最新八年级上数学培优试题及答案解析

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八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,ABC ∆的面积为1,第一次操作:分别延长AB ,BC ,CA 至点111,,A B C ,使111,,A B AB B C BC C A CA ===,顺次连接111,,A B C ,得到111A B C ∆;第二次操作:分别延长111111,,A B B C C A 至点222,,A B C ,使2111A B A B =,2111B C B C =,2111C A C A =,顺次连接222,,A B C ,得到222A B C ∆,…;按此规律,要使得到的三角形的面积超过2020,最少需经过__________次操作.【答案】4【解析】【分析】连接111,,AC B A C B ,根据两个三角形等底同高可得111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======从而得出第一次操作:11177A B C ABC S S ∆∆==<2020;同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ∆∆===<2020……直至第四次操作4443334772401A B C A B C S S ∆∆===>2020,即可得出结论.【详解】解:连接111,,AC B A C B∵111,,A B AB B C BC C A CA ===根据等底同高可得:111111111,,C A B C AB ABC A B C A BC ABC B C A B CA ABC S S S S SS S S S ====== ∴111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======∴第一次操作:11177A B C ABC S S ∆∆==<2020同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ∆∆===<2020第三次操作333222377343A B C A B C S S ∆∆===<2020第四次操作4443334772401A B C A B C S S ∆∆===>2020故要使得到的三角形的面积超过2020,最少需经过4次操作,故答案为:4.【点睛】此题考查的是三角形的面积关系和探索规律,掌握两个三角形等底同高时,面积相等是解决此题的关键.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限,且MA 平分∠BAO ,做射线MB ,若∠1=∠2,则∠M 的度数是_______。

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最新八年级上数学培优试题及答案解析11.1 与三角形有关的 段一三角形个数的确定1.如 , 中三角形的个数 ()A .2B .18C .19D .202.如 所示,第1 个 中有 1 个三角形,第2 个 中共有 5 个三角形,第3 个 中共有9 个三角形,依此推, 第 6 个 中共有三角形 __________个.3. 材料,并填表:在△ ABC 中,有一点 P 1,当 P 1、A 、B 、C 没有任何三点在同一直 上 , 可构成三个不重叠 的小三角形(如 ).当△ABC 内的点的个数增加 ,若其他条件不 ,三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎 ?完成下表:△ABC 内点的个数 1 2 3⋯ 1007构成不重叠的小三角形的个数 3 5 ⋯二 根据三角形的三 不等关系确定未知字母的范 4.三角形的三 分 3,1-2 , 8, a的取 范 是( )aA .- 6<a <- 3B .- 5< a <- 2C . 2< a < 5D . a <- 5 或 a >- 25. 在△ ABC 中,三 分 正整数 a 、 b 、 c ,且 c ≥ b ≥a > 0,如果 b =4, 的三角形共有 ______个.6.若三角形的三 分 是2、 x 、 8,且 x 是不等式x2 > 1 2x 的正整数解, 求第三 x 的 .2 3状元笔【知 要点】1.三角形的三 关系三角形两 的和大于第三 ,两 的差小于第三 . 2.三角形三条重要 段(1) 高:从三角形的 点向 所在的直 作垂 , 点与垂足之 的 段叫做三角形的 高.(2) 中 : 接三角形的 点与 中点的 段叫做三角形的中 .(3) 角平分 :三角形内角的平分 与 相交, 点与交点之 的 段叫做三角形的角平分 .3.三角形的 定性1.以“是否有相等”,可以将三角形分两:三都不相等的三角形和等腰三角形.而不是分三:三都不相等的三角形、等腰三角形、等三角形,等三角形是等腰三角形的一种.2.三角形的高、中、角平分都是段,而不是直或射.【方法技巧】1.根据三角形的三关系判定三条段能否成三角形,要看两条短之和是否大于最.2.三角形的中将三角形分成两个同底等高的三角形,两个三角形面相等.参考答案 :1. D 解析:段上有 5 个点,段与点C成 5×( 5- 1)÷ 2=10 个三角形;同,段上也有AB AB DE5 个点,段DE与点C成 5×( 5- 1)÷ 2=10 个三角形,中三角形的个数20 个.故 D.2. 21 解析:根据前的具体数据,再合形,不:后的比前多4,若把第一个形中三角形的个数看作是1=4- 3,第n个形中,三角形的个数是4n- 3.所以当 n=6 ,原式 =21.3.解:填表如下:△ABC内点的个数123⋯1007构成不重叠的小三角形的个数357⋯2015解析:当△ ABC内有1个点,构成不重叠的三角形的个数是3=1×2+ 1;当△ABC内有 2 个点,构成不重叠的三角形的个数是5=2×2+ 1;参考上面数据可知,三角形的个数与点的个数之的关系是:三角形内有 n 个点,三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1,故当有 3 个点,三角形的个数是3×2+ 1=7;当有1007 个点,三角形的个数是1007×2+ 1=2015.4. B解析:根据意,得8- 3< 1-2 < 8+3,即 5<1- 2 < 11,解得- 5<<- 2.故 B.a a a5. 10解析:∵在△ ABC中,三分正整数a、 b、c,且 c≥ b≥ a>0,∴ c< a+b.∵ b=4,∴a=1,2,3,4. a=1, c=4; a=2, c=4或5; a=3, c=4,5,6; a=4, c=4,5,6,7.∴ 的三角形共有1+2+3+4=10 个.6.解:原不等式可化3(x+2)>- 2( 1- 2x),解得x<8.∵x 是它的正整数解,∴x 可取1,2,3,5,6,7.再根据三角形三关系,得6<x< 10,∴x=7.11.2 与三角形有关的角一利用三角形的内角和求角度1.如,在△ ABC 中,∠ ABC的平分与∠ ACB 的外角平分相交于 D 点,∠ A=50°,∠ D=()A.15°B.20°C.25°D.30°2.如,已知:在直角△ABC 中,∠ C=90°, BD平分∠ ABC且交 AC于 D. 若 AP平分∠ BAC 且交 BD于 P,求∠BPA 的度数.2/173.已知:如图 1,线段 AB、 CD相交于点 O,连接 AD、 CB,如图 2,在图 1 的条件下,∠ DAB 和∠ BCD的平分线AP 和 CP相交于点 P,并且与 CD、 AB分别相交于 M、 N.试解答下列问题:(1)在图 1 中,请直接写出∠ A、∠ B、∠ C、∠D 之间的数量关系: __________ ;(2)在图 2 中,若∠ D=40°,∠ B=30°,试求∠P的度数;(写出解答过程)(3)如果图 2 中∠D和∠B 为任意角,其他条件不变,试写出∠P 与∠ D、∠B 之间的数量关系.(直接写出结论即可)专题二利用三角形外角的性质解决问题4.如图,∠ ABD,∠ ACD 的角平分线交于点P,若∠ A=50°,∠ D=10°,则∠P的度数为()A.15°B.20° C .25° D .30°5.如图,△ ABC 中, CD是∠ ACB的角平分线,C E是 AB边上的高,若∠ A=40°,∠ B=72°.(1)求∠ DCE的度数;(2)试写出∠ DCE 与∠ A、∠B 的之间的关系式.(不必证明)6.如图:(1)求证:∠ BDC=∠A+∠B+∠C;(2)如果点 D与点 A 分别在线段 BC的两侧,猜想∠ BDC、∠ A、∠ ABD、∠ ACD这 4 个角之间有怎样的关系,并证明你的结论.状元笔记【知识要点】1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180°. 2.直角三角形的性质及判定性质:直角三角形的两个锐角互余.判定:有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.三角形的外角及性质外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外 角.性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【温馨提示】1.三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角,而不是两边延长线组成的角. 2.三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角.【方法技巧】1.在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时,可直接使用“直角三角形的两个锐角互余” .2.由三角形的外角的性质可得出:三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.参考答案 :1.C 解析:∵∠ ABC 的平分线与∠A CB 的外角平分线相交于点 D ,∴∠ 1= 1 ∠ACE ,∠2= 1∠ABC .又∵∠ D=∠1 2 2-∠ 2, ∠A=∠ACE -∠ ABC ,∴∠ D=1∠A=25°.故选C .22.解:(法 1) 因为∠ C=90°,所以∠ BAC +∠ ABC=90°,所以 1( ∠BAC +∠ ABC)=45°.2因为 BD 平分∠ ABC , AP 平分∠ BAC , ∠ B AP=1∠BAC ,∠ ABP= 1∠ABC ,22即∠ BAP +∠ ABP=45°,所以∠ APB=180°- 45°=135°.(法 2)因为∠ C=90°,所以∠ BAC +∠ ABC=90°, 所以 1( ∠BAC +∠ ABC)=45°,2因为 BD 平分∠ ABC , AP 平分∠ BAC ,1 ∠ABC ,∠ PAC=1 ∠DBC= ∠BAC ,所以∠ DBC +∠ PAD=45°.22所以∠ APB=∠PDA +∠ PAD =∠DBC +∠ C +∠ PAD=∠DBC +∠ PAD +∠ C =45°+ 90°=135°. 3.解:( 1)∠ A+∠D=∠B+∠C ;(2)由(1)得,∠1+∠D=∠3+∠P , ∠2+∠P=∠4+∠B , ∴∠ 1-∠ 3=∠P -∠ D , ∠2-∠ 4=∠B -∠ P , 又∵ AP 、CP 分别平分∠ DAB 和∠ BCD ,∴∠ 1=∠2,∠ 3=∠4,∴∠ P -∠ D=∠B -∠ P ,即 2∠P=∠B+∠D ,∴∠ P=(40°+30°)÷ 2=35°. ( 3)2∠P=∠B+∠D . 4.B 解析:延长 DC ,与 AB 交于点 E .根据三角形的外角等于不相邻的两内角和,可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°,整理得∠ ACD -∠ ABD=60°.设 AC 与 BP 相交于点O ,则∠ AOB=∠POC ,∴∠ P+ 1 ∠ACD=∠A+ 1∠ABD ,即∠ P=50°-1(∠ ACD -∠ ABD )=20°.故选B .2 2 25.解:( 1)∵∠ A=40°,∠ B=72°,∴∠ ACB=68°.∵ CD平分∠ ACB ,∴∠ DCB= 1∠ACB=34°.2∵CE 是 AB 边上的高,∴∠ ECB=90°-∠ B=90°- 72°=18°.∴∠ DCE=34°- 18°=16°. (2)∠ DCE= 1(∠ B -∠ A ).26.( 1)证明:延长 BD 交 AC 于点 E ,∵∠ BEC 是△ ABE 的外角,∴∠ BEC=∠A+∠B . ∵∠ BDC 是△ CED 的外角,∴∠ BDC=∠C+∠DEC =∠C+∠A+∠B .( 2)猜想:∠ BDC+∠ ACD+∠A+∠ ABD=360°.证明:∠ BDC+∠ ACD+∠A+∠ ABD =∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=(∠ 3+∠2+∠1) +(∠ 6+∠5+∠4)=180°+180°=360°.11.3 多边形及其内角和专题一 根据正多边形的内角或外角求值 1.若一个正多边形的每个内角为 150°,则这个正多边形的边数是( ) A .12 B .11 C .10 D .9 2.一个多边形的每一个外角都等于 36°,则该多边形的内角和等于 ________°. 3.已知一个多边形的每一个内角都相等,且每个内角都等于与它相邻的外角的 9 倍,求这个多边形的边数.专题二求多个角的和4.如图为某公司的产品标志图案,图中∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=()A.360°B.540°C.630°D.720°5.如图,∠ A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F= _________°.6.如图,求:∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.状元笔记【知识要点】1.多边形及相关概念多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.2.多边形的内角和与外角和内角和: n 边形的内角和等于(n - 2) · 180°.外角和:多边形的外角和等于360°.【温馨提示】1.从 n 边形的一个顶点出发,可以做 (n - 3) 条对角线,它们将 n 边形分为 (n - 2) 个三角形.对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错.2.多边形的外角和等于360°,而不是180°.【方法技巧】1.连接多边形的对角线,将多边形转化为多个三角形,将多边形问题转化为三角形问题来解决.2.多边形的内角和随边数的变化而变化,但外角和不变,都等于 360°,可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等.参考答案 :1. A 解析:∵每个内角为 150°,∴每个外角等于 30°.∵多边形的外角和是 360°,360°÷ 30°=12,∴这个正多边形的边数为 12.故选 A.2. 1440 解析:∵多边形的边数为 360°÷ 36° =10,多边形的内角为 180°- 36° =144°,∴多边形的内角和等于 144°× 10=1440°.3.解:设多边形的边数为n,根据题意,得(n - 2) ·180° =9× 360°,解得 n=20.所以这个多边形的边数为20.4. B解析:∵∠ 1=∠C+∠D,∠ 2=∠E+∠F,∴∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°.故选B.5.360°解析:在四边形BEFG中,∵∠ EBG=∠C+∠D,∠B GF=∠A+∠ABC,∴∠ A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°.6.解:∵∠ POA 是△ OEF的外角,∴∠ POA=∠E+∠F.同理:∠ BPO=∠ D+∠C.∵∠ A+∠B+∠BPO+∠POA=360°,∴∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.第十二章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1.如图, BD是平行四边形ABCD的对角线,∠ABD的平分线 BE交 AD于点 E,∠CDB的平分线DF交 BC于点 F.求证:△A BE≌△ CDF.2.如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合), F, E 分别是 AD及其延长线上的点,CF∥BE.请你添加一个条件,使△BDE≌△ CDF ( 不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母) ,并给出证明.(1)你添加的条件是: __________;(2)证明:3.如图,△ ABC 中,点 D 在 BC上,点 E 在 AB上, BD=BE,要使△ ADB≌△ CEB,还需添加一个条件.(1)给出下列四个条件:①AD=CE;②AE=CD;③∠BAC=∠BCA;④∠ ADB=∠CEB;请你从中选出一个能使△ ADB≌△ CEB 的条件,并给出证明;(2)在( 1)中所给出的条件中,能使△ ADB≌△ CEB 的还有哪些?直接在题后横线上写出满足题意的条件序号. __________________.专题二全等三角形的判定与性质4.如图,已知△ABC中,∠ ABC=45°, AC=4, H是高 AD和 BE的交点,则线段BH的长度为()A.6B.4C.23D.55.【2013·襄阳】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,将△ADC绕点A顺时针旋转,使AC与AB重合,点 D落在点 E处, AE的延长线交CB的延长线于点M, EB的延长线交AD的延长线于点N.求证: AM= AN.AEMB D CN8/176.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接 AE.求证: AE∥ BC.专题三全等三角形在实际生活中的应用7.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则这两个滑梯与地面夹角∠ ABC 与∠ DFE的度数和是()A.60°B.90°C.120°D.150°8.有一座小山,现要在小山 A、B 的两端开一条隧道,施工队要知道 A、B 两端的距离,于是先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C,连接 AC并延长到 D,使 CD=CA,连接 BC并延长到 E,使 CE=CB,连接 DE,那么量出 DE的长,就是 A、 B 两端的距离,你能说说其中的道理吗?9.已知如图,要测量水池的宽 AB,可过点 A 作直线 AC⊥AB,再由点 C观测,在 BA 延长线上找一点 B′,使∠ACB′=∠ACB,这时只要量出 AB′的长,就知道 AB 的长,对吗?为什么?状元笔记【知识要点】1.全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.3.三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等( 简写成“边边边”或“ SSS”) .(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等( 简写成“边角边”或“ SAS” ) .(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等( 简写成“角边角”或“ ASA” ) .(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 ( 简写成“角角边”或“ AAS” ) .4.直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等( 简写成“斜边、直角边”或“HL” ) .【温馨提示】1.两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等,只有角分别相等不能证明两个三角形全等.2.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.3.“ HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等,而不是斜边和直角分别相等.【方法技巧】1.应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角,其规律主要有以下几点:( 1)以对应顶点为顶点的角是对应角;( 2)对应顶点所对应的边是对应边;( 3)公共边(角)是对应边(角);( 4)对顶角是对应角;( 5)最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角).全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定,如若△AB C≌△ DEF,说明 A 与 D, B 与 E, C 与 F 是对应点,则∠ABC与∠ DEF是对应角,边AC与边 DF是对应边.2.判定两个三角形全等的解题思路:找夹角—— SAS已知两边找另一边—— SSS边为角的对边——找任一角——AAS找夹角的另一边——SAS已知一边一角已知两角边为角的邻边找夹边的另一角——ASA找边的对角—— AAS找夹边—— ASA找任一边—— AAS参考答案 :1.证明:平行四边形ABCD中,AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ ABD=∠CDB.∵∠ ABE= 1∠ ABD,∠ CDF=1∠CDB,∴∠ ABE=∠ CDF.22在△ ABE与△ CDF中,A CAB CDABECDF∴△ ABE≌△ CDF.2.解:( 1) BD DC ( 或点D是线段BC的中点 ) ,FD ED ,CF BE 中任选一个即可﹒( 2)以 BD DC 为例进行证明:∵ CF∥ BE,∴∠ FCD﹦∠ EBD.又∵ BD DC ,∠FDC=∠EDB,∴△ BDE≌△ CDF.3.解:( 1)添加条件②,③,④中任一个即可,以添加②为例说明.证明:∵ AE=CD, BE=BD,∴A B=CB.又∠ ABD=∠CBE, BE=BD,∴△ ADB≌△ CEB.( 2)③④.4. B解析:∵∠ ABC=45°,AD⊥ BC,∴ AD=BD,∠ ADC=∠ BDH,∠AHE=∠ BHD=∠ C.∴△ ADC≌△ BDH.∴ BH=AC=4.故选B.5.证明:如图所示,A32 1E4 6 7MB5D CN∵△ AEB由△ ADC旋转而得,∴△ AEB≌△ ADC.∴∠ 3=∠ 1,∠ 6=∠ C.∵ AB=AC,AD⊥ BC,∴∠ 2=∠ 1,∠7=∠C. ∴∠ 3=∠ 2,∠ 6=∠ 7.∵∠ 4=∠ 5,∴∠ABM=∠ABN.又∵ AB=AB,∴△ AMB≌△ ANB.∴ AM= AN.6.证明:∵△ABC和△ EDC是等边三角形,∴∠ BCA=∠ DCE=60°.∴∠ BCA-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD,即∠ BCD=∠ ACE.在△ DBC和△ EAC中, BC=AC,∠ BCD=∠ ACE, DC= EC,∴△ DBC≌△ EAC(SAS).∴∠ DBC=∠ EAC.又∵∠ DBC=∠ ACB=60°,∴∠ ACB=∠ EAC.∴ AE∥ BC.7.B解析:∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形,又∵ BC=EF,AC=DF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF.∴∠ ABC=∠ DEF,∵∠ DEF+∠ DFE=90°,∴∠ ABC+∠DFE=90°.8.解:在△ ABC 和△ CED中, AC=CD,∠ ACB=∠ECD, EC=BC,∴△ ABC≌△ CED.∴ AB=ED.即量出DE的长,就是A、 B 两端的距离.9.解:对.理由:∵ AC⊥AB,∴∠ CAB=∠CAB′=90°.在△ ABC和△ AB′C中,∠ACB∠ACB′,AC AC,∠CAB∠CAB′,∴△ ABC≌△ AB′C( ASA).∴ AB′=AB.第十三章轴对称13.1 轴对称13.2 画轴对称图形专题一轴对称图形1.下列图案是轴对称图形的是()2.众所周知,几何图形中有许多轴对称图形,写出一个你最喜欢的轴对称图形是:______________________ .(答案不唯一)3.如图,阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形,请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形,使它们成为轴对称图形.专题二轴对称的性质4.如图,△ ABC 和△ ADE关于直线l 对称,下列结论:①△ABC≌△ADE;② l 垂直平分DB;③∠ C=∠E;④ BC 与 DE的延长线的交点一定落在直线l 上.其中错误的有()A.0个B.1个C.2个D.3个5.如图,∠ A=90°, E 为 BC上一点, A 点和 E 点关于 BD对称, B 点、 C 点关于 DE对称,求∠ AB C 和∠C的度数.6.如图,△ ABC 和△ A′B′C′关于直线m对称.(1)结合图形指出对称点.(2)连接 A、 A′,直线 m与线段 AA′有什么关系?(3)延长线段 AC与 A′C′,它们的交点与直线 m有怎样的关系?其他对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流.专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7.如图,在Rt△ABC中,∠ ACB=90°, AB的垂直平分线DE交于 BC的延长线于F,若∠ F=30°, DE=1,则EF的长是()A.3B.2C.3D.18.如图,在△ ABC 中, BC=8,AB 的垂直平分线交BC于 D,AC的垂直平分线交BC与 E,则△ ADE的周长等于________.9.如图, AD⊥BC, BD=DC,点 C在 AE 的垂直平分线上,那么线段 AB、 BD、 DE之间有什么数量关系?并加以证明.专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10.已知点P(- 2, 3)关于 y 轴的对称点为Q( a, b),则 a+b 的值是()A.1 B.-1C.5D.-511.已知 P1点关于 x 轴的对称点 P2( 3- 2a,2a- 5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点,称为整点),则 P1点的坐标是 __________ .状元笔记【知识要点】1.轴对称图形与轴对称轴对称图形:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线是它的对称轴.轴对称:把一个平面图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线 ( 成轴 ) 对称,这条直线叫做对称轴.2.轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3.线段的垂直平分线的性质和判定性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.4.关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标的特点点 (x , y) 关于 x 轴对称的点的坐标为(x ,- y) ;点 (x , y) 关于 y 轴对称的点的坐标为( - x, y) ;【温馨提示】1.轴对称图形是针对一个图形而言,是指一个具有对称的性质的图形;轴对称是针对两个图形而言,它描述的是两个图形的一种位置关系.2.在平面直角坐标系中,关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y 轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数,纵坐标相同.参考答案 :1. D解析:∵将D图形上下或左右折叠,图形都能重合,∴D图形是轴对称图形,故选 D.2.圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3.如图所示:4. A 解析:根据轴对称的定义可得,如果△ ABC和△ ADE关于直线l对称,则△ ABC≌△ ADE,即①正确;因为如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对应线段、对应角相等,故l 垂直平分DB,∠C=∠E,即②,③正确;因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交,那么,交点一定在对称轴上,故BC与 DE的延长线的交点一定落在直线l 上,即④正确.综上所述,①②③④都是正确的,故选A.5.解:根据题意 A 点和 E 点关于 BD对称,有∠ ABD=∠EBD,即∠ ABC=2∠ABD=2∠EBD.B 点、C 点关于 DE对称,有∠ DBE=∠BCD,∠ ABC=2∠BCD.且已知∠ A=90°,故∠ ABC+∠BCD=90°.故∠ ABC=60°,∠ C=30°.6.解:( 1)对称点有 A 和 A' ,B 和 B' ,C 和 C' .(2)连接 A、A′,直线 m是线段 AA′的垂直平分线.(3)延长线段 AC与 A′C′,它们的交点在直线m上,其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线m上,即若两线段关于直线 m对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上.7. B 解析:在 Rt△FDB中,∵∠ F=30°,∴∠ B=60°.在 Rt△ABC中,∵∠ ACB=90°,∠ ABC=60°,∴∠ A=30°.在 Rt△中,∵∠ A=30°, DE= 1,∴ AE= 2.连接 EB. ∵DE 是 AB 的垂直平分线,∴ EB AED=AE=2. ∴∠ EBD=∠ A=30°.∵∠ ABC=60°,∴∠ EBC=30°.∵∠ F=30°,∴ EF=EB= 2.故选 B.ADEF C B8. 8解析:∵ DF是AB的垂直平分线,∴DB=DA.∵ EG是 AC的垂直平分线,∴EC=EA.∵B C=8,∴△ ADE的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8.9.解: AB+BD=DE.证明:∵ AD⊥BC, BD=DC,∴ AB=AC.∵点 C 在 AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=CE.∴AB+BD=CE+DC=DE.10. C解析:关于y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等,∴a=2, b=3.∴ a+b=5.解得 1.5 <a< 2.5 ,又因为 a 必须为整数,∴a=2.∴点 P2(- 1,- 1).∴P1点的坐标是(-1,1).第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法专题一幂的性质1.下列运算中,正确的是()A. 3a2-a2= 2 B.(a2)3=a9C.a3?a6=a9D.(2a2)2=2a4 2.下列计算正确的是()A.x3·x22x6B. x 4· x 2x8C .( x2)3x6D.( x3)2x53.下列计算正确的是()22462362126212 A . 2a+a= 3a B.a÷a=a C.a·a=a D.( -a ) =a专题二幂的性质的逆用4.若 2a=3, 2b=4,则 23a+2b等于()A . 7B.12 C. 432D.1085.若 2m=5, 2n =3,求 23m+2n的值.6.计算: (1)( - 0.125) 2014× ( - 2) 2014× ( -4) 2015;(2)(- 1 )2015×811007.9专题三整式的乘法7.下列运算中正确的是()A.3a 2a5a2B. (2a b)(a b)2a2ab b2C.2a2a32a6D. (2 a b)24a 2b28.若( 3x2- 2x+1)(x+b)中不含x2项,求 b 的值,并求(3x2- 2x+1)(x+b)的值.9.先阅读,再填空解题:(x+5)( x+6)=x2+11x+30;2(x-5)( x-6)=x -11x+30;(x+5)( x-6)=x2- x-30.(1)观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系?答:________.(2 )根据以上的规律,用公式表示出来:________.(3)根据规律,直接写出下列各式的结果:10.计算:(3x3y- 18x2y2+x2y)÷(- 6x2y) =_______ _.11.计算:(24b7126132 3a9a b )(3ab ).12.计算:(a-b)3÷(b-a)2+(-a-b)5÷(a+b)4.。

