离散控制系统和数学基础
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是数学的一个分支，研究离散对象以及离散结构的数学学科。
与连续数学不同，离散数学侧重于处理离散的、离散可数的数学对象，如整数、图形、集合等。
离散数学的基础知识涵盖了一系列主题，如逻辑、证明方法、集合论、图论等等。
本文将重点介绍离散数学的基础知识。
一、逻辑逻辑是离散数学的基础。
它研究命题和推理的基本方法。
在逻辑中，我们使用符号来表示命题，如p表示“今天下雨”，q表示“明天晴天”。
逻辑运算包括与、或、非、蕴含等。
我们通过真值表或证明方法来判断命题的真假和进行推理。
二、证明方法证明方法是离散数学中非常重要的一部分。
数学证明是为了验证或推导数学命题的过程。
常见的证明方法包括直接证明、归谬法、数学归纳法等。
通过证明方法，我们可以从已知的前提出发，得出结论，并确保其正确性。
三、集合论集合论研究的是集合及其相互关系的数学理论。
集合是离散数学中最基本的概念之一。
在集合论中，我们可以使用集合运算符号来表示交集、并集、补集等操作。
集合的定义通常使用罗素悖论中的无限集合公理，这是集合论的基础。
四、图论图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图的应用非常广泛，如社交网络分析、电子电路设计等。
在图论中，我们研究图的连通性、路径、环等性质和算法。
五、离散数学的应用离散数学的应用非常广泛，影响着计算机科学、信息科学、运筹学等领域。
在计算机科学中，离散数学为算法设计、数据结构等提供了基础。
在信息科学中，离散数学为编码理论、密码学等提供了基础。
在运筹学中，离散数学为优化问题的建模和求解提供了工具。
总结离散数学的基础知识包括逻辑、证明方法、集合论和图论等内容。
透过这些基础知识，我们可以更深入地理解离散对象和结构的数学特性。
离散数学的应用也广泛影响着计算机科学、信息科学和运筹学等领域。
通过学习离散数学的基础知识，我们可以培养出严密的逻辑思维和问题求解能力。
以上是对离散数学基础知识的简要介绍，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一学科。
离散数学基础
离散数学基础离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它涉及许多重要的基础概念和方法。
离散数学广泛应用于计算机科学、信息科学、通信工程等领域，在现代科技的发展中起到了至关重要的作用。
本文将介绍离散数学的基础概念和应用，并结合具体例子进行说明。
一、集合论和逻辑离散数学的基础之一是集合论和逻辑。
集合论是研究集合及其运算规律的数学分支，它提供了描述元素之间关系的工具。
在离散数学中，集合论被广泛应用于描述问题的解空间以及元素之间的关系。
逻辑是研究正确推理和论证方法的学科，在离散数学中，逻辑常被用于构建数学证明和推理。
例如，在图论中，我们可以用集合论的概念来描述顶点和边的集合，并利用逻辑推理来证明一些图的性质。
另外，在算法设计和分析中，集合论和逻辑也发挥着重要作用，帮助我们描述问题和设计解决方案。
二、关系和函数关系和函数是离散数学中的另外两个重要概念。
关系是元素之间的某种关联，常用集合对来表示。
函数是一种特殊的关系，它将每个输入元素映射到唯一的输出元素。
在计算机科学中，关系和函数常用于描述数据库中的数据关联、网络中的节点连接等。
在离散数学中，我们需要学习关系和函数的性质，如反射性、对称性和传递性等。
这些性质可以帮助我们分析和证明一些问题。
例如，在图论中，我们可以借助关系和函数的概念来描述图的连通性和路径问题。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图及其性质的数学学科。
图由一组顶点和连接顶点的边组成，被广泛应用于计算机科学和网络科学中。
图论可以用来解决诸如网络优化、路径规划和社交网络分析等实际问题。
在图论中，我们需要学习图的基本概念，如顶点、边、路径和环等。
另外，图的表示方法也有多种，例如邻接矩阵和邻接表。
掌握这些概念和方法可以帮助我们对图进行建模和分析。
四、组合数学组合数学是研究离散结构和离散对象组合性质的数学学科。
在组合数学中，我们关注的是如何对有限的元素进行排列、选择和组合。
组合数学在密码学、编码理论等领域具有重要应用。
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
自动控制原理第7章
