高等数学基础第一次作业有答案

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高等数学一(1)完整答案

原式=
（6）令，则
原式=
（7）令，则
原式=
（8）令，则
原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）令，则，
原式=
（15）令，则
原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
2、（1）原式=
（2）原式=0（因为在上为奇函数）
（3）原式=0（因为在上为奇函数）
原式= 发散
，而事实上矛盾
方程只有正根。
5.解：为一元三次方程，为一元二次方程，
故只有两个实根。
又
由罗尔定理知，两实根区间分别为。
习题3-2
1.（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
（7）原式
（8）原式
（9）原式
（10）原式
（11）原式
（12）原式
2.解：
3.解：
若用洛必达法则，则无限循环，即
（4）原式=
3、（1）证明：令，则
所以
（2）证明：令，则，
所以
（3）证明：令，则，
所以
6、（1）原式=
（4）原式=
（6）原式=
（8）令，则原式=
（9）原式=
（10）原式=
习题5—4
1、（1）
（3），发散
2、（1）为函数的无穷间断点，所以原式= 发散
（3）为函数的无穷间断点，所以
故，
，得唯一驻点：。
当，时，圆柱体积最大。
15.解：设生产台，利润最大。
则目标函数为

《高等数学(一)》作业参考答案

《高等数学（一）》作业参考答案一、求下列函数的定义域（1）[0，+∞]；（2）（-1，∞+）。

（3）(,1)(1,)-∞-∞ ；二、用区间表示变量的变化范围：（1）(],6-∞（2）[]2,0 （3）[]3,5-三、求下列极限(1）[]3313)1(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)hh xh h x h x h h 202202lim )(lim +=-+→→ =x h x h 2)2(lim 0=+→(3)lim 1n n n →∞== (4）2211lim 1lim 2lim 12(lim x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim 1=∞→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→xx x (6)xx x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→xx x ; (7）)2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;31(8)00sin 555lim lim ;sin 222x x x x x x →→== (9))45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim 1=+-→x x x (10）31lim 3lim 13(lim 33=+=+∞→∞→∞→nn n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 550550==→→xx x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→x x xx x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x →∞→∞+-+-==-+-+四、求下列函数的微分：（1）[])4sin(+=wt A d dy=)4sin(+wt Ad=)4()4cos(++wt d wt A=dt wt Aw )4cos(+(2)[])3cos(x e d dy x -=-=)3cos()3cos(x d e de x x x -+---=dx x e dx x e x x )3sin()3cos(-+----=[]dx x x e x )3cos()3sin(----五、求下列函数的导数 (1）463'2+-=x x y ；(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；(3）)'ln 1(ln 11'2221x x y +⋅+⋅= =x x xx x x221ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅(4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x-===- (5);ln 1ln )ln ('221'xx x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211('x x x y +⋅+-=+= =2)21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;(9)3.013.13.13.1'x x y ==-; (10)22212)'1(11'x x x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==六、求下列函数的二阶导数（1）x y +=11'， 2)1(1''x y +-=；（2）x x e x xe y 22222'+=x x x x e x xe xe e y 222224442''+++==)241(222x x e x ++（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=七、求下列不定积分(1）12x dx c-==⎰; (2)dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4121; (3)c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰⎰-=x xd xdx cos sin sin 23=x d x cos )cos 1(2⎰-- =⎰⎰-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 313; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx =c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x822(8=28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(1222 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰(10）⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-2241ln 21 (11) c x dx x xxdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3)arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：(1）[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]11121arctan 1dx x x --=+⎰ =244)(πππ=--。