八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,平面内有五个点,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画_____个三角形.【答案】10 【解析】【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形,根据三角形的定义,我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解:如图所示,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画10个三角形,故答案为:10.【点睛】本题考查的是几何图形的个数,我们根据三角形的定义,在画图的时候要注意按照一定的顺序,保证不重复不遗漏.2.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ,P 为CE 中点,连结PF ,若CP=2,15BFP S ∆=,则AB 的长度为_______.【答案】15【解析】【分析】作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ,再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积,利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度【详解】作EH AB ⊥∵A E 平分∠BACBAE CAE ∴∠=∠EC EH ∴=∵P 为CE 中点4EC EH ==∴∵D 为AC 中点,P 为CE 中点=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设,15x BEF S =-△∴15+x+y BCD BDA S S ==△△∴y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴1=302BEA S AB EH ⨯=△∵ =15AB ∴【点睛】本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积,解题的关键在于如何利用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积3.如图,ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ,点,E F 分别在线段BD 、CD 上,点G 在EF 的延长线上,EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称,若60,84,A BEH HFG n ︒︒︒∠=∠=∠=,则n =__________.【答案】78.【解析】【分析】利用ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ,∠ACD=12(∠A+∠ABC),根据三角形的内角和得到∠D=12∠A=30︒,利用外角定理得到∠DEH=96︒,由EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48︒,根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78︒. 【详解】∵ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=12∠ABC ,∠ACD=12(∠A+∠ABC), ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180︒,∠A+∠ABC+∠ACB=180︒, ∴∠D=12∠A=30︒, ∵84BEH ︒∠=,∴∠DEH=96︒,∵EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称,∴∠DEG=∠HEG=48︒,∠DFG=∠HFG n ︒=,∵∠DFG=∠D+∠DEG=78︒,∴n=78.故答案为:78.【点睛】此题考查三角形的内角和定理、外角定理,角平分线性质,轴对称图形的性质,此题中求出∠D=12∠A=30︒是解题的关键.4.△ABC 的两边长为4和3,则第三边上的中线长m 的取值范围是_______. 【答案】1722m << 【解析】【分析】 作出草图,延长AD 到E ,使DE=AD ,连接CE ,利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等,然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB ,再根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边之和小于第三边求出AE 的取值范围,便不难得出m 的取值范围.【详解】解:如图,延长AD 到E ,使DE=AD ,连接CE ,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,AD DEADB EDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ECD(SAS),∴CE=AB,∵AB=3,AC=4,∴4-3<AE<4+3,即1<AE<7,∴1722m<<.故答案为:1722m<<.【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.5.一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走,那么该机器人从开始到停止所需时间为__s.【答案】160.【解析】试题分析:该机器人所经过的路径是一个正多边形,利用360°除以45°,即可求得正多边形的边数,即可求得周长,利用周长除以速度即可求得所需时间.试题解析:360÷45=8,则所走的路程是:6×8=48m,则所用时间是:48÷0.3=160s.考点:多边形内角与外角.6.有公共顶点A ,B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接AC 交正六边形于点D ,则∠ADE 的度数为( )A .144°B .84°C .74°D .54°【答案】B【解析】 正五边形的内角是∠ABC =()521805-⨯=108°,∵AB =BC ,∴∠CAB =36°,正六边形的内角是∠ABE =∠E =()621806-⨯=120°,∵∠ADE +∠E +∠ABE +∠CAB =360°,∴∠ADE =360°–120°–120°–36°=84°,故选B .二、八年级数学三角形选择题(难)7.有下列说法:①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形;②三边长为、、3的三角形为直角三角形;③等腰三角形的两边长为3、4,则等腰三角形的周长为10;④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形.其中正确的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】C【解析】试题分析:根据等边三角形的性质可知,有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形,故①正确;根据三边可知:,,3²=9,因此可知:,由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形,故②正确;由等腰三角形的三边可知其边长为:3,3,4或3,4,4,则周长为10或11,故③不正确; 由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形,故④不正确. 故选:C8.如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起,若120∠=︒,则2∠的度数是( )A.30B.40︒C.50︒D.60︒【答案】C【解析】【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数,再根据平行线的性质得到∠2的度数.【详解】如图,∵∠BEF是△AEF的外角,∠1=20︒,∠F=30︒,∴∠BEF=∠1+∠F=50︒,∵AB∥CD,∴∠2=∠BEF=50︒,故选:C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解题的关键是掌握三角形外角的性质.9.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律,你发现的规律是()A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)【答案】B【解析】【分析】根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质,就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质.【详解】∵在四边形ADA′E中,∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°,则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°,∴可得2∠A=∠1+∠2.故选:B【点睛】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点,解决本题的关键是熟记翻折的性质.10.一正多边形的内角和与外角和的和是1440°,则该正多边形是()A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形【答案】C【解析】【分析】依题意,多边形的内角与外角和为1440°,多边形的外角和为360°,根据内角和公式求出多边形的边数.【详解】解:设多边形的边数为n,根据题意列方程得,(n﹣2)•180°+360°=1440°,n﹣2=6,n=8.故这个多边形的边数为8.故选:C.【点睛】考查了多边形的外角和定理和内角和定理,熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键.11.一个多边形的每个内角都等于120°, 则此多边形是( )A.五边形B.七边形C.六边形D.八边形【答案】C【解析】【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数,然后根据任意多边形外角和等于360°,再用360°除以外角的度数即可得到边数.【详解】∵多边形的每一个内角都等于120°,∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°=60°,∴边数n=360°÷60°=6.故选C.【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系,求出每一个外角的度数是解答本题的关键.12.如图,把△ABC沿EF对折,叠合后的图形如图所示.若∠A=60°,∠1=85°,则∠2的度数()A.24°B.25°C.30°D.35°【答案】D【解析】【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°,再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°,再根据由折叠可得:∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°,然后计算出∠1+∠2的度数,进而得到答案.【详解】解:∵∠A=60°,∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°,∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°,∵由折叠可得:∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°,∴∠1+∠2=240°-120°=120°,∵∠1=85°,∴∠2=120°-85°=35°.故选:D.【点睛】此题主要考查了翻折变换,关键是根据题意得到翻折以后,哪些角是对应相等的.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ上,点E在AB 上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=_____.【答案】7【解析】由MN ∥PQ ,AB ⊥PQ ,可知∠DAE=∠EBC=90°,可判定△ADE ≌△BCE ,从而得出AE=BC ,则AB=AE+BE=AD+BC=7.故答案为:7.点睛:本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质,是基础知识,比较简单.14.如图,在ABC ∆和ADE ∆中,90BAC DAE ∠=∠=︒,AB AC =,AD AE =,C ,D ,E 三点在同一条直线上,连接BD ,则下列结论正确的是___________.①ABD ACE ∆≅∆②45ACE DBC ∠+∠=︒③BD CE ⊥④180EAB DBC ∠+∠=︒【答案】①②③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质,以及等腰三角形的性质解答即可.【详解】解:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ,即:∠BAD=∠CAE ,∵AB=AC ,AE=AD ,∴△BAD ≌△CAE (SAS ),故①正确;∵△BAD ≌△CAE ,∴∠ABD=∠ACE ,∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°,故②正确;∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,则BD ⊥CE ,故③正确;∵90BAC DAE ∠=∠=︒,∴∠BAE+∠DAC=180°,∵∠ADB=∠E=45°,∴DAC DBC ∠=∠,∴180EAB DBC ∠+∠=︒,故④正确;故答案为:①②③④.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质,以及等腰三角形的性质,注意细心分析,熟练应用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质是解决问题的关键.15.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为F ,DE=DG ,△ADG 和△AED 的面积分别为48和36,求△EDF 的面积________.【答案】6【解析】【分析】作DM=DE 交AC 于M ,作DN ⊥AC ,利用角平分线的性质得到DN=DF ,将三角形EDF 的面积转化为三角形DNM 的面积来求.【详解】作DM=DE 交AC 于M ,作DN ⊥AC ,∵AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,∴DF=DN ,∵DE=DG ,∴DG=DM,∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL ),∵DG=DM , DN ⊥AC ,∴MN=NG ,∴△DMN ≌△DNG ,∵△ADG 和△AED 的面积分别为48和36,∴S △MDG =S △ADG -S △ADM =48-36=12,∴S △DEF =12S △MDG =12⨯12=6,故答案为:6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,正确地作出辅助线,将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键.16.如图,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=CE,若BE交AD于点F,则∠AFE的大小为_____(度).【答案】60【解析】【分析】根据△ABC为等边三角形得到AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,再利用BD=CE证得△ABD≌△BCE,得到∠BAD=∠CBE,再利用内角和外角的关系即可得到∠AFE=60°.【详解】∵△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=CE,∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,在△ABD和△BCE中,AB BCABD BCEBD CE=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩=,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠BAD=∠CBE,∵∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°,∴∠ABF+∠BAD=60°,∵∠AFE=∠ABF+∠BAD,∴∠AFE=60°,故答案为:60.【点睛】此题考查三角形全等的判定定理及性质定理,题中证明三角形全等后得到∠BAD=∠CBE,再利用外角和内角的关系求∠AFE是解题的关键.17.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1、l2之间的距离为2,l2、l3之间的距离为3,则AC的长是_________;【答案】217【解析】【分析】首先作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,再证明△ABD≌△BCE,因此可得BE=AD=3,再结合勾股定理可得AC的长.【详解】作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,又∠DAB+∠ABD=90°,∴∠BAD=∠CBE,又AB=BC,∠ADB=∠BEC.∴△ABD≌△BCE,∴BE=AD=3,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得34在Rt△ABC中,根据勾股定理,得22342217+=⨯=AB CB故答案为17【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题,关键在于证明三角形的全等,这类题目是固定的解法,一定要熟练掌握.18.如图,已知BD,CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,连接AD,∠DAC=46°, ∠BDC _________【答案】44°【解析】如图,过点D作DF⊥BA,交BA的延长线于点F,过点D作DH⊥AC于点H,过点D作DG⊥BA,交BC的延长线于点G,∵BD,CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,∴DF=DG=DH,∵DH⊥AC,DF⊥BA,∴AD平分∠CAF,∴∠DAC=∠FAD=46°,∴∠BAC=180°-46°-46°=88°;∵BD,CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,∴∠DCE=12ACE∠,∠DBC=12ABC∠,∵∠DCE=∠BDC+∠DBC,∠ACE=∴∠BDC+∠DBC=12(∠BAC+∠ABC),∴∠BDC=12∠BAC=00188442⨯= .四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.如图,已知AB=AC,AF=AE,∠EAF=∠BAC,点C、D、E、F共线.则下列结论,其中正确的是()①△AFB≌△AEC;②BF=CE;③∠BFC=∠EAF;④AB=BC.A .①②③B .①②④C .①②D .①②③④【答案】A【解析】【分析】 根据题意结合图形证明△AFB ≌△AEC ;利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决.【详解】如图,∵∠EAF=∠BAC ,∴∠BAF=∠CAE ;在△AFB 与△AEC 中,AF AE BAF CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===, ∴△AFB ≌△AEC (SAS ),∴BF=CE ;∠ABF=∠ACE ,∴A 、F 、B 、C 四点共圆,∴∠BFC=∠BAC=∠EAF ;故①、②、③正确,④错误.故选A..【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形,灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明.20.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点,PE ,PF 分别交AB ,AC 于点E ,F ,给出下列四个结论:①△APE ≌△CPF ;②AE=CF ;③△EAF 是等腰直角三角形;④S △ABC =2S 四边形AEPF ,上述结论正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】 利用“角边角”证明△APE 和△CPF 全等,根据全等三角形的可得AE=CF ,再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP 是等腰直角三角形,根据全等三角形的面积相等可得△APE 的面积等于△CPF 的面积相等,然后求出四边形AEPF 的面积等于△ABC 的面积的一半.【详解】∵AB=AC ,∠BAC=90°,点P 是BC 的中点,∴AP ⊥BC ,AP=PC ,∠EAP=∠C=45°,∴∠APF+∠CPF=90°,∵∠EPF 是直角,∴∠APF+∠APE=90°,∴∠APE=∠CPF ,在△APE 和△CPF 中,45APE CPF AP PCEAP C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩====, ∴△APE ≌△CPF (ASA ),∴AE=CF ,故①②正确;∵△AEP ≌△CFP ,同理可证△APF ≌△BPE ,∴△EFP 是等腰直角三角形,故③错误;∵△APE ≌△CPF ,∴S △APE =S △CPF ,∴四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =12S △ABC .故④正确, 故选C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF ,从而得到△APE 和△CPF 全等是解题的关键,也是本题的突破点.21.如图,在四边形ABCD 中,//AB CD .不能判定ABD CDB ∆≅∆的条件是( )A .AB CD =B .AD BC = C .//AD BC D .A C ∠=∠【答案】B【解析】【分析】根据已知条件,分别添加选项进行排查,即可完成解答;注意BD 是公用边这个条件.【详解】解:A.若添加AB=CD,根据AB ∥CD ,则∠ABD=∠CDB ,依据SAS 可得△ABD ≌△CDB ,故A 选项正确;B.若添加AD=BC,根据AB ∥CD ,则∠ADB=∠CBD ,不能判定△ABD ≌△CDB ,故B 选项错误;C.若添加//AD BC ,则四边形ABCD 是平行四边形,能判定△ABD ≌△CDB ,故C 选项正确;D.若添加∠A=∠C ,根据AB ∥CD ,则∠ABD=∠CDB ,且BD 公用,能判定△ABD ≌△CDB ,故D 选项正确;故选:B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.22.如图,,,,点D 、E 为BC 边上的两点,且,连接EF 、BF 则下列结论:≌;≌;;,其中正确的有( )个.A .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】【分析】 根据∠DAF=90°,∠DAE=45°,得出∠FAE=45°,利用SAS 证明△AED ≌△AEF ,判定①正确;由△AED≌△AEF得AF=AD,由,得∠FAB=∠CAD,又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确;先由∠BAC=∠DAF=90°,得出∠CAD=∠BAF,再利用SAS证明△ACD≌△ABF,得出CD=BF,又①知DE=EF,那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF>EF,等量代换后判定③正确;先由△ACD≌△ABF,得出∠C=∠ABF=45°,进而得出∠EBF=90°,判定④正确.【详解】‚解:①∵∠DAF=90°,∠DAE=45°,∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°.在△AED与△AEF中,,∴△AED≌△AEF(SAS),①正确;②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC,∴≌,②正确;③∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD,即∠CAD=∠BAF.在△ACD与△ABF中,,∴△ACD≌△ABF(SAS),∴CD=BF,由①知△AED≌△AEF,∴DE=EF.在△BEF中,∵BE+BF>EF,∴BE+DC>DE,③正确;④由③知△ACD≌△ABF,∴∠C=∠ABF=45°,∵∠ABE=45°,∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°.④正确.故答案为D.【点睛】本题考查了勾股定理,全等三角形的判定与性质,等腰直角直角三角形的性质,三角形三边关系定理,相似三角形的判定,此题涉及的知识面比较广,解题时要注意仔细分析,有一定难度.23.在△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,ED⊥AB,∠DAE=∠CAE,则∠CAB=()A.30°B.60°C.80 °D.50°【答案】B【解析】试题解析:∵D为AB的中点,ED⊥AB,∴DE为线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠DAE=∠DBE,∴∠DAE=∠DBE=∠CAE,在Rt△ABC中,∵∠CAB+∠DBE=90°,∴∠CAE+∠DAE+∠DBE=90°,∴3∠DBE=90°,∴∠DBE=30°,∴∠CAB=90°-∠DBE=90°-30°=60°.故选B.24.如图, AB=AC,AD=AE, BE、CD交于点O,则图中全等三角形共有()A.五对B.四对C.三对D.二对【答案】A【解析】如图,由已知条件可证:①△ABE≌△ACD;②△DBC≌△ECB;③△BDO≌△ECO;④△ABO≌△ACO;⑤△ADO≌△AEO;∴图中共有5对全等三角形.故选A.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.如图,在△ABC和△DBC中,∠A=40°,AB=AC=2,∠BDC=140°,BD=CD,以点D为顶点作∠MDN=70°,两边分别交AB,AC于点M,N,连接MN,则△AMN的周长为___________.【答案】4【解析】【分析】延长AC 至E ,使CE=BM ,连接DE .证明△BDM ≌△CDE (SAS ),得出MD=ED ,∠MDB=∠EDC ,证明△MDN ≌△EDN (SAS ),得出MN=EN=CN+CE ,进而得出答案.【详解】延长AC 至E ,使CE=BM ,连接DE .∵BD=CD ,且∠BDC=140°,∴∠DBC=∠DCB=20°,∵∠A=40°,AB=AC=2,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°,同理可得∠NCD=90°,∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°,在△BDM 和△CDE 中,BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==,=∴△BDM ≌△CDE (SAS ),∴MD=ED ,∠MDB=∠EDC ,∴∠MDE=∠BDC=140°,∵∠MDN=70°,∴∠EDN=70°=∠MDN ,在△MDN 和△EDN 中,MD ED MDN EDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==,=∴△MDN ≌△EDN (SAS ),∴MN=EN=CN+CE ,∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4;故答案为:4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识;证明三角形全等是解题的关键.26.已知A 、B 两点的坐标分别为 (0,3),(2,0),以线段AB 为直角边,在第一象限内作等腰直角三角形ABC ,使∠BAC =90°,如果在第二象限内有一点P (a ,12),且△ABP 和△ABC 的面积相等,则a =_____.【答案】-83. 【解析】【分析】先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值,再由勾股定理求出AB 的长度,根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积;连接OP ,过点P 作PE ⊥x 轴,由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等,可知S △ABP =S △POA +S △AOB ﹣S △BOP =132,故可得出a 的值. 【详解】∵A 、B 两点的坐标分别为 (0,3),(2,0),∴OA =3,OB =2,∴AB∵△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,∴1113•222ABC S AB AC ===,作PE ⊥x 轴于E ,连接OP ,此时BE =2﹣a ,∵△ABP 的面积与△ABC 的面积相等,∴111•••222ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++=﹣=﹣, 111113332222222a ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=(﹣)﹣=,解得a =﹣83. 故答案为﹣83. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,坐标与图象性质,三角形的面积公式,解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程.27.如图,在ABC 中,AB AC >,按以下步骤作图:分别以点B 和点C 为圆心,大于BC 一半长为半径作画弧,两弧相交于点M 和点N ,过点M N 、作直线交AB 于点D ,连接CD ,若10AB =,6AC =,则ADC 的周长为_____________________.【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ,则DC=DB ,然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ,再把10AB =,6AC =代入计算即可.【详解】解:由作法得MN 垂直平分BC ,则DC=DB ,10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为:16.【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质,熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)是本题的关键.28.如图,将ABC ∆沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的1A 处,称为第1次操作,折痕DE 到BC 的距离记为1h ,还原纸片后,再将ADE ∆沿着过AD 中点1D 的直线折叠,使点A 落在DE 边上的2A 处,称为第2次操作,折痕11D E 到BC 的距离记为2h ,按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕20192019D E 到BC 的距离记为2020h ,若11h =,则2020h 的值为______.【答案】2019122-【解析】【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA ₁=DB,从而可得∠ADA ₁=2∠B,结合折叠的性质可得.,∠ADA ₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE 是△ABC 的中位线,证得AA ₁⊥BC,AA ₁=2,由此发现规律:012122h =-=-₁同理21122h =-3211122222h =-⨯=-…于是经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC 的距离1122n n h -=-,据此求得2020h 的值. 【详解】解:如图连接AA ₁,由折叠的性质可得:AA ₁⊥DE, DA= DA ₁ ,A ₂、A ₃…均在AA ₁上又∵ D 是AB 中点,∴DA= DB ,∵DB= DA ₁ ,∴∠BA ₁D=∠B ,∴∠ADA ₁=∠B +∠BA ₁D=2∠B,又∵∠ADA ₁ =2∠ADE ,∴∠ADE=∠B∵DE//BC,∴AA ₁⊥BC ,∵h ₁=1∴AA ₁ =2,∴012122h =-=-₁ 同理:21122h =-; 3211122222h =-⨯=-; …∴经过n 次操作后得到的折痕D n-1E n-1到BC 的距离1122n n h -=- ∴20202019122h =-【点睛】本题考查了中点性质和折叠的性质,本题难度较大,要从每次折叠发现规律,求得规律的过程是难点.29.如图,在四边形ABCD 中,AB AD =,BC DC =,60A ∠=︒,点E 为AD 边上一点,连接BD .CE ,CE 与BD 交于点F ,且CE AB ∥,若8AB =,6CE =,则BC 的长为_______________.【答案】27【解析】【分析】由AB AD =,BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上,因此,可连接AC 交BD 于点O ,易证ABD △是等边三角形,EDF 是等边三角形,根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度,应用勾股定理可求解.【详解】解:如图,连接AC 交BD 于点O∵AB AD =,BC DC =,60A ∠=︒,∴AC 垂直平分BD ,ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒,8AB AD BD ===,4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒,60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC =+=【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理,综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.30.如图,ABC ∆中,AB AC =,点D 是ABC ∆内部一点,DB DC =,点E 是边AB 上一点,若CD 平分ACE ∠,100AEC =∠,则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ,再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB -2∠ACD ,然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°,代换化简得出∠ACB -∠ACD=50°,即∠DCB=50°,从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ,∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ,∴∠ECB=∠ACB -∠ACE=∠ACB -2∠ACD ,∵∠AEC=100°,∴∠ABC+∠ECB=100°,∴∠ABC+∠ACB -2∠ACD=100°,∵AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB -2∠ACD=100°,∴∠ACB -∠ACD=50°,即∠DCB=50°,∵DB=DC ,∴∠DBC=∠DCB ,∴∠BDC=180°-2∠DCB=180°-2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线,三角形内角和,外角定理,及等边对等角的性质等知识,熟练掌握基本知识,找出角与角之间的关系是解题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,点D E 、是AB 边上两点,且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=,则BD 的长为( )A .6cmB .7cmC .8cmD .9cm【答案】A【解析】【分析】 根据CE 垂直平分AD ,得AC=CD ,再根据等腰在三角形的三线合一,得ACE ECD ∠=∠,结合角平分线定义和90ACB ︒∠=,得30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=,则BD CD AC ==.【详解】∵CE 垂直平分AD∴AC=CD =6cm ,ACE ECD ∠=∠∵CD 平分BCE ∠∴BCD ECD ∠=∠∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=∴60A ︒∠=∴30B BCD ︒∠==∠∴6CD BD AC cm ===故选:A【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”,熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键.32.如图,C 是线段 AB 上一点,且△ACD 和△BCE 都是等边三角形,连接 AE 、BD 相交于点 O ,AE 、BD 分别交 CD 、CE 于 M 、N ,连接 MN 、OC ,则下列所给的结论中:①AE =BD ;②CM =CN ;③MN ∥AB ;④∠AOB =120º;⑤OC 平分∠AOB .其中结论正确的个数是( )A .2B .3C .4D .5【答案】D【解析】【分析】 由题意易证:△ACE ≅△DCB ,进而可得AE =BD ;由△ACE ≅△DCB ,可得∠CAE=∠CDB ,从而△ACM ≅△DCN ,可得:CM =CN ;易证△MCN 是等边三角形,可得∠MNC=∠BCE , 即MN ∥AB ;由∠CAE=∠CDB ,∠AMC=∠DMO ,得∠ACM=∠DOM=60°,即∠AOB =120º;作CG ⊥AE ,CH ⊥BD ,易证CG =CH ,即:OC 平分∠AOB .【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,∴AC=DC ,CE=CB ,∠ACE=∠DCB=120°,∴△ACE ≅△DCB(SAS)∴AE =BD ,∴①正确;∵△ACE ≅△DCB ,∴∠CAE=∠CDB ,∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°,AC=DC ,在△ACM 和△DCN 中,∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN (ASA ),∴CM =CN ,∴②正确;∵CM =CN ,∠DCE=60°,∴△MCN 是等边三角形,∴∠MNC=60°,∴∠MNC=∠BCE ,∴MN ∥AB ,∴③正确;∵△ACE ≅△DCB ,∴∠CAE=∠CDB ,∵∠AMC=∠DMO,∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO,即:∠ACM=∠DOM=60°,∴∠AOB=120º,∴④正确;作CG⊥AE,CH⊥BD,垂足分别为点G,点H,如图,在△ACG和△DCH中,∵90?AMC DHCCAE CDBAC DC∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG≅△DCH(AAS),∴CG=CH,∴OC 平分∠AOB,∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理,等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理,添加合适的辅助线,是解题的关键.33.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AB的中点,E为线段AD上一点,过E点的线段FG交CD的延长线于G点,交AC于F点,且EG=AE,分别延长CE,BG交于点H,若EH平分∠AEG,HD平分∠CHG则下列说法:①∠GDH=45°;②GD=ED;③EF=2DM;④CG=2DE+AE,正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】首先证明△AEC≌△GEC(SAS),推出CA=CG,∠A=∠CGE=45°,推出DE=DG,故②正确;再证明△EDC≌△GDB,推出∠CED=∠BGD,ED=GD,由三角形外角的性质得出∠HDG=∠HDE,进而得出∠GDH=∠EDH=45°,即可判断①正确;通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形,得到ED MD,再通过证明△EFC≌△EDC,得到EF=ED,从而可判断③错误;由CG=CD+DG,CD=AD,ED=GD,变形即可判断④正确.【详解】∵AC=BC,∠ACB=90°,AD=DB,∴CD⊥AB,CD=AD=DB,∠A=∠CBD=45°.∵EH平分∠AEG,∴∠AEH=∠GEH.∵∠AEH+∠AEC=180°,∠GEH+∠CEG=180°,∴∠AEC=∠CEG.∵AE=GE,EC=EC,∴△AEC≌△GEC(SAS),∴CA=CG,∠A=∠CGE=45°.∵∠EDG=90°,∴∠DEG=∠DGE=45°,∴DE=DG,∠AEF=∠DEG=∠A=45°,故②正确;∵DE=DG,∠CDE=∠BDG=90°,DC=DB,∴△EDC≌△GDB(SAS),∴∠CED=∠BGD,ED=GD.∵HD平分∠CHG,∴∠GHD=∠EHD.∵∠CED=∠EHD+∠HDE,∠BGD=∠GHD+∠HDG,∴∠HDG=∠HDE.∵∠EDG=∠ADC=90°,∴∠GDH=∠EDH=45°,故①正确;∵∠EDC=90°,ED=GD,∴△EDC是等腰直角三角形,∴∠DEG=45°.∵∠GDH=45°,∴∠EDH=45°,∴△EMD是等腰直角三角形,∴ED MD.∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°,∴∠AFE=∠CFG=90°.∵∠EDC=90°,∴∠EFC=∠EDC=90°.∵EH平分∠AEG,∴∠AEH=∠GEH.∵∠FEC=∠GEH,∠DEC=∠AEH,∴∠FEC=∠DEC.∵EC=EC,∴△EFC≌△EDC,∴EF=ED,∴EF=2MD.故③错误;∵CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED,∴CG=2DE+AE,故④正确.故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.34.如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④DE=DP;⑤∠AOE=120°;其中正确结论的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE,故①正确;②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△ACP≌△BCQ (ASA),所以AP=BQ;故②正确;③根据②△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知③正确;④根据∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°,可知PD≠CD,可知④错误;⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,由平角的性质可得∠AOE=120°,可知⑤正确;【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCB=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE,故①正确;由(1)中的全等得∠CBE=∠DAC,且BC=AC,∠ACB=∠BCQ=60°∴△CQB≌△CPA(ASA),∴AP=BQ,故②正确;∵△CQB≌△CPA,∴PC=PQ,且∠PCQ=60°∴△PCQ为等边三角形,∴∠PQC=∠DCE=60°,∴PQ∥AE,故③正确,∵∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°,∴PD≠CD,∴DE≠DP,故④DE=DP错误;∵BC∥DE,∴∠CBE=∠BED,∵∠CBE=∠DAE,∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,∴∠AOE=120°,故⑤正确,故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,综合性较强,题目难度较大.35.如图,已知等边△ABC的面积为43, P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点,则PR+QR的最小值是()A.3B.3C15D.4【解析】如图,作△ABC关于AC对称的△ACD,点E与点Q关于AC对称,连接ER,则QR=ER,当点E,R,P在同一直线上,且PE⊥AB时,PE的长就是PR+QR的最小值,设等边△ABC的边长为x,则高为32x,∵等边△ABC的面积为43,∴12x×3x=43,解得x=4,∴等边△ABC的高为32x=23,即PE=23,所以PR+QR的最小值是23,故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质,最短路径问题等,解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.36.如图所示,把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是()A.2B.1+22C.2D2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后,等腰三角形的底边长为1,腰长为22;第一次折叠后,等腰三角形的底边长为22,腰长为12,所以周长为1122122++=+.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)37.已知三角形三边长为a 、b 、c ,且满足247a b -=, 246b c -=-, 2618c a -=-,则此三角形的形状是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .无法确定【答案】A【解析】解:∵a 2﹣4b =7,b 2﹣4c =﹣6,c 2﹣6a =﹣18,∴a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18,整理得:a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0,即(a ﹣3)2+(b ﹣2)2+(c ﹣2)2=0,∴a =3,b =2,c =2,∴此三角形为等腰三角形.故选A .点睛:本题考查了因式分解的应用,解题的关键是正确的进行因式分解.38.若代数式x 2+ax +64是一个完全平方式,则a 的值是( )A .-16B .16C .8D .±16【答案】D【解析】试题分析:根据完全平方式的意义,首平方,尾平方,中间加减积的2倍,可知a=±2×8=16.故选:D点睛:此题主要考查了完全平方式的意义,解题关键是明确公式的特点,即:完全平方式分两种,一种是完全平方和公式,就是两个整式的和括号外的平方。

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)∠=,边AB的垂直平分线交边BC于点D,边AC的垂直平分线1.在ABC中,BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E,连结AD,AE,则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论,先根据线段垂直平分线的性质,得到∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-a,再根据角的和差关系进行计算即可.解:有两种情况:①如图所示,当∠BAC⩾90°时,∵DM垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠B=∠BAD,同理可得,∠C=∠CAE,∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α,∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°;②如图所示,当∠BAC<90°时,∵DM垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠B=∠BAD,同理可得,∠C=∠CAE,∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α,∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛:本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2.△ABC的两边长为4和3,则第三边上的中线长m的取值范围是_______.【答案】1722m<<【解析】【分析】作出草图,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等,然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB,再根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边之和小于第三边求出AE的取值范围,便不难得出m的取值范围.【详解】解:如图,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,AD DEADB EDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ECD(SAS),∴CE=AB,∵AB=3,AC=4,∴4-3<AE<4+3,即1<AE<7,∴1722m<<.故答案为:1722m<<.【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.3.一个正多边形的每个外角为60°,那么这个正多边形的内角和是_____.【答案】720°.【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数,然后再根据内角和公式进行求解即可.【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6,所以这个正多边形的内角和=(6﹣2)×180°=720°,故答案为720°.【点睛】本题考查了多边形内角与外角:内角和定理:(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数);多边形的外角和等于360度.4.等腰三角形的三边长分别为:x+1,2x+3,9,则x=________.【答案】3【解析】①当x+1=2x+3时,解得x=−2(不合题意,舍去);②当x+1=9时,解得x=8,则等腰三角形的三边为:9、19、9,因为9+9=18<19,不能构成三角形,故舍去;③当2x+3=9时,解得x=3,则等腰三角形的三边为:4、9、9,能构成三角形。

冀教版初中数学八年级上册12.1分式同步分层训练培优卷(附答案解析)

冀教版初中数学八年级上册12.1分式同步分层训练培优卷(附答案解析)

冀教版初中数学八年级上册 12.1 分式同步分层训练培优卷班级:姓名:同学们:练习开始了,希望你认真审题,细致做题,运用所学知识解决本练习。

祝你收获满满,学习进步,榜上有名!一、选择题1.若分式x−1x+1的值为0,则x=()A.−1B.1 C.±1D.02.若把分式3xyx+y中x和y的值都扩大为原来的2倍,则分式的值()A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的12 C.缩小为原来的14D.扩大为原来的4倍3.将分式x 2yx−y中的x,y的值同时扩大为原来的3倍,则分式的值()A.扩大为原来的6倍B.扩大为原来的9倍C.不变D.扩大为原来的3倍4.下列各式从左往右变形正确的是()A.ab+2=ab B.ab=a2b2C.a b=a−3b−3D.ab=13a13b5.如果把分式3xx2+y2中的x和y都扩大3倍,那么分式的值()A .扩大9倍B .扩大3倍C .不变D .缩小3倍6.对于非负整数x ,使得 x 2+3x+3是一个正整数,则符合条件x 的个数有( )A .3个B .4个C .5个D .6个7.关于x ,y 的方程xy ﹣x +y =﹣3的整数解(x ,y )的对数为( ) A .3B .4C .5D .68.若 12y 2+3y+7 的值为 18 ,则 14y 2+6y−9 的值是( )A .−12B .−117C .−17D .17二、填空题 9.若分式x+3x 2−9有意义,则x 应满足的条件是 . 10.若分式x 2−4x+1的值为0,则x 的值为 .11.若a 3+3a 2+a =0,则2022a 2a 4+2015a 2+1= .12.某段高速公路全长280公里,交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌,并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌;此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头,并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头(如图),则在此段高速公路上,离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头.13.如图,在长方形ABCD 中,AB=10,BC=13.E ,F ,G ,H 分别是线段AB ,BC ,CD ,AD 上的定点.现分别以BE ,BF 为边作长方形BEQF ,以DG 为边作正方形DGIH .若长方形BEQF 与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形,且BE=DG,Q,I均在长方形ABCD内部.记图中的阴影部分面积分别为S1,S2,S3.若S2S1=37,则S3= .三、解答题14.综艺类节目《奔跑吧》火爆荧幕﹐给观众带来激情和欢乐的同时,也启示我们,团队合作、互助友爱是成功的重要因素,瞧!“撕名牌”游戏正在火热进行,下列“名牌”上的分式中,哪些是最简分式,哪些不是最简分式?如果不是最简分式,请你将其化成最简分式.15.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求(a5+b5+c5)÷abc的值.四、综合题16.阅读下列材料,解答下面的问题:我们知道方程2x+3y=12有无数个解,但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解.例:由2x+3y=12,得:y= 12−2x3,根据x、y为正整数,运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为{x=3y=2.问题:(1)请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解.(2)若12x−3为自然数,则满足条件的正整数x的值有()个.A.5 B.6 C.7 D.8(3) 2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步,购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品,共花费48元,问有哪几种购买方案?17.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式,例如:32=1+12,在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:x+1x−2,x2x+2·····像这样的分式是假分式;像1x−2,xx2−1·····这样的分式是真分式,类似的,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.例如:x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2;x2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x−2+4x+2,解决下列问题:(1)将分式x−2x+3化为整式与真分式的和的形式为:(直接写出结果即可)(2)如果分式x 2+2xx+3的值为整数,求x的整数值1.【答案】B【解析】【解答】解:∵分式x−1x+1的值为0,∴{x−1=0x+1≠0,∴x=1,故答案为:B.【分析】当分子为零分母不为零时,分式的值为零.2.【答案】A【解析】【解答】解:把原式中x和y都扩大为原来的2倍得,3·2x·2y 2x+2y=12xy2(x+y)=6xy x+y=23xy x+y∴把原式中x和y都扩大为原来的2倍后,分式的值扩大为原来的2倍。

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册全册全套试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图1,在平面直角坐标系中,点D (m ,m +8)在第二象限,点B (0,n )在y 轴正半轴上,作DA ⊥x 轴,垂足为A ,已知OA 比OB 的值大2,四边形AOBD 的面积为12.(1)求m 和n 的值.(2)如图2,C 为AO 的中点,DC 与AB 相交于点E ,AF ⊥BD ,垂足为F ,求证:AF =DE .(3)如图3,点G 在射线AD 上,且GA =GB ,H 为GB 延长线上一点,作∠HAN 交y 轴于点N ,且∠HAN =∠HBO ,求NB ﹣HB 的值.【答案】(1)42m n =-⎧⎨=⎩(2)详见解析;(3)NB ﹣FB =4(是定值),即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.【解析】【分析】(1)由点D ,点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12,可列方程组,解方程组即可; (2)由(1)可知,AD =OA =4,OB =2,并可求出AB =BD =25,利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ,并可得∠AEC =90°,利用三角形面积公式即可求证;(3)取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,证明△ABH ≌△CAN ,即可得到结论.【详解】解:(1)由题意()()218122m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩; (2)如图2中,由(1)可知,A (﹣4,0),B (0,2),D (﹣4,4),∴AD=OA =4,OB =2,∴由勾股定理可得:AB =BD =25,∵AC =OC =2,∴AC =OB ,∵∠DAC =∠AOB =90°,AD =OA ,∴△DAC ≌△AOB (SAS ),∴∠ADC =∠BAO ,∵∠ADC +∠ACD =90°,∴∠EAC +∠ACE =90°,∴∠AEC =90°,∵AF ⊥BD ,DE ⊥AB ,∴S △ADB =12•AB •AE =12•BD •AF , ∵AB =BD ,∴DE =AF .(3)解:如图,取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,∵AG =BG ,∴∠GAB =∠GBA ,∵G 为射线AD 上的一点,∴AG ∥y 轴,∴∠GAB =∠ABC ,∴∠ACB =∠EBA ,∴180°﹣∠GBA =180°﹣∠ACB ,即∠ABG =∠ACN ,∵∠GAN =∠GBO ,∴∠AGB =∠ANC ,在△ABG 与△ACN 中,ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABH ≌△ACN (AAS ),∴BF =CN ,∴NB ﹣HB =NB ﹣CN =BC =2OB ,∵OB =2∴NB ﹣FB =2×2=4(是定值),即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.【点睛】本题属于三角形综合题,全等三角形的判定和性质,解题的关键是相结合添加常用辅助线,构造图形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.2.在ABC ∆中,90,BAC AB AC ∠=︒=,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点,B C 重合),以AD 为腰作等腰直角DAF ∆,使90DAF ∠=︒,连接CF .(1)观察猜想如图1,当点D 在线段BC 上时,①BC 与CF 的位置关系为__________;②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________(提示:可证DAB FAC ∆≅∆)(2)数学思考如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,(1)中的①、②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;(3)拓展延伸如图3,当点D 在线段BC 的延长线时,将DAF ∆沿线段DF 翻折,使点A 与点E 重合,连接CE CF 、,若4,22CD BC AC ==CE 的长.(提示:做AH BC ⊥于H ,做EM BD ⊥于M )【答案】(1)①BC ⊥CF ;②BC =CF +DC ;(2)C ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC ,证明详见解析;(3)32【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质得,∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC (SAS );②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质可得到=CF BD ,ACF ABD ∠=∠ ,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论;(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,证明ADH DEM △≌△ ,推出3EM DH == ,2DM AH == ,推出3CM EM == ,即可解决问题.【详解】(1)①正方形ADEF 中,AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ,即BC CF ⊥ ;②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+(2)BC ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC证明:∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB =AC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =90°,∴∠BAD =∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC (SAS )∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF∵∠BAC =90°,AB =AC ,∴∠ACB =∠ABC =45°∴∠ABD =180°-45°=135°∴∠ACF =∠ABD =135°∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =135°-45°=90°,∴CF ⊥BC∵CD =DB +BC ,DB =CF∴DC =CF +BC(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,∵90BAC ∠=︒,AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======,∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒,∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥,,∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==,∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====,∴3CM EM ==∴2232CE EM CM =-=【点睛】本题考查了三角形的综合问题,掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键.3.如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,4cm AC BC ==,点D 是斜边AB 的中点.点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动,点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动,规定当点E 到终点C 时停止运动.设运动的时间为x 秒,连接DE 、DF .(1)填空:ABC S ∆=______2cm ;(2)当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时,求证:DE DF =;(3)若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动,在点E 、点F 运动过程中,如果存在某个时间x ,使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍,请你求出时间x 的值.【答案】(1)8;(2)见解析;(3)45或4. 【解析】【分析】(1)直接可求△ABC 的面积;(2)连接CD ,根据等腰直角三角形的性质可求:∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°,即BD=CD ,且BE=CF ,即可证△CDF ≌△BDE ,可得DE=DF ;(3)分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论,根据题意列出方程可求x 的值.【详解】解:(1)∵S △ABC =12⨯AC×BC ∴S △ABC =12×4×4=8(cm 2) 故答案为:8(2)如图:连接CD∵AC=BC ,D 是AB 中点∴CD 平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依题意得:BE=CF∴在△CDF与△BDE中BE CFB DCABD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF≌△BDE(SAS)∴DE=DF(3)如图:过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,∵AD=BD,∠A=∠B=45°,∠AND=∠DMB=90°∴△ADN≌△BDM(AAS)∴DN=DM当S△ADF=2S△BDE.∴12×AF×DN=2×12×BE×DM∴|4-3x|=2x∴x1=4,x2=45综上所述:x=45或4【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,全等三角形的性质和判定,利用分类思想解决问题是本题的关键.4.(1)在等边三角形ABC中,①如图①,D ,E 分别是边AC ,AB 上的点,且AE CD =,BD 与EC 交于点F ,则BFE ∠的度数是___________度;②如图②,D ,E 分别是边AC ,BA 延长线上的点,且AE CD =,BD 与EC 的延长线交于点F ,此时BFE ∠的度数是____________度;(2)如图③,在ABC ∆中,AC BC =,ACB ∠是锐角,点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点,点D ,E 分别在AC ,OA 的延长线上,且AE CD =,BD 与EC 的延长线交于点F ,若ACB α∠=,求BFE ∠的大小(用含法α的代数式表示).【答案】(1)60;(2)60;(3)BFE α∠=【解析】【分析】(1)①只要证明△ACE ≌△CBD ,可得∠ACE=∠CBD ,推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°;②只要证明△ACE ≌△CBD ,可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ,即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°;(2)只要证明△AEC ≌△CDB ,可得∠E=∠D ,即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解:(1)①如图①中,∵△ABC 是等边三角形,∴AC=CB ,∠A=∠BCD=60°,∵AE=CD ,∴△ACE ≌△CBD ,∴∠ACE=∠CBD ,∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°.故答案为60;②如图②,∵△ABC是等边三角形,∴AC=CB,∠A=∠BCD=60°,∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD,∴△ACE≌△CBD,∴∠ACE=∠CBD=∠DCF,∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°.故答案为60;(2)如图③中,图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,∴=,OC OA∴∠=∠=OAC ACOα=-,∴∠=∠︒180EAC DCBα=,AE CDAC BC=,∴∆≅∆,AEC CDB∴∠=∠,E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=.BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.5.如图,在边长为 4 的等边△ABC 中,点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动,速度为 1 个单位/秒,点F 同时从 C 出发,以相同的速度沿射线 BC 方向运动,过点D 作 DE⊥AC,连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时,求 t 的值;(2)当点 D 在线段 AB 上运动时,是否始终有 DG=GF?若成立,请说明理由。

八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,AB∥CD,点P为CD上一点,∠EBA、∠EPC的角平分线于点F,已知∠F=40°,则∠E=_____度.【答案】80【解析】【详解】如图,根据角平分线的性质和平行线的性质,可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1,∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA,即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.2.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放,如果∠1=40°,∠2=50°,那么∠ 3的度数等于______________.【答案】12°【解析】等边三角形的内角的度数是60°,正方形的内角度数是90°,正五边形的内角的度数是108°,则∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=12°.点睛:本题考查的是多边形的内角,熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键.3.一个正多边形的每个外角为60°,那么这个正多边形的内角和是_____.【答案】720°.【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数,然后再根据内角和公式进行求解即可.【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6,所以这个正多边形的内角和=(6﹣2)×180°=720°,故答案为720°.【点睛】本题考查了多边形内角与外角:内角和定理:(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数);多边形的外角和等于360度.4.若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的边数是_________.【答案】8;【解析】【分析】根据多边形外角和是360度,正多边形的各个内角相等,各个外角也相等,直接用360°÷45°可求得边数.【详解】∵多边形外角和是360度,正多边形的一个外角是45°,∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8.【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质(正多边形的各个内角相等,各个外角也相等).5.若(a﹣4)2+|b﹣9|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______.【答案】22【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可.【详解】解:根据题意得,a-4=0,b-9=0,解得a=4,b=9,①若a=4是腰长,则底边为9,三角形的三边分别为4、4、9,不能组成三角形,②若b=9是腰长,则底边为4,三角形的三边分别为9、9、4,能组成三角形,周长=9+9+4=22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,非负数的性质,以及三角形的三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.6.如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图,若∠1=38°,∠2=23°,则桥面断裂处夹角∠BCD=__________.【答案】119°【解析】【分析】连接BD,构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数.【详解】如图所示,连接BD,∵∠4=∠1=38°,∠3=∠2=23°,∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.故答案为:119°.【点睛】本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD,构△BCD是解题的关键.二、八年级数学三角形选择题(难)7.马小虎在计算一个多边形的内角和时,由于粗心少算了2个内角,其和等于830,则该多边形的边数是( )A.7B.8C.7或8D.无法确定【答案】C【解析】【分析】n边形的内角和是(n-2)•180°,即为180°的(n-2)倍,多边形的内角一定大于0度,小于180度,因而多边形中,除去2个内角外,其余内角和与180度的商加上2,以后所得的数值,比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数.【详解】设少加的2个内角和为x度,边数为n.则(n-2)×180=830+x,即(n-2)×180=4×180+110+x,因此x=70,n=7或x=250,n=8.故该多边形的边数是7或8.故选C.【点睛】本题考查了多边形的内角和定理,正确理解多边形内角的大小的特点,以及多边形的内角和定理是解决本题的关键.8.如果线段AB=3cm,BC=1cm,那么A、C两点的距离d的长度为()A.4cm B.2cm C.4cm或2cm D.小于或等于4cm,且大于或等于2cm【答案】D【解析】试题分析:①当A,B,C三点在一条直线上时,分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论;②当A,B,C三点不在一条直线上时,根据三角形三边关系讨论.解:当点A、B、C在同一条直线上时,①点B在A、C之间时:AC=AB+BC=3+1=4;②点C 在A、B之间时:AC=AB-BC=3-1=2,当点A、B、C不在同一条直线上时,A、B、C三点组成三角形,根据三角形的三边关系AB-BC<AC<AB+BC,即2<AC<4,综上所述,选D.故选D.点睛:本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键,9.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A在四边形BCDE的外部时,记∠AEB为∠1,∠ADC为∠2,则∠A、∠1与∠2的数量关系,结论正确的是()A.∠1=∠2+∠A B.∠1=2∠A+∠2C.∠1=2∠2+2∠A D.2∠1=∠2+∠A【答案】B【解析】试题分析:如图在∆ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,折叠之后在∆ADF中,∠A+∠2+∠3=180°,∴∠B+∠C=∠2+∠3,∠3=180°-∠A-∠2,又在四边形BCFE中∠B+∠C+∠1+∠3=360°,∴∠2+∠3+∠1+∠3=360°∴∠2+∠1+2∠3=∠2+∠1+2(180°-∠A-∠2)=360°,∴∠2+∠1-2∠A-2∠2=0,∴∠1=2∠A+∠2.故选B点睛:本题主要考查考生对三角形内角和,四边形内角和以及三角形外角的性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的理解及掌握。

