，则点P 到直线l ，和l 2的距离之和的最小值是（ ）A 2B 115C 125D 3 9. 已知函数f(x)={sinπx(0≤x ≤1)log 2014x(x >1)，若a 、b 、c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是（ ）A (1, 2014)B (1, 2015)C (2, 2015)D [2, 2015]10. 在△ABC 中，∠BAC =120∘，|AB →|=2，|AC →|=1，点P 满足BP →=λBC →(0≤λ≤1)，则BP →2−AP →⋅BC →的取值范围是（ ）A [14, 3]B [12, 5]C [−2, 154]D [134, 5]二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把备题答案的最简形式写在题中的横线上， 11. 将某组样本数据按[7.5, 8.5),[8.5, 9.5),[9.5, 10.5]分成3组，其频率分布直方图如图所示，由此估计这组样本数据的中位数是________．12. 已知某圆锥曲线C 的极坐标方程为ρ2=121+2cos2θ，则曲线C 的离心率为________．13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 5=4，a 6=10，且S n =80，则n =________．14. 对满足不等式组{x ≥1x +y −4≤0x −y ≤0的任意实数x ，y ，若存在实数k ，使得y −kx =1，则k的取值范围是________．15. 对于函数f(x)，若存在常数T 和S(T >0, S ≠0)，使当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x +T)=f(x)+S 成立，则函数f(x)称为“类周期函数”，T 叫做“类周期”．设g(x)是定义在R 上以1为周期的周期函数ℎ(x)=2x +g(x)，则（1）ℎ(x)是类周期函数，当类周期T =1时，S =________；（2）若当x ∈[3, 4]时，ℎ(x)的值域为[2, 8]，则当x ∈[0, 1]时，ℎ(x)的值域为________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 已知函数f(x)=2sinωx(√3cosωx −sinωx)+1(ω>0)的最小正周期为3π（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）在△ABC 中，若f(C)=2，且3sin 2A =cosB −sin(B −C)，求sinA 的值．17. 已知二次函数f(x)=ax 2−4bx +2．（1）任取以a ∈{1, 2, 3}，b ∈{−1, 1, 2, 3, 4}，记“f(x)在区间[1, +∞)上是增函数”为事件A ，求A 发生的概率；（2）任取(a, b)∈{(a, b)|a +4b +2≤0, b >0}，记“关于x 的方程f(x)=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ，求B 发生的概率．18. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2AD ，∠BAD =60∘，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起到△PDE 的位置，使平面PDE ⊥平面BCDE ．（1）证明：平面PCE ⊥平面PDE ；（2）设F 、M 分别为PC 、DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角．19. 如图，某园林公司计划在一块半径为定值R （单位：优）的半圆形土地上种植花木、草皮，其中弓形CMD 区域用于种植花草样品供人观赏，△OCD （O 为圆心）区域用于种植花木出售，扇形OAĈ和OBD ̂区域用于种植草皮出售．已知在一个种植周期内，种植花木的利润是48元/m 2，种植草皮的利A 润是18元/m 2，样品观赏地的维护费用是12元/m 2．（1）若∠COD =π6，求样品观赏地的维护费用；（2）园林公司应如何设计∠COD 的大小，才能在这块土地上获取最大收益？20. 设M 为曲线C 上任意一点，F(l, 0)为定点，已知点M 到直线x =4的距离等于2|MF|．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 是圆x 2+y 2=2的任意一条切线，且与曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．试推断是否存在直线l ，使OA →⋅OB →=1？若存在，求出直线z 的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)={−x 3+x 2，x <1alnx,x ≥1，其中a 为实常数，且a ≠0． （1）若a ≤−1，证明：当x ≥1时，f(x)≥(a +2)x −x 2；（2）设0为坐标原点，若在函数y =f(x)的图象上总存在不同两点A ，B ，使OA ⊥OB ，且线段AB的中点在y轴上，求a的取值范围．2014年湖南省某校高考数学二模试卷（文科）答案1. A2. D3. D4. D5. C6. A7. C8. A9. C10. D11. 9.112. 213. 1014. [0, 2]15. （1）2；（2）[−4, 2]．16. 解：（1）∵ f(x)=2sinωx(√3cosωx−sinωx)+1=2√3sinωxcosωx−2sin2ωx+1=√3sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+π6 )∴ f(x)=2sin(2ωx+π6)∵ T=2π2ω=3π，∴ ω=13，∴ f(x)=2sin(23x+π6)，∵ f(x)>1，∴ 2sin(23x+π6)>1，∴ 2sin(23x+π6)>12，∴ 2kπ+π6<23x+π6<2kπ+5π6，k∈Z，∴ 3kπ<x<3kπ+π，k∈Z，∴ 不等式f(x)>1的解集{x|3kπ<x<3kπ+π, k∈Z }；（2）∵ f(C)=2，∴ f(C)=2sin(23C +π6)=2， ∴ sin(23C +π6)=1， ∵ C ∈(0, π)，∴ (23C +π6)∈(π6, 5π6)， ∴ 23C +π6=π2，∴ C =π2， ∴ A +B =π2，∴ B =π2−A ，B −C =−A ， ∵ 3sin 2A =cosB −sin(B −C)，∴ 3sin 2A =cos(π2−A)−sin(−A)，∴ 3sin 2A =2sinA ，∵ sinA ≠0，∴ sinA =23． ∴ sinA 的值23．17. 解：（1）∵ a 有三种取法，b 有5种取法，则对应的函数有3×5=15个， ∵ 二次函数f(x)=ax 2−4b +2的图象关于直线x =−b 2a 对称，若事件发生，则a >0，且2b a ≤1，此时(a, b)的取值为(1, −1)，(2, −1)，(2, 1)，(3, −1)，(3, 1)共5种， 故A 发生的概率P(A)=515=13； （2）集合{(a, b)|a +4b +2≤0, b >0}对应的平面区域为Rt △AOB ，如图， 其中A(6, 0)，B(0, 32)，则Rt △AOB 的面积为12×32×6=92， 若事件B 发生，则f(1)<0，即a −4b +2<0，所以事件B 对应的平面区域为△BCD ，由{x +4y −6=0x −4y +2=0，得交点坐标为D(2, 1) 又C(0, 12)，则△BCD 的面积为12×(32−12)×2=1，所以P(B)=2918. （1）证明：∵ AB=2AD，E为AB的中点，∴ AE=AD，∴ ∠BAD=60∘，∴ △ADE为正三角形，∴ ∠AED=60∘，∵ BE=BC，∠CBE=120∘，∴ ∠CEB=30∘，∴ CE⊥DE，∵ 平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，∴ CE⊥平面PDE，∴ 平面PCE⊥平面PDE；（2）解：取PE中点G，连接FG，则∵ F为PC的中点，∴ FG // CE，∴ FG⊥平面PDE，连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角．设AD=2，则GM=12PD=1，在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120∘，则CE2=4+4−2⋅2⋅2cos120∘=12，∴ CE=2√3，∴ FG=√3．在直角△FGM中，tan∠FMG=FGGM=√3，∴ ∠FMG=60∘，∴ 直线MF与平面PDE所成的角为60∘．19. 解：（1）∵ ∠COD=π6，CO=DO=R，则△OCD的面积为12R2sinπ6=R24，扇形OCMD̂的面积为12⋅π6R2=πR212，∴ 弓形CMD的面积为πR212−R24=π−312R2，∴ 样品观赏地的维护费用为π−312R2×12=(π−3)R2．（2）．设∠COD =θ，单位：弧度，S 扇形=12Rθ，S △OCD =12R 2sinθ，S 弓形=f(θ)=12R 2(θ−sinθ)设总利润为y 元，草皮利润为y 1元，花木地利润为y 2，观赏样板地成本为y 3， ∴ y =y 1+y 2−y 3=18×(12πR 2−12R 2θ)+48×12R 2sinθ−12×12R 2(θ−sinθ)=3R 2[3π−(5θ−10sinθ)]，设g(θ)=5θ−10sinθ，θ∈(0, π)∴ g′(θ)=5−10cosθ，当g′(θ)<0，cosθ>12，g(θ)在(θ,π3)上为减函数； 当g′(θ)>0，cosθ<12，g(θ)在(π3,π)上为增函数． 当θ=π3时，g(θ)取到最小值，此时总利润最大． 所以当园林公司把扇形的圆心角设计成π3时，总利润最大20. 解：（1）设点M(x, y)，由已知|x −4|=2√(x −1)2+y 2， 则(x −4)2=4[(x −1)2+y 2]，整理，得3x 2+4y 2=12，∴ 曲线C 的方程为x 24+y 23=1．（2）①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b ， ∵ 直线l 与圆x 2+y 2=2相切，则√1+k 2=√2，∴ b 2=2(k 2+1)，把y =kx +b 代入3x 2+4y 2=12，得3x 2+4(kx +b)2=12， 即(4k 2+3)x 2+8kbx +4b 2−12=0，设点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8kb 4k 2+3，x 1x 2=−4b 2−124k 2+3， ∴ OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b) =kb(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+b 2=−8k 2b 24k 2+3+(k 2+1)(4b 2−12)4k 2+3+b 2 =7b 2−12(k 2+1)4k 2+3=2(k 2+1)4k 2+3， 令2(k 2+1)4k 2+3=1，则4k 2+3=2k 2+2，即2k 2+1=0，无解．②当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2， 代入x 24+y 23=1，解得y =±√62，此时OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=2−64=12， 综上所述，不存在直线l 满足条件．21. 证明：（1）设g(x)=f(x)−(a +2)x +x 2； 当x ≥1时，g(x)=alnx +x 2−(a +2)x ， ∴ g′(x)=a x +2x −(a +2)=2x 2−(a+2)x+a x =(2x−a)(x−1)x ，∵ a ≤−1，x ≥1，故g′(x)≥0恒成立， 故g(x)在[1, +∞)上是增函数，故当x ≥1时，g(x)≥g(1)=−(a +1)≥0， 即当x ≥1时，f(x)≥(a +2)x −x 2； 解：（2）∵ 线段AB 的中点在y 轴上，∴ A ，B 两点的横坐标互为相反数， 设A(x, y 1)，B(−x, y 2)，(x >0)①若x =1，则y 1=alnx =0，y 2=1+1=2， 此时点A(1, 0)，B(−1, 2)，此时OA ⊥OB 不成立，②若0<x <1，则y 1=−x 3+x 2，y 2=x 3+x 2， 由方程x ⋅(−x)+(−x 3+x 2)(x 3+x 2)=0无正解， 故此时OA ⊥OB 不成立，③若x >1，则y 1=alnx ，y 2=x 3+x 2， 若OA ⊥OB ，则x ⋅(−x)+(alnx)(x 3+x 2)=0， 即1a =(x +1)lnx ，设ℎ(x)=(x +1)lnx ，(x >1)则ℎ′(x)=lnx +x+1x >0，即ℎ(x)在(1, +∞)上是增函数，则当x >1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，即ℎ(x)的值域是(0, +∞)，即1a ∈(0, +∞)，即a ∈(0, +∞)，。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖南,文1)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则p为()A.∃x0∈R,x02+1>0B.∃x0∈R,x02+1≤0C.∃x0∈R,x02+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0答案:B解析:因为全称命题的否定为特称命题,所以p为∃x0∈R,x02+1≤0.故选B.2.(2014湖南,文2)已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=()A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<3}答案:C解析:由交集的概念,结合数轴(数轴略)可得A∩B={x|2<x<3}.故选C.3.(2014湖南,文3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则()A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案:D解析:由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3,故选D.4.(2014湖南,文4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x答案:A解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数.A选项,f'(x)=-2x3在(-∞,0)恒大于0;B选项,f'(x)=2x在(-∞,0)恒小于0.故选A.5.(2014湖南,文5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15答案:B解析:由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=3,故选B.6.(2014湖南,文6)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11答案:C解析:易知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=25-m(m<25).由两圆相外切得|C1C2|=r1+r2=1+25-m=5,解方程得m=9.故选C.7.(2014湖南,文7)执行如图所示的程序框图.