一维波动方程
一维波动方程的解
一维波动方程是描述一维波动现象的偏微分方程，其一般形式为：
∂²u/∂t²= c²∂²u/∂x²
其中，u(x,t)是波动的位移或振幅，c是波速。
解一维波动方程的一般步骤是将其转化为一个简单的常微分方程或特殊的偏微分方程，然后通过求解这个方程得到波动的解析表达式。
这里介绍两种求解方法：
分离变量法
假设u(x,t) 可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)，代入原方程得到：
X''(x)/X(x) = (1/c²) T''(t)/T(t)
由于左边的方程只涉及x，右边的方程只涉及t，因此两边必须都等于一个常数k²，即：X''(x)/X(x) = k²
T''(t)/T(t) = k²c²
分别解上面两个方程，得到：
X(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
T(t) = C sin(ckt) + D cos(ckt)
其中，A、B、C、D 是待定常数，可以根据边界条件和初值条件确定。
将上述两个函数代回原方程，得到波动的解析表达式：
u(x,t) = Σ[An sin(nπx/L) + Bn cos(nπx/L)] sin(ncπt/L)
其中，An、Bn 是待定常数，L 是波动区间的长度，n 为正整数。
波动方程
1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。
②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu 。
也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。
③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。
也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。
1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。
即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题（I ）()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂2.1.....................,:0t 1.1. (022)222x t u x u x u a t u ψϕ和 （II ）()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂4.1....................................................................0,0:0t 3.1................................................................,22222t u u t x f x u a t u的解，那么()()t x u t x u u ,,21+=就一定是定解问题（1）的解。
(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式
u (x, y, z), t0
u t
t0
1(x,
y,
z).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 r2
r
r
1 a2
2 (ru) t 2
2 (ru) r 2
1 a2
2 (ru) t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
（9.1.7）
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
5
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
式（9.1.9）两端对 x 积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
一维波动方程Cauchy问题解的适定性【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学一维波动方程Cauchy 问题解的适定性一、前言部分在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通常表示所有种类的波，例如声波，光波和水波。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学，波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到, 对非线性偏微分方程有关概念、理论及方法的理解起着非常重要的作用。
对一维波动方程Cauchy 问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。
以下是本文经常要用到的一些概念： 1、一维波动方程的定义定义1]1[ 22222(,)(0,0)u u a f x t x l t t x ∂∂-=<<>∂∂， （1.1）其中20(,),(,)T f x t a f x t ρρ==，方程（1.1）刻画了均匀弦的微小横振动的一般规律，人们称它为弦振动方程，亦称为一维波动方程。
一根弦线特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。
因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必须写出它适合的初始条件和边界条件]1[。
定义2]1[ 初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻0t =的位移和速度：(,0)()(0),(,0)()(0),t u x x x l u x x x l ϕψ=≤≤=≤≤ （1.2）这里(),()x x ϕψ为已知函数。
定义3]1[ 边界条件 一般来说有三种。
（1）已知端点的位移变化，即12(0,)(),(,)()(0)u t g t u l t g t t ==≥ （1.3）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有固定端。
（2）已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即012|(),|()(0),x x l uTg t xu T g t t x==∂-=∂∂=≥∂ （1.4）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有自由端。
一维波动方程推导教学内容
1.2.5 基桩或杆件阻抗变化引起的反射波