第3章 一元一次不等式 浙教版数学八年级上册培优试卷(含答案)

第3章 一元一次不等式 浙教版数学八年级上册培优试卷(含答案)

浙教版八年级上册第三章一元一次不等式培优一、选择题1.若a>b,则下列各式一定成立的是( )A.a+1<b+1B.―a>―b C.a―2<b―2D.a3>b32.如图,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,物体A的质量为m(g),则m的取值范围在数轴上可表示为( )A.B.C.D.3.不等式组x+1>02x≤2的解集在数轴上用阴影表示正确的是( )A.B.C.D.4.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是( )A.a>c>b B.c―a>b―a C.a c2<b c2D.a+b>05.在数学活动课中,小俞同学将某商场促销活动的信息列出不等式为0.7×(2x―100)<1000(其中x为某一商品的定价,单位:元),那么该商场促销活动的信息是( )A.买两件该商品可减100元,再打3折,最后不到1000元B.买两件该商品可打3折,再减100元,最后不到1000元C.买两件该商品可减100元,再打7折,最后不到1000元D.买两件该商品可打7折,再减100元,最后不到1000元6.如图所示,运行程序规定:从“输入一个值x”到“结果是否>79”为一次程序操作,如果程序操作进行了三次才停止,那么x的取值范围是( )A.x>9B.x≤19C.9<x≤19D.9≤x≤197.若关于x 的不等式组4―(x ―2)≥33x ―a >2x有且只有4个整数解,则a 的取值范围是( )A .―1≤a <0B .―1<a ≤0C .0<a ≤1D .0≤a <18.若x 为实数,则[x ]表示不大于x 的最大整数,例如[1,6]=1,[π]=3,[―2,82]=―3等.[x ]+1是大于x 的最小整数,则方程6x ―3[x ]+9=0的解是( )A .x =―83B .x =―196C .x =―72或x =―3D .x =―83或x =―1969.已知三个实数a ,b ,c 满足a ―2b ―c =0,a +2b ―c <0,则( )A .b <0,b 2+ac ≤0B .b <0,b 2+ac ≥0C .b >0,b 2+ac ≤0D .b >0,b 2+ac ≥010. 已知关于x 的分式方程mx(x ―2)(x ―6)+2x ―2=3x ―6无解,且关于y 的不等式组m ―y >4y ―4≤3(y +4)有且只有三个偶数解,则所有符合条件的整数m 的乘积为( )A .1B .2C .4D .8二、填空题11.若(m ―1)x >(m ―1)的解集是x <1,则m 的取值范围是  ;12.一罐饮料净重300g ,罐上标注有“蛋白质含量≥0.5%”,其中蛋白质的含量至少为 g .13.若关于x 的不等式组x <1x ≤a 的解集是x <1,则a 的值可以是  (写出一个即可).14.关于x 的方程k ―2x =3(k ―2)的解为非负数,且关于x 的不等式x ―2(x ―1)≤32k +x 3≥x 有解,求符合条件的所有整数k 的值的积为 .15.若关于x 的不等式组―6<x <2x ―m <m无解,那么m 的取值范围是 16.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x >,即:当n 为非负整数时,如n ﹣12≤x <n+12,则<x >=n .如:<0.48>=0,<3.5>=4.如果<x >=97x ,则x =  .三、解答题17.课堂上,老师设计了“接力游戏”,规则:一列同学每人只完成解不等式的一步变形,即前一个同学完成一步,后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形,直至解出不等式的解集.请根据下面的“接力游戏”回答问题.接力游戏老师:3x +12―1>5x ―43甲同学:3(3x +1)―6>2(5x ―4)乙同学:9x+3―6>10x―8丙同学:9x―10x>―8―3+6丁同学:―x>―5戊同学:x>5任务一:①在“接力游戏”中,乙同学是根据______进行变形的.A.等式的基本性质B.不等式的基本性质C.乘法对加法的分配律②在“接力游戏”中,出现错误的是______同学,这一步错误的原因是______.任务二:在“接力游戏”中该不等式的正确解集是______.任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议.18.解不等式1―x3―x<3―x+24.并把解集表示在数轴上.19.解不等式组:5x―6≤2(x+2) x4―1<x―3320.如图,点A,B均在数轴上,点B在点A的右侧,点A对应的数字是―4,点B对应的数字是m.(1)若AB=2,求m的值;(2)将AB线段三等分,这两个等分点所对应数字从左到右依次是a1,a2,若a2>0,求m的取值范围.21.如图所示的是某大院窗格的一部分,其中“O”代表窗格上所贴的剪纸,设第x个窗格上所贴“O”的个数为y.(1)填写下表.x12345xy581117(用含x的式子表示)(2)若第x个窗格上所贴的“O”的个数大于50,求x的取值范围.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,a),B(b,3),E(3―a,0),其中a,b满足|a―5|+b―4=0.平移线AB段得到线段CD,使得C,D两点分别落在y轴和x轴上.(1)①点A的坐标是____________;点B的坐标是____________;②求三角形OCD的面积.(2)将点E向下移动1个单位长度得到点F,连接FC,FD,Q(m,0)是x轴负半轴上一点.若三角形QCD 的面积不小于三角形FCD的面积,求m的取值范围.23.如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(2,4),且2a+b+10+|3a―2b+8|=0.(1)求a,b的值;,求t的取值范围;(2)点D(t,0)为x轴上一点,且S三角形ABD≤13S三角形ABC(3)平移三角形ABC到三角形EFG(其中点A,B,C的对应点分别为点E,F,G),设E(m,n),F (p,q),且满足5m―n=43p―q=4,请直接写出点G的坐标.答案解析部分1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】B 10.【答案】B 11.【答案】m <112.【答案】1.513.【答案】2(答案不唯一)14.【答案】015.【答案】m ≤―316.【答案】0或79或149.17.【答案】任务一:①C ;②戊;不等式的两边同时乘以―1,不等号的方向没有改变任务二:x <5任务三:去括号时,括号前面是“―”,去括号后,括号的每一项都要变号,或移项要变号18.【答案】x >―219.【答案】0<x ≤10320.【答案】(1)―2(2)m >221.【答案】(1)14,3x +2(2)x >16.22.【答案】(1)①A (1,5),B (4,3),②3(2)m ≤―7223.【答案】(1)a 的值为―4,b 的值为―2(2)―10≤t ≤2(3)G(8,10)。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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人教版八年级上册数学全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,△ABC 中,AB=AC=BC,∠BDC=120°且BD=DC,现以D为顶点作一个60°角,使角两边分别交AB,AC边所在直线于M,N两点,连接MN,探究线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.(1)如图1,若∠MDN的两边分别交AB,AC边于M,N两点.猜想:BM+NC=MN.延长AC到点E,使CE=BM,连接DE,再证明两次三角形全等可证.请你按照该思路写出完整的证明过程;(2)如图2,若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点,其它条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,请直接写出你的猜想(不用证明).【答案】(1)过程见解析;(2)MN= NC﹣BM.【解析】【分析】(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,根据△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,可以证得△MBD≌△ECD,可得MD=DE,∠BDM=∠CDE,再根据∠MDN=60°,∠BDC=120°,可证∠MDN =∠NDE=60°,得出△DMN≌△DEN,进而得到MN=BM+NC.(2)在CA上截取CE=BM,利用(1)中的证明方法,先证△BMD≌△CED(SAS),再证△MDN≌△EDN(SAS),即可得出结论.【详解】解:(1)如图示,延长AC至E,使得CE=BM,并连接DE.∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,又BD=DC,且∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,∴∠MBD=∠ECD=90°,在△MBD与△ECD中,∵BD CDMBD ECD BM CE,∴△MBD≌△ECD(SAS),∴MD=DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,在△DMN与△DEN中,∵MD DEMDN EDN DN DN,∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.(2)如图②中,结论:MN=NC﹣BM.理由:在CA上截取CE=BM.∵△ABC是正三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,又∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠BCD=∠CBD=30°,∴∠MBD=∠DCE=90°,在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD,∴△BMD≌△CED(SAS),∴DM= DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,∴∠NDE=∠BDC-(∠BDN+∠CDE)=∠BDC-(∠BDN+∠BDM)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND,∴△MDN≌△EDN(SAS),∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.2.如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.【答案】(1)线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE;(2)(1)中的结论仍然成立.理由见解析;(3)(1)中的结论仍然成立.理由见解析【解析】【分析】(1)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°,因此△EFC是等腰直角三角形,2EF;(2)思路同(1)也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解.连接CF,延长EF交CB 于点G,先证△EFC是等腰三角形,可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论,那么就要证明EF=FG,就需要证明△DEF和△FGB全等.这两个三角形中,已知的条件有一组对顶角,DF=FB,只要再得出一组对应角相等即可,我们发现DE∥BC,因此∠EDB=∠CBD,由此构成了两三角形全等的条件.EF=FG,那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了,下面证明△CFE是个直角三角形.由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此CE=CG,∠CEF=45°,在等腰△CFE中,∠CEF=45°,那么这个三角形就是个等腰直角三角形,因此就能得出(1)中的结论了;(3)思路同(2)通过证明△CFE来得出结论,通过全等三角形来证得CF=FE,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF.那么关键就是证明△MEF和△CFN全等,利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线,我们不难得出EM=PN=12AD,EC=MF=12AB,我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论.我们知道PN是△ABD的中位线,那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形,那么对角就相等,于是90°+∠CNF=90°+∠MEF,因此∠CNF=∠MEF,那么两三角形就全等了.证明∠CFE是直角的过程与(1)完全相同.那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形,于是得出的结论与(1)也相同.【详解】(1)如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE=2FE;解法1:∵∠AED=∠ACB=90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径,∵点F是BD的中点,∴点F是圆心,∴EF=CF=FD=FB,∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,由圆周角定理得:∠DCE=∠DBE,∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°∴∠ECF=45°=∠CEF,∴△CEF是等腰直角三角形,∴CE=2EF.解法2:易证∠BED=∠ACB=90°,∵点F是BD的中点,∴CF=EF=FB=FD,∵∠DFE=∠ABD+∠BEF,∠ABD=∠BEF,∴∠DFE=2∠ABD,同理∠CFD=2∠CBD,∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°,即∠CFE=90°,∴CE=2EF.(2)(1)中的结论仍然成立.解法1:如图2﹣1,连接CF,延长EF交CB于点G,∵∠ACB=∠AED=90°,∴DE∥BC,∴∠EDF=∠GBF,又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,∴△EDF≌△GBF,∴EF=GF,BG=DE=AE,∵AC=BC,∴CE=CG,∴∠EFC=90°,CF=EF,∴△CEF为等腰直角三角形,∴∠CEF=45°,∴CE=2FE;解法2:如图2﹣2,连结CF、AF,∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°,又点F是BD的中点,∴FA=FB=FD,而AC=BC,CF=CF,∴△ACF≌△BCF,∴∠ACF=∠BCF=12∠ACB=45°,∵FA=FB,CA=CB,∴CF所在的直线垂直平分线段AB,同理,EF所在的直线垂直平分线段AD,又DA⊥BA,∴EF⊥CF,∴△CEF为等腰直角三角形,∴CE=2EF.(3)(1)中的结论仍然成立.解法1:如图3﹣1,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF,∵DF=BF,∴FM∥AB,且FM=12 AB,∵AE=DE,∠AED=90°,∴AM =EM ,∠AME =90°,∵CA =CB ,∠ACB =90°∴CN=AN=12AB ,∠ANC =90°, ∴MF ∥AN ,FM =AN =CN ,∴四边形MFNA 为平行四边形, ∴FN =AM =EM ,∠AMF =∠FNA ,∴∠EMF =∠FNC ,∴△EMF ≌△FNC ,∴FE =CF ,∠EFM =∠FCN ,由MF ∥AN ,∠ANC =90°,可得∠CPF =90°,∴∠FCN+∠PFC =90°,∴∠EFM+∠PFC =90°,∴∠EFC =90°,∴△CEF 为等腰直角三角形,∴∠CEF =45°,∴CE =2FE .【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等,如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建.3.在ABC ∆中,90,BAC AB AC ∠=︒=,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点,B C 重合),以AD 为腰作等腰直角DAF ∆,使90DAF ∠=︒,连接CF .(1)观察猜想如图1,当点D 在线段BC 上时,①BC 与CF 的位置关系为__________;②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________(提示:可证DAB FAC ∆≅∆)(2)数学思考如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,(1)中的①、②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;(3)拓展延伸如图3,当点D 在线段BC 的延长线时,将DAF ∆沿线段DF 翻折,使点A 与点E 重合,连接CE CF 、,若4,CD BC AC ==CE 的长.(提示:做AH BC ⊥于H ,做EM BD ⊥于M )【答案】(1)①BC ⊥CF ;②BC =CF +DC ;(2)C ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC ,证明详见解析;(3)【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质得,∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC (SAS );②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质可得到=CF BD ,ACF ABD ∠=∠ ,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论;(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,证明ADH DEM △≌△ ,推出3EM DH == ,2DM AH == ,推出3CM EM == ,即可解决问题.【详解】(1)①正方形ADEF 中,AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ,即BC CF ⊥ ;②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+(2)BC ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC证明:∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB =AC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =90°,∴∠BAD =∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC (SAS )∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF∵∠BAC =90°,AB =AC ,∴∠ACB =∠ABC =45°∴∠ABD =180°-45°=135°∴∠ACF =∠ABD =135°∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =135°-45°=90°,∴CF ⊥BC∵CD =DB +BC ,DB =CF∴DC =CF +BC(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,∵90BAC ∠=︒,AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======, ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒,∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥,,∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==,∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====,∴3CM EM ==∴CE ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题,掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键.4.如图,在边长为 4 的等边△ABC 中,点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动,速度为 1 个单位/秒,点F 同时从 C 出发,以相同的速度沿射线 BC 方向运动,过点D 作 DE⊥AC,连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时,求 t 的值;(2)当点 D 在线段 AB 上运动时,是否始终有 DG=GF?若成立,请说明理由。

八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,在△ABC中,BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于点G,交BC于点H.下列结论:①∠DBE=∠F;②∠BEF=1 2(∠BAF+∠C);③∠FGD=∠ABE+∠C;④∠F=12(∠BAC﹣∠C);其中正确的是_____.【答案】①②③④【解析】【分析】①根据BD⊥FD,FH⊥BE和∠FGD=∠BGH,证明结论正确;②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确;③根据垂直的定义和同角的余角相等的性质证明结论正确;④证明∠DBE=∠BAC-∠C,根据①的结论,证明结论正确.【详解】解:①∵BD⊥FD,∴∠FGD+∠F=90°,∵FH⊥BE,∴∠BGH+∠DBE=90°,∵∠FGD=∠BGH,∴∠DBE=∠F,故①正确;②∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∠BEF=∠CBE+∠C,∴2∠BEF=∠ABC+2∠C,∠BAF=∠ABC+∠C,∴2∠BEF=∠BAF+∠C,∴∠BEF=12(∠BAF+∠C),故②正确;③∵∠AEB=∠EBC+∠C,∵∠ABE=∠EBC,∴∠AEB=∠ABE+∠C,∵BD⊥FC,FH⊥BE,∴∠FGD=90︒-∠DFH,∠AEB=90︒-∠DFH,∴∠FGD=∠AEB∴∠FGD=∠ABE+∠C.故③正确;④∠ABD=90°-∠BAC,∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC,∵∠CBD=90°-∠C,∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE,由①得,∠DBE=∠F,∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE,∴∠F=1(∠BAC-∠C);2故④正确,故答案为①②③④.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理,正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键2.如图,将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠COB=____.【答案】105°.【解析】【分析】先根据直角三角形的特殊角可知:∠ECD=45°,∠BDC=60°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【详解】如图,∠ECD=45°,∠BDC=60°,∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°.故答案为:105°.【点睛】此题考查三角形外角的性质,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键.3.等腰三角形一边长是10cm,一边长是6cm,则它的周长是_____cm或_____cm.【答案】22cm,26cm【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和6cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【详解】(1)当腰是6cm时,周长=6+6+10=22cm;(2)当腰长为10cm时,周长=10+10+6=26cm,所以其周长是22cm或26cm.故答案为:22,26.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.4.如图,李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α,再沿直线前进5米,到达点C后,又向左旋转α角度,照这样走下去,第一次回到出发地点时,他共走了45米,则每次旋转的角度α为_____.【答案】40︒.【解析】【分析】根据共走了45米,每次前进5米且左转的角度相同,则可计算出该正多边形的边数,再根据外角和计算左转的角度.【详解】÷=,连续左转后形成的正多边形边数为:4559︒÷=︒.则左转的角度是360940故答案是:40︒.【点睛】本题考查了多边形的外角计算,正确理解多边形的外角和是360°是关键.5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,则∠ABC =_____度.【答案】45【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质,先证△ADC ≌△BDF ,可得BD=AD ,可求∠ABC=∠BAD=45°.【详解】∵AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E∴∠EAF+∠AFE=90°,∠DBF+∠BFD=90°,又∵∠BFD=∠AFE (对顶角相等)∴∠EAF=∠DBF ,在Rt △ADC 和Rt △BDF 中,CAD FBD BDF ADC BF AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===, ∴△ADC ≌△BDF (AAS ),∴BD=AD ,即∠ABC=∠BAD=45°.故答案为45.【点睛】三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.6.如图,BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线,CP 是∠ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠P=______°.【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°,∠PCM=50°,根据三角形外角性质即可求出∠P 的度数.【详解】∵BP 是∠ABC 的平分线,CP 是∠ACM 的平分线,∠ABP=20°,∠ACP=50°,∴∠PBC=20°,∠PCM=50°,∵∠PBC+∠P=∠PCM ,∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°,故答案为:30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质,三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题(难)7.如图,D 是△ABC 的边BC 上任意一点,E 、F 分别是线段AD 、CE 的中点,且△ABC 的面积为40cm 2,则△BEF 的面积是( )cm 2.A .5B .10C .15D .20【答案】B【解析】【分析】 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可.【详解】 ∵点E 是AD 的中点,∴S △ABE =12S △ABD ,S △ACE =12S △ADC , ∴S △ABE +S △ACE =12S △ABC =12×40=20cm 2, ∴S △BCE =12S △ABC =12×40=20cm 2, ∵点F 是CE 的中点,∴S △BEF =12S △BCE =12×20=10cm 2. 故选B.【点睛】 本题考查了三角形的面积,主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形,原理为等底等高的三角形的面积相等.8.如图:在△ABC 中,G 是它的重心,AG ⊥CD ,如果32BG AC ⋅=,则△AGC 的面积的最大值是( )A .23B .8C .43D .6 【答案】B【解析】分析:延长BG 交AC 于D .由重心的性质得到 BG =2GD ,D 为AC 的中点,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AC =2GD ,即有BG =AC ,从而得到AC 、GD 的长.当GD ⊥AC 时,△AGC 的面积的最大,最大值为:12AC •GD ,即可得出结论. 详解:延长BG 交AC 于D .∵G 是△ABC 的重心,∴BG =2GD ,D 为AC 的中点.∵AG ⊥CG ,∴△AGC 是直角三角形,∴AC =2GD ,∴BG =AC .∵BG •AC =32,∴AC =32=42,GD =22.当GD ⊥AC 时,.△AGC 的面积的最大,最大值为:12AC •GD =142222⨯⨯=8.故选B .点睛:本题考查了重心的性质.解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.9.如图,将一张三角形纸片ABC 的一角折叠,使点A 落在ABC ∆处的'A 处,折痕为DE .如果A α∠=,'CEA β∠=,'BDA γ∠=,那么下列式子中正确的是( )A .2γαβ=+B .2γαβ=+C .γαβ=+D .180γαβ=--【答案】A【解析】【分析】【详解】分析:根据三角形的外角得:∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',代入已知可得结论.详解:由折叠得:∠A=∠A',∵∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'=γ,∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β,故选A.点睛:本题考查了三角形外角的性质,熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.10.如图,直线a∥b,若∠1=50°,∠3=95°,则∠2的度数为()A.35°B.40°C.45°D.55°【答案】C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得到∠4的度数,再根据平行线的性质,即可得出∠2的度数.【详解】解:如图,根据三角形外角性质,可得∠3=∠1+∠4,∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°,∵a∥b,∴∠2=∠4=45°.【点睛】本题考查了平行线的性质,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.11.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A.2cm,3cm,5cm B.7cm,4cm,2cm C.3cm,4cm,8cm D.3cm,3cm,4cm 【答案】D【解析】【详解】A.因为2+3=5,所以不能构成三角形,故A错误;B.因为2+4<6,所以不能构成三角形,故B错误;C.因为3+4<8,所以不能构成三角形,故C错误;D.因为3+3>4,所以能构成三角形,故D正确.故选D.12.一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是()A.7 B.8 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.【详解】解:多边形的外角和是360°,根据题意得:180°•(n-2)=3×360°解得n=8.故选:B.【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征.求多边形的边数,可以转化为方程的问题来解决.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=_____.【答案】7由MN∥PQ,AB⊥PQ,可知∠DAE=∠EBC=90°,可判定△ADE≌△BCE,从而得出AE=BC,则AB=AE+BE=AD+BC=7.故答案为:7.点睛:本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质,是基础知识,比较简单.14.如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时,△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【答案】0;4;8;12【解析】【分析】此题要分两种情况:①当P在线段BC上时,②当P在BQ上,再分别分两种情况AC=BP 或AC=BN进行计算即可.【详解】解:①当P在线段BC上,AC=BP时,△ACB≌△PBN,∵AC=2,∴BP=2,∴CP=6−2=4,∴点P的运动时间为4÷1=4(秒);②当P在线段BC上,AC=BN时,△ACB≌△NBP,这时BC=PN=6,CP=0,因此时间为0秒;③当P在BQ上,AC=BP时,△ACB≌△PBN,∵AC=2,∴BP=2,∴CP=2+6=8,∴点P的运动时间为8÷1=8(秒);④当P在BQ上,AC=NB时,△ACB≌△NBP,∵BC=6,∴BP=6,∴CP=6+6=12,点P的运动时间为12÷1=12(秒),故答案为:0或4或8或12.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等时必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.15.如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连结PD,以PD为边,在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A 时,点F运动的路径长是________.【答案】8【解析】【分析】作FG⊥BC于点G,DE’⊥AB于点E’,易证E点和E’点重合,则∠FGD=∠DEP=90°;由∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°,则易得∠EPD=∠GDF,再由PD=DF易证△EPD≌△GDF,则可得FG=DE,故F点的运动轨迹为平行于BC的线段,据此可进行求解.【详解】解:作FG⊥BC于点G,DE’⊥AB于点E’,由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE⊥AB,即∠∵DE’⊥AB,∠B=60°,∴BE’=BD×12=2,∴E点和E’点重合,∴∠EDB=30°,∴∠EDB+∠PDF=90°,∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE,∴∠DPE=∠GFD∵∠DEP=∠FGD=90°,FD=GP,∴△EPD≌△GDF,∴FG=DE,DG=PE,∴F点运动的路径与G点运动的路径平行,即与BC平行,由图可知,当P点在E点时,G点与D点重合,∵DG=PE,∴F点运动的距离与P点运动的距离相同,∴F点运动的路径长为:AB-BE=10-2=8,故答案为8.【点睛】通过构造垂直线段构造三角形全等,从而确定F点运动的路径,本题有一些难度.16.如图:已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下四个结论:①AE=CF;②EF=AP;③2S四边形AEPF=S△ABC;④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合)有BE+CF=EF;上述结论中始终正确的序号有__________.【答案】①③【解析】【分析】根据题意,容易证明△AEP≌△CFP,然后能推理得到①③都是正确.【详解】∵AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC的中点,∴∠EAP=12∠BAC=45°,AP=12BC=CP.①在△AEP与△CFP中,∵∠EAP=∠C=45°,AP=CP,∠APE=∠CPF=90°-∠APF,∴△AEP≌△CFP,∴AE=CF.正确;②只有当F在AC中点时EF=AP,故不能得出EF=AP,错误;③∵△AEP≌△CFP,同理可证△APF≌△BPE.∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC,即2S四边形AEPF=S△ABC;正确;④根据等腰直角三角形的性质,EF=2PE,所以,EF随着点E的变化而变化,只有当点E为AB的中点时,EF=2PE=AP,在其它位置时EF≠AP,故④错误;故答案为:①③.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,证得△AEP和△CFP 全等是解题的关键,也是本题的突破点.17.如图,要在河流的南边,公路的左侧M区处建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离),则图中工厂的位置应在_____.【答案】∠BAC的平分线上,与A相距1cm的地方.【解析】【分析】由已知条件及要求满足的条件,根据角平分线的性质作答,注意距A1cm处.【详解】工厂的位置应在∠BAC的平分线上,与A相距1cm的地方;理由:角平分线上的点到角两边的距离相等.【点睛】此题考查角平分线的性质:角平分线上的任意一点到角的两边距离相等.作图题一定要找到相关的知识为依托,同时满足多个要求时,要逐个满足.18.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为5和12,则b的面积为_________________.【答案】169【解析】解:由于a、b、c都是正方形,所以AC=CD,∠ACD=90°;∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°,即∠BAC =∠DCE ,∠ABC =∠CED =90°,AC =CD ,∴△ACB ≌△DCE ,∴AB =CE ,BC =DE ; 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2,即S b =S a +S c =22512 =169. 故答案为:169.点睛:此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用,结合图形求解,对图形的理解能力要比较强.四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AC 、AB 上的点,BD 与CE 相交于点O ,给出四个条件:①OB=OC ;②∠EBO=∠DCO ;③∠BEO=∠CDO ;④BE=CD .上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有( )A .2种B .3种C .4种D .6种【答案】C【解析】【分析】 ①②:求出OBC=∠OCB ,推出∠ACB=∠ABC 即可的等腰三角形;①③:证△EBO ≌△DCO ,得出∠EBO=∠DCO ,求出∠ACB=∠ABC 即可;②④:证△EBO ≌△DCO ,推出OB=OC ,求出∠ABC=∠ACB 即可;③④:证△EBO ≌△DCO ,推出∠EBO=∠DCO ,OB=OC ,求出∠OBC=∠OCB ,推出∠ACB=∠ABC 即可.【详解】解:有①②,①③,②④,③④,共4种,①②,理由是:∵OB=OC ,∴∠OBC=∠OCB ,∵∠EBO=∠DCO ,∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB ,即∠ABC=∠ACB ,∴AB=AC ,即△ABC 是等腰三角形;①③,理由是:∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC OB OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EBO≌△DCO,∴∠EBO=∠DCO,∵∠OBC=∠OCB(已证),∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,即AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;②④,理由是:∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC BE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EBO≌△DCO,∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,即AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;③④,理由是:∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC BE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EBO≌△DCO,∴∠EBO=∠DCO,OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,即AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;故选C.20.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,点A,D在直线BE的两侧,AB∥DE,BF=CE,添加一个适当的条件后,仍不能使得△ABC≌△DEF()A.AC=DF B.AC∥DF C.∠A=∠D D.AB=DE【答案】A【解析】【分析】根据AB∥DE证得∠B=∠E,又已知BF=CE证得BC=EF,即已具备两个条件:一边一角,再依次添加选项中的条件即可判断.【详解】∵AB∥DE,∴∠B=∠E,∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC,∴BC=EF,若添加AC=DF,则不能判定△ABC≌△DEF,故选项A符合题意;若添加AC∥DF,则∠ACB=∠DFE,可以判断△ABC≌△DEF(ASA),故选项B不符合题意;若添加∠A=∠D,可以判断△ABC≌△DEF(AAS),故选项C不符合题意;若添加AB=DE,可以判断△ABC≌△DEF(SAS),故选项D不符合题意;故选:A.【点睛】此题考查三角形全等的判定定理,熟练掌握定理,并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.21.如图,△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下面四个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△QSP;④AP垂直平分RS.其中正确结论的序号是().A .①②B .①②③C .①②④D .①②③④【答案】C【解析】【分析】 如图,连接AP,根据HL 判定△APR 和△APS 全等,即可说明①正确;由△APR 和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC,再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ,得到∠QPA=∠BAP ,根据平行线判定推出OP//AB ,即②正确;在Rt △BRP 和Rt △QSP 中,只有PR=PS.无法判断Rt △BRP 和Rt △QSP 是否全等;连接RS ,与AP 交于点D ,先证△ARD ≌△ASD ,即RD=SD ;运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解:如图,连接AP∵PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,PR =PS∴△APR ≌△APS∴AS =AR ,∠RAP=∠PAC即①正确;又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB ,即②正确.在Rt △BRP 和Rt △QSP 中,只有PR=PS.无法判断Rt △BRP 和Rt △QSP 是否全等,故③错误.如图,连接PS∵△APR ≌△APS∴AR =AS ,∠RAP=∠PAC∴AP 垂直平分RS ,即④正确;故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,角平分线性质的应用,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键22.已知:如图,ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形,且CA CB =,CD CE =,ACB DCE α∠=∠=,AD 、BE 相交于点O ,点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论:①AD BE =;②180DOB α∠=-;③CMN ∆是等边三角形;④连OC ,则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论,故可判断; ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠B AC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ,故可判断;③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ,∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状;④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,根据ACD BCE ≅△△,可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ,故可判断.【详解】①正确,理由如下:∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确;②正确,理由如下:由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确;③错误,理由如下:∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知,AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ,∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形,故③错误;④正确,理由如下:如图所示,在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确;故答案为:B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形内角和定理和外角定理,等边三角形的判定,根据已知条件作出正确的辅助线,找出全等三角形是解题的关键.23.如图,在△ABC 中,P 是BC 上的点,作PQ ∥AC 交AB 于点Q ,分别作PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若PR=PS ,则下面三个结论:①AS=AR ;②AQ=PQ ;③△PQR ≌△CPS ;④AC ﹣AQ=2SC ,其中正确的是( )A.②③④B.①②C.①④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得△APR≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.【详解】解:如图连接AP,PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,△APR≌△APS.AS=AR,又QP/AR,∠2 = ∠3又∠1 = ∠2,∠1=∠3,AQ=PQ,没有办法证明△PQR≌△CPS,③不成立,没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.24.如图, AB=AC,AD=AE, BE、CD交于点O,则图中全等三角形共有()A.五对B.四对C.三对D.二对【答案】A【解析】如图,由已知条件可证:①△ABE≌△ACD;②△DBC≌△ECB;③△BDO≌△ECO;④△ABO≌△ACO;⑤△ADO≌△AEO;∴图中共有5对全等三角形.故选A.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.如图,已知等边ABC∆的边长为8,E是中线AD上一点,以CE为一边在CE下方作等边CEF∆,连接BF并延长至点,N M为BN上一点,且5CM CN==,则MN的长为_________.【答案】6【解析】【分析】作CG⊥MN于G,证△ACE≌△BCF,求出∠CBF=∠CAE=30°,则可以得出124CG BC==,在Rt△CMG中,由勾股定理求出MG,即可得到MN的长.【详解】解:如图示:作CG⊥MN于G,∵△ABC和△CEF是等边三角形,∴AC=BC,CE=CF,∠ACB=∠ECF=60°,∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE,即∠ACE=∠BCF,在△ACE与△BCF中AC BCACE BCFCE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△BCF(SAS),又∵AD是三角形△ABC的中线∴∠CBF=∠CAE=30°,∴124CG BC ==, 在Rt △CMG 中,2222543MG CM CG =-=-=,∴MN=2MG=6,故答案为:6.【点睛】本题考查了勾股定理,等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF .26.如图,在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 是△ABC 内的两点,AE 平分∠BAC ,∠D=∠DBC=60°,若BD=5cm ,DE=3cm ,则BC 的长是 ______cm .【答案】8.【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形,△EFD 为等边三角形,从而得出BN 的长,进而求出答案.【详解】解:延长DE 交BC 于M ,延长AE 交BC 于N ,作EF ∥BC 于F ,∵AB=AC ,AE 平分∠BAC ,∴AN ⊥BC ,BN=CN ,∵∠DBC=∠D=60°,∴△BDM 为等边三角形,∴△EFD 为等边三角形,∵BD=5,DE=3,∴EM=2,∵△BDM 为等边三角形,∴∠DMB=60°,∵AN ⊥BC ,∴∠ENM=90°,∴∠NEM=30°,∴NM=1,∴BN=4,∴BC=2BN=8(cm ),故答案为8.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.27.如图,△ABC中,AC=DC=3,BD垂直∠BAC的角平分线于D,E为AC的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________.【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=S△ADC,当CD⊥AC时,△ACD的面积最大.【详解】延长BD交AC于点H.设AD交BE于点O.∵AD⊥BH,∴∠ADB=∠ADH=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,∠H+∠HAD=90°,∵∠BAD=∠HAD,∴∠ABD=∠H,∴AB=AH,∵AD⊥BH,∴BD=DH,∵DC=CA,∴∠CDA=∠CAD,∵∠CAD+∠H=90°,∠CDA+∠CDH=90°,∴∠CDH=∠H,∴CD=CH=AC,∵AE=EC,∴S△ABE=14S△ABH,S△CDH=14S△ABH,∵S△OBD−S△AOE=S△ADB−S△ABE=S△ADH−S△CDH=S△ACD,∵AC=CD=3,∴当DC⊥AC时,△ACD的面积最大,最大面积为12×3×3=92.故填:92.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,三角形中线的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.28.如图,∠BOC=60°,点A是BO延长线上的一点,OA=10cm,动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t=_____s时,△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形,分两种情况进行讨论:点P在AO上,点P在BO上,分别计算,即可得解.【详解】当PO=QO时,△POQ是等腰三角形,如图1所示当点P在AO上时,∵PO=AO-AP=10-2t,OQ=t当PO=QO时,102t t-=解得103 t=当PO=QO时,△POQ是等腰三角形,如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10,OQ=t当PO=QO时,210t t-=解得10t=故答案为:103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题,熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.29.如图,在第1个△A1BC中,∠B=20°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,按此做法继续下去,第2019个等腰三角形的底角度数是______________.【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1,∠EA3A2及∠FA4A3的度数,找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数.【详解】解:∵在△CBA1中,∠B=20°,A1B=CB,∴∠BA1C=°180-2B∠=80°,∵A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角,∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°;同理可得∠EA3A2=(12)2×80°,∠FA4A3=(12)3×80°,∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是(12)n-1×80°.∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是(12)2018×80°,故答案为:(12)2018×80°.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠DA2A1,∠EA3A2及∠FA4A3的度数,找出规律是解答此题的关键.30.如图,正五边形ABCDE 中,对角线AC 与BE 相交于点F ,则AFE ∠=_______度.【答案】72.【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠,根据等腰三角形的性质,三角形外角的性质计算即可.【详解】解:∵五边形ABCDE 是正五边形,(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==,BA BC =,36BAC BCA ︒∴∠=∠=,同理36ABE ∠︒=,363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒===.故答案为:72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角,掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.点A 的坐标是(2,2),若点P 在x 轴或y 轴上且△APO 是等腰三角形,这样的点P 共有( )个A .6B .7C .8D .9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质,要使△AOP 是等腰三角形,可以分两种情况考虑:当OA 是底边时,作OA 的垂直平分线,和坐标轴出现2个交点;当OA 是腰时,则分别以点O 、点A 为圆心,OA 为半径画弧,和坐标轴出现6个交点,这样的点P 共8个.【详解】如图,分两种情况进行讨论:当OA 是底边时,作OA 的垂直平分线,和坐标轴的交点有2个;当OA 是腰时,以点O 为圆心,OA 为半径画弧,和坐标轴有4个交点;以点A 为圆心,OA 为半径画弧,和坐标轴出现2个交点;∴满足条件的点P 共有8个,故选:C .【点睛】本题考查了等腰三角形的定义,坐标与图形的性质,解题的关键是根据OA 为腰或底两种情况分类讨论,运用数形结合的思想进行解决.32.如图,△ABC 中,AB =AC ,且∠ABC =60°,D 为△ABC 内一点 ,且DA =DB ,E 为△ABC 外一点,BE =AB ,且∠EBD =∠CBD ,连DE ,CE. 下列结论:①∠DAC =∠DBC ;②BE ⊥AC ;③∠DEB =30°. 其中正确的是( )A .①...B .①③...C .② ...D .①②③【答案】B【解析】【分析】 连接DC,证ACD BCD DAC DBC ∠∠≅=得出①,再证BED BCD ≅,得出BED BCD 30∠∠==︒;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.【详解】解:证明:连接DC ,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ACB=60°,∵DB=DA,DC=DC,在△ACD与△BCD中,AB BC DB DA DC DC=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCD (SSS),由此得出结论①正确;∴∠BCD=∠ACD=130 2ACB∠=︒∵BE=AB,∴BE=BC,∵∠DBE=∠DBC,BD=BD,在△BED与△BCD中,BE BCDBE DBCBD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BED≌△BCD (SAS),∴∠DEB=∠BCD=30°.由此得出结论③正确;∵EC∥AD,∴∠DAC=∠ECA,∵∠DBE=∠DBC,∠DAC=∠DBC,∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1,∵BE=BA,∴BE=BC,∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1,在△BCE中三角和为180°,∴2∠1+2(60°+∠1)=180°∴∠1=15°,∴∠CBE=30,这时BE是AC边上的中垂线,结论②才正确.因此若要结论②正确,需要添加条件EC∥AD.故答案为:B.【点睛】本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质,通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.33.如图钢架中,∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A .15°≤ a <18°B .15°< a ≤18°C .18°≤ a <22.5°D .18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等,可知图中都是等腰三角形,利用等腰三角形底角一定是锐角,可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P 1P 2A=∠A=a由三角形外角性质,可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a同理可得,∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ,∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ,∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ,在△P 4P 3P 5中,∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时,不能再放钢管,∴3180890+-≤a a ,解得a ≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角,∴4a <90°,解得a <22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.34.如图所示,在等边△ABC 中,E 是AC 边的中点,AD 是BC 边上的中线,P 是AD 上的动点,若AD =3,则EP +CP 的最小值为( )A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由等边三角形的性质得,点B,C关于AD对称,连接BE交AD于点P,则EP+CP=BE最小,又BE=AD,所以EP+CP的最小值是3.故选B.点睛:本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质,求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值,常用的方法是,①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点;②连接另一个定点与对称点,与定直线的交点就是两线段和的值最小时,动点的位置.35.如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④DE=DP;⑤∠AOE=120°;其中正确结论的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE,故①正确;②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△ACP≌△BCQ (ASA),所以AP=BQ;故②正确;③根据②△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知③正确;④根据∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°,可知PD≠CD,可知④错误;⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,由平角的性质可得∠AOE=120°,可知⑤正确;【详解】①∵△ABC 和△CDE 为等边三角形∴AC =BC ,CD =CE ,∠BCA =∠DCB =60°∴∠ACD =∠BCE∴△ACD ≌△BCE (SAS )∴AD =BE ,故①正确;由(1)中的全等得∠CBE =∠DAC ,且BC =AC ,∠ACB =∠BCQ =60°∴△CQB ≌△CPA (ASA ),∴AP =BQ ,故②正确;∵△CQB ≌△CPA ,∴PC =PQ ,且∠PCQ =60°∴△PCQ 为等边三角形,∴∠PQC =∠DCE =60°,∴PQ ∥AE ,故③正确,∵∠QCP =60°,∠DPC =∠BCA +∠PAC >60°,∴PD ≠CD ,∴DE ≠DP ,故④DE =DP 错误;∵BC ∥DE ,∴∠CBE =∠BED ,∵∠CBE =∠DAE ,∴∠AOB =∠OAE +∠AEO =60°,∴∠AOE =120°,故⑤正确,故选C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,综合性较强,题目难度较大.36.如图,ABC △,AB AC =,56BAC ︒∠=,BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ,将∠C 沿EF (E 在BC 上,F 在AC 上)折叠,点C 与O 点恰好重合,则∠OEC 的度数为( )A .132︒B .130︒C .112︒D .110︒【答案】C【解析】【分析】。

