lecture 12洛必达法则

显然 若g(x) x, g (b) g (a) (b a) , g '(x) 1,
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g '( )
f (b) f (a ) f ( )(b a )
拉格朗日中值公式
第二节 洛必达法则
本节研究: 函数之商的极限
1 cos x
x sin x
sin x x cos x lim
x0 x sin x
0 () 0

lim
x0
sin
x
x
x
2
cos
x
0 () 0
(L) cos x cos x x sin x lim
0
x0
2x
3. 1 , 00 , 0 型
步骤:
00
1
3. 在满足定理条件的某些情况下, 洛必达法则不能解决 计算问题 ----失效
例如：
lim
x
1 x2 x
( L)
lim
x
x 1 x2
( L)
1 x2
lim
x x
而
lim
x
1 x 2 lim
x
x
1 x2

1
1
4.
若
lim
f F
( (
x)不存在( x)
ba
则在开区间(a, b)内至少存在
O a 1
2 b
x
一点 (a b), 使得
f (b) f (a) f ( )
ba
注: 结论亦可写成
f (b) f (a ) f ( )(b a )
拉格朗日中值公式
几何意义: 在两个高度不相同的点之间的连续曲线上 若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必
x
2
2
(0 )型
又
lim ( x
) ln tan
2
x
令t x 2
x
2

lim t ln tan( t ) lim t ln cot t
t0
2
t0
2
ln cot t lim
t0 1
( L) tan t( csc2 t )
lim t0
转化 洛必达法则
导数之商的极限
一、
0 0
型未定式
二、 型未定式

三、其他未定式
( 或 型)
* 未定式
如果 当x x0 (或x )时, 两个函数f ( x)与g( x)
都趋于零或都趋于无穷大, 那 么 极 限
f (x) lim xx0 g( x)
( x)
(0) 0
()
可能存在 也可能不存在
e

x
(n为正整数 , 0).
解:
原式 lim x
nx n1
ex
lim n(n 1) x n2
x
2e x


lim
x
n!
ne x
0
型
例6, 例7 表明 x 时, ln x , xn (n 0) , e x ( 0)
lim x0
sin x
6x
x2
2
3x2
1 6
(sin x ～ x)
例4. 求
ex ex 2x lim
x0 x sin x
0型 0
解: 原式
( L)

lim
(ex

ex

2x)
x0 (x sin x)
( L)

lim e x
ex
2
(0)
x0 1 cos x
第一节 中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的单调性与极限 第四节 函数的微分作图法
上节课主要内容
第一节 中值定理
罗尔中值定理
中值定理
拉格朗日中值定理 柯西中值定理
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
一、罗尔( Rolle )定理
y
若函数 f (x)满足:
(1) 在闭区间[a, b]上连续;
A
(2) 在开区间(a, b)内可导;
f (a) f (b) y f (x)
B
(3) f (a) f (b);
则在开区间 (a,b)内至少存在一点 O a x0
b x x02
x 0 ,使得 f ( x0 ) 0.
几何意义: 在两个高度相同的点之间的连续曲线上
若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必
0 型
0 ln 0 ln 1 0 ln
注意:
1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能 与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能 先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算简捷
2．不是未定式不能用洛必达法则
lim 6x lim 6 1 x1 6 x 2 x1 6
ln x
x
n
(n 0)
00, 0 型
1 如 lim (sin x)tan x x 2
00 如 lim x x x0
0 如 lim xn ln x(n 0) x0
如 lim( 1 cot x) .
x0 x
0
如
lim
(tan
x
x) 2
x
2
本节主要研究这些未定式极限
)时,
lim f ( x) F(x)
lim f ( x) . F ( x)
例如, lim x sin x
1 cos x
lim
极限不存在
x
x
x
1
sin x
lim (1
x
x )1

0

幂指函数求极限
lim f ( x)g( x)
转化为 lim e g( x )ln f ( x )
0 ln 0 ln 1 0 ln

0



0 0
或
例10. 求
00 : 如 lim x x x0
1 : 如 lim (sin x)tan x x 2
1 x2
1
1
2.2 洛必达法则II ( 型未定式)

定理 2.
1) f (x)与 g(x) 在U(a)内处处可导,
f (x)
3) lim
l
xa g '(x)
lim f (x) lim f (x) xa g(x) xa g '(x)
说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x ,
1
t
t2
( L)
t2

lim
t0
tan t
sin t 2
0
原式
e 1 ( x )lntan x
lim e 2
0
x
2
内容小结
洛必达法则
型
0型 0 型
00
1