当基桩或杆件阻抗发生突变时，如图2所示， 由变阻抗处的连续条件可得：
F1 F1 F2 F2 V1 V1 V2 V2
（35）
将式（20）和（24）代入式（35），可得
F1
Z2 Z1 Z1 Z2
F1
2Z1 Z1 Z2
V g cg' t
式中负号表示质点振动速度向上为负。
（21）
上行波引起的桩身应变为
g g '
x
（22）
（21）、（22） 结论：
V c
FEAEAVZV
C
①下行波中质点的运动方向与所受力的方向始终一致；
②上行波中质点的运动方向与所受力的方程始终相反。
（23） （24）
3 通过计算可以分离出桩身各截面 上行波和下行波的值，具体如下：
u f '
x
（17） （18）
式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。
（17）、（18）
V c
（19）
FEAEAVZV
C
（20）
式中，Z＝EA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。
2 假设桩身中只有上行波（压力波为例），即ux,t gxct
则上行波引起的质点振动速度
(7)
2tu2 c22u22u222u
(8)
将式（5）～式（8）代入式（4）
2u 0
(9)
对式（9）连续两次积分得到方程的通解：
u,fg
（10）
ux,tfx ctgxct
（11）
通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。
设问题的初始位移和初始速度分别为：
一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程一偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； 4、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类(状态描述、变化规律)1、来源 I .质点力学：牛顿第二定律F =mr 连续体力学 II.麦克斯韦方程弹性体力学<(弹性定律)'弦 杆振动：出血力— a 2V 2 u (r , t ) = 0 (波动方程); 膜 0t 2 流体力学：质量守恒律:皿不V ・(p y ) = 0£ d t热力学物态方程：过+ (y -V )y ="p + f = 0 (Euler eq.).d t p JJ D .d c=fffp d i nV- D = p ; J E -d l =JJB -d s nVx E = B ;力B - d c= 0 nV- B = 0; J H - d l DjJ(j + D ) - d s nVx H = j + D . E = -V u , B = Vx A ,u ,A 满足波动方程。
、Lorenz 力公式n 力学方程;制axwell eqsT 电导定律n 电报方程。
IIL 热力学统计物理 热传导方程:以一 k V 2T = 0；特别：稳态(生= 0): V 23 = 0 (Laplace equation). < 八 01 扩散方程:0P - D V 2 p = 0. 、 01 IV.量子力学的薛定谔方程： i 方迦=—疟 V 2 u + Vu .0 01 2 m二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”--- “无理取闹”（物理趣乐）。
一维波动方程Cauchy问题解的适定性【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学一维波动方程Cauchy 问题解的适定性一、前言部分在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通常表示所有种类的波，例如声波，光波和水波。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学，波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到, 对非线性偏微分方程有关概念、理论及方法的理解起着非常重要的作用。
对一维波动方程Cauchy 问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。
以下是本文经常要用到的一些概念： 1、一维波动方程的定义定义1]1[ 22222(,)(0,0)u u a f x t x l t t x ∂∂-=<<>∂∂， （1.1）其中20(,),(,)T f x t a f x t ρρ==，方程（1.1）刻画了均匀弦的微小横振动的一般规律，人们称它为弦振动方程，亦称为一维波动方程。
一根弦线特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。
因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必须写出它适合的初始条件和边界条件]1[。
定义2]1[ 初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻0t =的位移和速度：(,0)()(0),(,0)()(0),t u x x x l u x x x l ϕψ=≤≤=≤≤ （1.2）这里(),()x x ϕψ为已知函数。
定义3]1[ 边界条件 一般来说有三种。
（1）已知端点的位移变化，即12(0,)(),(,)()(0)u t g t u l t g t t ==≥ （1.3）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有固定端。
（2）已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即012|(),|()(0),x x l uTg t xu T g t t x==∂-=∂∂=≥∂ （1.4）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有自由端。
波动方程及其解法
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
一维波动方程的达朗贝尔公式ppt
u f ( )
u(x,t) f ( )d f2 () f1(x at) f2 (x at) (9、1、6)
其中 f1, f2 都就是任意二次连续可微函数。
4
u(x,t) f ( )d f2 () f1(x at) f2 (x at) (9、1、6)
式(9、1、6)就就是方程(9、1、1)得通解。
4 SaMt
(at)2
或简记成 u(M ,t) 1 0 dS 1 1 dS
4 a t SaMt r
4 a SaMt r
上式称为三维波动方程得Poisson公式。
18
例2 求解定解问题
utt a22u x, y, z , t 0,
u
t0
x3
y2z,
ut t0 0.