高等数学基础作业答案1.doc

3.解: 《髙等数学基础》作业丄参考贅案第1章函数第2章极限与连续/(2)—2,/(0) = 0,/ ⑴"之.2x —1 ------ >0, x x^O.•.函数y = lg 红丄的定义域为(-8, 0)ol-,+oo I.如图，梯形ABCD 为半圆o 的内接梯形，ABDDC, AB=2R,高DE=x连接OD,则DDEO 为直角三角形，OD=R, QE=^J R 2-X 2, DC = IOC= 2^R 2-x 2,梯形的面积S=gr ＞E （DC+AB ）=［（27?+2保一/） +兀2）,（其中0＜兀＜人）X sin 3x 2x 3 3“ sin3x “ 2x 34.解：原式=lim -------------------- =—lim -------- lim ------- =—io 3X sin 2x 2 2 3x sin 2x 2解：原式=lim 沁•丄 = 31im 沁Jim 丄" XTO 3x cos 3x “To 3X XTOCOS 3兀二、填空题1.(3,+8);2.—X ； 3.? ； 4.e;5.兀=0 ；6.无穷小量.一、单项选择题1.C2. C3.B4. C5. D6. C7. A三、计算题2.解: 要使ig2口有意义，必须X 5.X+1解：原式=lim —(x-1) = lim — xT-isin(x + l) xT-isi _¥ + ]———・lim(x-1) = -2sin(x + l)工*+ x 2解：原式=limXT Olimx 2 •smx+ x 2 +1 • sin x(5)解：/ = --—^―——2x sinx-(lnx-x 2)cosx sin x x 丿1-2x 2 x 2 - In x = -------------- H ---------- T ----- COS X• • 2xsmx sin x（6）解：二 4兀3 — cos 兀In 兀一 *m 兀.8.解：原式=limXT8 x+3x-1x+39.解：原式=lim XT 4 (x-4)(x-2) (x —4)(x —1) = i im £z^ = Z XT4 X -1 3 第三章导数与微、单项选择题 l.B 2.D 3. A 4.D 5. C 二、填空题 21nx+511. 0；2.；3.—；x24. y —1 = 0；5. 2%2X(in x+1)；6.三、计算题 1.求下列函数的导数；/：(W ： 3 —x^e 2、 y 丿 C 3 込+3 /,・•・ (2)解： y = ----- ——2xlnx + x 2 • —= ----- ——2xlnx+xsin x x sin xxIn 2x(21nx-l).1cosx + 2x)-3x ln3(sinx+x 2)J⑵解：y - 1 •(cosx ) cos x ( 12 (3)解：y = X x - X 1I 7 J(4)解：y =2 sin x-(sinx) =2sinx-cos x =sin 2x.(8)解：= e x tan x + e x------- + — COS X X x ( 1)1—c tan x -\ ------ - — H —.V COS X) X 2.求下列函数的导数;/：(1)解：V 二”・(石)-~—j=e^.(5) 解：/ = cosx 2 -(x 2) = 2xcos x (6) 解：)/二—sine" •(/) = -e x -sin e x ・(7) 解：y = n sin n_1 x-cosx-cos nx +sin n x (-sinnx)-n =n sin n_1 x• (cosxcos nx-sin x sin nx) - nsin M_1 x-cos(n + l)x (8) 解:/ = 5sinx -In5 (sin x) = 5sinx cosxIn5. (9)解:y =严空容打=—sin 兀严二 3.在下列方程中，y = y(x)是由方程确定的函数，求;/：(1) 解:/cosx+ y(-sinx) = e 2y - 2y\ y(cosx-^2y ) = ysin x,⑺解：y'\2smx ----- = -tanx cosxZ 7 -1ysinx 「•y=-cosx-^ 丿(2)解：/ = -sin y- /Inx+ C0S ,xa • i x , cosy(l + smylnx)y = -------- ,x.,_ cos yx(l + sin yin x)(3)解：ysiny = p两边求导，得，.丄,1y smy + ycosy y =—,.,= 12(siny+ycosy)(4)解：y=i+—=i+—.y y(5)解丄+ e y -y' = 2y- /,x1(6)解：2y y =e x sin y + e x・cosy[ly-e x cosy)y = e siny,, e x sin y・•・y = ----------- .2y-e x cosy(7)解:e y -y=e x-3y2 -y,("+3b)y = k/ b-(8)解:y = 5x ln5 + 2y ln2-y,(l-2y ln2)/ = 5r ln5,,5Tn5.•- y = .1-2524.求下列函数的微分芳:(1)解：y' = — esc2 x-cot2 x esc x = - esc x(cotx + esc x), dy = y dx —一esc x (cot x + esc x) dx.— sin x 一 cos xln x.(c 、心 / r sin x - xcos xln x 2 解:v y = 2 ------------- --- ---------- = ------------- -- ---------sin x xsin x , sin x -兀cos xln x . ay = --------------- -- ------- ax. x sin x (3) 解：T y f = 2 sin % cos x = sin 2x, dy = sin 2xdx. (4)解:・.・ y - sec 2 e x • e x = e x sec 2 x, dy = e x sec 2 xdx.5. 求下列函数的二阶导数:(2)解：y = 3Tn3, = 3X In 2 3.⑶解：y=-,X“ 1(4)解:/ = sinx + xcosx,^ = cosx + (cosx-xsinx) = 2cosx-xsin x.四、证明题证：由题设，有/ （一兀）=一 / （兀）,••• [/（—X ）]' = [_八尢）]'' 即/'（-兀）（- 1）= -厂（兀），厂（-兀）=厂（兀） /.厂（X ）是偶函数.《髙等数学基础》、作业3参考答案'第四章导数的应用一、单项选择题1. D2. D3. A4.C5. C6. A二、填空题1.极小值；2. 0；3. (-00,0)；4.(0,+8)；5. /(a)；6. (0,2).三、计算题1•解：令# =（兀-5『+ 2（兀+1）（兀一5） = 3（兀一 5）（兀一1） = 0, 得：x x = l,x 2 =5.(i)解:y=^=2 I 2 丿 432列表如下・・・函数y的单调增区间为（-汽1）,（5,+-）,单调减区间为（1,5）. 当x二1时，函数取得极大值32；当x二5时，函数取得极小值0.2.解：令# = 2兀一2 = 2（兀一1） = 0,得兀=1.当兀丘［0,1）时,y <0；当兀w（1,3］时,y >0.・・・函数y = / _ 2兀+3在区间［0,3］上的极值点为兀=1.又・・・y（O）= 3,y（l） = 2,y（3）= 6,・・・函数y = X2-2X+3在［0,3］上的最大值为6,最小值为0.3解设所求的点P（兀,y）,|PA| = d,则尸=2x,（x> 0）〃=J（x_2）2 +（y _0『=y/x2 -4x + 4 + 2x = A/X2-2X +4令F__ ：x_2 _ 兀_］2A/X2— 2x+4 yj — 2x+4得兀二］易知，兀=1是函数d的极小值点，也是最小值点.此时,y2 = 2x1 = 2, y = ±V2,・・・所求的点为P（1,V2）或4.解：如图所示，圆柱体高/z与底半径厂满足A2 + r2 = £2I圆柱体的体积公式为rV = 7rr2h L L将/ =L2-7Z2代入得V二兀①一代）h求导得令宀°得靑L ,并由此解出r伞.即当底半径吕,高"晅厶时’圆柱体的体积3答mg・•・R= £最大.5.解：设圆柱体半径为R,高为h,则h = " ,S 夷面和=2兀Rh + 27rR 2 - 2匕 + 27T R 2 TT R2表面积 R 令& = 4历7?—学=0 得R =R-\171当Refo 30时，S'<0,当RwI 工是函数S 的极小值点，也是最小值点. 2龙此时h=淫.\ 714Vh = 3——时表面积最大.V 716.角军：设长方体的底边长为兀米，高为h 米.则由62.5 = x 2/z 得 h —62?x250用料的面积为：S — %2 + 4x/z = x 2 ，（兀＞0）x令 S‘ = 2;r -2^ = 0 得 x 3 = 125, x = 5x易知，兀=5是函数S 的极小值点，也是最小值点. 答：当该长方体的底边长为5米，高为2. 5米时用料最省。

高等数学基础形成性作业及答案1-4

⾼等数学基础形成性作业及答案1-4⾼等数学基础形考作业1：第1章函数第2章极限与连续（⼀）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A.2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C.3ln )(xx f =，x x g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D.x y =⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A.)1ln(2x y += B. x x y cos =C.2x x a a y -+=D.)1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A.1+=x y B. x y -=C.2xy = D.,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A.12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（C ）是⽆穷⼩量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满⾜（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A.)()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C.)()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（⼆）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是()+∞,3．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=ke ．⒌函数?≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是0=x ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为时的⽆穷⼩量0x x →。