3．数字计算机已经作为控制仪表成为控制系统的一个组成部 分 由于计算机技术的飞速发展，作为构成控制系统的控制设备， 数字计算机已经被广泛的用于工业生产过程自动化中，用数字 计算机替代常规仪表完成控制器及其校正装置的功能。图7-2 所示为数字控制系统原理框图。
r(t) e(t) A/D e*(t)
u*(t)
r r r e r r T r 脉冲控制器 r 保持器 r c r
图7-1
典型采样系统结构图
e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列e， 脉冲控制器对e进行某种运算，产生控制信号脉冲序列u， 保持器将采样信号u变成模拟信号u，作用于被控对象G(s)。
2．被控对象存在的大延迟大惯性
工业自动控制系统中，有一类被控对象的惯 性非常大并具有滞后特性。尤其是电站的电 力生产过程，这种延迟和惯性显得更为严重。 对于这类被控对象，采用简单的连续控制系 统的设计方法，容易出现过调现象，往往很 难得到高质量的控制效果。离散控制系统的 合理应用可以较好地解决这一问题。
|E (j )|
|E *(j )| 1/T
|H(j )| 1
- m
0
m
t
- m 0 - s/2
m s/2
t
- s/2
0
s/2
图7-5单一频谱
图 7-6多频谱之和
图 7-7 理想滤波器的频率特性
如果加大采样周期T,采样角频率ω相应能够 的减小，采样频谱中的补分量相互交叠，致 使采样器输出的信号发生畸变，这时即使采 用理想滤波器(理想滤波器的频率特性如图77所示），也无法恢复原来连续信号的频谱， 因此，对采样周期T的设定有一个约束条件， 用于保证附加频谱不覆盖主频谱。所以如何 选择采样周期时离散控制系统设计过程中的 一个重要问题 。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
自动控制原理第7章离散控制系统
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
离散数学的主要内容
离散数学的主要内容离散数学是一门研究离散对象及其性质的数学学科。
它的主要内容包括集合论、图论、逻辑、代数系统等。
集合论是离散数学的基础，它研究的是集合以及集合之间的关系。
在集合论中，我们可以学习到集合的基本概念和运算、集合之间的关系、集合的基本定理等等。
集合论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在数据库设计中，我们需要使用集合运算来实现数据的查询和处理。
图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们可以学习到图的基本概念、图的遍历算法、最短路径算法、最小生成树算法等等。
图论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在计算机网络中，我们需要使用图论来设计网络拓扑结构和路由算法。
逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是命题和命题之间的关系。
在逻辑中，我们可以学习到命题逻辑、谓词逻辑、命题的推理规则等等。
逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，例如在人工智能领域中，我们需要使用逻辑来实现知识表示和推理。
代数系统是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是数学对象之间的代数关系。
在代数系统中，我们可以学习到群论、环论、域论等等。
代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如在密码学中，我们需要使用代数系统来设计加密算法和解密算法。
除此之外，离散数学还包括了排列组合、图论算法、离散概率论、离散优化等等内容。
这些内容在计算机科学中都有着广泛的应用，例如在算法设计中，我们需要使用排列组合来分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
总的来说，离散数学是计算机科学中非常重要的数学基础学科，它涉及到了计算机科学中的许多重要问题和应用。
学好离散数学对于计算机科学专业的学生来说是非常重要的。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
数学一数学二和数学三的数学离散数学介绍
