全国高中数学联赛河南省预赛试卷及答案(高中一年级)
2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案(高一)
2015 全国高中数学联赛河南初赛试题及答案 ( 高一 )2015 年全国高中数学联赛河南省高一初赛试题（5 月 10 日 8:30 至 11:00）一．填空题（本大题共8 小题，每题 8 分，共64 分）1．若会合A a a 5x 4, x N*，B b b7 y 6, y N*，将A I B中的元素从小到大摆列，则排在第20 个的那个元素是．2．已知实数x，y知足：(x 3)32015( x 3) (2 y 3)32015(2 y 3) 0，则 x24 y24 xmin．3．设线段BC， AB， CD BC，且 CD 与平面成 30角，且 AB BC CD 2cm，则线段AD的长度为．4．若直线l与直线x 3y 10 0，2x y 8 0分别交于点M，N ，若 MN 的中点为P(0,1)，则直线 l 的方程是．5．设 k ， m ， n 都是整数，过圆 x2y2(3k1)2 外一点P( m 3 m,n 3 n)向该圆引两条切线，切点分别为A，B ，AB上知足横坐标与纵坐标均为整数的点个．6．若函数 f (x) (1 x 2)( x2ax b)的图象对于直线x 2对称，则 a b．7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上边一题正误判分）（必修 3）履行如下图的算法，则输出的结果是．则直线 有（必修4）已知函数 f (x)sin xπ上是减函x在区间 (0, )2数，若 0x ≤ 1 ， a (sin x 2 ，bsin x ，csin x2x)xx 2，则 a， b，c的大小关系是．8．假如实数 a ， b 使得 x 2x 1 是 ax 220151bx 2201511 的因式，则 a 的个位数字为．二（此题知足 16 分）求 x 23y 22的整数解．三（此题知足 20 分）如下图，已知 AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上且知足 AC BC ，在线段 BC 上取一点 D ，使 BD AC ，在 AD上取一点 E 使BED 45 ，延伸BE 交 CA 于 F ，求证：CD AF ．四（此题知足 20 分）对于随意的△ ABC，若其三边长为 a ，b， c ，则 a x，b x，c x依旧能够组成某三角形的三边长，务实数 x的取值范围．五（此题知足 20 分）已知全集 U 1,2,L , n ，会合A知足：(i) A U ；(ii)若x A，则 kx A；(iii)若x e U A，kx e U A（此中 k ，n N*， k ≥ 2 ），用 f k (n) 表示知足条件的会合A的个数．（1）求f2(4)，f2(5)；（2）记会合A中全部元素的和记为会合A的“和”，当 n pk q （p， q N ， 0 ≤ q ≤ k 1 ）时，求全部会合A的“和”的和（结果用含 p ， q ， k 的代数式表示）．。
2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案高中一年级
2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案高中一年级（2004年5月23日上午9：00---11：00）考生注意：本试卷共六道大题，满分140分． 说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题、填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的档次给分，不要再增加其它中间档次.2．如果考生的解答与本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的评分档次，给予相应的分数.一、选择题（本题满分30分，每小题5分.本题共有六个小题，每小题后面给出了A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律的零分．1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( )A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>a Ｃ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---=[]xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题要求直接写出结果．1．f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期2，则f(-1)的值为_______________． 解：)()2(x f x f =+ 令1-=x ∴)1()21(-=+-f f . 即0)1()1()1()1(=-∴-=-=f f f f .应填0.2．集,22|{knx x M -== 其中n, k ∈N, 且n ＞k}, 集P={x|1912≤x ≤2004且x ∈N}，则集合M ∩P 中所有元素的和等于________．解：∵1024210=，211=2048，∴集合M ∩P 中所有元素必为211-2k （其中 k ∈N ）的形式，又1912≤211-2k ≤2004，故44≤2k ≤136，符合条件的k 只能等于6和7，所以集合M ∩P 中只有两个元素，即为211-26=1984和211-27=1920，其和为1984+1920=3904．本题应填3904.3．已知f(x)=221+x,则f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________．解：利用f(x)+f(1-x)=22,可得结果为21002.应填21002. 4．已知数列{n a }，其中991199=a ，1)(1a n n a a -= ，则n a 为整数时最小的正整数n 是________．解：显然对任意的正整数n,均有n a ＞0，由1)(1a n n a a -=两边取对数得11lg lg -=n n a a a ，故{n a lg }是以1lg a 为首项，1a 为公比的等比数列，所以111lg lg a a a n n -=，得)1(99111999911)99(--==n n a n a a ，欲使n a 为整数，必有n-1=99k,(k 为正整数)，故所求的最小的正整数n 是100．应填100.5．设函数)(3)(R a ax x x f ∈-+=，若使),1()(+∞在x f 上为增函数，则a 的取值范围为______________.解：设a x t -=，则原函数化为tat t a t t f ++=++=33)(2，因为),1()(+∞在x f 上为增函数，所以)(t f 在),1(+∞-a 上为增函数.当03≤+a 即3-≤a 时显然符合；当03>+a 时，因为)(t f 在),3(+∞+a 上为增函数，所以a a -≤+13，即13-≤<-a ，综上可知所求a 的取值范围为]1,(--∞.应填]1,(--∞.6．函数()sin sin cos cos f x x x x x =+的值域是______________. 解：由函数()sin sin cos cos f x x x x x =+，当x 的终边落在第一象限时，;1cos sin )(22=+=x x x f当x 的终边落在第二象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈-=-=x x x x f 当x 的终边落在第三象限时，;1cos sin )(22-=--=x x x f当x 的终边落在第四象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈=+-=x x x x f 当x 的终边落在两个坐标轴上时，()11f x =-或；综上所述()f x 的值域是 [－1,1] ．应填[－1,1]. 