高等数学基础(1)综合练习参考答案

高等数学基础（1）综合练习参考答案一．选择题1.B2.B3.D4.B5.C6.B7.D8.D9.C 10.C 11.C 12D 13B 14A 15D 16B 17D 18B 19A 20B 21C 22B 23A 24A二．填空题1. x <-1≤4 2． x x x f 2)(2+= 3．奇函数原点 4. )(0x f 5．可去或第一类 6．0=x 7.1 8．ek 21=9.010．12742-x11．)0,(-∞∈x 12.x =-113.（1，2） 14. a 为实数 b ＝615．k ＝116．3,1-==b a 17. (1) c x +cos (2) x sin (3)c x F +-)32(2118． 1 19．1三．计算题 1．求极限解：（1）原式＝22521152lim221=+-=+++-→x x x x（2）原式＝)11)(2()11)(11(lim22221++--+++--+-→x x x x x x x x x61)11)(1)(2()1(lim21=++--+-=→x x x x x x x（3）eee x x x x xxx xx ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→∞→2322332131lim2131lim（4）原式＝1)11ln(lim 1lnlim =+=++∞→∞→xx x xxx x（5）原式＝])11)(11()11(2sin )31[(lim 1++-++++-→x x x x x x x=4])11(2sin )31[(lim 3)3(31+=+++----→exx x x xx(6)原式＝278)3(22325-=-（7）原式=2211211lim 21...41211lim 1=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→∞→n n n n(8)原式＝11lim 111lim 1arctan 2lim2222=+=-+-=-+∞→∞→+∞→x x xx x x x x x π（9）原式＝1ln 21lim1ln 121limln )1(ln lim21121-++-=-++-=-+-→→→x x x x x xx x x xx x x x x x x x2311ln 14lim1-=+++-=→x x x（10）原式＝2)2(lim223=→xx x x (无穷小量替换)2．解：1)1)(()1(lim)(11lim22+++-+=+-++∞→∞→x x b ax x b ax x x x x011)()1(lim2=+-++--=∞→x bx b a x a x由条件知，必有⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a 3．解：9lim 11lim lim 2===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→aaax x xx xx e e e x a x a a x a x ，所以3ln =a ．4．解：当y 在0=x 处连续知：)0()(lim 0f x f x =→k xx x x =⋅-⇒→s i n c o s 1limk x x xx =⇒→s i n .2lim221=⇒k5．解：（1）由于-→0l i m x 1)0(=f ，+→0limx b f =)0(又)(lim 0x f x →存在等价于-→0lim x =)0(f +→0lim x )0(f ，所以，1=b ，a 可为任意实数；（2）)(x f 在0=x 处连续等价于-→0limx =)0(f +→0lim x )0(f )0(f =，又a f =)0( 所以1==b a ．6．证明：设12)(-=xx x f ，因 1)0(-=f ，1)1(=f由零点存在定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=ξf ，即有10<<ξ,使12=ξξ．7．解：切点为)1,12(-π，则斜率为1cos 1sin 22=-====ππt t tt dxdy k⇒切线方程为)12(11+-⋅=-πx y 即22+-=πx y8．求下列函数的导数或微分（1）解：2312621)2ln(xx xex ey xx+++++-='--⇒ dxxx xex edy xx]3132)2ln([2+++++-=--（2）解：两边对x 求导y y y y x '+='⋅+⋅+1)21()cos(2⇒1)cos(2)cos(122-++-='=y x y y x y dxdy（3）解：xx y sin cos =' ⇒ x xx xx y 22222cscsin1sin cossin-=-=--=''（４）解：22ln 1ln 11ln arcsin 2xx x xx x x x y -⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛='xx xx x x ln arcsinln )ln 1(22⋅-⋅-=（5）解：两边取对数得：x x y sin ln ln = 两边对x 求导：x xx x y ycos sin 1sin ln 1⋅⋅+=')cot sin (ln x x x y dxdy y +=='dx x x x x dy x)cot sin (ln )(sin +=（6）解：两边对x 求导02)1(2='⋅--'+⋅+y xy y y e yx ⇒yx yx exy yey ++--='22把0=x 代入原方程得：0=y把0=y 代入上述方程得：1)0(-='y（7）解：221arctan2221)1(112ln 2)1(21xxx x x x y x-⋅+⋅++⋅-+='⇒dxxx xdy x]212ln )1(1[1arctan2222⋅+-+-=（8）解：)1(31)3ln(ln )1(--+-⋅-⋅='--xax a a y xx⇒dx xax a ady xx]3)3ln(ln [-+-⋅⋅-=--（9）解：021)(='⋅-+'+y y y x y e xy⇒xyxy xey yedxdy -+=219．解：设矩形与椭圆在第一象限的交点为),(y x ，则矩形面积为：xy S 4=又因为y x ,满足16422=+yx⇒ )61(442yy S -=⇒)61(426244)61(4422yy yyS -⋅-+-='令0='S ⇒⎩⎨⎧==23x y ⇒矩形边长为32,2210．. )1)(3(39632+-=--='x x x x y)1(6-=x y ),(y x 则所求面积为： xy S 2=又因为y x ,满足21x y -= )1(22x x S -=⇒⇒ )2(2)1(22x x x S -⋅+-='令0='S ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3233y x⇒ 最大矩形面积为9342==xy S12．解:设圆柱形容器底半径为r,则由题意高为brVr a r C ⋅⋅⋅⋅+⋅=222πππ则总造价为3223,0b Va h aVbr C ⋅=⋅=⇒='ππ令.,3223时总造价最小高为因此当底半径bVa h aVbr ⋅=⋅=ππ13．证明：对任意的x 有)0(01111222≠>+=+-='x xxx y所以函数x x y arctan -=单调增加，证毕14.法一：设)1ln()(x x x f +-=，则在],0[x 上满足拉格朗日中值定理条件，存在一点x <<ξξ0,，使)(0)0()(/ξf x f x f =--即,1111)1ln(ξξξ+=+-=+-xx x )0(x <<ξ由0>x ，01>+ξξ，即,0)1ln(>+-xx x )1ln(x x +>⇒法二：,01111)(>+=+-='xxx x f 当),0(+∞∈x 时)(x f ⇒单调增加)0()(f x f >⇒又因为0)(0)0(>⇒=x f f )1ln(x x +>⇒15．计算不定积分（1）xxde x x d e x 11111:⎰⎰-=-=原式解x de e xxx 1111⎰+-=ce e xx x ++-=111brV a r C ⋅-⋅⋅='222π由,2rV h ⋅=π（2）⎰⋅+=+==-tdttttxtx21:2112令原式解ctt++=2323cxx+-+-=12)1(3223（3）xdxlnln21:⎰-=原式解)ln2()ln2(21xdx---=⎰-cx+--=21)ln2(2（4）xdxxsin)sin1(sin:2⎰+=原式解)sin1()sin1(1)sin1(sin112xdxxdx++-++=⎰⎰cxx++++=sin11)sin1ln(（5）⎰+⋅=2)(1:xxedxe原式解＝earctan（6）dxx))32(52(⎰-=原式cxx+-=32ln)32(5216．计算定积分（1）⎰-=202sinsin41:πxdx原式解⎰++-⋅=2sin)sin21sin21(41πxdxx2sin2sin2ln41πxx-+=3ln41=（2）⎰⋅=π02sin2:xdx原式解⎰+=2)(1xxededxx x x ⎰-⋅=ππ02sin202sin242-=π（3）⎰=20sin 2:πxdxx 原式解02)sin cos (2πx x x +-=2=（4）)1(:2212-+--=⎰-+-x x d ex x原式解0212-+--=x xe31---=ee（5）⎰+=32)2(2x dex 原式dxe e x xx⎰-+=322203)2(2236e =17. 解：dx x x x S ⎰--=32)4(03]3123[32x x -=29=18．由题意知：xy y y )1(+=' ⇒⎰⎰-=+xdx y y dy )1(⎪⎭⎪⎬⎫=+-=+⇒1)1(ln ln 1lny c x yy21ln ln =⇒c xyy 211=+⇒19．]2[121c dx e xe e y dx xdx +⎰⋅⎰=---⎰]2[2c dx exee xxx +⋅=-⎰)22(c e xe e xxx+-=⎭⎬⎫=+-=1)0()22(y c e xee xxx3=⇒c xx e e x y 3)1(22+-=⇒20．解：特征方程为042=+λ i i 2,221-==⇒λλxc x c y 2sin 2cos 21+=⇒2cos42ππx +=21. 解：特征方程为0652=+-λλ⇒3,221==λλxxec ec y 3221+=⇒-设特解x Ae y =*由待定系数法得A =1xxxe ec e c y y y ++=+=-3221*⎩⎨⎧=='1)0(0)0(y y 1,121-==⇒c cxxxe eey +-=⇒3222．解：特征方程为0232=++λλ⇒2,121-=-=λλ对应的齐次方程的通解：xxec ec y 221---+=设x B x A y sin cos *+=代入原方程得：x x B x A x B x A x B x A sin 3)sin cos (2)cos sin (3sin cos =+++-+--⇒ 103,109=-=B A⇒ x x y cos 109sin 103*-= ⇒ x x ec e c y x x c o s 109sin 103221-++=--。

