lecture 12洛必达法则
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题
洛比达法则
lim
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) ． x [ f (a + x ) − f (a − x )]
解
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) lim x →0 x [ f (a + x ) − f (a − x )]
= lim
1 ∞2
−
1 ∞1
1 ∞ 1 ⋅∞ 2
0 = 0
∞ ln 1
=e
，
．
0 =e
0
0⋅ln 0
=e
∞ ⋅0
，
∞ =e
0⋅ln ∞
=e
∞ ⋅0
一、
0 0
型不定式
若 f ( x ) 和 g( x ) 满足下列条件：
定理 (洛必达法则 1)
(1) 在 x0 的某个去心邻域内可导 ，且 g ( x ) ≠ 0；
( 0 型)
0
x 例 13 lim (sin x ) + x→0
ln sin x = lim+ e = exp lim+ = exp lim 1 x →0 x → 0+ x →0 x −x = exp lim+ x ⋅ cos x = 1 x → 0 sin x
2 2
n n n −1 − x 例 12 lim x +x x → +∞ n n 1 + t − 1 1 1 + t 1 = lim − (令 x = ) = lim+ n t t t t →0 t →0+ t 1 (1 + t ) = lim+ n 1 t →0
《洛必达法则》课件
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
12导数极难压轴题解法---罗比达法则
导数极难压轴题解法：罗比达法则应用★ ★★★(2010年全国新课标理)设函数2()1x f x e x ax =---。
若0a =，求()f x 的单调区间；若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围原解:（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时,'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >。
故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加(II)'()12x f x e ax =--由（I ）知1x e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立。
故 '()2(12)f x x ax a x ≥-=-,从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥。
由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时, '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--,当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <,而(0)0f =,于是当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <. 综合得a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭原解在处理第（II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下:另解：（II)当0x =时，()0f x =，对任意实数a,均在()0f x ≥；当0x >时，()0f x ≥等价于21xx a e x--≤令()21xx g x ex --=（x 〉0),则322()x xx x g x e e x-++'=,令()()220x xh x x x x e e =-++>,则()1xxh x x e e '=-+，()0xh x x e''=>,知()h x '在()0,+∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0,+∞上为增函数，()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0,+∞上为增函数. 由洛必达法则知,200011222lim lim lim xxxx x x x x ee e x+++→→→--===,故12a ≤综上,知a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
洛必达法则公式及条件
洛必达法则公式及条件
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
1洛必达法则计算公式
注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量n∈N+是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理作为替代。
2洛必达法则应用条件
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
3洛必达法则3大陷阱
1.要求右侧极限存在
洛必达使用逻辑是有点诡异的，右侧极限存在，回推原极限存在，注意这里的存在包括无穷。
那么不存在的情况，我们目前接触的应该是震荡的情况，需要找其他方法，通常比洛必达还要简单。
2.时刻检查是否满足0/0或无穷/无穷
通常用洛必达法则，第一步大家使用的时候，应该都会check 是否满足条件，但是多次使用洛必达的时候一定注意别忘了检查。
3.求导后函数要简化
有些函数求导后会更加复杂，或者我们在选取分子分母的时候要比较细心，如果发现很难算，一定记得回头，调换分子分母试一下或者另谋它法。
高等数学课件3-2洛必达法则
添加标题
洛必达法则的应用：洛必达法则在解决一些复杂的极限问题时非常有用，例如求解函数极限、求导数 等。
添加标题
洛必达法则的局限性：洛必达法则只适用于函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导，且g'(x)≠0的情况。 如果g'(x)=0，那么洛必达法则不适用。
洛必达法则的推导技巧
洛必达法则是 微积分中一个 重要的法则， 用于解决极限
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的扩展应用
洛必达法则在微 积分中的应用
洛必达法则在极 限计算中的应用
洛必达法则在函 数求导中的应用
洛必达法则在函 数求积中的应用
洛必达法则与其他数学方法的结合
洛必达法则与微 积分的结合：洛 必达法则是微积 分中的一个重要 定理，它可以用 来求解极限、导 数等问题。
洛必达法则的变种：洛必达法则的变种形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的推广：洛必达法则的推广形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
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高等数学课件3-2洛必达法则
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 洛 必 达 法 则 的 背 景 和 定 义
03 洛 必 达 法 则 的 推 导 过 程
04 洛 必 达 法 则 的 应 用 实 例
05 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项 和 限 制
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
课件洛必达法则
定义 若当 x a (或 x)时,两个函数 f (x)与
g(x)都趋于零或都趋于无穷大, 则极限 lim f ( x )
xa g( x)
称为 0 0
或
型未定式.
