一元一次方程的等积变形问题
一元一次方程的应用等积变化问题
一元一次方程的应用等积变化问题等积变化问题是一元一次方程应用题中的一种常见题型，其基本特点是涉及到体积、面积、长度等量的变化，而这种变化是等积的，即变化前后的量是相等的。
解决等积变化问题的关键在于理解“等积”的含义，即体积、面积、长度等量在变化过程中保持不变。
因此，我们需要根据题目描述，建立等量关系，然后列出方程求解。
下面是一个具体的例子：题目：有一个长方体，它的长增加了2cm，宽和高不变，体积增加了40立方厘米；宽增加了2cm，长和高不变，体积增加了60立方厘米；高增加了2cm，长和宽不变，体积增加了48立方厘米。
求原来长方体的体积是多少？解：设原长方体的长为l cm，宽为w cm，高为h cm。
根据题目描述，我们可以建立以下方程：1. 长增加2cm后，体积增加了40立方厘米：(l + 2) × w × h - l × w × h = 402. 宽增加2cm后，体积增加了60立方厘米：l × (w + 2) × h - l ×w × h = 603. 高增加2cm后，体积增加了48立方厘米：l × w × (h + 2) - l × w × h = 48将以上三个方程整理为一元一次方程组：1) (l + 2) × w × h - l × w × h = 402) l × (w + 2) × h - l × w × h = 603) l × w × (h + 2) - l × w × h = 48通过解这个方程组，我们可以得到原长方体的长、宽、高分别为：l = 5 cm, w = 4 cm, h = 3 cm。
因此，原来长方体的体积是：l × w × h = 5 × 4 × 3 = 60 立方厘米。
一元一次方程的等积变形问题课件
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为 30米，宽为20米.
.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
.
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40 米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
.
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积 =小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是 _____?_r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2_?_x） （______0._3_2_×)0.5 ?
解：设水面将升高 x米, 根据题意得 方程为： _____0_._5_2_?_x_=__0_.3_2_×__0_.5 ? 解这个方程： _____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_. _0_.1_8m 。
.
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短 Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
60m
30（60 —x)=1350
解得： x=15
经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根 15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
一元一次方程实际应用题之等积变形问题
一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。
可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。
解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。
2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。
要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。
解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。
解：零件的底面积是x平方厘米。
8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。
3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。
一元一次方程的应用+第1课时等积变形问题+ 课件 +2024-—2025学年北师大版数学七年级上册
新知小结 2. 常见图形的周长、面积及体积计算公式.
（1）长方体的体积＝ 长×宽×高 ；
（2）圆柱的体积＝ 底面积×高 ；
（3）长方形的周长＝ 2×（长＋宽） ；
（4）长方形的面积＝ 长×宽 .
3. 列一元一次方程解决实际问题的基本步骤.
典例精析 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。
课堂总结
等积变 形问题
关 键 根据等量关系列方程.
解应用题步骤
①审； ②设； ③列； ④解； ⑤检； ⑥答.
情境导入 教师让学生拿出课前准备好的橡皮泥，先捏出一个“瘦长”的圆
柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的 圆柱，请同学们边操作边思考下列几个问题：
（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直 径是否变化？还有哪些量改变了？
（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？ 解：（1）圆柱的底面直径发生了变化；
因此，易拉罐的高度变为__1_4_._5_2__cm.
新知小结
1. 常见的几种情形列方程. （1）物体的锻压等应用题，抓住体积不变建立方程； （2）周长一定，围成不同形状的图形，图形的面积可能变了， 抓住周长不变列方程； （3）图形的拼接、割补、平移、旋转等类型的应用题，抓住图 形变化前后的面积、周长不变列方程. 注：应学会“变中找不变”和“不变中找变”的数学思想方法.
随针堂对检练测习
设小明的爸爸设计的养鸡场的宽为 y m， 则长为（y ＋2）m. 由题意，得 y＋y＋（y＋2）＝35， 解得 y＝11，则 y＋2＝13. 所以小明爸爸设计的养鸡场长为13m，小于墙长，宽为11m， 面积为13×11＝143（m2）. 所以小明爸爸的设计合理，这时养鸡场的面积为143m2.