XXX《高数基础形考》1-4答案

XXX《高数基础形考》1-4答案2020年XXX《高等数学答案》2020年XXX《高等数学》基础形考1-4答案，高等数学基础作业一第1章函数，第2章极限与连续。

一）单项选择题1.下列各函数对中，（C）中的两个函数相等。

A。

f(x) = x^2.g(x) = xB。

f(x) = x^2.g(x) = x/(x^2 - 1)C。

f(x) = ln(x)。

g(x) = 3ln(x)D。

f(x) = x+1.g(x) = 3/(x-1)2.设函数f(x)的定义域为(-∞。

+∞)，则函数f(x) + f(-x)的图形关于（C）对称。

A。

坐标原点B。

x轴C。

y轴D。

y=x3.下列函数中为奇函数是（B）。

A。

y=ln(1+x^2)B。

y=xcos(x)C。

y=ax+a^-xD。

y=ln(1+x)/24.下列函数中为基本初等函数是（C）。

A。

y=x+1B。

y=-xC。

y=x^2D。

y=|x|5.下列极限中计算不正确的是（D）。

A。

lim(x^2/(x^2+2x)) = 1B。

lim(ln(1+x)/x^2) = 0C。

lim(sin(x)/x) = 1D。

lim(xsin(1/x)) = 06.当x→0时，变量（C）是无穷小量。

A。

1/sin(x)B。

x/xC。

xsin(x)D。

ln(x+2)7.若函数f(x)在点x满足（A），则f(x)在点x连续。

A。

lim(x→x)(f(x) = f(x))B。

f(x)在点x的某个邻域内有定义C。

lim(x→x)(f(x) = f(x))D。

lim(x→x)(f(x)) = lim(x→x)(f(x))二）填空题1.函数f(x) = (x^2-9)/(x-3) + ln(1+x)的定义域是{x|x>3}。

2.已知函数f(x+1) = x^2 + x，则f(x) = x^2-x。

3.lim(x→∞)((1+x)/(2x))^x = e^(1/2)。

4.若函数f(x) = {x(1+x)。

2014秋中国石油大学(北京)《高等数学(一)》第一阶段在线作业答案

第一次在线作业单选题 (共20道题)展开收起1.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C 此题得分：2.5分2.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B 此题得分：2.5分3.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C 此题得分：2.5分4.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D 此题得分：2.5分5.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D 此题得分：2.5分6.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A 此题得分：2.5分7.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A 此题得分：2.5分8.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B 此题得分：2.5分9.（2.5分）∙A、.∙B、.∙D、.我的答案：A 此题得分：2.5分10.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C 此题得分：2.5分11.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.我的答案：B 此题得分：2.5分12.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D 此题得分：2.5分13.（2.5分）∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D 此题得分：2.5分14.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：D 此题得分：2.5分15.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.我的答案：A 此题得分：2.5分16.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A 此题得分：2.5分17.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：C 此题得分：2.5分18.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B 此题得分：2.5分19.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：A 此题得分：2.5分20.（2.5分）∙A、.∙B、.∙C、.∙D、.我的答案：B 此题得分：2.5分判断题 (共20道题)展开收起21.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分23.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分25.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分27.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分29.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分31.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分33.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分35.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分37.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分39.（2.5分）∙正确∙错误我的答案：正确此题得分：2.5分∙正确∙错误我的答案：错误此题得分：2.5分。

高数第一册习题及答案

高数第一册习题及答案第一章初等函数及其图形练习1.1 初等函数及其图形一. 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数:x,xf(x),a，a 1. (); a,0x,xx,x，，，，，，？f,x,a，a,fx？fx,a，a解: 为偶函数.1,xf(x),ln2.; 1，x1，x1,x1,x解: ，，, ，，，，为奇函数. ？fx,ln？f,x,ln,,ln,,fx1，x1,x1，x23. f(x),ln(x，1，x)122，，，，，，，，？f,x,ln,x，1，x,ln,,lnx，1，x,,fx解: , 2x，1，x 2为奇函数. ，，，，？fx,lnx，1，x二. 设f(sinx),3,cos2x,求f(cosx)。

22，，，，？fsinx,3,cos2x,2，2sinx？fcosx,2，2cosx解: ,f(x)，,x,0,x,0三.设f(x)在(0,)上定义, 。

求证: 若单调上升,则12xf(x，x),f(x)，f(x)。

1212fx，，，，fx，，，，，，？gx，x,gx,解: 令gx,, ？单调上升, 121xx ，，，，，，gx，x,gx x,x,0, 故12212，，，，，，，，，，，，，，fx，x,x，xgx，x,xgx，x，xgx，x,xgx，xgx 1212121122121122，，，，,fx，fx. 12f(x),arccosx,g(x),sinxf(g(x)),g(f(x))四. 设,试求复合函数的定义域和值域,并作图。

，，，，，，，，,,fgx,arccossinxD,,,.，,R,0,,解: , , ，，，，，，,,,,gfx,sinarccosxD,,1,1R,0,1, , .,x,1,x,0,,0xx,,f(x), , 求复合函数。