( x )
例如,
lxim0 sinx
x(
0 0
);
lxim0 1xc2os(
0 0
);
lxim0 llnnssiinnbaxx(
均为当 x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不
一样, 其增大速度比较:
对数函数<<幂函数<<指数函数. 完
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)lx i0m 3xxs3 inx lx i0m 333xc2oxs lim3sin3x 9 . x0 2x 2
xa g(x) xa g'(x)
(x)
(x)
我们把这种在一定条件下 通过对分子分母分别求
导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达
法则.
完
例1 求 lx i0m sixknx (k0).0 0 解 原式 lxim 0(s(ixnk)x)
lxim 0kc1oks x k.
注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但
若能与其它求极限的方法结合使用, 效果会更好. 例 如, 能化简时应尽可能先化简,
例8 求 lx i0m ta32n xxlsn1i(n xx). 解 当 x0时, taxn ~x,ln 1( x )~x ,所以
lx i0m ta32nxxlsn1i(n xx)
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则及其应用
洛必达法则及其应用洛必达法则，又称为L'Hopital法则，是微积分中一个重要的计算极限的方法。
它的优点在于可以化繁为简，使我们不用进行繁琐的代数计算就能求出许多复杂的极限值。
在本文中，我们将讨论其定义、应用以及常见的注意事项。
一、洛必达法则的定义洛必达法则是指在求取例如$\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)\over g(x)}$的值时，若函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$附近的某个去心邻域内都可导，且在该去心邻域内$g'(x)$不为0，那么对于该极限，有以下成立：$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) \over g(x)}=\lim_{x \rightarrowa}{f'(x) \over g'(x)}$$二、洛必达法则的应用1. 未定形式$\frac{0}{0}$首先，我们探讨一般情况下，当$\lim\limits_{x \rightarrowa}{f(x) \over g(x)}$的分子和分母都为零时，如何利用洛必达法则进行破除，即使用法则后，极限值能够变得更简单。
例如，求$\lim\limits_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x} $，这里$f(x) = \sin x, g(x) = x$，我们给出解法如下：$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x}&=\lim_{x \rightarrow 0}{\cos x \over 1} (\text{由洛必达法则})\\ &=1\end{aligned}$$显然，我们可以发现，直接求极限值需要调用三角函数的极限表，虽然对于高手也许不会太困难，但对于初学者而言，光靠极限表是很难掌握的，而使用洛必达法则，我们只需要求导数，就能简单明了地求解。
洛必达法则
洛必达法则洛必达法则的诞生可以说是一次革命，它的出现改变了人们对实验数据评价的观念，使得科学研究更加准确、精准和可靠。
洛必达法则也叫洛必达不等式，它由统计学家约翰·洛必达于1876年提出。
这一方程式可用来确定一组形状及分布的实验观测值的可靠性。
除了实验室工作以外，洛必达不等式也可用于统计学家和经济学家们研究其他统计数据的合理性，例如选举统计以及市场价格的变动。
洛必达法则的原理源自形态学统计中的形态准则”，它即用来判断实验观测值是否与设定的模型有足够接近。
洛必达法则提出了一种检验机制，它允许统计学家们确定实验观测值的可靠性。
在观测记录完成后，科学家们只需要按照洛必达法则的规定，将观测的结果拟合到某一模型形状，就可以证明观测结果的可信度。
洛必达法则是依据实验来得出合理结论的一种有效方法，而它也为科学提供了新的方法，从而使科学研究更加有效率，更加严谨。
洛必达法则提供了一种可将观测值与预期值进行比较，从而得出正确结论的对比方法。
它也为科学家们提供了客观、完整的数据，这些数据不仅可以用来分析实验结果，还可以用来支持实践的应用。
洛必达法则的出现使实验中的大量数据获得了客观的评价，从而避免了由于盲从而导致的误判。
同时，它还可以帮助科学家们迅速的发现异常现象，并对其进行研究与分析，对于解决科学研究中的难题也有重大的帮助。
洛必达法则为实验数据的去偏、语义解释等科学研究带来重大影响，它将科学研究中的实验数据有效的运用起来，使得科学研究变得更加准确、精准和可靠。
同时，它更加便利了科学家们研究实验数据的过程，提高了实验数据分析的效率。
洛必达法则的诞生改变了人们对实验数据的认知，使得科学的研究变得更加精准、准确和可靠，它的出现增强了实验结果的可信度，让科学研究取得更多的成果。
因此，洛必达法则值得人们继续去探讨和研究，为科学研究提供更多有效的方法和帮助。
高等数学课件 2第二节 洛必达法则ppt
x x
x 1
lim
x sin x
lim
(1
sin
x )
1.
x x
x
x
ห้องสมุดไป่ตู้容小结
洛必达法则
型
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
本节课完结
x
1 x2 1
x2
x2
lim
x
1
x2
lim
x
1
1 x2
1
1.