解:这里 0 x, y, z x3 y2z, 1 x, y, z 0
(9、1、11)
2
2a xat
——无限长弦自由振动得D’Alembert(达朗贝尔)公式。 6
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
( )d
2
2a xat
D’Alembert解得物理意义:
(9、1、11)
先讨论初始条件只有初始位移情况下D’Alembert解得物理意义。 此时式(9、1、11)给出
a f1(x) a f2(x) (x) (9、1、9)
5
f1(x) f2 (x) (x) (9、1、8)
a f1(x) a f2(x) (x) (9、1、9)
x 式(9、1、9)两端对 积分一次,得:
f1(x)
f2 ( x)
1 a
x
( )d C
0
(9、1、10)
经典波动方程
经典波动方程波动方程是描述波动现象的数学模型，在物理学、工程学、地质学等领域都有着广泛的应用。
经典波动方程是最简单且常见的一种波动方程，它描述了波的传播规律和特性。
在本文中，我们将介绍经典波动方程的一些基本概念和性质，帮助读者更好地理解这一重要的物理现象。
1.波动方程的基本形式经典波动方程的基本形式可以表示为△u=1/c^2(∂^2u/∂t^2)，其中u是波函数，c是波速，△是拉普拉斯算子，∂/∂t是对时间的偏导。
这个方程描述了波函数在空间和时间上的变化规律，是描述波动传播的基本方程。
2.一维波动方程对于一维情况，经典波动方程可以简化为∂^2u/∂x^2=1/c^2∂^2u/∂t^2，描述了沿着一维坐标轴传播的波动。
这种情况下，波函数的变化只与空间坐标和时间有关，是一种简单且常见的波动现象。
3.波速的影响波速是波动方程中的一个重要参数，它决定了波动的传播速度。
不同的介质和波动类型，波速会有所不同。
在一维波动方程中，波速对波函数的传播速度起着关键作用，可以影响波动的频率和波长。
4.边界条件与初值条件波动方程的解需要满足适当的边界条件和初值条件。
边界条件描述了波函数在空间边界处的行为，初值条件描述了波函数在初始时刻的状态。
只有在满足这些条件的情况下，波动方程的解才是唯一确定的。
5.波的衍射和干涉波动方程可以描述波的衍射和干涉现象，这是波动光学和波动力学中的重要现象。
衍射是波通过障碍物或狭缝时发生的偏转现象，干涉是多个波相互叠加时产生的增强或抵消现象。
这些现象可以通过波动方程的解来解释和预测。
6.波的能量传播波动方程还可以描述波的能量传播过程。
波在传播过程中会携带能量，并在空间中传播和分布。
波动方程可以定量描述波的能量密度和能量流动方向，帮助我们理解波动现象的能量特性。
7.波的反射和折射波动方程可以描述波在界面上的反射和折射现象。
当波遇到不同介质的界面时，会发生反射和折射现象，形成透射波和反射波。
这些现象可以通过波动方程和边界条件来描述和分析。
什么是波动方程及其应用
波动方程是描述波动现象的数学模型。
波动是指物质或能量在空间中传播的过程，是一种传播性质的体现。
波动方程是描述波动传播的规律和性质的方程。
波动方程最常见的形式为“一维波动方程”，即∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²其中，u是波函数，t是时间，x是坐标，c是波速。
这个方程表达了波函数的二阶偏导数与时间的二阶偏导数之间的关系。
波动方程具有多种应用。
在物理学中，波动方程被广泛应用于电磁现象、声音传播、光学、地震学等领域。
在工程学中，波动方程可以用于描述和分析声波在各种材料和介质中的传播特性，包括声学器件、聚焦声纳系统、超声等。
在医学影像学中，也可以利用波动方程对体内的声波传播进行模拟和重建。
在电磁学中，波动方程同样可以用于描述电磁场的传播特性。
根据麦克斯韦方程组可以推导出电磁波动方程。
通过求解电磁波动方程，可以了解电磁波在不同介质中的传播规律，进而应用于通信技术、雷达系统、微波加热等领域。
在光学中，波动方程可以描述光的传播和干涉现象。
光波动方程的解可以用于解释光的衍射、偏振和干涉等现象，进而应用于光学器件的设计和光学信号处理。
在地震学中，波动方程可以描述地震波在地球中的传播特性。
通过求解地震波动方程，可以了解地壳的结构、地震传播规律和地震活动的特点，进而应用于地震预测和地震灾害研究。
总的来说，波动方程是研究波动现象的重要工具。
通过求解波动方程，我们可以了解波的传播规律和性质，进而应用于各个领域，包括物理学、工程学、医学影像学等。
波动方程的研究和应用有助于我们更好地理解和控制波的性质，拓展了人们的科学认识和技术应用。
