利用极点配置法设计调节器型系统-倒立摆

这里，我们采用极点配置的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对 任意极点配置的充要条件为系统状态完全能控。
设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。 1 数学建模 我们首先推导了如下图 2.a 所示的倒立摆系统的数学模型。
图 2 （a）倒立摆系统 (b)隔体受力图 结论：当角度 θ 不大时，描述系统动态特性的方程可以写为
(5)
式（4）可由式（2）和(3)消去 &x& 得到。 式（5）可由式（2）和（3）消去θ&& 得到。
从式（4）可得系统的传递函数为
Θ(s) =
1
− U (s) Mls 2 − (M + m)g
代入给定的数值，且注意到 g = 9.81 米/秒 2，可得
Θ(S) =
1
=
1
−U (s) s 2 − 20.601 s 2 − (4.539)2
利用极点配置法设计调节器型系统
考虑如图 1 所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考 虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
图 1 倒立摆系统 希望在有干扰（如作用于质量 m 上的阵风施加于小车的这类外力）时，保持 摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位置，且 在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位置 x = 0。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，用合理的 阻尼（如对主导闭环极点有 ζ=0.5），可快速地（如调整时间约为 2 秒）使摆返回 至垂直位置，并使小车返回至参考位置（x = 0）。假设 M、m 和 l 的值为
M = 2 千克， m = 0.1 千克， l = 0.5 米 进一步设摆的质量集中在杆的顶端，且杆是无质量的。 对于给定的角度 θ 和（/或）角速度θ& 的初始条件，设计一个使倒立摆保持在
垂直位置的控制系统。此外，还要求控制系统在每一控制过程结束时，小车返回 到参考位置。该系统对初始条件的干扰有效地做出响应（所期望的角 θd 总为零， 并且期望的小车的位置总在参考位置上。因此，该系统是一个调节器系统）。
⎡x1 ⎤
⎡ ⎢⎣
y1 y2
⎤ ⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣0
0 0
0 1
0⎤ 0⎥⎦
⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎣
x2 x3 x4
⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(7)
式（6）和（7）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注意，该系统的状态空
间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。
代入给定的 M、m 和 l 的值，可得
M + m g = 20.601, m g = 0.4905, 1 = 1, 1 = 0.5
= [−298.1504 −60.6972 − 163.0989 − 73.3945]
反馈控制输入为
u = −Kx = 298.1504x1 + 60.6972x2 +163.0989x3 + 73.3945x4
注意，这是一个调节器系统。期望的角 θd 总为零，且期望的小车的位置 xd 也总为零。因此，参考输入为零。图 3 为用于倒立摆系统的状态反馈控制结构图
⎢0
0s
⎢⎣0..4905 0 0
= s4 − 20.601s2
0⎤
0 0⎥⎥
−1 ⎥
s
⎥ ⎦
= s4 + a1s3 +a2 s2 + a3s + a4 = 0
因此
a1 = 0, a 2 = −20.601, a3 = 0, a4 = 0
其次，选择期望的闭环极点位置。由于要求系统具有相当短的调整时间（约
⎢⎣0 0.5 0 0.4905 ⎥⎦
⎡a3 a2 a1 1 ⎤ ⎡ 0
W = ⎢⎢a2 a1 1 0⎥⎥ = ⎢⎢− 20.604
⎢⎢⎣1a1
1 0
0 0
0⎥ 0⎥⎦
⎢ ⎢⎣
0 1
− 20.601 0 1⎤
01 0
⎥ ⎥
100 ⎥
0 0 0 ⎥⎦
变换矩阵 P 成为
⎡0 0 −1 0
⎤
P = QW = ⎢⎢0 0 0 −1
⎥ ⎥
