人教【数学】培优一元二次方程辅导专题训练

（1）设销售 A 品牌的建材 x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，列不等
式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售 A 品牌的建材 x 件.
根据题意，得 6000x 9000126 x 966000 ，
解这个不等式，得 x 56 ， 答：至多销售 A 品牌的建材 56 件.
材售价为每件 6000 元， B 种品牌的建材售价为每件 9000 元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，求至多销售 A
种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在 2019 年第二季度调整价格，将 A 种品牌的建材在上一个季度的基
础上下调 a% ， B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨 a% ；同时，与（1）问中最低
（1）根据方程有两个实数根得 0 ,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.
【详解】
（1）解：
m
12
4
1
1 4
m2
2
m2 2m 1 m2 8
2m 9
方程有两个实数根
0 ，即 2m 9 0
m 9 2
m 的最小整数值为 4
（2）由根与系数的关系得：
x1
x2
m1 ，
x1x2
关数据的数量关系，列出不等式或方程．
7．观察下列一组方程： ①x2 x 0 ； ②x2 3x 2 0 ； ③x2 5x 6 0 ； ④x2 7x 12 0 ；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一
元二次方程为“连根一元二次方程”．
1 若 x2 kx 56 0 也是“连根一元二次方程”，写出 k 的值，并解这个一元二次方程；
8．已知关于 x 的一元二次方程 x2 m 1 x 1 m2 2 0 ．
4
1 若此方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；
2
若此方程的两个实数根为
x1 ，
x2 ，且满足 x12
x22
x1x2
18
1 4
m2 ，求
m
的值．
【答案】（1） m 的最小整数值为 4 ；（2） m 3
【解析】
【分析】
＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+﹣t2﹣ ﹣t+t2+ ＝
（2）令 a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令 x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴ t1＝0，t2＝﹣4 当 x2+4x＝0 时， x（x+4）＝0
1 4
m2
2
由
x12
x22
x1x2
18
1 4
m2
得：
m
1 2
1 4
m2
2
18
1 4
m2
m1 3 ， m2 5
m9 2
m 3
【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
9．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研 学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过 30 人，人均旅游费用为 100 元；（2）如果超过 30 人，则每超过 1 人，人均旅游费用降低 2 元，但人均旅游费用 不能低于 80 元．该班实际共支付给旅行社 3150 元，问：共有多少名同学参加了研学游活 动？ 【答案】共有 35 名同学参加了研学游活动． 【解析】 试题分析：由该班实际共支付给旅行社 3150 元，可以判断出参加的人数在 30 人以上，等 量关系为：（100﹣在 30 人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人 均活动费用不得低于 80 元作答即可． 试题解析：∵ 100×30=3000＜3150，∴ 该班参加研学游活动的学生数超过 30 人． 设九（1）班共有 x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x﹣30）]=3150， 整理得 x2﹣80x+1575=0，解得 x1=35，x2=45， 当 x=35 时，人均旅游费用为 100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意． 当 x=45 时，人均旅游费用为 100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有 35 名同学参加了研学旅游活动． 考点：一元二次方程的应用．
依题意得：7.5-x≤2x，
解得 x≥2.5．
即 A 社区居民人口至少有 2.5 万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+ 4 m%）+1.5×（1+ 4 m%）（1+2m%）=7.5×92%，
5
5
解得 m=50
答：m 的值为 50．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相
＝t 代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令 a2﹣5a＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把 t 换为 a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令 x2+4x＝t 代入原方程，即得到关于 t 的一元二次方 程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4 个 x 的解． 【详解】
（1）令 +
销售额的销售量相比， A 种品牌的建材的销售量增加了 1 a% ， B 种品牌的建材的销售量 2
减少了 2 a% ，结果 2019 年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加 2 a% ，求 a
3
23
的值.
【答案】（1）至多销售 A 品牌的建材 56 件;(2) a 的值是 30.