如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于()A .[-6,-2]B .[-5,-1]C .[-4,5]D .[-3,6]答案:D解析:当t ∈[-2,0)时,执行以下程序:t=2t 2+1∈(1,9],S=t-3∈(-2,6];当t ∈[0,2]时,执行S=t-3∈[-3,-1],因此S ∈(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6].故选D .8.(2014湖南,文8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4答案:B 解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA ,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B .9.(2014湖南,文9)若0<x 1<x 2<1,则( ) A .e x 2−e x 1>ln x 2-ln x 1 B .e x 2−e x 1<ln x 2-ln x 1 C .x 2e x 1>x 1e x 2 D .x 2e x 1<x 1e x 2答案:C解析:设f (x )=e x -ln x ,则f'(x )=x ·e x -1.当x>0且x 趋近于0时,x ·e x -1<0;当x=1时,x ·e x -1>0,因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2),因此A,B 不正确;设g (x )=e x x,当0<x<1时,g'(x )=(x -1)e xx 2<0,所以g (x )在(0,1)上为减函数.所以g (x 1)>g (x 2),即e x 1x 1>e x 2x 2,所以x 2e x 1>x 1e x 2.故选C .10.(2014湖南,文10)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0, 3),C (3,0),动点D 满足|CD |=1,则|OA +OB +OD |的取值范围是( ) A .[4,6] B .[ -1, +1] C .[2 3,2 7] D .[ 7-1, 7+1]答案:D解析:设动点D 的坐标为(x ,y ),则由|CD |=1得(x-3)2+y 2=1,所以D 点的轨迹是以(3,0)为圆心,1为半径的圆.又OA +OB +OD =(x-1,y+ ),所以|OA +OB +OD |= (x -1)2+(y + 3)2,故|OA +OB +OD |的最大值为(3,0)与(1,- )两点间的距离加1,即 1,最小值为(3,0)与(1,- )两点间的距离减1,即 1.故选D . 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2014湖南,文11)复数3+i i 2(i 为虚数单位)的实部等于 .答案:-3解析:由题意可得3+i i2=3+i-1=-3-i,故复数的实部为-3. 12.(2014湖南,文12)在平面直角坐标系中,曲线C : x =2+ 2t ,y =1+ 2t(t 为参数)的普通方程为 . 答案:x-y-1=0解析:两式相减得,x-y=2-1,即x-y-1=0.13.(2014湖南,文13)若变量x ,y 满足约束条件 y ≤x ,x +y ≤4,y ≥1,则z=2x+y 的最大值为 .答案:7解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,作直线l 0:2x+y=0并平移,当直线经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值,且最大值为7. 14.(2014湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P (-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y 2=4x.由题意知过点P 的直线为y=kx+k (k ≠0),要使机器人接触不到过点P 的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得k4y 2-y+k=0,即Δ=1-k 2<0,解得k>1或k<-1. 15.(2014湖南,文15)若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a= . 答案:-3解析:由题意得f (-x )=ln(e -3x +1)-ax=ln 1+e 3xe3x -ax=ln(1+e 3x )-ln e 3x -ax=ln(e 3x +1)-(3+a )x ,而f (x )为偶函数,因此f (-x )=f (x ),即ax=-(3+a )x ,所以a=-3.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)(2014湖南,文16)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和.分析:在第(1)问中,通过S n 可求出a n ,在求解过程中要注意分n=1和n ≥2两种情况进行讨论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论得到b n =2n +(-1)n n ,然后利用分组求和法分别计算(21+22+…+22n )和(-1+2-3+…+2n ),最后相加得到{b n }的前2n 项和. 解:(1)当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n −(n -1)2+(n -1)=n.故数列{a n }的通项公式为a n =n.(2)由(1)知,b n =2n +(-1)n n.记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A=21+22+ (22),B=-1+2-3+4-…+2n ,则A=2(1-22n )1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n ]=n.故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A+B=22n+1+n-2.17.(本小题满分12分)(2014湖南,文17)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ) 其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败;b ,b 分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.分析:在第(1)问中,通过已知条件可分别写出甲、乙两组的成绩,然后利用平均数公式分别计算甲、乙两组的平均成绩,再结合方差公式得到甲、乙两组的方差,进而比较甲、乙两组的研发水平;在第(2)问中,充分利用古典概型的概率公式,转化为计算基本事件的个数,从而求得概率. 解:(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为x 甲=1015=23; 方差为s 甲2=115 1-23 2×10+ 0-232×5 =29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为x 乙=9=3; 方差为s 乙2=115 1-352×9+ 0-352×6 =625. 因为x 甲>x 乙,s 甲2<s 乙2,所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记E={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共7个.故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率,即得所求概率为P (E )=7.18.(本小题满分12分)(2014湖南,文18)如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,∠BAD=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α,垂足为O. (1)证明:AB ⊥平面ODE ;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.分析:在第(1)问中,可利用线面垂直的判定定理证明,由DO ⊥平面α可得到DO ⊥AB ,然后利用△ABD 为正三角形得到DE ⊥AB ,最后根据线面垂直的判定定理得出所证结论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论AB ⊥平面ODE ,从而得到二面角α-MN-β的平面角,达到立几化平几的目的,即转化为求∠ADO 的余弦,然后利用解直角三角形的方法求出余弦值.解:(1)如图a,因为DO ⊥α,AB ⊂α,所以DO ⊥AB.图a连接BD ,由题设知,△ABD 是正三角形. 又E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB. 而DO ∩DE=D ,故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即∠ADO 是BC 与OD 所成的角. 由(1)知,AB ⊥平面ODE ,所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ,于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°. 不妨设AB=2,则AD=2.易知DE= 3. 在Rt △DOE 中,DO=DE ·sin 60°=3. 连接AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO=DO=32=3.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19.(本小题满分13分)(2014湖南,文19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE=1,EC= 7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3. (1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助余弦定理得到CD 的长,然后在△CDE 中,利用正弦定理得到∠CED 的正弦值;在第(2)问中,利用∠CED 的正弦值求得其余弦值,然后利用角之间的关系表示出∠AEB ,进而表示出∠AEB 的余弦值,最后在Rt △EAB 中利用边角关系,求得BE 的长. 解:如题图,设∠CED=α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC. 于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD-6=0. 解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC=CDsin α. 于是,sin α=CD ·sin 2π3EC =2× 327=217,即sin ∠CED= 21.(2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α= 1-sin 2α= 1-2149=2 77. 而∠AEB=2π-α,所以cos ∠AEB=cos 2π-α =cos 2πcos α+sin 2πsin α=-1cos α+ 3sin α=-1×2 7+ 3×21=7.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB=EA =2,故BE=2= 714=4 7.20.(本小题满分13分)(2014湖南,文20)如图,O 为坐标原点,双曲线C 1:x 2a 12−y 2b 12=1(a 1>0,b 1>0)和椭圆C 2:y 2a 22+x 2b 22=1(a 2>b 2>0)均过点P2 3,1 ,且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1,C 2的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB |?证明你的结论.分析:在第(1)问中,利用已知条件结合图形以及双曲线、椭圆中a ,b ,c 的几何意义,列出关于a 1,b 1,a 2,b 2的方程,得到它们的值,从而求出双曲线C 1、椭圆C 2的方程;在第(2)问中,首先对直线l 的斜率进行分类讨论,当斜率k 不存在时易得A ,B 两点的坐标,进而判断满足题设条件的直线l 不存在;当斜率k 存在时,可先设出l 的方程,然后代入曲线方程,利用根与系数的关系并结合向量的运算,依此判断满足题设条件的直线l 不存在. 解:(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 33,1 在双曲线x 2-y 2b 12=1上,所以2 332−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)+ 2 332+(1+1)=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x 2-y 23=1,y 23+x 22=1. (2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 或x=- .当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3), 所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3. 此时,|OA+OB |≠|AB |. 当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m. 由 y =kx +m ,x 2-y 2=1得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0. 当l 与C 1相交于A ,B 两点时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由 y =kx +m ,y 2+x 2=1得(2k 2+3)x 2+4kmx+2m 2-6=0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k 2m 2-8(2k 2+3)(m 2-3)=0. 化简,得2k 2=m 2-3,因此OA·OB =x 1x 2+y 1y 2=m 2+3k 2-3+3k 2-3m 2k 2-3=-k 2-3k 2-3≠0,于是OA 2+OB 2+2OA ·OB ≠OA 2+OB 2-2OA ·OB , 即|OA +OB 2|≠|OA −OB 2|,故|OA +OB |≠|AB |. 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.21.(本小题满分13分)(2014湖南,文21)已知函数f (x )=x cos x-sin x+1(x>0).(1)求f (x )的单调区间;(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点,证明:对一切n ∈N *,有1x 12+1x 22+…+1n 2<2.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助导数,转化为判断导数在(0,+∞)上的符号,进而得出函数的单调区间;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到f (x )在(n π,(n+1)π)上存在零点,从而得出n π<x n+1<(n+1)π,然后分n=1,n=2,n ≥3三种情况讨论112+122+…+1n 2的值与2的大小关系,即可得证. 解:(1)f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x.令f'(x )=0,得x=k π(k ∈N *).当x ∈(2k π,(2k+1)π)(k ∈N )时,sin x>0,此时f'(x )<0; 当x ∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N )时,sin x<0,此时f'(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π,(2k+1)π)(k ∈N ),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N ). (2)由(1)知,f (x )在区间(0,π)上单调递减. 又f π=0,故x 1=π.当n ∈N *时,因为f (n π)f ((n+1)π)=[(-1)n n π+1][(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f (x )的图象是连续不断的,所以f (x )在区间(n π,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f (x )在区间(n π,(n+1)π)上是单调的,故n π<x n+1<(n+1)π.因此,当n=1时,1x 12=4π2<23; 当n=2时,1x 12+1x 22<1π2(4+1)<23;当n ≥3时,1x 12+1x 22+…+1x n 2<1π2 4+1+122+…+1(n -1)2 <1π2 5+11×2+…+1(n -2)(n -1) <12 5+ 1-1 + 1-1 +…+ 1n -2-1n -1 =1π2 6-1n -1<6π2<23. 综上所述,对一切n ∈N *,1x 12+1x 22+…+1x n 2<23.。