幂指函数求极限 lim f ( x)g( x)

0

转化为 lim e g( x )ln f ( x )
证明：由定理条件2)
有：f (a) g(a) 0,
则 柯西定理条件, 故
在以 x, a 为端点的区间上满足
f (x) f (x) 0 f (x) f (a) f ( ) g(x) g(x) 0 g(x) g(a) g '( )
lim f ( ) xa g '( )
lim tan x lnsin x
e x 2
(0 )型
2
又
lim tan x ln sin x
令t x 2
lim tan( t ) ln sin(t )
x
t0
2
2
2
lim ( cot t ) ln cos t t0
lim ln cos t t0 tan t
( L)
tan t

lim
t0
sec2
t
0
原 式 lim e tan x lnsin x e 0 1 x 2
例10. 求
x
lim (tan x) 2
0型
解:
x 2
原式
e ( x )lntan x
lim e 2
x

lim ( x )lntan x
0
:
如 lim (tan
x
x) 2
x
2
例10. 求 lim x x . x0
00 型
解: 令y xx ,两边取对数，有：
ln y x ln x 详解见p.103, 例9
例10. 求
lim (sin x)tan x
x
1 型
2
解:
原式
lim e tan x lnsin x x
通常把这种极限叫做未定式 并分别称为 0 型或 型未定式.
0
例如：
lim
ln x a
(0)
xa x a 0
ln x
lim
x
xn
(n 0) ( )
其它类型的未定式
0 , , 1 ,
(
0 0
)
如 lim xa
ln x a
xa
()
如
lim
x
2.1
洛必达法则I
( 0 型未定式)
0
定理 1.
1) f (x)与 g(x) 在U(a)内处处可导,
f (x)
3) lim
l
xa g '(x)
lim f (x) lim f (x) xa g(x) xa g '(x)
(洛必达法则)
推论: 若 lim f (x)
g '(x)
则
理1条件,
x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 ,
定理仍然成立.
例6 (p.101 例5).
求
lim
x
ln x
x
n
(n 0).
型
1
解:
( L)
原式 lim x
x
nx n1

lim
x
1 nxn
0
例7 (p.101 例6). 求
xn
lim
x
解决方法: 关键将其他类型未定式化为洛必达法则
可解决的类型：0 型或 型. 0
1. 0 型
步骤:
0 1 ,
或0 01. 0
例9. 求 lim xn ln x (n 0). 0 型 x0
解: 原式

limx0lnFra bibliotekx xn ()
( L)
1
lim x
x0 nx n1
lim ( xn ) 0
x0
n
2. 型
1、通分；
步骤:
11 00
00. 00

2、分母有理化； 3、倒代换；
例9(+p.102例8) 求 lim( 1 cot x).
x0 x
型
解: 原式 lim x0
0
( L)
lim
ex ex
(0)
x0 sin x
0
lim x0
ex ex
cos x
2
例5. 求
lim
2
arctan x
.
0型
x
1
x
0
解:
原式
( L)

lim

1
1 x
2
x

1 x2

lim 1 x
x2 x2
lim x
1
0型 0
1
解:
原式

lim
xa
ln x ln
xa
a
( L)
lim xa
x
1
1 a
例3
求
lim
x0
x
sin x3
x
.
0型 0
解:
( L)
原式 lim
( x sin x)
x0 ( x 3 )
( L)
1 cos x
lim x0
3x2
( 0) 0
lim x0
后者比前者趋于 更快 .
例8. 求
ln n x lim
(n为正整数) .
型
x x

解: 原式 令t ln x
tn
e lim
t
t
( L)
nt n1
lim
e t t
( L)
( L)
lim
n!
e t
t
0
2.3 其他未定式: 0 , , 00 , 1 , 0型
有一条切线平行于x轴，也即平行于两个端点的连线。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理
y
若函数 f (x)满足:
f (a) f (b) B
y f (x)
(1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导;
A f (b) f (a) f ( ).
有一条切线平行于两个端点的连线.
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西中值定理 若函数f (x)及g(x)满足:
(1) 在闭区间[a, b]上连续;
(2) 在开区间(a,b)内可导, (3) 在开区间(a,b)内 g '(x) 0,
则在开区间(a,b)内至少存在一点 , 使得
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g '( )
例1. 求
0型
0
解: 原式 lim 3x2 3 x1 3x2 2x 1
lim 6x 3 x1 6x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
lim 6x
x1 6x 2
lim 6 1 x1 6
ln x
例2（+p.99例1和例2）求:
lim a xa x a