八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.(1)如图1,在Rt△ABC 中,AB AC=,D、E是斜边BC上两动点,且∠DAE=45°,将△ABE绕点A逆时针旋转90后,得到△AFC ,连接DF.(1)试说明:△AED≌△AFD ;(2)当BE=3,CE=9时,求∠BCF 的度数和DE的长;(3)如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,D是斜边BC所在直线上一点,BD=3,BC=8,求DE 2的长.【答案】(1)略(2)∠BCF=90° DE=5 (3)34或130【解析】试题分析:()1由ABE AFC≌,得到AE AF=,BAE CAF∠=∠,45,EAD∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=EAD DAF∠=∠,从而得到.AED AFD≌()2由△AED AFD≌得到ED FD=,再证明90DCF∠=︒,利用勾股定理即可得出结论.()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得,14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=求出AD的长,即可求得2DE.试题解析:()1ABE AFC≌,AE AF=,BAE CAF∠=∠,45,EAD∠=90,BAC∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中,{AF AEEAF DAEAD AD,=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌,ED FD∴=,,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒,45ACF ,∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得: 5.x =故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得,1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.22234DE AD ==或130.点睛:D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.2.如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,4cm AC BC ==,点D 是斜边AB 的中点.点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动,点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动,规定当点E 到终点C 时停止运动.设运动的时间为x 秒,连接DE 、DF .(1)填空:ABC S ∆=______2cm ;(2)当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时,求证:DE DF =;(3)若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动,在点E 、点F 运动过程中,如果存在某个时间x ,使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍,请你求出时间x 的值.【答案】(1)8;(2)见解析;(3)45或4. 【解析】【分析】(1)直接可求△ABC 的面积;(2)连接CD ,根据等腰直角三角形的性质可求:∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°,即BD=CD ,且BE=CF ,即可证△CDF ≌△BDE ,可得DE=DF ;(3)分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论,根据题意列出方程可求x 的值.【详解】解:(1)∵S △ABC =12⨯AC×BC ∴S △ABC =12×4×4=8(cm 2) 故答案为:8(2)如图:连接CD∵AC=BC ,D 是AB 中点∴CD 平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依题意得:BE=CF∴在△CDF与△BDE中BE CFB DCABD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF≌△BDE(SAS)∴DE=DF(3)如图:过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,∵AD=BD,∠A=∠B=45°,∠AND=∠DMB=90°∴△ADN≌△BDM(AAS)∴DN=DM当S△ADF=2S△BDE.∴12×AF×DN=2×12×BE×DM∴|4-3x|=2x∴x1=4,x2=45综上所述:x=45或4【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,全等三角形的性质和判定,利用分类思想解决问题是本题的关键.3.如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,他们的运动时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由(2)判断此时线段PC和线段PQ的关系,并说明理由。

八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,在ABC 中,45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高,连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ,G 为BE 中点,连接AF ,DG .(1)如图1,若点F 与点G 重合,求证:AF DF ⊥;(2)如图2,请写出AF 与DG 之间的关系并证明.【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析.【解析】【分析】(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出.【详解】解:(1)证明:设BE 与AD 交于点H..如图,∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高,∴∠BEA=∠ADB=90°.∵∠ABC=45°,∴△ABD 是等腰直角三角形.∴AD=BD.∵∠AHE=∠BHD,∴∠DAC=∠DBH.∵∠ADB=∠FDE=90°,∴∠ADE=∠BDF.∴△DAE ≌△DBF.∴BF=AE,DF=DE.∴△FDE是等腰直角三角形.∴∠DFE=45°.∵G为BE中点,∴BF=EF.∴AE=EF.∴△AEF是等腰直角三角形.∴∠AFE=45°.∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.(2)AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,∵点G为BE的中点,BG=GE.∵∠BGM∠EGD,∴△BGM≌△EGD.∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.∵∠DAC=∠DBE,∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,∴∠BDF=45°-∠DBE.∵∠ADE=∠BDF,∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.∵BD=AD,∴△BDM≌△DAF.∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.∵∠BDM+∠MDA=90°,∴∠MDA+∠FAD=90°.∴∠AHD=90°.∴AF⊥DG.∴AF=2DG,且AF⊥DG【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.2.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴,y轴于A(a,0),B(0,b),且满足a2+b2+4a﹣8b+20=0.(1)求a,b的值;(2)点P在直线AB的右侧;且∠APB=45°,①若点P在x轴上(图1),则点P的坐标为;②若△ABP为直角三角形,求P点的坐标.【答案】(1)a=﹣2,b=4;(2)①(4,0);②P点坐标为(4,2),(2,﹣2).【解析】【分析】(1)利用非负数的性质解决问题即可.(2)①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.②分两种情形:如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.分别利用全等三角形的性质解决问题即可.【详解】(1)∵a2+4a+4+b2﹣8b+16=0∴(a+2)2+(b﹣4)2=0∴a=﹣2,b=4.(2)①如图1中,∵∠APB=45°,∠POB=90°,∴OP=OB=4,∴P(4,0).故答案为(4,0).②∵a=﹣2,b=4∴OA=2OB=4又∵△ABP为直角三角形,∠APB=45°∴只有两种情况,∠ABP=90°或∠BAP=90°①如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.∴∠PCB=∠BOA=90°,又∵∠APB=45°,∴∠BAP=∠APB=45°,∴BA=BP,又∵∠ABO+∠OBP=∠OBP+∠BPC=90°,∴∠ABO=∠BPC,∴△ABO≌△BPC(AAS),∴PC=OB=4,BC=OA=2,∴OC=OB﹣BC=4﹣2=2,∴P(4,2).②如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.∴∠PDA=∠AOB=90°,又∵∠APB=45°,∴∠ABP=∠APB=45°,∴AP=AB,又∵∠BAD+∠DAP=90°,∠DPA+∠DAP=90°,∴∠BAD=∠DPA,∴△BAO≌△APP(AAS),∴PD=OA=2,AD=OB=4,∴OD=AD﹣0A=4﹣2=2,∴P(2,﹣2).综上述,P点坐标为(4,2),(2,﹣2).【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.3.已知:平面直角坐标系中,点A(a,b)的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16=0.(1)如图1,求证:OA是第一象限的角平分线;(2)如图2,过A作OA的垂线,交x轴正半轴于点B,点M、N分别从O、A两点同时出发,在线段OA上以相同的速度相向运动(不包括点O和点A),过A作AE⊥BM交x轴于点E,连BM、NE,猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图3,F是y轴正半轴上一个动点,连接FA,过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E,连接EF,过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H,过点H作HK⊥x轴于点K,求2HK+EF的值.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)8【解析】【分析】(1)过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M、N,则AN=AM,根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论;(2)如图2,过A作AH平分∠OAB,交BM于点H,则△AOE≌△BAH,可得AH=OE,由已知条件可知ON=AM,∠MOE=∠MAH,可得△ONE≌△AMH,∠ABH=∠OAE,设BM 与NE交于K,则∠MKN=180°﹣2∠ONE=90°﹣∠NEA,即2∠ONE﹣∠NEA=90°;(3)如图3,过H作HM⊥OF,HN⊥EF于M、N,可证△FMH≌△FNH,则FM=FN,同理:NE=EK,先得出OE+OF﹣EF=2HK,再由△APF≌△AQE得PF=EQ,即可得OE+OF=2OP=8,等量代换即可得2HK+EF的值.【详解】解:(1)∵|a﹣b|+b2﹣8b+16=0∴|a﹣b|+(b﹣4)2=0∵|a﹣b|≥0,(b﹣4)2≥0∴|a﹣b|=0,(b﹣4)2=0∴a=b=4过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M、N,则AN=AM∴OA 平分∠MON即OA 是第一象限的角平分线(2)过A 作AH 平分∠OAB ,交BM 于点H∴∠OAH =∠HAB =45°∵BM ⊥AE∴∠ABH =∠OAE 在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ==∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩, ∴△AOE ≌△BAH (ASA )∴AH =OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩=, ∴△ONE ≌△AMH (SAS )∴∠AMH =∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN =180°﹣2∠ONE =90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA =90°(3)过H 作HM ⊥OF ,HN ⊥EF 于M 、N可证:△FMH ≌△FNH (SAS )∴FM =FN同理:NE =EK∴OE+OF ﹣EF =2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ,AQ ⊥x 轴于Q可证:△APF ≌△AQE (SAS )∴PF =EQ∴OE+OF =2OP =8∴2HK+EF =OE+OF =8本题考查非负数的性质,平面直角坐标系中点的坐标,等腰直角三角形,全等三角形的判定和性质.4.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm , BC=12 cm ,点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts .(1)PC=___cm ;(用含t 的式子表示)(2)当t 为何值时,△ABP ≌△DCP ?.(3)如图2,当点P 从点B 开始运动,此时点Q 从点C 出发,以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动,是否存在这样的v 值,使得某时刻△ABP 与以P ,Q ,C 为顶点的直角三角形全等?若存在,请求出v 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)()122t -;(2)3t =;(3)存在,2v =或53v =【解析】【分析】(1)根据P 点的运动速度可得BP 的长,再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长; (2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ,列方程求解即得;(3)先分两种情况:当BP=CQ ,AB=PC 时,△ABP ≌△PCQ ;或当BA=CQ ,PB=PC 时,△ABP ≌△QCP ,然后分别列方程计算出t 的值,进而计算出v 的值.【详解】解:(1)当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =∵12BC cm =∴()122PC BC BP t cm =-=-故答案为:()122t -(2)∵ABP DCP ∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =.(3)存在,理由如下:①当BP=CQ ,AB=PC 时,△ABP ≌△PCQ ,∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7∴CQ=BP=7,则3.5v=7解得2v =.②当BA CQ =,PB PC =时,ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm =∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t =解得3t =∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm ==∴35v =解得53v =. 综上所述,当2v =或53v =时,ABP ∆与以P ,Q ,C 为顶点的直角三角形全等. 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.5.操作发现:如图,已知△ABC 和△ADE 均为等腰三角形,AB =AC ,AD =AE ,将这两个三角形放置在一起,使点B ,D ,E 在同一直线上,连接CE .(1)如图1,若∠ABC =∠ACB =∠ADE =∠AED =55°,求证:△BAD ≌△CAE ;(2)在(1)的条件下,求∠BEC 的度数;拓广探索:(3)如图2,若∠CAB =∠EAD =120°,BD =4,CF 为△BCE 中BE 边上的高,请直接写出EF 的长度.【答案】(1)见解析;(2)70°;(3)2【解析】【分析】(1)根据SAS 证明△BAD ≌△CAE 即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证△BAD ≌△CAE ,推出EC=BD=4,由∠BEC=∠BAC=120°,推出∠FCE=30°即可【详解】(1)证明:如图1中,∵∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED,∴∠EAD=∠CAB,∴∠EAC=∠DAB,∵AE=AD,AC=AB,∴△BAD≌△CAE(SAS).(2)解:如图1中,设AC交BE于O.∵∠ABC=∠ACB=55°,∴∠BAC=180°﹣110°=70°,∵△BAD≌△CAE,∴∠ABO=∠ECO,∵∠EOC=∠AOB,∴∠CEO=∠BAO=70°,即∠BEC=70°.(3)解:如图2中,∵∠CAB=∠EAD=120°,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠BAD=∠ACE,BD=EC=4,同理可证∠BEC=∠BAC=120°,∴∠FEC=60°,∵CF⊥EF,∴∠F=90°,∴∠FCE=30°,∴EF =12EC =2. 【点睛】 本题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)6.如图,在ABC ∆中,CE 为三角形的角平分线,AD CE ⊥于点F 交BC 于点D (1)若9628BAC B ︒︒∠=∠=,,直接写出BAD ∠= 度(2)若2ACB B ∠=∠,①求证:2AB CF =②若 ,CF a EF b ==,直接写出BD CD= (用含 ,a b 的式子表示)【答案】(1)34;(2)①见详解;②2b a b- 【解析】【分析】 (1)由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案;(2)①证明B BCE ∠=∠,得出BE=CE ,过点A 作//AH BC 交CE 与点H ,则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠,得出AH=AC ,H EAH ∠=∠,得出AE=HE ,由等腰三角形的性质可得出HF=CF ,即可得出结论;②证明AHF DCF ≅,得出AH=DC ,求出HF=CF=a ,HE=HF-EF=a-b ,CE=a+b ,由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+,进而得出结论. 【详解】 解:(1)∵9628BAC B ︒︒∠=∠=,,∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒,∵CE 为三角形的角平分线,∴1282ACE ACB ∠=∠=︒, ∵AD CE ⊥,∴902862CAF ∠=︒-︒=︒,∴966234BAD ∠=︒-︒=︒.故答案为:34;(2)①证明:∵22ACB B BCE∠=∠=∠∴B BCE∠=∠∴BE CE=过点A作//AH BC交CE与点H,如图所示:则,H BCE ACE EAH B∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC,H EAH∠=∠∴AE=HE∵AD CE⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF;②在AHF△和DCF中,H DCFHF CFAFH DFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF≅∴AH=DC∵,CF a EF b==∴HF CF a==,由①得AE HE HF EF a b==-=-,BE CE a b==+∵//AH BC∴AH AE a bBC BE a b-==+∴CD a bBC a b-=+∴2BD bCD a b=-.故答案为:2ba b-.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等,掌握以上知识点是解此题的关键.7.如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE.(1)求∠CAM的度数;(2)若点D在线段AM上时,求证:△ADC≌△BEC;(3)当动D在直线..AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断∠AOB是否为定值?并说明理由.【答案】(1)30°;(2)答案见解析;(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD,根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC;(3)分情况讨论:当点D在线段AM上时,如图1,由(2)可知△ACD≌△BCE,就可以求出结论;当点D在线段AM的延长线上时,如图2,可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论;当点D在线段MA的延长线上时,如图3,通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论.【详解】(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵线段AM为BC边上的中线,∴∠CAM12=∠BAC,∴∠CAM=∠BAM=30°.(2)∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD =∠BCE.在△ADC和△BEC中,∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCE(SAS);(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°.理由如下:①当点D 在线段AM 上时,如图1,由(2)可知△ACD ≌△BCE ,则∠CBE =∠CAD =30°,又∠ABC =60°,∴∠CBE +∠ABC =60°+30°=90°.∵△ABC 是等边三角形,线段AM 为BC 边上的中线,∴AM 平分∠BAC ,即11603022BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒,∴∠BOA =90°﹣30°=60°.②当点D 在线段AM 的延长线上时,如图2. ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形,∴AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =60°,∴∠ACB +∠DCB =∠DCB +∠DCE ,∴∠ACD =∠BCE .在△ACD 和△BCE 中,∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△BCE (SAS ),∴∠CBE =∠CAD =30°. 由(1)得:∠BAM =30°,∴∠BOA =90°﹣30°=60°. ③当点D 在线段MA 的延长线上时. ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形,∴AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =60°,∴∠ACD +∠ACE =∠BCE +∠ACE =60°,∴∠ACD =∠BCE .在△ACD 和△BCE 中,∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△BCE (SAS ),∴∠CBE =∠CAD . 由(1)得:∠CAM =30°,∴∠CBE =∠CAD =150°,∴∠CBO =30°,∠BAM =30°,∴∠BOA =90°﹣30°=60°.综上所述:当动点D 在直线AM 上时,∠AOB 是定值,∠AOB =60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用,直角三角形的性质的运用,等式的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.8.如图,在平面直角坐标系中,点B 坐标为()6,0-,点A 是y 轴正半轴上一点,且10AB =,点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点,设点P 的坐标为()0m ,.(1)点A 的坐标为___________;(2)当ABP △是等腰三角形时,求P 点的坐标;(3)如图2,过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ,连接OE ,若点A 关于直线OE 的对称点为A ',当点A '恰好落在直线PE 上时,BE =_____________.(直接写出答案) 【答案】(1)()0,8;(2)()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭;(3)425【解析】 【分析】(1)根据勾股定理可以求出AO 的长,则可得出A 的坐标; (2)分三种情况讨论等腰三角形的情况,得出点P 的坐标; (3)根据PE AB ⊥,点A '在直线PE 上,得到EAGOPG ,利用点A ,A '关于直线OE 对称点,根据对称性,可证'OPG EAO ,可得'8OP OA ,82AP,设BE x =,则有6AE x ,根据勾股定理,有:22222BP BE EP AP AE解之即可. 【详解】解:(1)∵点B 坐标为6,0,点A 是y 轴正半轴上一点,且10AB =,∴ABO 是直角三角形,根据勾股定理有:22221068AOAB BO ,∴点A 的坐标为()0,8; (2)∵ABP △是等腰三角形, 当BPAB 时,如图一所示:OP BP BO,∴1064∴P点的坐标是()4,0;=时,如图二所示:当AP ABOP BO∴6∴P点的坐标是()6,0;=时,如图三所示:当AP BP设OP x =,则有6AP x∴根据勾股定理有:222OP AO AP += 即:22286x x解之得:73x =∴P 点的坐标是7,03; (3)当ABP △是钝角三角形时,点A '不存在; 当ABP △是锐角三角形时,如图四示:连接'OA ,∵PE AB ⊥,点A '在直线PE 上,∴AEG △和GOP 是直角三角形,EGAOGP∴EAGOPG ,∵点A ,A '关于直线OE 对称点, 根据对称性,有'8OA OA ,'EAEA∴'FAO FAO,'FAE FAE∴'EAGEAO则有:'OPG EAO∴'AOP 是等腰三角形,则有'8OP OA ,∴22228882APAO OP ,设BE x ,则有6AE x ,根据勾股定理,有:22222BP BE EP AP AE 即:2222688210x x解之得:425BE x【点睛】本题考查了三角形的综合问题,涉及的知识点有:解方程,等腰三角形的判定与性质,对称等知识点,能分类讨论,熟练运用各性质定理,是解题的关键.9.如图1,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =12BC ,点D 为BC 的中点,AB =DE ,BE ∥AC . (1)求证:△ABC ≌△DEB ; (2)连结AD 、AE 、CE ,如图2. ①求证:CE 是∠ACB 的角平分线;②请判断△ABE 是什么特殊形状的三角形,并说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②△ABE 是等腰三角形,理由详见解析. 【解析】 【分析】(1)由AC//BE ,∠ACB=90°可得∠DBE=90°,由AC=12BC ,D 是BC 中点可得AC=BD ,利用HL 即可证明△ABC ≌△DEB ;(2)①由(1)得BE=BC ,由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°,进而可得∠ACE=45°,即可得答案;②根据SAS 可证明△ACE ≌△DCE ,可得AE=DE ,由AB=DE 可得AE=AB 即可证明△ABE 是等腰三角形. 【详解】(1)∵∠ACB=90°,BE ∥AC ∴∠CBE=90°∴△ABC 和△DEB 都是直角三角形∵AC=12BC,点D为BC的中点∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB(H.L.)(2)①由(1)得:△ABC≌△DEB∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分线②△ABE是等腰三角形,理由如下:在△ACE和△DCE中AC DCACE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCE(SAS).∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质,熟练掌握判定定理是解题关键.10.如图,已知ABC ∆()AB AC BC <<,请用无刻度直尺和圆规,完成下列作图(不要求写作法,保留作图痕迹):(1)在边BC 上找一点M ,使得:将ABC ∆沿着过点M 的某一条直线折叠,点B 与点C 能重合,请在图①中作出点M ;(2)在边BC 上找一点N ,使得:将ABC ∆沿着过点N 的某一条直线折叠,点B 能落在边AC 上的点D 处,且ND AC ⊥,请在图②中作出点N . 【答案】(1)见详解;(2)见详解. 【解析】 【分析】(1)作线段BC 的垂直平分线,交BC 于点M ,即可;(2)过点B 作BO ⊥BC ,交CA 的延长线于点O ,作∠BOC 的平分线交BC 于点N ,即可. 【详解】(1)作线段BC 的垂直平分线,交BC 于点M ,即为所求.点M 如图①所示: (2)过点B 作BO ⊥BC ,交CA 的延长线于点O ,作∠BOC 的平分线交BC 于点N ,即为所求.点N 如图②所示:【点睛】本题主要考查尺规作图,掌握尺规作线段的中垂线和角平分线,是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积时,可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++.请回答下列问题:(1)写出图2中所表示的数学等式是 ;(2)如图3,用四块完全相同的长方形拼成正方形,用不同的方法,计算图中阴影部分的面积,你能发现什么?(用含有x ,y 的式子表示) ; (3)通过上述的等量关系,我们可知: 当两个正数的和一定时,它们的差的绝对值越小,则积越 (填“ 大”“或“小”);当两个正数的积一定时,它们的差的绝对值越小,则和越 (填“ 大”或“小”).【答案】(1)22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++;(2)22()()4x y x y xy +=-+;(3)大 小 【解析】 【分析】(1)图2面积有两种求法,可以由长为2a+b ,宽为a+2b 的矩形面积求出,也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形,及4个长为a ,宽为b 的矩形面积之和求出,表示即可; (2)阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出,也可以由4个长为x ,宽为y 的矩形面积之和求出,表示出即可;(3)两正数和一定,则和的平方一定,根据等式224()()xy x y x y =+--,得到被减数一定,差的绝对值越小,即为减数越小,得到差越大,即积越大;当两正数积一定时,即差一定,差的绝对值越小,得到减数越小,可得出被减数越小; 【详解】(1)看图可知,22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++ (2)22()()4x y x y xy +=-+(3)当两个正数的和一定时,它们的差的绝对值越小则积越大;当两个正数的积一定时,它们的差的绝对值越小则和越小. 【点睛】本题考点:整式的混合运算,此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.12.阅读材料:若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0,求m 、n 的值.解:∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0,∴(m 2﹣2mn+n 2)+(n 2﹣8n+16)=0∴(m ﹣n )2+(n ﹣4)2=0,∴(m ﹣n )2=0,(n ﹣4)2=0,∴n=4,m=4.根据你的观察,探究下面的问题:(1)已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0,求xy 的值;(2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0,求△ABC 的最大边c 的值;(3)已知a ﹣b=8,ab+c 2﹣16c+80=0,求a+b+c 的值.【答案】(1)9;(2)△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10;(3)8.【解析】试题分析:(1)直接利用配方法得出关于x ,y 的值即可求出答案;(2)直接利用配方法得出关于a ,b 的值即可求出答案;(3)利用已知将原式变形,进而配方得出答案.试题解析:(1)∵x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0,∴(x 2﹣2xy+y 2)+(y 2+6y+9)=0,∴(x ﹣y )2+(y+3)2=0,∴x ﹣y=0,y+3=0,∴x=﹣3,y=﹣3,∴xy=(﹣3)×(﹣3)=9,即xy 的值是9.(2)∵a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0,∴(a 2﹣10a+25)+(b 2﹣12b+36)=0,∴(a ﹣5)2+(b ﹣6)2=0,∴a ﹣5=0,b ﹣6=0,∴a=5,b=6,∵6﹣5<c <6+5,c≥6,∴6≤c <11,∴△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10.(3)∵a ﹣b=8,ab+c 2﹣16c+80=0,∴a (a ﹣8)+16+(c ﹣8)2=0,∴(a ﹣4)2+(c ﹣8)2=0,∴a ﹣4=0,c ﹣8=0,∴a=4,c=8,b=a ﹣8=4﹣8=﹣4,∴a+b+c=4﹣4+8=8,即a+b+c 的值是8.13.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释,例如:图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+,实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.(1)图B 可以解释的代数恒等式是 ;(2)现有足够多的正方形和矩形卡片(如图C ),试画出..一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形(每两块纸片之间既不重叠,也无空隙,拼出的图中必须保留拼图的痕迹),使该矩形的面积为2223a ab b ++,并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解.【答案】(1)2222()a ab a a b +=+;(2)()()22232a ab b a b a b ++=++ 【解析】试题分析:(1)根据图所示,可以得到长方形长为2a ,宽为a+b ,面积为:2a (a+b ),或四个小长方形和正方形面积之和;(2)①根据题意,可以画出相应的图形然后完成因式分解.试题解析:(1)()2222a ab a a b +=+ (2)①根据题意,可以画出相应的图形,如图所示②因式分解为:()()22232a ab b a b a b ++=++14.阅读以下文字并解决问题:对于形如222x ax a ++这样的二次三项式,我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式,但对于二次三项式2627x x +-,就不能直接用公式法分解了。