2014年湖南省数学(理)高考真题含答案(超完美word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．满足(z ii i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．34．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是zxxk A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6．执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]-7．一块石材表示的几何何的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C ．pq D ．(1)(1)1p q ++-9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 10．已知函数zxxk 221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是 A ．1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e - D ．1(,)e e- 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 12．如图，已知,AB BC 是O 的两条弦，,3,22,AO BC AB BC ⊥==则O 的半径等于13．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a = （二）必做题（14－16题）14．若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，则k =15．如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0),A B C -动点D 满足||1,CD OA OB OD =++则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． 求至少有一种新产品研发成功的概率； 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝，＝，＝ 求cos CAD ∠的值； 若721cos ,sin ,146BAD CBA ∠=-∠=求zxxk BC 的长．19． （本小题满分12分） 如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形． 证明：1;O O ABCD ⊥底面若1160,CBA C OB D ∠=-- 求二面角的余弦值．20． （本小题满分13分）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； 若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，zxxk 求数列{n a }的通项公式．21． （本小题满分13分）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知123,2e e =且24||3 1.F F =-求12,C C 的方程；过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22． （本小题满分13分）已知常数20,()ln(1).2xa f x ax x >=+-+函数 讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理科参考答案 一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D 【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=- ,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++()()111x p q ⇒=++-,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2xe x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a -+->ln ln a e a e ⇒<⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】2sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l的距离0d =,所以圆心在直线l上,故1y x =-2sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填2sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则2BD DC ==,由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒= ,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+. 【考点定位】抛物线16.【答案】23【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s,s i n 0,2θθθπ+∈,则()()223cos 1sin 3OA OB OD θθ++=+-++ ()82cos 3sin θθ=++,因为cos 3sin θθ+的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为1223=,故填23.【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:ξ0 120 100 220 ()P ξ215 41515 25则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值; (2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) 27cos 7CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠= 174217+-=⨯⨯277=,所以27cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得sin BAD ∠=21891cos 14BAD -∠=且221sin 1cos 7CAD CAD ∠=-∠=,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠18927217147714⎛⎫=⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭=333714+37=,再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠737216BC ⇒=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O == ,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2)25719【解析】(1)证明: 四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等 ∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,AC BD O AC B D O == ∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形 ∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又 AC BD O = 且,AC BD ⊆底面ABCD 1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D 又11O C ⊆ 面1111A B C D 111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形 1111O C O B ∴⊥ 又111OC OO ⊥ 且1111OO O C O = ,111,O O O B ⊆面1OB D 11O C ∴⊥面1OB D 又1B O ⊆ 面1OB D 111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥ 且1111O C O E O = ,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠= 060CBA ∠= 且四边形ABCD 为菱形 11O C a ∴=,113,BO a =22111112,7OO a B O B O OO a ==+=, 则1111111112221sin 377O O a O E B O O B O B O a a B O a=∠===再由11O EC ∆的勾股定理可得22221111121977EC O E O C a a a =+=+=, 则1111cos O E O EC EC ∠=221257719197a a ==,所以二面角11C OB D --的余弦值为25719. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值;(2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ 为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11n nn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a +-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-= ,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+-- 22141332m m a -⇒=+ .当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=- ,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2122211111111224224113321144m m m ---=-=--- 21241332m m a +=- ,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ 为奇数为偶数. 【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知1232e e =,且2431F F =-. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得2212221,1b b e e a a=-=+,且22122F F a b =-,因为1232e e =,且222224F F a b a b =+--,所以22223112b b a a -+= 且222231a b a b +--=-2a b ⇒=且1,2b a ==,所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22m n y n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222222222M n AB e x n =+=++()224212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为2222228282,,,4444n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,则点,P Q 到直线AB 的距离为22212281441n n n nd n +---=+ ,22222281441n n n nd n -----=+ ,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()222221222222282244411n n n n n n d d n n ++---+==++ ,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= 22184n n +-25814n =--,因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12x f x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时, ()()21'0a a f x x a -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a a ⎛⎫- ⎪+∞ ⎪⎝⎭单调递增的. (2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()()21'0a a f x x a -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a a ⎛⎫- ⎪+∞ ⎪⎝⎭单调递增的. (2)函数()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,由(1)可得当01a <<时,()()21'0a a f x x a-=⇒=±,则()21a a a --1a >-⇒ 12a ≠,则()21a a a-±为函数()f x 的两个极值点, ()()()()()12ln 121ln 12141f x f x a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+=+-+--+-⎣⎦⎣⎦()()ln 14141a a a a =--+-⎡⎤⎣⎦,因为112a <<或102a <<,则()1012a a <-<,则设()1t a a =-102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则()()()212ln 144f x f x t t +=-+,设函数()()2ln 144g x x x =-+102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭, 后续有待更新!!! 【考点定位】导数 含参二次不等式 对数。
