第六讲：有限与无限
论述有限与无限的区别与联系
论述有限与无限的区别与联系有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。
反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。
物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。
物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。
有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。
有限集和无限集的辨证关系数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。
整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。
运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。
数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。
有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。
即一切事物都是具体的事物。
数学中的有限就反映了这种有限性。
有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。
并在一定条件下相互转化的。
数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。
例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。
但每个整数又都是有限的。
我们可以得到任意的整数。
任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。
因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。
有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。
例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。
比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。
再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。
但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。
有限与无限
一、微分三角形（以直代曲：三线同一）
如右图，MQP即微分三角 形（特征三角形），即以 dx,dy为直角边，dL为斜边的 三角形。
MQ x dx, QP dy,
弦MN 切线长MP(观点） dL(弧微分） = MN .
这里的无穷体现在两个方面： 第一，曲线长是折线长的无穷和（极限）； 第二， dx,dy应理解成无穷小量. 意义即微元素法.例： 1) L = a dL=a
70 4002 5600(牛) 571.4(千克), F 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力), 641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、非周期函数=周期为无穷大的函数
任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 都可表示为下面的傅里 叶级数:
二、希腊人的“无穷观”
哲学家文献上找到最早提出无限的古希腊是阿那克西曼德 （B.C611-B.C547), Thales的学生。 他写了一篇最早的科学论文，他得出结论说，原始物质是 他称的阿派龙（apeiron）或无限。 阿拉克西曼德认为 ‚无限 没有开始,但却是其他事物的开始或本原, 它是不朽的,不可摧 毁的,所以是神圣的。‛这个思想后来被原子论者发展了。 阿拉克西曼德是第一位思考人类起源的哲学家。 他还首次绘制了世界地图而享有荣誉。 他第一个认为地球表面是曲面（圆柱）的， 赫拉克利特（Heraclitus，约公元前530年—前470年）， 名言：人不能两次踏入同一河流。 理念：世界的本源是火，万物皆变，按一定的规律（逻各 斯类似中国的‚道‛）永恒的变化着。
芝诺悖论（3，4）
悖论3的目的是否定时空的不可分性：如果时间和空间是由不 可分的小瞬刻组成的，那么，飞箭在运动的任一小瞬刻必有一 个确定的位置，因此是静止的，从而证明运动是不可能的。
中学数学思想方法之有限与无限思想
从感性到理性、从具体到抽象————谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量，有限与无限的对立统一的关系.借助有限与无限思想，人们可以从有限认识无限，从不变认识变，从量变认识质变，从近似认识精确.在初等微积分的学习中应抓住基本概念，突出内在的联系，贯穿基本思想方法.具体说来，以数列极限为基础，突出微分、积分及其内在联系.极限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养，贯穿了微积分的全部内容.从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看，已开始摆脱具体事物的形式，进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段，开始向更高级的思维——辩证思维形式发展. 其本质问题是对无限的认识，让学生从感性材料中去感受和体验。
提炼和概括，逐步上升到理性认识，感受抽象思维的过程和辩证思维的体现.《新课标》倡导数学课程“强调本质，注意适度形式化”.高中数学课程的讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质，由于极限概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语，这些词语都比较抽象.因此在极限的概念教学过程中，我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生更好地理解极限.内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁，尤其在证明不等式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上，可以使解法简化，并能使问题的研究更为深入全面.以下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时，更多的是对不等式的研究，从某种意义上来说，不等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决，或运用已有的基本不等式来证明，往往需要恒等变形，而运用微积分的知识和方法，如函数单调性、极值判定法，可以简化不等式的证明过程，降低技巧性. 例题已知函数1()ln1xf x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值．分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式，复合函数的求导法则，考查导数的几何意义，导数的正负和函数单调性的关系.也考查了转化与化归及分类讨论的思想方法.本题背景是将函数1()ln1xf x x+=-在0x =附近用多项式近似的问题，题目中涉及到线性近似、3次近似和最佳下界估计的问题.题目叙述简洁，设问由易到难、层次清晰、阶梯合理，为不同水平的考生提供了展示的平台.第（Ⅰ）问通过学生熟悉的切线方程问题考查导数的运算和导数的几何意义，考查运算求解能力. 在这一问中在先求导函数时有两类办法，一是利用对数运算将已知函数转为两个函数的差再来求导函数，二是利用复合函数的求导公式求导函数第（Ⅱ）问中的函数不等式问题考查导数正负与函数单调性的关系，考查转化与化归的思想方法和分析问题解决问题的能力.（Ⅱ）问在讨论构造的新函数的单调性上是有三类办法，一是通过整理导数式说明，二是利用二阶导数来说明，三是利用均值定理来说明第（Ⅲ）问中的最大值问题在第（Ⅱ）问的基础上进一步考查转化与化归的思想方法，考查推理论证的能力.（Ⅲ）问在新构造函数的导函数的讨论上有两类办法，一是利用第二问的结论分成两类和，二是利用最高次项的系数分成和：k>2;或k>0解：（Ⅰ）因为()ln(1)ln(1)f x x x =+--，所以11()11f x x x'=++-，(0)2f '=． 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =．（Ⅱ）解法1：令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x''=-+=-． 因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增． 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法2：令3()()2()3x g x f x x =-+，则2222()()2(1)=2(1)41g x f x x x x''=-++--- 而2222(1)41x x+-≥-，01x <<. 则()0g x '>，01x <<. 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈.即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法3：令3()()2()3x g x f x x =-+，则2222()()2(1)=2(1)1g x f x x x x''=-+-+-. 因为222241()4=410(1)(1)xg x x x x x ⎡⎤''=-->⎢⎥--⎣⎦，01x <<. 所以()g x '在区间()0,1上单调递增，(0)0g '=.所以()(0)0g x g ''>=，01x <<.所以()g x 在区间()0,1上单调递增. 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈.即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法4：设3()2()3x g x x =+.因为22()01f x x '=>-，2()2(1)0g x x '=+>，(0,1)x ∈. 所以函数()f x 与函数()g x 在(0,1)上单调递增.又422()()01x f x g x x ''-=>-， 则()f x '>()g x '，(0,1)x ∈.所以()f x 比()g x 在(0,1)上增长得快. 