2017年江苏高考数学试卷

年江苏省高考数学试卷2017填空题一.2a2}，B={a，∩+3}．若AB={1}，则实数a ．的值为，已知集合．1（5分）A={12．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均21相切，记圆柱OO的体积为V，球O的体积为V，则的值是．21127．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数第1页（共31页）．x，则x∈D的概率是2的右准线与它的两条渐﹣y=1（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线8．PFQ 的面积是．，其焦点是近线分别交于点P，QF，F，则四边形F21129．（5分）等比数列{a}的各项均为实数，其前n项和为S，已知S=，S=，63nn．a=则8次，万元/吨，每次购买x运费为610．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，x4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则一年的总存储费用为．的值是x3af（，其中e=xe﹣2x+是自然对数的底数．若﹣11．（5分）已知函数f（x）2）≤0．则实数a的取值范围是（2a ．﹣1）+f12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，的夹角为45°．若+n（m，n=m∈R），tanα=7与的夹角为α，且，与则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：22=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是y．x+14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个n=，其中集合D={x|x=，∈N数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．第2页（共31页）求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．，﹣），x∈[0，π，=（cosxsinx）]，=（3．16（14．分）已知向量的值；x）若，求（1=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的xf（2）记（x）的值．：中，椭圆E（14分）如图，在平面直角坐标系xOya＞b＞0）17．（=1，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆的左、右焦点分别为F，F21E 上，且位于第一象限，过点F作直线PF的垂线l，过点F作直线PF的垂线21112l．2（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l，l的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．2118．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ10cm，容器ⅡAC，容器Ⅰ的底面对角线的长为的两底面对角32cm的高均为线EG，EG的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深11均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）第3页（共31页）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC上，求l没1入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求l没1入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a}满足：a+a+…+a+a+…+a nn1nk1nnk1kn+﹣+﹣﹣++a=2ka对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a}是“P（k）数列”．nnkn1+﹣（1）证明：等差数列{a}是“P（3）数列”；n（2）若数列{a}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a}是等差数列．nn32+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数=x．20（16分）已知函数f（x）f′+ax（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2＞3a）证明：b；（Ⅱ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取，f′（x（（Ⅲ）若fx）值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；2 =AP?ABAC．（2）第4页（共31页）[选修4-2：矩阵与变换]B=．．已知矩阵，A=22；AB（1）求，求：C在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线（2）若曲线C=121的方程．C 2]选修4-4：坐标系与参数方程[，（t．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l为参数）的参数方程为23的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点曲线CP到的距离的最小值．直线l：不等式选讲］［选修4-52222=16，证明ac+bd，c≤+d8，24．已知ab，c，d为实数，且a+b．=4【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣ABCD中，AA⊥平面ABCD，且AB=AD=2，11111=，∠BAD=120°．AA1（1）求异面直线AB与AC所成角的余弦值；11（2）求二面角B﹣AD﹣A的正弦值．1*，n≥2），这些球除颜色外，个白球，26．已知一个口袋有mn个黑球（mn∈N 全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，第5页（共31页）m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的）＜X．数学期望，证明E（第6页（共31页）年江苏省高考数学试卷2017参考答案与试题解析填空题.一21．若3}．A∩B={1}，则实数aa{1．（5分）已知集合A=1，2}，B={，a的值为+【分析】利用交集定义直接求解．2+3}．A∩B={1}1，2}，B={a，a，【解答】解：∵集合A={2+3=1a，∴a=1或当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立；2+3=1无解．