3.2生活中线性相关实例分析
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2．线性相关：若散点图中的点的分布从整体上看大致 在一条直线附近，则称两个变量之间具有线性相关的关系， 这条直线叫做________．
例如：(1)同学学号与数学成绩间是否有相关关系？
(2)同学学习时间与学习成绩是否有相关关系？
1．回归分析 2.回归直线 例：(1)无 (2)有
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跟踪训练
1．假设学生在初中和高一数学成绩是线性相关 的．若10个学生初中(x)和高一(y)数学成绩如下：
x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72
x2
2
73
4
3
72
9
4
71
16
3
73
9
4
69
16
5
68
25
21
426
79
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xy
146 216 284 219 276 340 1481
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∧
解析：设回归直线方程为y＝a＋bx，
因为－x ＝261，－y ＝4626＝71，i＝61x2i ＝79，i＝61xiyi＝1481，
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基础梳理
1．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法叫________．
回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定 性，由一个变量的变化推测另一个变量的变化的方法，称 作回归方法．
将以上数据代入公式得 b＝147891－－66××262161×271
＝－51.05≈－1.81812， ∧a＝71－(－1.81812)×261≈77.36.
∧
故回归直线方程为y＝77.36－1.82x.由于回归系数 b 为－1.82， 由回归系数 b 的意义可知，产量每增加 1000 件， 单位成本下降 1.82 元．
A．1
B．2
解析：①②③错．
答案：C
C．3
D．4
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2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的 一组数据：
月份x 用水量y
1
23
4
4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线 性相关关系，其线性回归直线方程是 y^ ＝－0.7x＋a， 则a等于( )
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统计
2．3 变量间的相关关系 2.3.2 生活中线性相关实例
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通过生活实例进一步了解最小二乘法思想．用不 同估算方法描述两个变量线性相关的过程，建立线性 回归方程．
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3．“最小二乘法”的含义是什么？
解析：设具有线性相关的两个变量之间的函数关
系近似表达式为 y^＝bx＋a，求当b，a取何值时，Q＝
(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2达到最 小的方法称为“最小二乘法”．在推导过程中两次用到 了配方法，故称为“最小二乘法”．
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2．求线性回归直线方程的步骤主要有哪些？ 解析：第一步：列表 xi，yi，xiyi；
n
n
n
第二步：计算 x ， y ，x2i ，yi2，xiyi；
i＝1
i＝1
i＝1
第三步：代入公式计算 b，a 的值； 第四步：写出直线方程．
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思考应用
1．对任何给定的一组样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)是 否都可以用最小二乘法建立起一个线性回归模型？
解析：对于任何给定的一组样本(xi，yi)(i＝1,2，…， n)都可以用最小二乘法建立起一个线性回归模型，相应地 就可以得到一条回归直线．但是，这样的一条回归直线并 不是总有意义的，只有当变量X与Y之间确实存在某种因果 关系时，其回归直线才有意义．统计学中要确定变量X和Y 之间是否确实存在线性相关，通常利用相关系数来检 验．相关系数记作r，它能够较精确地描述两个变量之间线 性相关的密切程度．当r>0时称Y与X正相关；当r<0时称Y 与X是负相关．
A．10.5
B．5.15
C．5.2
D．5.25
解析： x ＝2.5， y ＝3.5，代入得 a＝5.25.
答案：D
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3．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回 归方程y＝bx＋a必过点______.
x0123 y1357
4.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高 之间的遗传关系时由高尔登提出的，他的研究结果是子 代的平均身高向中心回归，根据他的结论，在儿子的身 高y与父亲的身高x的回归方程y^ ＝a＋bx中，b的取值范 围是_______．
3.32，4 4.(0,1)
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求回归直线方程
针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进 行线性回归分析：
月份
1 2 3 4 5 6 合计
产量x (千件)
单位成本 y(元/件)
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3．线性回归：对于具有线性相关关系的两个变 量x与y，我们可以拟合许多条直线来表达它们之间的 相关关系，而这许多直线中，最“贴近”已知n个观测
∧
点(xi，yi)，i＝1,2,3…，n，的数据的直线方程y＝bx＋a 称作y对x的线性回归方程，a，b叫做回归系数．
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自测自评
1．上列说法中错误的个数是个( ) ①任何两个变量之间一定是线性相关的．
②线性回归方程的拟合效果与选择数据多少无关．
③函数关系一定是相关关系．
④如果样本点只有两个，则用最小二乘法计算得到的 直线方程与两点式求出的方程一致．
例如：(1)同学学号与数学成绩间是否有相关关系？
(2)同学学习时间与学习成绩是否有相关关系？
1．回归分析 2.回归直线 例：(1)无 (2)有
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1．假设学生在初中和高一数学成绩是线性相关 的．若10个学生初中(x)和高一(y)数学成绩如下：
x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72
x2
2
73
4
3
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xy
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∧
解析：设回归直线方程为y＝a＋bx，
因为－x ＝261，－y ＝4626＝71，i＝61x2i ＝79，i＝61xiyi＝1481，
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1．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法叫________．
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将以上数据代入公式得 b＝147891－－66××262161×271
＝－51.05≈－1.81812， ∧a＝71－(－1.81812)×261≈77.36.
∧
故回归直线方程为y＝77.36－1.82x.由于回归系数 b 为－1.82， 由回归系数 b 的意义可知，产量每增加 1000 件， 单位成本下降 1.82 元．
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2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的 一组数据：
月份x 用水量y
1
23
4
4.5 4 3 2.5
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(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2达到最 小的方法称为“最小二乘法”．在推导过程中两次用到 了配方法，故称为“最小二乘法”．
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n
n
n
第二步：计算 x ， y ，x2i ，yi2，xiyi；
i＝1
i＝1
i＝1
第三步：代入公式计算 b，a 的值； 第四步：写出直线方程．
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1．对任何给定的一组样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)是 否都可以用最小二乘法建立起一个线性回归模型？
解析：对于任何给定的一组样本(xi，yi)(i＝1,2，…， n)都可以用最小二乘法建立起一个线性回归模型，相应地 就可以得到一条回归直线．但是，这样的一条回归直线并 不是总有意义的，只有当变量X与Y之间确实存在某种因果 关系时，其回归直线才有意义．统计学中要确定变量X和Y 之间是否确实存在线性相关，通常利用相关系数来检 验．相关系数记作r，它能够较精确地描述两个变量之间线 性相关的密切程度．当r>0时称Y与X正相关；当r<0时称Y 与X是负相关．
A．10.5
B．5.15
C．5.2
D．5.25
解析： x ＝2.5， y ＝3.5，代入得 a＝5.25.
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3．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回 归方程y＝bx＋a必过点______.
x0123 y1357
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求回归直线方程
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产量x (千件)
单位成本 y(元/件)
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3．线性回归：对于具有线性相关关系的两个变 量x与y，我们可以拟合许多条直线来表达它们之间的 相关关系，而这许多直线中，最“贴近”已知n个观测
∧
点(xi，yi)，i＝1,2,3…，n，的数据的直线方程y＝bx＋a 称作y对x的线性回归方程，a，b叫做回归系数．
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1．上列说法中错误的个数是个( ) ①任何两个变量之间一定是线性相关的．
②线性回归方程的拟合效果与选择数据多少无关．
③函数关系一定是相关关系．
④如果样本点只有两个，则用最小二乘法计算得到的 直线方程与两点式求出的方程一致．