2014年高考数学试卷,湖南高考文科数学试卷
【全国高考数学试卷】2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x =2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.49.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03B ，,()30C ，，动点D 满足 1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎤⎣⎦， D.7-17+1⎡⎤⎣⎦，二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 3i+12.在平面直角坐标系中，曲线222 :212x t Cy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）的普通方程为___________.13.若变量yx，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14yyxxy，则yxz+=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F的距离和到直线1-=x的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P且斜率为k的直线，则k的取值范围是___________.15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a____________.三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；18.（本小题满分12分） 如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.21.（本小题满分13分） 已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<精心整理资料，感谢使用！。
2014年高考文科数学三角函数真题附答案
2014年高考文科数学真题（三角函数）一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=_________．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=_________．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=_________；sinA=_________．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．2014年高考文科数学真题（三角函数）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．c os2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣c osθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos （α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。
【原创·解析系列】数学文卷·2014届湖南省长沙市高考模拟试卷(二模)试题(2014.04)
湖南省2014年长沙市高考模拟试卷（二模）数学（文科）试题（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 本试题卷共5页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。
姓名准考证号绝密★启用前长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上。
【试卷综析】本试题是一份涵盖知识点较全面的高三测试的好题，涉及范围广，包括集合、复数、函数、球、数列、程序框图、解三角形、充要条件、圆、双曲线、离心率、平面向量、三角函数、参数方程与极坐标、茎叶图、线性规划、概率、导数、抽样等高考核心考点，又涉及了概率统计、三角向量、立体几何、解析几何、导数应用等必考解答题型。
本题难易程度设及合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从5,14,15等题能看到命题者在创新方面的努力，从16，17,18，19四题看出考基础，考规范；从20题可以看出考计算，考传统；从21题可以看出，考拓展，考融合，考创新。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,1},{|124}xA B x =-=≤<,则A B 等于A ．{-1,0,1}B ．{1}C ．{-1,1}D ．{0,1}【知识点】指数函数性质，不等式，交集 【答案解析】B{}021*******x x B x x ≤<∴≤<∴=≤<{}1A B ∴⋂=【思路点拨】容易题，注意到A 是双元素集合。
2．复数1012ii-= A ．-4+ 2i B ．4- 2i C ．2- 4i D ．2+4i【知识点】复数运算----分母实数化 【答案解析】A 由()()()1012101020241212125i i i i i i i i +-===---+ 故选A 【思路点拨】复数除法运算一定要掌握。
2014年高考理科数学湖南卷答案及解析(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-==,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a-+->ln a a ⇒<<故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离d =,所以圆心在直线l上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,1. 【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s ,s i n 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++==因为cos sin θθ的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为=,故填【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:则数学期望0120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值;(2)若cos 14BAD ∠=-,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) cos CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠==7=,所以cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得s i n BAD ∠=14=且sin 7CAD ∠==,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠⎛= ⎝⎭=714+7=再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠BC ⇒=⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2) 【解析】(1)证明:四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,ACBD O AC B D O ==∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又AC BD O =且,AC BD ⊆底面ABCD1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D又11O C ⊆面1111A B C D111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形1111O C O B ∴⊥又111OC OO ⊥且1111OO O C O =,111,O O O B ⊆面1OB D11O C ∴⊥面1OB D又1B O ⊆面1OB D111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥且1111O C O E O =,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠=060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形11O C a ∴=,11,BO=112,OO a B O ===, 则111111111221sin 37OO O E B OO B O B Oa a B O a=∠=== 再由11O EC ∆的勾股定理可得1EC===, 则1111cos O E O EC EC ∠===,所以二面角11C OB D --. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11nnn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a+-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+--22141332m m a -⇒=+. 当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222111111112242243321144m m m---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知122e e =,且241F F =. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得12e e ==,且12F F =,因为12e e =,且24F F =,所以22212b a+=且1a ⇒=且1,b a ==所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22mny n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222M AB e x n =+=++)2212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为,⎛ ⎝,则点,P Q 到直线AB 的距离为221224n n n d n +-=,222224n nn d n --=,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()2221222224n n nn dd n ++-+==+,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= =因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,()'0f x x =⇒=则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪∞⎪⎝⎭单调递增的.(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()'0f x x =⇒=,则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2)函数()f x的定义域为1,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭,由(1)可得当01a<<时,()'0f x x=⇒=,则1a>-⇒12a≠,则()f x的两个极值点,()()12ln1ln1f x f x⎡⎡+=++-+⎣⎣()ln141a a=--+⎡⎤⎣⎦,因为112a<<或12a<<,则12<,则设t=12t⎛⎫<<⎪⎝⎭,则()()()212ln144f x f x t t+=-+,设函数()()2ln144g x x x=-+12t⎛⎫<<⎪⎝⎭, 后续有待更新!!!【考点定位】导数含参二次不等式对数。
2014年高考文科数学湖南卷-答案
（2）利用放缩法即可证明不等式即可.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性
∵圆 与圆 外切，∴ ，解得： .
【提示】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.
【考点】圆的切线方程
7.【答案】D
【解析】若 ，则不满足条件输出 ，若 ，则满足条件，此时 ，此时不满足条件，输出 ，综上： .
【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论.
【考点】复数代数形式的乘除运算.
12.【答案】
【解析】∵曲线 （ 为参数），∴两式相减可得 .
【提示】利用两式相减，消去 ，从而得到曲线 的普通方程.
【考点】直线的参数方程
13.【答案】
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
由 ，得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 ，直线 的截距最大，此时 最大，由 ，解得 ，即 ，此时 ，故答案为： .
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
21.【答案】（1） ，令 ，则 .
当 时， ，当 时， ，
∴ 的单调减区间为 ，
的单调增区间为 .
（2）由（1）知， 在区间 上单调递减，∵ ，∴ .
当 时，∵ ，且 的图象是连续不断的，
∴ 在区间 内至少有一个实根，又 在区间
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】∵命题 ，是一个特称命题.
∴ .
【提示】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项.