五.设(),f(g(x)),g(f(x))gx,,2,x,x,0xx,0,,,x,1,,1,x,0,,,1,,0xx,,2，，，，，，gfx,,1，x,x,,1,解: , fgx，，，，,,2x,1,x,0,2,,x,x,0,第二章极限与连续2.1 数列极限一. 填空:n,12,n|x,1|,,x,1.设,对于任意的正数,当大于正整数[,1]时, ,所以N,nnn，1, ,4n|x,1|,10;当大于正整数19.999时, 。

高等数学基础形成性作业及答案1-4

A.
B.
C.
D.
⒌下列极限存计算不正确的是（D）．
A.
B.
C.
D.
⒍当时，变量（C）是无穷小量．
A.
B.
C.
D.
⒎若函数在点满足（A），则在点连续。
A.
B. 在点的某个邻域内有定义
C.
D.
（二）填空题
⒈函数的定义域是．
⒉已知函数，则 x2-x ．
⒊．
⒋若函数，在处连续，则 e ．
⒌函数的间断点是．
⒍若，则当时，称为。
⒋函数满足的点，一定是的（C ）．
A. 间断点
B. 极值点
C. 驻点
D. 拐点
⒌设在内有连续的二阶导数，，若满足（ C ），则在取到极小值．
A. B.
C. D.
⒍设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ A ）．
A. 单调减少且是凸的
B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的
D. 单调增加且是凹的
⒋曲线在处的切线方程是。
⒌设，则
⒍设，则。
（三）计算题
⒈求下列函数的导数：
⑴
解:
⑵
解：
⑶ 解： ⑷ 解： ⑸
解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⒉求下列函数的导数： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解：？ ⑺ 解： ⑻ 解： ⑼ 解： ⒊在下列方程中，是由方程确定的函数，求： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解：
第5章
第6章
（一）单项选择题
⒈若的一个原函数是，则（D）．
A.
B.
C.
D.
不定积分定积分及其应用
⒉下列等式成立的是（D）．
A

高等数学基础作业答案doc资料

高等数学基础第一次作业点评1第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=二、填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为．无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。

大一高数练习册参考答案

lim
x2
（x 2)( x 1）
lim x2
xa2 x1
4a 2 3
a 2, b 8
另法：由已知，可设x：2 ax b ( x 2)( x c) 代入极限，求得c
9.计算极限:
esin x e x A. lim
x0 sin x x e x (esin x x 1)
lim x0 sin x x
n n(n 1)
ln x
第二章
习题解答参考
1.在下列情况下，f '( x0 )是否存在？
A. lim f ( x0 x) f ( x0 ) a
x0
x
a lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 )（ 1）
x0
x
x0
x
f '( x0 )
1，| x | 1
0,|
x
|
1
1,| x | 1
x，| x | 1
f (x)
0,|
x | 1
x,| x | 1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
x 1, x 1 是第一类的跳跃间断点。
f ( x)在(,1) (1,1) (1,)内连续
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1
lim
2
x1 x 1
f
'
(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
ax b 1

高等数学基础第一次作业有答案

A. y x 1
B. y x
C. y x 2
1, x 0 D. y
1, x 0
⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．
x2
A.
lim
x
2
x
2
1
B. lim ln(1 x) 0 x0
sin x
C. lim
0
x
x
1
D. lim x sin 0
x
x
⒍当 x 0 时，变量（ C ）是无穷小量．
sin x A.
x x0
x x0
（二）填空题
⒈函数 f (x)
x2 9 ln(1 x) 的定义域是 x 3, 3.
x3
⒉已知函数 f ( x 1) x2 x ，则 f (x)
2
xx
⒊ lim (1 1 ) x
x
2x
⒋若函数 f (x)
e．
1
(1 x) x , x 0 ，在 x 0处连续，则 k x k, x 01
lg
0
x
2x 1 1 x
x0
x0
或
2x 1 x
2x 1 x
定义域是 x 1 或 x 0
x 1 或x 0
⒊在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
⒋求 lim sin 3x ． x 0 sin 2 x
解： f ( x)在ｘ 1处左极限 lim ( x 1) 0,
x1
f (x) 在ｘ 1处右极限 lim x 1， x1
f ( x) 在ｘ 1处极限不存在 , 即 f (x)在ｘ
1处间断；
又 f (x)在ｘ 1处左极限 lim x 1,

高等数学基础作业答案

高等数学基础第一次作业点评1第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A.2f(x)(x)，g(x)xB.2f(x)x，g(x)x2x1C.3f(x)lnx，g(x)3lnxD.f(x)x1，g( x) x1⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.yx⒊下列函数中为奇函数是（B）．2A.yln(1x)B.yxcosxC.xa xayD.yln(1x) 2⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.yx1B.yxC.2yxD. y 11,,xx⒌下列极限存计算不正确的是（D）．2x A.lim12xx2 B.limln(1x)0x0sinx C.lim0xx1 D.limxsin0xx⒍当x0时，变量（C）是无穷小量．A. s inxxB.1xC.x 1sinln(x2)D.x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

A.limf(x)f(x0)xxB.f(x)在点x0的某个邻域内有定义C.limf(x)f(x0)xx0 D.limf(x)limf(x)xxxx00二、填空题2x9⒈函数f(x)ln(1x)的定义域是．{xx3或x3}x3⒉已知函数f(x1)xx，则f(x)．xx⒊11xlim．2(1)ex2xx(1x),x0⒋若函数f(x)，在x0处连续，则k．exk,x0⒌函数x1,x0y的间断点是．x0 sinx,x0⒍若limf(x)A，则当xx0 x x时，f(x)A称为．无穷小量0三计算题⒈设函数f(x)xex ,, xx求：f(2),f(0),f(1)．解：f(2)2f(0)0f(1)1e e点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。

即正确选择某段函数。

⒉求函数y2x1lglg的定义域．x2x1解：欲使函数有意义，必使lg0x，2x1即：1x亦即：2x1x解得函数的定义域是：x1点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。

华东理工高等数学作业本第1次作业答案

第1章（之1）第1次作业教学内容: §1.1 实数集区间 §1. 2 函数的概念 §1.3 初等函数1.选择题:*（1）上是，在其定义域)()3(cos )(2∞+-∞=x x f ( ) ）　答（非周期函数的周期函数；　最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；最小正周期为B D C B A .)(32)(3)(3)(πππ**（2）)()()(x f x x x f ，则，，设∞+-∞= ( )　）答（内单调增，内单调减，而在，在内单调减；，内单调增，而在，在单调增；，在单调减；，在B D C B A .)0()0()()0()0()()()()()(∞+-∞∞+-∞∞+-∞∞+-∞**（3）的是下列函数中为非偶函数( )).1lg(1)(4343)(arccos )(1212sin )(2222x x x x y D x x x x y C x y B x y A x x +++=++++-==+-⋅=；；　；　答（ B ）**2.设一球的半径为r ，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V 表示为高h 的函数，并指出其定义域。