三、（本题满分20分）设,5),(01=∈>*a N n a n 当ｎ≥2时，6711+-=+--n n n n a a a a ，求数列｛n a ｝的通项公式．解：∵条件可化为7661212+-=---n n n n a a a a ，配方，得7)3()3(212=----n n a a ．---------10分∴,37)1(7)3()3(212-=-+-=-n n a a n故337+-=n a n ． --------------20分四、（本题满分20分） 已知函数.2cos )24(sin sin 4)(2x xx x f ++=π（1）设ω>0为常数，若]32,2[)(ππω-=在区间x f y 上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合},2|)(||{},326|{<-=≤≤=m x f x B x x A ππ若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.解：（1）.1sin 2sin 21)sin 1(sin 22cos 2)2cos(1sin 4)(2+=-++=++-⋅=x x x x x x x x f π-------------------------5分分是增函数在10]43,0(,232]2,2[]32,2[,]32,2[1sin 2)(-------∈∴≤⇒-⊆-∴-+=ωωππωπωπππππωωx x f分分恒成立不等式时当即由20)4,1(.3)2()(,2)6()(15]2)([]2)([.2)(2)(,326.2)(2)(,2)(22|)(|)2(max min min max -----∈∴====----------+<<-∴+<<-≤≤∴⊆∴+<<-<-<-⇒<-m f x f f x f x f m x f x f m x f x B A x f m x f m x f m x f ππππ五、（本题满分20分）锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ，OMN ABC ∠=∠4，OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．解：设θ=∠OMN ，则θ4=∠ABC ，θ6=∠ACB ，OAB CMNθ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC ---5分又θ1018021-︒=∠=∠=∠BAC BOC NOC θ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MON ----------10分OMN OMN MON ONM ∠==+-︒-︒=∠+∠-︒=∠θθθ)2180(180)(180即OMN ∆为等腰三角形，OC OA OM ON 2121===-------15分 ∵︒=∠90ONC ，∴︒=∠60NOC ，又∵θ10180-︒=∠NOC ，∴︒==∠12θOMN ---------------20分六、（本题满分20分）是否存在定义在实数集R 上的函数f(x)，使得对任意R x ∈，有x x f f =))((且x x f f -=+1)1)((若存在，写出符合条件的一个函数；若不存在，说明理由.解：这样的函数不存在.--------------------------5分 下面用反证法证明：若存在)(x f 使得（1）、（2）均成立.先证)(x f 是一一映射.对于任意的R b a ∈,，若)()(b f a f =，由（1）有b b f f a f f a ===))(())((，即)(x f 是一一映射.-------------------10分将0=x 代入（1），则有0))0((=f f --------------- (3) 将1=x 代入（2），得0)1)1((=+f f ----------------------(4)由（3）、（4）得：)1)1(())0((+=f f f f ----------------------------------15分 因为)(x f 是一一映射，所以1)1()0(+=f f ---------------------(5) 同理，分别将1=x 与0=x 代入（1）、（2），得)1)0(())1((+=f f f f 所以 1)0()1(+=f f ------------------------------------------(6) 将(5)与（6）相加得0=2，矛盾.--------------------------------------20分。
2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题Word版含答案
2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题一、填空题(共8小题每小题8分,满分64分)1. 集合2{|560}P x x x =-+=，{|10}M x mx =-=，且M P ⊆,则满足条件的实数m 组成的集 合为 ．2.函数()f x =的值域是 ．3已知函数|2|3||220181()41x x x f x -+=+在R 上的最大值为M ,最小值为m , 则M m += ．4.已知四面体ABCD 中, 5AB CD ==,AD BC ==AC BD ==则该四面体的体积 为 ．5.已知关于x 的方程32x ax bx ++10a b ---=有两个根分别在(0,1),(1,)+∞内, 则211a b a +++的取值范围是 ． 6.在直线3x =上任取一点P ,过点P 向圆22(2)4x y +-=作两条切线,其切点分别为,A B ,则直线AB经过一个定点，该定点的坐标为 ．7.已知A ∠为锐角,的最小值为 ．8.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为23,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为 +()i x i N ∈的概率为i p ,这里要求1()i I x x i N +<∈,则1i i i S x p +∞===∑ ．二、(1)证明对于任意的正实数,a b 都有: a b +≥(2)已知正数,x y 满足: 1x y +=，求14x y +的最小值. 三、设锐角ABC ∆边,,BC CA AB 上的垂足分别为,,D E F ,直线EF 与ABC ∆的外接圆的一个交点为P ,直线BP 与DF 交于点Q .证明: AP AQ =.四、已知实数,x y 满足:21cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+，求xy 的最小值. 五、设,S T 是两个非空集合若存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(i) {()|}T f x x S =∈；(ii) 12,x x S ∀∈,当12x x <时,恒有12()()f x f x <.那么称这两个集合“保序同构”.证明: (1)(0,1),A B R ==是保序同构的；(2)判断,A Z B Q ==是不是保序同构的，若是，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明理由.2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题参考答案一、填空题 1. 11{,,0}23 .2. 2].3. 2.4. 20.5. (0,2).6. 4(,2)3.8. 185. 二、(1)由a b +-20=-≥，故a b +≥ (2) 1414()()x y x y x y+=++ 414y x x y =+++59≥+= 等号在12,33x y ==处取到，故最小值为9. 