又因为(0)(0)0f g ==，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2k ≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立．当2k >时，令3()()()3x h x f x k x =-+，则422(2)()()(1)1kx k h x f x k x x --''=-+=-．所以当0x <()0h x '<，因此()h x 在区间(0,上单调递减．当0x <()(0)0h x h <=，即3()()3x f x k x <+．所以当2k >时，3()()3x f x k x >+ 并非对(0,1)x ∈恒成立．综上可知，k 的最大值为2．小结：本题学生常见的错误有:(1)表述不准确，如(0,1)x ∈时，()(0)0g x g >=. (2)逻辑推断错误，如：因为(0)0h =，所以()0h x >，(0,1)x ∈等价于()0h x '>，(0,1)x ∈；()()f x g x >，(0,1)x ∈等价于min ()f x >()g x ，(0,1)x ∈； ()()f x g x >，(0,1)x ∈等价于min max ()()f x g x >.(3)论证不充分，如因为()0h x >，(0,1)x ∈且(0)0h =，所以(0)0h '≥. 通过本题的学习，提醒教学中需注意的问题：（1） 强调对数学本质的认识.要把微积分作为一种重要的思想、方法来学习.如经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，加强对导数几何意义的认识和理解. （2） 强调导数在研究事物变化快慢中的一般性和有效性这是对导数本质认识的一个具体体现，也是优于初等方法的体现.以往的教学中更多的要求学生会按步骤求极大（小）值，最大（小）值，而忽视了导数作为一种通法的意义和作用.为了使学生真切地感受导数在研究函数性质中的意义和作用，尤其是作为通法的一般性和有效性，以及导数在处理和解决客观世界变化率问题，最优问题的广泛应用，可以通过较丰富的实际问题和优化问题举例，感受和体验导数在研究事物的变化率、变化快慢以及研究函数基本性质和优化问题的广泛应用.(3)强调几何直观在导数学习中的作用在教学中要反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用.一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用. 练习题1.证明以下不等式：求证：e 1xx >+和2e 12xx x >++.(0)x > 设()e 1x f x x =--，则()e 10xf x x >'=->，0，所以函数()f x 递增，又(0)0f =，所以()e 10xf x x =-->，即e 1x x >+.设2()e 12xx y x x =---，则()e 1xy x x '=--，由上面已证得的结果，可得()0y x '>.所以函数()y x 递增，又(0)0y =，则()0y x >，即2e 12xx x >++. 2.已知函数()cos sin f x x x x =-，π[0,]2x ∈．（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x <<对π(0,)2x ∈恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 解：（Ⅰ）由()cos sin f x x x x =-得 ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-．因为在区间π(0,)2上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0f x f =≤．（Ⅱ）当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”．令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立．当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0g x g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈使得00()cos 0g x x c '=-=．()g x 与()g x '在区间π(0,)2上的情况如下：因为()g x 00“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g c =-≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π(0,)2x ∈恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．3.设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >.（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．解：（Ⅰ）由2()ln 2(0)x f x k x k >=-得2()k x kf x x x x-'=-=．由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=． 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而e k ≥．当e k =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间(1,上的唯一零点．当e k >时，()f x 在区间(0,上单调递减，且1(1)02f =>，e02kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．4.设L 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解：（Ⅰ）设ln ()x f x x =，则21ln ()xf x x -'=． 所以(1)1f '=．所以L 的方程为1y x =-．（Ⅱ）令()1()g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()0g x >（0x ∀>，1x ≠）． ()g x 满足(1)0g =，且221ln ()1()x xg x f x x -+''=-=． 当0<<1x 时，21<0x -，ln <0x ，所以()<0g x '，故()g x 单调递减； 当>1x 时，21>0x -，ln >0x ，所以()>0g x '，故()g x 单调递增． 所以，()(1)0g x g >=（0x ∀>，1x ≠）． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．。
有限与无限的游戏告诉我们的三件事辩论会职场三分钟演讲分享稿
有限与无限的游戏告诉我们的三件事：
1.人类有大量追求短期输赢的博弈，这是有限游戏，也有一些追求长期、良好地延续下去的博弈，这是无限游戏。
有限游戏，顾名思义，很多方面都存在限制，比如人员、时间空间范围、规则等，大家都在指定的范围内pk，以取胜为目的。
我们有时候说“玩大了”，意思就是有一方擅自突破了某些边界，导致另外一方也加码投入，最终收不了场。
比如辩论赛，就是该好好地用逻辑、事实来进行阐述和辩驳，而不能用人身攻击的语言，不然到最后，好好的辩论游戏可能就会发展成群殴游戏。
无限游戏，唯一的限制就是死亡，除此之外，只要能有助于游戏延续下去的方式方法，理论上都可以采用。
2.不同人对游戏究竟是有限还是无限的认识是不同的，因此行为方式也不同。
有的人会把一次次的社会竞争看成是无限游戏，觉得每次都必须胜出，这样才能够不断为自己积累优势，最终获得权力、地位，所谓一步先，步步先。
有的人只把人生作为无限游戏，会觉得一次次的输赢并不重要，重要的是能不能良好地延续和外界的互动关系。
他们认为各种竞争只是人生这个无限游戏中的一个个体验，并不能真正决定我们的生命价值。
3.重视竞争的人能够让能力发展得更强大，重视人生心态的人能够更潇洒自在，谁好谁坏无法轻易论断。
但是，拥有更宏大格局的人，能看到更多可能性，他们要么无意竞争，要么出手就是降维打击式的竞争。
封面标题：
文案标题：。
(修改2014)第六讲：有限与无限
一、创设情境：有无限个房间的旅馆客满了 还要再安排新来的客人住下
1 号 房 间 的 客 人 搬 到 2 号 房 间，2 号 房 间的客人
“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人
1 2 3 4 ┅ k ┅ ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ 2 3 4
空出了1号房间
14
5 ┅ k+1 ┅
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
注意“有限个”的条件）
无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量
（甚至可以是无穷大量）。
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2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往
往很重要。
1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命
题对无限个自然数均成立。
2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。
如：
lim an 自然数 ； N ，都
4. [思考题] 该旅馆客满后又来了无
穷个旅游团，每个团中都有无穷个客
人，还能否安排？
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思考题解答
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答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进 入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有
房间住。
一团： 1.1 → 1.2 ↙ 二团： 2.1 ↙ ↙ 2.2 ↙ 1.3 ↙ 2.3 2.4 …… 1.4 ……
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在“无限”的情况下，加法结合律不
再成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 1 [(1) 1] [(1) 1] [( 1) 1]
0 1
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有限半群若满足消去律则一定是群。
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。
有限与无限思想
谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量，有限与无限的对立统一的关系.借助有限与无限思想，人们可以从有限认识无限，从不变认识变，从量变认识质变，从近似认识精确.在初等微积分的学习中应抓住基本概念，突出内在的联系，贯穿基本思想方法.具体说来，以数列极限为基础，突出微分、积分及其内在联系.极限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养，贯穿了微积分的全部内容.从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看，已开始摆脱具体事物的形式，进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段，开始向更高级的思维——辩证思维形式发展. 其本质问题是对无限的认识，让学生从感性材料中去感受和体验。
提炼和概括，逐步上升到理性认识，感受抽象思维的过程和辩证思维的体现.《新课标》倡导数学课程“强调本质，注意适度形式化”.高中数学课程的讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质，由于极限概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语，这些词语都比较抽象.因此在极限的概念教学过程中，我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生更好地理解极限.内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁，尤其在证明不等式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上，可以使解法简化，并能使问题的研究更为深入全面.以下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时，更多的是对不等式的研究，从某种意义上来说，不等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决，或运用已有的基本不等式来证明，往往需要恒等变形，而运用微积分的知识和方法，如函数单调性、极值判定法，可以简化不等式的证明过程，降低技巧性.例题已知函数1()ln1xf x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值．分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式，复合函数的求导法则，考查导数的几何意义，导数的正负和函数单调性的关系.也考查了转化与化归及分类讨论的思想方法.本题背景是将函数1()ln1xf x x+=-在0x =附近用多项式近似的问题，题目中涉及到线性近似、3次近似和最佳下界估计的问题.题目叙述简洁，设问由易到难、层次清晰、阶梯合理，为不同水平的考生提供了展示的平台.第（Ⅰ）问通过学生熟悉的切线方程问题考查导数的运算和导数的几何意义，考查运算求解能力. 在这一问中在先求导函数时有两类办法，一是利用对数运算将已知函数转为两个函数的差再来求导函数，二是利用复合函数的求导公式求导函数第（Ⅱ）问中的函数不等式问题考查导数正负与函数单调性的关系，考查转化与化归的思想方法和分析问题解决问题的能力.（Ⅱ）问在讨论构造的新函数的单调性上是有三类办法，一是通过整理导数式说明，二是利用二阶导数来说明，三是利用均值定理来说明第（Ⅲ）问中的最大值问题在第（Ⅱ）问的基础上进一步考查转化与化归的思想方法，考查推理论证的能力.（Ⅲ）问在新构造函数的导函数的讨论上有两类办法，一是利用第二问的结论分成两类和，二是利用最高次项的系数分成和：k>2;或k>0解：（Ⅰ）因为()ln(1)ln(1)f x x x =+--，所以11()11f x x x'=++-，(0)2f '=． 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =．（Ⅱ）解法1：令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x''=-+=-． 因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增． 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法2：令3()()2()3x g x f x x =-+，则2222()()2(1)=2(1)41g x f x x x x''=-++--- 而2222(1)41x x+-≥-，01x <<. 则()0g x '>，01x <<. 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈.即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法3：令3()()2()3x g x f x x =-+，则2222()()2(1)=2(1)1g x f x x x x''=-+-+-. 因为222241()4=410(1)(1)xg x x x x x ⎡⎤''=-->⎢⎥--⎣⎦，01x <<. 所以()g x '在区间()0,1上单调递增，(0)0g '=.所以()(0)0g x g ''>=，01x <<.所以()g x 在区间()0,1上单调递增. 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈.即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法4：设3()2()3x g x x =+.因为22()01f x x '=>-，2()2(1)0g x x '=+>，(0,1)x ∈. 所以函数()f x 与函数()g x 在(0,1)上单调递增.又422()()01x f x g x x ''-=>-， 则()f x '>()g x '，(0,1)x ∈.所以()f x 比()g x 在(0,1)上增长得快. 又因为(0)(0)0f g ==，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2k ≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立．当2k >时，令3()()()3x h x f x k x =-+，则422(2)()()(1)1kx k h x f x k x x --''=-+=-．所以当0x <()0h x '<，因此()h x 在区间(0,上单调递减．当0x <()(0)0h x h <=，即3()()3x f x k x <+．所以当2k >时，3()()3x f x k x >+ 并非对(0,1)x ∈恒成立．综上可知，k 的最大值为2．小结：本题学生常见的错误有:(1)表述不准确，如(0,1)x ∈时，()(0)0g x g >=. (2)逻辑推断错误，如：因为(0)0h =，所以()0h x >，(0,1)x ∈等价于()0h x '>，(0,1)x ∈；()()f x g x >，(0,1)x ∈等价于min ()f x >()g x ，(0,1)x ∈； ()()f x g x >，(0,1)x ∈等价于min max ()()f x g x >.(3)论证不充分，如因为()0h x >，(0,1)x ∈且(0)0h =，所以(0)0h '≥. 通过本题的学习，提醒教学中需注意的问题：（1） 强调对数学本质的认识.要把微积分作为一种重要的思想、方法来学习.如经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，加强对导数几何意义的认识和理解. （2） 强调导数在研究事物变化快慢中的一般性和有效性这是对导数本质认识的一个具体体现，也是优于初等方法的体现.以往的教学中更多的要求学生会按步骤求极大（小）值，最大（小）值，而忽视了导数作为一种通法的意义和作用.为了使学生真切地感受导数在研究函数性质中的意义和作用，尤其是作为通法的一般性和有效性，以及导数在处理和解决客观世界变化率问题，最优问题的广泛应用，可以通过较丰富的实际问题和优化问题举例，感受和体验导数在研究事物的变化率、变化快慢以及研究函数基本性质和优化问题的广泛应用.(3)强调几何直观在导数学习中的作用在教学中要反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用.一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用. 练习题1.证明以下不等式：求证：e 1xx >+和2e 12xx x >++.(0)x > 设()e 1x f x x =--，则()e 10xf x x >'=->，0，所以函数()f x 递增，又(0)0f =，所以()e 10xf x x =-->，即e 1x x >+.设2()e 12xx y x x =---，则()e 1xy x x '=--，由上面已证得的结果，可得()0y x '>.所以函数()y x 递增，又(0)0y =，则()0y x >，即2e 12xx x >++. 2.已知函数()cos sin f x x x x =-，π[0,]2x ∈．（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x <<对π(0,)2x ∈恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 解：（Ⅰ）由()cos sin f x x x x =-得 ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-．因为在区间π(0,)2上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0f x f =≤．（Ⅱ）当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”．令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立．当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0g x g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈使得00()cos 0g x x c '=-=．()g x 与()g x '在区间π(0,)2上的情况如下：因为()g x 00“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g c =-≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π(0,)2x ∈恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．3.设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >.（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．解：（Ⅰ）由2()ln 2(0)x f x k x k >=-得2()k x kf x x x x-'=-=．由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=． 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而e k ≥．当e k =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间(1,上的唯一零点．当e k >时，()f x 在区间(0,上单调递减，且1(1)02f =>，e02kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．4.设L 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解：（Ⅰ）设ln ()x f x x =，则21ln ()xf x x -'=． 所以(1)1f '=．所以L 的方程为1y x =-．（Ⅱ）令()1()g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()0g x >（0x ∀>，1x ≠）． ()g x 满足(1)0g =，且221ln ()1()x xg x f x x -+''=-=． 当0<<1x 时，21<0x -，ln <0x ，所以()<0g x '，故()g x 单调递减； 当>1x 时，21>0x -，ln >0x ，所以()>0g x '，故()g x 单调递增． 所以，()(1)0g x g >=（0x ∀>，1x ≠）． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9， ,n, ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这样迫 ”1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～568年之切需要澄清间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子再如著名的康托（Cantor）集的构造6即我们所谓的三分点集构造：一段长度为一米的直线段，做以下处理第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193；第n 次 我们挖去n 12个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成而这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似0.5，0.05，，0.1，0.01 这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归|1时，→lim n 7.2 有限转化为无限和二项式定理，那我们能走多远呢？”7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………for a better understanding of the finite and the infinite relationship Keywords:finite, infinite11。
有限与无限的问题 65页PPT文档PPT文档67页
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 —
有限与无限
2）锉刀锉一个光滑零件：
每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
3）马鞍面
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3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的
面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。 规则图形的面积→不规则图形的面积？ 法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面 积越准
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法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规
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从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学 家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集
是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如，
可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，
2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个
大袋子里，那么，这一过程将永无终止。 因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不 可能的，它只能存在于人们的思维里。
(1845～1918) 德国数学家，集合论的创始 者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联 列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。 1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入 柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、 K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。 1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在 库默尔指导下以数论方面的论文获博士学
则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形
的面积：划分，求和，矩形面积之和
于曲边梯形面积；
f ( )x 近似等
i i
i
越小，就越精确；再取极
限
，就得到曲边梯形的面积。 0
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四、 潜无限与实无限
1．潜无限与实无限简史
潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程， 认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一 种方式，不是一个实体。
有限与无限的思想
有限与无限的思想作者：童其林来源：《广东教育（高中）》2021年第06期有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往有法可循，并可以积累一定的经验.而对无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究转化为对有限的研究，就成了解决无限问题的必由之路.反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限的问题转化成无限来解决，这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想.数学中我们常碰到一类无穷的问题，如果能找到无穷问题的一般规律，便不难求解.比如，下面的例1就是无限化有限解决问题的：例1.（龙岩市2020年高中毕业班3月教学质量检查，文科12题）已知数列{an}满足an+1=2+，则a1+a2020的最大值是（）A.4-2B.8-C.4+2D.8+解析：依题意an+1=2+可化为（an+1-2）2+（an-2）2=4，令bn=（an-2）2，则bn+1+bn=4，∴bn+2+bn+1=4，于是bn+2=bn，∴b1=（a1-2）2，b2020=b2=（a2-2）2=（a2020-2）2∴b1+b2020=b1+b2=4，即（a1-2）2+（a2020-2）2=4.法一：a1=2+2cosa2020=2+2sin？圯a1+a2020=4+2sin（-）≤4+2（當且仅当=2k？仔+（k∈N）时等号成立）.法二：∵≤，∴a1+a2020=（a1-2）+（a2020-2）+4≤2×+4=4+2（当且仅当a1=a2020=2+时等号成立）.法三：（a1-2）2+（a2020-2）2=4，即（a1，a2020）在圆（x-2）2+（y-2）2=4上，令z=x+y，即x+y-z=0，∴d=≤2，∴|z-4|≤2，∴4-2≤z≤4+2，∴zmax=4+2.点评：本来是一个无穷数列的问题，通过周期转化为（a1-2）2+（a2020-2）2=4，后面有限的处理便是常规问题了，这是无限化有限的典型例子.抓住变量的变化趋势或临界状态或边界点，可以把有限的问题转化为对无限的问题来研究，从而比较快速、准确地解题.比如，下面的例2就是有限化无限解决问题的：例2.（人教A版必修四课本144页B组第5题改编）函数f（x）=sin2022x+cos2022x（x∈R）的值域是_________________.解析：设f（）=sinx+cosx，x∈{n|n=2k，k∈N+}利用三角变换，估计f（）在x=2，4，6时的取值情况.当x=2时，容易得到f（）=sin2+cos2=1;当x=4时，f（）=sin4+cos4可以变形成什么？f（）=sin4+cos4=（sin2+cos2）2-2sin2cos2=1-2sin2cos2.将2sin2cos2化单一三角函数，因为sincos=，所以1-2sin2cos2=1-.又因为sin22=，所以1-=.可得到f（）=.此时≤f（）≤1;当x=6时，f（）=sin6+cos6=（sin2+cos2）（sin4+cos4）-（sin2cos4+sin4cos2）=-sin2cos2=+=+cos4，得到≤f（）≤1.因为当x=2即k=1时，f（）=1可以写成（）0≤f（）≤1;当x=4即k=2时，（）1≤f（）≤1，当x=6即k=3时，（）2≤f（）≤1所以当x=8即k=4时，（）3≤f（）≤1.因此，当x=2k，k∈N时，（）k-1≤f（）≤1.令x=2022，此时k=1011，k-1=1010，便可得f（）的值域为[，1].在高考中，一些问题是需要通过有限与无限思想解决问题的，而一些问题可以借助有限与无限思想简化运算，快速求解的，还有就是帮助我们准确画图，从而得到正确答案的.无论哪种情形，学会用有限与无限思想解决问题都是数学能力、数学素养高的体现.