2076字定积分中的几何证明方法与证明
高等数学定积分在几何上的应用
记作dA
o a x x dxb x
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
A lim f ( x)dx
a
f ( x)dx
dA
a
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区 间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
曲边梯形的面积:
d
A c [( y) ( y)]dy
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元: dA ( x x2 )dx
x y2
A
1
(
x x2 )dx
0
2
3
x2
1 x3
1
1.
3 0 30 3
例10 由yx3 x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积
绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为
Vx
2
y2dx
0
2 x6dx
0
1 x7 2 128
7
07
绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为
Vy 22 8
8
x2dy
32
0
82
y 3dy
0
32 3 3 y5 8 64
高等数学定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容: 一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
证明定积分等式的几种方法
证明定积分等式的几种方法
虽然定积分只要求求取定积分的值，但是在求取值的时候也需要合理的证明該积分等
式是正确的。
定积分的证明有三种常见的方法：几何图形法、定义域上的极小值和变分法。
1. 几何图形法：这是一种最简单的方法，通过可直观地图像描绘中凸出的几个不同
面积单元来推断积分结果。
几何图形证明是最被广泛使用的方法之一，它特别适用于证明
有生物学或物理意义的积分表达式。
利用几何图形法，对于一种定积分，将它分解为一系
列小面积图形，每一个小面积图形都可以用一个简单的图示来解释和表示。
2. 定义域上的极小值：极值理论也是证明定积分的一种方法，它的证明过程假定特
定的物理模型，而假设物理模型是正确的，通过对物理模型求解出最优解来证明该定积分。
它的本质就是用极值的概念，也就是认为定积分的值是某个变量从设定范围内取得的极值，然后再推出定积分的值。
3. 变分法：变分法是最常用的定积分证明方法之一，它是一种搜索最优解的方法，
是唯一可能找到特定函数的定积分的最佳方法，而且对于非线性的定积分而言，是最有效
的解决方法。
它的证明的方法可以求得某一特定函数的定积分的最优解，通俗地讲就是把
某一特定函数里的不定积分变成一个定积分，这时，定积分的变量就是不定积分的变量，
不定积分的变量就定下来了，然后对它求最值。
总之，证明定积分的几种方法分别是几何图形法、定义域上的极小值和变分法。
它们
原理不同，但都可以有效地证明积分等式的正确性，因此，应该根据具体问题进行灵活选
择最合适的方法来证明定积分。
定积分的计算与证明
π
(
)
解: 原式 = ∫ π x cos x dx + 4∫ π cos x dx
− 2 −
= 0 + 8∫ cos x dx 7 5 3 1 π 35 = 8⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π 8 6 4 2 2 32
2 0 8
π
2
例14
2
计算定积分−2 x ln(1 + e x ) dx ∫
令x=−t −2
2 解法二: ∫−2 x ln(1 + e x ) dx x x −x 2 = ∫−2 x ln e 2 + ln e 2 + e 2 dx
x = ∫ x ⋅ dx + ∫ x ln e + e −2 −2 2
2 2 − x 2
x 2
π 2 0
π dx = , 2
π
I −J = ∫
π 2 0
sin x − cos x d(cos x + sin x) 2 dx = −∫ = 0. 0 sin x + cos x sin x + cos x
π 故得 2I = , 2
π 即I = . 4
例17 证明
1
arctan x 1 2 t ∫0 x dx = 2 ∫0 sin t dt
π
4
四、含参量的变限积分
x 例9 设f ( x)连续, F( x) = ∫0 f ( x + t ) dt, 计算F′( x).
解: F(x) = ∫ f (x + t) dt ====∫ f (u) du
0 x
x
令u=x+t
2x
F′(x) = 2 f (2x) − f (x)
定积分在几何中的应用 课件
y=x2-3围成平面图形的面积是
S ［3 2x (x2 3)］dx 3 (3 2x x2 )dx
1
1
(3x
x2
1 3
x3
31
(3 3 32 1 33) [1 3 (1)2 1 (1)3]
3
3
9 2 1 32 . 33
【拓展提升】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求 解，得到函数图象的交点的横坐标a,b(a＜b)，确定积分区间 ［a,b］. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积 函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面
积，即 S a［b f1(x) (f其2 (中x)］fd1x(x)＞f2(x)).