数学一数学二和数学三的数学离散数学介绍数学一、数学二和数学三的数学离散数学介绍数学在我们的生活中扮演着重要的角色，它是一门独特而又智慧的学科，被广泛用于解决实际问题和推动科学的发展。
而数学学科又可以分为许多分支，其中离散数学是一个重要而有趣的领域。
本文将介绍数学一、数学二和数学三的离散数学的相关概念和知识。
一、离散数学的概述离散数学是数学中的一门学科，与连续数学形成鲜明对比。
连续数学关注于连续对象，如实数、连续函数等，而离散数学则主要研究离散对象，如整数、集合、图等。
离散数学的研究对象离散且有限，因此被广泛应用于计算机科学、信息技术等领域。
二、数学一中的离散数学数学一作为大学数学课程中的一门重要课程，也涉及到了离散数学的部分内容。
在数学一中，离散数学主要包括以下几个方面的内容：1. 集合论：集合论是离散数学的基础，它研究集合及其操作和关系。
在数学一中，我们学习了集合的基本概念、集合的表示方法、集合之间的关系和运算等内容。
2. 逻辑与命题：逻辑与命题是离散数学中的重要部分。
在数学一的学习中，我们研究了命题及其逻辑运算、命题的等值关系、命题的推理和证明等内容。
3. 代数系统：数学一中的离散数学还包括了代数系统的研究，其中包括了群、环、域等代数结构的概念和性质。
三、数学二中的离散数学在数学二中，离散数学的研究进一步深入，涉及到以下几个方面的内容：1. 图论：图论是离散数学中的一个重要分支，它研究了图及其性质、图的遍历和连通性、最短路径和最小生成树等问题。
在数学二中，我们学习了图的基本概念、图的表示方法和图的算法以及与图相关的应用问题。
2. 网络流与匹配理论：网络流与匹配理论是离散数学中涉及到实际问题的一部分。
在数学二中，我们学习了网络流与匹配理论的相关概念和算法，并应用于实际问题的求解中，如网络传输、最大匹配问题等。
四、数学三中的离散数学数学三作为数学专业学生的一门重要课程，较为深入地研究了离散数学的相关内容。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
离散控制系统的数学模型
即
Y (z)
z2
z 3z
2
(z
z 1)( z
2)
利用反演积分法求出z反变换，得 y(k) 1 2k k 0,1, 2,
y(t) (1 2k ) (t kT ) k 0
1.2 脉冲传递函数
1.脉冲传递函数定义
在线性定常离散控制系统中，当初始条件为零时，系统离散输出信号的z
变换与离散输入信号的z变换之比，称为线性定常离散控制系统的脉冲传递函
R(z) 1 G1 (z)HG2(z)
自动控制原理
例1-13 试用z变换法求解下列二阶前向差分方程 y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) 0
其中，初始条件为 y(0) 0, y(1) 1 。
解：对方程两端取z变换，得
z2Y (z) z2 y(0) zy(1) 3zY (z) 3zy(0) 2Y (z) 0
即 (z2 3z 2)Y (z) y(0)z2 ( y(1) 3y(0))z 代入初始条件，得 (z2 3z 2)Y (z) z
（2）串联环节之间无采样开关时
设开环离散系统如图1-18所示，在两个串联连续环节G1(s)和G2(s)之间没 有理想采样开关。此时系统的传递函数为 G(s) G1(s)G2 (s)
上式作为一个整体进行z变换，由脉冲传递函数定义得
G(z)
Y (z) R(z)
G1G2 (z)
图1-18 环节之间无理想采样开关的开环采样系统
自动控制原理
离散控制系统的数学模型
1.1 线性常系数差分方程
对于线性定常离散控制系统，一般可用n阶后向差分方程描述，即
n
m
y(k) ai y(k i) bir(k j)
i 1
j 1
离散数学基础
离散数学基础离散数学是数学的一个分支，主要研究非连续、离散的概念和结构。
它在计算机科学、信息科学以及其他相关领域中具有重要的应用。
本文将介绍离散数学的基础概念和常见的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合。
在集合论中，我们常用符号来表示集合和集合之间的关系。
例如，如果A是一个集合，我们可以使用A∈B表示元素A属于集合B。
集合论还引入了交集、并集、差集等运算，用于描述集合之间的关系和操作。
二、逻辑和命题逻辑是离散数学的另一个重要组成部分。
它研究的是推理和推断的规则。
逻辑中最基本的概念是命题，它可以是真或假的陈述。
逻辑运算符包括非（¬）、与（∧）、或（∨）和蕴含（→）。