下面我们再通过例题谈谈他在数学各分支中的应用.一、有限与无限的思想在函数中的应用例3.（2020届福州市高中毕业班第三次质量检查，理科5）函数f（x）=ex-x2-2x的圖像大致为（）解法一：因为f′（x）=ex-2x-2，f″（x）=ex-2，令f″（x）=ex-2=0，得x=ln2，当x<ln2时f″（x）<0，f′（x）为减函数;当x>ln2时，f″（x）>0，f′（x）为增函数，而f′（ln2）=2-2ln2-2=-2ln2<0，所以原函数存在两个极值点，故淘汰选项C和D.将x=1代入原函数，求得f（1）=e-1-2<0，淘汰选项A，故选B.解法二：f（1）=e-2-1<0，淘汰选项A，D;当x→-∞时，f（x）=ex-x（x+2）→-∞，淘汰选项C.故选B.例4.（2018年长沙一中月考题）若f（x）=ln（kex-x+1）的值域为R，则k的取值范围是（）A.（-∞，e-1]B.（-∞，e-2]C.[e，+∞）D.（-2，+∞）解析：令u（x）=kex-x+1，（1）当k=0时，u（x）=-x+1为R上的减函数，u（x）的值域包含（0，+∞）;（2）当k>0时，u′（x）=kex-1，易知u（x）在（ln，+∞）单调递增，在（-∞，ln）上单调递减.此时，u（x）min=u（ln）=2-ln，所以2-ln≤0，解得0<k≤e-2;（3）当k<0时，u′（x）=kex-1<0，u（x）为R上的减函数，又x→+∞时，u（x）→-∞，x→-∞时，u（x）→+∞，故u（x）必存在唯一零点x0，使得u（x0）=0，即u（x）的值域包含（0，+∞）.综上，可得k≤e-2，即k∈（-∞，e-2]，选B.点评：f（x）=ln（kex-x+1）的值域为R，则u=kex-x+1的值域要取遍（0，+∞）的所有值.例5.（2019年高考全国Ⅱ卷，理科20）已知函数f（x）=lnx-.（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点;（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线.解析：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f（x）=lnx-？圯f′（x）=，因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），所以f′（x）>0，因此函数f（x）在（0，1）和（1，+∞）上是单调增函数;当x∈（0，1）时，x→0，y→-∞，而f（）=ln-=>0，显然当x∈（0，1），函数f（x）有零点，而函数f（x）在x∈（0，1）上单调递增，故当x∈（0，1）时，函数f（x）有唯一的零点;当x∈（1，+∞）时，f（e）=lne-=0.因为f（e）·f（e2）综上所述，函数f（x）的定义域（0，1）∪（1，+∞）内有2个零点.（2）因为x0是f（x）的一个零点，所以f（x0）=lnx0-=0？圯lnx0=y=lnx？圯y′=，所以曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的斜率k=，故曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l 的方程为：y-lnx0=（x-x0）而lnx0=，所以l的方程为y=+，它在纵轴的截距为.因为当x=2即k=1时，f（）=1可以写成（）0≤f（）≤1;当x=4即k=2时，（）1≤f（）≤1，当x=6即k=3时，（）2≤f（）≤1所以当x=8即k=4时，（）3≤f（）≤1.因此，当x=2k，k∈N时，（）k-1≤f（）≤1.令x=2022，此时k=1011，k-1=1010，便可得f（）的值域为[，1].在高考中，一些问题是需要通过有限与无限思想解决问题的，而一些问题可以借助有限与无限思想简化运算，快速求解的，还有就是帮助我们准确画图，从而得到正确答案的.无论哪种情形，学会用有限与无限思想解决问题都是数学能力、数学素养高的体现.下面我们再通过例题谈谈他在数学各分支中的应用.一、有限与无限的思想在函数中的应用例3.（2020届福州市高中毕业班第三次质量检查，理科5）函数f（x）=ex-x2-2x的图像大致为（）解法一：因为f′（x）=ex-2x-2，f″（x）=ex-2，令f″（x）=ex-2=0，得x=ln2，当x<ln2时f″（x）<0，f′（x）为减函数;当x>ln2时，f″（x）>0，f′（x）为增函数，而f′（ln2）=2-2ln2-2=-2ln2<0，所以原函数存在两个极值点，故淘汰选项C和D.将x=1代入原函数，求得f（1）=e-1-2<0，淘汰选项A，故选B.解法二：f（1）=e-2-1<0，淘汰选项A，D;当x→-∞时，f（x）=ex-x（x+2）→-∞，淘汰选项C.故选B.例4.（2018年长沙一中月考题）若f（x）=ln（kex-x+1）的值域为R，则k的取值范围是（）A.（-∞，e-1]B.（-∞，e-2]C.[e，+∞）D.（-2，+∞）解析：令u（x）=kex-x+1，（1）当k=0时，u（x）=-x+1为R上的减函数，u（x）的值域包含（0，+∞）;（2）当k>0时，u′（x）=kex-1，易知u（x）在（ln，+∞）单调递增，在（-∞，ln）上单调递减.此时，u（x）min=u（ln）=2-ln，所以2-ln≤0，解得0<k≤e-2;（3）当k<0时，u′（x）=kex-1<0，u（x）为R上的减函数，又x→+∞时，u（x）→-∞，x→-∞时，u（x）→+∞，故u（x）必存在唯一零点x0，使得u（x0）=0，即u（x）的值域包含（0，+∞）.综上，可得k≤e-2，即k∈（-∞，e-2]，选B.点评：f（x）=ln（kex-x+1）的值域为R，则u=kex-x+1的值域要取遍（0，+∞）的所有值.例5.（2019年高考全国Ⅱ卷，理科20）已知函数f（x）=lnx-.（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点;（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线.解析：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f（x）=lnx-？圯f′（x）=，因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），所以f′（x）>0，因此函数f（x）在（0，1）和（1，+∞）上是单调增函数;当x∈（0，1）时，x→0，y→-∞，而f（）=ln-=>0，显然当x∈（0，1），函数f（x）有零点，而函数f（x）在x∈（0，1）上单调递增，故当x∈（0，1）时，函數f（x）有唯一的零点;当x∈（1，+∞）时，f（e）=lne-=0.因为f（e）·f（e2）综上所述，函数f（x）的定义域（0，1）∪（1，+∞）内有2个零点.（2）因为x0是f（x）的一个零点，所以f（x0）=lnx0-=0？圯lnx0=y=lnx？圯y′=，所以曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的斜率k=，故曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l 的方程为：y-lnx0=（x-x0）而lnx0=，所以l的方程为y=+，它在纵轴的截距为.因为当x=2即k=1时，f（）=1可以写成（）0≤f（）≤1;当x=4即k=2时，（）1≤f（）≤1，当x=6即k=3时，（）2≤f（）≤1所以当x=8即k=4时，（）3≤f（）≤1.因此，当x=2k，k∈N时，（）k-1≤f（）≤1.令x=2022，此时k=1011，k-1=1010，便可得f（）的值域为[，1].在高考中，一些问题是需要通过有限与无限思想解决问题的，而一些问题可以借助有限与无限思想简化运算，快速求解的，还有就是帮助我们准确画图，从而得到正确答案的.无论哪种情形，学会用有限与无限思想解决问题都是数学能力、数学素养高的体现.下面我们再通过例题谈谈他在数学各分支中的应用.一、有限与无限的思想在函数中的应用例3.（2020届福州市高中毕业班第三次质量检查，理科5）函数f（x）=ex-x2-2x的图像大致为（）解法一：因为f′（x）=ex-2x-2，f″（x）=ex-2，令f″（x）=ex-2=0，得x=ln2，当x<ln2时f″（x）<0，f′（x）为减函数;当x>ln2时，f″（x）>0，f′（x）为增函数，而f′（ln2）=2-2ln2-2=-2ln2<0，所以原函数存在两个极值点，故淘汰选项C和D.将x=1代入原函数，求得f（1）=e-1-2<0，淘汰选项A，故选B.解法二：f（1）=e-2-1<0，淘汰选项A，D;当x→-∞时，f（x）=ex-x（x+2）→-∞，淘汰选项C.故选B.例4.（2018年长沙一中月考题）若f（x）=ln（kex-x+1）的值域为R，则k的取值范围是（）A.（-∞，e-1]B.（-∞，e-2]C.[e，+∞）D.（-2，+∞）解析：令u（x）=kex-x+1，（1）當k=0时，u（x）=-x+1为R上的减函数，u（x）的值域包含（0，+∞）;（2）当k>0时，u′（x）=kex-1，易知u（x）在（ln，+∞）单调递增，在（-∞，ln）上单调递减.此时，u（x）min=u（ln）=2-ln，所以2-ln≤0，解得0<k≤e-2;（3）当k<0时，u′（x）=kex-1<0，u（x）为R上的减函数，又x→+∞时，u（x）→-∞，x→-∞时，u（x）→+∞，故u（x）必存在唯一零点x0，使得u（x0）=0，即u（x）的值域包含（0，+∞）.综上，可得k≤e-2，即k∈（-∞，e-2]，选B.点评：f（x）=ln（kex-x+1）的值域为R，则u=kex-x+1的值域要取遍（0，+∞）的所有值.例5.（2019年高考全国Ⅱ卷，理科20）已知函数f（x）=lnx-.（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点;（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线.解析：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f（x）=lnx-？圯f′（x）=，因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），所以f′（x）>0，因此函数f（x）在（0，1）和（1，+∞）上是单调增函数;当x∈（0，1）时，x→0，y→-∞，而f（）=ln-=>0，显然当x∈（0，1），函数f（x）有零点，而函数f（x）在x∈（0，1）上单调递增，故当x∈（0，1）时，函数f（x）有唯一的零点;当x∈（1，+∞）时，f（e）=lne-=0.因为f（e）·f（e2）综上所述，函数f（x）的定义域（0，1）∪（1，+∞）内有2个零点.（2）因为x0是f（x）的一个零点，所以f（x0）=lnx0-=0？圯lnx0=y=lnx？圯y′=，所以曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的斜率k=，故曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l 的方程为：y-lnx0=（x-x0）而lnx0=，所以l的方程为y=+，它在纵轴的截距为.