三、如上图所示,由于,,D E F 是垂足,则90BFC BEC ∠=∠=,故,,,C B F E 四点共圆，从而AFE ACB ∠=∠而 =BFD FQB FBQ BCA PCB PCA ∠∠+∠⎧⎨∠=∠+∠⎩FQB ⇒∠=PCB PAF ∠=∠故,,,A F P Q 四点共圆AQP AFE ⇒∠=∠=ACB APQ ∠=∠AP AQ ⇒=四、21cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+=22(2)2()111x y xy x y x y +-+-++-+ 2(1)11x y x y -++==-+111x y x y -++-+ 由于201cos <+(1)2x y +-≤，故10x y -+>，从而1121x y x y -++≥-+ 21cos (1)211x y x y ⎧++-=⇒⎨-+=⎩2cos (1)1x y x y⎧+-=⇒⎨=⎩1,x y k k Z x y π+-=∈⎧⇒⎨=⎩ 12k x y π+⇒==，k Z xy ∈⇒=211(),24k k Z π+≥∈ 故min1()4xy =. 五、(1)令()tan[(f x x =-1)]()2x A π∈， 则()f x 单调增,且其值域为R ,因此A 和B 是保序同构的；(2)集合,A Z B Q ==不是保序同构的.事实上上若集合,A Z B Q ==是保序同构的.则存在函数()y f x =,使得(1),(2)f a f b ==,其中,,a b Q a b ∈<. 考察数2a b c Q +=∈，则a c b <<,由于A 和B 是保序同构的,则存在x Z ∈使()f x c =， 结合()y f x =单调递增,则12x <<,矛盾.。
2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案
2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案高中一年级（2004年5月23日上午9：00---11：00）考生注意：本试卷共六道大题，满分140分． 说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题、填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的档次给分，不要再增加其它中间档次.2．如果考生的解答与本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的评分档次，给予相应的分数.一、选择题（本题满分30分，每小题5分.本题共有六个小题，每小题后面给出了A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律的零分．1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( )A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ． 5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---=[]xx y 54153s i n )s i n (c o s )c o s ()(c o s c o s 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是（ ）A. πB. π2C.34π D. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题要求直接写出结果．1．f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期2，则f(-1)的值为_______________．解：)()2(x f x f =+ 令1-=x ∴)1()21(-=+-f f . 即0)1()1()1()1(=-∴-=-=f f f f .应填0.2．集,22|{k n x x M -== 其中n, k ∈N, 且n ＞k}, 集P={x|1912≤x ≤2004且x ∈N}，则集合M ∩P 中所有元素的和等于________．解：∵1024210=，211=2048，∴集合M ∩P 中所有元素必为211-2k （其中 k ∈N ）的形式，又1912≤211-2k ≤2004，故44≤2k ≤136，符合条件的k 只能等于6和7，所以集合M ∩P 中只有两个元素，即为211-26=1984和211-27=1920，其和为1984+1920=3904．本题应填3904.3．已知f(x)=221+x,则f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________．解：利用f(x)+f(1-x)=22,可得结果为21002.应填21002. 4．已知数列{n a }，其中991199=a ，1)(1a n n a a -= ，则n a 为整数时最小的正整数n 是________．解：显然对任意的正整数n,均有n a ＞0，由1)(1a n n a a -=两边取对数得11lg lg -=n n a a a ，故{n a lg }是以1lg a 为首项，1a 为公比的等比数列，所以111lg lg a a a n n -=，得)1(99111999911)99(--==n n a n a a ，欲使n a 为整数，必有n-1=99k,(k 为正整数)，故所求的最小的正整数n 是100．应填100.5．设函数)(3)(R a ax x x f ∈-+=，若使),1()(+∞在x f 上为增函数，则a 的取值范围为______________.解：设a x t -=，则原函数化为tat t a t t f ++=++=33)(2，因为),1()(+∞在x f上为增函数，所以)(t f 在),1(+∞-a 上为增函数.当03≤+a 即3-≤a 时显然符合；当03>+a 时，因为)(t f 在),3(+∞+a 上为增函数，所以a a -≤+13，即13-≤<-a ，综上可知所求a 的取值范围为]1,(--∞.应填]1,(--∞.6．函数()sin sin cos cos f x x x x x =+的值域是______________. 解：由函数()sin sin cos cos f x x x x x =+，当x 的终边落在第一象限时，;1cos sin )(22=+=x x x f当x 的终边落在第二象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈-=-=x x x x f 当x 的终边落在第三象限时，;1cos sin )(22-=--=x x x f当x 的终边落在第四象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈=+-=x x x x f 当x 的终边落在两个坐标轴上时，()11f x =-或； 综上所述()f x 的值域是 [－1,1] ．应填[－1,1]. 三、（本题满分20分）的通项公式．解：∵条件可化为7661212+-=---n n n n a a a a ，配方，得7)3()3(212=----n n a a ．---------10分∴,37)1(7)3()3(212-=-+-=-n n a a n四、（本题满分20分）五、（本题满分20分）锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ，OMN ABC ∠=∠4，OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．解：设θ=∠OMN ，则θ4=∠ABC ，θ6=∠ACB ，θ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC ---5分又θ1018021-︒=∠=∠=∠BAC BOC NOCθ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MON ----------10分OMN OMN MON ONM ∠==+-︒-︒=∠+∠-︒=∠θθθ)2180(180)(180即OMN ∆为等腰三角形，OC OA OM ON 2121===-------15分 ∵︒=∠90ONC ，∴︒=∠60NOC ，又∵θ10180-︒=∠NOC ，∴︒==∠12θOMN ---------------20分六、（本题满分20分）是否存在定义在实数集R 上的函数f(x)，使得对任意R x ∈，有x x f f =))((且x x f f -=+1)1)((若存在，写出符合条件的一个函数；若不存在，说明理由.