a综上，a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【分析】，﹣1+3i）1+2i=1﹣2+3i=（1【解答】解：复数z=（+i）．|==∴|z．故答案为：【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产第7页（共31页）品中抽取的数目．件进行检验，件，而抽取60300【解答】解：产品总数为200+400++100=1000，=抽样比例为×300=18件，则应从丙种型号的产品中抽取18故答案为：分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的本题的考点是分层抽样．【点评】在各层中进行即样本容量和总体容量的比值，结构保持一致，按照一定的比例，抽取．．的值是﹣x4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入2的值为，则输出y直接模拟程序即得结论．【分析】，，不满足x=x≥1【解答】解：初始值，=﹣2=2所以y=2+log﹣2．故答案为：﹣2注意解题方模拟程序是解决此类问题的常用方法，【点评】本题考查程序框图，法的积累，属于基础题．tanα=）﹣=．则．（55．（分）若tanα【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可第8页（共31页）==（α﹣）=【解答】解：∵tan，16=tanα+∴6tanα﹣，解得tanα=．故答案为：本题考查了两角差的正切公式，属于基础题【点评】，该球与圆柱的上、下底面及母线均内有一个球分）如图，在圆柱OOO6．（521．的值是的体积为相切，记圆柱OOV，球O的体积为V，则2211设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【分析】3，【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R32．?2R=2πR圆柱的体积为：πR．=则=．故答案为：考查空间想象能力以及计算【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，能力．定义域为D．在区间[﹣）f（x=4，5]上随机取一个数分）记函数（7．5x，则x∈D．的概率是页）31页（共9第求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【分析】22，3x≤﹣x﹣6≤0，得﹣﹣【解答】解：由6+xx2≥0得x≤，]，3则D=[﹣2，x，则x∈D的概率=P=则在区间[﹣4，5]上随机取一个数故答案为：，D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．2的右准线与它的两条渐=1﹣xOy8．（5分）在平面直角坐标系y中，双曲线F，则四边形F．PFQ的面积是近线分别交于点P，Q，其焦点是F，2211【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，【解答】解：双曲线﹣y），Q（，﹣．（所以P，F（2，0）．）），F（﹣2，021则四边形FPF=2．Q的面积是：21故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）等比数列{a}的各项均为实数，其前n项和为S，已知S=，S=，6nn3．32 =则a8，=S=，可得1q≠，S=，}设等比数列【分析】{a的公比为63n=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a}的公比为q≠1，n∵S=，S=，∴=，=，6310第页（共31页）．=，q=2a解得1．=a=32则8．故答案为：32考查了推理能力与计算能【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，力，属于中档题．次，万元/某公司一年购买某种货物10．（5分）600吨，每次购买x吨，运费为6x4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则一年的总存储费用为．的值是30【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．2×=+4x≥4【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和．×=240（万元）当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3x﹣，其中e是自然对数的底数．若f=x（﹣2x+ea（11．（5分）已知函数fx）2）≤0．则实数a的取值范围是 [﹣1，] ﹣1）+f（2a．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R2≤1﹣）为奇函数，原不等式即为2aa，上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．3x﹣的导数为：+e（x）=x2x﹣解：函数【解答】fx2=0+2，=3x2﹣+e+≥﹣2）（f′x可得f（x）在R上递增；第11页（共31页），+e﹣e﹣+x=0（﹣又f（﹣x）+f（x）=x）﹣+2x+e2x﹣x33xx）为奇函数，xf（可得2，）≤﹣1）+f（2a0a则f（2）﹣f（2a1）≤﹣f（a即有，）=﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1）2，））≤f（1﹣af（2a2，即有2aa≤1﹣，a≤解得﹣1≤．，][﹣1故答案为：注意运用导数和定义法，【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．，1，512．（1分）如图，在同一个平面内，向量，，，的模分别为，，，）与，n．∈若且tanα=7+Rn=m（m的夹角为45°与的夹角为αn=+3．则m，0）．由与的夹角为α，且tanα=7【分析】如图所示，建立直角坐标系．A．（1可°°）=+（α（α．，得cosα=sinα=C+45）．可得cos45sin．（m，n∈R．=Bn．利用=m+），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．，sinα=．∴cosα=第12页（共31页）．C∴°=）+45cosα﹣sinα）．=cos（α（°=（sinα+cosα））=．+45sin（αB∴．∵）n∈R，=m+n（m，，=0∴=mn﹣n+，．n=，解得m=．n=3则m+．故答案为：3考查了推理能力与计算能力，【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，属于中档题．：在圆O60，），点PxOy中，A（﹣12，0），B（（13．5分）在平面直角坐标系22的横坐标的取值范围是 [﹣5，=5020上．若≤，则点P1] x+y．