《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

西南科技大学2013-2014-2学期

《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷）

C.6

D.8

1

1)n的敛散性为（）

4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。

5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=⎰⎰。

三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。

2、设2

2

(,),z f x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2z

x y

∂∂∂。

3、求函数4242z x xy y =-+的极值。

4、计算|1|D

I x y dxdy =+-⎰⎰，其中[0,1][0,1]D =⨯。

5、把二次积分4

2200

)dx x y dy +⎰化为极坐标形式，并计算积分值。

n n 的收敛半径与收敛域。的一段弧。西南科技大学《高等数学B2

000

123

x y z k ===令

，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。

2、解：122(3)z

xf yf x

∂''

=+∂分。

3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分）

212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分）

4、解： 5

、解3334

4cos 22

3

4

2200

)64cos 12dx x y dy d r dr d π

π

θ

θθθπ+===⎰⎰⎰

⎰分

分

分

。

6、解：131lim 3

31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15

x -<<（3分）

当5x =时11313n n n n n n ∞

∞===∑∑发散（2分），当1x =-时11

(3)(1)3n n

n n n n n ∞∞

==--=∑∑收敛，（2分）

因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P

P xy y Q x xy x y x y

∂∂=-=-==-∂∂，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分）

11

4

2

3

30

(23)(4)314)=3L

xy y

dx x xy dy dx y dy -++-=+-⎰⎰⎰（（5分）

8、解：由高斯公式得22322()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy

x y dxdy ∑

Ω

+-++⎰⎰⎰⎰⎰（4分）

由柱面坐标2

24

2230028()3

r x y dxdydz d r dz ππ

θΩ

+==

⎰⎰⎰⎰⎰（5分）