《一维波动方程》课件
三维波动方程
描述空间波的传播
三维波动方程适用于描述在三维空间 中波的传播，例如声波、电磁波等。
物理应用广泛
三维波动方程在物理、工程等领域有 广泛的应用，如地震波传播、电磁波 传播等。
多维波动方程的解法
数值解法
对于多维波动方程，由于其复杂性， 通常采用数值解法来求解。常见的数 值解法包括有限差分法、有限元法等 。
解的物理意义
通过求解一维波动方程，可以得到波在空间中传播时的具体形式和性质，如波速、波长、振幅和相位 等。这些解具有明确的物理意义，可以用于描述和分析各种波动现象。
03
一维波动方程的解法
Chapter
分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为多个常微分 方程，逐个求解，得到波动方程的解。
VS
详细描述
03
三维波动方程
描述三维空间中波的传播和变化规律，一般形式为：∂²u/∂t² = c² *
(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) + f(x, y, z, t)。
02
一维波动方程的建立
Chapter
一维波动方程的推导
波动现象的观察
波动现象在自然界中广泛存在，如声波、光波和水 波等。通过对这些现象的观察，可以发现波动具有 传播、干涉和衍射等特性。
有限差分法
总结词
通过将一维波动方程离散化，转化为差分方程组，然后求解差分方程组得到波 动方程的近似解。
详细描述
有限差分法是一种通过将一维波动方程离散化，转化为差分方程组的方法。在 离散化的过程中，需要考虑差分方程的稳定性和精度。然后利用数值计算方法 求解差分方程组，得到波动方程的近似解。
04
第一节 一维波动方程的Cauchy问题
第二章 波行法本章将利用行波法和球平均法分别求解一维和二维、三波动方程Cauchy 问题的§1 一维波动方程的Cauchy 问题一、 D ’Alembert 公式考虑初始位移为)(x ϕ，初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动，该振动可以归结为如下初值问题：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<∞-=>+∞<<-∞=-==x x u x x u t x u a u t t t xx tt )()()0,(0002ψϕ（2.1） 由第一章第三节弦振动方程可经自变量变换简化，作变换：⎩⎨⎧+=-=atx atx ηξ 由ηξηξηξu u u u u x x x +=+=ηηξηξξηηξξηξηξu u u u u u u u x x xx ++=+++=2)()()(ξηηξu u a au au u t -=+-=)(2ηηξηξξu u u a u tt +-=代入方程(2.1)得042=-ξηu a由 02>=ρTa ，有0=ξηu先对η积分,得()uf ξξ=其中()f ξ是任意的函数,再ξ对积分,得到212()()()()u f d F F F ξξηξη=+=+⎰其中12,F F 都是任意的函数.把,ξη换成x,t 的表示式,即得)()(),(21at x F at x F t x u ++-= (2.2) (2.2)给出的仅仅是泛定方程的解为了得到满足(2.1)的解,考虑初值条件)()()()0,(21x x F x F x u ϕ=+= (2.3) 和)()()()0,(21x dx x dF dxx dF a x u t ψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-= (2.4) 将(2.4)两端取从0x 到x 积分：[]⎰=++-xx d C x F x F a 0)()()(21ααψ (2.5) 其中)]()([,02010x F x F a C x -=任意. 联立(2.4)和(2.5)，解得：a Cd a x x F x x 2)(21)(21)(01+⎰-=ξξψϕ a Cd a x x F x x 2)(21)(21)(02-⎰+=ξξψϕ将以上两式代入(2.2)即得Cauchy 问题(2.1)的解 ⎰+++-=+-atx at x d aat x at x t x u ξξψϕϕ)(212)()(),(这叫做一维波动方程Cauchy 问题的D ．’．Alembert ．．．．．．．．公．式．.。
数理方法 第七章 一维波动方程的付氏解
第二节 齐次方程混合问题的分离变数解法 §7.2.1分离变数法 例：两端固定的弦的自由振动