解：这样的函数不存在.--------------------------5分 下面用反证法证明：若存在)(x f 使得（1）、（2）均成立.先证)(x f 是一一映射.对于任意的R b a ∈,，若)()(b f a f =，由（1）有b b f f a f f a ===))(())((，即)(x f 是一一映射.-------------------10分将0=x 代入（1），则有0))0((=f f --------------- (3) 将1=x 代入（2），得0)1)1((=+f f ----------------------(4)由（3）、（4）得：)1)1(())0((+=f f f f ----------------------------------15分 因为)(x f 是一一映射，所以1)1()0(+=f f ---------------------(5) 同理，分别将1=x 与0=x 代入（1）、（2），得)1)0(())1((+=f f f f 所以 1)0()1(+=f f ------------------------------------------(6) 将(5)与（6）相加得0=2，矛盾.--------------------------------------20分说明：填空题函数偏多，三、四题可对调位置。
【最新精选】2016全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案
全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案（2010年5月9日上午8：30---11：00）考生注意：本试卷共五道大题，满分100分．一、填空题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．直接把答案填在题中的横线上.1.定义集合运算：{,,}.A B c ab a A b B ⊗==∈∈设{0,2},{0,4},A B ==则集合A B ⊗的元素的和为 个.解：填8.集合A B ⊗的元素为120,8.c c ==2.设,()||||,a b f x x a x b <=---则()f x 的取值范围是 .解：填().a b f x b a -≤≤-若,x a ≤则()f x a x b x a b =--+=-；若,a x b <<则()2,()f x a b x a b f x b a =--+-<<-；若,x b ≥则()f x x a x b b a =--+=-，综上，有().a b f x b a -≤≤-3. 某一次函数图像与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(-1, -25)，则在线段AB 上(包括,A B )，横纵坐标都是整数的点有 个. 设5,4y x b =+由条件过点(-1, -25)，得95,4b =- 所以595.44y x =- 则A （19,0）、B (0, 954-),由595(019)44y x x =-≤≤,取3,7,11,15,19x =时,y 是整数, 所以,满足条件的点有5个.4.已知函数()f x 满足对所有的实数,x y ,都有()(2)(3)2010,f x f x y f x y x ++=-+-则(2010)f = ．解:填0.令2010,1005,x y ==得(2010)(5025)(5025)20102010,f f f +=+-所以(2010)0.f =5.如图，已知(2,0),(0,4),A B --P 为双曲线8(0)y x x=>上的任一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ,则四边形ABCD 面积的最小值为 .解：填16.设点P 的坐标为),(00y x ，则有008y x =，00>x . 则008(,0),(0,)C x D x ， 由条件知：008||2,||4,CA x DB x =+=+ 故有0000184(2)(4)2()816.2S x x x x =++=++≥ 所以四边形ABCD 面积的最小值是16.6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为 ．解:填2. 设三棱柱111,A B C A B C-侧棱长为,a 侧面的异面对角线11,AB BC 互相垂直,则1111111111111120()()00cos 6002AB BC B B BA BB B C B B BB B B B C BA BB BA B C a a ⋅=⇒+⋅=⇒⋅+⋅+⋅+⋅=⇒-+=⇒= 7. 若抛物线2112y x mx m =-+-与x 轴交于整点，则抛物线的对称轴方程为 . 解：填.x =1 设抛物线2112y x mx m =-+-与x 轴交与整点（1x ，0），（2x ，0）， 1212(,<)x x x x 为整数，且， 则方程21102x mx m -+-=有两个整数根12,,x x 得 212111()(),22x mx m x x x x -+-=-- 取1,x =代入得12(1)(1)1,x x --=- 所以1211,11,x x -=⎧⎨-=-⎩ 所以120,=2,x x =则抛物线的对称轴方程为.x =18. 已知实数a b 、满足221a ab b ++=，且22t ab a b =--，则t 的最大值与最小值的积为.解：填1.设,a x y b x y =+=-、则有22()()()() 1.x y x y x y x y +++-+-=化简得2213,y x =-2210,0.3y x ≥∴≤≤ 2222222()()()()38 3.t ab a b x y x y x y x y x y x ∴=--=+--+--=--=- 113,3() 1.33t ∴-≤≤-∴-⨯-=9. 用如图所示的两个转盘做游戏,第一个转盘为圆形,O 为圆心,且90AOB BOC ∠=∠=;第二个转盘为矩形, 1O 为矩形的中心,且NP MN=若同时转动两个转盘,则转盘停止后指针同时指向a 的概率为 . 解：填16. 指针同时指向a 的概率为111.236P =⋅= 10.设在同一平面上两个非零的不共线向量a ,b 满足()⊥-b a b ，对任意的x ∈R,则||x -a b 的取值范围为 .(用向量a,b 表示)解：填[||,)-+∞a b .设OA OB ==a,b,x b 表示与OB 共线的任一向量, ||x -a b 表示点A 到直线OB 上任一点的距离,而-|a b |表示点A 到点B 距离，当()⊥-b a b 时，.AB OB ⊥由点与直线之间距离最短知，对任意的x ∈R,有||x -≥a b ||-a b .二、（本题满分12分）如图,在ABC ∆中,已知9,8,7,AB BC AC ===AD 为内角平分线,以AD 为弦作一个圆与BC 相切,且与,AB AC 分别交与,M N ,求MN 的长.解：如图,连结,DM 由,BDM BAD CAD DMN ∠=∠=∠=∠得MN BC ∥，易知2299,9()22927.844BD BM BA BD BM BM AM =⋅=⇒⋅=⇒=⇒=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 又 2734.94MN AM BC AB === 所以 38 6.4MN =⨯=…………………12分 三、（本题满分13分）如图，两个平面//,m n 线段AD 分别交平面m n 、于点B C 、,过点A 的另一条直线分别交平面m n 、于点M P 、,过点D 的另一条直线分别交平面m n 、于点N Q 、,已知3,2B M NC P Q S S ∆∆=ABC S ∆为ABC ∆的面积,且1sin ,2ABC S AB BC BAC ∆=⋅⋅∠求AD CD 的最小值. 