一元一次方程的等积变形问题PPT课件
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是______r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2 __x） （_____0_._3_2_×)0.5
解：设水面将升高x米, 根据题意得 方程为：_____0_._5_2__x_=__0_.3_2_×__0._5 解这个方程：_____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_0__.1_8m。
V r 2h
V 1 r 2h
3
延伸 等 积 变 形
相等 体（面）积
周长
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个 长比宽长10米的长方形，问这个长方形的
长和宽各是多少米？
示图分析
100米
(X+10)
米ห้องสมุดไป่ตู้
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长 方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的 旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行 的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
所以仓库的长为:x+10=30+10=40米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
实际问题与一元一次方程(9)利息增长率等积变形等问题
小颖的父母存三年期教育储蓄，三年 后取出了5000元钱，你能求出本金是多少 吗？
教育储蓄利率 一年 2.25 2.70 三年 六年 2.88
解：设开始存入的本金 为 x元 , 得 x(1+2.70%×3)=5000 解得：x≈4626 答：本金为4626元.
三、等积变形问题
有一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形
实际问题与一元一次方程(9)
----利息增长率等积变形等问题
一、增长（下降）率问题 增长量 增长率= 增长前的量 100％
增长后的量= 增长前的量+ 增长量 增长后的量= 增长前的量(1+ 增长率)
例1
1. 某校去年3500人,今年比去年增加20％, 700 人,今年4200 则增加 人.
2. 某商品单价240元,降价30％后单价 是 168 元. 3. 一工厂今年生产2.2万吨化肥,比去年 增长10％,则去年生产 万吨,计划明 年比今年翻两番,则明年生产 万吨.
解：
设负的场数为x，则平的场数为2x，那 么胜的场数为8－x－2x. 依题意得，3(8－x－2x)＋2x＝17， 解得x＝1，则8－x－2x＝5， 答：胜了5场．
五、浓度问题 有含盐8%的盐水40克，要使盐水含 盐20%，则需加盐多少克？ 解：设加盐x克,根据题意得： 40x8%+x=(40+x)20% 解得 x=6 答：加盐6克
3、本息 =本金 + 利息 =本金×（1+利率×期数）
4.本金+利息-利息税 实得本利和
1. 某学生按定期一年存入银行100元，若年利率为 2.5%，则一年后可得利息_______ 2.5 元；本息和为 _________ 102.5元（不考虑利息税）； 2. 小颖的父母给她存了一个三年期的教育储蓄1000 81元； 元，若年利率为2.70%，则三年后可得利息____ 1081元； 本息和为_____ 3. 某人把100元钱存入年利率为2.5%的银行，一年 0.5 元； 后需交利息税______ 4. 某学生存三年期教育储蓄100元，若年利率为 100 ×p% ×3 元；本息和 p%，则三年后可得利_______________ 为_____________________ 100（1+ p% ×3）元.
一元一次方程的等积变形问题
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子，可以消去分母，使方程化为一元一次方程。
通过这种方式，可以将方程中的某些项消去，简化方程。
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子
等积变形的步骤与技巧
#O3
识别等积变形的机会
观察方程 在解一元一次方程时，要时刻观察方程的形式，判断是否可以通过等积变形简化问题。 寻找等式两边的共同因子 如果等式两边有共同因子，可以通过提取共同因子简化方程。 寻找等式两边的同类项 如果等式两边有同类项，可以通过合并同类项简化方程。
03
重量不变问题
在称重过程中，当两个物体质量相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
01
体积不变问题
在容器中装有一定体积的水，将水倒入另一个容器，保持水的体积不变，可以通过等积变形来求解相关问题。
02
面积不变问题
在平面几何中，当两个相似图形面积相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
数学题目中的等积变形ຫໍສະໝຸດ 在解代数方程时，可以通过等积变形将方程转化为更易于解决的形式。
在几何图形中，可以通过等积变形将图形转化为更易于计算面积或体积的形式。
几何图形的等积变形
代数方程的等积变形
等积变形在解题中的应用
简化计算过程
通过等积变形可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而简化计算过程。
寻找未知数
在某些问题中，可以通过等积变形来寻找未知数，从而解决问题。
解决实际问题
在解决实际问题时，等积变形可以帮助我们更好地理解问题，并找到合适的解决方案。
等积变形的注意事项与挑战
#O5
等积变形的适用范围
等积变形适用于解一元一次方程时，当方程的解为分数或根号形式时，需要进行等积变形。
初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
一元一次方程应用之等积变形篇
物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．
一元一次方程解航行问题
要解航行问题，就要所有量之间的关系。
首先，要弄清几个速度之间的关系：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
其次，要弄清速度、时间和路程的关系：
顺流路程＝顺流速度×顺流时间
逆流路程＝逆流速度×逆流时间
弄清这些关系后，就应该考虑怎样列方程了。
为了方便，我把列方程的规律编成了顺口溜儿：
航行问题找三量，
静速水速和路程，
一个已知一设元，
余下一个列方程；
若遇三量都具体，
时间关系列方程。
针对上面的问题，下面文章举例说明！。
一元一次方程经典讲义之等积变形