utt
a2uxx ,(0
x
l,t
0)
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0)
(7.1) (7.2)
u(
x
,
0)
(
x
),
ut
(
x
,
0)
(
x
),
(0
x l)
(7.3)
代表的是驻波,称为弦的本征振动，其波矢量为kn ,
圆频率为n ,1 称为基频.其余称为谐频（泛音）
波长为：n
2
a
n
2
kn
2l n
n次谐波（泛音）波节的位置在：
sin n x 0 x m l m n ,(m 0,1, 2,L , n)
l
n2
相邻波节间距 l / n n / 2
初始条件通常通过未知函数及其导数在自变量的 一个特定点的值给出。
如：
y f ( x, y),
(1).
y
|x0
2
y py qy f ( x)
(2).
y
|x0
3
y
|x0
4
2.弦振动方程的定解条件
2.1 初始条件 类似于常微分方程定解过程的初值。
nl
l
0
(
)sin kn
d
2
n a
l
0
欧拉-拉格朗日方程在一维波动方程中的应用
欧拉-拉格朗日方程在一维波动方程中的应用欧拉-拉格朗日方程是一种常用的描述物理系统运动的数学形式，它在一维波动方程中也有着重要的应用。
一维波动方程是描述沿着一维方向（通常为x轴）传播的波动的方程。
它的一般形式为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示波动的位移，c表示波速。
为了使用欧拉-拉格朗日方程分析波动方程，我们需要将其写成如下形式：L[u(x,t), ∂u/∂t, ∂u/∂x] = 0其中，L是拉格朗日量，它是波动方程中最小作用量原理的表述。
在波动方程中，最小作用量原理可以表示为：波动传播过程中，波动位移沿着传播路径的积分，在所有满足波动方程的位移函数 u(x,t) 中取最小值。
欧拉-拉格朗日方程给出了这个最小值的求解方法。
具体来说，它可以用来表示系统中每个自由度的运动方程。
对于波动方程，欧拉-拉格朗日方程可以写成如下形式：∂L/∂u - ∂/∂x(∂L/∂(∂u/∂x)) - ∂/∂t(∂L/∂(∂u/∂t)) = 0其中，L表示拉格朗日量，它等于波动能量减去势能，在波动方程中可以写成：L = ½(∂u/∂t)² - ½c²(∂u/∂x)²通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以求解出波动方程中的运动方程，即：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²这个运动方程描述了波动在空间和时间上的演化规律。
它非常重要，因为它可以用来解释各种波动现象，如声波、电磁波和水波等。
将欧拉-拉格朗日方程应用在一维波动方程中，可以为我们深入理解各种波动现象提供有力的数学工具。
2.1一维波动方程的达朗贝尔公式
( x a t ) ( c 0 ) ( c )
若 人 以 速 度 a 行 走 ， 则 t 时 他 在 x = c + a t 处 将 看 到
( x a t ) ( c a t a t ) ( c )
如图所示:
-2 -2
f2(x)1 2(x)21a
xx0()d1 2f1(x0)f2(x0)
代入通解得：
u ( x ， t ) 1 2 [( x a t ) ( x a t ) ] 2 1 a x x a a t t() d
三、达朗贝尔公式的物理意义
( 1 ) 设 u 1 1 2 [( x a t ) ( x a t ) ]
x2 2xy3y2 0, y0,x
u(x,0)ex2,u(x,0)0, x
y
解： xyx3yu0
令x 1 , y 1 3 则 3xy， xy
4
4
且 x x y y1 4 x y 2u 0
x x y y1 4 x3 y
uf1()f2() f1 (3 x y ) f2 (x y )
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x , t ) 1 2 [ e ( x a t ) 2 e ( x a t ) 2 ] 2 1 a x x a a t t 2 a e s 2 d
[ e e ] ed 1 ( x a t ) 2 2
( x a t ) 2
1x a t 2 2 2x a t
• 通解
u ( x ,t) f1 ( x a t) f2 ( x a t)
• 特解
u(x,t)1 2[(xat)(xat)]
xat
1 2a xat
一维波动方程的傅里叶变换怎么求