【解析】
【分析】
如图， 过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，则∠ QEB＝90°． ∵ ∠ ABC＝30°， ∴ 2QE＝QB．
∴ S△ PQB＝ 1 •PB•QE． 2
设经过 t 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2， 则 PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意， 1 •（6﹣t）•t＝4． 2
t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4． 当 t＝4 时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取 t＝2． 答：经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．
（2）在（1）中销售额最低时， B 品牌的建材 70 件， 根据题意，得
6000
1
a%
源自文库
56
1
1 2
a%
9000
1
a%
70
1
2 3
a%
6000
56
9000
70
1
2 23
a%
，
令 a% y ，整理这个方程，得10 y2 3y 0 ，
解这个方程，得
y1
0,
y2
3 10
，
∴ a1 0 （舍去）， a2 30 ， 即 a 的值是 30.
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．阅读下列材料
计算：（1﹣ ﹣ ）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）（ + ），令 + ＝t，
则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+ ﹣t2﹣
+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想 方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
∴ 原方程为 x2﹣7x+10=0，解得 x=2 或 x=5， 即 m 的值为± ，方程的另一个根是 5． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关 系是关键. 当△ =b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当△ =b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△ =b2-4ac＜0 时，方程没有实数根.
区有 1.2 万人知晓，B 社区有 1.5 万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的
时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为 m%，B 社区的知晓人数第一个月增长了
4 m%，第二月在第一个月的基础上又增长了 2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到 5
92%，求 m 的值．
【答案】（1）A 社区居民人口至少有 2.5 万人；（2）m 的值为 50．
【点睛】 本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未 知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
3．解下列方程： （1）x2﹣3x=1．
（2） 1 （y+2）2﹣6=0． 2
【答案】(1)
x1
3 2
13
,
x2
3 2
13
;(2) y1 2 2
3, y2 2 2
【答案】经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2． 【解析】 【分析】
作出辅助线，过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，即可得出 S△ PQB= 1 ×PB×QE，有 P、Q 点的移动速 2
度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【详解】
解：
6．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有 7.5 万
人，街道划分为 A，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过 A 社区居民人口数量的 2 倍．
（1）求 A 社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查 A，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社
2 请写出第 n 个方程和它的根．
【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【解析】 【分析】 （1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到 56 是 7 与 8 的乘积,确定 k 值 即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】 解：(1)由题意可得 k＝－15，则原方程为 x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得 x1＝ 7，x2＝8. (2)第 n 个方程为 x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得 x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】 本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊 的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
【解析】
【分析】
（1）设 A 社区居民人口有 x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过 A 社区居民人口数量
的 2 倍”列出不等式求解即可；
（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于 m 的方程并解答．
【详解】
解：（1）设 A 社区居民人口有 x 万人，则 B 社区有（7.5-x）万人，
（1）计算：（1﹣ ﹣
）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）×
（+
）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）
【解析】 【分析】
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（1）仿照材料内容，令 +
3
【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得 x2﹣3x﹣1=0，
∵ b2﹣4ac=13＞0
∴
．
∴
x1
3 13 2 , x2
3 13 2
（2）（y+2）2=12，
∴
或
∴ y1 2 2 3, y2 2 2 3
． ，
4．如图，在△ ABC 中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ ABC＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的 速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P、Q 两点同时出 发，经过几秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2？
解得：x1＝0，x2＝﹣4 当 x2+4x＝﹣4 时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到 降次效果，从而简便运算．
2．某建材销售公司在 2019 年第一季度销售 A, B 两种品牌的建材共 126 件， A 种品牌的建
5．已知关于 x 的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的 实数根； （2）若方程的一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为± 2 ，方程的另一个根是 5．
【解析】 【分析】 （1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△ =b2-4ac 证明判断即可； （2）根据方程的根，利用代入法即可求解 m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明： ∵ （x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴ x2﹣7x+12﹣m2=0， ∴ △ =（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵ m2≥0， ∴ △ ＞0， ∴ 对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的实数根； （2）解 ：∵ 方程的一个根是 2， ∴ 4﹣14+12﹣m2=0，解得 m=± ，