解：因为平面,m n ∥所以,,BM CP BN CQ ∥∥sin sin .MBN PCQ ∴∠=∠ 且,,BM AB BN BD CP AC CQ CD== 又1sin ,2BMN S BM BN MBN ∆=⋅⋅∠1sin ,2CPQ S CP CQ PCQ ∆=⋅⋅∠ 结合3,2BMN CPQ S S ∆∆=得3.2AB BD AC CD ⋅=…………………5分 令,,AC BD a b AB CD==则23,b a =且1,b a >> 11,,1BC a AB BC AB a =-=-…………………8分111(1)1113311(1)(1)1222(1)313[(1)]33323(1)2AD AB BC CD a BC a BD CD a b CD CD a CD a CD a a a a a a a a ++-==+⋅=+⋅=+----=+-=++--=-++≥⋅=+- 所以AD CD的最小值为3…………13分四、（本题满分12分）（以下两题请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题给分）(必修4) 已知向量s i n ,1),(c o s ,0),x x ωωω==>a b 又函数()(f x k =⋅-b a b 是以2π为最小正周期的周期函数.若函数()f x 的最大值为21，则是否存在实数t ,使得函数()f x 的图像能由函数()g x t =⋅a b 的图像经过平移得到？若能，则求出实数t 并写一个平移向量m ；若不能，说明理由.解:()()f x k =⋅-b a b =3sin ωx cos ωx -k cos 2ωx =23sin2ωx -21k (1+cos2ωx ) =23sin2ωx -21k cos2ωx -21k =2132+k sin(2ωx +θ)- 21k , 又函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数， ∴ T =22πω=2π , ∴ω=2 . …………………4分 ∴ ()f x = 2132+k sin(4x +θ)-21k ,∵ 函数()f x 的最大值为21， ∴ -21k +2132+k =21 ，解得k =1, …………………8分 ∴ ()f x = 2132+k sin(4x -6π)-21k =1sin(4)62x π--, 又()g x t =⋅a b =3t sin ωx cos ωx ==23t sin4x ,∴当t =()g x t =⋅a b 的图像按向量1(,).242π=m 平移后便得到函数()f x 的图像 . ……………………12分(必修3)袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个,白球2个，红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分；在抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色.首先由甲取出3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获胜.求:(1) 甲、乙成平局的概率;(2) 如果可以选择先后取球的顺序，你会先取还是后取，为什么？解： 记黑球为1，2号；白球为3，4号；红球为5，6号.则甲取球的所有可能性共有下列20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. ……………………4分(1)平局时甲、乙两人的得分均应该为3分，所以甲取出的三个小球必须为一黑一白一红，共有8种情况.故平局的概率为182205P ==…………………………8分 (2)甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的3个小球只能是2红1白，1红2白，或2红1黑，共有6种情况.甲（先取者）获胜的概率为2632010P ==. 所以乙（后取者）获胜的概率为3123110P P P =--= 因为23P P =，所以先取后取获胜的可能性是一样的.………………12分五、（本题满分13分）设二次函数2()(R)f x x bx c b c =++∈、与x 轴有交点.若对一切R x ∈,有1(,f x x+≥）0且2223(1,1x f x +≤+）求b c 、的值. 解: 11||||||2,x x x x+=+≥所以,对于一切满足||2x ≥的实数x 有()0.f x ≥……………3分则2()0f x x bx c =++=的实数根在区间[-2, 2]内,所以, 二次函数2()(R)f x x bx c b c =++∈、在区间[2,)+∞上是增函数,且 (2)0,420,(2)0,420,44,222f b c f b c b b ⎧⎪≥-+≥⎧⎪⎪-≥⇒++≥⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎪-≤-≤⎩……………8分又2222312(2,3]11x x x +=+∈++, 所以2223(1,1x f x +≤+）即(31,f =）93 1.b c ++= 4,42380,542380,4,4444,b b b b b b b b ⎧≤-⎪---≥⎧⎪⎪+--≥⇒≤-⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎩⎪⎩所以,只有 4.b =-此时 4.c =………………13分附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
高中数学联赛河南赛区预赛试卷 试题
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
2021年全国高中数学联赛预赛试题本套试卷满分是140分一、填空题〔满分是64分〕1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和可以被3整除，那么不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，那么这三段可以组成三角形的概率为_________________.3、在ABC ∆中，26CB ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的间隔 为22，那么点M 到面ABC 的间隔 为_________________.4、假设锐角α满足123tan10tan2tan2o αα=+，那么角α的度数为_________________.5、函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，假设,,,a b c d互不一样，且()()()()f a f b f c f d ===，那么abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，那么872a a +的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的外表到达顶点1C 的最短间隔 为6，那么长方体的体积最大值为______________. 8、[]x 表示不超过实数x的最大整数，那么[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++=二、〔此题满分是16分〕如图，四棱锥E ABCD-的地面为菱形，且3ABC π∠=,2AB EC ==,AE BE ==.〔1〕求证：平面EAB ABCD ⊥平面；〔2〕求二面角A EC D --的余弦值. 三、〔此题满分是20分〕函数ln(1)()x f x x+=〔1〕当时0x >，求证：〔2〕当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kxf x x+<+成立，务实数的值.