八年级数学上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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八年级数学上册全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放,如果∠1=40°,∠2=50°,那么∠ 3的度数等于______________.【答案】12°【解析】等边三角形的内角的度数是60°,正方形的内角度数是90°,正五边形的内角的度数是108°,则∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=12°.点睛:本题考查的是多边形的内角,熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键.2.如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度.【答案】360 °【解析】如图所示,根据三角形外角的性质可得,∠1+∠5=∠8,∠4+∠6=∠7,根据四边形的内角和为360°,可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°,即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.点睛:本题考查的知识点:(1)三角形的内角和外角之间的关系:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和;(2)四边形内角和定理:四边形内角和为360°.3.中国人民银行近期下发通知,决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示,则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为_______.【答案】45°【解析】【分析】根据正多边形的外角度数等于外角和除以边数可得.【详解】∵硬币边缘镌刻的正多边形是正八边形,∴它的外角的度数等于360÷8=45°.故答案为45°.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理,任何一个多边形的外角和都是360°.4.如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F,∠A=60°,则∠BFC=______.【答案】120【解析】【分析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=12∠ABC、∠BCF=12∠ACB,再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数.【详解】∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F,∴∠CBF=12∠ABC,∠BCF=12∠ACB.∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°,∴∠BFC=180°﹣(∠CBF+BCF)=180°﹣12(∠ABC+∠ACB)=120°.故答案为120°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理,根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键.5.如图,AB ∥CD ,∠ABE =66°,∠D =54°,则∠E =____度.【答案】12【解析】【分析】利用三角形的外角与内角的关系及平行线的性质可直接解答.【详解】∵ AB ∥CD ,∴ ∠BFC =∠ABE =66°.在△EFD 中,利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,得到∠BFC =∠E +∠D , ∴ ∠E =∠BFC -∠D =12°.故答案是:12.【点睛】本题考查了三角形外角与内角的关系及平行线的性质,比较简单.6.将直角三角形(ACB ∠为直角)沿线段CD 折叠使B 落在B '处,若50ACB '︒∠=,则ACD ∠度数为________.【答案】20°.【解析】【分析】根据翻折的性质可知:∠BCD=∠B′CD ,又∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°,继而即可求出∠BCD 的值,又∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°,继而即可求出∠ACD 的度数.【详解】解:∵△B′CD 时由△BCD 翻折得到的,∴∠BCD=∠B′CD,又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°,∴∠BCD=70°,又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°,∴∠ACD=20°.故答案为:20°.【点睛】本题考查翻折变换的知识,难度适中,解题关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.二、八年级数学三角形选择题(难)7.如图,小明从A点出发,沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了()A.80米B.160米C.300米D.640米【答案】A【解析】【分析】利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数,即可求出多边形的边数,即可解决问题.【详解】解:由题意可知,小明第一次回到出发地A点时,他一共转了360 ,由题意得10°+20° +30°+40°+50°+60°+70°+80°=360°,所以共转了8次,每次沿直线前进10米,所以一共走了80米.故选:A.【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题,注意多边形的外角和是360︒,要注意第一次转了10°,第二次转了20°,第三次转了30°……,利用好规律解题.8.如图,△ABC 中,E 是 AC 的中点,延长 BC 至 D ,使 BC :CD =3:2,以 CE ,CD 为邻边做▱CDFE ,连接 AF,BE,BF ,若△ABC 的面积为 9,则阴影部分面积是( )A .6B .4C .3D .2 【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线性质结合三角形面积去解答.【详解】 解:在ABC 中,E 是 AC 的中点,S ABC 9=, BC :CD =3:2▱CDFE 中,CD=EF1S BCE 4.52S ABC ∴== 设BCE 的高为1h , ABC 的高为2.h11S BCE 4.52BC h ∴=⨯⨯= 13h = 12:1:2h h =26h ∴=S AEF S EFB s ∴=+阴()2111122EF h h EF h =⨯⨯-+⨯⨯ 212EF h =⨯⨯ 1262=⨯⨯ 6.=【点睛】此题重点考察学生对三角形中位线和面积的理解,熟练掌握三角形面积计算方法是解题的关键.9.如图,三角形ABC 内的线段,BD CE 相交于点O ,已知OB OD =,2OC OE =.若BOC的面积=2,则四边形AEOD的面积等于()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】连接AO,利用等高不等底的三角形面积比等于底长的比,可求出△COD与△BOE的面积.列出关于△AOE与△AOD的面积的方程即可求出四边形AEOD的面积.【详解】连接OA,∵OB=OD,∴S△BOC=S△COD=2,∵OC=2OE,∴S△BOE=12S△BOC=1,∵OB=OD,∴S△AOB=S△AOD,∴S△BOE+S△AOE=S△AOD,即:1+S△AOE=S△AOD①,∵OC=2OE,∴S△AOC=2S△AOE,∴S△AOD+S△COD=2S△AOE,即:S△AOD+2=2S△AOE②,联立①和②:解得:S△AOE=3,S△AOD=4,S四边形AEOD=S△AOE+S△AOD=7,【点睛】本题考查三角形面积问题,涉及方程组的解法,注意灵活运用等高不等底的三角形面积比等于底长的比这一结论.10.下列多边形中,不能够单独铺满地面的是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【答案】C【解析】【分析】由镶嵌的条件知,在一个顶点处各个内角和为360°.【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°,360°÷60°=6,即6个正三角形可以铺满地面一个点,∴正三角形可以铺满地面;∵正方形的内角=360°÷4=90°,360°÷90°=4,即4个正方形可以铺满地面一个点,∴正方形可以铺满地面;∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°,360°÷108°≈3.3,∴正五边形不能铺满地面;∵正六边形的内角=180°-360°÷6=120°,360°÷120°=3,即3个正六边形可以铺满地面一个点,∴正六边形可以铺满地面.故选C.【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是:围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.11.已知三角形的两边分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差,而小于两边之和”,求得第三边的取值范围;再根据第三边是整数,从而求得周长.【详解】设第三边为x,根据三角形的三边关系,得:4-1<x<4+1,即3<x<5,∵x为整数,∴x的值为4.三角形的周长为1+4+4=9.故选C.此题考查了三角形的三边关系.关键是正确确定第三边的取值范围.12.如图,把三角形纸片ABC 沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 外部时,则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是( )A .212A ∠=∠-∠B .32(12)A ∠=∠-∠C .3212A ∠=∠-∠D .12A ∠=∠-∠【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可得∠A′=∠A ,根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,用∠2与∠A′表示出∠3,然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解.【详解】如图所示:∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到,∴∠A′=∠A ,又∵∠ADA′=180°-∠1,∠3=∠A′+∠2,∵∠A+∠ADA′+∠3=180°,即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°,整理得,2∠A=∠1-∠2.故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质,根据折叠的性质,平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.将一副三角板按如图所示的方式摆放,其中△ABC为含有45°角的三角板,直线AD 是等腰直角三角板的对称轴,且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点,DM、DN 分别交AB、AC于点E、F.则下列四个结论:①BD=AD=CD;②△AED≌△CFD;③BE+CF=EF;④S四边形AEDF=14BC2.其中正确结论是_____(填序号).【答案】①②【解析】分析:根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD,∠CAD=∠B=45°,故①正确;根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE,然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF,判断出②,根据全等三角形的对应边相等,可得DE=DF=AF=AE,利用三角形的任意两边之和大于第三边,可得BE+CF>EF,判断出③,根据全等三角形的面积相等,可得S△ADF=S△BDE,从而求出四边形AEDF的面积,判断出④.详解:∵∠B=45°,AB=AC∴点D为BC的中点,∴AD=CD=BD故①正确;由AD⊥BC,∠BAD=45°可得∠EAD=∠C∵∠MDN是直角∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°∴∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF(ASA)故②正确;∴DE=DF,AE=CF,∴AF=BE∴BE+AE=AF+AE∴AE+AF>EF故③不正确;由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE∴S 四边形AEDF =S △ACD =12×AD×CD=12×12BC×12BC=18BC 2, 故④不正确.故答案为①②. 点睛:此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质,以及三角形的三边关系,关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.14.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD ⊥AC 于D ,下列四个结论:①EF =BE +CF ;②∠BOC =90°+12∠A ; ③点O 到△ABC 各边的距离相等; ④设OD =m ,AE +AF =n ,则AEF S mn ∆=.其中正确的结论是____.(填序号)【答案】①②③【解析】 【分析】由在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,根据角平分线的定义与三角形的内角和定理,即可求出②∠BOC =90°+12∠A 正确;由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO 和△CFO 是等腰三角形可得①EF =BE +CF 正确;由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等,故③正确;由角平分线定理与三角形的面积求法,设OD=m ,AE+AF=n,则△AEF 的面积=12mn ,④错误. 【详解】在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A , ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB )=90°,故②∠BOC =90°+12∠A 正确; 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC=∠EOB ,∠OCB=∠OCF ,∵EF∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,即①EF=BE+CF正确;过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于点N,连接AO,∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,即③点O到△ABC各边的距离相等正确;∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·(AE+AF)=12mn,故④错误;故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质,解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.15.如图,P为等边△ABC内一点,∠APC=150°,且∠APD=30°,AP=6,CP=3,DP=7,则BD的长为______.【答案】34【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB,连接EP,由全等三角形的性质可得CE=CP,∠ECB=∠PCA,∠CEB=∠CPA=150°,BE=AP=6,结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°,进而证明△ECP为等边三角形,由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°,最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB,连接EP,∴CE=CP,∠ECB=∠PCA,∠CEB=∠CPA=150°,BE=AP=6,∵等边△ABC,∴∠ACP+∠PCB=60°,∴∠ECB +∠PCB =60°,即∠ECP =60°,∴△ECP 为等边三角形,∴∠CPE =∠CEP =60°,PE =6,∴∠DEB =90°,∵∠APC =150°,∠APD =30°,∴∠DPC =120°,∴∠DPE =180°,即D 、P 、E 三点共线,∴ED =3+7=10,∴BD =22DE BE +=234.故答案为234.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定,运用旋转构造全等三角形是解题的关键.16.如图,△ABC 是等边三角形,AE =CD ,AD 、BE 相交于点P ,BQ ⊥DA 于Q ,PQ =3,EP =1,则DA 的长是________.【答案】7【解析】试题解析:∵△ABC 为等边三角形,∴AB=CA ,∠BAE=∠ACD=60°;又∵AE=CD ,在△ABE 和△CAD 中,AB CA BAE ACD AE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== ∴△ABE ≌△CAD ;∴BE=AD ,∠CAD=∠ABE ;∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°;∵BQ ⊥AD ,∴∠AQB=90°,则∠PBQ=90°-60°=30°;∵PQ=3,∴在Rt △BPQ 中,BP=2PQ=6;又∵PE=1,∴AD=BE=BP+PE=7.故答案为7.17.如图,在△ABC 中,AC=BC ,∠ACB=90°,M 是AB 边上的中点,点D 、E 分别是AC 、BC 边上的动点,连接DM 、ME 、CM 、DE, DE 与CM 相交于点F 且∠DME=90°.则下列5个结论: (1)图中共有两对全等三角形;(2)△DEM 是等腰三角形; (3)∠CDM=∠CFE ;(4)AD 2+BE 2=DE 2;(5)四边形CDME 的面积发生改变.其中正确的结论有( )个.A .2B .3C .4D .5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质,三角形内角和定理,得出:△AMC ≌△BMC 、△AMD ≌△CME 、△CMD ≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME 得出△DEM 是等腰三角形,及∠CDM=∠CFE ,再逐个判断222AD +BE =DE CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 即可得出结论.【详解】解:如图在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,M 为AB 中点,AB=BC∴AM=CM=BM ,∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°,∠AMC=∠BMC=90°∵∠DME=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3,∠2=∠4在△AMC 和△BMC 中AM=BM MC MC AC BC ⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AMC ≌△BMC在△AMD 和△CME 中A=MCE AM=CM 1=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△AMD ≌△CME在△CDM 和△BEMDCM=B CM=BM 2=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CMD ≌△CME共有3对全等三角形,故(1)错误∵△AMD ≌△BME∴DM=ME∴△DEM 是等腰三角形,(2)正确∵∠DME=90°.∴∠EDM=∠DEM=45°,∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°,∴∠EDM=∠3+∠DEM=∠3+45°,∴∠CDM=∠CFE,故(3)正确在Rt △CED 中,222CE CD DE +=∵CE=AD ,BE=CD∴222AD +BE =DE 故(4)正确(5)∵△ADM ≌△CEM∴ADM CEM S =S △△ ∴CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 不变,故(5)错误 故正确的有3个故选:B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键.18.AD、BE是△ABC的高,这两条高所在的直线相交于点O,若BO=AC,则∠ABC=______.【答案】45°或135°【解析】【分析】分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况,利用AAS证明△BOD≌△ACD,可得BD=AD,根据等腰直角三角形的性质即可得答案.【详解】①如图,当△ABC为锐角三角形时,∵AD、BE为△ABC的两条高,∴∠CAD+∠AOE=90°,∠CBE+∠BOD=90°,∵∠BOD=∠AOE,∴∠CAD=∠OBD,又∵∠ODB=∠ADC=90°,OB=AC,∴△BOD≌△ACD,∴AD=BD,∵AD⊥BC,∴∠ABC=45°,②如图,当∠B为钝角时,∵∠C+∠CAD=90°,∠O+∠CAD=90°,∴∠C=∠O,又∵∠ADC=∠ODB=90°,OB=AC,∴△BOD≌△ACD,∴BD=AD,∵AD⊥BC,∴∠ABD=45°,∴∠ABC=180°-45°=135°.③如图,当∠A为钝角时,同理可证:△BOD≌△ACD,∴AD=BD.∴∠ABC=45°,④如图,当∠C为钝角时,同理可证:△BOD≌△ACD,∴AD=BD.∴∠ABC=45°.⑤当∠B为直角时,点O、D、B重合,OB=0,不符合题意,当∠C为直角时,点O、C、D、E重合,CD=0,不符合题意,如图,当∠A为直角时,点A、E、O重合,∵OB=AC,∠CAB=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.综上所述:∠ABC 的度数为45°或135°.故答案为:45°或135°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,全等三角形的判定方法有:SSS 、AAS 、ASA 、SAS 、HL 等,注意:SAS 时,角必须是两边的夹角,SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.如图,ABC ∆中,45ABC ∠=,CD AB ⊥于D ,BE 平分ABC ∠,且BE AC ⊥于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连接DH 与BE 相交于点G ,下列结论正确的有( )个①BF AC =;②12AE BF =;③67.5A ∠=;④DGF ∆是等腰三角形;⑤ADGE GHCE S S =四边形四边形.A .5个B .4个C .3个D .2个【答案】B【解析】【分析】 只要证明△BDF ≌△CDA ,△BAC 是等腰三角形,∠DGF =∠DFG =67.5°,即可判断①②③④正确,作GM ⊥BD 于M ,只要证明GH <DG 即可判断⑤错误.【详解】∵CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,∴∠BDC =∠ADC =∠AEB =90°,∴∠A +∠ABE =90°,∠ABE +∠DFB =90°,∴∠A =∠DFB ,∵∠ABC =45°,∠BDC =90°,∴∠DCB =90°−45°=45°=∠DBC ,∴BD =DC ,在△BDF 和△CDA 中BDF CDA A DFBBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===, ∴△BDF ≌△CDA (AAS ),∴BF =AC ,故①正确.∵∠ABE =∠EBC =22.5°,BE ⊥AC ,∴∠A =∠BCA =67.5°,故③正确,∴BA =BC ,∵BE ⊥AC ,∴AE =EC =12AC =12BF ,故②正确, ∵BE 平分∠ABC ,∠ABC =45°,∴∠ABE =∠CBE =22.5°,∵∠BDF =∠BHG =90°,∴∠BGH =∠BFD =67.5°,∴∠DGF =∠DFG =67.5°,∴DG =DF ,故④正确.作GM ⊥AB 于M .∵∠GBM =∠GBH ,GH ⊥BC ,∴GH =GM <DG ,∴S △DGB >S △GHB ,∵S △ABE =S △BCE ,∴S 四边形ADGE <S 四边形GHCE .故⑤错误,∴①②③④正确,故选:B .【点睛】此题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积等知识点的综合运用,第五个问题难度比较大,添加辅助线是解题关键,属于中考选择题中的压轴题.20.如图,在△ABC中,AB=BC,90ABC∠=︒,点D是BC的中点,BF⊥AD,垂足为E,BF交AC于点F,连接DF.下列结论正确的是()A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠3=∠4 D.∠4=∠5【答案】A【解析】【分析】如图,过点C作BC的垂线,交BF的延长线于点G,则CG BC⊥,先根据直角三角形两锐角互余可得BAD CBG∠=∠,再根据三角形全等的判定定理与性质推出1G∠=∠,又根据三角形全等的判定定理与性质推出3G∠=∠,由此即可得出答案.【详解】如图,过点C作BC的垂线,交BF的延长线于点G,则CG BC⊥,即90BCG∠=︒,90AB BC ABC=∠=︒45BAC ACB∠∴∠==︒904545GCF BCG ACB∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BF AD⊥1190BAD CBG∴∠+∠=∠+∠=︒BAD CBG∴∠=∠在BAD∆和CBG∆中,90BAD CBGAB BCABD BCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()BAD CBG ASA∴∆≅∆,1BD CG G∴=∠=∠点D是BC的中点CD BD CG∴==在CDF∆和CGF∆中,45CD CGDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDF CGF SAS∴∆≅∆3G∴∠=∠13∠∠∴=故选:A .【点睛】本题是一道较难的综合题,考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点,通过作辅助线,构造两个全等的三角形是解题关键.21.已知:如图,ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形,且CA CB =,CD CE =,ACB DCE α∠=∠=,AD 、BE 相交于点O ,点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论:①AD BE =;②180DOB α∠=-;③CMN ∆是等边三角形;④连OC ,则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论,故可判断; ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ,故可判断;③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ,∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状;④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,根据ACD BCE ≅△△,可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ,故可判断.【详解】①正确,理由如下:∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确;②正确,理由如下:由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确;③错误,理由如下:∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知,AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ,∠ACM=∠BCN ,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形,故③错误;④正确,理由如下:如图所示,在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP,∴CEO CDP(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP,∴∠COP=∠COE,即OC平分∠AOE,故④正确;故答案为:B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形内角和定理和外角定理,等边三角形的判定,根据已知条件作出正确的辅助线,找出全等三角形是解题的关键.22.如图,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D,AD交CB于点P,CF交AB的延长线于点F,过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G,交AB的延长线于点E,连接CE并延长交FG于点H,则下列结论:①∠CDA=45°;②AF-CG=CA;③DE=DC;④FH=CD+GH;⑤CF=2CD+EG;其中正确的有()A.①②④B.①②③C.①②④⑤D.①②③⑤【答案】D【解析】试题解析:①利用公式:∠CDA=12∠ABC=45°,①正确;②如图:延长GD与AC交于点P',由三线合一可知CG=CP',∵∠ADC=45°,DG⊥CF,∴∠EDA=∠CDA=45°,∴∠ADP=∠ADF,∴△ADP'≌△ADF(ASA),∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG,故②正确;③如图:∵∠EDA=∠CDA,∠CAD=∠EAD,从而△CAD≌△EAD,故DC=DE,③正确;④∵BF⊥CG,GD⊥CF,∴E为△CGF垂心,∴CH⊥GF,且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形,∴2CD,故④错误;⑤如图:作ME⊥CE交CF于点M,则△CEM为等腰直角三角形,从而CD=DM,CM=2CD,EM=EC,∵∠MFE=∠CGE,∠CEG=∠EMF=135°,∴△EMF≌△CEG(AAS),∴GE=MF,∴CF=CM+MF=2CD+GE,故⑤正确;故选D点睛:本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点,技巧性很强,难度较大,要求学生具有较高的几何素养.对于这一类多个结论的判断型问题,熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键,比如对第一个结论的判定,若熟悉该模型则可以秒杀.23.如图,BD是∠ABC的角平分线,AD⊥AB,AD=3,BC=5,则△BCD的面积为()A.7.5 B.8 C.10D.15【答案】A【解析】作DE⊥BC于E,根据角平分线的性质,由BD是∠ABC的角平分线,AD⊥AB,DE⊥BC,求出DE=DA=3,根据三角形面积公式计算S△BCD=12×BC×DE=7.5,故选:A.24.如图,在△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R、S,若AQ=PQ,PR=PS,则下列四个结论:①PA平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP,其中结论正确的的序号为()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】A【解析】【分析】根据角平分线性质即可推出②,根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP∥AB即可;没有条件证明△BRP≌△QSP.【详解】试题分析:解:∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠A的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,∴∠SAP =∠RAP ,在Rt△ARP 和Rt△ASP 中,由勾股定理得:AR 2=AP 2﹣PR 2,AS 2=AP 2﹣PS 2,∵AP =AP ,PR =PS ,∴AR =AS ,∴②正确;∵AQ =QP ,∴∠QAP =∠QPA ,∵∠QAP =∠BAP ,∴∠QPA =∠BAP ,∴QP ∥AR ,∴③正确;没有条件可证明△BRP ≌△QSP ,∴④错误;连接RS ,∵PR =PS ,∵PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,∴点P 在∠BAC 的角平分线上,∴PA 平分∠BAC ,∴①正确.故答案为①②③.故选A.点睛:本题考查了等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,平行线的性质和判定,角平分线性质的应用,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.如图,在四边形ABCD 中,BC CD = ,对角线BD 平分ADC ∠,连接AC ,2ACB DBC ∠=∠,若4AB =,10BD =,则ABC S =_________________.【答案】10【解析】【分析】 由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ,然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ,可得CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠,然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ,可得CF=DE ,再根据三角形的面积公式计算即得结果.【详解】解:∵BC CD =,∴∠CBD =∠CDB ,∵BD 平分ADC ∠,∴∠ADB =∠CDB ,∴∠CBD =∠ADB ,∴AD ∥BC ,∴∠CAD =∠ACB ,∵2ACB DBC ∠=∠,2ADC BDC ∠=∠,∠CBD =∠CDB ,∴ACB ADC ∠=∠,∴CAD ADC ∠=∠,∴CA=CD ,∴CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,则152DE BD ==,12BCF ACB ∠=∠, ∵12BDC ADC ∠=∠,ACB ADC ∠=∠,∴BCF CDE ∠=∠, 在△BCF 和△CDE 中,∵BCF CDE ∠=∠,∠BFC =∠CED =90°,CB=CD ,∴△BCF ≌△CDE (AAS ),∴CF=DE =5,∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识,涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.26.如图所示,ABC 为等边三角形,P 是ABC 内任一点,PD AB ,PE BC ∥,PF AC ∥,若ABC 的周长为12cm ,则PD PE PF ++=____cm .【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形,△AHE和△AHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可.【详解】∥解:∵PD AB,PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∥∵PE BC∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE是等边三角形,∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键.27.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,6.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______.【答案】363【解析】【分析】分若AE =AM 则∠AME =∠AEM =45°;若AE =EM ;若MA =ME 则∠MAE =∠AEM =45°三种情况讨论解答即可;【详解】解:①若AE =AM 则∠AME =∠AEM =45°∵∠C =45°∴∠AME =∠C又∵∠AME >∠C∴这种情况不成立;②若AE =EM∵∠B =∠AEM =45°∴∠BAE+∠AEB =135°,∠MEC+∠AEB =135°∴∠BAE =∠MEC在△ABE 和△ECM 中,B BAE CENAE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△ECM (AAS ),∴CE =AB 6,∵AC =BC 2AB =3∴BE =36;③若MA =ME 则∠MAE =∠AEM =45°∵∠BAC =90°,∴∠BAE =45°∴AE 平分∠BAC∵AB =AC ,∴BE =12BC =3. 故答案为23﹣6或3.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键.28.如图,在等边ABC ∆中取点P 使得PA ,PB ,PC 的长分别为3, 4, 5,则APC APB S S ∆∆+=_________.【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ,由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ,连接PD ,根据旋转的性质知△APD 是等边三角形,利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形,∠BPD =90︒,由△ADB ≌△APC 得S △ADB =S △APC ,则有S △APC +S △APB =S △ADB +S △APB =S △ADP +S △BPD ,根据等边三角形的面积为边长平方的34倍和直角三角形的面积公式即可得到S △ADP +S △BPD =332+12×3×4=936+. 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ,连接PD∴AD =AP ,∠DAP =60︒,又∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60︒,AB=AC,∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP,∴∠DAB=∠PAC,又AB=AC,AD=AP∴△ADB≌△APC∵DA=PA,∠DAP=60︒,∴△ADP为等边三角形,在△PBD中,PB=4,PD=3,BD=PC=5,∵32+42=52,即PD2+PB2=BD2,∴△PBD为直角三角形,∠BPD=90︒,∵△ADB≌△APC,∴S△ADB=S△APC,∴S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S△BPD=3×32+12×3×4=936+.故答案为:936+.【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定,解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解.29.在下列结论中:①有三个角是60︒的三角形是等边三角形;②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形;③有一个角是60︒,且是轴对称的三角形是等边三角形;④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形.其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义,含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形,故①正确;外角是1200时,邻补角为600,即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形,故②正确;轴对称的三角形是等腰三角形,且含有一个600角,因此是等边三角形,故③正确;一腰上的高也是中线,故底边等于腰长,所以此三角形是等边三角形,故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法,熟记方法才能熟练运用.30.如图, 在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则线段B′F 的长为_________【答案】85【解析】【分析】 首先根据折叠可得CD=AC=6,B′C=BC=8,∠ACE=∠DCE ,∠BCF=∠B′CF ,CE ⊥AB ,然后求得△ECF 是等腰直角三角形,进而求得∠B′FD=90°,CE=EF=4.8,由勾股定理求出AE ,得出BF 的长,即 B′F 的长.【详解】解:根据折叠的性质可知:DE=AE ,∠ACE=∠DCE ,∠BCF=∠B′CF ,CE ⊥AB ,B′F=BF ,∴B′D=8-6=2,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF ,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,∴△ECF 是等腰直角三角形,∴EF=CE ,∠EFC=45°,∴∠BFC=∠B′FC=135°,∴∠B′FE=90°,∵S △ABC =12AC•BC=12AB•CE , ∴AC•BC=AB•CE , ∵根据勾股定理得:22226810ABAC BC ∴ 4.8AC BC CE AB⋅==∴EF=4.8,22 3.6AE AC EC =-=∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=85,故答案是:85.【点睛】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换的性质,由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.已知:如图,点D ,E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上,AE 与BD 相交于点F ,给出下面四个条件:①∠1=∠2;②AD=BE ;③AF=BF ;④DF=EF ,从这四个条件中选取两个,不能判定△ABC 是等腰三角形的是( )A .①②B .①④C .②③D .③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可.【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,关键是熟练地运用定理进行推理,是一道开放性的题目,能培养学生分析问题的能力.32.如图,等腰 Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,∠ABC 的平分线分别交 AC ,AD 于E ,F ,点M 为 EF 的中点,AM 的延长线交 BC 于N ,连接 DM ,NF ,EN .下列结论:①△AFE 为等腰三角形;②△BDF ≌△ADN ;③NF 所在的直线垂直平分AB ;④DM 平分∠BMN ;⑤AE =EN =NC ;⑥AE BN EC BC=.其中正确结论的个数是( )A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】D【解析】【分析】。

人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题

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人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题一、单选题1.下列选项中的四个标志中,是轴对称图形的是( )A .B .C .D .2.一个多边形少算一个内角,其余内角之和是1500°,则这个多边形的边数是( ) A .8 B .9 C .10 D .113.已知点()11,5P a -和2(2,1)Pb -关于x 轴对称,则2013()a b +的值为( ) A .0 B .1- C .1 D .()20113- 4.如图,点E 在AC 上,则A B C D DEB ∠+∠+∠+∠+∠的度数是( )A .90°B .180°C .270°D .360° 5.已知ABC DCB V V ≌,若10BC =,6AB =,7AC =,则CD =( )A .10B .7C .6D .6或7 6.如图,已知ABC V 中,ABC ACB ∠∠=,以点B 为圆心,AB 长为半径的弧分别交AC ,BC 于点D ,E ,连接BD ,ED ,若105CED ∠=︒,求ABC ∠的度数为( )度A .80B .70C .60D .507.ABC V 中,090A B C θαθθααθ∠=-∠=∠=+︒<<<︒,,,.若BAC ∠与BCA ∠的平分线相交于P 点,则APC ∠=( )A .90°B .105°C .120°D .150°8.如图,在△ABC 中,∠ACD =20°,∠B =45°,BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ,则∠A 的度数是( )A .60°B .65°C .70°D .75°9.下图的方格纸中有若干个点,若A 、B 两点关于过某点的直线对称,这个点可能是().A .P 1B .P 2C .P 3D .P 410.在平面直角坐标系中,点A 的坐标是()1,0,点B 的坐标是(),点C 在坐标平面内,以A ,B ,C 为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为30°,则满足条件的点C 的个数为( )A .3B .4C .5D .6二、填空题11.ABC V 中,30A ∠=︒,高BE ,CF 所在的直线交于点O ,BOC ∠的度数是. 12.AD 为ABC V 的中线,AE 为ABC V 的高,ABD △的面积为14,7,2AE CE ==则DE 的长为.13.如图,△AFD 和△CEB ,点A 、E 、F 、C 同一直线上,在给出的下列条件中,①AE =CF ,②∠D =∠B ,③AD =CB ,④DF BE ∥,选出三个条件可以证明AFD CEB △≌△的是.(用序号表示,写出一种即可).14.如图,在△ABC 中,AB=AC ,AD 是BC 边上的高,点E 、F 是AD 的三等分点,若△ABC 的面积为12,则图中△BEF 的面积为.15.如图,等边△ABC 的边长为4,AD 是BC 边上的中线,F 是AD 边上的动点,E 是AC 边上一点,若AE =2,当EF+CF 取得最小值时,则∠BCF 的度数为.三、解答题16.如图,在ABC V 中,AB AC =,点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上,且13BCD ACB ∠=∠,13CBE ABC ∠=∠.求证:BE CD =.17.如图,在66⨯的方格纸中,线段AB 的两个端分别落在格点上,请按要求画图:(1)在图1中画一个格点四边形APBQ ,且AB 与PQ 垂直.(2)在图2中画一个以AB 为中位线的格点DEF V .18.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,点F 在射线CA 上,且BD=FD .(1)当点F 在线段CA 上时.①求证:BE=CF ;②若AC=6,AF=2,求CD 的长; (2)若∠ADF=15°,求∠BAC 的度数.19.如图,在ABC V 中,BO 平分ABC ∠,CO 平分ACB ∠,过点O 作BC 的平行线与AB ,AC 分别相交于点M ,N .若5AB =,6AC =,求AMN V 的周长.20.已知:如图,AC ∥DF ,AC =DF ,AB =DE .求证:(1)△ABC ≌△DEF ;(2)BC ∥EF .21.如图,ABC V 中,11AB =,5AC =,BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线DG 相交于点D ,过点D 分别作DE AB ⊥,DF AC ⊥,垂足分别为E 、F ,求BE 的长度.22.如图,CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线,点A 关于CN 的对称点为D ,连接AD ,BD ,CD ,其中AD ,BD 分别交射线CN 于点E ,P .(1)依题意补全图形;(2)若∠ACN =α,求∠BDC 的大小(用含α的式子表示);(3)用等式表示线段PB ,PC 与PE 之间的数量关系,并证明.23.如图,ABC V 中,点O 为AC 边上的一个动点,过点O 作直线MN BC ∥,设MN 交BCA ∠的外角平分线CF 于点F ,交ACB ∠内角平分线CE 于E .(1)试说明EO OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下猜想ABCV满足什么条件能使四边形AECF是正方形,并证明你的结论.。