因为当x=2即k=1时，f（）=1可以写成（）0≤f（）≤1;当x=4即k=2时，（）1≤f（）≤1，当x=6即k=3时，（）2≤f（）≤1所以当x=8即k=4时，（）3≤f（）≤1.因此，当x=2k，k∈N时，（）k-1≤f（）≤1.令x=2022，此时k=1011，k-1=1010，便可得f（）的值域为[，1].在高考中，一些问题是需要通过有限与无限思想解决问题的，而一些问题可以借助有限与无限思想简化运算，快速求解的，还有就是帮助我们准确画图，从而得到正确答案的.无论哪种情形，学会用有限与无限思想解决问题都是数学能力、数学素养高的体现.下面我们再通过例题谈谈他在数学各分支中的应用.一、有限与无限的思想在函数中的应用例3.（2020届福州市高中毕业班第三次质量检查，理科5）函数f（x）=ex-x2-2x的图像大致为（）解法一：因为f′（x）=ex-2x-2，f″（x）=ex-2，令f″（x）=ex-2=0，得x=ln2，当x<ln2时f″（x）<0，f′（x）为减函数;当x>ln2时，f″（x）>0，f′（x）为增函数，而f′（ln2）=2-2ln2-2=-2ln2<0，所以原函数存在两个极值点，故淘汰选项C和D.将x=1代入原函数，求得f（1）=e-1-2<0，淘汰选项A，故选B.解法二：f（1）=e-2-1<0，淘汰选项A，D;当x→-∞时，f（x）=ex-x（x+2）→-∞，淘汰选项C.故选B.例4.（2018年长沙一中月考题）若f（x）=ln（kex-x+1）的值域为R，则k的取值范围是（）A.（-∞，e-1]B.（-∞，e-2]C.[e，+∞）D.（-2，+∞）解析：令u（x）=kex-x+1，（1）当k=0时，u（x）=-x+1为R上的减函数，u（x）的值域包含（0，+∞）;（2）当k>0时，u′（x）=kex-1，易知u（x）在（ln，+∞）单调递增，在（-∞，ln）上單调递减.此时，u（x）min=u（ln）=2-ln，所以2-ln≤0，解得0<k≤e-2;（3）当k<0时，u′（x）=kex-1<0，u（x）为R上的减函数，又x→+∞时，u（x）→-∞，x→-∞时，u（x）→+∞，故u（x）必存在唯一零点x0，使得u（x0）=0，即u（x）的值域包含（0，+∞）.综上，可得k≤e-2，即k∈（-∞，e-2]，选B.点评：f（x）=ln（kex-x+1）的值域为R，则u=kex-x+1的值域要取遍（0，+∞）的所有值.例5.（2019年高考全国Ⅱ卷，理科20）已知函数f（x）=lnx-.（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点;（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线.解析：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f（x）=lnx-？圯f′（x）=，因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），所以f′（x）>0，因此函数f（x）在（0，1）和（1，+∞）上是单调增函数;当x∈（0，1）时，x→0，y→-∞，而f（）=ln-=>0，显然当x∈（0，1），函数f（x）有零点，而函数f（x）在x∈（0，1）上单调递增，故当x∈（0，1）时，函数f（x）有唯一的零点;当x∈（1，+∞）时，f（e）=lne-=0.因为f（e）·f（e2）综上所述，函数f（x）的定义域（0，1）∪（1，+∞）内有2个零点.（2）因为x0是f（x）的一个零点，所以f（x0）=lnx0-=0？圯lnx0=y=lnx？圯y′=，所以曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的斜率k=，故曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l 的方程为：y-lnx0=（x-x0）而lnx0=，所以l的方程为y=+，它在纵轴的截距为.。
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+L ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅L 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1K 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=Q34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=b Θ,11,1111+=-=++n n n n b b b b , 当1b a =时,01112=+=b a , 当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a Λ. 下面用数学归纳法证明.当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a Λ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+-Q 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴=Q 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a .3．在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 111111111111 1.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立.当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**） 根据（*）及（**）得 12n a ≤<.由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a+=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使lim n →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k+，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++L ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==L ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-g ．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+g≥。
有限和无限
有限与无限存在着辩证关系：有限和无限是物质世界中存在的客观予盾，是物质的运动在时间和空间上表现出来的辩证联系。
因此，有限和无限的关系是辩证的，是对立的统一。
具体表现在：①无限由有限构成、无限不能脱离有限而独立存在。
物质世界就其整体说，它在时间和空间上都是无限的，但它却是由无数具体物质客体的有限时间和空间构成的。
物质的时空无限性并不是抽象的、同有限相分离的，而总是和具体物质客体的时空有限性相联结；有限并不存在于无限之外，它是构成无限的环节、部分和因素。
没有具体物质客体的时空有限性，物质世界的无限性也就不存在。
②有限包含着无限，有限体现着无限。
有限事物的发展变化、它们生生灭灭的无穷链条，本身就是物质无限性的表现形式。
任何具体的、确定的事物在时间和空间上都有自己的界限，但由于事物运动、变化和发展的本性，有限的界限必然不断被打破、被否定而趋于无限。
有限事物原有界限的打破、事物由一种质态向另一种质态的转化，就体现着物质的变化和发展的无限趋势。
这种无限的趋势并不存在于有限之外，而是包含在有限之中并通过有限形式表现出来。
因此，同有限不能脱离无限一样，无限也不能脱离有限。
③有限和无限的辩证统一，表现在任何一个物质客体中。
在一定意义上说，每一物质客体既是有限的又是无限的，是有限和无限的统一。
每一物质客体总是存在于一定的时间和空间界限之内，这是它的有限性。
但是它又有着变化和发展的无限能力，有着内部和外部无数联系以及不可穷尽的特性和结构层次，这又是它的无限性。
在这个意义上，可以说，每一有限的物质客体都是一个无限的宇宙，是有限和无限的统一绝对与相对马克思主义哲学认为，世界上一切事物既包含有相对的方面,又包含有绝对的方面,任何事物都既是绝对的，又是相对的。
宇宙中的各个具体事物和每个具体过程都是有条件的、有限的、相对的，而整个宇宙的存在和发展又是无条件的、无限的、绝对的。
绝对和相对，有限和无限等于同一个世界的部分、阶段。
绝对和相对的关系，是辩证的统一。
有限与无限
1、有限与无限有限和无限是辩证法的一对范畴，数学家希尔伯特说：“数学是研究无穷的科学。
无穷是一个永恒的谜,没有任何问题可以像无穷那样深深的触动人的情感, 很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。
”，Einstein讲：“有限与无限的问题是数学中最有趣而又最复杂的问题。
”有限是指与其他事物相对，因而受其他事物影响或规定，即有条件的东西；无限是指不与任何其他事物相对，因而也不受任何其他事物影响或规定的东西。
对于有限和无限不能仅从数量方面来理解。
有限的东西固然有其确定的数量规定，但这只是有限性的表现形式之一；它所固有的质，才决定了它是它自身而不是他物，同时也就构成对它自身和对他物的一种限制。
无限作为对有限的超越或否定，实质上是对一切质的和量的规定及其关系不断扬弃的过程。
这种绝对的认识有一个重大的障碍。
正如可认识的物质的无限性，是由纯粹有限的东西所组成一样，绝对地进行认识的思维的无限性，是由无限多的有限的人脑所组成的，而人脑是一个挨一个地和一个跟一个地从事这种无限的认识，常做实践上的和理论上的蠢事，从歪曲的、片面的、错误的前提出发，循着错误的、弯曲的、不可靠的途径行进，往往当真理碰到鼻尖上的时候还是没有得到真理（普利斯特利）。
在数学的学习和研究中，几乎在每一个部分，都有无限性的问题。
数学研究所问题中所涉及到的量，总要有有限和无限的情况。
时空的无限性和人类的有限性的矛盾，是人类认识宇宙的最大的问题，是一个不易逾越的难题。
人类生活在无限宇宙中极为细小的一个角落，若把地球看着宇宙的一粒尘埃，那么生活在地球表面的人类的活动空间有多么的渺小不言而喻。
人类生活在无限宇宙无始无终时间长河中的一个极短的瞬间，而每个个体的生存时间就更短了；人类的个体是认识宇宙的主体，除了艰难的维持生存的劳作外，可供认识宇宙的时间就寥寥无几了！人类生存的时空局限，规定了人类的有限性，限制了人类对无限宇宙的认识活动，使人类不能直接接触和观察一些必须了解研究的客观对象，造成众多人类直接观察无法达到的死角，给人类的认识带来了一些盲区和空白。
6.有限与无限思想(指导数学解题的七个数学思想)
方法虽然巧妙,但是不容易想到,而一旦想不到,后面的运算就无法进行 .为此,我们 试着换一种思路.
