第4章_非线性系统线性化分解
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第四章
非线性系统的线性化
1、传统近似线性化
2、精确线性化
3、现代近似线性化
Company Logo
非线性系统线性化方法
传统近似 线性化 现代近似 线性化
精确线性化
基本思想： 一阶近似 适用于工作 条件苛刻， 计算复杂
基本思想：通过坐标 变换把强非线性系统 变换成弱非线性系统
点范围不大
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
x x d f ( x, u, t ) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f ( x, u, t ) ( Ad x Bd v)] e
（1.3）
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
取状态偏差的二次型函数
运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。
目前反馈线性化的方法主要有两种：
1）精确线性化方法(exact linearization method)，如微分几何方法，隐函数方 法和逆系统方法等； 2）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法 等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称为隐含 模型参考方法（implicit model reference approach），而后者为实际模型参考 方法（real model refernce approach）。 精确线性化方法中，微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理论体系并 在许多领域得到成功的应用。相比之下基于隐函数方法的直接线性化方法由 于其可应用的范围较窄，理论上又难以深入，被研究得要少得多。
（1.2）
Ad Rnn , Bd Rnm 为常数矩 其中 xd R 为状态向量，v R m 为控制向量， 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设 计可以实现系统状态 x 对 xd 的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性 化。
x x d 令状态偏差为 e x xd ，则有 e
情况
或通过状态反馈以保
持线性系统的部分特 点。
近似线性化
传统近似线性化方法
最小二乘法 误差最小
泰勒展开 传统近似线性化 雅可比矩阵
忽略高阶项
忽略高阶项
傅里叶级数展开
wk.baidu.com
忽略高次谐波
非线性系统反馈线性化_主要内容
• • • 4.0 绪论 4.1 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 4.2 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 – – – – 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 线性定常系统设计—闭环极点配置 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法 输入—状态线性化 输入—输出线性化 线性系统的内动态子系统 零动态子系统 微分同胚与状态变换 弗罗贝尼斯定理 单输入单输出系统的输入—状态线性化 单输入单输出系统的输入—输出线性化 多输入—多输出系统的反馈线性化
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。 按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法： （1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。 （2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
非线性系统反馈线性化绪论
模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不 仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同 样也得到大量的应用。 在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
V (e) eT Pe
T nn 其中 P P R ，且 P 0 。则有 V (e) 的导数为：
（1.4）
(e) eT ( A T P PA )e 2eT P[ f ( x, u, t ) ( A x B v)] eT Qe 2M V d d d d
•
4.3 反馈线性化与标准型
– – – –
•
4.4 数学知识
– –
•
4.5 非线性系统反馈线性化 – – –
•
4.6 近似线性化方法
非线性系统反馈线性化绪论
非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系 统设计方法。这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的 动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制 的方法对系统进行设计与控制。反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来 达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的。
（1.5）
T M eT P[ f ( x, u, t ) ( Ad x Bd v)]为标量函数。 其中 Q ( Ad P PAd ) Rnn ，
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下： 考虑一般的非线性系统
f ( x, u, t ) x u R m 为控制向量，f 为向量函数。 其中，x R n 为状态向量，
设希望的线性系统动态特性为
d Ad xd Bd v x
n
（1.1）
非线性系统的线性化
1、传统近似线性化
2、精确线性化
3、现代近似线性化
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非线性系统线性化方法
传统近似 线性化 现代近似 线性化
精确线性化
基本思想： 一阶近似 适用于工作 条件苛刻， 计算复杂
基本思想：通过坐标 变换把强非线性系统 变换成弱非线性系统
点范围不大
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
x x d f ( x, u, t ) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f ( x, u, t ) ( Ad x Bd v)] e
（1.3）
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
取状态偏差的二次型函数
运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。
目前反馈线性化的方法主要有两种：
1）精确线性化方法(exact linearization method)，如微分几何方法，隐函数方 法和逆系统方法等； 2）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法 等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称为隐含 模型参考方法（implicit model reference approach），而后者为实际模型参考 方法（real model refernce approach）。 精确线性化方法中，微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理论体系并 在许多领域得到成功的应用。相比之下基于隐函数方法的直接线性化方法由 于其可应用的范围较窄，理论上又难以深入，被研究得要少得多。
（1.2）
Ad Rnn , Bd Rnm 为常数矩 其中 xd R 为状态向量，v R m 为控制向量， 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设 计可以实现系统状态 x 对 xd 的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性 化。
x x d 令状态偏差为 e x xd ，则有 e
情况
或通过状态反馈以保
持线性系统的部分特 点。
近似线性化
传统近似线性化方法
最小二乘法 误差最小
泰勒展开 传统近似线性化 雅可比矩阵
忽略高阶项
忽略高阶项
傅里叶级数展开
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忽略高次谐波
非线性系统反馈线性化_主要内容
• • • 4.0 绪论 4.1 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 4.2 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 – – – – 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 线性定常系统设计—闭环极点配置 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法 输入—状态线性化 输入—输出线性化 线性系统的内动态子系统 零动态子系统 微分同胚与状态变换 弗罗贝尼斯定理 单输入单输出系统的输入—状态线性化 单输入单输出系统的输入—输出线性化 多输入—多输出系统的反馈线性化
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。 按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法： （1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。 （2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
非线性系统反馈线性化绪论
模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不 仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同 样也得到大量的应用。 在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
V (e) eT Pe
T nn 其中 P P R ，且 P 0 。则有 V (e) 的导数为：
（1.4）
(e) eT ( A T P PA )e 2eT P[ f ( x, u, t ) ( A x B v)] eT Qe 2M V d d d d
•
4.3 反馈线性化与标准型
– – – –
•
4.4 数学知识
– –
•
4.5 非线性系统反馈线性化 – – –
•
4.6 近似线性化方法
非线性系统反馈线性化绪论
非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系 统设计方法。这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的 动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制 的方法对系统进行设计与控制。反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来 达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的。
（1.5）
T M eT P[ f ( x, u, t ) ( Ad x Bd v)]为标量函数。 其中 Q ( Ad P PAd ) Rnn ，
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下： 考虑一般的非线性系统
f ( x, u, t ) x u R m 为控制向量，f 为向量函数。 其中，x R n 为状态向量，
设希望的线性系统动态特性为
d Ad xd Bd v x
n
（1.1）