利用这些运算符，我们可以构建复合命题，并进行逻辑推理。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图的应用。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以用来描述网络、社交关系、路线规划等问题。
图论中的常见概念包括图的连通性、最短路径、最小生成树等。
四、代数系统离散数学还研究各种代数系统，如群、环、域等。
代数系统是一种结构，它由一组元素和定义在这些元素上的运算构成。
代数系统在密码学、编码理论等领域中有广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于模运算的群的性质。
五、概率论概率论是离散数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率和随机现象的规律。
概率论可以用来描述随机算法的性能、信息的压缩率等。
在计算机科学中，概率论在机器学习、数据挖掘等领域中有着广泛的应用。
六、离散数学的应用离散数学在计算机科学和信息科学中有着广泛的应用。
例如，离散数学的概念和方法在编程语言设计、数据结构与算法、数据库系统等方面都扮演着重要的角色。
离散数学还在密码学、图像处理、计算机网络等领域中有着重要的应用。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究的是非连续、离散的概念和结构。
它的基础概念包括集合论、逻辑和命题、图论、代数系统以及概率论。
《自动控制原理》离散系统的数学模型
K (t) L1[G(s)]
(7-55)
再将 K (t) 按采样周期离散化，得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进
行 z 变换，按式(7-53)求出 G(z) 。这一过程比较复杂。其实，如果把 z 变
换表 7—2 中的时间函数 e(t) 看成 K (t) ，那么表中的 E(s) 就是 G(s) (见式 (７-55)，而 E(z) 则相当于 G(z) 。因此，根据 z 变换表 7—2，可以直接从 G(s) 得到 G(z) ，而不必逐步推导。
本章所研究的离散系统为线性定常离散系统。 注意 zx：离散系统有本质连续和本质离散两种情况
本质连续的离散系统：如液位 炉温采样控制系统中的被控对象 本质离散的离散系统：如计算机。系统直接进行离散计算 问题：如何建立离散系统的数学模型？ c(n) F[r(n)] F 的具体形式？ 分析：本质连续的离散系统的方框图， 能否 G(s)?G(z)=?
众所周知，利用传递函数研究线性连续系统的特性，有公认的方便 之处。对于线性连续系统，传递函数定义为在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。对于线性离散系统，定义类似。
设开环离散系统如图 7-22 所示，如果系统的初始条件为零，输入信号
为 r(t) ，采样后 r*(t) 的 z 变换函数为 R(z) ，系统连续部分的输出为 c(t) ，
微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法[EX]*也要求出齐次方程 的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的 后两种解法。
(1)迭代法 又称递推法 若已知差分方程(7-49)或(7-50)，并且给定输入序列和输出序列的初 值，则可以利用递推关系可以一步一步地算出输出序列。 例 7-14 已知差分方程
6. 如何实现离散控制系统的稳定性？
6. 如何实现离散控制系统的稳定性？离散控制系统在现代科技中的应用那可是相当广泛啦，从自动化生产到智能交通，从航空航天到医疗设备，到处都有它的身影。
那要如何实现离散控制系统的稳定性呢？这可得好好说道说道。
咱先来说说啥是离散控制系统。
简单来讲，它就是一种系统的信号不是连续变化的，而是在特定时间点上取值的控制系统。
比如说，电脑控制的机器人，它的动作指令可不是一直连续发送的，而是每隔一小段时间发一次，这就是离散控制。
要实现离散控制系统的稳定性，第一步得搞清楚系统的数学模型。
这就好比你要盖房子，得先有个设计图纸一样。
数学模型能帮我们清楚地了解系统的输入、输出和内部状态之间的关系。
可别小看这一步，这可需要咱静下心来，好好分析和计算。
我记得有一次，我带学生做一个简单的离散控制系统实验。
就是控制一个小机器人按照特定的轨迹行走。
刚开始，大家都信心满满，觉得这还不简单。
可真正操作起来，那是状况百出。
有的同学数学模型没建对，结果机器人像喝醉酒一样乱走；有的同学参数设置错误，机器人要么不动，要么跑得飞快。