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图1所示,已知点D 在AC 上,ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形,点M 为EC 的中点.(1)求证:BMD ∆为等腰直角三角形;(2)将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒,如图2所示,(1)中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立?请说明理由;(3)将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度,如图3所示,(1)中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗?请说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)是,证明详见解析;(3)成立,证明详见解析.【解析】【分析】()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==,90ADE EBC EDC ∠∠∠===,推出BM DM =,BM CM =,DM CM =,推出BCM MBC ∠∠=,ACM MDC ∠∠=,求出22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可.()2延长ED 交AC 于F ,求出12DM FC =,//DM FC ,DEM NCM ∠=,根据ASA 推出EDM ≌CNM ,推出DM BM =即可.()3过点C 作//CF ED ,与DM 的延长线交于点F ,连接BF ,推出MDE ≌MFC ,求出DM FM =,DE FC =,作AN EC ⊥于点N ,证BCF ≌BAD ,推出BF BD =,DBA CBF ∠∠=,求出90DBF ∠=,即可得出答案.【详解】()1证明:ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,45ACB BAC ∠∠∴==,90ADE EBC EDC ∠∠∠===点M 为EC 的中点,12BM EC ∴=,12DM EC =, BM DM ∴=,BM CM =,DM CM =,BCM MBC ∠∠∴=,DCM MDC ∠∠=,2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=,同理2DME ACM∠∠=,22224590 BMD BCM ACM BCA∠∠∠∠∴=+==⨯= BMD∴是等腰直角三角形.()2解:如图2,BDM是等腰直角三角形,理由是:延长ED交AC于F,ADE和ABC△是等腰直角三角形,45BAC EAD∠∠∴==,AD ED⊥,ED DF∴=,M为EC中点,EM MC∴=,12DM FC∴=,//DM FC,45BDN BND BAC∠∠∠∴===,ED AB⊥,BC AB⊥,//ED BC∴,DEM NCM∠∴=,在EDM和CNM中DEM NCMEM CMEMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩EDM∴≌()CNM ASA,DM MN∴=,BM DN∴⊥,BMD∴是等腰直角三角形.()3BDM是等腰直角三角形,理由是:过点C作//CF ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,可证得MDE ≌MFC ,DM FM ∴=,DE FC =,AD ED FC ∴==,作AN EC ⊥于点N ,由已知90ADE ∠=,90ABC ∠=,可证得DEN DAN ∠∠=,NAB BCM ∠∠=,//CF ED ,DEN FCM ∠∠∴=,BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=, BCF ∴≌BAD ,BF BD ∴=,DBA CBF ∠∠=,90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==,DBF ∴是等腰直角三角形,点M 是DF 的中点,则BMD 是等腰直角三角形,【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质的应用,在本题中需要作辅助线来证明,难度较大.2.(1)如图1,在Rt △ABC 中,AB AC =,D 、E 是斜边BC 上两动点,且∠DAE=45°,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后,得到△AFC ,连接DF .(1)试说明:△AED ≌△AFD ;(2)当BE=3,CE=9时,求∠BCF 的度数和DE 的长;(3)如图2,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,D 是斜边BC 所在直线上一点,BD=3,BC=8,求DE 2的长.【答案】(1)略(2)∠BCF=90° DE=5 (3)34或130【解析】试题分析:()1由ABE AFC ≌, 得到AE AF =,BAE CAF ∠=∠,45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠,从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌得到ED FD =,再证明90DCF ∠=︒,利用勾股定理即可得出结论.()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得,1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长,即可求得2DE .试题解析:()1ABE AFC ≌,AE AF =,BAE CAF ∠=∠,45,EAD ∠=90,BAC ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即45.DAF ∠=在AED 和AFD 中,{AF AEEAF DAE AD AD ,=∠=∠=.AED AFD ∴≌()2AED AFD ≌,ED FD ∴=,,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒,45ACF ,∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得: 5.x =故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得,14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=22217AD AH DH=+=或65.22234DE AD==或130.点睛:D是斜边BC所在直线上一点,注意分类讨论.3.如图,AB=12cm,AC⊥AB,BD⊥AB ,AC=BD=9cm,点P在线段AB上以3 cm/s的速度,由A向B运动,同时点Q在线段BD上由B向D运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当运动时间t=1(s),△ACP与△BPQ 是否全等?说明理由,并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;(2)将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,其他条件不变.若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能使△ACP与△BPQ全等.(3)在图2的基础上延长AC,BD交于点E,使C,D分别是AE,BE中点,若点Q以(2)中的运动速度从点B出发,点P以原来速度从点A同时出发,都逆时针沿△ABE三边运动,求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.【答案】(1)△ACP≌△BPQ,理由见解析;线段PC与线段PQ垂直(2)1或32(3)9s 【解析】【分析】(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;(2)由△ACP≌△BPQ,分两种情况:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.(3)因为V Q<V P,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程,据此列出方程,解这个方程即可求得.【详解】(1)当t=1时,AP=BQ=3,BP=AC=9,又∵∠A=∠B=90°,在△ACP与△BPQ中,AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACP ≌△BPQ (SAS ),∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,∠CPQ=90°,则线段PC 与线段PQ 垂直.(2)设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ,则AC=BP ,AP=BQ ,912t t xt =-⎧⎨=⎩, 解得31t x =⎧⎨=⎩, ②若△ACP ≌△BPQ ,则AC=BQ ,AP=BP ,912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩, 综上所述,存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. (3)因为V Q <V P ,只能是点P 追上点Q ,即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程,设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇,∵AC=BD=9cm ,C ,D 分别是AE ,BD 的中点;∴EB=EA=18cm.当V Q =1时,依题意得3x=x+2×9,解得x=9;当V Q =32时, 依题意得3x=32x+2×9, 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.4.如图①,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AE 是过A 点的一条直线,且B 、C 在AE 的异侧,BD AE ⊥于D ,CE AE ⊥于E .(1)求证:BD DE CE =+.(2)若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时(BD CE <),其余条件不变,问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予以证明.【答案】(1)见解析;(2)BD=DE-CE ,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ,AD=CE ,因为AE=AD+DE ,所以BD=DE+CE ;(2)根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ,AD=CE ,因为AD+AE=BD+CE ,所以BD=DE-CE .【详解】解:(1)∵∠BAC=90°,BD ⊥AE ,CE ⊥AE ,∴∠BDA=∠AEC=90°,∵∠ABD+∠BAE=90°,∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE ,∵AB=AC ,在△ABD 和△CAE 中,BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE (AAS ),∴BD=AE ,AD=CE ,∵AE=AD+DE ,∴BD=DE+CE ;(2)BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ,理由如下:∵∠BAC=90°,BD ⊥AE ,CE ⊥AE ,∴∠BDA=∠AEC=90°,∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ,∴∠ABD=∠CAE ,∵AB=AC ,在△ABD 和△CAE 中,BDA AECABD CAEAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∴AD+AE=BD+CE,∵DE=BD+CE,∴BD=DE-CE.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质,常用的判定方法有SSS,SAS,AAS,HL等.这种类型的题目经常考到,要注意掌握.5.如图1,在ABC∆中,90ACB∠=,AC BC=,直线MN经过点C,且AD MN⊥于点D,BE MN⊥于点E.易得DE AD BE=+(不需要证明).(1)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,其余条件不变,你认为上述结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时DE AD BE、、之间的数量关系,并说明理由;(2)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,其余条件不变,请直接写出此时DE AD BE、、之间的数量关系(不需要证明).【答案】(1) 不成立,DE=AD-BE,理由见解析;(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE.由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE,证得△ACD≌△CBE,得到AD=CE,CD=BE,即有DE=AD-BE;(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD.证明的方法与(1)一样.【详解】(1)不成立.DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE,理由如下:如图,∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,AC CB =,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE ,在△ACD 和△CBE 中,90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△CBE(AAS),∴AD=CE ,CD=BE ,∴DE=CE-CD=AD-BE ;(2)结论:DE=BE-AD .∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,AC CB =,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE ,在△ACD 和△CBE 中,90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC ≌△CEB(AAS),∴AD=CE ,DC=BE ,∴DE=CD-CE=BE-AD .【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质,旋转前后两图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图1).△ABD不动,(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图2),证明:MB=MC.(2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC (图3),判断并直接写出MB、MC的数量关系.(3)在(2)中,若∠CAE的大小改变(图4),其他条件不变,则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗?说明理由.【答案】(1)见解析;(2)MB=MC.理由见解析;(3)MB=MC还成立,见解析.【解析】【分析】(1)连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE,AB=AC,全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE,再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE,然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)延长DB、AE相交于E′,延长EC交AD于F,根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′,然后求出MB∥AE′,再根据两直线平行,内错角相等求出∠MBC=∠CAE,同理求出MC∥AD,根据两直线平行,同位角相等求出∠BCM=∠BAD,然后求出∠MBC=∠BCM,再根据等角对等边即可得证;(3)延长BM交CE于F,根据两直线平行,内错角相等可得∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE,然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等,根据全等三角形对应边相等可得MB=MF,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可.【详解】(1)如图(2),连接AM,由已知得△ABD≌△ACE,∴AD=AE,AB=AC,∠BAD=∠CAE.∵MD=ME,∴∠MAD=∠MAE,∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE,即∠BAM=∠CAM.在△ABM和△ACM中,AB=AC,∠BAM=∠CAM,AM=AM,∴△ABM≌△ACM(SAS),∴MB=MC.(2)MB=MC.理由如下:如图(3),延长CM交DB于F,延长BM到G,使得MG=BM,连接CG.∵CE∥BD,∴∠MEC=∠MDF,∠MCE=∠MFD.∵M是ED的中点,∴MD=ME.在△MCE和△MFD中,∠MCE=∠MFD,∠MEC=∠MDF,MD=ME,∴△MCE≌△MFD(AAS).∴MF=MC.∴在△MFB和△MCG中,MF=MC,∠FMB=∠CMG,BM=MG,∴△MFB≌△MCG(SAS).∴FB=GC,∠MFB=∠MCG,∴CG∥BD,即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.在△FBC和△GCB中,FB=GC,∠FBC=∠GCB,BC=CB,∴△FBC≌△GCB(SAS).∴FC=GB.∴MB=12GB=12FC=MC.(3)MB=MC还成立.如图(4),延长BM交CE于F,延长CM到G,使得MG=CM,连接BG.∵CE∥BD,∴∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE.又∵M是DE的中点,∴MD=ME.在△MDB和△MEF中,∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE,MD=ME,∴△MDB≌△MEF(AAS),∴MB=MF.∵CE∥BD,∴∠FCM=∠BGM.在△FCM和△BGM中,CM=MG,∠CMF=∠GMB,MF=MB,∴△FCM≌△BGM(SAS).∴CF=BG,∠FCM=∠BGM.∴CF//BG,即D、B、G在同一条直线上.在△CFB 和△BGC 中,CF =BG ,∠FCB =∠GBC ,CB =BC ,∴△CFB ≌△BGC (SAS ).∴BF =CG .∴MC =12CG =12BF =MB . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,等角对等边的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,以及三角形的中位线定理,综合性较强,但难度不大,作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键.7.已知:AD 是ABC ∆的高,且BD CD =.(1)如图1,求证:BAD CAD ∠=∠;(2)如图2,点E 在AD 上,连接BE ,将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆,'A B 与AC 相交于点F ,若BE=BC ,求BFC ∠的大小;(3)如图3,在(2)的条件下,连接EF ,过点C 作CG EF ⊥,交EF 的延长线于点G ,若10BF =,6EG =,求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.【答案】(1)见解析,(2)BFC ∠=60(3)8=CF .【解析】【分析】(1)根据等腰三角形三线合一,易得AB=AC ,BAD CAD ∠=∠; (2)在图2中,连接CE ,可证得BCE ∆是等边三角形,60BEC ∠= ,30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠,可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=;(3)连接CE ,过点E 分别作EH AB ⊥于点H ,EM BF ⊥于点M ,EN AC ⊥于点N ,可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆,BM CN =,BF FM CF CN -=+,可得线段CF 的长.【详解】解:(1)证明:如图1,AD BC ⊥,BD CD =AB AC ∴=BAD CAD ∴∠=∠;图1(2)解:在图2中,连接CEED BC ⊥,BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由(1)可知2FAB BAE ∠=∠BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=图2(3)解:连接CE ,过点E 分别作EH AB ⊥于点H ,EM BF ⊥于点M ,EN AC ⊥于点N'ABE A BE ∠=∠,BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=在Rt EFM ∆中,906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=令FM m =,则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=-同理12FN EF m ==,2124CF FG m ==- 在Rt BEM ∆和Rt CEN ∆中,EM EN =,BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴∆≅∆ BM CN ∴=BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+解得1m = 8CF ∴=图3故答案为(1)见解析,(2)BFC ∠= 60(3)8CF =.【点睛】本题考查翻折的性质,涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点,属于较难的题型.8.定义:如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且AD=BD=BC,求∠A的大小;(2)在图1中过点C作一条线段CE,使BD,CE是△ABC的三分线;在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(3)在△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC 边上,且AD=BD,DE=CE,请直接写出∠C所有可能的值.【答案】(1)∠A=36°;(2)如图所示:见解析;(3)如图所示:见解析;∠C为20°或40°的角.【解析】【分析】(1)利用等边对等角得到三对角相等,设∠A=∠ABD=x,表示出∠BDC与∠C,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可确定出∠A的度数.(2)根据(1)的解题过程作出△ABC的三等分线;45°自然想到等腰直角三角形,过底角一顶点作对边的高,发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形;第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角,则另一底角被分为45°和22.5°,再以22.5°作为等腰三角形的底角,易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形;(3)用量角器,直尺标准作30°角,而后确定一边为BA,一边为BC,根据题意可以先固定BA的长,而后可确定D点,再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边,兼顾A、E、C 在同一直线上,易得2种三角形ABC;根据图形易得∠C的值;【详解】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵BD=BC=AD,∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC,设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=2x,∠C=180?-x2,可得2x =180?-x 2, 解得:x =36°,则∠A =36°;(2)根据(1)的解题过程作出△ABC 的三等分线,如图1;由45°自然想到等腰直角三角形,有两种情况,①如图2,过底角一顶点作对边的高,形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形;②如图3,以一底角作为新等腰三角形的底角,则另一底角被分为45°和22.5°,再以22.5°作为等腰三角形的底角,易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形;(3)如图4所示:①当AD =AE 时,∵2x +x =30°+30°,∴x =20°;②当AD =DE 时,∵30°+30°+2x +x =180°,∴x =40°;综上所述,∠C 为20°或40°的角.【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.9.已知如图1,在ABC ∆中,AC BC =,90ACB ∠=,点D 是AB 的中点,点E 是AB 边上一点,直线BF 垂直于直线CE 于点F ,交CD 于点G .(1)求证:AE CG =.(2)如图2,直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M,求证:BE CM=.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先根据点D是AB中点,∠ACB=90°,可得出∠ACD=∠BCD=45°,判断出△AEC≌△CGB,即可得出AE=CG;(2)根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,再根据AC=BC,∠ACM=∠CBE=45°,得出△BCE≌△CAM,进而证明出BE=CM.【详解】(1)∵点D是AB中点,AC=BC,∠ACB=90°,∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,∴∠CAD=∠CBD=45°,∴∠CAE=∠BCG.又∵BF⊥CE,∴∠CBG+∠BCF=90°.又∵∠ACE+∠BCF=90°,∴∠ACE=∠CBG.在△AEC和△CGB中,∵CAE BCGAC BCACE CBG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AEC≌△CGB(ASA),∴AE=CG;(2)∵CH⊥HM,CD⊥ED,∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,∴∠CMA=∠BEC.在△BCE和△CAM中,BEC CMAACM CBEBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE≌△CAM(AAS),∴BE=CM.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.10.八年级的小明同学通到这样一道数学题目:△ABC为边长为4的等边三角形,E是边AB边上任意一动点,点D在CB的延长线上,且满足AE=BD.(1)如图①,当点E 为AB 的中点时,DE = ;(2)如图②,点E 在运动过程中,DE 与EC 满足什么数量关系?请说明理由;(3)如图③,F 是AC 的中点,连接EF .在AB 边上是否存在点E ,使得DE +EF 值最小?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.(直角三角形中,30°所对的边是斜边的一半)【答案】(1)23;(2)DE =CE ,理由见解析;(3)这个最小值为27;【解析】【分析】(1)如图①,过点E 作EH ⊥BC 于H ,由等边三角形的性质可得BE =DB =AE =2,由直角三角形的性质可求BH =1,EH 3=,由勾股定理可求解;(2)如图②,过E 作EF ∥BC 交AC 于F ,可证△AEF 是等边三角形,AE =EF =AF =BD ,由“SAS ”可证△DBE ≌△EFC ,可得DE =CE ;(3)如图③,将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC ',连接C 'F 交AB 于点E ',连接CE ',DE ',过点F 作FH ⊥AC '于点H ,由“SAS ”可证△ACE '≌△AC 'E ',可得C 'E '=CE ',可得当点C ',点E ',点F 三点共线时,DE +EF 的值最小,由勾股定理可求最小值.【详解】(1)如图①,过点E 作EH ⊥BC 于H ,∵△ABC 为边长为4的等边三角形,点E 是AB 的中点,∴AE =BE =2=DB ,∠ABC =60°,且EH ⊥BC ,∴∠BEH =30°,∴BH =1,EH 3=3=∴DH =DB +BH =2+1=3,∴DE 2293DH EH =+=+=23故答案为:3(2)DE =CE.理由如下:如图②,过E 作EF ∥BC 交AC 于F .∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°,AB =AC =BC.∵EF ∥BC ,∴∠AEF =∠ABC =60°,∠AFE =∠ACB =60°,∴∠AEF =∠AFE =∠A =60°,∴△AEF 是等边三角形,∴AE =EF =AF ,∴AB ﹣AE =AC ﹣AF ,∴BE =CF.∵∠ABC =∠ACB =∠AFE =60°,∴∠DBE =∠EFC =120°,且AE =EF =DB ,BE =CF ,∴△DBE ≌△EFC (SAS),∴DE =CE ,(3)如图③,将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC ',连接C 'F 交AB 于点E ',连接CE ',DE ',过点F 作FH ⊥AC '于点H.∵将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC ',∴AC =AC '=BC =BC '=4,∠BAC =∠BAC '=60°,且AE '=AE ',∴△ACE '≌△AC 'E '(SAS),∴C 'E '=CE ',由(2)可知:DE '=CE ',∴C 'E '=CE '=DE '.∵DE +EF =C 'E +EF =C 'E '+EF ,∴当点C ',点E ',点F 三点共线时,DE +EF 的值最小.∵F 是AC 的中点,∴AF =CF =2,且HF ⊥AC ',∠FAH =180°﹣∠CAB ﹣∠C 'AB =60°,∴AH =1,HF 3=3=∴C 'H =4+1=5,∴C 'F 22'253C H HF =+=+=27,∴DE +EF 的最小值为27.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,折叠的性质,添加恰当辅助线是解答本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)(1)观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是______;(2)根据(1)中的结论,若5x y +=,94x y ⋅=,则x y -=______; (3)拓展应用:若22(2019)(2020)7m m -+-=,求(2019)(2020)m m --的值.【答案】(1)22()()4a b a b ab +=-+;(2)4,-4:(3)-3【解析】【分析】(1)观察图2,大正方形由4个矩形和一个小正方形组成,根据面积即可得到他们之间的关系.(2)由(1)的结论可得(x-y) ²=16,然后利用平方根的定义求解即可.(3)从已知等式的左边看,左边配成两数和的平方来求解.【详解】解:(1)由题可得,大正方形的面积2()a b =+,大正方形的面积2()4a b ab =-+,∴22()()4a b a b ab +=-+,(2)∵22()()4x y x y xy +=-+, ∴229()()4254164x y x y xy -=+-=-⨯=, ∴4x y -=或-4,(3)∵22(2019)(2020)7m m -+-=,又2(20192020)m m -+-22(2019)(2020)2(2019)(2020)m m m m =-+-+-- ∴172(2019)(2020)m m =+--∴(2019)(2020)3m m --=-故答案为:(1)22()()4a b a b ab +=-+;(2) 4,-4:(3)-3【点睛】本题通过观察图形发现规律,并运用规律求值,使问题简单化是解题关键.12.先阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等,其中十字相乘法在高中应用较多.十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图),如:将式子232x x ++和223x x +-分解因式,如图:()()23212x x x x ++=++;()()223123x x x x +-=-+.请你仿照以上方法,探索解决下列问题:(1)分解因式:2712y y ;(2)分解因式:2321x x --.【答案】(1)(x ﹣3)(x ﹣4);(2)(x ﹣1)(3x+1).【解析】【分析】(1)将1分成1乘以1,12分成-3乘以-4,交叉相乘的结果为-7,即可得到答案; (2)将3分成1乘以3,-1分成-1乘以1,由此得到分解因式的结果.【详解】(1)y 2﹣7y+12=(x ﹣3)(x ﹣4);(2)3x 2﹣2x ﹣1=(x ﹣1)(3x+1).【点睛】此题考查十字相乘法分解因式,将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘,交叉相乘的结果相加得到一次项的系数,能准确分解因数是解题的关键.13.观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=-()()324 111,x x x x x -+++=-()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算:201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++ 【答案】(1)1n x -;(2)311-5;(3)2020213-- 【解析】【分析】(1)归纳总结得到一般性规律,即可得到结果;(2)根据一般性结果,将n=31,x=5代入(1)中即可;(3)将代数式适当变形为(1)的形式,根据前面总结的规律即可计算出结果.【详解】(1)根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -,故填:1n x -;(2)由(1)可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+ =201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+ =2020(2)13--- =2020213-- 【点睛】本题考查整式的乘法,能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键,(3)中能对整式适当变形是解题关键,但需注意变形时要为等量变形.14.对于任意两个数a 、b 的大小比较,有下面的方法:当0a b ->时,一定有a b >;当0a b -=时,一定有a b =;当0a b -<时,一定有a b <.反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.请根据以上材料完成下面的题目:(1)已知:228A x y y =+,8B xy =,且A B >,试判断y 的符号;(2)已知:a 、b 、c 为三角形的三边,比较222a c b +-和2ac 的大小.【答案】(1)y >0;(2)222a c b +-<2ac【解析】【分析】(1)根据题意得到22880x y y xy +->,因式分解得到22(2)0y x ->,进而得到y 的符号即可;(2)将222a c b +-和2ac 作差,结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求.【详解】解:(1)因为A >B ,所以A-B >0,即22880x y y xy +->,∴222(44)2(2)0y x x y x +-=->,因为2(2)0x -≥,∴y >0(2)因为a 2−b 2+c 2−2ac =a 2+c 2−2ac−b 2=(a−c )2−b 2=(a−c−b )(a−c +b ), ∵a +b >c ,a <b +c ,所以(a−c−b )(a−c +b )<0,所以a 2−b 2+c 2−2ac 的符号为负.∴222a c b +-<2ac【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解,解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小,并熟练掌握因式分解的方法.15.材料阅读:若一个整数能表示成a 2+b 2(a 、b 是正整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如:因为13=32+22,所以13是“完美数”;再如:因为a 2+2ab +2b 2=(a +b)2+b 2(a 、b 是正整数),所以a 2+2ab +2b 2也是“完美数”.(1)请你写出一个大于20小于30的“完美数”,并判断53是否为“完美数”;(2)试判断(x 2+9y 2)·(4y 2+x 2)(x 、y 是正整数)是否为“完美数”,并说明理由.【答案】(1)25,53是完美数; (2)是,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据“完美数”的定义判断即可;(2)根据多项式的乘法法则计算出结果后,根据“完美数”的定义判断即可.【详解】(1)25=4²+3²,∵53=49+4=7²+2²,∴53是“完美数”;(2)(x²+9y²)⋅(4y²+x²)是“完美数”,(x²+9y²)⋅(4y²+x²)=4x 2y²+364y +4x +9x²y²=13x²y²+364y +4x =(6y²+x²) ²+x²y²,∴(x²+9y²)⋅(4y²+x²)是“完美数”.【点睛】本题考查了因式分解的应用,正确的理解新概念“完美数”是解题的关键.四、八年级数学分式解答题压轴题(难)16.已知11x a b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,11y b a c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,11z c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)当1a =,1b =,2c =时,求1111x y +--的值; (2)当0ab bc ac ++≠时,求111111x y z +++++的值. 【答案】(1)4;(2)1【解析】【分析】(1)分别对x 、y 进行化简,然后求值即可;(2)分别求出1x +、1y +、和z 1+值,然后代入化简即可.【详解】 (1),,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab+++===, 当1,1,2a b c ===时, 1211111=;122x ⨯+⨯∴-=-⨯ 1211111=122y ⨯+⨯∴-=-⨯ 1111=4111122x y ∴+=+-- (2)11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=+=, 11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=+=, 11bc ac bc ac ab z ab ab++++=+=, ∵+0ab bc ac +≠,∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac+++++=+++++++ab bc ac ab bc ac +=+ =1. 【点睛】 本题考查了整式的化简求值问题,解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.17.有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料,两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克,且m≠n ,两名采购员的采购方式也不同,其中甲每次购买800千克,乙每次用去800元,而不管购买多少千克的饲料。

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.(1)如图1,在Rt△ABC 中,AB AC=,D、E是斜边BC上两动点,且∠DAE=45°,将△ABE绕点A逆时针旋转90后,得到△AFC,连接DF.(1)试说明:△AED≌△AFD;(2)当BE=3,CE=9时,求∠BCF的度数和DE的长;(3)如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,D是斜边BC所在直线上一点,BD=3,BC=8,求DE2的长.【答案】(1)略(2)∠BCF=90° DE=5 (3)34或130【解析】试题分析:()1由ABE AFC≌,得到AE AF=,BAE CAF∠=∠,45,EAD∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=EAD DAF∠=∠,从而得到.AED AFD≌()2由△AED AFD≌得到ED FD=,再证明90DCF∠=︒,利用勾股定理即可得出结论.()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得,14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=求出AD的长,即可求得2DE.试题解析:()1ABE AFC≌,AE AF=,BAE CAF∠=∠,45,EAD∠=90,BAC∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中,{AF AEEAF DAEAD AD,=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌,ED FD∴=,,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒,45ACF ,∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得: 5.x =故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得,1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.22234DE AD ==或130.点睛:D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.2.(1)如图(1),已知:在△ABC 中,∠BAC =90°,AB=AC ,直线m 经过点A ,BD ⊥直线m, CE ⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC ,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用:如图(3),D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点(D 、A 、E 三点互不重合),点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ,试判断△DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3)△DEF 为等边三角形【解析】解:(1)证明:∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ,∴∠BDA =∠CEA=900.∵∠BAC =900,∴∠BAD+∠CAE=900.∵∠BAD+∠ABD=900,∴∠CAE=∠ABD .又AB="AC" ,∴△ADB ≌△CEA (AAS ).∴AE=BD ,AD=CE .∴DE="AE+AD=" BD+CE .(2)成立.证明如下:∵∠BDA =∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α.∴∠DBA=∠CAE . ∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC ,∴△ADB ≌△CEA (AAS ).∴AE=BD ,AD=CE .∴DE=AE+AD=BD+CE .(3)△DEF 为等边三角形.理由如下:由(2)知,△ADB ≌△CEA ,BD=AE ,∠DBA =∠CAE ,∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=600.∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF .∴∠DBF=∠FAE .∵BF=AF ,∴△DBF ≌△EAF (AAS ).∴DF=EF ,∠BFD=∠AFE .∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600.∴△DEF 为等边三角形.(1)因为DE=DA+AE ,故由AAS 证△ADB ≌△CEA ,得出DA=EC ,AE=BD ,从而证得DE=BD+CE .(2)成立,仍然通过证明△ADB ≌△CEA ,得出BD=AE ,AD=CE ,所以DE=DA+AE=EC+BD . (3)由△ADB ≌△CEA 得BD=AE ,∠DBA =∠CAE ,由△ABF 和△ACF 均等边三角形,得∠ABF=∠CAF=600,FB=FA ,所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ,即∠DBF=∠FAE ,所以△DBF ≌△EAF ,所以FD=FE ,∠BFD=∠AFE ,再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF 是等边三角形.3.如图1,在ABC ∆中,ACB ∠是直角,60B ∠=︒,AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线,AD 、CE 相交于点F .(1)求出AFC ∠的度数;(2)判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由.(提示:在AC 上截取CG CD =,连接FG .)(3)如图2,在△ABC ∆中,如果ACB ∠不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由.【答案】(1)∠AFC =120°;(2)FE 与FD 之间的数量关系为:DF =EF .理由见解析;(3)AC =AE+CD .理由见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ,∠ACF 即可解决问题;(2)根据在图2的 AC 上截取CG=CD ,证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ;再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ,得EF=FG ,故得出EF=FD ;(3)根据(2) 的证明方法,在图3的AC 上截取AG=AE ,证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ;再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ,得CD=CG 即可解决问题.【详解】(1)解:∵∠ACB =90°,∠B =60°,∴∠BAC =90°﹣60°=30°,∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,∴∠FAC =15°,∠FCA =45°,∴∠AFC =180°﹣(∠FAC+∠ACF )=120°(2)解:FE 与FD 之间的数量关系为:DF =EF .理由:如图2,在AC 上截取CG =CD ,∵CE 是∠BCA 的平分线,∴∠DCF =∠GCF ,在△CFG 和△CFD 中,CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CFG≌△CFD(SAS),∴DF=GF.∠CFD=∠CFG由(1)∠AFC=120°得,∴∠CFD=∠CFG=∠AFE=60°,∴∠AFG=60°,又∵∠AFE=∠CFD=60°,∴∠AFE=∠AFG,在△AFG和△AFE中,AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AFG≌△AFE(ASA),∴EF=GF,∴DF=EF;(3)结论:AC=AE+CD.理由:如图3,在AC上截取AG=AE,同(2)可得,△EAF≌△GAF(SAS),∴∠EFA=∠GFA,AG=AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°,∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC,∴∠CFG=∠CFD=60°,同(2)可得,△FDC≌△FGC(ASA),∴CD=CG,∴AC=AG+CG=AE+CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用,全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造全等三角形.4.已知△ABC中,AB=AC,点P是AB上一动点,点Q是AC的延长线上一动点,且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同,PQ与BC相交于点D,若AB=82,BC=16.(1)如图1,当点P为AB的中点时,求CD的长;(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,设BE+CD=λ,λ是否为常数?若是请求出λ的值,若不是请说明理由.【答案】(1)4;(2)8【解析】【分析】(1)过P点作PF∥AC交BC于F,由点P和点Q同时出发,且速度相同,得出BP=CQ,根据PF∥AQ,可知∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,则可得出∠B=∠PFB,证出BP=PF,得出PF=CQ,由AAS证明△PFD≌△QCD,得出,再证出F是BC的中点,即可得出结果;(2)过点P作PF∥AC交BC于F,易知△PBF为等腰三角形,可得BE=12BF,由(1)证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=12CF,即可得出BE+CD=8.【详解】解:(1)如图①,过P点作PF∥AC交BC于F,∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ ,∵PF ∥AQ ,∴∠PFB=∠ACB ,∠DPF=∠CQD ,又∵AB=AC , ∴∠B=∠ACB , ∴∠B=∠PFB ,∴BP=PF ,∴PF=CQ ,又∠PDF=∠QDC ,∴△PFD ≌△QCD ,∴DF=CD=12CF , 又因P 是AB 的中点,PF ∥AQ , ∴F 是BC 的中点,即FC=12BC=8, ∴CD=12CF=4; (2)8BE CD λ+==为定值.如图②,点P 在线段AB 上,过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ,易知△PBF 为等腰三角形,∵PE ⊥BF∴BE=12BF ∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=12CF ∴()111182222BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判断与性质,熟悉相关性质定理是解题的关键.5.已知:4590ABC A ACB ∆∠=∠=,,,点D 是AC 延长线上一点,且22AD =+,,M 是线段CD 上一个动点,连接BM ,延长MB 到H ,使得HB MB =,以点B 为中心,将线段BH 逆时针旋转45,得到线段BQ ,连接AQ .(1)依题意补全图形;(2)求证:ABQ AMB ∠=∠;(3)点N 是射线AC 上一点,且点N 是点M 关于点D 的对称点,连接BN ,如果QA BN =, 求线段AB 的长.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)22AB =【解析】【分析】(1)根据题意可以补全图形;(2)根据三角形外角的性质即可证明;(3)作QE ⊥AB ,根据AAS 证得QEB BCM ≅,根据HL 证得Rt QEA Rt BCN ≅,设法证得2AB CD =,设AC BC x ==,则2AB x =,22CD x =,结合已知22AD =+,构建方程即可求解. 【详解】(1)补全图形如下图所示:(2)解:∵∠ABH 是ABM 的一个外角,∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠又∵45HBQ BAM ∠=∠=︒ ∴ ABQ AMB ∠=∠(3)过Q 作QE ⊥AB ,垂足为E , 如下图:∵⊥QE AB∴90QEB BCM ∠=∠=︒,在QEB 和BCM 中,QEB BCM QBE BMC QB BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ QEB BCM ≅(AAS) ∴EB CM =,QE BC =,在Rt QEA 和Rt BCN 中 ∵QE BC =,Q A BN = ∴Rt QEA Rt BCN ≅ (HL)∴AE CN CM MD DN ==++∵点N 是点M 关于点D 的对称点,∴MD DN =∴22AE CM MD EB MD =+=+∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=设AC BC x ==,则2AB x =,2CD x =, 又∵22AD =,2 AD AC CD x x =+= ∴2222x x += 解得:2x =∴ 22AB =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点.熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是BC延长线上的一点,且BD=DE.点G是线段BC的中点,连结AG,交BD于点F,过点D作DH⊥BC,垂足为H.(1)求证:△DCE为等腰三角形;(2)若∠CDE=22.5°,DC=2,求GH的长;(3)探究线段CE,GH的数量关系并用等式表示,并说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)22;(3)CE=2GH,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据题意可得∠CBD=12∠ABC=12∠ACB,,由BD=DE,可得∠DBC=∠E=1 2∠ACB,根据三角形的外角性质可得∠CDE=12∠ACB=∠E,可证△DCE为等腰三角形;(2)根据题意可得CH=DH=1,△ABC是等腰直角三角形,由等腰三角形的性质可得BG=GC,2+1,即可求GH的值;(3)CE=2GH,根据等腰三角形的性可得BG=GC,BH=HE,可得GH=GC﹣HC=GC﹣(HE﹣CE)=12BC﹣12BE+CE=12CE,即CE=2GH【详解】证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=12∠ABC=12∠ACB,∵BD=DE,∴∠DBC=∠E=12∠ACB,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=12∠ACB=∠E,∴CD=CE,∴△DCE是等腰三角形(2)∵∠CDE=22.5°,CD=CE2,∴∠DCH=45°,且DH⊥BC,∴∠HDC=∠DCH=45°∴DH=CH,∵DH2+CH2=DC2=2,∴DH=CH=1,∵∠ABC=∠DCH=45°∴△ABC是等腰直角三角形,又∵点G是BC中点∴AG⊥BC,AG=GC=BG,∵BD=DE,DH⊥BC∴BH=HE2+1∵BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1∴GH2(3)CE=2GH理由如下:∵AB=CA,点G是BC的中点,∴BG=GC,∵BD=DE,DH⊥BC,∴BH=HE,∵GH=GC﹣HC=GC﹣(HE﹣CE)=12BC﹣12BE+CE=12CE,∴CE=2GH【点睛】本题是三角形综合题,考查了角平分线的性质,等腰三角形的性质,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.7.如图,在△ABC中,AB=BC=AC=20 cm.动点P,Q分别从A,B两点同时出发,沿三角形的边匀速运动.已知点P,点Q的速度都是2 cm/s,当点P第一次到达B点时,P,Q两点同时停止运动.设点P 的运动时间为t (s ).(1)∠A=______度;(2)当0<t <10,且△APQ 为直角三角形时,求t 的值;(3)当△APQ 为等边三角形时,直接写出t 的值.【答案】(1)60;(2)103或203;(3)5或20 【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可解答;(2)需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答;(3)需分以下两种情况进行解答:①由∠A=60°,则当AQ=AP 时,△APQ 为等边三角形;②当P 于B 重合,Q 与C 重合时,△APQ 为等边三角形.【详解】解:(1)60°.(2)∵∠A=60°,当∠APQ=90°时,∠AQP=90°-60°=30°.∴QA=2PA .即2022 2.t t -=⨯解得 10.3t = 当∠AQP=90°时,∠APQ=90°-60°=30°.∴PA=2QA .即2(202)2.t t -=解得 20.3t = ∴当0<t <10,且△APQ 为直角三角形时,t 的值为102033或. (3)①由题意得:AP=2t ,AQ=20-2t∵∠A=60°∴当AQ=AP 时,△APQ 为等边三角形∴2t=20-2t ,解得t=5②当P 于B 重合,Q 与C 重合,则所用时间为:4÷2=20综上,当△APQ 为等边三角形时,t=5或20.【点睛】本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题,解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.8.(1)已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)(2)已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC与∠C之间的关系.【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=135°-34∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.【解析】试题分析:(1)已知角度,要分割成两个等腰三角形,可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理,先计算出可能的角度,或者先从草图中确认可能的情况,及角度,然后画上.(2)在(1)的基础上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程,可得出角与角之间的关系.试题解析:(1)如图①②(共有2种不同的分割法).(2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中,①若∠C是顶角,如图,则∠CBD=∠CDB=90°-12x,∠A=180°-x-y.故∠ADB=180°-∠CDB=90°+12x>90°,此时只能有∠A=∠ABD,即180°-x-y=y-1902x⎛⎫-⎪⎝⎭,∴3x+4y=540°,∴∠ABC=135°-34∠C.②若∠C是底角,第一种情况:如图,当DB=DC时,∠DB C=x.在△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y-x.若AB=AD,则2x=y-x,此时有y=3x,∴∠ABC=3∠C.若AB=BD,则180°-x-y=2x,此时有3x+y=180°,∴∠ABC=180°-3∠C.若AD=BD,则180°-x-y=y-x,此时有y=90°,即∠ABC=90°,∠C为小于45°的任意锐角.第二种情况:如图,当BD=BC时,∠BDC=x,∠ADB=180°-x>90°,此时只能有AD=BD,∴∠A=∠ABD=12∠BDC=12∠C<∠C,这与题设∠C是最小角矛盾.∴当∠C是底角时,BD=BC不成立.综上所述,∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=135°-34∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.点睛:本题考查了等腰三角形的性质;第(1)问是计算与作图相结合的探索.本问对学生运用作图工具的能力,以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求.第(2)问在第(1)问的基础上,由“特殊”到“一般”,“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系.本题不仅趣味性强,创造性强,而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想,是一道不可多得的好题.9.在等边△ABC中,点D在BC边上,点E在AC的延长线上,DE=DA(如图1).(1)求证:∠BAD=∠EDC;(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2),连接DM,AM.求证:DA=AM.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质,得出∠BAC=∠ACB=60°,然后根据三角形的内角和和外角性质,进行计算即可.(2)根据轴对称的性质,可得DM=DA,然后结合(1)可得∠MDC=∠BAD,然后根据三角形的内角和,求出∠ADM=60°即可.【详解】解:(1)如图1,∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,∴∠BAD=60°﹣∠DAE,∠EDC=60°﹣∠E,又∵DE=DA,∴∠E=∠DAE,∴∠BAD=∠EDC.(2)由轴对称可得,DM=DE,∠EDC=∠MDC,∵DE=DA,∴DM=DA,由(1)可得,∠BAD=∠EDC,∴∠MDC =∠BAD ,∵△ABD 中,∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°,∴∠MDC +∠ADB =120°,∴∠ADM =60°,∴△ADM 是等边三角形,∴AD =AM .【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质,解题的关键是熟练掌握这些性质.10.如图,在ABC ∆中,CE 为三角形的角平分线,AD CE ⊥于点F 交BC 于点D (1)若9628BAC B ︒︒∠=∠=,,直接写出BAD ∠= 度(2)若2ACB B ∠=∠,①求证:2AB CF =②若 ,CF a EF b ==,直接写出BD CD= (用含 ,a b 的式子表示)【答案】(1)34;(2)①见详解;②2b a b- 【解析】【分析】 (1)由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案;(2)①证明B BCE ∠=∠,得出BE=CE ,过点A 作//AH BC 交CE 与点H ,则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠,得出AH=AC ,H EAH ∠=∠,得出AE=HE ,由等腰三角形的性质可得出HF=CF ,即可得出结论;②证明AHF DCF ≅,得出AH=DC ,求出HF=CF=a ,HE=HF-EF=a-b ,CE=a+b ,由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+,进而得出结论. 【详解】 解:(1)∵9628BAC B ︒︒∠=∠=,,∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒,∵CE 为三角形的角平分线,∴1282ACE ACB ∠=∠=︒, ∵AD CE ⊥,∴902862CAF ∠=︒-︒=︒,∴966234BAD∠=︒-︒=︒.故答案为:34;(2)①证明:∵22ACB B BCE∠=∠=∠∴B BCE∠=∠∴BE CE=过点A 作//AH BC交CE与点H,如图所示:则,H BCE ACE EAH B∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC,H EAH∠=∠∴AE=HE∵AD CE⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF;②在AHF△和DCF中,H DCFHF CFAFH DFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF≅∴AH=DC∵,CF a EF b==∴HF CF a==,由①得AE HE HF EF a b==-=-,BE CE a b==+∵//AH BC∴AH AE a bBC BE a b-==+∴CD a bBC a b-=+∴2BD bCD a b=-.故答案为:2ba b-.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等,掌握以上知识点是解此题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.阅读下列材料:利用完全平方公式,可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式,我们把这种变形方法,叫做配方法.运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如:22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料,解答下列问题:(1)用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式,则281=x x +- ________;(2)用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解;(3)对于任意实数x ,y ,多项式222416x y x y +--+的值总为______(填序号).①正数②非负数 ③ 0【答案】(1)2(4)17x +-;(2)(2)(4)x x +-;(3)①【解析】【分析】(1)根据材料所给方法解答即可;(2)材料所给方法进行解答即可;(3)局部进行因式分解,最后写成非负数的积的形式即可完成解答.【详解】解:(1)281x x +-=2816116x x ++--2(4)17x +-.(2)原式=22118x x -+--=2(1)9x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-.(3)222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++=()()221211x y -+-+>11故答案为①.【点睛】本题考查了配方法,根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.12.(阅读材料)因式分解:()()221x y x y ++++.解:将“x y +”看成整体,令x y A +=,则原式()22211A A A =++=+.再将“A ”还原,原式()21x y =++.上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.(问题解决)(1)因式分解:()()2154x y x y +-+-;(2)因式分解:()()44a b a b ++-+;(3)证明:若n 为正整数,则代数式()()()21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方.【答案】(1)()()144x y x y +-+-1.(2)()22a b +-;(3)见解析. 【解析】【分析】(1)把(x-y )看作一个整体,直接利用十字相乘法因式分解即可;(2)把a+b 看作一个整体,去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解;(3)将原式转化为()()223231n n n n ++++,进一步整理为(n 2+3n+1)2,根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数,从而说明原式是整数的平方.【详解】(1)()()[][]21541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-; (2)()()2244()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-; (3)原式()()223231n n n n =++++()()2223231n n n n =++++ ()2231n n =++. ∵n 为正整数,∴231n n ++为正整数.∴代数()()()21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方. 【点睛】本题考查因式分解的应用,解题的关键是仔细读题,理解题意,掌握整体思想解决问题的方法.13.阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为i 2=﹣1,这个数i 叫做虚数单位.那么形如a+bi (a ,b 为实数)的数就叫做复数,a 叫这个复数的实部,b 叫做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.例如计算:(2+i )+(3﹣4i )=5﹣3i .(1)填空:i 3= ,2i 4= ;(2)计算:①(2+i )(2﹣i );②(2+i )2;(3)若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等,完成下列问题:已知:(x+3y )+3i=(1﹣x )﹣yi ,(x ,y 为实数),求x ,y 的值.(4)试一试:请你参照i 2=﹣1这一知识点,将m 2+25(m 为实数)因式分解成两个复数的积.【答案】(1)i ;2(2)①5②3+4i (3)x=5,y=﹣3(4)m 2+25=(m+5i )(m ﹣5i )【解析】【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算;(2)利用平方差、完全平方公式把原式展开,根据21i =-计算即可;(3)根据虚数定义得出方程组,解方程组即可;(4)根据21i =- 将25转化为2(-5)i ,再利用平方差公式进行因式分解即可。

