2076字定积分中的几何证明方法与证明

定积分中的几何直观方法与不等式的证明

摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分01p <<与1p >进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。 关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列

1 引言

文[1]中给出了一个不等式： 11

2(11)21n

i n n i

=+-<<-∑

（1n >） （1） 田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 设p R ∈且0p >，1p ≠，1n >，则有

1111111[(1)1]1111n

p

p p k n n p k

p p --=+-<<-+---∑ （2）

文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分01p <<与1p >进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：

命题1的证明【4】 当0p >，1k ≥时，对于1k x k <<+，有(1)p p p k x k <<+，即

111

(1)p p p

k x k

<<+，

两边取积分，得

1

111

11(1)

k k k p p

p

k

k

k

d x d x d x k x k +++<<+⎰

⎰⎰， （3） 即得

11111[(1)](1)1p p

p p

k k k p k

--<+-<+- （4） 对（3）两边分别求和，即得

111

1111[(1)1]1111n

p

p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ （5）

命题1得证。

该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以1

p y x

=

为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。

（图1）

在文[5]中，又把（1）式推广为：

命题2【５】 已知{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，则

1111

1221

()()n

n i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑ （6）

其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。

２ 主要结果

下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为

定理1 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则

1111111111111()()(1)(1)n

p p p p

n n p p

i i

a a a a d p a d p a ----+=-<<-+--∑ （7） 为证明定理1，先证明下面的引理

引理1 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则

1111111()(1)p p

k k p p

k k

a a a d p a --++<-<- （8） 证明 因为数列{}n a 是等差数列，且10,0a d >>，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为0>p ，不妨令1+<

p k p p k a x a 1+<<

即

p

k p p k a x a 1

111

<

<

+ （9） 对（9）两端在1[,]k k a a +上取积分，有 1

1111

11k k k k

k k a a a p p p a a a k k

dx dx dx a x a ++++<<⎰⎰⎰ （10）

即

1111111()1p p

k k p p

k k

d a a d a p a --++<-<- （11） 由（11），即得

1111111()(1)p p

k k

p p

k k a a a d p a --++<-<- 定理1的证明 由引理1可得

111111()(1)

p p

k k p

k a a a d p --++<-- （12）

对（12）式的两边同时求和，得

1

1

11111111()(1)n n p p

k k p

k k k a a a d p ----+==+<--∑∑ 即

11111

11

11()(1)

n

p p

n p

p

k k

a a a

a d p --+=-

<--∑ 故有

111111

111()(1)n

p p

n p p

k k a a a d p a --+=<-+-∑ 同理，由

11111()(1)p p

k k

p

k a a d p a --+-<- （13） 对式（13）的两边同时求和，可得到

1111111()(1)n p p

n p i i

a a d p a --+=-<-∑

故定理1得证。

引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。

（图2）

如果注意到函数1

()p

f x x =（0p >）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质：