这让大家深刻认识到，数学模型的重要性，一步错，后面可就全乱套啦。
有了准确的数学模型，接下来就得分析系统的稳定性了。
这就像给系统做个“体检”，看看它是不是健康。
常用的方法有特征值分析、朱利判据等等。
这些方法听起来挺高大上，但其实说白了，就是通过一些数学手段来判断系统会不会“发疯”。
比如说，特征值分析就是看看系统的特征值是不是都在单位圆内。
如果有跑到单位圆外的，那可就危险了，系统可能就不稳定啦。
这就好比一个班级，如果调皮捣蛋的学生太多，老师管不住，那班级秩序就乱了。
然后呢，就是根据分析结果来调整系统的参数。
这就像给病人开药方一样，得对症下药。
参数调整可不是随便乱调的，得有依据，有方法。
而且有时候，调整一个参数可能会影响其他参数，这就需要我们反复尝试，不断优化。
再给您举个例子，有一次我们做一个温度控制系统的实验。
一开始系统总是不稳定，温度忽高忽低。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学作为现代数学的一门重要分支，在计算机科学、通信工程、信息技术等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍离散数学的基础知识，共分为三个部分：集合论、逻辑和图论。
一、集合论集合是离散数学中的基本概念，它是一个由元素组成的整体。
例如，{1，2，3}就是一个集合，其中1、2、3是元素。
集合的描述通常采用列举法或描述法。
列举法即列举集合中的元素。
例如，{1，2，3}、{a，b，c，d}等都是集合。
描述法则是通过一些规则来描述集合中的元素。
例如，{x | x是正整数且小于10}表示由所有小于10的正整数组成的集合。
集合之间有一些常见的运算：并集：将两个集合中的元素合并起来，形成一个新的集合。
例如，{1，2，3}和{3，4，5}的并集为{1，2，3，4，5}。
交集：取两个集合中相同的元素组合成一个新的集合。
例如，{1，2，3}和{3，4，5}的交集为{3}。
补集：设A为一个集合，A'为其补集，则A'包含所有不在A 中的元素。
除此之外，集合中还有子集、空集、全集等重要概念。
子集指的是一个集合中的所有元素为另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
空集指的是一个不包含任何元素的集合，全集则是该领域的所有元素的集合。
二、逻辑逻辑是进行推理和论证的基础。
在离散数学中，布尔代数是逻辑的一种基础形式。
它是一种将推理和论证过程化为运算的数学体系。
常见的布尔运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）。
与运算表示只有两个值同时为真，结果才为真。
例如，1 AND 1 为真，1 AND 0 为假。
或运算表示两个值中至少一个值为真，结果才为真。
例如，1 OR 0 为真，0 OR 0 为假。
非运算表示取反，将真变为假，将假变为真。
例如，NOT 1 为假，NOT 0 为真。
布尔代数的一个重要应用是逻辑电路的设计。
逻辑电路是指由逻辑门和连线构成的电路，其中逻辑门实现着不同的布尔运算。
三、图论图论是离散数学中的重要分支。
离散控制系统及Z变换(补充)
t s(settling
系统的动态特性（ 2、系统的动态特性（dynamic
character）
K T 若对象为 G p (s) = ，一般取 T = 0.1 0 T0 s +1 T 若对象为 Ke−τs ， = (1.2 ~ 0.35)τ ,0.1 ≤ τ T 0≤ 1 G p (s) = T0 s +1 T = (0.35 ~ 0.22)τ ,1 ≤ τ T 0≤ 10
+∞
f * (t) = ∑ f (nT)δ (t − nT)
n=0
对上式两边取拉氏变换， 对上式两边取拉氏变换，令 F(s) = L[ f * (t)] 则
F(s) = ∑L[ f (t)] = ∑ f (nT)L[δ (t − nT)] = ∑ f (nT)e
* n=0 n=0 n=0 +∞ +∞ +∞ −nTs
终值定理( 5、终值定理(finial value theorem)
f (∞) = lim f * (t) = lim f (nT) = lim (1− z −1)F(z) = lim (z −1)F(z)
t→∞ n→∞ z→ 1 z→ 1
1
0
h0 (t) =1(t) −1(t −T)
T
t
三、 数字控制系统中采样周期T的确定 数字控制系统中采样周期T
(采样周期:sampling period) 采样周期:sampling
