利用极点配置法设计调节器型系统-倒立摆

1
2
3
4
因此
a1* = 24,
a
* 2
= 196,
a3* = 720,
a
* 4
= 1600
现采用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵 K，即
K
= [ a4∗ − a4 M
a3∗ − a3 M
a
∗ 2
−
a2
M
a1∗
−
a1
]
P −1
式中 P 即
P = QW
这里 Q 和 W 分别为
⎡0 −1 0 −20.601⎤ Q = [ B M AB M A2B M A3B ] = ⎢⎢− 1 0 − 20.601 0⎥⎥
⎥ ⎥
⎢− 9.81 0 0.5 0 ⎥
⎢⎣0 − 9.81 0 0.5⎥⎦
因此
⎢⎡− ⎢
0.5 9.81
P −1
=
⎢ ⎢
0
⎢ ⎢
−1
0
⎢⎣ 0
故状态反馈增益矩阵 K 为
0
− 0.5 9.81 0
−1
−1 9.81 0
0
⎤ ⎥
−
1
⎥ ⎥
9.81⎥
0
⎥ ⎥
00
⎥⎦
K
=
[
a* 4
−
a 4
M
a* 3
−
a 3
么，其数学模型为
(M + m)&x& + mlθ = u
(2)
ml 2θ&& + ml&x& = mglθ
(3)
式（2）和(3)定义了如图 2 所示的倒立摆系统的数学模型（只要 θ 不大，线性化
方程就是有效的）。
式（2）和（3）可改写为
Mlθ&& = (M + m)gθ − u (4)
M&x& = u − mgθ
(M + m)&x& = u − H
由(1.a),(1.b)和(1.c)可得
Iθ&& = mglθ − lm(&x&+ lθ )
整理得
(I + ml2)θ&&+ ml&x& = mglθ
这样，我们就得到了倒立摆的运动方程。
我们在来研究图 2 的倒立摆系统。由于该系统的质量集中在杆的顶端，所以重心
就是摆球的中心。在分析中，假设摆围绕其重心的转动惯量为零，即 I = 0。那
(s − μ )(s − μ )(s − μ )(s − μ ) = (s + 2 − j2 3)(s + 2 + j2 3)(s +10)(s +10)
1
2
3
4
= (s2 + 4s +16)(s2 + 20s +100)
= s4 + 24s3 + 196s2 + 720s + 1600
= s4 + a*s3 + a*s2 + a*s + a* = 0
2 秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于 ξ= 0.5），所以我们选择期望的
s = μ 闭环极点为
i (i =1,2,3,4），其中
μ1 = −2 + j2 3, μ2 = −2 − j2 3, μ3 = −10, μ4 = −10
在这种情况下，μ1，和 μ2 是一对具有 ξ= 0.5 和 ωn = 4 的主导闭环极点。剩 余的两个极点 μ3 和 μ4 位于远离主导闭环极点对的左边。因此，μ3 和 μ4 响应的影 响很小。所以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为
显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s = -4.539），另一个极点在正 实轴上（s = 4.539），因此，该系统是开环不稳定的。
定义状态变量为
x1 = θ x2 = θ&
x3 = x x4 = x&
注意，θ 表示摆杆围绕点 P 的旋转角，x 表示小车的位置，将 θ 和 x 作为系统的
输出，即
(M + m)&x& + mlθ&& = u (l + ml 2 )θ&& + ml&x& = mglθ
式中，I 是摆杆围绕其重心的转动惯量。 推导过程：考虑上图（b）的隔体受力图，摆干绕其中心的转动运动可以用下式 描述
Iθ&& =Vl sinθ − Hl cosθ
摆干的水平运动可以写为
摆干的垂直运动为
%*****This program determines the state-feedback gain %matrix K = [k1,k2 k3 k4] by use of Ackermann’s %formula*****
%*****Enter matrices A,B,C,and D*****
利用极点配置法设计调节器型系统
考虑如图 1 所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考 虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
图 1 倒立摆系统 希望在有干扰（如作用于质量 m 上的阵风施加于小车的这类外力）时，保持 摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位置，且 在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位置 x = 0。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，用合理的 阻尼（如对主导闭环极点有 ζ=0.5），可快速地（如调整时间约为 2 秒）使摆返回 至垂直位置，并使小车返回至参考位置（x = 0）。假设 M、m 和 l 的值为
⎡x1 ⎤
⎡ ⎢⎣
y1 y2
⎤ ⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣0
0 0
0 1
0⎤ 0⎥⎦
⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x2 x3 x4
⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(7)
式（6）和（7）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注意，该系统的状态空
间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。
代入给定的 M、m 和 l 的值，可得
M + m g = 20.601, m g = 0.4905, 1 = 1, 1 = 0.5
⎢⎣0 0.5 0 0.4905 ⎥⎦
⎡a3 a2 a1 1 ⎤ ⎡ 0
W = ⎢⎢a2 a1 1 0⎥⎥ = ⎢⎢− 20.604
⎢⎢⎣1a1
1 0
0 0
0⎥ 0⎥⎦
⎢ ⎢⎣
0 1
− 20.601 0 1⎤
01 0
⎥ ⎥
100 ⎥
0 0 0 ⎥⎦
变换矩阵 P 成为
⎡0 0 −1 0
⎤
P = QW = ⎢⎢0 0 0 −1
Q=[B A*B A^2*B A^3*B]; rank(Q)
ans=
4
%*****Since the rank of Q is 4, the system is completely %state controllable. Hence,arbitrary pole placement is %possible***** %*****Enter the desired characteristic polynomial,which $can be obtained defining the following matrix J and %entering statement poly(J)*****
J=[-2+2*sqrt(3)*i 0 0 0
JJ=poly(J)
0
0
-2-2*sprt(3)*i 0
0
-10
0
0
0; 0; 0; -10
JJ=
1.0e+003*
0.0010 0.0240 0.1960 0.7200 1.6000
%*****Enter characteristic polynomial Phi*****
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
x&1 ⎤ x&2⎥⎥ x&3⎥ x&4⎥⎦
=
⎢ ⎢
M
+
⎢ ml
⎢0
⎢
⎢⎢⎣−
m M
m g
g
(6)
1 0 0⎤
⎡ 0⎤
0 0
0 0
⎥⎡x1 ⎤ 0⎥⎥ ⎢⎢ x 2⎥⎥ 1 ⎥ ⎢ x3⎥
+
⎢ ⎢− ⎢ ⎢
1 Ml 0
⎥ ⎥ ⎥⎥u
0
0
0⎥⎥⎥⎦ ⎢⎣ x 4⎥⎦
⎢⎥ ⎢ 1⎥ ⎢⎣ M ⎥⎦
Phi=polyvalm(poly(J),A);
%*****State feedback gain matrix K can be determined
%from*****
K=[0 0 0 1]*(inv(Q))*Phi
K=
-298.1504
-60.6972
-163.09889 -73.3945
这里，我们采用极点配置的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对 任意极点配置的充要条件为系统状态完全能控。
设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。 1 数学建模 我们首先推导了如下图 2.a 所示的倒立摆系统的数学模型。
图 2 （a）倒立摆系统 (b)隔体受力图 结论：当角度 θ 不大时，描述系统动态特性的方程可以写为
m
d2 dt 2
(x
+
l
sinθ
)
=
H
小车的水平运动为
m
d dt 2
(l
cosθ