【考点】命题的否定
湖南省永州市2014年高考第三次模拟考试数学试题(文)及答案
永州市2014年高考第三次模拟考试试卷数 学（文科）命题人：陈拥军（祁阳一中） 刘洞春（江华二中） 席俊雄（东安一中） 审题人：唐作明（永州市教科院） 注意事项：1、本试卷分试题卷与答题卷，考试结束后，只交答题卷．2、本试卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．） 1. 设集合{|13}A x x =≤≤，{|2}B x x =≥，则AB =A ．{}2,3B ．(2,3)C ．[2,3]D ．[1,)+∞2. 复数21i+（i 为虚数单位）的虚部是 A ．1 B ．1- C ．i - D ．i3. 下列命题中的真命题．．．是 A ．2,0x R x ∀∈> B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．000,sin cos 2x R x x ∃∈+= D ．0001,ln ()2xx R x ∃∈>4. 随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K ，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则2K 可以为 附表：A ．3.565B ．4.204C ．5.233D ．6.8425. 某三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A ．2B ．3C ．4D ．6 6. 直线1y kx =+与曲线3y ax x b =++相切于点()1,5，则a b -=6.635（第5题图）俯视图A ．2-B ．0C ．2D ．6 7. 执行右边的程序框图，那么输出S 的值为 A ．9 B ．10 C ．45 D ．55 8. 在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，12BD DC =，120o ADB ∠=，2AD =，若ADC ∆AB =A ．1BCD．9. 己知抛物线22(0)y px p =>的准线恰好过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点，两条曲线的交点的连线过双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为 AB ．2 CD110．已知集合{}(,)|()x y y f x Ω==，若对于任意点P 11(,)x y ∈Ω，总存在点Q 22(,)x y ∈Ω（22,x y 不同时为0），使得12120x x y y ⋅+⋅=成立，则称集合M 是“正交对偶点集”．下面给出四个集合：①{}(,)||1|x y y x Ω==-；②{(,)|x y y Ω==； ③1(,)|2x x y y e ⎧⎫Ω==-⎨⎬⎩⎭； ④{}(,)|tan x y y x Ω== 其中是“正交对偶点集”的序号是 A ．①② B ．②C ．③D ．②④第II 卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）11. 已知向量||1a =，||2b =，1a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为______. 12. 已知点A 是圆2cos ρθ=的圆心，则点A 到直线cos sin 7ρθθ=的距离是 .13. 已知函数212,2(2)2,2x x x f x x ⎧+>⎪-=⎨≤⎪⎩，则(1)f =______.14. 已知Ω＝{(,)|6,0,0}x y x y x y +<>>，{(,)|04,0,440}A x y x y x y =<<>-+>，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 中的概率为 ．15. 把数对(,)x y（,x y N+∈）按一定规律排列成如图所示的三角形数表，令ij a表示数表中第i行第j个数对.（1）64a表示的数对为.（2）已知ija对应的数对为(2,)m n（,m n为正整数），则i j+=（结果用含,m n的式子表示）.三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A xωϕ=+(0,0,)2Aπωϕ>><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x的解析式；（2）若锐角α满足：()()16f fπαα--=，求α.17.（本小题满分12分）从某校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图和频率分布直方图如下.（1）求频率分布直方图中m的值；（2）若要从有网上购物经历的人数在区间[30,40]内的班级中任取两个班，求其中至少有一个班有网上购物经历的人数大于36的概率.18. （本小题满分12分）如图，矩形ABCD所在的平面与平面ABF互相垂直，在ABF∆中，AB=2AF，=1BF，O P、分别为AC和AF的中点.（1）求证：AB CF⊥；（2）若四棱锥F ABCD-的体积为1，求直线OP与平面ABF所成角的大小.15题图）第4行第3行第2行第1行…… …… …… …… …… ……（4，1）（3，2）（2，3）（1，4）（3，1）（2，2）（1，3）（2，1）（1，2）（1，1）（第15题图）（第16题图）PODFCAB（第18题图）（第17题图）2019.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，已知121,3a a ==，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对于任意的2,n n N ≥∈，112(1)n n n S S S +-+=+都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围．20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy中，已知四点A，()20B -，，)1C，(D 中有且只有三点在椭圆22221(0)x y E a b a b+=＞＞：上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是圆2212x y +=上的一个动点，过动点P 作直线12l l 、，使得12l l 、与椭圆E 都相切，求证：12l l ⊥．21.（本小题满分13分）已知函数()x f x e =，2()g x ax = (,0)a R a ∈≠.（1）求函数()()g x y f x =的单调区间； （2）①已知11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x <为函数()y g x =图象上的两点，g ()y x '=为()y g x =的导函数，若12012g ()y y x x x -'=-，求证：012(,)x x x ∈；②类比函数()y g x =，①中的结论在函数()y f x =中是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.永州市2014年高考第三次模拟考试试卷数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） 1-5 CBDDA 6-10 ADCAB二、填空题（每小题5分，共25分）11．3π 12．3 13．19 14．13 15．(1) （4，3）；(2) 41m n +-三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16.（本小题12分）解：（1）由图知2A =，4612T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭22Tπω∴== ()2s i n (2f x x ϕ∴=+ ……………………3分 由()2sin(2)2226662=⨯+=⇒⨯+=+f k ππππϕϕπ()26k k Z πωπ∴=+∈又2πϕ<，6πω∴=()2s i n (2)6f x x π∴=+ ……………………6分（2）由()()16f f παα--=⇒2sin(2)2sin 21666πππαα⎡⎤⎛⎫+--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 得1sin 2cos cos 2sinsin 2coscos 2sin66662ππππαααα+-+=1cos 202α∴=> …………………10分 又α是锐角236ππαα∴==即 ……………………12分17. （本小题12分）解：（1）由茎叶图可知，第三组的频数为4，频率为40.220=, ……………………3分 则0.20.045m == ……………………6分 （2）记事件Q ：至少有一个班有网上购物经历的人数大于36.由茎叶图可知, 有网上购物经历的人数在区间[30,40]内的班级共有5个, 不妨设为,,,,A B C D E ,其中有网上购物经历的人数大于36的2个班级为,A B .则从,,,,A B C D E 中任取2个,有AB ，AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE ,CD ,CE ,DE 共10种, ……………………8分 其中,A B 至少有一个的有AB ,AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE 共7种, ……10分所以7()0.710p Q ==. ……………………12分 18. （本小题12分）解：（1）ABF AB ∆在中，=2AF ，=1BF222AB BF AF ∴+= AB BF ∴⊥ ………2分 而矩形ABCD 中AB CB ⊥∴AB ⊥平面CFB ………4分 又CF BCF ⊂平面AB CF ⊥ ………6分（2）11=1=133F ABCD ABCD V S BF BC -=⋅⨯矩形BC ∴= ……………………8分 CB ⊥平面ABFCFB ∴∠为直线CF 与平面ABF 所成的角在Rt ABC 中，1BF = ，tan BCCFB BF∴∠==60o CFB ∴∠= ……………………10分又O P 、分别为AC 和AF 的中点 OP ∴∥CF∴直线OP 与平面ABF 所成角的大小等于直线CF 与平面ABF 所成角的大小，∴直线OP 与平面ABF 所成角为60o . ……………………12分19. （本小题13分）解：(1)由题意, 112(1)n n n S S S +-+=+, 当2n =时, 35a = …………………1分 当3n ≥时, 212(1)n n n S S S --+=+,两式相减得, 112n n n a a a +-+=,由等差中项性质可知{}n a 是从第二项起的等差数列, …………………3分 又21322a a a a -=-=,所以1(1)221n a a n n =+-⨯=- ……………………6分 (2) 由(1)得,111111()(21)(21)22121+==--+-+n n a a n n n n , 所以111111111[()()()()]2133557212121n nT n n n =-+-+-++-=-++, ………9分 又1210n a n +=+>,所以11n n n n T T a a λλ++≤⇔≥恒成立max 1()n n Ta λ+⇔≥ 又22111(21)44144+===+++++n n T n n a n n n n nPODFCAB （第18题图）[)1=441+++∞y n n 又在，上单调递增，∴1=n 时，11=9,9+⎛⎫= ⎪⎝⎭n min n max T y a 所以19≥λ. ……………………13分 20. （本小题13分）解：（1）由椭圆的对称性可知，点A，(D -必在椭圆E 上，即22231a b += ① ……………………2分 若点()20B -，，在椭圆上，则2,a b =0a b ＞＞不符，故点)1C在椭圆上，则22611a b += ② 联立①②解得228,4==a b ，所以，椭圆E 的方程为22184x y += ……………………5分 (2) ①当12,l l 中有一条直线的斜率不存在时，不妨设1l 的斜率不存在，因为1l与椭圆相切，则其方程为x =±当1l的方程为x =时，此时1l 与圆2212x y +=交于点2)-， 则2l 为2y =或2y =-，显然12l l ⊥；同理可证直线1l的方程为x =-12l l ⊥． ………………8分 ②当12,l l 的斜率都存在时，设点00(,)P x y ，有220012x y +=. 设经过点00(,)P x y 与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，由0022()184y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2220000(12)4()2()80t x t y tx x y tx ++-+--=由0∆=化简整理得，2220000(8)240x t x y t y -++-=.因为220012x y +=， 所以有2220000(8)2(8)0x t x y t x -++-=. ………………11分 设直线12,l l 的斜率分别为12,t t ，因为12,l l 与椭圆都相切， 所以12,t t 满足方程2220000(8)2(8)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ⊥．综合①②知，12l l ⊥． ……………………13分21.（本小题13分）解：（1）由题意得，2(2)(),(0)x xax ax x y a e e -''==≠ ……………………1分 若0a >，则当02x x <>或时，0y '<；当02x ≤≤时，0y '≥；所以0a >时，函数()()g x y f x =的单调递减区间为(,0)(2,)-∞+∞和， 单调递增区间为[0,2]； ……………………4分 同理得0a <时，函数的单调递减区间为[0,2]，单调递增区间为(,0)(2,)-∞+∞和. ……………………5分 （2）①证明：在函数2()(0)g x ax a =≠中，22121200121212()()()2()g x g x ax ax g x ax a x x x x x x --'====+--12012(,)2x x x x x +⇒=∈，结论成立. ……………………8分 ②对于函数()y f x =，①中的结论也成立. 下面给出证明：在函数()xf x e =中，12012()()()f x f x f x x x -'=-,则有 120121212x x x y y e e e x x x x --==--. 又 12121210212x x x x x x x e e x x x e e e e e x x -<<⇔<<⇔<<- …………………10分令222()(),()=--+<xx x F x e x x e e x x 则 22()()0xF x x x e '=-<()F x ∴在2(,)x -∞上递减,则12()()F x F x >11212()∴->-x x x e x x e e ,即12112x x x e e e x x -<-. ……………………12分 同理可证 12212x x x e e e x x -<-, 综上,012(,)x x x ∈. …………………13分。
2014年湖南省高考数学试卷(文科)学生版
2014年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0D．∀x0∈R，x02+1≤02．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x 5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣117．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．49．（5分）（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x110．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于．12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为．13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=．三、解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．。
