一维波动方程

改写(2.3)为
u
0
u
可以看出 不依u赖 于
变 量, 于是有
f ( )
其中 f是 的任意连续可微函数, 再对 积分, 得到
u() f ( )d G()
若令 F( ) ,可f 得( )d
F u(其)中 F和( ) 都G是(任) 意的二阶连G
t 续可微函数. 回到原来的变量 和 , 于是波动方程x(2.1) 的通解为
u() ()d 1( )
其中1(是) 的任意函数. 若令
2(),上式(可)d写 成
其中 和 都u是(其变) 元 的1任(意) 连续可2微(函)数. 变回到原来的变
量 和 , 便得x 到方y程(2.10)的通解为
1 2
u(x y) 1(xy)
xy
2
(
x y
)
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 到下面两个等式：
和1
.首 2先,容易得
1(x) x2(x(2).15)(x)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》第四章双曲型方程
x 1(x)
x 2
2
(
x)
x
3 2
2(
x)
(
x)
对 x微分(2.15),得
1(x) 2 1 x 2 (x) x 2(x) (x)
用 x乘以上式再与(2.16)相加,得
2(x)
证:只要取 即 可. 综上所述，C1auTchy问题(2.1), (2.2)的解是适定的.
另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式
t
a
x
t
a
x
u
0
且令
t
a
x
,
u则可v 以得到如下一阶线性偏微分方程组
uvtt
av(2x .9)0 aux v
按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程 §2 一维波动方程
2.1. 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问
题, 在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题
utt a2uxx 0 (2.1x) t 0
xat
( )d
2
2a xat
这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔(D’Alembert)公式.
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
到目前为止, 表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1), (2.2)的 形式解. 为了使它确实是Cauchy问题(2.1), (2.2) 的解, 我们需要
数据
与(x) (满x)足不 (等x)式 (x)
sup (x) (x) sup (x) (x)
xR
xR
时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 u(x与t) u满(x足 t)
sup u(xt) u(xt)
xR 0t T
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
解: 容易求出(2.10)中的方程的特征曲线
xy
c1
x y
c2
作自变量变换
xy x
y
y 1, x 0
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
就可把(2.10)中的方程化成标准型
u
1
2
u
0
为了求出方程(2.11)的通解, 我们令
(2.11)
则方程(2.11)化为
w u
D’Alembert公式(2.8).
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
上面对弦振动方程求解的特征线法, 亦适用于类似方程的
Cauchy问题.
例1 求解Cauchy问题
x2uxx y2uyy 0 x 0
u(x1) (x)uy ((x21.1) 0) (x)
其中(x和) 都(x是) 已知函数.
对初值 加上一定的条件.
定理4.3 若 C2 ( ), 则由C1(D’Ale)mbert公式(2.8)表示的 函数 是Cauchyu问(x题t)(2.1), (2.2)解.
证明留作习题，请读者自己完成. 下面我们讨论Cauchy问题(2.1), (2.2)解的稳定性.
定理4.4 假设对任意给定 的 , 总0 可找到这样的 , 当初始0
1 2x
( x)
1 2
x
3 2
( x)
由此推得
2
(
x)
1 2
x ( ) d 1
x0
2
x x0
( )
32
d
c
其中 c 为任意常数. 再将 的2 (x表) 达式代入(2.15), 得
w
1
2
w
0
(2.12) (2.13)
若把看作参数, 方程(2.13)就是以 为自变量的线性常微分方程,
其通解可写为
w ()
其中 (是) 的 任意函数. 将此表达式代入方程(2.12), 得
u ()
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对求积分, 便得方程(2.11)的通解
方程(2.1)的特征方程是
dx2 a2dt2 0
由此求得特征曲线为
其中c1 c为2 任意常数.
x at c1 x at c2
为了将方程(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换
x at x at
即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成
u (20.3)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
满足初始条件
uut((xx00))((x(x)2).2)
x x
,
其中a是一个正常数，函数 (x) C2是(x定) 义C在1 区间
上的(已知函 数.)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，
这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知,
(2.4)
u(xt) F(x at) G(x at)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
Biblioteka Baidu现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 和F , 由G等式(2.4)
有
u(x0) F(x) G(x) (x)
(2.5)
ut (x0) aF(x) G(x) (x)
对等式(2.6)积分,
得出 F ( x)
G(x)
1
x
( )d c
其中是c任意常数. 由等式(2.5)和(2a.7)0解出和为
(2.6) (2.7)
F(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
2
2a 0
2
G(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
代入(2.4),我们得到 2
2a 0
2
u(xt) 1 [(x at) (x at)] 1