解：如图，R rAC AD ABC AOD =∴∆∆～因，22)(r r h rh R --=故，])[( 3 2232r r h h r V --=π体积，)2(+∞<<h r .**3.设对一切不等于0及1-的实数x 恒有12)1()(222++=+x xx x f x x f ，（1）证明12)1(2)(22++=+x x x x f x x f ；（2）)(x f 求. 解：（1）以x 1代入式　12)1()(222++=+x x x x f x x f 中的x ，可得,12)()1(2,)1(12)(1)1(2222++=+⇒++=+x x x x f x f x x x x x f x x f （2）在上式与所给之式中:)1(得消去x f131242)(322+=+--+=x xx x x x x x f就可以得到 1)(+=x x x f .***4.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-=1,1,1x x x x x x f 和 ()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=1,11,x x x x x x g求()()()x g x f x F =的表达式，并求 ()0F 及 ()2F .解：1-<x 时，()()()()112+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=⋅=x x x x x f x g x F ；11≤≤-x 时，()()()()2x x x x g x f x F -=-⋅=⋅=；1>x 时，()()()112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=x x x x x g x f x F ，()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤---<+-=∴,1,1,11,,1,1222x x x x x x x F ()00=∴F ，()51222=+=F .***5.设0≥x 时，()12-+=x x f x. ()1若()x f 是()+∞∞-,上的奇函数，试写出0<x 时，()x f 的表达式； ()2若()x f 是()+∞∞-,上的偶函数，试写出0<x 时，()x f 的表达式.解：()1 0<x ，则 0>-x ， ()()12--+=-∴-x x f x ，()x f 是奇函数，()()x f x f -=-∴，()121)(++-=--=∴x x f x f x ()0<x .()2 0<x ，则 0>-x ，()()12--+=-∴-x x f x， ()x f 是偶函数，()()x f x f =-∴，()121--=∴x x f x ()0<x .**6.()1设函数()x f 在[]l l ,-上有定义，试证明()()()2x f x f x -+=ϕ是[]l l ,-上的偶函数，而()()()2x f x f x --=ψ是[]l l ,-上的奇函数；()2 试证明在区间[]l l ,-上有定义的函数()x f ，总能分解为一个奇函数与一个偶函数的和；()3 试将函数()31x x f +=表示为一个奇函数与一个偶函数的和.解：()1对于()()()2x f x f x -+=ϕ，显然有()()()()x x f x f x ϕϕ=+-=-2，所以()x ϕ是[]l l ,-上的偶函数。

高等数学第一次作业答案

《高等数学》（一）作业，内容包括第一、二、三章一、选择题：１．函数)1ln(1)(++=x xx f 的定义域是（）Ａ．)0,1(- Ｂ．),0(+∞Ｃ．),0()0,1(+∞- Ｄ．),0()0,(+∞-∞2．=+→x x x 1)21(lim （）Ａ．e Ｂ．e Ｃ．2e Ｄ．１3．)32cos()431sin(ππ+++=x x y 的周期是（）Ａ．π2 Ｂ．π6 Ｃ．π4 Ｄ．π124．设)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f -=，则0<x 时，)(x f 的解析式是（）Ａ．)1(x x -- Ｂ．)1(x x + Ｃ．)1(x x +- Ｄ．)1(--x x5．函数21x y -=，)01(≤≤-x 的反函数是（）A ．21x y --= )01(≤≤-xB ．21x y --= )10(≤≤xC ．21x y -= )10(≤≤xD ．21x y -= )11(≤≤-x6．在下列各函数中，表示同一函数的是（）A ．2x y =与2)(x y =B ．x y sin =与x y 2cos 1-=C ．x x y -+=12与xx y ++=112 D ．)12ln(2+-=x x y 与)1ln(2-=x y 7．x x 2sin sin 2-=α, x cos 1-=β, 则当0→x 时，α与β的关系是（）A ．βα~B ．β是比α高阶的无穷小C ．βα,是同阶无穷小D ． α是比β高阶的无穷小 8．在区间)0,∞-（内与xx x y 32-=是相同函数的是（）A ．x -1B ．x --1C ．1--xD ．1-x9．设)999()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （）A ．999B ．999⨯999C ．999!D ．-999!10．若)(0x f '存在，则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )()2(lim000（） A ．)(0x f 'B ．)(20x f 'C ．)(30x f 'D ．)(40x f ' 11．函数24121arcsinx x y -+-=的定义域是（） A ．[-2, +2] B ．[-1, 2] C ．[-1, 2] D ．(-1, 2)12．函数x x y --=22的图形（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．不是对称图形13．当0→x 时，下列式子是无穷小量的是（）A ．xx sin B ．x x 1)1(+ C ．x x 1sin 31 D ．x 1sin 14．曲线x x y 33-=在点（2，2）处的法线方程为（）A ．)2(912-=-x y B ．92091+-=x y C ．9291+-=x y D ．)2(92-=-x y15．x nx ex λ∞→lim （n 为自然数，0>λ）的极限是（） A ．1 B ．不存在 C ．0 D ．nλ1 16．x x f sin )(=在0=x 处的导数是（）A ．0B ．2C ．不存在D ．117．当∞→n 时比21n低价无穷小的应是以下中的（） A ．21sin n B ．35-n C ．321n n + D ．n18．下列函数中不是初等函数的有（）A ．x x y sin =B ．x x y ++=)1log(2C ．2cos 2arcsin x x y ⋅=D ．x x sin 19．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 3sin 2sinlim 0（） A ．0 B ．3 C ．5 D ．220．函数x x x f -=3)(在[0, 3]上满足罗尔定理的=ζ（）A ．0B ．3C ．23D ．2二、填空题（每小题4分，共20分）1．曲线2t x =, t y 2=在1=t 对应点处的切线方程是。

高等数学基础作业答案

高等数学基础第一次作业点评1第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. xxsin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