类型 二 计算复杂平面图形的面积 【典型例题】 1.由两条曲线y=x2, y 1 x2与直线y=1围成平面区域的面积
4
是_______.
2.求曲线 y x 与直线y=2-x，y 1 x 围成图形的面积.
3
【解题探究】1.题1中怎样确定积分变量的区间？ 2.如何将图形的面积转化为定积分计算？ 探究提示： 1.由直线y=1分别与曲线y=x2y, 1 x联2 立，求出交点坐标，
(2x
1 2
x2
1 6
x2)
13
＝2 3
1 6
(2x
1 3
x2
)
13
＝5 6 1 9 21 1 1＝2 1 .
63
36
【互动探究】若将题2中条件变为如图由直线y=x-2，曲线 y2=x所围成图形，试求其面积S.
【解析】由
y2
x得, x=1或x=4,
y x 2,
故A(1,-1),B(4,2),如图所示:
定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何学发展历史悠长，内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
第六节 定积分在几何方面的应用
S S1 S2 f ( x)dx f ( x)dx
y
a c
c
b
f(x)
S1
o
a
.
c
S2
b
x
(图4.6.3)
2 2 y x , y x 例4.6.1 求两条抛物线 所围成的图 形的面积.
解 （1）先画出简图，求出曲线交点以确定积
y2 x 分区间， 解方程组 2 得交点 (0,0)及(1,1)； y x
例4.6.2求由曲线 y x，y 1和x 0 所围成 平面图形的面积。
y x x 1 ; 解 如图 4.6.4，由 得 y 1 y 1 1 2 3 1 2 1 A (1 x )dx ( x x ) |0 3 3 0
y
1
y x
o
1
x
例4.6.3 求证半径为 r 的圆的面积为
b a2
2
4 2 1 3 2 a x x ab 3 a 3
a
特殊的，当
时,椭球就变成球,此时球的体积为
思考：该椭圆绕
与以上的
轴旋转所成椭球的体积
是否
相等？
三. 平面曲线的弧长
曲线 f ( x) 在区间 [a, b] 上任一小区间 [ x, x dx] 的一段弧的长度，可以用该曲线在点 ( x, f ( x)) 处切线 上相应的一小段的长度来近似代替, 而切线上这相应的 小段长度为
第六节.定积分在几何方面的应用
一. 用定积分表示平面图形面积
(1)当 f ( x) 0 时，曲边梯形的面积 可直接用定积分表示 A f ( x)dx
a b
y
f ( x)
定积分的证明小论文
定积分的证明（等式与不等式）论文一．总结与归纳：一．定积分的性质两个特殊的定积分（1）如果()f x 在x a =点有意义，则()0aaf x dx =⎰；（2）如果()f x 在[],a b 上可积，则()abf x dx =⎰-()baf x dx ⎰。
.定积分的线性性设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且（1）()bakf x dx ⎰=()bak f x dx ⎰;(2) ()()ba f x g x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=()ba f x dx ⎰+()ba g x dx ⎰ (3)()()b a f x g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰=()b a f x dx ⎰-()ba g x dx ⎰. 性质 1 定积分对于积分区间的可加性设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()caf x dx ⎰=()b af x dx ⎰+()cbf x dx ⎰。
性质 2 如果在区间[],a b 上()f x ≡1，则1badx ⎰=badx ⎰=b a -。
性质 3 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()baf x dx ⎰≥0()a b <。
推论1 定积分的可比性如果在区间[],a b 上，()f x ≤()g x ，则()ba f x dx ⎰≤()bag x dx ⎰，()baf x dx ⎰≤()baf x dx ⎰。