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,动点P 从A 点出发,先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动,然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动.若设点P 运动的时间是t 秒,那么当t =___________________,△APE 的面积等于6.【答案】1.5或5或9【解析】【分析】分为两种情况讨论:当点P 在AC 上时:当点P 在BC 上时,根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可.【详解】如图1,当点P 在AC 上.∵△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,∴CE =4,AP =2t .∵△APE 的面积等于6,∴S △APE =12AP •CE =12AP ×4=6.∵AP =3,∴t =1.5. 如图2,当点P 在BC 上.则t >3∵E 是DC 的中点,∴BE =CE =4. ∵PE ()43=7-PE t t =-- ,∴S =12EP •AC =12•EP ×6=6,∴EP =2,∴t =5或t =9. 总上所述,当t =1.5或5或9时,△APE 的面积会等于6.故答案为1.5或5或9.【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键.2.一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ,则它的周长为__cm .【答案】22【解析】【分析】底边可能是4,也可能是9,分类讨论,去掉不合条件的,然后可求周长.试题解析:①当腰是4cm,底边是9cm时:不满足三角形的三边关系,因此舍去.②当底边是4cm,腰长是9cm时,能构成三角形,则其周长=4+9+9=22cm.故填22.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.3.三角形的三个内角度数比为1:2:3,则三个外角的度数比为_____.【答案】5:4:3【解析】试题解析:设此三角形三个内角的比为x,2x,3x,则x+2x+3x=180,6x=180,x=30,∴三个内角分别为30°、60°、90°,相应的三个外角分别为150°、120°、90°,则三个外角的度数比为:150°:120°:90°=5:4:3,故答案为5:4:3.4.如果一个n边形的内角和是1440°,那么n=__.【答案】10【解析】∵n边形的内角和是1440°,∴(n−2)×180°=1440°,解得:n=10.故答案为:10.5.如图,已知△ABC中,AD是BC边上的高,点E在线段BD上,且AE平分∠BAC,若∠B=40°,∠C=78°,则∠EAD=____°.【答案】19°.【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC,再由AE平分∠BAC,可求得∠EAC,最后由∠ADC=90°,∠C=78°,可求得∠DAC,即∠EAD可求.解:∵∠B=40°,∠C=78°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=62°∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=1312BAC∠=,∵AD是BC边上的高∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-78°=12°∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=19°故答案为:19°.【点睛】本题考查三角形内角和定理;三角形角平分线性质.6.如图,△ABC中,∠A = 40°,∠B = 72°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE,则∠CDF =_________度.【答案】74°【解析】【分析】【详解】试题分析:首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数,以及∠BCD的度数,根据角平分线的定义求得∠BCE的度数,则∠ECD可以求解,然后在△CDF中,利用内角和定理即可求得∠CDF的度数.∵∠A=40°,∠B=70°,∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°.∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=12∠ACB=35°.∵CD⊥AB于D,∴∠CDA=90°,∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°.∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°.∵DF⊥CE,∴∠CFD=90°,∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°.考点:三角形内角和定理.二、八年级数学三角形选择题(难)7.能够铺满地面的正多边形组合是()A.正三角形和正五边形B.正方形和正六边形C.正方形和正五边形D.正五边形和正十边形【解析】【分析】正多边形的组合能否铺满地面,关键是要看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°.若能,则说明能铺满;反之,则说明不能铺满.【详解】解:A 、正五边形和正三边形内角分别为108°、60°,由于60m+108n=360,得m=6-95n ,显然n 取任何正整数时,m 不能得正整数,故不能铺满,故此选项错误;B 、正方形、正六边形内角分别为90°、120°,不能构成360°的周角,故不能铺满,故此选项错误;C 、正方形、正五边形内角分别为90°、108°,当90n+108m=360,显然n 取任何正整数时,m 不能得正整数,故不能铺满,故此选项错误;D 、正五边形和正十边形内角分别为108、144,两个正五边形与一个正十边形能铺满地面,故此选项正确.故选:D .【点睛】此题主要考查了平面镶嵌,两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是:围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.需注意正多边形内角度数=180°-360°÷边数.8.如图,把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠,C 、D 两点落到'C 、'D 处.已知20DAC ∠=,且''//C D AC ,则AEF ∠的度数为( )A .20B .35C .50D .70【答案】B【解析】【分析】 依据C'D'//AC ,即可得到∠AHG=∠C′=90°,进而得出AGH 70∠=,由折叠可得,CFE GFE ∠∠=,由AD//BC ,可得CFE GEF ∠∠=,依据三角形外角性质得到1AEF GFE AGH 352∠∠∠===.【详解】如图,C'D'//AC ,,又DAC 20∠=,AGH 70∠∴=,由折叠可得,CFE GFE ∠∠=,由AD//BC ,可得CFE GEF ∠∠=,1AEF GFE AGH 352∠∠∠∴===, 故选:B .【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解题时注意:两直线平行,内错角相等.9.如图,在△ABC 中,点M 、N 是∠ABC 与∠ACB 三等分线的交点.若∠A =60°,则∠BMN 的度数为( )A .45°B .50°C .60°D .65°【答案】B【解析】分析:过点N 作NG ⊥BC 于G ,NE ⊥BM 于E ,NF ⊥CM 于F ,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF ,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN 平分∠BMC ,然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ,再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB 的度数,然后利用三角形内角和定理求出∠BMC 的度数,从而得解. 详解:如图,过点N 作NG ⊥BC 于G ,NE ⊥BM 于E ,NF ⊥CM 于F ,∵∠ABC 的三等分线与∠ACB 的三等分线分别交于点M 、N ,∴BN 平分∠MBC ,CN 平分∠MCB ,∴NE=NG ,NF=NG ,∴NE=NF,∴MN平分∠BMC,∴∠BMN=12∠BMC,∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°,根据三等分,∠MBC+∠MCB=23(∠ABC+∠ACB)=23×120°=80°.在△BMC中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°.∴∠BMN=12×100°=50°;故选:B.点睛:本题考查了三角形的内角和定理:三角形内角和为180°;角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.10.如图,四边形ABCD中,E、F、G、H依次是各边中点,O是四边形ABCD内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10,则四边形DHOG的面积为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】分析:连接OC,OB,OA,OD,易证S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH,S△OAE=S△OBE,所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE,所以可以求出S四边形DHOG.详解:连接OC,OB,OA,OD,∵E、F、G、H依次是各边中点,∴△AOE和△BOE等底等高,∴S△OAE=S△OBE,同理可证,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH,∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE,∵S四边形AEOH=7,S四边形BFOE=9,S四边形CGOF=10,∴7+10=9+S四边形DHOG,解得,S四边形DHOG=8.故选B.点睛:本题考查了三角形的面积.解决本题的关键将各个四边形划分,充分利用给出的中点这个条件,证得三角形的面积相等,进而证得结论.11.有下列说法:①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形;②三边长为、、3的三角形为直角三角形;③等腰三角形的两边长为3、4,则等腰三角形的周长为10;④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形.其中正确的个数是()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】C【解析】试题分析:根据等边三角形的性质可知,有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形,故①正确;根据三边可知:,,3²=9,因此可知:,由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形,故②正确;由等腰三角形的三边可知其边长为:3,3,4或3,4,4,则周长为10或11,故③不正确;由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形,故④不正确.故选:C12.一个多边形内角和是900°,则这个多边形的边数是()A.7 B.6 C.5 D.4【答案】A【解析】【分析】n边形的内角和为(n-2)180°,由此列方程求n的值即可.【详解】设这个多边形的边数为n,则:(n-2)180°=900°,解得n=7.故答案为:A.【点睛】本题考查了多边形的内角和,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.将一副三角板按如图所示的方式摆放,其中△ABC为含有45°角的三角板,直线AD 是等腰直角三角板的对称轴,且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点,DM、DN 分别交AB、AC于点E、F.则下列四个结论:①BD=AD=CD;②△AED≌△CFD;③BE+CF=EF;④S四边形AEDF=14BC2.其中正确结论是_____(填序号).【答案】①②【解析】分析:根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD,∠CAD=∠B=45°,故①正确;根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE,然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF,判断出②,根据全等三角形的对应边相等,可得DE=DF=AF=AE,利用三角形的任意两边之和大于第三边,可得BE+CF>EF,判断出③,根据全等三角形的面积相等,可得S△ADF=S△BDE,从而求出四边形AEDF的面积,判断出④.详解:∵∠B=45°,AB=AC∴点D为BC的中点,∴AD=CD=BD故①正确;由AD⊥BC,∠BAD=45°可得∠EAD=∠C∵∠MDN是直角∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°∴∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF(ASA)故②正确;∴DE=DF,AE=CF,∴AF=BE∴BE+AE=AF+AE∴AE+AF>EF故③不正确;由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE∴S四边形AEDF=S△ACD=12×AD×CD=12×12BC×12BC=18BC2,故④不正确.故答案为①②.点睛:此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质,以及三角形的三边关系,关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.14.如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为_____.【答案】12.5【解析】【分析】过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,判定△ACD≌△AEB,即可得到△ACE是等腰直角三角形,四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,根据S△ACE=12×5×5=12.5,即可得出结论.【详解】如图,过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,∵∠DAB=∠DCB=90°,∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC,∴∠D=∠ABE,又∵∠DAB=∠CAE=90°,∴∠CAD=∠EAB,又∵AD=AB,∴△ACD≌△AEB(ASA),∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形,∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,∵S△ACE=12×5×5=12.5,∴四边形ABCD的面积为12.5,故答案为12.5.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题15.如图,已知OP 平分∠AOB ,CP ∥OA ,PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E .CP =254,PD =6.如果点M 是OP 的中点,则DM 的长是_____.【答案】5.【解析】【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ,PC=PD=6,∠PDO=∠PEO=90°,由勾股定理得出2274CE CP PE =-=,由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ,得出∠OPC=∠BOP ,证出254CO CP ==,得出OE=CE+CO=8,由勾股定理求出2210OP OE PE +=,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案.【详解】∵OP 平分∠AOB ,PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E ,∴∠AOP =∠BOP ,PC =PD =6,∠PDO =∠PEO =90°, ∴222257446CE CP PE ⎛⎫⎪⎭-⎝=-==, ∵CP ∥OA ,∴∠OPC =∠AOP ,∴∠OPC =∠BOP ,∴254CO CP ==, ∴725448OE CE CO =+=+=, ∴22228610OP OE PE ++=,在Rt △OPD 中,点M 是OP 的中点,∴125DM OP ==; 故答案为:5.【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识;熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质,证明CO=CP是解题的关键.16.如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥DA于Q,PQ=3,EP=1,则DA的长是________.【答案】7【解析】试题解析:∵△ABC为等边三角形,∴AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°;又∵AE=CD,在△ABE和△CAD中,AB CABAE ACDAE CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===∴△ABE≌△CAD;∴BE=AD,∠CAD=∠ABE;∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°;∵BQ⊥AD,∴∠AQB=90°,则∠PBQ=90°-60°=30°;∵PQ=3,∴在Rt△BPQ中,BP=2PQ=6;又∵PE=1,∴AD=BE=BP+PE=7.故答案为7.17.如图,AB=BC且AB⊥BC,点P为线段BC上一点,PA⊥PD且PA=PD,若∠A=22°,则∠D的度数为_________.【答案】23°【解析】解:过D作DE⊥PC于E.∵PA⊥PD,∴∠APB+∠DPE=90°.∵AB⊥BC,∴∠A+∠APB=90°,∴∠A=∠DPE=22°.在△ABP和△PED中,∵∠A=∠DPE,∠B=∠E=90°,PA=PD,∴△ABP≌△PED,∴AB=PE,BP=DE.∵AB=BC,∴BC=PE,∴BP=CE.∵BP=DE,∴CE=DE,∴∠DCE=45°,∴∠PDC=∠DCE-∠DPC=45°-22°=2 3°.故答案为:23°.18.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线交BC于D,垂足为E,BD=4cm,则DC=_______【答案】2cm【解析】试题解析:解:连接AD,∵ED是AB的垂直平分线,∴BD=AD=4c m,∴∠BAD=∠B=30°,∵∠C=90°,∴∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°,∴∠DAC=60°-30°=30°,在Rt△ACD中,∴DC=12AD==12× 4=2c m.故答案为2c m.点睛:本题考查了线段垂直平分线,在直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半,三角形内角和定理,主要考查学生运用性质进行计算的能力.四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.下列两个三角形中,一定全等的是( )A.两个等边三角形B.有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形C.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形D.有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案.【详解】解:A、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等,故本选项错误;B、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等,故本选项错误;C、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等,故本选项错误;D、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等,所以由全等三角形的判定定理ASA或AAS证得它们全等,故本选项正确;故选D.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.20.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②BF=BA;③PH=PD;④连接CP,CP平分∠ACB,其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④【答案】D【解析】分析:根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①;根据全等三角形的判定和性质判断②③;根据角平分线的判定与性质判断④.详解:在△ABC中,∵∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,∴∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)=45°,∴∠APB=135°,故①正确.∴∠BPD=45°,又∵PF⊥AD,∴∠FPB=90°+45°=135°,∴∠APB=∠FPB,又∵∠ABP=∠FBP,BP=BP,∴△ABP≌△FBP,∴∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF,故②正确.在△APH和△FPD中,∵∠APH=∠FPD=90°,∠PAH=∠BAP=∠BFP,PA=PF,∴△APH≌△FPD,∴PH=PD,故③正确.∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,∴点P到AB、AC的距离相等,点P到AB、BC的距离相等,∴点P到BC、AC的距离相等,∴点P在∠ACB的平分线上,∴CP平分∠ACB,故④正确.故选D.点睛:本题考查了角平分线的判定与性质,三角形全等的判定方法,三角形内角和定理.掌握相关性质是解题的关键.21.在△ABC与△DEF中,下列各组条件,不能判定这两个三角形全等的是()A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F B.AC=DE,∠B=∠E,∠A=∠FC.AC=DF,BC=DE,∠C=∠D D.AB=EF,∠A=∠E,∠B=∠F【答案】B【解析】利用全等三角形的判定定理,分析可得:A、AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等;B、∠A=∠F,∠B=∠E,AC=DE,对应边不对应,不能证明△ABC与△DEF全等;C、AC=DF,BC=DE,∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等;D、AB=EF,∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等;故选:D.点睛:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.22.已知等边△ABC中,在射线BA上有一点D,连接CD,并以CD为边向上作等边△CDE,连接BE和AE,试判断下列结论:①AE=BD;②AE与AB所夹锐夹角为60°;③当D在线段AB或BA延长线上时,总有∠BDE-∠AED=2∠BDC;④∠BCD=90°时,CE2+AD2=AC2+DE2,正确的序号有()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°,∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE,利用SAS可证明△BCD≌△ACE,可得AE=BD,①正确;∠CBD=∠CAE=60°,进而可得∠EAD=60°,②正确,当∠BCD=90°时,可得∠ACD=∠ADC=30°,可得AD=AC,即可得CE2+AD2=AC2+DE2,④正确;当D点在BA延长线上时,∠BDE-∠BDC=60°,根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC,进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°,即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED,即∠BDE-∠AED=2∠BDC,当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°,③错误,综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°,∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,∴∠BCD=∠ACE,又∵AC=BC,CE=CD,∴△BCD≌△ACE,∴AE=BD,∠CBA=∠CAE=60°,∠AEC=∠BDC,①正确,∴∠BAE=120°,∴∠EAD=60°,②正确,∵∠BCD=90°,∠BCA=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴AC=AD,∵CE=DE,∴CE2+AD2=AC2+DE2,④正确,当D点在BA延长线上时,∠BDE-∠BDC=60°,∵∠AEC=∠BDC,∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°,∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC,如图,当点D在AB上时,∵△BCD≌△∠ACE,∴∠CAE=∠CBD=60°,∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°,∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°,③错误故正确的结论有①②④,故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握23.如图,等腰直角△ABC中,∠BAC=90 ,AD⊥BC于D,∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点,M为EF的中点,延长AM交BC于点N,连接DM.下列结论:①AE=AF;②AM⊥EF;③AF=DF;④DF=DN,其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】试题解析:∵∠BAC=90°,AC=AB,AD⊥BC,∴∠ABC=∠C=45°,AD=BD=CD,∠ADN=∠ADB=90°,∴∠BAD=45°=∠CAD,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°,∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°,∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°,∴AF=AE,故①正确;∵M为EF的中点,∴AM⊥EF,故②正确;过点F作FH⊥AB于点H,∵BE平分∠ABC,且AD⊥BC,∴FD=FH<FA,故③错误;∵AM⊥EF,∴∠AMF=∠AME=90°,∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN,在△FBD和△NAD中{FBD DANBD ADBDF ADN∠∠∠∠===∴△FBD≌△NAD,∴DF=DN,故④正确;故选C.24.下列四组条件中,能够判定△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D B.AC=EF,∠C=∠F,∠A=∠D C.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F D.AC=DF,BC=DE,∠C=∠D 【答案】D【解析】根据三角形全等的判定定理:SSS、SAS、ASA、AAS、HL,逐一判断:A、AB=DE,BC=EF,∠A=∠D,不符合“SAS”定理,不能判断全等;B、AC=EF,∠C=∠F,∠A=∠D,不符合“ASA”定理,不能判断全等;C、∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F ,“AAA”不能判定全等;不符合“SAS”定理,不对应,不能判断全等;D、AC=DF,BC=DE,∠C=∠D,可利用“SAS”判断全等;故选:D.点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)25.如图,在△ABC和△DBC中,∠A=40°,AB=AC=2,∠BDC=140°,BD=CD,以点D为顶点作∠MDN=70°,两边分别交AB,AC于点M,N,连接MN,则△AMN的周长为___________.【答案】4【解析】【分析】延长AC至E,使CE=BM,连接DE.证明△BDM≌△CDE(SAS),得出MD=ED,∠MDB=∠EDC,证明△MDN≌△EDN(SAS),得出MN=EN=CN+CE,进而得出答案.【详解】延长AC至E,使CE=BM,连接DE.∵BD=CD,且∠BDC=140°,∴∠DBC=∠DCB=20°,∵∠A=40°,AB=AC=2,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°,同理可得∠NCD=90°,∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°,在△BDM和△CDE中,BM CEMBD ECDBD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==,=∴△BDM≌△CDE(SAS),∴MD=ED,∠MDB=∠EDC,∴∠MDE=∠BDC=140°,∵∠MDN=70°,∴∠EDN=70°=∠MDN,在△MDN和△EDN中,MD EDMDN EDNDN DN⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==,=∴△MDN≌△EDN(SAS),∴MN=EN=CN+CE,∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4;故答案为:4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识;证明三角形全等是解题的关键.26.如图,在ABC∆中,点D是BC的中点,点E是AD上一点,BE AC=.若70C∠=︒,50DAC∠=︒则EBD∠的度数为______.【答案】10︒【解析】【分析】延长AD到F使DF AD=,连接BF,通过ACD FDB≅,根据全等三角形的性质得到CAD BFD∠=∠,AC BF=,等量代换得BF BE=,由等腰三角形的性质得到F BEF∠=∠,即可得到BEF CAD∠=∠,进而利用三角形的内角和解答即可得.【详解】如图,延长AD 到F ,使DF AD =,连接BF :∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠,AD DF = ∴ACD FDB ≅∴AC BF =, CAD F ∠=∠,C DBF ∠=∠∵AC BE =, 70C ︒∠=, 50CAD ︒∠=∴BE BF =, 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为:10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理,解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形.27.等腰三角形顶角为30°,腰长是4cm ,则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图,根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质,可由等腰三角形的顶角为30°,腰长是4cm ,可求得BD=12AB =4×12=2,因此此三角形的面积为:S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4(cm 2).故答案是:4.28.如图,在Rt ABC △中,AC BC =,D 是线段AB 上一个动点,把ACD 沿直线CD 折叠,点A 落在同一平面内的A '处,当A D '平行于Rt ABC △的直角边时,ADC ∠的大小为________.【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时,有两种情况,一是当A D BC '时,二是当A D AC '时,两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可.【详解】 如图1,当点D 在线段AB 上,且A D BC '时,45A DB B '∠=∠=︒, 45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒,解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1如图2,当A D AC '时,45A DB A '∠=∠=︒,45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒,解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2【点睛】本题考查了翻折变换的性质,等腰直角三角形的性质,掌握折叠的性质是解题关键.29.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,若∠F =30°,DE=1,则EF的长是_____.【答案】2【解析】【分析】连接BE,根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质,说明∠CBE=∠F,进一步说明BE =EF,,然后再根据直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解:如图:连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,∴AE=BE,∠A+∠AED=90°,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠F+∠CEF=90°,∵∠AED=∠FEC,∴∠A=∠F=30°,∴∠ABE=∠A=30°,∠ABC=90°﹣∠A=60°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°,∴∠CBE=∠F,∴BE=EF,在Rt△BED中,BE=2DE=2×1=2,∴EF=2.故答案为:2.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质,其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.30.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°,在AB、AD上分别找一点F、E,连接CE、EF、CF,当△CEF的周长最小时,则∠ECF的度数为______.【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步:第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置(用对称即可);第二步是证明此时的△CEF的周长最小(利用两点之间线段最短);第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2,连接C1C2,分别交AD,AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小,理由如下:在AD 、AB 上任意取E 1、F 1两点根据对称性:∴CE=C 1E ,CE 1=C 1E 1,CF=C 2F ,CF 1=C 2F 1∴△CEF 的周长= CE +EF +CF= C 1E +EF +C 2F= C 1C 2而△CE 1F 1的周长= CE 1+E 1F 1+CF 1= C 1E 1+E 1F 1+C 2F 1根据两点之间线段最短,故C 1E 1+E 1F 1+C 2F 1>C 1C 2∴△CEF 的周长的最小为:C 1C 2.∵∠A=60°, ∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°-∠A -∠ADC -∠ABC=120°∴∠C C 1C 2+∠C C 2C 1=180°-∠DCB=60°根据对称性:∠C C 1C 2=∠E CD ,∠C C 2C 1=∠F CB∴∠E CD +∠F CB=∠C C 1C 2+∠C C 2C 1=60°∴∠ECF =∠DCB -(∠E CD +∠F CB )=60°故答案为:60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法(对称点),及周长最小值的证法:两点之间线段最短,掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难)31.如图,坐标平面内一点A(2,-1),O 为原点,P 是x 轴上的一个动点,如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P 的个数为( )A .2B .3C .4D .5【答案】C【解析】 以O 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴有两交点,这两点显然符合题意.以A 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴交与两点(O 点除外).以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点.共4个点符合,32.如图,在四边形ABCD 中,AB AC =,60ABD ∠=,75ADB ∠=,30BDC ∠=,则DBC ∠=( )°A.15 B.18 C.20 D.25【答案】A【解析】【分析】延长BD到M使得DM=DC,由△ADM≌△ADC,得AM=AC=AB,得△AMB是等边三角形,得∠ACD=∠M=60°,再求出∠BAO即可解决问题.【详解】如图,延长BD到M使得DM=DC.∵∠ADB=75°,∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.∵∠ADB=75°,∠BDC=30°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°,∴∠ADM=∠ADC.在△ADM和△ADC中,∵AD ADADM ADC DM DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADM≌△ADC,∴AM=AC.∵AC=AB,∴AM=AC=AB,∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=60°,∴△AMB是等边三角形,∴∠M=∠DCA=60°.∵∠DOC=∠AOB,∠DCO=∠ABO=60°,∴∠BAO=∠ODC=30°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,∴30°+2(60°+∠CBD)=180°,∴∠CBD=15°.故选:A.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形,题目有一定难度.33.如图,已知点B 、C 、D 在同一条直线上,△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ,AD 交CE 于G .则下列结论中错误的是()A .AD =BEB .BE ⊥AC C .△CFG 为等边三角形D .FG ∥BC 【答案】B【解析】试题解析:A.ABC 和CDE △均为等边三角形,60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒,,,在ACD 与BCE 中,{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=,ACD BCE ∴≌,AD BE ∴=,正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点,即AC 和BF 不垂直,所以AC BE ⊥错误,故本选项符合题意. C.CFG 是等边三角形,理由如下:180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠,ACD BCE ≌,CBE CAD∴∠=∠,在ACG和BCF中,{CAG CBFAC BCBCF ACG∠=∠=∠=∠,ACG BCF∴≌,CG CH∴=,又∵∠ACG=60°CFG∴是等边三角形,正确.D.CFG是等边三角形,60CFG ACB∴∠︒=∠﹦,.FG BC∴正确.故选B.34.如图所示,在等边△ABC中,E是AC边的中点,AD是BC边上的中线,P是AD上的动点,若AD=3,则EP+CP的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由等边三角形的性质得,点B,C关于AD对称,连接BE交AD于点P,则EP+CP=BE最小,又BE=AD,所以EP+CP的最小值是3.故选B.点睛:本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质,求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值,常用的方法是,①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点;②连接另一个定点与对称点,与定直线的交点就是两线段和的值最小时,动点的位置.35.如图所示,在四边ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,若在BC和CD上分别找一点M,使得△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数为()A.110°B.120°C.140°D.150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和CD的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案.【详解】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.∵∠DAB=120°,∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°,∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°,故选B.【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法,以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用,根据轴对称的性质,得出M,N的位置是解题的关键.36.如图,已知长方形ABCD,AB=1,BC=2,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为( )A.1 B.1+3C.2+3D.3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’,MD=M’D’,易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形,推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME,共线时最短;由于点E 也为动点,可得当D’E⊥BC时最短,此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’,MD=M’D’,易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形,∴AM=MM’,∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME,∴D′M、MM′、ME共线时最短,由于点E也为动点,∴当D’E⊥BC时最短,此时易求得D’E=DG+GE=4+33,∴MA+MD+ME的最小值为4+33.故选B.【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造等边三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)37.下列运算正确的是A .532b b b ÷=B .527()b b =C .248·b b b =D .2·22a a b a ab -=+()【答案】A【解析】 选项A , 532b b b ÷=,正确;选项B , ()25b =10b ,错误;选项C , 24·b b =6b ,错误;选项D , 2·22a a b a ab -=-,错误.故选A.38.下列运算正确的是( )A .236•a a a =B .()325a a =C .23•a ab a b -=-D .532a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则即可求出答案.【详解】A .原式=a 5,故A 错误;B .原式=a 6,故B 错误;C .23•a ab a b -=-,正确;D .原式=a 2,故D 错误.故选C .【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.39.设M=(x ﹣3)(x ﹣7),N=(x ﹣2)(x ﹣8),则M 与N 的关系为( )A .M <NB .M >NC .M=ND .不能确定【答案】B【解析】由于M=(x-3)(x-7)=x 2-10x+21,N=(x-2)(x-8)=x 2-10x+16,可以通过比较M 与N 的差得出结果.解:∵M=(x-3)(x-7)=x 2-10x+21,N=(x-2)(x-8)=x 2-10x+16,M-N=(x 2-10x+21)-(x 2-10x+16)=5,∴M>N.故选B .“点睛”本题主要考查多项式乘以多项式的法则.注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项,掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键.。

最新人教版八年级数学上册期末培优卷(附答案)

最新人教版八年级数学上册期末培优卷(附答案)

最新人教版八年级数学上册期末培优卷(附答案)1、在中,分式的个数有(4)个。

2、三角形一边上的中线把原三角形分成两个(面积相等的三角形)。

3、在下列各式的计算中,正确的是(a+b=a+b)。

4、下列图形中,不是轴对称图形的是(2-1-1-1)。

5、已知P(a,3)和Q(4,b)关于x轴对称,则(a+b)2016的值为(-1)。

6、花粉的质量很小,一粒某种植物花粉的质量约为0.毫克,已知1克=1000毫克,那么0.毫克可以用科学记数法表示为(3.7×10^-5克)。

7、函数y=2x-3的自变量x的取值范围是(全体实数)。

8、用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是(SAS)。

9、如图,在△ABC中,∠C=50°,按图中虚线将∠C剪去后,∠1+∠2等于(130°)。

10、若m=2100,n=375,则m、n的大小关系正确的是(m>n)。

11、若m+n=3,则2m+4mn+2n﹣6的值为(0)。

12、如图,△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB,AC边所在直线的轴对称图形,若∠1:∠2:∠3=7:2:1,则∠α的度数为(110°)。

13、AD是△ABC中BC边上的中线,若AB=4,AC=6,则AD的取值范围是(2<AD<10)。

14、△ABC中,AB=AC≠BC,在△ABC所在平面内有点P,且使得△ABP、△ACP、△BCP均为等腰三角形,则符合条件的点P共有(8个)。

15、补充条件为AB=DF。

16、已知a+b=c,则a=(c-b)。

17、已知,则x=3.18、正确的是②和④。

①不一定成立,③由于AD不一定垂直于BC也不一定成立。

19、(1) 0.08;(2) -7;(3) 0;(4)。

20、(1)4(a-4);(2)3(x-4)。

21、x=1或x=-3.22、XXX平均每小时骑行15千米。

23、(1)利用BD=CD、CE⊥AB、CF⊥AD可证明△BCE≌△DCF;(2)利用三角形内角和定理和已知条件可证明AB+AD=2AE。

八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.直角三角形中,两锐角的角平分线所夹的锐角是_____度.【答案】45【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形,然后根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的性质,以及三角形的外角的性质求解即可.【详解】如图所示△ACB 为Rt△,AD ,BE ,分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线,AD ,BE 相交于一点F . ∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD,BE ,分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线,∴∠FAB+∠FBA=12∠CAB+12∠ABC=45°. 故答案为45.【点睛】此题主要考查了直角三角形的两锐角互余和三角形的外角的性质,关键是根据题意画出相应的图形,利用三角形的相关性质求解.2.一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍,则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解:本题根据题意可得:(n -2)×180°=4×360°,解得:n=10.故答案为:10 .考点:多边形的内角和定理.3.如图,在ABC ∆中,B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒,则A ∠=______.【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB的度数,再根据角平分线的定义,求出∠ABC+∠ACB,最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解:在△PBC中,∠BPC=130°,∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,∴∠ABC+∠ACB=2(∠PBC+∠PCB)=2×50°=100°,在△ABC中,∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义,掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.4.如果一个n边形的内角和是1440°,那么n=__.【答案】10【解析】∵n边形的内角和是1440°,∴(n−2)×180°=1440°,解得:n=10.故答案为:10.5.如图,在△ABC中,∠A=60°,若剪去∠A得到四边形BCDE,则∠1+∠2=______.【答案】240.【解析】【详解】试题分析:∠1+∠2=180°+60°=240°.考点:1.三角形的外角性质;2.三角形内角和定理.6.如图,△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过O作EF∥BC交AB、AC于E、F,若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm,O到AB的距离为4cm,△OBC的面积_____cm2.cm.【答案】242【解析】【分析】由BE=EO可证得EF∥BC,从而可得∠FOC=∠OCF,即得OF=CF;可知△AEF等于AB+AC,所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离,从而能求出△OBC的面积.【详解】∵BE=EO,∴∠EBO=∠EOB=∠OBC,∴EF∥BC,∴∠FOC=∠OCB=∠OCF,∴OF=CF;△AEF等于AB+AC,又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm,∴可得BC=12cm,根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm,∴S△OBC=1×12×4=24cm2.2考点:1.三角形的面积;2.三角形三边关系.二、八年级数学三角形选择题(难)7.在多边形内角和公式的探究过程中,主要运用的数学思想是()A.化归思想B.分类讨论C.方程思想D.数形结合思想【答案】A【解析】【分析】根据多边形内角和定理:(n-2)·180(n≥3)且n为整数)的推导过程即可解答.【详解】解:多边形内角和定理:(n-2)·180(n≥3)且n为整数),该公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出(n-3)条对角线,将n边形分割为(n-2)个三角形,这(n-2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和,体现了化归思想.故答案为A.【点睛】本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想,弄清推导过程是解答此题的关键.8.一个三角形的两边长分别为5和7,设第三边上的中线长为x ,则x 的取值范围是( )A .x>5B .x<7C .2<x<12D .1<x<6【答案】D【解析】如图所示:AB=5,AC=7,设BC=2a ,AD=x ,延长AD 至E ,使AD=DE ,在△BDE 与△CDA 中,∵AD=DE ,BD=CD ,∠ADC=∠BDE ,∴△BDE ≌△CDA ,∴AE=2x ,BE=AC=7,在△ABE 中,BE-AB <AE <AB+BE ,即7-5<2x <7+5,∴1<x <6.故选D .9.已知直线m n ,将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置,其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒,则2∠的度数为( )A .60︒B .65︒C .70︒D .75︒【答案】C【解析】【分析】 先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°,再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°.【详解】设直线n 与AB 的交点为E 。