【分析】根据题意，设P（x，y），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x+y+50000≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．22=50，+yx，y），则有x【解答】解：根据题意，设P（0000226﹣yx+y）+=12x﹣x=﹣x）y?（﹣，6y）（12+）xy（+6y﹣，﹣（﹣=12x00000000000≤20，化为：12x﹣6y+30≤0，00第13页（共31页）以及直线上方的区域，5=0﹣y+y+5≤0，表示直线2x即2x﹣00，=15或x联立，解可得x=﹣005[﹣，结合图形分析可得：点P的横坐标x的取值范围是，1]0．，1故答案为：[﹣]5关键是利用数量积化【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，的关系式．、y简变形得到关于x00）（x，1）上，f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0分）设14．（5f*的解的个lgx=0（x）﹣，n∈N}，则方程|=，其中集合D={xfx=数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f*}，分析f（x）的图象与y=lgxN{=，其中集合D=x|x=，n∈）（x图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，的函数，1上且周期为f（x）是定义在R又有且y=lgx）的图象与x（f，此时=xf21∴在区间[，）上，（）只有一个交点；14第页（共31页）同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，第15页（共31页）所以AB∥EF，又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．，﹣），x∈[0，π]．．（14cosx分）已知向量=（，sinx）3，=（16的值；）若1（，求x=））记f（x（xf，求（x）的最大值和最小值以及对应的的值．2﹣）根据向量的平行即可得到，问题得以解决，tanx=【分析】（1（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出∥），﹣，）（=cosx，sinx（，=3，1解：【解答】（）∵，∴﹣cosx=3sinx﹣，tanx=∴第1631页（共页）∵x∈[0，π]，x=∴，=xf（）+），sinx=2（（cosx）﹣sinx2=2cos（x=3cosx）﹣∵x∈[0，π]，，][∴x，+∈+（x≤）≤，∴﹣1cos当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，2．x）有最小值，最小值﹣x=时，f当（【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题：=1（a＞b＞（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E0）17．，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆的左、右焦点分别为F，F21E 上，且位于第一象限，过点F作直线PF的垂线l，过点F作直线PF的垂线21112l．2（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l，l的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．21±，则由椭圆的准线方程x=2（【分析】1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，222，即可求得椭圆方程；cba×=8，即可求得和c的值，则=3=a﹣（2）设P点坐标，分别求得直线PF的斜率及直线PF的斜率，则即可求得l221第17页（共31页）22﹣1在椭圆方程，求得y，联=x及l的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q010立即可求得P点坐标；=，求得直线l，及m≠1时，l=，方法二：设P（mn），当112，联立椭圆方程，即可n点坐标，根据对称性可得=的方程，联立求得Q±点坐标．求得P=，则e=a=2c解：（1）由题意可知：椭圆的离心率，①【解答】×=82x=椭圆的准线方程，②±，由由①②解得：a=2，c=1，222=3，b﹣=ac则∴椭圆的标准方程：；=的斜率，y），则直线PF2（）方法一：设P（x，200﹣（x﹣1y=﹣，直线l的方程）=则直线l的斜率k，222=，直线PF的斜率1﹣（x+1），=则直线l的斜率ky=﹣，直线l的方程121，）（﹣Qx联立，，解得：，则0=y，的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则Q在椭圆上，P，Q由P，022，﹣1∴y=x00，，解得：则，则第18页（共31页）又P在第一象限，所以P的坐标为：，）（．P方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F重合，不满足题意，1=当m≠1，=，时，﹣，由l⊥PF，，=l⊥PF=﹣，则2112﹣y=，①直线l的方程﹣（x+1直线l，②x（﹣1）的方程y=）21，（﹣m，则x=﹣mQ联立解得：），2在椭圆方程，由对称性可得：n=±由，Q2222=1，+mn﹣n=1，或m即，或）n，解得：，在椭圆方程，，无（由Pm，解，又P在第一象限，所以P的坐标为：，）P．（第19页（共31页）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ10cm，容器AC的长为Ⅱ的两底面对角的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线线EG，EG的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深11均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC上，求l没1入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求l没1入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作1NP ∥MC，交AC于点P，推导出CC⊥平面ABCD，CC⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，11推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，1交EG于点P，过点E作EQ⊥EG，交EG于点Q，推导出EEGG为等腰梯形，111111GEM=，由此能求出玻璃棒∠l，Q=24cmEE=40cm，由正弦定理求出sin求出E11没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，1在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣ABCD为正四棱柱，∴CC⊥平面ABCD，11111又∵AC?