1、理论依据
香农采样定理： 香农采样定理：为了使采样信号能不失真的反映连续 的变化规律， 信号 f (t) 的变化规律，采样频率 f 至少应该是 f (t) 频谱 的两倍, 的最高频率 fmax的两倍,即
宽度为0的脉冲量， 宽度为0的脉冲量，图形表示 如右， 如右，
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电子工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、不同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合。
交集则是指两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素得到的集合。
补集是在给定的全集范围内，某个集合之外的元素组成的集合。
集合之间的关系也非常重要，比如包含关系、相等关系等。
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果两个集合相互包含，那么它们就是相等的。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
关系可以用矩阵和图形来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系。
对称性是指如果一个元素与另一个元素有关系，那么反过来另一个元素也与这个元素有关系；反对称性则是如果一个元素与另一个元素有关系，且另一个元素也与这个元素有关系，那么这两个元素必须相等。
传递性是指如果一个元素与另一个元素有关系，另一个元素与第三个元素有关系，那么第一个元素与第三个元素也有关系。
关系的合成是将两个关系结合起来得到一个新的关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，都有唯一的对应值在值域中。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指定义域中的不同元素对应值域中的不同元素；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射则是既是单射又是满射。
四、代数系统代数系统由集合、运算和运算所满足的公理组成。
常见的代数系统有群、环、域等。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数系统。
环是在群的基础上增加了两个运算，并且满足一定的运算规则。
第6章 离散系统
采样周期T 对采样信号 的影响：
0
t (a)
0 T1
t
f(t)
T
f * (t )
0
t (b)
0 T2
t
采样定理也称shannon(香农)定理,叙述如下：
若对于一个具有有限频谱( w wmax)的连续信 号f(t)进行采样，当采样角频率满足 ws 2wmax
时，则采样函数f*(t)能无失真地恢复原来的连 续信号f(t)。wmax为信号有效频谱的最高角频 率， ws 为采样角频率。 当采样角频率 ws 2wmax 时，从采样信号中不 能完全的恢复出原连续信号。
* n 0
2. 采样定理
从理论上讲，离散系统的采样周期T越小， 离散系统越接近连续系统。因为采样周期T太 长，采样点很少时，在两个采样点之间可能丢 失信号中的重要信息。因此，采样周期T不能 太大。只有当把采样周期T缩短以后，得到的 采样值才保留了原信号的主要特征。
f(t)
T
f * (t )
F ( z) e
n 0
anT
z
n
1 e
aT
z e
1
2 aT
z
2
aT 1 e z 1 时，上式的无穷级数也是收敛 当 的。于是求得e-at的Z变换为：
Z [e ] F ( z )
at
1 1 e
aT
z
1
z aT z e
D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的 模拟信号。
f (t )
f (t)
解码
f h(t)
信号复现
0111 1000 0010 0100 1001 0011 0 T 2T 3T 4T 5T (a) t 0 T 2T 3T 4T 5T (b) t 0 T 2T 3T 4T 5T (c) t
自动控制原理(Ⅱ)2014秋自控第七章4.2.7 第七章
分析时，可认为τ=0，这样的采样器可用理想采样 器来代替，且采样过程可看成是幅值调制过程。
c图所示为a图信号调制在b图载波上的结果。
第七章 线性离散系统的分析与校正
3. 香农采样定理