性质 4 积分的有界性如果()f x 在[],a b 上连续，且对任意的x ∈[],a b ，都有m ≤()f x M ≤，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰。
性质 5 积分中值定理如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则在积分区间[],a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()baf x dx ⎰=()f ξ()b a -，且()f ξ=1b a-()baf x dx ⎰称为函数()f x 在区间[],a b 上的平均值。
《定积分在几何、物理中的应用》参考课件
定积分求解功和能量
定积分可以计算力学系 统中的功和能量变化， 为能量守恒定律的研究 提供了数学基础。
四、应用举例
垂直于坐标轴的曲线面 积
通过定积分，可以计算曲线 与垂直于坐标轴的轴之间的 面积，如椭圆、以准确计算 球体的体积，为球体的表面 积、密度等相关问题提供了 解决方法。
定积分的符号表示一般用 ∫f(x)dx 表示，计 算方法有黎曼和和定积分的定义公式等。
二、几何中的应用
1
定积分求解曲线下的面积
通过计算定积分，可以准确求解曲线与坐标轴之间的面积，如长方形、三角形等 几何形状。
2
定积分求解旋转体体积
通过定积分的应用，可以计算旋转体的体积，如圆柱体、圆锥体等各种形状的物 体。
3
定积分求解弧长和曲率
定积分在计算曲线的弧长和曲率等几何属性时，起到了重要的作用。
三、物理中的应用
定积分解质点的位 移和速度
定积分可以描述质点在 一段时间内的位移和速 度变化，特别适用于确 定加速度为常数的物理 问题。
定积分求解加速度 和力的关系
通过定积分的运用，可 以推导出质点的加速度 与力的关系，揭示了牛 顿第二定律的深层含义。
《定积分在几何、物理中 的应用》参考课件
定积分是数学中重要的概念，它在几何和物理领域中具有广泛的应用。本课 件将介绍定积分的符号表示和计算方法，以及在几何和物理中的各种应用。
一、介绍
什么是定积分
定积分是对函数在一定区间上的"积分"或 "累加"结果的表示，可以理解为曲线下的 面积。
定积分的符号表示和计算方法
弹簧振动的位移
定积分可用于求解弹簧振动 的位移，帮助我们理解弹簧 振动的规律和特性。
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。
定积分的几何意义可以通过以下公式来描述：定积分的几何意义公式：∫[a,b] f(x)dx = S其中，∫表示积分符号，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量，S表示曲线与x轴之间的面积。
这个公式表达了定积分的几何意义，即一个函数在一个区间上的定积分等于这个函数与x轴之间的曲线面积。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过一些具体的例子来说明。
例子1：考虑函数f(x) = x²在区间[0,1]上的定积分。
根据定积分的几何意义公式，我们可以计算出这个定积分的值为∫[0,1] x²dx = 1/3。
这意味着函数f(x) = x²与x轴之间的曲线面积为1/3。
例子2：再考虑函数f(x) = sin(x)在区间[0,π/2]上的定积分。
根据定积分的几何意义公式，我们可以计算出这个定积分的值为∫[0,π/2] sin(x)dx = 1。
这意味着函数f(x) = sin(x)与x轴之间的曲线面积为1。
从以上的例子可以看出，定积分的几何意义公式可以帮助我们计算函数与x轴之间的曲线面积。
对于非负函数来说，定积分的值就是曲线与x轴之间的面积；对于有正负号的函数来说，定积分的值可以表示曲线与x轴之间的面积的代数和。
除了计算曲线面积外，定积分的几何意义还可以用来计算弧长、体积等几何量。
例如，我们可以通过定积分来计算曲线的弧长，或者通过定积分来计算旋转体的体积。
总结起来，定积分的几何意义公式是一个重要的工具，它可以帮助我们计算函数与x轴之间的曲线面积，以及其他几何量。
通过理解和应用这个公式，我们可以更好地理解定积分的几何意义，并将其应用于解决实际问题中。
定积分的计算方法及其性质证明
定积分的计算方法及其性质证明定积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的计算方法，并证明一些与定积分相关的性质。
一、定积分的计算方法1. 首先，我们介绍定积分的定义。