平面ABCD，∴CC ⊥AC，∴NP⊥AC，1第20页（共31页）222，解得MC=30cm=AC，+∴NP=12cm，且AMMC∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，，，得AN=16cm=．∴∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，1在平面EEGG中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，11过点E作EQ⊥EG，交EG于点Q，1111∵EFGH﹣EFGH为正四棱台，∴EE=GG，EG∥EG，11111111EG≠EG，11∴EEGG为等腰梯形，画出平面EEGG的平面图，1111∵EG=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，11∴EQ=24cm，1由勾股定理得：EE=40cm，1﹣，∠GEGM==，cos∠∴sinEEGsin=，∠EGM=sin∠EE1111EMG=∠，EMG=，根据正弦定理得：∠=，∴sincosEMG=∠，+cos∠EGMsinEMG=sin+∠∴sinGEM=sin（∠EGM∠EMG）∠EGMcos∠==20cmEN=．∴∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．第21页（共31页）线面、没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、【点评】本题考查玻璃棒l空间想象能考查推理论证能力、运算求解能力、面面间的位置关系等基础知识，力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．a…++a+a+a+…+a，19．（16分）对于给定的正整数k若数列{a}满足：knknnnnk1n11++﹣+﹣﹣．）数列”“P（kk）总成立，则称数列{a}是+a=2ka对任意正整数n（n＞nnnk1+﹣；”（3）数列）证明：等差数列{a}是“P（1n是等差数列．}，证明：{a，又是“P（3）数列”2）若数列{a}既是“P（2）数列”（nn a（a=+a+aa+【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a+a+nn121nn3n3nn2+++﹣﹣﹣的定义，可得”k）数列3a，根据“P（）a+（a+a）═2×+a）+（a+nn312n3n12nn+﹣+﹣﹣+；）数列”“P}是（3数列{a n 项起为等差数列，再通从第3）中的结论，可得到{a}（2）由已知条件结合（1n 为等差数列．a}与a的关系，可知{过判断a与a的关系和a n2231）﹣1+（n首项为a，公差为d，则a=a【解答】解：（1）证明：设等差数列{a}11nn，d，a+a++a+a+a则a3n2n13n2nn1n+﹣+﹣+﹣，a）+）+（aa=（a+a）+（+a11n3nn3n2nn2++﹣+﹣﹣，+2a=2a+2a nnn，×3a=2n；”3“P（）数列∴等差数列{a}是n a++aP（3）数列，则a是n（2）证明：当≥4时，因为数列{a}n2n3nn﹣﹣﹣，①a=6aa+a++nn2n1n13+++，②a=4a+a++”“Pa 因为数列{}是（2）数列，所以aa nnn212nn1n+﹣+﹣3122第页（共页）则a+a+a+a=4a，③，1nn3n2nn1++﹣+②+③﹣①，得2a=4a+4a﹣6a，即2a=a+a，（n≥4），1nn1n1n1nnn++﹣﹣因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a+a+a+a=4a，42653所以a=4a﹣a﹣a﹣a=4（a+d）﹣a﹣（a+2d）﹣（a+3d）=a﹣d，3333254363因为a+a+a+a=4a，所以a=4a﹣a﹣a﹣a=4（a+d）﹣a﹣（a+2d）﹣（a+3d）24235532221124=a ﹣d，2也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a}为等差数列．n【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．32+bx+1（a＞0+ax，b∈R）有极值，且导函数f′x20．（16分）已知函数f（）=x （x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2＞3a；（Ⅱ）证明：b）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数af′（x的取（Ⅲ）若f（x），值范围．322+2ax+=3xb，x）=f′（x（x）=x）+ax1+bx+求导可知g（【分析】（Ⅰ）通过对f 进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点32+bx+=x1+ax）（a＞0），结合f为x=，﹣从而f（，﹣）=0整理可知（b=x+（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．323a（﹣27+=（）通过（（Ⅱ1）构造函数h（a）=b﹣4a3a=）﹣﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；﹣=bf′，利用韦达定理及完（﹣）（（Ⅲ）通过（1）可知f′x）的极小值为+2）的两个极值之和为﹣全平方关系可知y=f（x，进而问题转化为解不≥﹣等式b﹣﹣+﹣+，因式分解即得结论．2=32+bx++ax1，）（）解：因为（【解答】Ⅰfx=x第23页（共31页）2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，）所以g（x=f′（x）=3x﹣x=．）=0，解得令g′（x＜﹣时g′（x）＜）=f′（x）单调递增；当xx＞﹣时g′（x）＞0，g（x由于当0，g（x）=f′（x）单调递减；﹣，x）的极小值点为x=所以f′（由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，﹣++（﹣）=01=0，即﹣所以f，．＞所以0b=）+（a32+bx+1（a＞0，（x）=xb+ax∈R）有极值，因为f2+2ax+b=0（x）=3x的实根，所以f′22+≥0，解得a≥12b﹣≥0，即a3，﹣所以4a．）＞b=3+（所以a2333a=a）（4a（﹣27）a=b﹣（Ⅱ）证明：由（1）可知h﹣（+=﹣27），2＞3a；0，即b＞3，所以h（a）＞由于a﹣=b，（﹣））可知f′（x）的极小值为f′（Ⅲ）解：由（1，=+x，=xx设x，x是y=f（x）的两个极值点，则x212112）+b（x+）所以f（x+f（x）=x++a）（++2221122﹣2xx]+b（x+x）+））（x+xa﹣3xx]+[（x+x2）+=（xx[212112121221﹣+2，=）这两个函数的所有极值之和不小于﹣x，，x）f′（又因为f（≥﹣2=﹣，++﹣﹣所以b3﹣63a﹣542a≤0，3因为a＞，所以2﹣36）+9（a﹣6）≤（所以2aa0，第24页（共31页）2+12a+9）≤0﹣6）（2a，所以（a2+12a+9＞＞3时2a0，由于a所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；2 =AP?ABAC．