如果采样器的输入信号 具有有限带宽，并且有直
第七章 线性离散系统的分析与校正
7-1 离散系统的基本概念
连续系统： ①系统中所有信号都是时间的连续函数。 ②信号在全部时间上都是已知的。
离散(时间)系统 ①系统中至少一处信号是脉冲或数码。 ②那些信号只定义在离散时间上。
采样/脉冲控制系统： 系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统。
数字/计算机控制系统 系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统。
离散数字--解码--离散模拟--复现(保持器)--连续模拟
采样频率足够高时，连续模拟趋近于真正连续。 ③计算机的输出寄存器和解码网络相当于信号保持器。
第七章 线性离散系统的分析与校正
⑶数字控制系统的典型结构图
假定：
①A/D足够字长，量化单位q足够小，忽略幅值断续性。
②采样编码过程是瞬时完成的。
③可用理想脉冲幅值等效代替数字信号大小。
⑦若采样编码是瞬间完成，并用理想脉冲等效代替数字信号， 则数字信号可以看成脉冲信号， A/D转换器可用每隔T秒瞬时 闭合一次的理想采样开关S来表示。
第七章 线性离散系统的分析与校正
第七章 线性离散系统的分析与校正
⑵D/A转换器 ①将离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。 ②D/A转换包括解码和复现两个过程。
第七章 线性离散系统的分析与校正
炉温 采样 控制 系统
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• 一般的求解方法有留数定理法、长除法、部分分式法。 • 长除法原理是将 F(������) 展开成关于 ������ 的负幂项的降幂排列；值得注意的是，
这里项数有无穷多项。一般会根据要求近似取前若干项。
• 部分分式法要求将F(������)进行部分分式化简，化成若干真分式和整式之和
的形式，根据Z变换对照表和性质直接写出原函数。
������ℎ ������������ =
零阶保持器具有良好的低通特性。
离散控制系统数学处理基础
• 根据线性系统分析，从时域上，描述离散系统使用差分方程；从复数域
上描述，则需用采取“Z变换”分析。这是解析法。
• 根据DSP知识，可以使用动态结构框图或信号流图描述离散时间系统。
这是结构分析法。
• 在控制系统中，引入脉冲传递函数，根据脉冲传函来确定控制系统的性
采样定理
• • •
据DSP原理，对于一个时域上的模拟信号采样，在频谱上即可看作将源信号频 谱以采样频率为单位移位进行周期延拓。 对于采样信号，实际中更关注信号复现的效果，一般采取低通滤波的办法得 到原信号的基波成分。为获得原信号，在频域上频谱延拓应在不对基波频率 产生混叠。因此，对采样频率有一定要求。 香浓（Shannon）采样定理：
离散控制系统
采样控制系统——框图 数字控制系统——框图
信号采样与复现
• 定义：
采样：系统将连续的模拟量转化为离散量的信号传输过程。 复现：系统对D/A转换装置输出的瞬间模拟量经“保持器”连续化。
• 实现方式：
采样：采样开关电路控制；A/D转换器。 复现：零阶保持器。
信号的频谱
• 信号的频谱是指时域信号的傅里叶级数各次谐波幅值在频率轴上的分布
能指标和特点。
Z变换
• •
Z变换是离散拉普拉斯变换的另一种表现形式。 在采样函数������ ∗ (������)的拉氏变换������ ∗ (������)中，令：������ = ������ ������������ 可得：
∞
������ ������ = ������ ������������ ������ −������
离散控制系统的 基本概念和数学基础
151143401 陈嘉铭
内容提要
• 1、离散控制系统的基本概念 • 2、信号的采样与复现 • 3、离散系统的数学模型
离散控制系统
• 定义：
离散控制系统是指信号在传输过程中存在着间歇采样、脉冲序列等离散时间信
号传输的控制系统。
• 分类：
1、采样控制系统——解决暂态性能与控制精度间矛盾的断续控制系统 2、数字控制系统——以微处理器或计算机为控制器控制连续状态受控对象系统
脉冲传递函数
• 线性采样系统初始条件为零时,系统输出信号的z变换与输入信号的z变换
之比,称为线性采样系统的脉冲传递函数,或简称为z传递函数。
• 实际采样系统的输出信号通常是连续信号,为了应用脉冲传递函数概念,
可在系统的输出端虚设一个同步采样开关,使输出成为采样信号。
串联环节的脉冲传函