高数第一次作业参考答案

第一次作业P491. 计算下列极限：（1）；35lim 22-+→x x x 解：原式=.932522-=-+ （3）；112lim 221-+-→x x x x 解：原式=()()().0111111lim 111lim 121=+-=+-=-+-→→x x x x x x x（7）；121lim 22---∞→x x x x 解：原式=.2111211lim22=---∞→xx x x （9）；4586lim 224+-+-→x x x x x 解：原式=()()()().32142412lim 4142lim44=--=--=----→→x x x x x x x x P759. 求下列极限：（2）()；x x xx -++∞→1lim 2解：原式=()()xx xx xx xx ++++-++∞→111lim 222xx xx ++=+∞→1lim2.211111lim2=++=+∞→x x（3）；11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x解：原式=21212212121221lim 1221lim 1221lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→++∞→x x x x x x x x=.e（4）；30sin tan lim xxx x -→ 解：原式=().2121lim cos 1tan lim 32030=⋅=-→→xx x x x x x x10. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x xx x f要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，应当怎样选择数a ?解：由于)(x f 在),(+∞-∞内连续，则)(x f 在点0=x 连续，由连续性的定义，有).0()(lim 0f x f x =→而,)0(a f =,01sin lim )(lim 00==++→→x x x f x x (),lim )(lim 200a x a x f x x =+=--→→ 由)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=，得 .0=a13. 证明方程01sin =++x x 在开区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.证明：设,1sin )(++=x x x f 则)(x f 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ内是连续的.,2122sin )2(ππππ-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f ,22122sin )2(ππππ+=+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=f因为0)2()2(<⋅-ππf f ，由零点存在定理可知，)(x f 在开区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少存在一个零点，即方程01sin =++x x 在开区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.第二次作业P972. 求下列函数的导数：（3）.1sec tan 2-+=x x y 解：.tan sec sec 22x x x y +='（6）.cos 3x e y x =解：().sin cos 3)sin (3cos 3x x e x e x e y x x x -=-+='（9）.cos ln 2x x x y =解：.sin ln cos cos ln 22x x x x x x x x y -+=' P1111. 求下列方程所确定的隐函数的导数：xy d d （3）.y x e xy +=解：方程两边关于x 求导，得到 ).d d 1(d d xy e x y x y y x +=++ 整理，得 y x y x e x y e x y ++--=d d 或 .d d xyx y xy x y --=P1123. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数:d d 22xy（4）.1y xe y +=解：方程两边关于x 求导，得 .d d d d xy xe e x y y y += 整理，得y y xe e x y -=1d d 或 .2d d ye x y y-= 对导数再关于x 求导，得22222)2(2)3()2()]3([)2()()2(d d y ye y e y y y e y y e y y e x y yyy y y ---=-'-=-'---'= .)2()3(32y y e y --= P1233. 求下列函数的微分：（1）.21x xy +=解：.1121.2122xx x x y +-=+-=' .d 11d 2x x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=（8）).21(tan 22x y += 解：（方法一）x x x x x x y 4)21(s e c )21t a n (2)21)(21(sec )21tan(22222222⋅++='+++=').21(sec )21tan(8222x x x ++=.d )21(s e c )21t a n (8d 222x x x x y ++=（方法二）x x x x x x x y d 4)21(s e c )21t a n (2)21(d )21(s e c )21t a n (22222222⋅++=+++=' .d )21(s e c )21t a n (8222x x x x ++= P1269. 求下列函数的二阶导数：（1）.ln cos 2x x y ⋅=解：;cos 1ln 2sin 1cos ln )sin (cos 222x xx x x x x x x y +-=⋅+⋅-⋅=' )sin (cos 21cos 112sin ln 2cos 222x x xx x x x x x y -⋅⋅+-⋅--='' .c o s 2s i n 2ln 2cos 222x x x x x x ---=（2）.12xx y -=解：();1111221232222x xx x x x y -=---⋅--='()().13)2(123252252x xx x y -=-⋅--=''-12. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数x y d d 及二阶导数:d d 22x y（1）⎩⎨⎧==.sin ,cos 33θθa y a x解：.tan )sin (cos 3cos sin 3d d d d d d 22θθθθθθθ-=-⋅==a a x y x y .cos sin 31)sin (cos 3se c d d d d d d d d 42222θθθθθθθa a x x y xy=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=第三次作业P207-P208 习题4-22. 求下列不定积分（其中ϕω、、、b a 均为常数）：（1）.d 5⎰t e t 解：原式=().515d 51d )5(51555C e t e t t e tt t +=='⎰⎰（3）⎰-.21d xx 解：原式=()().21ln 212121d 2121d 2121C x x x x x x +--=---=-'--⎰⎰（7）.d 2x xe x ⎰- 解：原式=()().21d 21d 2122222C e x e x x e x x x +-=--='-----⎰⎰ （9）⎰-.d 322x xx解：原式=()().32313232d 61d 32326122222C x x x x x x +--=---=-'--⎰⎰P213 习题4-3求下列不定积分：3.⎰.d arcsin x x解：原式=⎰⎰--=-x xx x x x x x x d 1arcsin arcsin d arcsin 2=().1arcsin 11d 21arcsin 222C x x x x x x x +-+=--+⎰4.⎰-.d x xe x解：原式=()⎰⎰⎰-----+-=--=-x e xe x e xe e x x x x x x d d d =.d C e xe e xe x x x x +--=------⎰ 9.⎰.d arctan 2x x x解：原式=x xx x x x x d 1131arctan 31d arctan 312333⎰⎰+⋅-= =x x x x x x d 131arctan 3123⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- =⎰⎰++-x x x x x x x d 131d 31arctan 3123 =()⎰+++-22231d 116161arctan 31x x x x x =().1ln 6161arctan 31223C x x x x +++- 16.()⎰-.d 1ln x x x解：原式=()()x x x x x x x d 11211ln 21d 1ln 21222⎰⎰-⋅--=- =()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--x x x x x d 111211ln 212 =()()⎰⎰--+--x x x x x x d 1121d 1211ln 212 =().1ln 2121411ln 2122C x x x x x +-----总习题四求下列不定积分： 1.⎰--.d x x e e x解：原式=()xx x x x x x x x e e e e e e e e x e d 1111211d d 2⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-- =()()⎰⎰++---1e d 11211e d 1121xx xx e e =()C e e x x ++--1ln 211ln 21 =.11ln 21C e e x x++-19.()⎰+.d 1ln 2x x解：原式=()()⎰+-+221ln d 1ln x x x x =()⎰+⋅-+x xxx x x d 121ln 22 =()x x x x d 11121ln 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+ =()⎰⎰++-+x x x x x d 112d 21ln 22 =().arctan 221ln 2C x x x x ++-+第四次作业习题5-2 P2435. 计算下列各导数：（1）⎰+22;d 1d d x t t x解：原式=()().1214222x xx x +='⋅+6. 计算下列各定积分：（1）()⎰+-ax x x 02;d 13解：原式=.212123023a a a x x x a+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-习题5-3 P2531. 计算下列定积分：（2）()⎰-+123;511d x x解：原式=()()()()1221212235111015112151511511d 51-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=++⎰x x x x =.5125110125601=+-（5）⎰262;d cos ππu u解：原式=3sin 41621sin 412212sin 4121d 22cos 12626ππππππππ-⋅-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+⎰u u u u =.836-π（10）;1d 3122⎰+xxx解：令t x tan =，.d sec d 2t t x = 当1=x 时，取4π=t ；当3=x 时，取.3π=t原式=.3322sin 1sin dsin sin costd se c tan d se c 343423423422-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===⎰⎰⎰ππππππππt t t t t tt tt P2547. 计算下列定积分（1）⎰-1d ；x xe x 解：原式=[][].12d d 1111011-+-=-+-=+-=------⎰⎰e eex exeex x xx x（6）⎰1;d arctan x x x解：原式=x x x x x x x d 121arctan 21d arctan 21102212102⎰⎰+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡= =[].214arctan 214211-=--⋅ππx x （7）⎰202;d cos πx x e x解：⎰202d cos πx x e x=()[]⎰⎰⎰+=-=20220222022cos d 2d sin 2sin sin d πππππx e e x x e xe x e x x x x=[]⎰-+202202d cos 4cos 2πππx x e xee x x=.d cos 42202⎰--ππx x e e x因此，.5251d cos 202-=⎰ππe x x e x 习题6-24. 求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积.解：不妨假设0>p ，抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的切线斜率(),1222|2212=='===px px px p y k 法线斜率.11-=-='kk 则法线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2p x p y ，法线与抛物线的另一交点为.3,29⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p 因此， pp p p p y py y y p y p y S 333226232d 223--⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= =.3162p 第五次作业习题7-2P3042. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（4）()0d sin 1d cos =++-y y e x y x ，;40π==x y解：此方程式可分离变量的微分方程，分离变量后得 ,c o s d s i n 1d y y y e x x-=+- 两边积分,c o s d s i n 1d ⎰⎰-=+-yy y e x x 得 (),c o s ln 1ln 1C y e x +=+从而 ,c o s 1y C e x =+ 其中1C e C ±=为任意常数. 再将初始条件40π==x y 代入上式，得.22=C因此，此方程满足所给初始条件的特解为.c o s 221y e x =+习题7-4P3151. 求下列微分方程的通解：（2）;232++=+'x x y y x 解：将此方程两边同乘以x1，得 .231xx y x y ++=+' 这是一个一阶线性微分方程，由通解公式，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰=⎰-C x e x x e y x x x x d 23d 1d 1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰C x x x x x d 231=.22332xC x x +++ 故此微分方程的通解为.22332xC x x y +++= （3）;cos sin x e x y y -=+'解：这是一个一阶线性微分方程，由通解公式，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰--C x e e e y x x x x d d c o s s i n c o s x d =[]⎰+⋅⎰--C x e e x x d e sinx sin cosxd =().sin C x e x +-故此微分方程的通解为().s i n C x e y x+=-。