一维波动方程的傅里叶变换怎么求一维波动方程的傅里叶变换是一个非常重要且常见的数学问题。
在物理学、工程学、计算机科学等领域，我们经常会遇到需要求解一维波动方程的傅里叶变换的情况。
在本文中，我们将深入探讨一维波动方程的傅里叶变换的求解方法，帮助读者更深入地理解这一数学问题。
一维波动方程描述了波动在一维空间中的传播过程，它可以用数学形式表示为：\[ \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2} =c^2\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2} \]其中，\(u(x,t)\) 表示波动的位移，\(x\) 表示空间坐标，\(t\) 表示时间，\(c\) 表示波速。
傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
对于一维波动方程，我们可以利用傅里叶变换来将其表示为频率域中的形式，从而更方便地进行分析和求解。
要计算一维波动方程的傅里叶变换，我们首先需要将波动方程进行傅里叶变换。
对于一维情况，我们可以将波动方程表示为：\[ \frac{\partial^2\hat{u}(k,t)}{\partial t^2} = - c^2k^2\hat{u}(k,t) \]其中，\( \hat{u}(k,t) \) 表示波动的傅里叶变换，\(k\) 表示频率域中的频率。
接下来，我们需要求解上述傅里叶变换后的方程。
根据求解常微分方程的方法，我们可以得到波动方程的傅里叶变换的解为：\[ \hat{u}(k,t) = \hat{A}(k)e^{i\omega(k)t} + \hat{B}(k)e^{-i\omega(k)t} \]其中，\( \hat{A}(k) \) 和 \( \hat{B}(k) \) 为常数，\( \omega(k) = ck \) 为波动的频率。
通过以上分析，我们可以看出，一维波动方程的傅里叶变换可以表示为频率域中的正弦和余弦函数的叠加。
一维波动方程表达式
一维波动方程表达式
一维波动方程描述了沿一个维度传播的波动现象。
其一般形式如下：
∂²u/∂t²= v²∂²u/∂x²
在这个方程中，u 是波动的位移函数，t 是时间，x 是空间位置，v 是波速。
左侧表示波动的加速度，右侧表示波动的传播性质。
这个方程可以解释多种类型的波动，例如机械波、声波和电磁波。
对于特定的波动现象，波速v 可以根据具体情况进行定义，例如介质的弹性系数和密度决定了机械波的波速。
需要注意的是，这个方程是一个偏微分方程，通常需要特定的边界条件和初始条件来求解具体的波动问题。
具体的求解方法包括分离变量法、傅里叶变换等。
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对等式(2.6)积分,
得出 F ( x)
G(x)
1
x
( )d c
其中是c任意常数. 由等式(2.5)和(2a.7)0解出和为
(2.6) (2.7)
F(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
2
2a 0
2
G(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
代入(2.4),我们得到 2
2a 0
2
u(xt) 1 [(x at) (x at)] 1
解: 容易求出(2.10)中的方程的特征曲线
xy
c1
x y
c2
作自变量变换
xy x
y
y 1, x 0
§2 一维波动方程
8
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
就可把(2.10)中的方程化成标准型
u
1
2
u
0
为了求出方程(2.11)的通解, 我们令
(2.11)
则方程(2.11)化为
w u
u() ()d 1( )
其中1(是) 的任意函数. 若令
2(),上式(可)d写 成
其中 和 都u是(其变) 元 的1任(意) 连续可2微(函)数. 变回到原来的变
量 和 , 便得x 到方y程(2.10)的通解为
1 2
u(x y) 1(xy)
xy
2
(
x y
)
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 到下面两个等式：
满足初始条件
uut((xx00))((x(x)2).2)
x x
,
其中a是一个正常数，函数 (x) C2是(x定) 义C在1 区间
上的(已知函 数.)