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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数学八年级上册全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3)△DEF为等边三角形【解析】解:(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=900.∵∠BAC=900,∴∠BAD+∠CAE=900.∵∠BAD+∠ABD=900,∴∠CAE=∠ABD.又AB="AC" ,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.∴DE="AE+AD=" BD+CE.(2)成立.证明如下:∵∠BDA =∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α.∴∠DBA=∠CAE.∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.(3)△DEF为等边三角形.理由如下:由(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA =∠CAE,∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=600.∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF.∴∠DBF=∠FAE.∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF(AAS).∴DF=EF,∠BFD=∠AFE.∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600.∴△DEF为等边三角形.(1)因为DE=DA+AE,故由AAS证△ADB≌△CEA,得出DA=EC,AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证明△ADB≌△CEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ADB≌△CEA得BD=AE,∠DBA =∠CAE,由△ABF和△ACF均等边三角形,得∠ABF=∠CAF=600,FB=FA,所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠FAE,所以△DBF ≌△EAF,所以FD=FE,∠BFD=∠AFE,再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形.2.如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.(1)求证:BG=CF;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)BE+CF>EF,证明详见解析【解析】【分析】(1)先利用ASA判定△BGD≅CFD,从而得出BG=CF;(2)利用全等的性质可得GD=FD,再有DE⊥GF,从而得到EG=EF,两边之和大于第三边从而得出BE+CF>EF.【详解】解:(1)∵BG∥AC,∴∠DBG=∠DCF.∵D为BC的中点,∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF,在△BGD与△CFD中,∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD(ASA).∴BG=CF.(2)BE+CF>EF.∵△BGD≌△CFD,∴GD=FD,BG=CF.又∵DE⊥FG,∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).∴在△EBG中,BE+BG>EG,即BE +CF >EF .【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,要注意判定三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL .3.如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,4cm AC BC ==,点D 是斜边AB 的中点.点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动,点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动,规定当点E 到终点C 时停止运动.设运动的时间为x 秒,连接DE 、DF .(1)填空:ABC S ∆=______2cm ;(2)当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时,求证:DE DF =;(3)若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动,在点E 、点F 运动过程中,如果存在某个时间x ,使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍,请你求出时间x 的值.【答案】(1)8;(2)见解析;(3)45或4. 【解析】【分析】 (1)直接可求△ABC 的面积;(2)连接CD ,根据等腰直角三角形的性质可求:∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°,即BD=CD ,且BE=CF ,即可证△CDF ≌△BDE ,可得DE=DF ;(3)分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论,根据题意列出方程可求x 的值.【详解】解:(1)∵S △ABC =12⨯AC×BC ∴S △ABC =12×4×4=8(cm 2) 故答案为:8(2)如图:连接CD∵AC=BC ,D 是AB 中点∴CD 平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依题意得:BE=CF∴在△CDF 与△BDE 中BE CF B DCA BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF ≌△BDE (SAS )∴DE=DF(3)如图:过点D 作DM ⊥BC 于点M ,DN ⊥AC 于点N ,∵AD=BD ,∠A=∠B=45°,∠AND=∠DMB=90°∴△ADN ≌△BDM (AAS )∴DN=DM当S △ADF =2S △BDE .∴12×AF×DN=2×12×BE×DM ∴|4-3x|=2x ∴x 1=4,x 2=45综上所述:x=45或4 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,全等三角形的性质和判定,利用分类思想解决问题是本题的关键.4.如图1,在ABC ∆中,ACB ∠是直角,60B ∠=︒,AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线,AD 、CE 相交于点F .(1)求出AFC ∠的度数;(2)判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由.(提示:在AC 上截取CG CD =,连接FG .)(3)如图2,在△ABC ∆中,如果ACB ∠不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由.【答案】(1)∠AFC =120°;(2)FE 与FD 之间的数量关系为:DF =EF .理由见解析;(3)AC =AE+CD .理由见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ,∠ACF 即可解决问题;(2)根据在图2的 AC 上截取CG=CD ,证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ;再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ,得EF=FG ,故得出EF=FD ;(3)根据(2) 的证明方法,在图3的AC 上截取AG=AE ,证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ;再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ,得CD=CG 即可解决问题.【详解】(1)解:∵∠ACB =90°,∠B =60°,∴∠BAC =90°﹣60°=30°,∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,∴∠FAC =15°,∠FCA =45°,∴∠AFC =180°﹣(∠FAC+∠ACF )=120°(2)解:FE 与FD 之间的数量关系为:DF =EF .理由:如图2,在AC 上截取CG =CD ,∵CE 是∠BCA 的平分线,∴∠DCF =∠GCF ,在△CFG 和△CFD 中,CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CFG ≌△CFD (SAS ),∴DF =GF .∠CFD =∠CFG由(1)∠AFC =120°得,∴∠CFD =∠CFG =∠AFE =60°,∴∠AFG =60°,又∵∠AFE =∠CFD =60°,∴∠AFE =∠AFG ,在△AFG 和△AFE 中,AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AFG ≌△AFE (ASA ),∴EF =GF ,∴DF =EF ;(3)结论:AC =AE+CD .理由:如图3,在AC 上截取AG =AE ,同(2)可得,△EAF ≌△GAF (SAS ),∴∠EFA =∠GFA ,AG =AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC =180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°, ∴∠EFA =∠GFA =180°﹣120°=60°=∠DFC ,∴∠CFG =∠CFD =60°,同(2)可得,△FDC ≌△FGC (ASA ),∴CD=CG,∴AC=AG+CG=AE+CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用,全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造全等三角形.5.如图1,已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线,D为CF上一点,且DA=DB.(1)求证:∠ACB=∠ADB;(2)求证:AC+BC<2BD;(3)如图2,若∠ECF=60°,证明:AC=BC+CD.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)过点D分别作AC,CE的垂线,垂足分别为M,N,证明Rt△DAM≌Rt△DBN,得出∠DAM=∠DBN,则结论得证;(2)证明Rt△DMC≌Rt△DNC,可得CM=CN,得出AC+BC=2BN,又BN<BD,则结论得证;(3)在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,可证明△ADP≌△BDC,得出AP=BC,则结论可得出.【详解】(1)证明:过点D分别作AC,CE的垂线,垂足分别为M,N,∵CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线,∴DM=DN,在Rt△DAM和Rt△DBN中,DA DBDM DN=⎧⎨=⎩,∴Rt△DAM≌Rt△DBN(HL),∴∠DAM=∠DBN,∴∠ACB=∠ADB;(2)证明:由(1)知DM=DN,在Rt△DMC和Rt△DNC中,DC DCDM DN=⎧⎨=⎩,∴Rt△DMC≌Rt△DNC(HL),∴CM=CN,∴AC+BC=AM+CM+BC=AM+CN+BC=AM+BN,又∵AM=BN,∴AC+BC=2BN,∵BN<BD,∴AC+BC<2BD.(3)由(1)知∠CAD=∠CBD,在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,∵∠ECF=60°,∠ACF=60°,∴△CDP为等边三角形,∴DP=DC,∠DPC=60°,∴∠APD=120°,∵∠ECF=60°,∴∠BCD=120°,在△ADP和△BDC中,APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADP≌△BDC(AAS),∴AP=BC,∵AC=AP+CP,∴AC=BC+CP,∴AC=BC+CD.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在BC所在的直线上,点E在射线AC上,且AD=AE,连接DE.⑴如图①,若∠B=∠C=35°,∠BAD=80°,求∠CDE的度数;⑵如图②,若∠ABC=∠ACB=75°,∠CDE=18°,求∠BAD的度数;⑶当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时,试探究∠BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.【答案】(1)40°;(2)36°;(3)2∠CDE=∠BAD,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论;(2)根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论;(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β,分3种情况:①如图1,当点D 在点B的左侧时,∠ADC=x°-α,②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=y°+α,③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=y°-α,根据这3种情况分别列方程组即,解方程组即可得到结论.【详解】解: (1)∵∠B=∠C=35°,∴∠BAC=110°,∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=75°,∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°;(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°,∴∠E=75°−18°=57°,∴∠ADE=∠AED=57°,∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°,∴∠BAD=36°.(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°﹣α∴y xy xααβ=+⎧⎨=-+⎩①②-②得,2α﹣β=0,∴2α=β;②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=y°+α∴+y xy xααβ=+⎧⎨=+⎩①②-①得,α=β﹣α,∴2α=β;③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=y°﹣α∴180180y xy xαβα-++=⎧⎨++=⎩①②-①得,2α﹣β=0,∴2α=β.综上所述,∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形外角的性质,三角形的内角和,熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.7.如图,在等边ABC∆中,点D,E分别是AC,AB上的动点,且AE CD=,BD 交CE于点P.(1)如图1,求证120BPC︒∠=;(2)点M是边BC的中点,连接PA,PM.①如图2,若点A,P,M三点共线,则AP与PM的数量关系是;②若点A,P,M三点不共线,如图3,问①中的结论还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.【答案】(1)证明过程见详解;(2)①2AP PM=;②结论成立,证明见详解【解析】【分析】(1)先证明()AEC CDB SAS≌,得出对应角相等,然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论;(2)①2AP PM=;由等边三角形的性质和已知条件得出AM⊥BC,∠CAP=30°,可得PB=PC,由∠BPC=120°和等腰三角形的性质可得∠PCB=30°,进而可得AP=PC,由30°角的直角三角形的性质可得PC=2PM,于是可得结论;②延长BP至D,使PD=PC,连接AD、CD,根据SAS可证△ACD≌△BCP,得出AD=BP,∠ADC=∠BPC=120°,然后延长PM至N,使MN=MP,连接CN,易证△CMN≌△BMP (SAS),可得CN=BP=AD,∠NCM=∠PBM,最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP,即可证得结论.【详解】(1)证明:因为△ABC为等边三角形,所以60A ACB∠=∠=︒∵AC BCA ACBAE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AEC CDB SAS≌,∴AEC CDB∠=∠,在四边形AEPD中,∵360AEC EPD PDA A∠+∠+∠+∠=︒,∴18060360AEC EPD CDB∠+∠+︒-∠+︒=︒,∴120EPD∠=︒,∴120BPC∠=︒;(2)①如图2,∵△ABC是等边三角形,点M是边BC的中点,∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AM⊥BC,∠CAP=12∠BAC=30°,∴PB=PC,∵∠BPC=120°,∴∠PBC=∠PCB=30°,∴PC=2PM,∠ACP=60°﹣30°=30°=∠CAP,∴AP=PC,∴AP=2PM;故答案为:2AP PM=;②AP=2PM成立,理由如下:延长BP至D,使PD=PC,连接AD、CD,如图4所示:则∠CPD=180°﹣∠BPC=60°,∴△PCD是等边三角形,∴CD=PD=PC,∠PDC=∠PCD=60°,∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°=∠PCD,∴∠BCP=∠ACD,∴△ACD≌△BCP(SAS),∴AD=BP,∠ADC=∠BPC=120°,∴∠ADP=120°﹣60°=60°,延长PM至N,使MN=MP,连接CN,∵点M是边BC的中点,∴CM=BM,∴△CMN≌△BMP(SAS),∴CN=BP=AD,∠NCM=∠PBM,∴CN∥BP,∴∠NCP+∠BPC=180°,∴∠NCP=60°=∠ADP,在△ADP和△NCP中,∵AD=NC,∠ADP=∠NCP,PD=PC,∴△ADP≌△NCP(SAS),∴AP=PN=2CM;【点睛】本题是三角形的综合题,主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识;熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.8.(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形,点B D E 、、在同一直线上,连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ,为ADE 中DE 边上的高,连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3,AB 和ADE 均为等腰三角形,BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上,连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示,直接写出结果即可).【答案】(1)①证明见解析;②60°;(2)①90°;②BE =CE+2AF ;(3)∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =,再根据对应角相等求出BEC ∠的度数;(2)根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ,根据对应角相等求出BEC ∠的度数;因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论;(3)根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n°,根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE,根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC∠的度数,结合内角和用n表示∠ADE的度数,即可得出结论.【详解】(1)①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1),∴ AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS)∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD,∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.(2)①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2),∴ AB=AC,AD=AE,∠ADE=∠AED=45°,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴ BD=CE,∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.(3)如图3:∠AEC=90°+12n︒,理由如下,∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴ AB=AC,AD=AE,∠ADE=∠AED=n°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等,掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.9.如图,在等边三角形ABC右侧作射线CP,∠ACP=α(0°<α<60°),点A关于射线CP 的对称点为点D,BD交CP于点E,连接AD,AE.(1)求∠DBC的大小(用含α的代数式表示);(2)在α(0°<α<60°)的变化过程中,∠AEB的大小是否发生变化?如果发生变化,请直接写出变化的范围;如果不发生变化,请直接写出∠AEB的大小;(3)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系,并证明.【答案】(1)∠DBC60α=︒-;(2)∠AEB的大小不会发生变化,且∠AEB=60°;(3)BD=2AE+CE,证明见解析.【解析】【分析】(1)如图1,连接CD,由轴对称的性质可得AC=DC,∠DCP=∠ACP=α,由△ABC是等边三角形可得AC=BC,∠ACB=60°,进一步即得∠BCD=602α︒+,BC=DC,然后利用三角形的内角和定理即可求出结果;(2)设AC、BD相交于点H,如图2,由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE,可得∠CAE=∠CDE,进而得∠DBC=∠CAE,然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA,即可作出判断;(3)如图3,在BD 上取一点M ,使得CM=CE ,先利用三角形的外角性质得出∠BEC 60=︒,进而得△CME 是等边三角形,可得∠MCE =60°,ME=CE ,然后利用角的和差关系可得∠BCM =∠DCE ,再根据SAS 证明△BCM ≌△DCE ,于是BM=DE ,进一步即可得出线段AE ,BD ,CE 之间的数量关系.【详解】解:(1)如图1,连接CD ,∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ,∴AC=DC ,∠DCP =∠ACP =α,∵△ABC 是等边三角形,∴AC=BC ,∠ACB =60°,∴∠BCD =602α︒+,BC=DC ,∴∠DBC =∠BDC ()1806021806022BCD αα︒-︒+︒-∠===︒-;(2)∠AEB 的大小不会发生变化,且∠AEB =60°.理由:设AC 、BD 相交于点H ,如图2,∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ,∴AC=DC ,AE=DE ,又∵CE=CE ,∴△ACE ≌△DCE (SSS ),∴∠CAE =∠CDE ,∵∠DBC =∠BDC ,∴∠DBC =∠CAE ,又∵∠BHC =∠AHE ,∴∠AEB =∠BCA =60°, 即∠AEB 的大小不会发生变化,且∠AEB =60°;(3)AE ,BD ,CE 之间的数量关系是:BD =2AE +CE .证明:如图3,在BD 上取一点M ,使得CM=CE ,∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒,∴△CME 是等边三角形,∴∠MCE =60°,ME=CE ,∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=,∴∠BCM =∠DCE ,又∵BC=DC ,CM=CE ,∴△BCM≌△DCE(SAS),∴BM=DE,∵AE=DE,∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识,熟练掌握并运用上述知识解题的关键.10.小明在学习了“等边三角形”后,激发了他的学习和探究的兴趣,就想考考他的朋友小崔,小明作了一个等边ABC∆,如图1,并在边AC上任意取了一点F(点F不与点A、点C重合),过点F作FH AB⊥交AB于点H,延长CB到G,使得BG AF=,连接FG交AB于点l.(1)若10AC=,求HI的长度;(2)如图2,延长BC到D,再延长BA到E,使得AE BD=,连接ED,EC,求证:ECD EDC∠=∠.【答案】(1)HI =5;(2)见解析.【解析】【分析】(1)作FP∥BC交AB于点P,证明APF∆是等边三角形得到AH=PH,再证明PFI BGI∆≅∆得到PI=BI,于是可得HI =12AB,即可求解;(2)延长BD至Q,使DQ=AB,连结EQ,就可以得出BE=BQ,得出△BEQ是等边三角形,就可以得出BE=QE,得出△BCE≌△QDE就可以得出结论.【详解】解:如图1,作FP∥BC交AB于点P,∵ABC∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FH AB⊥,∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI∆和BGI∆中,PIF BIGPFI BGIPF BG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴PFI BGI∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB,∴HI=PI+PH =12AB=1102⨯=5;(2)如图2,延长BD至Q,使DQ=AB,连结EQ,∵△ABC 是等边三角形,∴AB=BC=AC ,∠B=60°.∵AE=BD ,DQ=AB ,∴AE+AB=BD+DQ ,∴BE=BQ .∵∠B=60°,∴△BEQ 为等边三角形,∴∠B=∠Q=60°,BE=QE .∵DQ=AB ,∴BC=DQ .∴在△BCE 和△QDE 中,BC DQ B Q BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△QDE (SAS ),∴EC=ED .∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键.本题难度较大,需要有较强的综合能力.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.因式分解是多项式理论的中心内容之一,是代数中一种重要的恒等变形,它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识.在初中阶段,它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础;利用因式分解的知识,有时可使某些数值计算简便.因式分解的方法很多,请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题.(1)填空:①()242221144x x x x ⎡⎤+=++-=⎢⎥⎣⎦( )22x -=( )( )②()()242116=644⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦=( )( )=( )⨯ ( ) (2)解决问题,计算:4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】(1)①212x +,221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,②26,26,2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,42.530.5,;(2)14541 【解析】【分析】(1)根据完全平方公式和平方差公式计算可得; (2)利用前面所得规律变形即可.【详解】(1)()242221144x x x x ⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 22212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221122x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2422211666624⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 2211666622⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭42.530.5=⨯ 故答案为:①212x +,221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,②26,26,2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,42.530.5,; (2)4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222222211116666888822221111555577772222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42.530.372.556.530.520.556.542.5⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 14541= 【点睛】本题考查了因式分解的应用;熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.12.利用我们学过的知识,可以导出下面这个等式:()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦. 该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,还体现了数学的和谐、简洁美. (1)请你展开右边检验这个等式的正确性;(2)利用上面的式子计算:222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯.【答案】(1)见解析;(2)3.【解析】【分析】(1)根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简,从而可以得出结论;(2)根据题目中的等式可以求得所求式子的值.【详解】解:(1)12[(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2] =12(a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2) =12×(2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ) =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ,故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12[(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2]正确; (2)20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =12×[(2018-2019)2+(2019-2020)2+(2020-2018)2] =12×(1+1+4)=12×6 =3. 【点睛】本题考查因式分解的应用,解答本题的关键是明确题意,熟练掌握完全平方公式并能灵活运用.13.阅读下列材料,然后解答问题:问题:分解因式:3245x x +-.解答:把1x =带入多项式3245x x +-,发现此多项式的值为0,由此确定多项式3245x x +-中有因式()1x -,于是可设()()322451x x x x mx n +-=-++,分别求出m ,n 的值.再代入()()322451x x x x mx n +-=-++,就容易分解多项式3245x x +-,这种分解因式的方法叫做“试根法”.(1)求上述式子中m ,n 的值;(2)请你用“试根法”分解因式:3299x x x +--.【答案】(1)5m =,5n =;(2)()()()133x x x ++-【解析】【分析】(1)先找出一个x 的值,进而找出一个因式,再将多项式设成分解因式的形式,即可得出结论;(2)先找出x=-1时,得出多项式的值,进而找出一个因式,再将多项式设成分解因式的形式,即可得出结论.【详解】解:(1)把1x =带入多项式3245x x +-,发现此多项式的值为0,∴多项式3245x x +-中有因式()1x -,于是可设322451xx x x mx n , 得出:3232451x x x m x n m x n ,∴14m ,0n m,∴5m =,5n =, (2)把1x =-代入3299x x x +--,多项式的值为0,∴多项式3299x x x +--中有因式()1x +,于是可设322329911x x x x x mx n x m x n m x n ,∴11m +=,9n m,9n =- ∴0m =,9n =-,∴3229133991x x x x x x x x【点睛】此题是分解因式,主要考查了试根法分解因式的理解和掌握,解本题的关键是理解试根法分解因式.14.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 .(3)分解因式:1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).【答案】(1)提公因式,两次;(2)2004次,(x +1)2005;(3) (x +1)1n +【解析】【分析】(1)根据已知材料直接回答即可;(2)利用已知材料进而提取公因式(1+x ),进而得出答案;(3)利用已知材料提取公因式进而得出答案.【详解】(1)上述分解因式的方法是:提公因式法,共应用了2次.故答案为提公因式法,2次;(2)1+x+x (x+1)+x (x+1)2+…+ x (x +1)2004,=(1+x )[1+x+x (1+x )+…+ x (x +1)2003]⋯=22003(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x +++++个=(1+x )2005,故分解1+x+x (x+1)+x (x+1)2+…+ x (x +1)2004,,则需应用上述方法2004次,结果是:(x+1)2005.(3)分解因式:1+x+x (x+1)+x (x+1)2…+x (x+1)n (n 为正整数)的结果是:(x+1)n+1.故答案为(x+1)n+1.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.15.仔细阅读下面例题,解答问题:例题:已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+,求另一个因式以及m 的值. 解:设另一个因式为()x n +,得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=.解得:n 7=-,m 21=- ∴另一个因式为()x 7-,m 的值为21-问题:仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-,求另一个因式以及k 的值.【答案】()4,x + 20.【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系,二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1,因式是()x 3+的一次项系数也是1,利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2,因式是()2x 5-的一次项系数是2,则另一个因式的一次项系数一定是1,利用待定系数法,就可以求出另一个因式.【详解】解:设另一个因式为()x a +,得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得:a 4=,k 20=故另一个因式为()x 4+,k 的值为20【点睛】正确读懂例题,理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.四、八年级数学分式解答题压轴题(难)16.某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天,2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨;2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍. (注:=垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量) (1)求该市2018年平均每天的垃圾排放量;(2)预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”,那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上,至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求?【答案】(1)100;(2)98.【解析】【分析】(1)设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨,根据题意列方程求出x 的值即可;(2)设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨,根据题意列出不等式,解得m 的取值范围即可得到答案.【详解】(1)设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨,40 2.540 1.25100x x⨯=⨯+, 解得:x=100,经检验,x=100是原分式方程的解,答:2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨.(2)由(1)得2019年垃圾的排放量为200万吨,设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨,40 2.5200(110%)m ⨯+⨯+≥90%, m ≥98,∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求.【点睛】此题考查分式方程的实际应用,一元一次不等式的实际应用,正确理解题意,找到各量之间的关系是解题的关键.17.小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司,合做需6周完成,需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周才能完成,需工钱4.8万元,若只选一个公司单独完成,从节约开支角度考虑,小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由.【答案】从节约开支角度考虑,应选乙公司单独完成【解析】试题分析:需先算出甲乙两公司独做完成的周数.等量关系为:甲6周的工作量+乙6周的工作量=1;甲4周的工作量+乙9周的工作量=1;还需算出甲乙两公司独做需付的费用.等量关系为:甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2;甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8.试题解析:解:设甲公司单独完成需x 周,需要工钱a 万元,乙公司单独完成需y 周,需要工钱b 万元.依题意得:661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:1015x y =⎧⎨=⎩. 经检验:1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根,且符合题意. 又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩,解得:64a b =⎧⎨=⎩. 即甲公司单独完成需工钱6万元,乙公司单独完成需工钱4万元.答:从节约开支角度考虑,应选乙公司单独完成.点睛:本题主要考查分式的方程的应用,根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱,然后比较应选择哪个公司.18.阅读下面的解题过程: 已知2112x x =+,求241x x +的值。

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最新八年级上数学培优试题及答案解析11.1与三角形有关的线段专题一三角形个数的确定1.如图,图中三角形的个数为()A.2 B.18 C.19 D.202.如图所示,第1个图中有1个三角形,第2个图中共有5个三角形,第3个图中共有9个三角形,依此类推,则第6个图中共有三角形__________个.3.阅读材料,并填表:在△ABC中,有一点P1,当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时,可构成三个不重叠的小三角形(如图).当△ABC内的点的个数增加时,若其他条件不变,三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样?完成下表:△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围4.三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a的取值范围是()A.-6<a<-3 B.-5<a<-2 C.2<a<5 D.a<-5或a>-25. 在△ABC中,三边长分别为正整数a、b、c,且c≥b≥a>0,如果b=4,则这样的三角形共有______个.6.若三角形的三边长分别是2、x、8,且x是不等式22x+>123x--的正整数解,试求第三边x的长.状元笔记【知识要点】1.三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.2.三角形三条重要线段(1)高:从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.(2)中线:连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线.(3)角平分线:三角形内角的平分线与对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.3.三角形的稳定性三角形具有稳定性.【温馨提示】1.以“是否有边相等”,可以将三角形分为两类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.而不是分为三类:三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形,等边三角形是等腰三角形的一种.2.三角形的高、中线、角平分线都是线段,而不是直线或射线.【方法技巧】1.根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时,要看两条较短边之和是否大于最长边.2.三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形,这两个三角形面积相等.参考答案:1.D 解析:线段AB上有5个点,线段AB与点C组成5×(5-1)÷2=10个三角形;同样,线段DE上也有5个点,线段DE与点C组成5×(5-1)÷2=10个三角形,图中三角形的个数为20个.故选D.2.21 解析:根据前边的具体数据,再结合图形,不难发现:后边的总比前边多4,若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4-3,则第n个图形中,三角形的个数是4n-3.所以当n=6时,原式=21.3.解:填表如下:△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015)解析:当△ABC内有1个点时,构成不重叠的三角形的个数是3=1×2+1;当△ABC内有2个点时,构成不重叠的三角形的个数是5=2×2+1;参考上面数据可知,三角形的个数与点的个数之间的关系是:三角形内有n 个点时,三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1,故当有3个点时,三角形的个数是3×2+1=7;当有1007个点时,三角形的个数是1007×2+1=2015.4.B 解析:根据题意,得8-3<1-2a<8+3,即5<1-2a<11,解得-5<a<-2.故选B.5.10 解析:∵在△ABC中,三边长分别为正整数a、b、c,且c≥b≥a>0,∴c<a+b.∵b=4,∴a=1,2,3,4.a=1时,c=4;a=2时,c=4或5;a=3时,c=4,5,6;a=4时,c=4,5,6,7.∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个.6.解:原不等式可化为3(x+2)>-2(1-2x),解得x<8.∵x是它的正整数解,∴x可取1,2,3,5,6,7.再根据三角形三边关系,得6<x<10,∴x=7.11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,∠A=50°,则∠D=()A.15° B.20° C.25° D.30°2.如图,已知:在直角△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P,求∠BPA的度数.3.已知:如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:__________;(2)在图2中,若∠D=40°,∠B=30°,试求∠P的度数;(写出解答过程)(3)如果图2中∠D和∠B为任意角,其他条件不变,试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系.(直接写出结论即可)专题二利用三角形外角的性质解决问题4.如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为()A.15°B.20° C.25° D.30°5.如图,△ABC中,CD是∠ACB的角平分线,CE是AB边上的高,若∠A=40°,∠B=72°.(1)求∠DCE的度数;(2)试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式.(不必证明)6.如图:(1)求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C;(2)如果点D与点A分别在线段BC的两侧,猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系,并证明你的结论.状元笔记【知识要点】1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.2.直角三角形的性质及判定性质:直角三角形的两个锐角互余.判定:有两个角互余的三角形是直角三角形.3.三角形的外角及性质外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【温馨提示】1.三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角,而不是两边延长线组成的角.2.三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角.【方法技巧】1.在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时,可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”.2.由三角形的外角的性质可得出:三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.参考答案:1.C 解析:∵∠ABC的平分线与∠A CB的外角平分线相交于点D,∴∠1=12∠ACE,∠2=12∠ABC.又∵∠D=∠1-∠2,∠A=∠ACE-∠ABC,∴∠D=12∠A=25°.故选C.2.解:(法1)因为∠C=90°,所以∠BAC+∠ABC=90°,所以12(∠BAC+∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC,AP平分∠BAC ,∠BAP=12∠BAC,∠ABP=12∠ABC ,即∠BAP+∠ABP=45°,所以∠APB=180°-45°=135°. (法2)因为∠C=90°,所以∠BAC+∠ABC=90°,所以12(∠BAC+∠ABC)=45°,因为BD平分∠ABC,AP平分∠BAC,∠DBC=12∠ABC,∠PAC=12∠BAC ,所以∠DBC+∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C =45°+90°=135°.3.解:(1)∠A+∠D=∠B+∠C;(2)由(1)得,∠1+∠D=∠3+∠P,∠2+∠P=∠4+∠B,∴∠1-∠3=∠P-∠D,∠2-∠4=∠B-∠P,又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠P-∠D=∠B-∠P,即2∠P=∠B+∠D,∴∠P=(40°+30°)÷2=35°.(3)2∠P=∠B+∠D.4.B 解析:延长DC,与AB交于点E.根据三角形的外角等于不相邻的两内角和,可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°,整理得∠ACD-∠ABD=60°.设AC与BP相交于点O,则∠AOB=∠POC,∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD,即∠P=50°-12(∠ACD-∠ABD)=20°.故选B.5.解:(1)∵∠A=40°,∠B=72°,∴∠ACB=68°.∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=12∠ACB=34°.∵CE是AB边上的高,∴∠ECB=90°-∠B=90°-72°=18°.∴∠DCE=34°-18°=16°.(2)∠DCE=12(∠B-∠A).6.(1)证明:延长BD交AC于点E,∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B.∵∠BDC是△CED的外角,∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B.(2)猜想:∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°.证明:∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=(∠3+∠2+∠1)+(∠6+∠5+∠4)=180°+180°=360°.11.3多边形及其内角和专题一根据正多边形的内角或外角求值1.若一个正多边形的每个内角为150°,则这个正多边形的边数是()A.12 B.11 C.10 D.92.一个多边形的每一个外角都等于36°,则该多边形的内角和等于________°.3.已知一个多边形的每一个内角都相等,且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍,求这个多边形的边数.专题二求多个角的和4.如图为某公司的产品标志图案,图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=()A.360° B.540° C.630° D.720°5.如图,∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°.6.如图,求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.状元笔记【知识要点】1.多边形及相关概念多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.2.多边形的内角和与外角和内角和:n边形的内角和等于(n-2)·180°.外角和:多边形的外角和等于360°.【温馨提示】1.从n边形的一个顶点出发,可以做(n-3)条对角线,它们将n边形分为(n-2)个三角形.对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错.2.多边形的外角和等于360°,而不是180°.【方法技巧】1.连接多边形的对角线,将多边形转化为多个三角形,将多边形问题转化为三角形问题来解决.2.多边形的内角和随边数的变化而变化,但外角和不变,都等于360°,可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等.参考答案:1.A 解析:∵每个内角为150°,∴每个外角等于30°.∵多边形的外角和是360°,360°÷30°=12,∴这个正多边形的边数为12.故选A.2.1440 解析:∵多边形的边数为360°÷36°=10,多边形的内角为180°-36°=144°,∴多边形的内角和等于144°×10=1440°.3.解:设多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)·180°=9×360°,解得n=20.所以这个多边形的边数为20.4.B 解析:∵∠1=∠C+∠D,∠2=∠E+∠F,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°.故选B.5.360°解析:在四边形BEFG中,∵∠EBG=∠C+∠D,∠BGF=∠A+∠ABC,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°.6.解:∵∠POA是△OEF的外角,∴∠POA=∠E+∠F.同理:∠BPO=∠D+∠C.∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.第十二章全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:△A BE≌△CDF.2.如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE. 请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.(1)你添加的条件是:__________;(2)证明:3.如图,△ABC 中,点D 在BC 上,点E 在AB 上,BD=BE ,要使△ADB≌△CEB,还需添加一个条件. (1)给出下列四个条件: ①AD=CE; ②AE=CD;③∠BAC=∠BCA; ④∠ADB=∠CEB;请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB 的条件,并给出证明;(2)在(1)中所给出的条件中,能使△ADB≌△CEB 的还有哪些?直接在题后横线上写出满足题意的条件序号.__________________.专题二 全等三角形的判定与性质4.如图,已知△ABC 中,∠ABC =45°,AC =4,H 是高AD 和BE 的交点,则线段BH的长度为( )A .6B .4C .23D .5 5.【2013·襄阳】如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,将△ADC 绕点A 顺时针旋转,使AC 与AB 重合,点D 落在点E 处,AE 的延长线交CB 的延长线于点M ,EB 的延长线交AD 的延长线于点N . 求证:AM =AN .NME D B CA6.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE.求证:AE∥BC.专题三全等三角形在实际生活中的应用7.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是()A.60° B.90° C.120° D.150°8.有一座小山,现要在小山A、B的两端开一条隧道,施工队要知道A、B两端的距离,于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A、B两端的距离,你能说说其中的道理吗?9.已知如图,要测量水池的宽AB,可过点A作直线AC⊥AB,再由点C观测,在BA延长线上找一点B′,使∠ACB′=∠ACB,这时只要量出AB′的长,就知道AB的长,对吗?为什么?状元笔记 【知识要点】 1.全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等. 3.三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”).(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS ”). (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA ”).(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”). 4.直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL ”). 【温馨提示】1.两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等,只有角分别相等不能证明两个三角形全等. 2.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 3.“HL ”定理指的是斜边和一条直角边分别相等,而不是斜边和直角分别相等. 【方法技巧】 1.应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角,其规律主要有以下几点: (1)以对应顶点为顶点的角是对应角; (2)对应顶点所对应的边是对应边; (3)公共边(角)是对应边(角); (4)对顶角是对应角;(5)最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角).全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定,如若△AB C ≌△DEF ,说明A 与D ,B 与E ,C 与F 是对应点,则∠ABC 与∠DEF 是对应角,边AC 与边DF 是对应边. 2.判定两个三角形全等的解题思路:SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——参考答案:1.证明:平行四边形ABCD 中,AB=CD ,∠A=∠C ,AB ∥CD , ∴∠ABD=∠CDB .∵∠AB E=21∠ABD ,∠CDF=21∠CDB ,∴∠ABE=∠CDF .在△ABE 与△CDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF ABE CDAB C A ∴△ABE ≌△CDF . 2.解:(1)DC BD =(或点D 是线段BC 的中点),ED FD =,BE CF =中任选一个即可﹒ (2)以DC BD =为例进行证明: ∵CF ∥BE , ∴∠FCD ﹦∠EBD .又∵DC BD =,∠FDC =∠EDB , ∴△BDE ≌△CDF . 3.解:(1)添加条件②,③,④中任一个即可,以添加②为例说明. 证明:∵AE=CD,BE=BD , ∴AB=CB.又∠ABD=∠CBE,BE=BD , ∴△ADB≌△CEB. (2)③④.4.B 解析:∵∠ABC =45°,AD ⊥BC ,∴AD =BD ,∠ADC =∠BDH , ∠AHE =∠BHD =∠C .∴△ADC ≌△BDH .∴BH =AC =4.故选B . 5.证明:如图所示,7654321NME D B CA∵△AEB 由△ADC 旋转而得, ∴△AEB ≌△ADC .∴∠3=∠1,∠6=∠C .∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∴∠2=∠1,∠7=∠C .∴∠3=∠2,∠6=∠7.∵∠4=∠5,∴∠ABM =∠ABN . 又∵AB =AB ,∴△AMB ≌△ANB .∴AM =AN .6.证明:∵△ABC 和△EDC 是等边三角形, ∴∠BCA =∠DCE =60°. ∴∠BCA -∠ACD =∠DCE -∠ACD ,即∠BCD =∠ACE . 在△DBC 和△EAC 中,BC =AC ,∠BCD =∠ACE ,DC =EC , ∴△DBC ≌△EAC (SAS ). ∴∠DBC =∠EAC . 又∵∠DBC =∠ACB =60°, ∴∠ACB =∠EAC .∴AE ∥BC . 7.B 解析:∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形,又∵BC=EF,AC=DF ,∴Rt△ABC≌Rt△DEF.∴∠ABC =∠DEF ,∵∠DEF +∠DFE =90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.8.解:在△ABC 和△CED 中,AC=CD ,∠ACB=∠ECD,EC=BC ,∴△ABC≌△CED.∴AB=ED.即量出DE 的长,就是A 、B 两端的距离. 9.解:对.理由:∵AC⊥AB,∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中,ACB ACB AC AC CAB CAB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠′,,∠∠′, ∴△ABC≌△AB′C(ASA ).∴AB′=AB.第十三章 轴对称13.1轴对称 13.2画轴对称图形专题一 轴对称图形1.下列图案是轴对称图形的是( )2.众所周知,几何图形中有许多轴对称图形,写出一个你最喜欢的轴对称图形是:______________________.(答案不唯一)3.如图,阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形,请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形,使它们成为轴对称图形.专题二 轴对称的性质4.如图,△ABC 和△ADE 关于直线l 对称,下列结论:①△ABC≌△ADE;②l 垂直平分DB ;③∠C=∠E;④BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线l 上.其中错误的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个5.如图,∠A=90°,E为BC上一点,A点和E点关于BD对称,B点、C点关于DE对称,求∠AB C和∠C的度数.6.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线m对称.(1)结合图形指出对称点.(2)连接A、A′,直线m与线段AA′有什么关系?(3)延长线段AC与A′C′,它们的交点与直线m有怎样的关系?其他对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流.专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是()A.3 B.2 C.3D.18.如图,在△ABC中,BC=8,AB的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC与E,则△ADE的周长等于________.9.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系?并加以证明.专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10.已知点P(-2,3)关于y轴的对称点为Q(a,b),则a+b的值是()A.1 B.-1 C.5 D.-511.已知P1点关于x轴的对称点P2(3-2a,2a-5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点,称为整点),则P1点的坐标是__________.状元笔记【知识要点】1.轴对称图形与轴对称轴对称图形:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线是它的对称轴.轴对称:把一个平面图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴.2.轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3.线段的垂直平分线的性质和判定性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.4.关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);【温馨提示】1.轴对称图形是针对一个图形而言,是指一个具有对称的性质的图形;轴对称是针对两个图形而言,它描述的是两个图形的一种位置关系.2.在平面直角坐标系中,关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数,纵坐标相同.参考答案:1.D 解析:∵将D 图形上下或左右折叠,图形都能重合,∴D 图形是轴对称图形, 故选D .2.圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等 3.如图所示:4.A 解析:根据轴对称的定义可得,如果△ABC 和△ADE 关于直线l 对称,则△ABC≌△ADE,即①正确;因为如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对应线段、对应角相等,故l 垂直平分DB ,∠C=∠E,即②,③正确;因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交,那么,交点一定在对称轴上,故BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线l 上,即④正确.综上所述,①②③④都是正确的,故选A . 5.解:根据题意A 点和E 点关于BD 对称, 有∠ABD=∠EBD,即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD. B 点、C 点关于DE 对称,有∠DBE=∠BCD,∠ABC=2∠BCD. 且已知∠A=90°, 故∠ABC+∠BCD=90°.故∠ABC=60°,∠C=30°.6.解:(1)对称点有A 和A',B 和B',C 和C'. (2)连接A 、A′,直线m 是线段AA′的垂直平分线.(3)延长线段AC 与A′C′,它们的交点在直线m 上,其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线m 上,即若两线段关于直线m 对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上.7.B 解析:在Rt△FDB 中,∵∠F=30°,∴∠B=60°. 在Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,∠ABC=60°, ∴∠A=30°.在Rt△AED 中,∵∠A=30°, DE =1,∴AE=2.连接EB. ∵DE 是AB 的垂直平分线,∴EB =AE =2. ∴∠EBD=∠A=30°.∵∠ABC=60°,∴∠EBC=30°.∵∠F=30°,∴EF=EB =2.故选B .ABFCED8.8 解析:∵DF 是AB 的垂直平分线,∴DB=DA .∵EG 是AC 的垂直平分线,∴EC=EA . ∵BC=8,∴△ADE 的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8. 9.解:AB+BD=DE .证明:∵AD⊥BC,BD=DC ,∴AB=AC . ∵点C 在AE 的垂直平分线上, ∴AC=CE . ∴AB=CE .∴AB+BD=CE+DC=DE .10.C 解析:关于y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等,∴a=2,b=3.∴a+b=5. 解得1.5<a <2.5,又因为a 必须为整数,∴a=2.∴点P 2(-1,-1). ∴P 1点的坐标是(-1,1).第十四章 整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一 幂的性质1.下列运算中,正确的是( )A .3a 2-a 2=2B .(a 2)3=a 9C .a 3•a 6=a 9D .(2a 2)2=2a 42.下列计算正确的是( )A .3x ·622x x = B .4x ·82x x =C .632)(x x -=- D .523)(x x = 3.下列计算正确的是( )A .2a 2+a 2=3a 4B .a 6÷a 2=a 3C .a 6·a 2=a 12D .( -a 6)2=a 12专题二 幂的性质的逆用4.若2a =3,2b =4,则23a+2b等于( ) A .7 B .12 C .432 D .1085.若2m=5,2n=3,求23m+2n的值.6.计算:(1)(-0.125)2014×(-2)2014×(-4)2015; (2)(-19)2015×811007.专题三 整式的乘法7.下列运算中正确的是( )A .2325a a a +=B .22(2)()2a b a b a ab b +-=--C .23622a a a ⋅=D .222(2)4a b a b +=+8.若(3x 2-2x +1)(x +b )中不含x 2项,求b 的值,并求(3x 2-2x +1)(x +b )的值.9.先阅读,再填空解题:(x +5)(x +6)=x 2+11x +30;(x -5)(x -6)=x 2-11x +30;(x -5)(x +6)=x 2+x -30;(x +5)(x -6)=x 2-x -30.(1)观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系?答:________. (2)根据以上的规律,用公式表示出来:________. (3)根据规律,直接写出下列各式的结果:(a +99)(a -100)=________;(y -80)(y -81)=________.10.计算:(3x 3y -18x 2y 2+x 2y )÷(-6x 2y )=________.11.计算:236274319132)()(ab b a b a -÷-.12.计算:(a -b )3÷(b -a )2+(-a -b )5÷(a +b )4.。

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