3 解法 2.证明对所有正整数 n ,不等式 Ti 成立,是一个与正整数 n 有关的 2 i 1 3 问题 , 可以考虑用数学归纳法 , 但是不等式的右边是一个常数 , 从 n k 延续到 2 n k 1 的证明就比较困难,因此需要改变命题. 我们用特殊的数值作一些尝试.
3 3
2n 2n 3 2n 1 Tn Sn 1 4n 1 2n 1 2 22 n 1 3 2n 1 3 3 3 2n 3 1 1 n , n 1 n 1 n 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1 1 1 1 1 ＋ 2 ＋…＋ k k 1 3 3 3 3
即当 n＝k＋1 时，③式也成立,故对一切 n N ，③式都成立. 利用③得， 1 1 1 1 1 1 1 － 1 － 1 － 1 ＋ ＋ ＋ 2 3 32 3n 3n 3 3 n 1 1 1－ n n 3 3 1 1 1 1 1 1 ＝1－ 1－ ＝1 ＝ ＋ 1 2 3 2 23 2 1－ 3 故②式成立，从而结论成立 .
【例 1】(2006 全国卷Ⅰ,理)设数列 an 的前 n 项的和 Sn a n 2n 1 . （Ⅰ）求首项 a1 与通项 an ；
n 3 2n （Ⅱ）设 Tn ， n 1, 2,3, ，证明： Ti 2 Sn i 1
4 3
1 3
2 3
【分析及解】 （Ⅰ）容易得出 a1 2, an 4n 2n n N （Ⅱ）解法 1.先求出 Tn ,再.对 Ti 裂项，从而进一步求和. 把 an 4n 2n 代入题设的 Sn 表达式中，得 Sn 1 4n 1 2n 1 2 ，
有限和无限
有限和无限关于黑格尔的有限与无限的对立统一的观点，列宁作了不少摘录，评价也很高。
可以说，黑格尔用他的抽象的思辨的议论已经在原则上对这个问题做出了正确的解决。
应该指出，单凭观察、经验，并不能断定世界是有限的还是无限的。
当然，人类知识在今天达到了空间上的某点和时间上的某点这一事实不能证明宇宙在空间上(远度或深度)和时间上的有限性，因为人类知识的界限不等于宇宙的界限，这些知识的界限是可以打破的。
黑格尔既然如此，那么，这些界限不断被打破是否就证明了宇宙的无限性呢? 也不能，因为没有发现宇宙的界限不等于宇宙没有界限。
宇宙无限这一命题，不是用经验、观察可以肯定或否定的。
宇宙无限根本不是能够观察到的东西，人们能够观察到的东西总是有限的。
这个问题的解决依靠全部人类实践和人类知识的发展，其中包括哲学的发展。
黑格尔从唯心主义角度，在理论上、原则上提供了一个正确的解决，但其中包含的唯心主义的错误的因素必须抛弃。
黑格尔首先批判了在这个问题上的形而上学观点，即否认有限和无限的对立统一的观点，他把这种观点所了解的无限性叫作恶无限性。
列宁对黑格尔所描写的“恶无限性”做了一个概括:“'恶无限性’是这样一种无限性。
它在质上和有限性对立，和有限性没有联系，和有限性隔绝，似乎有限是此岸的，而无限则是彼岸的，似乎无限站在有限之上，在有限之外……这就是说:(1)有限和无限是没有同一性的，无限中没有有限，有限中没有无限;(2)有限和无限之间有着一条不可逾越的鸿沟，从有限不可能达到无限。
黑格尔所说的恶无限性指的是康德的第一个二律背反中的反题所代表的观点和一般人的素朴观点。
这种观点认为，如果世界有边，那么在这个边之外一定还有什么东西，否则这个边就不是边。
黑格尔因此，世界的真正的边，是达不到的，也就是说，世界是无限的。
一般人所了解的无限也是如此，它是空间的无限的扩展、时间的无限的绵延、数量的无限的积累，无限是达不到的、高不可攀的。
黑格尔引证了哈莱的一首描写上帝的无限性的诗篇来说明这种无限性。
第六讲：有限与无限
28
在“无限”的情况下，加法结合律不 再成立。如
1(1)1(1)1(1) [1(1)][1(1)][1(1)] 0 1[(1)1][(1)1][(1)1] 1
29
有限半群若满足消去律则一定是群。 √
无限半群若满足消去律则一定是群。 ×
பைடு நூலகம்30
（2）有限级数一定有“和”。 √
…
p
2 2
p
3 2
…
p
4 2
…
三团
p
1 3
p
2 3
p
3 3
…
p
4 3
…
…………………………
附：证明“素数有无穷多个”（反证法）
p1 ps 1
17
[思] 该旅馆第一天恰有一个客人， 第二天这个客人离开，又来了两位客 人，以后每天都有一位 客人离开，又 来了两位客人，无穷多天之后，旅店 老板发现旅店里一个客人都没有了， 这种情况可能发生吗？
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。 ]
26
伽利略（Galileo Galilei，1564-1642） ，意大利物理学家、 天文学家和哲学家， 近代实验科学的先驱 者。
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2.） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立:
6
二、芝诺悖论
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的） 爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可 分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的； 运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“ 芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我 们从数学角度看其中的一个悖论。
有限及无限
• 第一部分 由芝诺悖论反映出的“无穷观” • 第二部分 由微积分看数学家们的“无穷观” • 第三部分 康托集合论中的“无穷观”
第一部分 芝诺悖论的反映出“无穷观”
• 一、如何理解悖论？悖论中的“无穷观” • 二、希腊人的“无穷观”
观点：古希腊人对无穷的认识已经很深刻了，从阿基米 德的工作看，他们离微积分只有“一步之遥”，但是，由于 没有先进的符号系统，由于占领者罗马人的务实（造化弄 人），这一步人类化了近２０００年！
y Q
o
x
P
解，设飞行员的重力为Q，飞行员对座椅的压力为P，则
如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F mv 2 .