四、〔此题满分是20分〕数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++〔1〕设na ={}n a 的通项公式.〔2〕设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2nS <. 五、〔此题满分是20分〕 椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅的最大值和最小值.2021年中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(满分是36分，每一小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或者不答均记0分)2+x x＞01.｛5 x=0 那么f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值是2x x＜0〔A〕 8. 〔B〕 11. 〔C〕13·1/4 〔D〕15·1/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c的不同的两个根，那么a、b、c之间的关系是(A) b²=a²-4ac (B) b²=a²+4ac (C) b²=a²-2ac (D) b²=a²+2ac3.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x²-2x，那么f(x)在x∈[-4,-2]上的最小值为〔A〕-1/9 〔B〕-1/3 〔C〕1/3 〔D〕1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+f(n)= { k²的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)3 (π的小数点后第n位数字k=0)假设函数f(f(n)的值域记为M ，那么A 1MB 5MC 6MD 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，假设AN=1，那么S△CPN-S△BPM等于〔A〕1/8 〔B〕√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，假设P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；那么P，Q，R的大小关系为〔A〕R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分是64分，每一小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2. f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.假设[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2021的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公一共局部作一内接正方形ABCD。
高中数学联赛河南赛区预赛试卷 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年全国高中数学联赛预赛试题本套试卷总分值是140分一、填空题〔总分值是64分〕1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和可以被3整除，那么不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，那么这三段可以组成三角形的概率为_________________.3、在ABC ∆中，26C B ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的间隔为22，那么点M 到面ABC 的间隔为_________________.4、假设锐角α满足123tan10tan 2tan 2o αα=+，那么角α的度数为_________________.5、函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，假设,,,a b c d 互不一样，且()()()()f a f b f c f d ===，那么abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，那么872a a +的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的外表到达顶点1C 的最短间隔为6，那么长方体的体积最大值为______________.8、[]x 表示不超过实数x 的最大整数，那么[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++= 二、〔此题总分值是16分〕如图，四棱锥E ABCD -的地面为菱形，且3ABC π∠=,2AB EC ==,2AE BE ==.〔1〕求证：平面EABABCD ⊥平面； 〔2〕求二面角A EC D --的余弦值.三、〔此题总分值是20分〕函数ln(1)()x f x x += 〔1〕当时0x>，求证： 〔2〕当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kx f x x+<+成立，务实数的值. 四、〔此题总分值是20分〕数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++ 〔1〕设n a =，求数列{}n a 的通项公式. 〔2〕设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <. 五、〔此题总分值是20分〕椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅的最大值和最小值. 2021年生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(总分值是36分，每一小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或者不答均记0分)2+xx ＞01.｛5x=0那么f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值是2xx ＜0 〔A 〕8.〔B 〕11.〔C 〕13·1/4〔D 〕15·1/22.一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c 的不同的两个根，那么a 、b 、c 之间的关系是(A)b²=a²-4ac(B)b²=a²+4ac (C)b²=a²-2ac(D)b²=a²+2ac3.定义域为R 的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=x ²-2x ，那么f(x)在x ∈[-4,-2]上的最小值为〔A 〕-1/9〔B 〕-1/3〔C 〕1/3〔D 〕1/94.定义在正整数集Z +上的函数f,对于每一个n ∈Z +f(n)={k²的末位数字,(π的小数点后第n 位数字k≠0)3(π的小数点后第n 位数字k=0)假设函数f(f(n)的值域记为M，那么A1MB5MC6MD9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，假设AN=1，那么S△CPN-S△BPM等于〔A〕1/8〔B〕√3/8(C)1/4(D)√3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，假设P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；那么P，Q，R的大小关系为〔A〕R＞P＞Q.(B)R＞Q＞P.(C)P＞R＞Q.(D)Q＞P＞R.二、填空题(总分值是64分，每一小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2.f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.假设[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2021的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公一共局部作一内接正方形ABCD。