第四讲等积变形数字问题【基本数量关系】原料体积=成品体积数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c 均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
【典型例题】1.用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？2.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
3.一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π不需化成3.14）4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，十位与个位上的数字和是这个两位数的1/6，这两个数是多少？5.有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
【课堂精练】1.要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？2.某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？3.将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？4.一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米？5.有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？6.有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。
3.4_实际问题与一元一次方程-等积变形问题
_ _x厘米 30厘米 15厘米 可列方程：π×32x-π22（18-15）=π×22×15
3厘米
等量关系2：水的体积+水中金属柱的体积=水加柱的体积
可列方程：π×32×15+π×22×18=π×32（15+x）
解：设容器内放入金属圆柱后水面升高x厘米
（1）容器内的水面升高后没有淹没金属圆柱，那么由题
一元一次方程的应用
等积变形问题
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
升高的水的 体积恰好等 于人的体积。
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
例题7
2厘米
设水面升高了x厘米
18厘米
2厘米
3厘米
3厘米 x 厘 米
厘 米 30厘米 15厘米
x
18厘米 15厘米
金属柱没有被淹没的情况：
（或：π×32×15+π×22×18=π×32（15+x）） 解得：x=8 经检验x=8符合题意 所以，容器内水面升高8厘米
练习
一个盛有水的圆柱形容器里的内半径为 10cm，容器内水的高度为12cm， 把一根半径为2cm,高2厘米的玻璃柱放 入水中，问容器内水将升高多少厘米 。
意得
π×32x+π22（18-15）=π×22×15
（或π×32×15+π×22×（15+x)=π×32（15+x））
解得：x=12
因为12+15=27＞18，所以此时容器内的水面已经淹没了金属柱， 不符合假定，应舍去 （2）如果容器内的水面升高后淹没放入的金属圆柱，那么由题意得
π×32x+π22（18-15）=π×22×15
初一数学《一元一次方程》各类应用题公式概括与汇总
关于一元一次方程应用题各类型公式总汇：1，等积变形问题涉及到的公式：长方体体积=长×宽×高正方体体积=边长×边长×边长圆柱体体积=底面积×高=hr 2⨯⨯π圆锥体体积=hr 31312⨯⨯⨯=⨯⨯π高底面积2，行程问题：总公式：路程=速度×时间S=Vt 速度=路程÷时间时间=路程÷速度①相遇问题模型：甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后甲乙在途中相遇，实质上时两人共同走了AB之间的这段路程，两人同时出发：AB 两地路程=甲走的路程+乙走的路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间一方先走而出现的相遇问题：两地路程=甲先走的路程+甲后走的路程+乙走的路程②相离问题模型：两个运动的物体，从同一地点相背而行，若干时间后，相距一段距离相离路程=两个运动物体走的路程之和=速度和×相离时间③追击问题模型：两个运动的物体从不同地点同时出发，慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。
两地相距距离=路程差=快的行驶路程-慢的行驶路程=速度差×追击时间④航行问题模型：⑴行船问题：顺水速度=船的静水速度+水流速度逆水速度=船的静水速度-水流速度顺水速度-逆水速度=2×水流速度顺水速度+逆水速度=2×船的静水速度⑵飞行问题：顺风速度=飞机速度+风的速度逆风速度=飞机速度-风的速度顺风速度-逆风速度=2×风的速度顺风速度+逆风速度=2×飞机速度航行问题的等量关系：抓住两码头或两地之间的距离不变⑤过桥山洞问题模型：⑴完全过桥（完全过隧道）完全过桥是指火车车头接触桥到火车车尾离开桥的一段路程火车完全过桥总路程=桥的长度+火车车长火车完全过隧道总路程=隧道长度+火车车长⑵完全在桥上（完全在隧道里）完全在桥上是指火车车尾接触桥到火车车头离开桥火车完全在桥上总路程=桥的长度-火车车长火车完全在隧道里总路程=隧道长度-火车车长、特别：错车问题模式：两列火车相对而行从车头相遇到车尾分开两列火车的路程之和=两列火车车身长度之和两列火车同向而行，完全超过快的路程—慢的路程=两列火车车身长度之和⑥环形跑道问题模型：同一地点出发：同向而行（首次相遇）快的走的路程-慢的走的路程=环形跑道周长同一地点出发：背向而行（首次相遇）两者走的路程之和=环形跑道周长若遇到问第n次相遇时，只需要给环形跑道周长乘以n即可3工程问题：工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率①先做的工作总量+后做的工作总量=总工作量②计划工作总量+超额完成的工作量=实际完成的工作总量③计划工作时间-实际工作时间=提前的时间4：利润盈亏问题：售价-进价=利润售价=标价（定价）×打几折利润=进价×利润率0000100100⨯-=⨯=进价进价售价进价利润利润率售价=进价×（1+利润率）5：计分问题：总积分=胜场积分+平场积分+负场积分（负场积分为负数）6：配套问题：当生产某两种物品A,B 。
3.4_一元一次方程的应用-等积变形问题
80
300 300
三、根据等量关系列 出方程；
精讲
例题
200
分
析
思考4：如何解这个方程？ x
•（200/2)2 • x = 300×300×80
化简的3.14x=720，故x≈230。
80
四、解方程，求出未 知数的值；
300 300
精讲
例题
200
分
析
答：略。 x
80
300 300
五、检验求得的值 是否正确和符合实 际情形，并写出答 案.