§2 一维波动方程
2
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，
这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知,
w
1
2
w
0
(2.12) (2.13)
若把看作参数, 方程(2.13)就是以 为自变量的线性常微分方程,
其通解可写为
w ()
其中 (是) 的 任意函数. 将此表达式代入方程(2.12), 得
u ()
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对求积分, 便得方程(2.11)的通解
方程(2.1)的特征方程是
dx2 a2dt2 0
由此求得特征曲线为
其中c1 c为2 任意常数.
x at c1 x at c2
为了将方程(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换
x at x at
即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成
u (20.3)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
数据
与(x) (满x)足不 (等x)式 (x)
sup (x) (x) sup (x) (x)
xR
xR
时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 u(x与t) u满(x足 t)
sup u(xt) u(xt)
xR 0t T
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程 §2 一维波动方程
2.1. 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问
题, 在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题
utt a2uxx 0 (2.1x) t 0
证:只要取 即 可. 综上所述，C1auTchy问题(2.1), (2.2)的解是适定的.
另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式
t
a
x
t
a
x
u
0
且令
t
a
x
,
u则可v 以得到如下一阶线性偏微分方程组
uvtt
av(2x .9)0 aux v
按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得
(2.4)
u(xt) F(x at) G(x at)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 和F , 由G等式(2.4)
有
u(x0) F(x) G(x) (x)
(2.5)
ut (x0) aF(x) G(x) (x)
对初值 加上一定的条件.
定理4.3 若 C2 ( ), 则由C1(D’Ale)mbert公式(2.8)表示的 函数 是Cauchyu问(x题t)(2.1), (2.2)解.
证明留作习题，请读者自己完成. 下面我们讨论Cauchy问题(2.1), (2.2)解的稳定性.
定理4.4 假设对任意给定 的 , 总0 可找到这样的 , 当初始0
xat
( )d
2
2a xat
这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔(D’Alembert)公式.
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
到目前为止, 表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1), (2.2)的 形式解. 为了使它确实是Cauchy问题(2.1), (2.2) 的解, 我们需要
和1
.首 2先,容易得
1(x) x2(x(2).15)(x)
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》第四章双曲型方程
x 1(x)
x 2
2
(
x)
x
3 2
2(
x)
(
x)
对 x微分(2.15),得
1(x) 2 1 x 2 (x) x 2(x) (x)
用 x乘以上式再与(2.16)相加,得
2(x)
D’Alembert公式(2.8).
§2 一维波动方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
上面对弦振动方程求解的特征线法, 亦适用于类似方程的
Cauchy问题.
例1 求解Cauchy问题
x2uxx y2uyy 0 x 0
u(x1) (x)uy ((x21.1) 0) (x)
其中(x和) 都(x是) 已知函数.
改写(2.3)为
u
0
u
可以看出 不依u赖 于
变 量, 于是有
f ( )
其中 f是 的任意连续可微函数, 再对 积分, 得到
u() f ( )d G()
若令 F( ) ,可f 得( )d
F u(其)中 F和( ) 都G是(任) 意的二阶连G
t 续可微函数. 回到原来的变量 和 , 于是波动方程x(2.1) 的通解为
1 2x
( x)
1 2
x
3 2
( x)
由此推得
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(
x)
1 2
x ( ) d 1
x0
2
x x0
( )
32
d
c
其中 c 为任意常数. 再将 的2 (x表) 达式代入(2.15), 得