二、
型未定式
定理3. 设 (1) lim f ( x) , lim F( x) ;
xa
xa
(2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
f ( x)
(3)
lim
xa
F
(
x)存在
(或为∞),
则 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
x
x0 x
2
lim (secx 1 ).
x
1 sin x
2
问题: 这些极限是否存在?是什么数值?
一、0 型未定式
0 定理1. 设函数 f (x), F (x) 满足:
(1) lim f ( x) 0, lim F( x) 0;
xa
xa
(2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
F(x)
(2)
f (x) F(x)
F( x) .
1
0
f (x)
例9. 求
lim xn ln x
x0
(n 0).
(0 )
洛必达法则课件
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x
2
.
(
)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0
2
lim
)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )
型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(
)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
mit单变量微积分讲义lecture12__解释说明
mit单变量微积分讲义lecture12 解释说明1. 引言1.1 概述在本篇长文中，我们将详细讨论MIT单变量微积分讲义的第12讲。
在这节课中，我们将重点介绍和解释一些重要的概念和原理，以帮助读者更好地理解微积分的基础知识。
1.2 文章结构本文分为六个主要部分以及一个大纲部分。
在大纲部分，我们提供了整篇文章的框架结构，使读者能够清晰地了解各个小节之间的逻辑关系。
接下来，正文部分将开始详细介绍与解释第12讲中所涉及到的主题和概念。
1.3 目的本文的目的是通过对MIT单变量微积分讲义lecture12进行全面而详细的解读，帮助读者加深对微积分知识的理解和掌握。
通过对每个章节进行详细阐述，并总结各章节的要点，我们旨在使读者能够更好地应用微积分原理解决实际问题，并为进一步学习和探索微积分打下坚实基础。
以上是关于文章“1. 引言”部分内容的详细说明。
2. 正文正文部分是对MIT单变量微积分讲义lecture12的详细解释和说明。
本篇文章将从以下几个方面展开讨论。
首先，我们将对讲义中提到的概念和理论进行介绍和解释。
这包括但不限于微积分的基本概念、函数的极限、导数和微分等重要内容。
我们将从直观的角度出发，通过具体的例子来说明这些概念和理论在实际问题中的应用。
其次，我们将深入探讨讲义中涉及到的各种技巧和方法。
这些技巧包括但不限于求导法则、曲线的切线与法线、泰勒级数展开等等。
我们会结合实例详细说明这些技巧的运用步骤，并举例说明在实际问题中如何应用这些方法来解决数学难题。
此外，我们还会详细介绍讲义中所涉及到的一些重要定理和公式。
例如，拉格朗日中值定理、洛必达法则以及牛顿-莱布尼茨公式等。
我们将对这些定理和公式进行证明，并解释其背后的数学原理及其在微积分领域中的应用。
最后，我们将对讲义中的例题进行逐一分析和解答。
通过具体实例的讨论，读者将更好地理解和掌握讲义中所介绍的知识点，并能够灵活应用到其他类似问题中去。
在本节内容的整理中，将尽力保持逻辑清晰、条理性强，并且注重与读者之间的沟通。
高等数学《洛必达法则》课件
2. 若 lim f ( x) , lim g( x) ,
x x0
x x0
则称 lim f ( x) 为 型未定式 . xx0 g( x)
例如, lim tan x , x tan3 x
2
3. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) ,
x x0
x x0
例如, lim x ln x, x0
1 lim ( x0 x
1
e
x
), 1
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 1 型未定式.
x x0
1
6. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) 例0,如, lim(cos x)x ,
x x0
x x0
x0
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 00 型未定式.
x x0
7. 若 lim f ( x) , lim g( x) 例0, 如, lim xsin x ,
x , x 该法则仍然成立.