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2004年全国高中数学联赛河南省预赛试卷高中一年级（2004年5月23日上午9：00---11：00）考生注意：本试卷共六道大题，满分140分．一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有六个小题，每小题后面给出了A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律得零分．1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为],[n m ,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．],[n mB ．]1,1[--n mC ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项和，则)(*∈N n S n 中最大的是( )A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S 3．方程x x cos 3log 2=共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．44．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---=6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是（ ）A. πB. π2C.34π D. 35π 二、填空题：本题满分30分，每小题5分.本题要求直接把结果写在横线上．1．f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为2，则f(-1)的值为_______________． 2．集,22|{knx x M -== 其中n, k ∈N, 且n ＞k}, 集P={x|1912≤x ≤2004且x ∈N}，则集合M ∩P 中所有元素的和等于________．3．已知=221)(+=xx f 则f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________．4．已知数列{n a }，其中991199=a ，1)(1a n n a a -= ，则n a 为整数时最小的正整数n是________．5．设函数)(3)(R a ax x x f ∈-+=，若使),1()(+∞在x f 上为增函数，则a 的取值范围为______________.6．函数()sin sin cos cos f x x x x x =+的值域是______________. 三、（本题满分20分）的通项公式．锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ，OMN ABC ∠=∠4，OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．六、（本题满分20分）是否存在定义在实数集R 上的函数f(x)，使得对任意R x ∈，有x x f f =))((且x x f f -=+1)1)((.若存在，写出符合条件的一个函数；若不存在，请说明理由.2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案高中一年级（2004年5月23日上午9：00---11：00）考生注意：本试卷共六道大题，满分140分． 说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题、填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的档次给分，不要再增加其它中间档次.2．如果考生的解答与本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的评分档次，给予相应的分数.一、选择题（本题满分30分，每小题5分.本题共有六个小题，每小题后面给出了A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律的零分．1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( )A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---=[]xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是（ ）A. πB. π2C.34π D. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题要求直接写出结果．1．f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期2，则f(-1)的值为_______________． 解：)()2(x f x f =+ 令1-=x ∴)1()21(-=+-f f .即0)1()1()1()1(=-∴-=-=f f f f .应填0.2．集,22|{knx x M -== 其中n, k ∈N, 且n ＞k}, 集P={x|1912≤x ≤2004且x ∈N}，则集合M ∩P 中所有元素的和等于________．解：∵1024210=，211=2048，∴集合M ∩P 中所有元素必为211-2k （其中 k ∈N ）的形式，又1912≤211-2k ≤2004，故44≤2k ≤136，符合条件的k 只能等于6和7，所以集合M ∩P 中只有两个元素，即为211-26=1984和211-27=1920，其和为1984+1920=3904．本题应填3904.3．已知f(x)=221+x,则f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________．解：利用f(x)+f(1-x)=22,可得结果为21002.应填21002. 4．已知数列{n a }，其中991199=a ，1)(1a n n a a -= ，则n a 为整数时最小的正整数n是________．解：显然对任意的正整数n,均有n a ＞0，由1)(1a n n a a -=两边取对数得11lg lg -=n n a a a ，故{n a lg }是以1lg a 为首项，1a 为公比的等比数列，所以111lg lg a a a n n -=，得)1(99111999911)99(--==n n a n a a ，欲使n a 为整数，必有n-1=99k,(k 为正整数)，故所求的最小的正整数n 是100．应填100.5．设函数)(3)(R a ax x x f ∈-+=，若使),1()(+∞在x f 上为增函数，则a 的取值范围为______________.解：设a x t -=，则原函数化为tat t a t t f ++=++=33)(2，因为),1()(+∞在x f 上为增函数，所以)(t f 在),1(+∞-a 上为增函数.当03≤+a 即3-≤a 时显然符合；当03>+a 时，因为)(t f 在),3(+∞+a 上为增函数，所以a a -≤+13，即13-≤<-a ，综上可知所求a 的取值范围为]1,(--∞.应填]1,(--∞.6．函数()sin sin cos cos f x x x x x =+的值域是______________. 