对于函数f(x)在[a, b]上的定积分可以用下面的极限形式表示：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) ∑[i=1 to n] f(xi)Δx其中，xi是[a, b]上的一系列划分点，Δx是每个子区间的长度。
2. 一种常用的计算定积分的方法是使用定积分的几何意义。
对于非负函数f(x)，它在[a, b]上的定积分表示f(x)与x轴之间的面积。
当f(x)是负函数时，定积分可以表示为x轴与f(x)之间的绝对值的面积。
例如，计算函数y = x^2在[1, 2]上的定积分可以通过计算由y = x^2, x = 1, x = 2和x轴所围成的区域的面积来完成。
3. 常用的定积分计算方法之一是基于牛顿-莱布尼兹公式，也称为微积分的基本定理。
该定理表明，如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有：∫[a, b] f(x) d x = F(b) - F(a)这意味着我们可以通过求解函数f(x)的原函数，并使用原函数在区间的端点处的值来计算定积分。
4. 对于一些特定的函数，我们可以使用一些基本的公式和性质来计算定积分。
例如，对于多项式函数和三角函数，我们可以利用它们的导数和基本积分表来计算定积分。
5. 对于一些复杂的函数，我们可以将其进行分解成更简单的函数，然后分别计算它们的定积分，最后将结果进行合并。
这种方法常用于计算不可积函数的定积分。
二、定积分的性质证明1. 定积分的线性性质对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有以下等式成立：∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx这个性质可以通过定积分的定义和极限运算的性质进行证明。
定积分的几何学原理及应用
定积分的几何学原理及应用一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积、空间体积以及曲线长度等几何问题。
定积分的计算依赖于黎曼和的理论，通过将曲线或曲面分割成若干个小块，然后对这些小块的面积或体积进行求和来进行计算。
二、定积分的几何学原理定积分的几何学原理有以下三个方面的内容：1.曲线下面积的计算：对于一个实数区间[a, b]上的函数f(x)，我们可以将其图像与x轴围成的曲线下的面积用定积分来表示。
通过将[a, b]区间分割成n个小区间，选取每个小区间上的一点，然后以这些小区间上的任意一点作为高，将每个小区间上的矩形面积进行求和，得到的极限就是曲线下面积的近似值。
当再令n趋于无穷大时，就得到了定积分表示的曲线下面积的准确值。
2.曲线长度的计算：类似于曲线下面积的计算，曲线的长度也可以用定积分来表示。
通过将曲线分割成若干个小线段，并将每个小线段的长度进行求和，就可以得到曲线的长度的近似值。
当分割的线段越来越小，小线段的数量趋近于无穷大时，得到的极限就是曲线的长度的准确值。
3.空间体积的计算：除了用于计算平面曲线的面积和长度外，定积分还可以用于计算空间中曲面下面体积的大小。
通过将曲面分割为许多小面元，并将每个小面元的体积进行求和，可以得到曲面下面体积的近似值。
当分割的小面元越来越小，小面元的数量趋近于无穷大时，得到的极限就是曲面下面体积的准确值。
三、定积分的几何学应用定积分作为微积分中的重要工具，广泛应用于几何学中的各种问题求解。
以下是几个典型的应用案例：1.求解平面区域面积：通过将平面分割成若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小矩形或小三角形的面积，并将其进行求和，可以得到给定平面区域的面积。
这在工程测量、物体表面积的计算等方面有重要应用。
2.求解线段长度：对于给定的曲线或曲面，通过将其分割成若干个小线段，然后计算每个小线段的长度，并将其进行求和，可以得到曲线或曲面的长度。
这种方法在导航、路径规划等领域中被广泛应用。
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义
什么是定积分？
定积分是微积分中的重要概念，表示函数曲线下的面积。
它是对连续函数在闭区间上求和的极限，也可以理解为函数曲线与x轴之间的有向面积。
定积分的符号表示
定积分可以用以下公式表示：
b
(x)dx
∫f
a
