2014年秋季班数学八年级讲义(5)

图1

D

C

图

22014年秋季班数学八年级讲义（5）

掌握添加辅助线的基本方法 掌握证明举例中的基本思路 【基础知识】 1. 如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC=45°，点P 在AB 上，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，垂足分别为D 、

E ，已知DC=2，求BE 的长。

2. （1）

90303ABC BAC B AD BC BD CD ∆∠=︒∠=︒⊥=已知：在中，、、，求证：

（2）90330ABC BAC AD BC BD CD B ∆∠=︒⊥=∠=︒已知：在中，、、，求证：

3. 已知：如图1所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交

于点O ，求证：AC ＝AE ＋CD

4. 已知：如图2，四边形ABCD 是正方形，点E 、点F 分别是边BC 和边CD

上的点，且∠

FAD ＝∠FAE ，求证BE ＋DF ＝AE

C

D

5. 已知：如图，在四边形ABCD 中, AB =CD ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，DE =BF ．

求证：∠A ＝∠C ．

6. 求证：在两个锐角三角形中，如果有两边及其中一边上的高对应相等，那么这两个三角

形全等。（画图、写出已知、求证和证明）

【提高练习】

1. 如图，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点I ，若∠B ＝35°，BC ＝AI ＋AC ，

求∠BAC 的度数

2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保

持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中： （1）求证：∠EAF ＝45o

（2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由

3. ,120ABC AB AC BAC ∆=∠=︒已知：在中，

(1)2D BC DE AB DF AC DE DF BC D BC DE AB DF AC DE DF BC ⊥⊥⊥⊥是上的一动点，，，你能发现、、之间的数量关系吗？

（）是直线上的一动点，直线，直线

，试探究线段、之间的数量关系。

4. 90ABC BAC AB AC D AC AH BD H ∆∠=︒=⊥已知：在中，、，是的中点，于

12AH BC E FC AC AE F BD DF EC DF ⊥延长交于，交延长线于，（）找出图中与相等的线段，试证明？（）连接，试探究与的关系？

5. 90ABC BAC M BC ∆∠=︒已知：在中，，是的中点，将直角三角板的直角

12M AB AC F E ME MF ME MF =顶点放于点处，另两条直角边分别交、于、。（）与相等吗？

（）如果，反过来能说明题目中的三角板有一个角是直角吗？

如果能，试证明；如果不能，试举一个反例。

6. 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将B

O C △绕点C 按

顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；

（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？

A B C D O

110 α

A B C A

B

C

图1

图2

图3

7. （1）如图1，△ABC 和△ADC 是公共斜边AC 的等腰直角三角形，E 、F 分别在AD 和CD

上，∠EBF ＝45°，试判断线段AE 、EF 、FC 之间的数量关系，并说明理由

（2）如图2，△ABC 和△ADC 是公共底边AC 的等腰三角形，E 、F 分别在AD 和CD 上，∠ADC ＝60°，∠ABC ＝120°，∠EBF ＝60°，试判断线段AE 、EF 、FC 之间的数量关系，并说

明理由

（3）由此我们能得到更一般的结论：当∠ADC 和∠ABC 满足_________________，同时∠ABC 和∠EBF 满足________________时，则AE 、FC 和EF 之间就有以上数量关系。

（4）如图若当点E 、点F 分别在直线．．AD 和直线．．CD 上运动，那是否又有类似的结论呢？