高等数学基础第一次作业有答案

高等数学基础第一次作业

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．

A. 2)()(x x f =，x x g =)(

B. 2)(x x f =，x x g =)(

C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=

D. 1)(+=x x f ，1

1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．

A. 坐标原点

B. x 轴

C. y 轴

D. x y =

⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

A. )1ln(2x y +=

B. x x y cos =

C. 2

x

x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．

A. 1+=x y

B. x y -=

C. 2x y =

D. ⎩⎨⎧≥<-=0,

10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．

A. 12lim 22

=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0

=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x

x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．

A. x

x sin B. x 1 C. x

x 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00

x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=

（二）填空题

⒈函数)1ln(3

9)(2x x x x f ++--=的定义域是 ()∞+>.3,3x ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则 =)(x f x x -2

⒊=+∞→x x x

)211(lim e ． ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,

0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e .

⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0

,sin 0,1x x x x y 的间断点是 0=x ． ⒍若A x f x =→)(lim 0

，则当0x x →时，A x f -)(称为 无穷小量 ．

（三）计算题

⒈设函数

⎩

⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．

⒉求函数x

x y 12lg lg -=的定义域． 21lg 00010212121110

x x x x x x x x x x x x x x -⎧>⎪><⎧⎧⎪⇒⇒><⎨⎨⎨-->-<⎩⎩⎪>⎪⎩

∴><或或域是解定义或：

⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

⒋求x

x x 2sin 3sin lim 0→．

⒌求)

1sin(1lim 21+--→x x x ． 21101(1)lim lim (1)1(2)2sin(1)sin(1)

x x x x x x x →-+→-+=-=⋅-=-++解： 利用第一重要极限的公式0sin lim 1x x x

→=

⒍求x

x x 3tan lim

0→．

⒎求x x x sin 11lim 20-+→．

2002001lim sin 0lim 0sin 2

1x x x x x x x x x

→→→→→======）（）-1）解：利用第一重要极限的公式0sin lim 1x x x

→=

⒏求x x x x )3

1(lim +-∞→． 1143

31

31111(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33331(1)[(1)]1lim(1).x x x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x

e x

--→∞→∞→∞→→∞-∞-∞---+++-=====+++++=本题是1型极限未定式，用到第二重解要极限注意：： ⒐求4

586lim 224+-+-→x x x x x ． 2244468(2)(4)(2)2lim lim lim 54(1)(4)(1)3

x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---解： ⒑设函数

⎪⎩

⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f

讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．

1

1

1

211

()1lim (1)0,()1lim 1()1()1()1lim 1,()1lim(2)1,()1,lim ()1(1)()1.()x x x x x f x x f x x f x f x f x x f x x f x f x f f x f x -+-+→-→-→→→=-+==-=-∴=-=-===-=∴====在x 处左极限在x 处右极限，在x 处极限不存在,即在x 处间断；

又在x 处左极限在x 处右极限在x 处极限存在且，即在x 处连续故的连解：续区间为()lim ()().(2)x a

f x a f x f a →∞∞=⇔=（-，-1），（-1，）.

用到(1)在x 处连续初等函数在其定义域内注意：均连续.