高考文数学母题题源训练：古典概型、几何概型
【母题来源】2014重庆卷文-15【母题原题】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）所以()1151592202032 DEFABCDSP AS ∆⨯⨯===⨯正方形所以答案应填：932．【命题意图】本题考查不等式表示的平面区域、几何概型等知识，意在考查数形结合思想、转化与化归思想，同时考查考生运算能力.【方法技巧】将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．1．【2014高考陕西卷文第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D2．【2014高考湖北卷文第5题】随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ） A ． 321P P P << B ． 312P P P << C ． 231P P P << D ． 213P P P <<3．【2014高考湖南卷文第3题】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4．【2014高考湖南卷文第5题】在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D5．【2014高考江西卷文3第题】掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D6．【2014高考辽宁卷文第6题】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π7．【2014高考广东卷文第12题】从字母a 、b 、c 、d 、e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 ． 【答案】【解析】所有的基本事件有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ，8．【2014高考浙江卷文第14题】在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为 ．9．【2014高考上海卷文第13题】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）．10．【2014高考全国1卷文第13题】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．11．【2014高考全国2卷文第13题】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．12．【2014高考江苏卷第4题】 从1，2，3，6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 ．13．【山东省德州市2014届高三上学期期末考试】如图，设D 是边长为l 的正方形区域，E 是D 内函数y x =与2y x =所构成(阴影部分)的区域，在D 中任取一点，则该点在E 中的概率是（ ）14.【山东省济南外国语学校2014届高三上学期期中考试】已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．92 B ．32 C ．31 D ．9115.【辽宁省铁岭市第一高级中学2013—2014学年高三上学期期中考试试题理】连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n ，记向量()(),,1,1a m n b →→==-的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ） A.512 B. 12 C. 712 D. 5616．【2014高考福建卷文第13题】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________．17．【2014高考山东文第16题】海关对同时从C B A ,,三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测．（1）求这6件样品中来自C B A ,,各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．地区 ABC数量5015010018．【2014高考陕西文第19题】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0 1000 2000 3000 4000车辆数（辆）500 130 100 150 120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．19．【2014高考四川文第16题】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．+=”的概率；（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．20．【2014高考天津文第15题】某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学A B C 女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．21．【2014高考重庆文第17题】20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率． 【答案】（I ）0.005a =；（II ）2，3；（III ）310． 【解析】。
2014年高考理科数学湖南卷答案及解析(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题.1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D.【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C. 【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022n n nC x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C.【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++, 因为()2302sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 则56x π=是其中一条对称轴,故选A. 【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以ln a a <⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题. 11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =,所以圆心在直线l 上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32. 【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3- 【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a pa a b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,故填1.【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++=cos θθ的最大值为2,++的最大值为=,故填所以OA OB OD【考点定位】参数方程圆三角函数。
2014年湖南省高考数学试卷(文科)学生版
2014 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，共 50 分）．（分）（2014?湖南）设命题2+1＞ 0，则￢ p 为（）1 5p： ? x∈R，xA．? x0∈ R， x02+1＞ 0B．? x0∈R，x02+1≤0．∈ R， x2+1＜0D．? x ∈R，x2+1≤0C? x00002．（ 5 分）（2014?湖南）已知会合 A={ x| x＞2} ，B={ x| 1＜ x＜3} ，则 A∩B=（）A．{ x| x＞2}B．{ x| x＞ 1}C．{ x| 2＜x＜3}D．{ x| 1＜x＜3} 3．（ 5 分）（2014?湖南）对一个容量为N 的整体抽取容量为n 的样本，入选用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不一样方法抽取样本时，整体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5 分）（ 2014?湖南）以下函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加的是（）．（）2+1C．f （x）=x3．（）﹣ xA f x =B．f（ x）=x D f x=2 5．（ 5 分）（2014?湖南）在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数 X，则 X≤1 的概率为（）A．B．C．D．6．（5 分）（2014?湖南）若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣ 117．（5分）（2014?湖南）履行以下图的程序框图，假如输入的t ∈[ ﹣2，2] ，则输出的S属于（）A．[ ﹣6，﹣2]B．[ ﹣5，﹣1]C．[ ﹣4，5]D．[ ﹣3，6] 8．（5 分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图以下图，将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于（）A．1B．2 9．（5 分）（2014?湖南）若A．﹣＞lnx2﹣lnx1C．30＜x1＜x2＜ 1，则（）D．4B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x110．（5 分）（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（﹣ 1，0），B（ 0，），（，），动点D 知足|| =1，则|+ + | 的取值范围是（）C 3 0A．[ 4，6]B．[﹣1，+1]C．[ 2 ，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5分）（湖南）复数（i 为虚数单位）的实部等于．2014?12．（ 5分）（湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t 为参2014?数）的一般方程为．13．（ 5 分）（2014?湖南）若变量 x，y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（ 5 分）（ 2014?湖南）平面上一机器人在前进中一直保持与点F（1，0）的距离和到直线 x=﹣1 的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线，则 k 的取值范围是．3x15．（ 5 分）（2014?湖南）若 f（x）=ln（e +1）+ax 是偶函数，则 a=．三、解答题（共 6 小题， 75 分）16．（ 12 分）（ 2014?湖南）已知数列{ a n} 的前n 项和S n=， n∈ N*．（Ⅰ）求数列{ a n} 的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣ 1）n a n，求数列{ b n} 的前2n 项和．17．（ 12 分）（2014?湖南）某公司有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组早年研发新产品的结果以下：（a， b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（ a，），（， b），（a，），（，），（ a， b），（a，），（，b）（ a， b）此中 a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某构成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，不然记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的均匀数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该公司安排甲、乙两组各自研发同样的产品，试预计恰有一组研发成功的概率．18．（12 分）（ 2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN ﹣β的大小为 60°，菱形ABCD 在面β内，A、B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为 O．（Ⅰ）证明： AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与 OD所成角的余弦值．19（．13 分）（2014?湖南）如图，在平面四边形 ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠ BEC=．（Ⅰ）求 sin∠ CED的值；（Ⅱ）求 BE的长．20．（13 分）（2014?湖南）如图， O 为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞ 0，1＞0）和椭圆C2：+（2＞b2＞0）均过点P（，1），且以 C1的两b=1 a个极点和 C2的两个焦点为极点的四边形是面积为 2 的正方形．（Ⅰ）求 C1、C2的方程；（Ⅱ）能否存在直线l，使得 l 与 C1交于 A、B 两点，与 C2只有一个公共点，且|+ | =|| ？证明你的结论．21．（ 13 分）（ 2014?湖南）已知函数 f （x）=xcosx sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求 f（ x）的区；（Ⅱ） x i f（x）的从小到大的第 i（i∈N*）个零点，明：全部 n∈N*，有++⋯+＜．。
2014年湖南省高考数学试卷(文科)教师版