国家开放大学《高等数学基础》第1—4次作业参考答案

B. y x cos x
C. y
a x a x
2
D. y ln(1 x)
4.下列函数中为基本初等函数是（C）．
A. y x 1
B. y x
C. y x
2
1 , x 0
D. y
x0
1 ,
5.下列极限存计算不正确的是（D）．
x2
1
x x 2 2
2.若函数 f (x) 在点 x0 可导，且 x0 是 f (x) 的极值点，则 f ( x0 )
0
．
3.函数 y ln(1 x 2 ) 的单调减少区间是（-∞，0）．
2
4.函数 f ( x) e x 的单调增加区间是（0，+∞）．
5.若函数 f (x) 在 [a , b] 内恒有 f ( x) 0 ，则 f (x) 在 [a , b] 上的最大值是 f(a) ．
f ( x)
C. d f ( x)dx f ( x)
D.
d
f ( x)dx f ( x)
dx
3.若 f ( x) cos x ，则 f ( x)dx （B）．
A. sin x c
B. cos x c
C. sin x c
D. cos x c
4.
d
D. f ( x) x 1 ， g ( x)
x2 1
x 1
2.设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f ( x) f ( x) 的图形关于（C）对
称．
A.坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. y x
3.下列函数中为奇函数是（B）．

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高等数学基础第一次作业
第1章函数
第2章极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．
A. 2)()(x x f =，x x g =)(
B. 2)(x x f =，x x g =)(
C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=
D. 1)(+=x x f ，1
1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. x y =
⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．
A. )1ln(2x y +=
B. x x y cos =
C. 2
x
x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．
A. 1+=x y
B. x y -=
C. 2x y =
D. ⎩⎨⎧≥<-=0,
10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．
A. 12lim 22
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0
=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x
x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．
A. x
x sin B. x 1 C. x
x 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00
x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=
（二）填空题
⒈函数)1ln(3
9)(2x x x x f ++--=的定义域是 ()∞+>.3,3x ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则 =)(x f x x -2
⒊=+∞→x x x
)211(lim e ． ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,
0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e .
⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0
,sin 0,1x x x x y 的间断点是 0=x ． ⒍若A x f x =→)(lim 0
，则当0x x →时，A x f -)(称为无穷小量．
（三）计算题
⒈设函数
⎩
⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．
⒉求函数x
x y 12lg lg -=的定义域． 21lg 00010212121110
x x x x x x x x x x x x x x -⎧>⎪><⎧⎧⎪⇒⇒><⎨⎨⎨-->-<⎩⎩⎪>⎪⎩
∴><或或域是解定义或：
⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
⒋求x
x x 2sin 3sin lim 0→．
⒌求)
1sin(1lim 21+--→x x x ． 21101(1)lim lim (1)1(2)2sin(1)sin(1)
x x x x x x x →-+→-+=-=⋅-=-++解：利用第一重要极限的公式0sin lim 1x x x
→=
⒍求x
x x 3tan lim
0→．
⒎求x x x sin 11lim 20-+→．
2002001lim sin 0lim 0sin 2
1x x x x x x x x x
→→→→→======）（）-1）解：利用第一重要极限的公式0sin lim 1x x x
→=
⒏求x x x x )3
1(lim +-∞→． 1143
31
31111(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33331(1)[(1)]1lim(1).x x x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x
e x
--→∞→∞→∞→→∞-∞-∞---+++-=====+++++=本题是1型极限未定式，用到第二重解要极限注意：： ⒐求4
586lim 224+-+-→x x x x x ． 2244468(2)(4)(2)2lim lim lim 54(1)(4)(1)3
x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---解： ⒑设函数
⎪⎩
⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f
讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．
1
1
1
211
()1lim (1)0,()1lim 1()1()1()1lim 1,()1lim(2)1,()1,lim ()1(1)()1.()x x x x x f x x f x x f x f x f x x f x x f x f x f f x f x -+-+→-→-→→→=-+==-=-∴=-=-===-=∴====在x 处左极限在x 处右极限，在x 处极限不存在,即在x 处间断；
又在x 处左极限在x 处右极限在x 处极限存在且，即在x 处连续故的连解：续区间为()lim ()().(2)x a
f x a f x f a →∞∞=⇔=（-，-1），（-1，）.
用到(1)在x 处连续初等函数在其定义域内注意：均连续.。