⎢− 9.81 0 0.5 0 ⎥
⎢⎣0 − 9.81 0 0.5⎥⎦
因此
⎢⎡− ⎢
0.5 9.81
P −1
=
⎢ ⎢
0
⎢ ⎢
−1
0
⎢⎣ 0
故状态反馈增益矩阵 K 为
0
− 0.5 9.81 0
−1
−1 9.81 0
0
⎤ ⎥
−
1
⎥ ⎥
9.81⎥
0
⎥ ⎥
00
⎥⎦
K
=
[
a* 4
−
a 4
M
a* 3
−
a 3
Ml
M
Ml M
于是，式（6）和（7）可重写为
x& = Ax + Bu
y = Cx
式中
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⎡0
1 0 0 ⎤ ⎡0 ⎤
A = ⎢⎢20.601
⎢0
0
00 01
0⎥⎥, ⎥
B
=
⎢⎢− ⎢0
1
⎥ ⎥, ⎥
C
=
⎡1 ⎢⎣0
00 01
0⎤ 0⎥⎦
⎢⎣− 0.4905 0 0 0⎥⎦
⎢⎣0.5⎥⎦
采用下列线性状态反馈控制方案
(s − μ )(s − μ )(s − μ )(s − μ ) = (s + 2 − j2 3)(s + 2 + j2 3)(s +10)(s +10)
1
2
3
4
= (s2 + 4s +16)(s2 + 20s +100)
= s4 + 24s3 + 196s2 + 720s + 1600
= s4 + a*s3 + a*s2 + a*s + a* = 0
(M + m)&x& + mlθ&& = u (l + ml 2 )θ&& + ml&x& = mglθ
式中，I 是摆杆围绕其重心的转动惯量。 推导过程：考虑上图（b）的隔体受力图，摆干绕其中心的转动运动可以用下式 描述
Iθ&& =Vl sinθ − Hl cosθ
摆干的水平运动可以写为
摆干的垂直运动为
2 秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于 ξ= 0.5），所以我们选择期望的
s = μ 闭环极点为
i (i =1,2,3,4），其中
μ1 = −2 + j2 3, μ2 = −2 − j2 3, μ3 = −10, μ4 = −10
在这种情况下，μ1，和 μ2 是一对具有 ξ= 0.5 和 ωn = 4 的主导闭环极点。剩 余的两个极点 μ3 和 μ4 位于远离主导闭环极点对的左边。因此，μ3 和 μ4 响应的影 响很小。所以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为
A=[0
1 0 0;
20.601 0 0 0;
0
0 0 0;
-0.4905 0 0 0];
B=[0;-1;0;0.5];
C=[1 0 0 0;
00
1
0];
D=[0;0];
%*****Define the controllability matrix M and check its rank*****
M
a* 2
−
a 2
M
a* 1
−
a 1
]P−1
=[1600−0 720−0 196+20.601 24− ]0 P−1
⎢⎡− ⎢
0.5 9.81
=[1600 720 216.60 24] ⎢⎢0
⎢⎢−1
⎢⎣0
0
− 0.5 9.81 0 −1
−1 9.81
0⎥⎤ ⎥
0
−1 9.81
⎥ ⎥
0
0
⎥ ⎥
0
0
⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
x&1 ⎤ x&2⎥⎥ x&3⎥ x&4⎥⎦
=
⎢ ⎢
M
+
⎢ ml
⎢0
⎢
⎢⎢⎣−
m M
m g
g
(6)
1 0 0⎤
⎡ 0⎤
0 0
0 0
⎥⎡x1 ⎤ 0⎥⎥ ⎢⎢ x 2⎥⎥ 1 ⎥ ⎢ x3⎥
+
⎢ ⎢− ⎢ ⎢
1 Ml 0
⎥ ⎥ ⎥⎥u
0
0
0⎥⎥⎥⎦ ⎢⎣ x 4⎥⎦
⎢⎥ ⎢ 1⎥ ⎢⎣ M ⎥⎦
么，其数学模型为
(M + m)&x& + mlθ = u
(2)
ml 2θ&& + ml&x& = mglθ
(3)
式（2）和(3)定义了如图 2 所示的倒立摆系统的数学模型（只要 θ 不大，线性化
方程就是有效的）。
式（2）和（3）可改写为
Mlθ&& = (M + m)gθ − u (4)
M&x& = u − mgθ
y
=
⎡ ⎢⎣
y1 y2
⎤ ⎥⎦
=
⎡θ
⎢⎣x
⎤ ⎥⎦
=
⎡ x1 ⎣⎢ x3
⎤ ⎥⎦
又由于 θ 和 x 均是易于量测的量。由状态变量的定义和式（4）和（5），可得
x&1 = x2
x&2
=
M +m Ml
gx1
−
1 Ml
u
x&3 = x4
x&4
=
−
m M
gx1
+
1 M
u
以向量-矩阵方程的形式表示，可得
⎡0
Q=[B A*B A^2*B A^3*B]; rank(Q)
ans=
4