(2) 若 lim f ( x)仍为0型未定式 ,且 f ( x) ,
xx0 g( x)
0
g( x)满足定理中f ( x), g( x)所满足的条件,则可
继续使用洛必达法则 , 即
f (x)
f ( x)
f ( x)
lim
lim
lim
.
xx0 g( x) xx0 g( x) xx0 g( x)
0
例9 求 lim xm ln x. （m>0） ( 0 ) x0+
解
原式
lim
x0
ln x xm
lim
x0
x1 m xm1
xm
lim x0
洛必达法则(课堂PPT)
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
高等数学-洛必达法则
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
专题12 导数洛必达法则求函数极限(教案)【解题新方法系列】2023届高考数学二轮专题复习
（十二）导数·洛必达法则求函数极限【例题】设函数2()1x f x e x ax =---。
（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围.2⎝⎭【分析利弊】传统的分参求解让人意想不到，而且计算量相对复杂，不易掌握，变化多端【解法2】新方法·洛必达法则该法则表述为：“设函数()f x ，()g x 满足下列条件：（1）lim ()0x af x →=，lim ()0x ag x →=； （2）在点a 处函数()f x 和()g x 的图像是连续的，即函数()f x 和()g x 在点a 处存在导数；（3）()lim ()x af x Ag x →'='，其中A 是某固定实数； 则()()lim lim ()()x a x a f x f x A g x g x →→='='.” 【注意事项】（1）将上面公式中的+∞→→x a x ,换成-+→→-∞→+∞→a x a x x x ,,，洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理∞-∞∞∞⋅∞∞∞，，，，，000,1000型。
（3）首先要检查是否满足∞-∞∞∞⋅∞∞∞，，，，，000,1000型定式，否则用洛必达法会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
【对点练习】（练习一）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（1）求a 、b 的值；（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()x k f x >+，求k 的取值范围.考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=． （i ）设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减．而(1)0h =故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x >-；当),1(+∞∈x 时，h （x ）<0，可得21()01h x x >- 从而(0,1x x >≠)时，0)1ln ()(>+--x k x x x f ，即xk x x x f +->1ln )( （ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且2(1)21k x x k -++-，对称轴011>-=k x 当)11,1(kx -∈时02)1)(1(2>++-x x k 故,0)(>'x h 而h （1）=0，故当)11,1(k x -∈时，0)(>x h ，可得011)(2<-x x h 与题设矛盾． （iii ）设1≥k 此时212x x +≥，0)(02)1)(1(2>'⇒>++-x h x x k 而h （1）=0，故当),1(+∞∈x 时，0)(>x h 可得011)(2<-x x h 与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为]0,(-∞ 上为增函数为增函数由洛必达法则知()2111ln 1ln 12121210221lim lim lim x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭∴0k ≤（练习二）已知函数()x f x e =，()1g x tx =+.（1）若()()f x g x ≥恒成立，求t 的取值范围； （2）证明：e ln 2x x -≥。
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显然 若g(x) x, g (b) g (a) (b a) , g '(x) 1,
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g '( )
f (b) f (a ) f ( )(b a )
拉格朗日中值公式
第二节 洛必达法则
本节研究: 函数之商的极限
1 cos x
x sin x
sin x x cos x lim
x0 x sin x
0 () 0
lim
x0
sin
x
x
x
2
cos
x
0 () 0
(L) cos x cos x x sin x lim
0
x0
2x
3. 1 , 00 , 0 型
步骤:
00
1
3. 在满足定理条件的某些情况下, 洛必达法则不能解决 计算问题 ----失效
例如：
lim
x
1 x2 x
( L)
lim
x
x 1 x2
( L)
1 x2
lim
x x
而
lim
x
1 x 2 lim
x
x
1 x2
1
1
4.
若
lim
f F
( (
x)不存在( x)
ba
则在开区间(a, b)内至少存在
O a 1
2 b
x
一点 (a b), 使得
f (b) f (a) f ( )
ba
注: 结论亦可写成
f (b) f (a ) f ( )(b a )
拉格朗日中值公式
几何意义: 在两个高度不相同的点之间的连续曲线上 若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必
x
2
2
(0 )型
又
lim ( x
) ln tan
2
x
令t x 2
x
2
lim t ln tan( t ) lim t ln cot t
t0
2
t0
2
ln cot t lim
t0 1
( L) tan t( csc2 t )
lim t0
转化 洛必达法则
导数之商的极限
一、
0 0
型未定式
二、 型未定式
三、其他未定式
( 或 型)
* 未定式
如果 当x x0 (或x )时, 两个函数f ( x)与g( x)
都趋于零或都趋于无穷大, 那 么 极 限
f (x) lim xx0 g( x)
( x)
(0) 0
()
可能存在 也可能不存在
e
x
(n为正整数 , 0).