其中，f(x)是要求积分的函数，a和b是积分的上下限。
定积分的几何意义
定积分的几何意义就是函数曲线与x轴之间的有向面积。
当函数为正值时，定积分表示曲线上方的面积；当函数为负值时，定积分表示曲线下方的面积。
定积分的几何计算
根据定积分的几何意义，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的有向面积来求定积分。
例如，我们要计算函数 f (x )=x 2 在区间 [0,2] 上的定积分，则可以进行如下计算：
∫x 22
0dx =13x 3|02=13(23−03)=83 因此，函数 f (x )=x 2 在区间 [0,2] 上的定积分为 83，表示曲线与x 轴之间的有向面积为 83。
定积分的性质
定积分具有以下性质：
•
积分的线性性质：∫(f (x )+g (x ))b a dx =∫f b a (x )dx +∫g b a
(x )dx •
区间可加性：∫f c a (x )dx =∫f b a (x )dx +∫f c b (x )dx 这些性质使得定积分在实际运用中更加灵活和方便。
总结： - 定积分是表示函数曲线下的有向面积的概念； - 定积
分可以用公式∫f b a
(x )dx 表示； - 定积分的计算可以通过几何方法求出所对应的面积； - 定积分具有线性性质和区间可加性。
定积分在几何中的简单应用
曲顶体的体积
对于由连续曲面围成的曲 顶体，其体积可以通过定 积分计算。
薄片状的体积
对于薄片状的物体，如圆 环体，也可以通过定积分 计算其体积。
平面曲线的弧长
简单曲线的弧长
对于简单的曲线，如直线、圆弧等，其长度可以通过 定积分计算。
参数曲线的弧长
定积分在几何中的简 单应用
• 定积分的概念与性质 • 定积分在几何中的应用 • 定积分在几何中的实例分析 • 定积分在几何中的扩展应用 • 定积分在几何中的总结与展望
目录
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
积分上限函数
定积分被定义为积分上限函数的极限 值，即 ∫baf(x)dx=limn→∞∑bai(x)Δxi⋅Δxi。
总结词
定积分可以用来计算摆线的弧长，通过 计算摆线在各个角度下的长度，并沿角 度范围累加，得到摆线的总弧长。
VS
详细描述
首先，我们需要找到摆线的参数方程和角 度范围。然后，使用定积分计算摆线在各 个角度下的长度。最后，将各个角度下的 长度沿角度范围累加，得到摆线的总弧长 。
04
定积分在几何中的扩展应用
05
定积分在几何中的总结与展
望
定积分在几何中的重要性1 2 3计算 Nhomakorabea积和体积
定积分可以用来计算平面图形和立体图形的面积 和体积，这是定积分在几何中最基本的应用。
解决实际问题
定积分可以用来解决许多实际问题，例如计算物 体的质量、重心、转动惯量等，有助于解决实际 问题。
描述几何量
定积分可以用来描述几何量，例如弧长、曲线下 的面积等，有助于更准确地描述几何量。
微元法
定积分在几何中的应用 课件
↗
4
t
1
0,
1
由表知,当 t= 2 时,S(t)取极小值 4 , 也就是在区间(0,1)上的最小值.
∴当 t=
1
时,使
2
S=S1+S2 最小.
反思涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,
在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关
量间的关系;(2)定积分的正确计算.
1
S= 0
1
x- - 3 x
3
dx + 1
1
(2-x)- - 3 x
dx
3
1
1
=
x + x dx +
2-x + x dx
3
3
0
1
2 3 1 2 1
1 2 1 2 3
2
=
x + x |0 + 2x- x + x |1
3
6
2
6
2 1
1
= + + 2x- x 2 |13
3 6
3
5
1
1 13
= +6− × 9−2+ =
平行线 l.曲线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,
面积分别记为 S1,S2.
(1)求 t 的值,使 S1=S2;
(2)求 t 的值,使 S=S1+S2 最小.
分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出
用 t 表示的两图形的面积 S1,S2 的表达式,再根据各小题的条件求解.