在这个问题中的基本 等量关系有什么特征?
相等关系:总量=各部分量的和
某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人， 乙组有25人，后来由于需要，又从甲组抽调了部 分同学去乙组，结果乙组人数是甲组的2倍。问从 甲组抽调了多少人去乙组？
分析： 设从甲组抽调了x人去乙组。 甲组
三 应用迁移巩固提高 用 方 程 决 题 解 问 怎样调配劳动力
大声读我们的课堂口号：
挑战自我 留心处处皆学问 细心题题有发现 专心路路有收获 恒心步步登高峰
•温故而知新
说说列方程解应用题的一半步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1审：分析题意，找出等量关系，分析题中数量及 其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数. 2设：用字母的一次式表示有关的量. 3建模：根据等量关系列出方程. 4求解：解方程，求出未知数的值. 5作答 ：检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案.
X+0. 8 2
X
∴长方形的长为2.9米，宽为2.1米，S=2.9×2.1＝6.09米 ， （1）中的长方形围成的面积：3.2×1.8＝5.76米2 比（1）中面积增大6..09－5.76＝0.33米2
一元一次方程--等积变形
一元一次方程的应用
--等积化形问题
姓名：班级：
练习1：墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示，小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
拓展提升：小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个长方形菜地，使长比宽大2米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？
练习2：有一个底面积20×20长方体玻璃杯（已满水）向一个底面积16×5，高是10的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯的水的高度下降多少？
拓展：已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高线长为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高线长为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少?
问题解决：一只乌鸦口渴需要喝水，来到一个底面积为5平方厘米圆柱体玻璃瓶且水面只有20厘米，要喝水需要30厘米高的水面，玻璃杯旁有堆石头，每块10克，每1立方厘米重5克，问需要多少石头乌鸦才能喝到水？
当堂检测：
1、用一根长60m的绳子围成一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各是多少？
2、长方体甲的长、宽、高分别是260毫米，150毫米，325毫米，长方体乙的底面积是130×130平方毫米(长、宽都是130毫米)．已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高．
3、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径40毫米的圆钢多长？。
3.2.1一元一次方程的应用-等积变形
2.内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为 300mm,内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同 样多的水，则玻璃杯的内高为（ ） A. 150mm B. 200mm C. 250mm D. 300mm
3．三角形的周长是84cm，三边长的比为17： 13：12，则这个三角形最短的一边长是多少？
4.一个底面直径6cm，高为50cm的“瘦长”形 圆柱钢材锻压成底面直径10cm“矮胖”形圆柱 零件毛坯，高变成多少？
5．一种饮水机上的圆柱形水桶的内径为25厘 米，内壁高为35厘米。有一种内径为6厘米， 内壁高为10厘米的圆柱形玻璃杯，如果把一桶 饮用水全部用这种玻璃杯去盛，需要多少个玻 璃杯？
附加练习1 要锻造直径为60毫米高为20毫米的
圆柱形零件毛坯，需要截取直径为40毫米的圆钢 多长？
附加练习2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500千克。仓库原来有 多少面粉？
3.2.1一元一次方程的应用 ——等积变形
表示出下列各式：
圆柱体积= 正方体体积= 长方形面积= 圆的面积= 梯形面积= 正方形周长=
长方体体积= 圆锥体积= 正方形面积= 三角形的面积= 长方形周长= 圆的周长=
1.有一正方体铁块棱长为10cm，现在想把它熔解 铸成一个长方体铁块，长20cm，宽10cm，求长方 体的高？
2.一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米， 容器内盛有15厘米高的水。现将一个底面半径为 2厘米的，高18厘米的金属圆柱竖直放入容器中， 问容器内的水将升高多少厘米？
例1,如图，用直径为200 mm的圆柱 体钢，锻造一 个长、宽、高分别为300 mm,300mm和90 mm的长方体毛坯，应截取多 少毫米长的圆柱体钢〈计算时π取3.14，结果 精 确到1mm）？
一元一次方程的应用题型
【一元一次方程】应用题型汇总1. 和、差、倍、分问题（增长率问题）增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余…”来体现审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别.2. 等积变形问题（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提，是等量关系的所在常用等量关系：①形状面积变了，周长没变②原料体积＝成品体积（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝πr2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc3. 劳力调配问题从调配后的数量关系中找等量关系，要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化常见题型：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变4. 数字问题要正确区分“数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上，表示的数值不同，这类问题通常采用间接设法常见的解题思路分析：抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程。
（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a（其中a、b、c均为整数，且0≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9）.（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.5. 工程问题（生产、做工等类问题）工作量＝工作效率×工作时间合做的效率＝各单独做的效率的和一般情况下把总工作量设为1，完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
一元一次方程应用之等积变形篇