解:
原式 lim x
nx n1
ex
lim n(n 1) x n2
x
2e x
lim
x
n!
ne x
0
型
例6, 例7 表明 x 时, ln x , xn (n 0) , e x ( 0)
lim x0
sin x
6x
x2
2
3x2
1 6
(sin x ～ x)
例4. 求
ex ex 2x lim
x0 x sin x
0型 0
解: 原式
( L)
lim
(ex
ex
2x)
x0 (x sin x)
( L)
lim e x
ex
2
(0)
x0 1 cos x
第一节 中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的单调性与极限 第四节 函数的微分作图法
上节课主要内容
第一节 中值定理
罗尔中值定理
中值定理
拉格朗日中值定理 柯西中值定理
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
一、罗尔( Rolle )定理
y
若函数 f (x)满足:
(1) 在闭区间[a, b]上连续;
A
(2) 在开区间(a, b)内可导;
f (a) f (b) y f (x)
B
(3) f (a) f (b);
则在开区间 (a,b)内至少存在一点 O a x0
b x x02
x 0 ,使得 f ( x0 ) 0.
几何意义: 在两个高度相同的点之间的连续曲线上
若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必
0 型
0 ln 0 ln 1 0 ln
注意:
1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能 与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能 先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算简捷
2．不是未定式不能用洛必达法则
lim 6x lim 6 1 x1 6 x 2 x1 6
ln x
x
n
(n 0)
00, 0 型
1 如 lim (sin x)tan x x 2
00 如 lim x x x0
0 如 lim xn ln x(n 0) x0
如 lim( 1 cot x) .
x0 x
0
如
lim
(tan
x
x) 2
x
2
本节主要研究这些未定式极限
)时,
lim f ( x) F(x)
lim f ( x) . F ( x)
例如, lim x sin x
1 cos x
lim
极限不存在
x
x
x
1
sin x
lim (1
x
x )1
0
幂指函数求极限
lim f ( x)g( x)
转化为 lim e g( x )ln f ( x )
0 ln 0 ln 1 0 ln
0
0 0
或
例10. 求
00 : 如 lim x x x0
1 : 如 lim (sin x)tan x x 2
1 x2
1
1
2.2 洛必达法则II ( 型未定式)
定理 2.
1) f (x)与 g(x) 在U(a)内处处可导,
f (x)
3) lim
l
xa g '(x)
lim f (x) lim f (x) xa g(x) xa g '(x)
说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x ,
1
t
t2
( L)
t2
lim
t0
tan t
sin t 2
0
原式
e 1 ( x )lntan x
lim e 2
0
x
2
内容小结
洛必达法则
型
0型 0 型
00
1
幂指函数求极限 lim f ( x)g( x)
0
转化为 lim e g( x )ln f ( x )
证明：由定理条件2)
有：f (a) g(a) 0,
则 柯西定理条件, 故
在以 x, a 为端点的区间上满足
f (x) f (x) 0 f (x) f (a) f ( ) g(x) g(x) 0 g(x) g(a) g '( )
lim f ( ) xa g '( )
lim tan x lnsin x
e x 2
(0 )型
2
又
lim tan x ln sin x
令t x 2
lim tan( t ) ln sin(t )
x
t0
2
2
2
lim ( cot t ) ln cos t t0
lim ln cos t t0 tan t
( L)
tan t
lim
t0
sec2
t
0
原 式 lim e tan x lnsin x e 0 1 x 2
例10. 求
x
lim (tan x) 2
0型
解:
x 2
原式
e ( x )lntan x
lim e 2
x
lim ( x )lntan x
0
:
如 lim (tan
x
x) 2
x
2
例10. 求 lim x x . x0
00 型
解: 令y xx ,两边取对数，有：
ln y x ln x 详解见p.103, 例9
例10. 求
lim (sin x)tan x
x
1 型
2
解:
原式
lim e tan x lnsin x x
通常把这种极限叫做未定式 并分别称为 0 型或 型未定式.
0
例如：
lim
ln x a
(0)
xa x a 0
ln x
lim
x
xn
(n 0) ( )
其它类型的未定式
0 , , 1 ,
(
0 0
)
如 lim xa
ln x a
xa
()
如
lim
x
2.1
洛必达法则I
( 0 型未定式)