c
解析:由定积分的几何意义知 S= ( x)dx − a
定积分证明题方法总结
定积分证明题方法总结1. 引言在微积分学中，定积分是一种重要的概念，它用于计算曲线下的面积或曲线的定积分值。
在解决定积分证明题时，有一些常用的方法可以帮助我们简化问题和推导定积分的计算过程。
本文将总结一些常见的定积分证明题方法。
2. 几何解释法定积分可以被解释为曲线下面积的概念，这一特性可以用几何解释法来进行证明。
在这种方法中，我们可以将定积分问题转化为求曲线下某个区域的面积，然后通过几何图形的性质进行计算。
例如，我们要证明函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值为I，可以进行如下步骤：1.将函数f(x)和x轴围成的曲线下面积表示为S。
2.将区间[a,b]平均分为n段，即将[a,b]划分为n个小区间。
3.将每个小区间的长度设定为Δx，将小区间的起点和终点分别表示为xi和xi+1。
4.在每个小区间上，选择一个插值点ci，计算f(ci)。
5.根据插值点计算出小区间的面积ΔSi，即ΔSi = f(ci)* Δx。
6.将所有小区间的面积加起来，得到近似的曲线下面积Sn = Σ(ΔSi)。
7.当n趋向于无穷大的时候，Sn的极限值即为S。
8.由于S表示曲线下面积，所以证明Sn趋于S，即证明了定积分的值为I。
这种方法通过将定积分转化为几何问题，使得证明过程更加直观明了。
3. 确定积分值的边界法定积分值的边界法是另一种常见的方法，通过确定积分的上下界来简化问题。
这种方法通常适用于具有特殊性质的函数。
例如，我们要证明函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值为I，可以进行如下步骤：1.设定积分的下界和上界分别为g(x)和h(x)，即g(x)≤ f(x) ≤ h(x)。
2.对区间[a,b]上的g(x)和h(x)进行定积分，分别得到下界和上界的定积分值：Ig = ∫[a,b] g(x) dx，Ih = ∫[a,b] h(x) dx。
3.如果可以证明Ig ≤ I ≤ Ih，即下界小于等于积分值小于等于上界，那么定积分值为I。
定积分在几何中的应用_ppt课件
S 0 ( y 4)dy 0
dy 2
40
3
10
思考：计算由曲线 y2 2x 直线y=x-4以及x轴围成图形的面 积.
解法1：
采用分割的方法
y2 2x
S2 S1 S1
B
A y=x-4
2
8
S 2S1 S2 2 0
2xdx ( 2x x 4)dx 2280 源自 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
成的图形的面积。
y
解：如图：由x2-1=0得到抛物线
与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所
求面积如图阴影所示：
所以：
S
2 ( x2 1)dx 1 ( x2 1)dx
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8
3
13
1 3
14
练习2. 求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所
得
x＝－3 y＝5
或
x＝2 y＝0
，
（-3,5）
（2,0）
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4
的交点为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S，根据图形可得
S＝ʃ 2－3(－x＋2)dx－ʃ －2 3(x2－4)dx ＝＝(2225x－－(12－x2)23|52－3)－＝(11326x53.－4x)|2－3
S s1 s2
a
f (x)dx
g( x)dx
a
b
a [ f (x) g(x)]dx
b
b
(3) S a f ( y)dy a g( y)dy
b
a [ f ( y) g( y)]dy
4
例题讲解
定积分证明题方法总结5篇
定积分证明题方法总结定积分证明题方法总结5篇定积分证明题方法总结11、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a定积分的应用1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)●直角坐标系下(含参数与不含参数)●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)d x,其中A(x)为截面面积)●功、水压力、引力●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)定积分证明题方法总结2一、不定积分的概念和性质若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢！性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或df(x)dxf(x) dx性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C性质3[f(x)g(x)]dx或[f(x)g(x)]dx二、基本积分公式或直接积分法基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dxkdxkxCxxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC axedxeCadxlnaC xxcosxdxsinxCsinxdxcosxCdxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxCsecxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxCdxarctanxCarccotxC（）1x2arcsinxC（arccosxC）直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。
数学专业毕业论文 定积分中的几何直观方法与不等式的证明(HU修改)
定积分中的几何直观方法与不等式的证明梅求兵（061114216）（孝感学院数学与统计学院湖北孝感432000）摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分01p<<与1p>进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。