解：由函数()sin sin cos cos f x x x x x =+，当x 的终边落在第一象限时，;1cos sin )(22=+=x x x f当x 的终边落在第二象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈-=-=x x x x f 当x 的终边落在第三象限时，;1cos sin )(22-=--=x x x f当x 的终边落在第四象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈=+-=x x x x f 当x 的终边落在两个坐标轴上时，()11f x =-或； 综上所述()f x 的值域是 [－1,1] ．应填[－1,1]. 三、（本题满分20分）设,5),(01=∈>*a N n a n 当ｎ≥2时，6711+-=+--n n n n a a a a ，求数列｛n a ｝的通项公式．解：∵条件可化为7661212+-=---n n n n a a a a ，配方，得7)3()3(212=----n n a a ．---------10分∴,37)1(7)3()3(212-=-+-=-n n a a n故337+-=n a n ． --------------20分四、（本题满分20分） 已知函数.2cos )24(sin sin 4)(2x xx x f ++=π（1）设ω>0为常数，若]32,2[)(ππω-=在区间x f y 上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合},2|)(||{},326|{<-=≤≤=m x f x B x x A ππ若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.-------------------------5分五、（本题满分20分）锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ，OMN ABC ∠=∠4，OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．解：设θ=∠OMN ，则θ4=∠ABC ，θ6=∠ACB ，θ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC ---5分又θ1018021-︒=∠=∠=∠BAC BOC NOCθ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MON ----------10分OMN OMN MON ONM ∠==+-︒-︒=∠+∠-︒=∠θθθ)2180(180)(180即OMN ∆为等腰三角形，OC OA OM ON 2121===-------15分 ∵︒=∠90ONC ，∴︒=∠60NOC ，又∵θ10180-︒=∠NOC ，∴︒==∠12θOMN ---------------20分六、（本题满分20分）是否存在定义在实数集R 上的函数f(x)，使得对任意R x ∈，有x x f f =))((且x x f f -=+1)1)((若存在，写出符合条件的一个函数；若不存在，说明理由.解：这样的函数不存在.--------------------------5分 下面用反证法证明：若存在)(x f 使得（1）、（2）均成立.先证)(x f 是一一映射.对于任意的R b a ∈,，若)()(b f a f =，由（1）有b b f f a f f a ===))(())((，即)(x f 是一一映射.-------------------10分将0=x 代入（1），则有0))0((=f f --------------- (3) 将1=x 代入（2），得0)1)1((=+f f ----------------------(4)由（3）、（4）得：)1)1(())0((+=f f f f ----------------------------------15分 因为)(x f 是一一映射，所以1)1()0(+=f f ---------------------(5) 同理，分别将1=x 与0=x 代入（1）、（2），得)1)0(())1((+=f f f f 所以 1)0()1(+=f f ------------------------------------------(6) 将(5)与（6）相加得0=2，矛盾.--------------------------------------20分2004年全国高中数学联赛河南省预赛试卷高中一年级一、选择题：（6×5=30）1． 定义在R 上的函数()y f x =的值域为[],m n ，则(1)y f x =-的值域为()A ．[],m nB ．[]1,1m n --C ．[](1),(1)f m f n --D ．无法确定2． 设等差数列{}n a 满足81335a a =，且10a >，n S 为其前n 项和，则n S 中最大的是()A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S 3． 方程2log 3cos x x = 共有()组解A ． 1B ． 2C ． 3D ．4 4． 已知关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=的一个根比1大，另一个根比1小，则()A ．11a -<<B ． 1a <-或 1a >C ． 21a -<<D ．2a <-或 1a >5． 函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是()A ．πB ．2πC ．43πD ．53π 6． 已知,αβ为锐角，sin ,cos x x y α==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系式为()A ．45y x = 3(1)5x <<B ．45y x = (01)x <<C ．45y x = 3(0)5x <<D ．45y x = (01)x <<二、填空题：（6×5=30）1． ()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为2，则(1)f -的值为 ．2． {|22nkM x x ==-，,}n k N n k ∈>且，{|19122004P x x =≤≤}x N ∈且，则集合M P I 中所有元素的和等于 ． 3． 已知()f x =则(2003)(2002)f f -+-+…(1)(0)(1)f f f +-+++…+(2003)(2004)f f += ． 4． 已知数列{}n a 中，199199a =，11()an n a a -=，则n a 为整数时最小的正整数n是 ． 5． 设函数()f x=()a R ∈，若使()f x 在(1,)+∞上为增函数，则a 的取值范围是 ．6． 函数()sin sin cos cos f x x x x x =+的值域是 ．三、（20分）设0n a >*()n N ∈，15a =当2n ≥时，1176n n n n a a a a --+=+-，求数列{}n a 的通项公式．四、（20分）已知函数2()4sin sin ()cos 242xf x x x π=++． （I ）常数ω>0，若(y f =ω)x 在区间2[,]23ππ-上是增函数，求ω的取值范围；（II ）设集合2|63A x x ππ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|()2B x f x m =-<，若A B ⊆，求实数m 的取值范围．五、(20分)已知锐角ABC ∆的外心为O ，线段OA ，BC 的中点分别为M 、N ，∠ABC=4∠OMN ，∠ACB=6∠OMN ．求∠OMN 的度数．六、(20分)是否存在定义在实数集R 上的函数()f x ，使得对任意的x R ∈，都有(())f f x x =且(()1)1f f x x +=-，若存在，写出符合条件的一个函数；若不存在，请说明理由．。