等积变形篇物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686=x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210) 768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm ×60m ”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm 、4.0cm ，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm 指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m 是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x ≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm ．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m 3，做一条桌腿需要木材0.002m 3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m 3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X 张，我们就容易用X 表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m 3，做桌面所需的木材的体积是0.03X m 3.因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m 3解：设共做了x 张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100. 所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。
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答：将下底由60m缩小到45m.将上底30m放大到45m.
体积的变形
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变， 体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，
哪些量保持不变？ 1、把一小杯水倒入另一只大杯中；
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
锻压
等量关系：变形前的体积=变形后的体积
解:高变成了x厘米，由题意得：
∏ ×52 ×36= ∏ ×102x
练
习
解:高变成了x厘米，由题意得：
∏ ×52 ×36= ∏ ×102x
X=9
经检验:x=9是方程的解，且符合题意。
答：高变成了9厘米。
……….
练
习
2.已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高线长为 1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高 线长为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面 将升高多少?
——三、等积变形问题
常见图形周长及面积公式
名称
正方形 三角形
梯形
c
圆 平行四边形
图形
用字母表示公式
周长（C）
面积（S）Biblioteka a C 4a S a2
b h c Cabc
a
b h
d Cabcd
a
r
C 2r
S 1 ah 2
S 1 (a b)h 2
S r 2
h b C 2a b S ah
长和宽各是多少米？
示图分析
100米
(X+10)
米
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长 方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的 旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行 的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
库的长和宽？
解：设长方形的宽X米. 根据题意得：
a
名称
正方体 长方体 圆柱体 圆锥体
图形
a
c ab
h r
h r
常见图形的体积公式
用字母表示公式 体积（V）
V a3
V abc
V r 2h
V 1 r 2h
3
延伸 等 积 变 形
相等 体（面）积
周长
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个 长比宽长10米的长方形，问这个长方形的
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是___r_2h___, 水升高后的体积 小铁块的体积
（___0_.5_2__x___） （_0_.3_2_×_0_._5__) 解：设水面将升高x米, 根据题意得
方程为：__0_._52__x_=__0_.3_2_×_0_.5_____ 解这个方程：__x_=_0_._18____ 答：_容__器__内_水__面__将_升__高__0_._18_m_。___
合作讨论
如图，有A,B两个圆柱形容器，A容器的底面 积是B容器底面积的2倍，B容器的壁高为 22cm。已知A容器内装水的高度为10cm，若 把这些水倒入B容器，水会溢出吗？
2（x+x+10）=100 2(2x+10)=100 4x=80 X=20
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为30米，宽为20米.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+10=100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。
解：形状改变，体积不变
例题学习
例1：用直径为200毫米的圆柱体钢，锻造一个长、 宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方 体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢？（计算 时取3.14.要求结果误差不超过1毫米）
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
60m
30（60 —x)=1350
解得：x=15 经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
200
90
x
圆柱体钢
300 300
长方体毛坯
分析题意，找出等量关系 ： 圆柱体钢体积 = 长方体毛坯体积
解：设应截取圆柱体钢长为x毫米，根据题意 可得：
3.14 200 2 x 30030090 2
解得： x 258
答：应截取圆柱体钢的长约为258毫米。
练
习
1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦 长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖” 形圆柱，高变成了多少？
布置作业
1、全效B 2、课本P138—139
的7、8
10cm A
22cm B
小结：列方程解应用题的一般步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、审题：分析题意，找出题中数量及其关系； 2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示；
3、列方程：根据等量关系列出方程. 4、解方程：求出未知数的值. 5、检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案.