2017年上海市青浦区高三一模数学试卷和参考答案

上海市青浦区2017届高三一模数学试卷

2016.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知复数2z i =+（i 为虚数单位），则2z =

2. 已知集合1{|216}2

x A x =≤<，22{|log (9)}B x y x ==-，则A B = 3. 在二项式6

2()x x +的展开式中，常数项是

4. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB = 则该双曲线的实轴长等于

5. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a =

6. 执行如图所示的程序框图，若输入1n =，

则输出S =

7. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成 角为4arccos

5

，则该圆锥的体积为 8. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取 值范围是

9. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A B C '''， 则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01）

10. 已知点A 是圆22

:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足 ||||AO BO AO BO +=-，则AO AB ⋅=

11. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x

与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，已知

()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”

，且()()h x g x ≥ 恒成立，则实数b 的取值范围是

12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1 的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值 的和为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知()sin 3

f x x π

=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，

则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（ ） A. 12种 B. 13种 C. 14种 D. 15种

14. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题：

①m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥；

②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；

③m ∥n ，m ∥αn ⇒∥α；

④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β⇒⊥；

其中正确的序号是（ ）

A. ①④

B. ②③

C. ①②④

D. ①③④

15. 如图，有一直角坡角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两坡的距离分别是4m 和 am （012a <<），不考虑树的粗细，现用16m 长的篱笆，借助坡角围成一个矩形花圃 ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为M ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()M f a = （单位2

m ）的图像大致是（ ）

A. B. C. D.

16. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ①2

1{(,)|}M x y y x ==

； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+； 其中是“垂直对点集”的序号是（ ）

A. ①②③

B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周 上不与A 、B 重合的一个点；

（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；

18. 已知函数221()cos (

)42f x x x π=+--（x R ∈）； （1）求函数()f x 在区间[0,]2π

上的最大值；

（2）在ABC ∆中，若A B <，且1()()2f A f B ==，求BC AB 的值；

19. 如图，1F 、2F 分别是椭圆22

22:1x y C a b

+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为， 动弦AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=；

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、 N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；

20. 如图，已知曲线12:1x C y x =

+（0x >）及曲线21:3C y x =（0x >），1C 上的点1P 的 横坐标为1a （1102

a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q 点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P

（1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ；

（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标；

（2）试求1n a +与n a 之间的关系；

（3）证明：21212n n a a -<

；

21. 已知函数2()2f x x ax =-（0a >）；

（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；

（2）函数()y f x =在[,2]t t +的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值；

（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；