关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列1 引言文[1]中给出了一个不等式：11)1ni=<<（1n>）（1）田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是命题1【2】设p R∈且0p>，1p≠，1n>，则有1111111[(1)1]1111np ppkn np k p p--=+-<<-+---∑（2）文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分01p<<与1p>进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。
文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。
文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：命题1的证明【4】当0p>，1k≥时，对于1k x k<<+，有(1)p p pk x k<<+，即111(1)p p pk x k<<+， 两边取积分，得111111(1)k k k p p pkk k dx dx dx k x k +++<<+⎰⎰⎰，（3） 即得11111[(1)](1)1p pp pk k k p k --<+-<+- （4） 对（3）两边分别求和，即得1111111[(1)1]1111npp p k n n p kp p --=+-<<-+---∑ （5）命题1得证。
该证明方法简单自然，几何意义直观。
证明一些定积分问题的几何方法
证明一些定积分问题的几何方法
定积分法是研究微分方程、定性分析函数以及函数的积分、分析函数以及函数
的积分和差分方程等数学问题最常用的数学方法之一，它被广泛应用于工程和物理中。
而几何方法则是一种有效的证明定积分问题的方法，经常用于证明非曲线的定积分的存在性，以及定积分的结果是否正确。
几何方法的基本原理很简单，它是利用几何性质来推理定积分。
几何方法最典
型的例子就是双曲线问题，双曲线曲线围成的面积和其定积分之间存在着重要关系。
如果双曲线的形状已经知道，其定积分的值也可以被求出。
另外，线的边界可以与直角坐标系的两个轴之间的关系用一些简单的几何计算方式来求出，这便是几何方法的基本原理。
另外，几何方法还可用于证明正反的定积分问题，正反法的证明也与几何方法
有关。
它是根据定积分所表示的函数的几何意义，从而证明定积分问题。
比如，
当某个函数是有界的、连续的、在某一块区域上是单调的时候，它的定积分一般可以用正反法来证明。
以上就是证明定积分问题的几何方法，它是一种以几何性质推理定积分内容，
或者是利用正反法来证明定积分问题，简单易行、有效简便。
它的应用领域极其广泛，在数学研究领域中应用广泛，可以有效解决许多的数学问题。
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定积分中的几何直观方法与不等式的证明摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分01p <<与1p >进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。
关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列1 引言文[1]中给出了一个不等式： 112(11)21ni n n i=+-<<-∑（1n >） （1） 田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 设p R ∈且0p >，1p ≠，1n >，则有1111111[(1)1]1111npp p k n n p kp p --=+-<<-+---∑ （2）文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分01p <<与1p >进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。
文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。
文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：命题1的证明【4】 当0p >，1k ≥时，对于1k x k <<+，有(1)p p p k x k <<+，即111(1)p p pk x k<<+，两边取积分，得111111(1)k k k p ppkkkd x d x d x k x k +++<<+⎰⎰⎰， （3） 即得11111[(1)](1)1p pp pk k k p k--<+-<+- （4） 对（3）两边分别求和，即得1111111[(1)1]1111npp p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ （5）命题1得证。
该证明方法简单自然，几何意义直观。
不等式（3）的几何意义是：如图1，以1p y x=为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。
（图1）在文[5]中，又把（1）式推广为：命题2【５】 已知{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，则11111221()()nn i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑ （6）其证明方法与文[1]本质上是一样的。
本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。
２ 主要结果下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为定理1 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111111111()()(1)(1)np p p pn n p pi ia a a a d p a d p a ----+=-<<-+--∑ （7） 为证明定理1，先证明下面的引理引理1 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111()(1)p pk k p pk ka a a d p a --++<-<- （8） 证明 因为数列{}n a 是等差数列，且10,0a d >>，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为0>p ，不妨令1+<<k k a x a ，则有p k p p k a x a 1+<<即pk p p k a x a 1111<<+ （9） 对（9）两端在1[,]k k a a +上取积分，有 1111111k k k kk k a a a p p p a a a k kdx dx dx a x a ++++<<⎰⎰⎰ （10）即1111111()1p pk k p pk kd a a d a p a --++<-<- （11） 由（11），即得1111111()(1)p pk kp pk k a a a d p a --++<-<- 定理1的证明 由引理1可得111111()(1)p pk k pk a a a d p --++<-- （12）对（12）式的两边同时求和，得1111111111()(1)n n p pk k pk k k a a a d p ----+==+<--∑∑ 即111111111()(1)np pn ppk ka a aa d p --+=-<--∑ 故有111111111()(1)np pn p pk k a a a d p a --+=<-+-∑ 同理，由11111()(1)p pk kpk a a d p a --+-<- （13） 对式（13）的两边同时求和，可得到1111111()(1)n p pn p i ia a d p a --+=-<-∑故定理1得证。