• 两环节间没有采样开关时： • 两环节间有采样开关时：
差分方程
• •
描述离散系统，通常使用差分方程。解方程有时域和复数域两类解法。 时域解法： 迭代法—— 根据已知值，选定起始迭代时刻，开始逐次迭代。 缺点：没有闭合表达式，无法分析信号或系统的性质。
•
复数域解法： Z变换法——
差分方程两边取Z变换，将原方程转化为Z域的代数方程，求得象函数， 反变换既得原函数。
致谢
• 由衷地感谢中国民航大学王坤老师的耐心指导。感谢组员段少雄同学的
帮助完成“z变换对照表”录入。感谢组员初麟希、邓轶骅两位同按时 休息，从而维持了安静的制作环境。
• 根据零阶保持器的时域函数表达式：
零阶保持器的频率特性
• 设������ = 0时刻输入为理想单位脉冲������(������)，一个周期内的输出值进行傅里叶
变换，既得采样频率表示：
������ sin[( )������] −������������( ) 2������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ ( )������ ������������ ������
•
工程上，一般取：
信号的复现
• 一般的，采用外推法进行插值，以此来达到使信号连续化的目的，获得
连续信号。
• 外推插值一般称为“保持器”，数学表达式： • 当������ = 0，称“零阶保持器”，当∆������ = 0，有������
������������ = ������0 ，代入上式：
零阶保持器的时域特性
含有零阶保持器的脉冲传函
离散系统的闭环传函
• 闭环结构图：
• 闭环脉冲传函：
参考文献
• [1] 任彦硕. 自动控制原理 [M]. 北京：机械工业出版社，2007. • [2] 黄家英. 自动控制原理 (上下) [M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2010. • [3] 胡寿松. 自动控制原理 [M]. 6版. 北京：科学出版社，2013. • [4] 王诗宓 等. 自动控制理论例题习题集 . 北京：清华大学出版社，2005. • [5] 王世一. 数字信号处理(修订版)[M]. 北京理工大学出版社, 2006. • [6] 郑君里 等. 信号与系统(第二版)[M]. 高等教育出版社, 2000.
谱。其中：周期函数的频谱是离散的。非周期连续函数的频谱是连续周 期性的。
• 对于一般的周期函数：
可以展开成傅里叶级数： （1）
其中：
信号的采样
• 连续信号������(������)经闭合时间为的 ������ 开关������按周期������采样。 • 在理想采样的情况下：
此时相当于获得信号：
其中：
化简可得：
（2）
采样函数的频谱
• 将采样函数（2）式根据傅里叶级数定义展开成（1）式： • 取L������������������������������������. ������������������������������.可得： • 取������ = ������������可得傅里叶变换：
2
3 4 5 6 7
1（t）
t ������ −������������ sin ������������ cos ������������ ������������ （k=0，1，2，…）
逆Z变换
• 从复变函数的角度出发，逆Z变换是求复变函数F(������)是它的奇点处的环
路积分，根据留数定理，也就是求复变函数的留数。
������=0
以上即为Z变换表达式。
•
一般的，可以通过级数求和、部分分式合并化简两种方法求得变换结果。
Z变换性质
• 线性： • 复位移： • 初值定理：
• 时移：
• 终值定理：（终值存在）
Z变换对照表
序号 1 原函数 δ（t） 拉氏���� 1 ������ 2 1 ������ + ������ ������ ������ 2 + ������ 2 ������ ������ 2 + ������ 2 ������变换������（������） 1 ������ ������ − 1 ������������ (������ − 1)2 ������ ������ − ������ −������������ ������ sin ������������ ������ 2 − 2������ cos ������������ + 1 ������（������ − cos ������������ ） ������ 2 − 2������ cos ������������ + 1 ������ ������ − ������