%*****Since the rank of Q is 4, the system is completely %state controllable. Hence,arbitrary pole placement is %possible***** %*****Enter the desired characteristic polynomial,which $can be obtained defining the following matrix J and %entering statement poly(J)*****
（因为该系统中的参考输入总为零，所以在图中没有画出）。
图 3 具有线性状态反馈控制的倒立摆系统
2 利用 MATLAB 确定状态反馈增益矩阵 K MATLAB Program3 是一种能求出所需状态反馈增益矩阵 K 的 MATLAB 程
序。
MATLAB Program3 %-------Design of an inverted pendulum control system--------
1
2
3
4
因此
a1* = 24,
a
* 2
= 196,
a3* = 720,
a
* 4
= 1600
现采用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵 K，即
K
= [ a4∗ − a4 M
a3∗ − a3 M
a
∗ 2
−
a2
M
a1∗
−
a1
]
P −1
式中 P 即
P = QW
这里 Q 和 W 分别为
⎡0 −1 0 −20.601⎤ Q = [ B M AB M A2B M A3B ] = ⎢⎢− 1 0 − 20.601 0⎥⎥
m
d2 dt 2
(x
+
l
sinθ
)
=
H
小车的水平运动为
m
d dt 2
(l
cosθ
)
=V
−
mg
M
d2x dt 2
=
u
−
H
当θ 很小时，上述四个运动方程可以分别线性化为
Iθ&& =Vlθ − Hl
m(&x&+ lθ ) = H
0 =V − mg
（1.a） (1.b) (1.c)
M =u−H
(1.d)
将(1.b)和(1.d)两边相加得：
显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s = -4.539），另一个极点在正 实轴上（s = 4.539），因此，该系统是开环不稳定的。
定义状态变量为
x1 = θ x2 = θ&
x3 = x x4 = x&
注意，θ 表示摆杆围绕点 P 的旋转角，x 表示小车的位置，将 θ 和 x 作为系统的
输出，即
(M + m)&x& = u − H
由(1.a),(1.b)和(1.c)可得
Iθ&& = mglθ − lm(&x&+ lθ )
整理得
(I + ml2)θ&&+ ml&x& = mglθ
这样，我们就得到了倒立摆的运动方程。
我们在来研究图 2 的倒立摆系统。由于该系统的质量集中在杆的顶端，所以重心
就是摆球的中心。在分析中，假设摆围绕其重心的转动惯量为零，即 I = 0。那
J=[-2+2*sqrt(3)*i 0 0 0
JJ=poly(J)
0
0
-2-2*sprt(3)*i 0
0
-10
0
0
0; 0; 0; -10
JJ=
1.0e+003*
0.0010 0.0240 0.1960 0.7200 1.6000
%*****Enter characteristic polynomial Phi*****
%*****This program determines the state-feedback gain %matrix K = [k1,k2 k3 k4] by use of Ackermann’s %formula*****
%*****Enter matrices A,B,C,and D*****
u = −Kx
为此首先检验该系统是否状态完全能控。由于
⎡ 0 −1 0
− 20.601⎤
Q
=
[
B
M
AB
M
A2
B
M
A3
B
]
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0.5
−20.601 0 0
⎥ ⎥
0.4905 ⎥
⎣⎢0.5 0 0.4905 0
⎥ ⎦
的秩为 4，所以系统是状态完全能控的。 系统的特征方程为
⎡s
−1 0
| sI − A |= ⎢⎢− 20.601 s
Phi=polyvalm(poly(J),A);
%*****State feedback gain matrix K can be determined
%from*****
K=[0 0 0 1]*(inv(Q))*Phi
K=
-298.1504
-60.6972
-163.09889 -73.3945