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
MQ x dx,QP dy,
dL(弧微分）= MN 弦MN 切线长MP(观点）.
这里的无穷体现在两个方面： 第一，曲线长是折线长的无穷和（极限）； 第二， dx,dy应理解成无穷小量.
意义即微元素法.例：
1)L =
b
b
dL=
dx 2 dy2；
a
a
2)dy QP QN ydx
安蒂丰（ Antiphon ,B.C480-B.C411)
“根据自然，我们大家在各方面都是平等的，并且无论是蛮族人，还 是希腊人，都是如此。在这里，应当适时地注意，所有人自然需求都是 一样的。”
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求 极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+ ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则li m n nnnn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅ 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时(Ⅱ) 解法一：11-=b ,11,1111+=-=++n n n n b b b b ,当1b a =时,01112=+=b a ,当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a ,当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a .一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a .下面用数学归纳法证明. 当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+- 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴= 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a . 3．在数列||n a ，||nb 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得 2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． （Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭……111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为1a =，所以 111111 1.nn⎛⎫=-=-=- ⎪∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立. 当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a <因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增，所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**）根据（*）及（**）得 12n a ≤<. 由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a +=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使l i mn →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k=+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k +为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k +，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++ ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++== ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-． 2b =-2q =记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+≥教你如何用WORD文档(2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
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20
解答
运动员 百米成绩 另解
1 10秒
1 9 秒 1
2 9.9秒
1 9 秒 2
3 9.89秒
1 9 秒 3
4 9.889秒
1 9 秒 4
… … …
21
[思]：构造一个“部分到整体的一
一对应”：从[0，1）→[0，+∞）。
22
答：
f :[0,1) 0,
1 x 1 1 x
答 ：可能发生。
将所有客人按1，2，3，4，5， …的次序编号，先到的客人编号
在前。如果编号在前的客人先离
开，则第n号客人在第n+1天离开，
于是无穷多天之后旅店里就没有
客人了。
19
[思] 构造一个无穷多个运动员百米赛
跑，但结果没有第一名的例子。（要求表
达出每一个运动员的百米成绩，且要求接
近实际：不能跑进9秒）
一、什么是悖论
悖论：从“正确”的前提出发，经过 “正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。
4
例如：1.“甲是乙”与“甲不是乙”这两个 命题中总有一个是错的；这是正确的前提。 2.“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”这 两个命题，数一数它们的字数，这是正确的推理， 又均是对的，这就是悖论。
5
3.“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整 数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却 不能表为整数的比，这也是悖论。
1 3
p
3 3
…
p
4 3
…
…………………………
附：证明“素数有无穷多个”（反证法）
p1 ps 1
17
[思] 该旅馆第一天恰有一个客人，
第二天这个客人离开，又来了两位客
人，以后每天都有一位 客人离开，又 来了两位客人，无穷多天之后，旅店
老板发现旅店里一个客人都没有了，
这种情况可能发生吗？
18
3. 芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的“反证法”及“无限”的思想 (关于“反证法”，我们在前面已经经历过几次了，如“猜帽子的颜色”；
证明“病狗的条数”等，这是重要的数学推理证明方法）
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？
9
芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连 续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离 散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所 以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。
即
1 f ( x) 1 1 x
23
1 f ( x) 1 1 x
的图像
250 200 150 100 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
24
四、无限与有限的区别和联系
1. 区别
1） 在无限集中，“部分可以等于全体”
（这是无限的本质），而在有限的情况下，
部分总是小于全体。
25
当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。
（因为.“万物皆数”学说时，还没有“无理数”，
当然也没有“有理数”概念，只是任何数都可表 为整数的比）
6
二、芝诺悖论
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明
该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可 分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的； 运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称 “芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
]
26
伽利略（Galileo
Galilei，1564-1642）， 意大利物理学家、天 文学家和哲学家，近 代实验科学的先驱者。
27
2.） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) ， a， b ， c
我们从数学角度看其中的一个悖论。
7
1. 四个芝诺悖论之一： 阿基里斯追不上乌龟。
a1 A1
a2 A2
a3 A3
a4 A4 … An
2. 症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，每天取得的产度构成无 穷递缩等比数列{an} ½,1/4,1/8,1/16,1/32,… 其和：½+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1
三团： 3.1
3.2
3.3
3.4 ……
……………………………………
16
法II. 让每个旅游团占据某固定素数的方幂
由于素数有无穷多个，正整数又 “唯一析因”，
知，能安排住下，且还有空房， 一团 二团 三团
1 p1 1 p2
p12 p13 … p14 … 2 3 4 p2 p2 … p2 …
p
2 3
p
40004 ┅
给出了一万个、又一万个的空房间
13
4. [思考题] 该旅馆客满后又来了无
穷个旅游团，每个团中都有无穷个客
人，还能否安排？
14思考题解答Fra bibliotek15答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进 入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有
房间住。
一团： 1.1 → 1.2 ↙ 二团： 2.1 ↙ ↙ 2.2 ↙ 1.3 ↙ 2.3 2.4 …… 1.4 ……
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
1 ↓ 2 2 ↓ 4 3 ↓ 6 4 ↓ 8 ┅ ┅ ┅ k ↓ 2k ┅ ┅ ┅
空下了奇数号房间
12
3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团
中都有无穷个客人
1 ↓
10001
2 ↓
3 ↓
4 ↓
┅ ┅
k ↓
10001×k
┅ ┅
┅
20002 30003
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖
锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，
引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能
不说是巨大的贡献。
10
三、“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人
1 2 3 4 ┅ k ┅ ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ 2 3 4
空出了1号房间
11
5 ┅ k+1 ┅
第六讲 有限与无限的问题
我们有时停留在认识“有 限”，对“无限”的认识还 不足
教学内容： 第三节有限与无限的问题
教学目标： 1.了解“初等数学”中的“有限”和“高等
数学”中的“无限”。 2.进一步认识“有限”与“无限”，体会“ 有限”与“无限”的本质区别和联系 3. 能从“有限与无限”的数学角度分析有关 的问题
1 2 3 ↕ ↕ ↕ 4 ↕ 5 ↕ 6 ↕ 7 ↕ 8 ↕ 9 10 11 … n … ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n …
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。