（2）【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，=．∴2 =AP?AB．∴AC第25页（共31页）本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的【点评】判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．]：矩阵与变换[选修4-2．B=，22．已知矩阵A=；1）求AB（，求C=1（2）若曲线C在矩阵：AB对应的变换作用下得到另一曲线21的方程．C 2）按矩阵乘法规律计算；1【分析】（的方程化简即可．C2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线（1，【解答】=）AB=解：（1的任意一点，）为曲线Cx，y（2）设点P（1，）x，yP在矩阵AB的变换下得到点P′（点00，=x=2yx=，y，即则00，∴y=x=y，022，y=8，即∴x+0022．yC∴曲线的方程为x=8+2本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．【点评】]：坐标系与参数方程[选修4-4，为参数）的参数方程为（tlxOy23．在平面直角坐标系中，已知直线3126第页（共页）的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C曲线C上的动点，求点P到的距离的最小值．直线l【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，=d=到直线l的距离，∴P．=∴当取得最小值s=时，d【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］2222=16，证明ac+bdc≤+d，，b，cd为实数，且a8+b．=4，24．已知a2222=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，c=4，d=4sinβ+d．代入ac+【分析】abd+b2）bdac+化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（2222），即可得出．+）（c≤（ad+b2222=16d，c，【解答】证明：∵ab++=4令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．22222）=4×d16=64+b，当且仅当）（c+bd另解：由柯西不等式可得：（ac+）a≤（时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣ABCD中，AA⊥平面ABCD，且AB=AD=2，11111第27页（共31页）=，∠BAD=120°．AA1（1）求异面直线AB与AC所成角的余弦值；11（2）求二面角B﹣AD﹣A的正弦值．1【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA⊥平面ABCD，可得AA⊥Ax，11AA⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA所在直线为x、y、z轴建立空11的坐标，进一步求出，，C CB，，D，A间直角坐标系．结合已知求出A，11的坐标．，，（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线AB与AC所成角的余弦11值；（2）求出平面BAD与平面AAD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值11求得二面角B﹣AD﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．1【解答】解：在平面ABCD 内，过A作Ax⊥AD，∵AA⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，1∴AA⊥Ax，AA⊥AD，11以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标1系．=，∠AABAD=120°，∵AB=AD=2，1（，B，0）0），0，∴A（0，，）C，（1D（0，2，0），（），，C．）（A0，011），=（，=），（．第28页（共31页）==＜＞（1）∵cos．所成角的余弦值为AC；AB与∴异面直线11的一个法向量为，）设平面BAD（21；，得，取由，得x=的一个法向量为AD．取平面A1=＞．∴cos=＜弦值为，则二面角B﹣AD﹣A的余﹣A的正弦值为D∴二面角B﹣A11．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．*，n≥2），这些球除颜色外n个黑球（m，n∈N26．已知一个口袋有m个白球，全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的）＜X．数学期望，证明E（【分析】（1）法一：设事件A表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A）2i第29页（共31页）=P（A|A）P（A）+P（A|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是2112黑球的概率．个位置，故总排法有n种，除法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．=，k=n，n+1，n+的所有可能取值为，…2，，P（）x=，…（2）X，＜．X），=由此能证明，从而E（X）E=（（）n+m【解答】解：（1）解法一：设事件A表示编号为i的抽屉里放的是黑球，i则p=p（A）=P（A|A）P（A）+P（A|）P（）21221=．==解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，=．p=∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率，的所有可能取值为，，2证明：（）∵X…，k=n，n+1P（x=），=n+2，…，n+m，=）（=）E∴（X==＜）?（=第30页（共31页），==．X∴E（）＜数学期望等基础本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、【点评】知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．页）31页（共31第。