数学模型_贪心算法及实例

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背包问题
给定n种物品和一个背包。物品i的重量是 Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选 择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总 价值最大?（假定物品可以分割成更小部分， 亦即物品可以部分装入）
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例： 有5件物品，背包的容量为100，物品的重量 和价值分别如下所示： 1 W V 10 20 2 20 30 3 30 66 4 40 40 5 50 60
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6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、 神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一 些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助， 但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的 算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本 身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好 使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来 的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的 数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代 替积分等思想是非常重要的。
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3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规 划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很 多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使 用Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短 路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以 用这些方法解决。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计 算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法， 竞赛中很多场合会用到。
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活动安排问题
若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活 动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i 加入集合A中。 贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对 于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求 得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A 的规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。
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单源最短路径
例如，对右图中的 有向图，应用Dijkstra 算法计算从源顶点1到 其他顶点间最短路径的 过程列在下页的表中。
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单源最短路径
Dijkstra算法的迭代过程： 迭代 初始 1 2 3 4 S {1} {1,2} {1,2,4} {1,2,4,3} {1,2,4,3,5} u 2 4 3 5 dist[2] dist[3] dist[4] dist[5] 10 10 10 10 10 maxint 60 50 50 50 30 30 30 30 30 100 100 90 60 60
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贪心算法
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问题引入：
有下面几种面值的硬币：一元、五角、 一角、五分、一分，假设要付给顾客 2.89元的零钱，要求用最少的硬币。
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顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。 也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的 选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望 贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心 算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问 题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小 生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得 到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选 择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从 源到该顶点的最短路径长度已知。 初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把 从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特 殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最 短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具 有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对 数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点， dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长 度。
各活动的起始时间和结 束时间存储于数组s和f 中且按结束时间的非减 序排列
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活动安排问题
例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结 束时间的非减序排列如下：
i
1
2 3 5
3 0 6
4 5 7
5 3 8
6 5 9
7 6
8 8
9 8
10 11 2 12
S[i] 1 f[i] 4
10 11 12 13 14
最小生成树
2.Prim算法
设G=(V,E)是连通带权图，V={1,2,…,n}。 构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是：首 先置S={1}，然后，只要S是V的真子集，就作如下的 贪心选择：选取满足条件iS，jV-S，且c[i][j]最 小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到 S=V时为止。 在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最 小生成树。
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主要知识点：


活动安排问题 背包问题 最优装载 单源最短路径 最小生成树
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活动安排问题
活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最 大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的 很好例子。该问题要求高效地安排一系列争用某一公 共资源的活动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的方 法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。
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最小生成树
设G =(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中 每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的子图G’是一棵包 含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上 各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成 树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。
网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如， 在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w) 的权c[v][w]表示建立城市v和城市w之间的通信线路 所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络的 最经济的方案。 26
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单源最短路径
给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非 负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现 在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里 路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单 源最短路径问题。
算法基本思想
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
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单源最短路径
数学建模竞赛中十类常用算法
1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是 通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模 拟来检验自己模型的正确性。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比 赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的 关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
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活动安排问题
设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都 要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有 一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用 该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si <fi 。如果 选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。 若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活 动j是相容的。也就是说，当si≥fj或sj≥fi时，活动i与 活动j相容。
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float knapsack(float c,float w[], float v[],float x[]) { int n=v.length; for (int i = 0; i < n; i++) d[i] = (w[i],v[i],i); MergeSort.mergeSort(d); int i; float opt=0; for (i=0;i<n;i++) x[i]=0; for (i=0;i<n;i++) { if (d[i].w>c) break; x[d[i].i]=1; opt+=d[i].v; c-=d[i].w; } if (i<n){ x[d[i].i]=c/d[i].w; opt+=x[d[i].i]*d[i].v; } return opt; }
最小生成树
1.最小生成树性质
用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树 的有效算法。本节介绍的构造最小生成树的Prim算法 和Kruskal算法都可以看作是应用贪心算法设计策略 的例子。尽管这2个算法做贪心选择的方式不同，它 们都利用了下面的最小生成树性质： 设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果 (u,v)E，且uU，vV-U，且在所有这样的边中， (u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小 生成树，它以(u,v)为其中一条边。这个性质有时也 称为MST性质。 27
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9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行 编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组 求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库 函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关， 即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明 问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决 的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
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活动安排问题
在下面所给出的解活动安排问题的贪心算法greedySelector :
int greedySelector(int s[], int f[], boolean a[]) { int n=s.length-1; a[1]=true; int j=1; int count=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (s[i]>=f[j]) { a[i]=true; j=i; count++; } else a[i]=false; } return count; }
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最优装载
有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中 集装箱i的重量为Wi。最优装载问题要求确定在装载 体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮 船。
1.算法描述百度文库
最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻 者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优 解。具体算法描述如下页。
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float loading(float c, float [] w, int [] x) { int n=w.length; for (int i = 0; i < n; i++) d[i] = (w[i],i); MergeSort.mergeSort(d); float opt=0; for (int i = 0; i < n; i++) x[i] = 0; for (int i = 0; i < n && d[i].w <= c; i++) { x[d[i].i] = 1; opt+=d[i].w; c -= d[i].w; } return opt; }
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这个问题有三种看似合理的选择：
1、每次选择剩余物品中价值最大的 2、每次选择剩余物品中重量最轻的 3、每次选择剩余物品中单位重量价值最高的。
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用贪心算法解背包问题的基本步骤：
首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依 贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品 装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物 品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽 可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背 包装满为止。 具体算法可描述如下页：
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Void dijkstra(int v,float a[][],float dist[]) {for (int i=1;i<=n;i++) {dist[i]=a[v][i];s[i]=false;} dist[v]=0;s[v]=true; For (int I=1;I<n;I++) { float temp=MAX_Value; int u=v; for (int j=1;j<=n;j++) if((! s[j])&&dist[j]<temp) { u=j; temp=dist[j]; } s[u]=true; For(int j=1;j<=n;j++) if((! s[j])&&a[u][j]< MAX_Value) if (dist[u]+a[u][j]<dist[j]) dist[j]= dist[u]+a[u][j]; } }
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最小生成树
利用最小生成树性质 和数学归纳法容易证明， 上述算法中的边集合T始 终包含G的某棵最小生成 树中的边。因此，在算法 结束时，T中的所有边构 成G的一棵最小生成树。 例如，对于右图中的 带权图，按Prim算法选取 边的过程如下页图所示。 29