2014 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，共 50 分）．（分）（湖南）设命题2+1＞ 0，则￢ p 为（）1 52014?p： ? x∈R，xA．? x0∈ R， x02+1＞ 0B．? x0∈R，x02+1≤0C．? x0∈ R， x02+1＜ 0D．? x0∈R，x02+1≤0【剖析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否认的规则写出其否认即可找出正确选项2∴￢ p：? x0∈ R， x0 2+1≤ 0．应选： B．2．（ 5 分）（2014?湖南）已知会合 A={ x| x＞2} ，B={ x| 1＜ x＜3} ，则 A∩B=（）A．{ x| x＞2}B．{ x| x＞ 1}C．{ x| 2＜x＜3}D．{ x| 1＜x＜3}【剖析】直接利用交集运算求得答案．【解答】解：∵ A={ x| x＞ 2} ，B={ x| 1＜x＜3} ，∴A∩ B={ x| x＞ 2} ∩{ x| 1＜x＜3} ={ x| 2＜x＜3} ．应选： C．3．（ 5 分）（2014?湖南）对一个容量为N 的整体抽取容量为 n 的样本，入选用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不一样方法抽取样本时，整体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【剖析】依据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可获得结论．【解答】解：依据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，不论哪一种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即 P1=P2=P3．应选： D．4．（5 分）（ 2014?湖南）以下函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加的是（）．（）2+1C．f （x）=x3．（）﹣ xA f x =B．f（ x）=x D f x=2【剖析】此题利用函数的奇偶性和单一性的定义或许利用图象的特点加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加，获得此题结论．【解答】解：选项 A，，∵f（﹣ x）=（），∴（）是偶=f xf x 函数，图象对于 y 轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣ 2＜0，∴ f （x）在（ 0， +∞）单一递减，∴依据对称性知， f（x）在区间（﹣∞， 0）上单一递加；合适题意．选项 B，f（ x）=x2+1，是偶函数，在（ 0，+∞）上单一递加，在区间（﹣∞， 0）上单一递减，不合题意．选项 C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项 D，f（x）=2﹣x在（﹣∞， +∞）单一递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．应选： A．5．（ 5 分）（2014?湖南）在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数X，则 X≤1 的概率为（）A．B．C．D．【剖析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可获得结论．【解答】解：在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数X，则﹣ 2≤X≤3，则 X≤1 的概率 P=，应选： B．6．（5 分）（2014?湖南）若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣ 11【剖析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m 值．22【解答】解：由 C1：x +y =1，得圆心 C1（0，0），半径为 1，∴圆心 C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得： m=9．应选： C．t ∈[ ﹣2，2] ，7．（5 分）（2014?湖南）履行以下图的程序框图，假如输入的则输出的 S属于（）A．[ ﹣6，﹣2]B．[ ﹣5，﹣1]C．[ ﹣4，5]D．[ ﹣3，6]【剖析】依据程序框图，联合条件，利用函数的性质即可获得结论．【解答】解：若 0≤ t≤ 2，则不知足条件输出S=t﹣3∈[ ﹣3，﹣ 1] ，若﹣ 2≤t＜ 0，则知足条件，此时t=2t 2+1∈（ 1，9] ，此时不知足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣ 2，6] ，综上： S=t﹣3∈[ ﹣3，6] ，应选： D．8．（5 分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图以下图，将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4【剖析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．应选： B．9．（5 分）（2014?湖南）若 0＜x1＜x2＜ 1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x1【剖析】分别设出两个协助函数f（x）=e x+lnx，g（ x）=，由导数判断其在（0，1）上的单一性，联合已知条件0＜x1＜x2＜ 1 得答案．【解答】解：令 f（ x）=e x﹣lnx，则 f ′（x） =，当 x 趋近于 0 时， xe x﹣ 1＜ 0，当 x=1 时， xe x﹣1＞0，所以在（ 0， 1）上必定存在 f ′（x）=0，所以函数 f（ x）在（ 0，1）上先递减后递加，故 A、B 均错误；令 g（x） = ，，当 0＜x＜ 1 时， g′（ x）＜ 0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵ 0＜ x1＜x2＜1，∴＞，即＞．∴选项 C 正确而 D 不正确．应选： C．10．（5 分）（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（﹣ 1，0），B（ 0，），（，），动点D 知足|| =1，则|+ + | 的取值范围是（）C 30A．[ 4，6]B．[﹣1，+1]C．[ 2 ，2]D．[ ﹣1， +1]【剖析】因为动点 D 知足 || =1， C（ 3， 0），可设 D（3+cosθ， sin θ）（θ∈ [ 0，2π））．再利用向量的坐标运算、数目积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点 D 知足 || =1， C（3， 0），∴可设 D（ 3+cosθ， sin θ）（θ∈[ 0， 2π））．又 A（﹣1，0），B（0，），∴+ + =，．∴|++|===，（此中 sin φ=，cosφ=）∵﹣ 1≤sin（θ+φ）≤ 1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|+ + |的取值范围是，．或|+ + |=|+ +|，=（2，），将其起点平移到 D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即|+ + |的取值范围是，．应选： D．二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5分）（湖南）复数（i 为虚数单位）的实部等于﹣3．2014?【剖析】直接由虚数单位 i 的运算性质化简，则复数的实部可求．【解答】解：∵=．∴复数（ i 为虚数单位）的实部等于﹣ 3．故答案为：﹣ 3．12．（ 5分）（湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t 为参2014?数）的一般方程为x﹣ y﹣ 1=0．【剖析】利用两式相减，消去t，进而获得曲线 C 的一般方程．【解答】解：∵曲线 C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣ y﹣ 1=0．故答案为： x﹣ y﹣ 1=0．13．（ 5 分）（2014?湖南）若变量 x，y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为7．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用z 的几何意义，进行平移即可获得结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：由 z=2x+y，得 y=﹣2x+z，平移直线 y=﹣2x+z，由图象可知当直线 y=﹣ 2x+z 经过点 C，直线 y=﹣ 2x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得，即C（3，1），此时 z=2×3+1=7，故答案为： 7．14．（ 5 分）（ 2014?湖南）平面上一机器人在前进中一直保持与点F（1，0）的距离和到直线 x=﹣1 的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线，则 k 的取值范围是k＜﹣ 1 或 k＞ 1．【剖析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线方程为 y=k（ x+1），代入 y2=4x，利用鉴别式，即可求出 k 的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点 P（﹣ 1， 0）且斜率为 k 的直线方程为 y=k（x+1），22222代入 y =4x，可得 k x +（2k ﹣4）x+k =0，∵机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为 k 的直线，∴△ =（2k2﹣4）2﹣ 4k4＜ 0，∴k＜ 1 或 k＞1．故答案： k＜ 1 或 k＞ 1．3x15．（ 5 分）（2014?湖南）若 f（x）=ln（e +1）+ax 是偶函数， a=．【解答】解：若 f（ x）=ln（e3x+1）+ax 是偶函数，f（ x） =f（x），即 ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1） ax，即 2ax=ln（ e﹣3x+1） ln（e3x+1）=ln=ln﹣3x，=lne= 3x即 2a= 3，解得 a= ，故答案：，三、解答（共 6 小， 75 分）．（12分）（湖南）已知数列n}的前n和S n=， n∈ N*．162014?{ a（Ⅰ）求数列 { a n} 的通公式；（Ⅱ） b n+（ 1）n n，求数列{ b n}的前2n和．=a【剖析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分乞降即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当 n=1 ， a1 1，=s =1当 n≥2 ， a n n s n﹣1==n ，=s∴数列 { a n} 的通公式是 a n．=n（Ⅱ）由（Ⅰ）知， b n=2n+（ 1）n n，数列 { b n } 的前 2n 和 T2n，T2n=（21+22+⋯+22n） +（ 1+2 3+4 ⋯+2n）=+n=22n+1+n 2．∴数列 { b n} 的前 2n 和 22n+1+n 2．17．（ 12 分）（2014?湖南）某企有甲、乙两个研小，了比他的研水平，随机抽取两个小早年研新品的果以下：（ a， b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（ a，），（， b），（a，），（，），（ a， b），（a，），（，b）（ a， b）此中 a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某构成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，不然记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的均匀数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该公司安排甲、乙两组各自研发同样的产品，试预计恰有一组研发成功的概率．【剖析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再依据均匀数和方差公式计算均匀数，方差，最后比较即可．（Ⅱ）找 15 个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7 个，求出频次，将频率视为概率，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则甲 =，甲==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1 则乙=，乙== ．因为甲＞乙，甲＜乙所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记 E={ 恰有一组研发成功 } ，在所抽到的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（， b），（a，），（a，），（，b）共 7 个，故事件 E发生的频次为，将频次视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．18．（12 分）（ 2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN ﹣β的大小为 60°，菱形ABCD 在面β内，A、B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为 O．（Ⅰ）证明： AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与 OD所成角的余弦值．【剖析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判断定理，即可证得，注意平面内的订交二直线；（Ⅱ）依据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不如设AB=2，进而求出OD 的长，再在直角三角形AOD 中，求出 cos∠ ADO．【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB? α，∴ DO⊥AB，连结 BD，由题设知，△ ABD 是正三角形，又 E 是 AB 的中点，∴ DE⊥ AB，又 DO∩DE=D，∴ AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）解：∵ BC∥AD，∴ BC与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即∠ ADO 是 BC与 OD 所成的角，由（Ⅰ）知， AB⊥平面 ODE，∴AB⊥OE，又 DE⊥ AB，于是∠ DEO是二面角α﹣ MN﹣β的平面角，进而∠ DEO=60°，不如设 AB=2，则 AD=2，易知 DE= ，在 Rt△DOE中，DO=DEsin60°= ，连 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO= =，故异面直线 BC与 OD 所成角的余弦值为．19．（13 分）（2014?湖南）如图，在平面四边形 ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC= ，∠ BEC= ．（Ⅰ）求 sin∠ CED的值；（Ⅱ）求 BE的长．【剖析】（Ⅰ）依据三角形边角之间的关系，联合正弦定理和余弦定理即可获得结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，联合正弦定理即可获得结论．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠ CED，在△ CDE中，由余弦定理得222EC=CD+ED ﹣2CD?DEcos∠ CDE，即 7=CD2+1+CD，则 CD2+CD﹣6=0，解得 CD=2或 CD=﹣ 3，（舍去），在△ CDE中，由正弦定理得，则 sin α=，即 sin∠ CED= ．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知 cosα=，而∠ AEB=，∴ cos∠ AEB=cos（）αsin α=，=cos cos +sin 在 Rt△EAB中，cos∠AEB=，故 BE=．20．（13 分）（2014?湖南）如图， O 为坐标原点，双曲线1：﹣1＞0，C=1（ab1＞0）和椭圆 C2：+ =1（a2＞ b2＞0）均过点 P（，1），且以C1的两个极点和 C2的两个焦点为极点的四边形是面积为 2 的正方形．（Ⅰ）求 C1、C2的方程；（Ⅱ）能否存在直线l，使得 l 与 C1交于 A、B 两点，与 C2只有一个公共点，且 | + | =| | ？证明你的结论．