引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。
（图2）如果注意到函数1()pf x x =（0p >）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质：性质1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方； 性质2 曲线总在它的任一切线的上方。
那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到定理2 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111111111()()2(1)2p p pk k k p p p pk k k k d a a a a p d p a a a ---+++++<-<--- （14） 证明 因为1()p f x x=（0p >）是下凸函数，由上述两条性质，得 11111()()()'()()()()()k k k k k k k k kf a f a f a f a x a f x f a x a a a +++++-+-<<+--即得111111111111()()p pp k k k k k p p p k k k k a a a x a x a a p x a a a -+++++---<<+-- （15）对（15）两端在1[,]k k a a +上积分，得（14）成立。
定理2证明的几何意义，可参考下面图3。
（图3）推论1 当0p >，1k ≥时，有111111111(1)[(1)][](1)(1)2(1)p p p p p p pk k k k p k k k ---++<+-<--+-+ 该结果显然比（4）式更为精细。
３ 应用例子例1【１】 试求1111231000,000x =++++的整数部分[]x ． 解 由（1）式，得1999210000012<<-x于是可以判断19981999x <<，故[]1998x =。
例2【１】 试求[50]x 的值，式中11110,00010,0011,000,000x =+++． 解 由命题1，可得18001800.02x <<所以[50]9000x =。
例3 设3331111232010x =++++ ，求不超过x 的最大整数[]x ． 解 对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解，201011pk x k ==∑（31=p ），令数列}{n a 的通项公式为n a n=，31=p ，2010=n ， 由定理1，可得11113311(20111)201011111133x --⎛⎫-<<-+ ⎪⎝⎭-- 即4.2384.237<<x所以[]238=x 。
例4 设3333222211112729312003s =++++，求s 的近似值（绝对误差不超过0.06）．解 记数列{}n a 是以271=a 为首项，公差2=d 的等差数列，那99411pk ks a ==∑，这里23p =，由定理1，得 22221111333323111(200527)(200327)222(1)2(1)2733s -----<<-+--即14.512s 14.454<<由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.058<0.06，故s 可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=14.49。
4 其它应用在文[6]中，作者给出了二次根式的一个不等式： 命题3【６】 设0,,0≥>y x p ,则y x p p y p x p +++≥+++ （16）当且仅当x=0或y=0时，（1）的等号成立。
原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？考虑函数tx f 21)(=与yt t g +=21)(，x p t p +≤≤，则由()()t f t g ≤，得()()⎰⎰++≤xp pxp pdt t f dt t g即p x p y p y x p -+≤+-++ （17）由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，它的左右两端分别代表两个曲边梯形的面积 （如图4）（图4）事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式 x x xx<+<+)1ln(1 （0x >） （18） 就可以利用()⎰⎰⎰≤+≤+xxx dt dt t dt t 000211111（19） 来认识其几何意义。
由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的不等式。
下面例子选自《高等数学附册·学习辅导与习题选解》一书，我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。
命题4【7】 设0p >，证明10111p pdx p x<<++⎰ （20） 文献[7]关于不等式（20）的证明思路是：1011111p p x dx p p =-=-++⎰111000(1)1111ppp p p dx x x dx dx x x x =-=-+++⎰⎰⎰而1p p p x x x≤+，故有11001p pp x dx x dx x <+⎰⎰，因此 1100111pppx x dx dx x -<-+⎰⎰由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。
另证 因为1()1f x x=+（[0,1]x ∈）是下凸函数，函数()f x 在(0,1)点的切线方程为1y x =-，根据下凸函数的几何性质，有1111x x-<<+ （21） 当[0,1]x ∈，0p >时，有[0,1]p x ∈，将（21）中的x 换成p x ，得 1111p px x -<<+ （22） 再对（22）两端在[0,1]上积分，立得结论成立。