【剖析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，依据点 P（，1）在上求得=3，可得双曲线 C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆 C2的方程．（Ⅱ）若直线 l 垂直于 x 轴，查验部不知足 |+ | ≠|| ．若直线 l 不垂直于x 轴，设直线 l 得方程为y=kx+m，由可得y1?y2=．由可得（ 2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣ 6=0，依据直线 l 和 C1仅有一个交点，依据鉴别式△=0，求得2k2=m2﹣ 3，可得≠0，可得 |+ | ≠|| ．综合（ 1）、（ 2）可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆 C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴ a1=1，c2=1．因为点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线 C1的方程为： x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2 =+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆 C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在知足条件的直线l．（ 1）若直l 垂直于x ，由意可得直l 得方程x=，或x=．当x=，可得A（，）、B（，），求得 || =2，|| =2，然， |+ |≠||．同理，当x=，也有 |+ |≠||．（ 2）若直 l 不垂直于 x ，直 l 得方程y=kx+m，由可得（ 3 k2）x22mkx m 23=0，∴ x1+x2=， x1 ?x2=．于是， y1?y2=k2x1?x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，依据直l 和C1有一个交点，∴判式△ =16k2m28（ 2k2+3）（ m23）=0，∴ 2k2=m23．∴=x1?x2+y1?y2=≠ 0，∴≠，∴ |+ |≠| |．合（ 1）、（ 2）可得，不存在足条件的直 l．21．（ 13 分）（ 2014?湖南）已知函数 f （x）=xcosx sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求 f（ x）的区；（Ⅱ） x i f（x）的从小到大的第 i（i∈N*）个零点，明：全部n∈N*，有++⋯+＜．【剖析】（Ⅰ）求函数的数，利用数研究 f （x）的区；（Ⅱ）利用放法即可明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ f（x）=xcosx sinx+1（ x＞ 0），∴f （′ x）=cosx xsinx cosx= xsinx，由 f ′（x） = xsinx=0，解得 x=kπ（k∈ N*），当 x∈（ 2kπ，（2k+1）π）（ k∈ N），sinx＞ 0，此 f ′（ x）＜ 0，函数减，当 x∈（（ 2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N）， sinx＜0，此 f ′（x）＞ 0，函数增，故 f（ x）的增区（（2k+1）π，（ 2k+2）π），k≥0，减区（ 2kπ，（2k+1）π），k∈ N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f（ x）在区（ 0，π）上减，又 f（） =0，故 x1= ，当 n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π） =[ （ 1）n nπ+1][ （ 1）n+1（n+1）π+1] ＜ 0，且函数 f（x）的象是不断的，∴ f（x）在区（ nπ，（ n+1）π）内起码存在一个零点，又 f（ x）在区（ nπ，（n+1）π）是的，故 nπ＜ x n+1＜（ n+1）π，所以当 n=1 ，有 = ＜建立．当 n=2 ，有+＜＜．当 n≥3 ，⋯++⋯+＜＜[]＜[]＜（6）＜＜．上明：全部n∈N*，有+ +⋯+＜．。
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2014年湖南高考数学试题（文史类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤2.已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ ）.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x << .{|13}D x x <<3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 5.在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D 6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，则能得 到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4 9.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足 1CD =,则OA OB OD++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________. 12.在平面直角坐标系中，曲线22:12x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________.13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若 机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________. 15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.18.（本小题满分12分） 如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值；（2）求BE的长20.（本小题满分13分）如图5，O为坐标原点，双曲线22111 2211:1(0,0)x yC a ba b-=>>和椭圆222222222:1(0)x yC a ba b-=>>均过点23(,1)3P，且以1C的两个顶点和2C的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（1）求12,C C的方程；（2）是否存在直线l，使得l与1C交于,A B两点，与2C只有一个公共点，且||||OA OB AB+=？证明你的结论.21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin1(0)f x x x x x=-+>.（1）求()f x的单调区间；（2）记ix为()f x的从小到大的第(*)i i N∈个零点，证明：对一切*n N∈，有2221211123nx x x+++<数学（文）（湖南卷）参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）D （8）B （9）C （10）D 二、填空题（11）-3 （12）10x y --= （13）7 （14）()(),11,-∞-+∞ （15）32-三、 解答题 （16）解：(I)当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()()22111,22n n n n n n n a S S n --+-+=-=-= 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（II ）)由(1)可得()21nnn b n =+-,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ,则()()122212222212342.222,12342,n n nT n A B n =++++-+-+-+=++⋅⋅⋅+=-+-+-⋅⋅⋅+记则[]2n 212(12)2212(12)(34)(21)2.n A B n n n +-==-==-++-++⋅⋅⋅+--+= 故数列{}n b 的前2n 项和2n 1222n T A B n +=+=+-. 17解：(I)甲组研发新产品的成绩为:1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数102153x ==甲;方差22212221*********s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲,乙组研发新产品的成绩为:1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数93155x ==乙,方差为22213361906155525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙,因为22,<x x s s >乙乙甲甲,所以甲组的研发水平优于乙组. (II)记{}E =恰有一组研发成功,在所有抽的的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是:()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，共7个,故事件E 发生的频率为715将频率视为概率，即得所求概率为()715P E =. （18）解：(I)如图,因为DO α⊥,AB α⊆,所以DO AB ⊥,连接BD ,由题可知ABD ∆是正三角形,又E 是AB 的中点,所以DE AB ⊥,而DODE D =,故AB ⊥平面ODE .(II)因为//BC AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即ADO ∠是BC 与OD 所成的角,由(I)可知,AB ⊥平面ODE ,所以AB OE ⊥,又DE AB ⊥,于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,从而060DEO ∠=,不妨设2AB =,则2AD =,易知3DE =,在Rt DOE∆中,03sin 602DO DE ==,连接AO ,在Rt AOD ∆中,332cos 24DO ADO AD ∠===,所以异面直线BC与OD 所成角的余弦值为34. （19）解：:如图设CED α∠=(I)在CDE ∆中,由余弦定理可得2222cos EC CD DE CD DE EDC =+-∠,于是又题设可知271CD CD =++,即260CD CD +-=,解得2CD =(30CD =-<舍去),在CDE ∆中,由正弦定理可得sin sin DE CDEDC α=∠23sin22132sin 77CD EC πα⇒===, 即21sin CED ∠=. (I)由题设可得203πα<<,于是由（I ）知22127cos 1sin 1497αα=-=-=,而23AED πα∠=-,所以222cos cos cos cos sin sin 333AEB πππααα⎛⎫∠=-=+⎪⎝⎭1cos 22αα=-+127=-+=,在Rt EAB ∆中,2cos EA AEB BE BE∠==,所以2cos BE AEB ===∆⎝⎭（20）解：设2C 的焦距为22c ,由题可得2122,22c a ==,从而121,1a c ==,因为点3P ⎛⎫⎪⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上,所以221212133b b ⎛-=⇒= ⎝⎭,由椭圆的定义可得22a ==2a ⇒= 2222222b a c =-=,所以12,C C 的方程为22221,1332y y x x -=+=. (II)不存在符合题设条件的直线.(i)若直线l 垂直于x 轴 ,因为l 与2C只有一个公共点,所以直线的方程为x =x =当x =时,易知,,AB所以22,23OA OB AB +==,此时OA OBAB +≠.当x =,同理可得OA OB AB +≠.（i ）当直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y kx m =+,由 2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k xkmx m ----=,当l 与1C 相交于,A B 两点时,设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 满足上述方程的两个实根,从而212122223,33km m x x x x k k ++==--,于是()22221212122333k m y y k x x km x x m k -=+++=-,由22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222234260kx kmx m +++-=,因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以上述方程的判别式()()222201682330k m k m ∆=⇒-+-=,化简可得2223k m =-,因此2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---=+=+=≠---,于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-,即22OA OB OA OB+≠-,所以OA OB AB +≠,综合（i ）（ii ）可知，不存在符合题目条件的直线 （21）解：（I ）数()f x 求导可得()()'cos sin cos sin 0f x x x x x x x x =--=->,令()'0f x =可得()*x k k N π=∈,当()()()2,21*x k k k N ππ∈+∈时,sin 0x >.此时()'0f x <;当()()()()21,22*x k k k N ππ∈++∈时,sin 0x <,此时()'0f x >,故函数()f x 的单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈, 单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(II)由(1)可知函数()f x 在区间()0,π上单调递减,又02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以12x π=, 当*n N ∈时,因为()()()()()()11111110nn f n fn n n ππππ+⎡⎤⎡⎤+=-+-++<⎣⎦⎣⎦,且函数()f x 的图像是连续不断的,所以()f x 在区间()(),1n n ππ+内至少存在一个零点,又()f x 在区间()(),1n n ππ+上是单调的,故()11n n xn ππ+<<+,因此,当1n =时,2211423x π=<; 当2n =时,()222121112413x x π+<+<; 当3n ≥时,()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()222221*********+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒+++<+++⎢⎥⨯--⎣⎦2222212311111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒+++<+-++- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦221162613n ππ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭,综上所述,对一切的*n N ∈,2221211123n x x x +++<.。