第六讲：有限与无限

第六讲 有限与无限的问题
我们有时停留在认识“有 限”，对“无限”的认识还 不足
教学内容： 第三节有限与无限的问题
教学目标： 1.了解“初等数学”中的“有限”和“高等
数学”中的“无限”。 2.进一步认识“有限”与“无限”，体会“ 有限”与“无限”的本质区别和联系 3. 能从“有限与无限”的数学角度分析有关 的问题
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖
锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，
引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能
不说是巨大的贡献。
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三、“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人
1 2 3 4 ┅ k ┅ ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ 2 3 4
空出了1号房间
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5 ┅ k+1 ┅
一、什么是悖论
悖论：从“正确”的前提出发，经过 “正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。
4
例如：1.“甲是乙”与“甲不是乙”这两个 命题中总有一个是错的；这是正确的前提。 2.“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”这 两个命题，数一数它们的字数，这是正确的推理， 又均是对的，这就是悖论。
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3.“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整 数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却 不能表为整数的比，这也是悖论。
即
1 f ( x) 1 1 x
23
1 f ( x) 1 1 x
的图像
250 200 150 100 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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四、无限与有限的区别和联系
1. 区别
1） 在无限集中，“部分可以等于全体”
（这是无限的本质），而在有限的情况下，
部分总是小于全体。
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当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。
答 ：可能发生。
将所有客人按1，2，3，4，5， …的次序编号，先到的客人编号
在前。如果编号在前的客人先离
开，则第n号客人在第n+1天离开，
于是无穷多天之后旅店里就没有
客人了。
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[思] 构造一个无穷多个运动员百米赛
跑，但结果没有第一名的例子。（要求表
达出每一个运动员的百米成绩，且要求接
近实际：不能跑进9秒）
三团： 3.1
3.2
3.3
3.4 ……
……………………………………
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法II. 让每个旅游团占据某固定素数的方幂
由于素数有无穷多个，正整数又 “唯一析因”，
知，能安排住下，且还有空房， 一团 二团 三团
1 p1 1 p2
p12 p13 … p14 … 2 3 4 p2 p2 … p2 …
p
2 3
p
]
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伽利略（Galileo
Galilei，1564-1642）， 意大利物理学家、天 文学家和哲学家，近 代实验科学的先驱者。
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2.） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) ， a， b ， c
我们从数学角度看其中的一个悖论。
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1. 四个芝诺悖论之一： 阿基里斯追不上乌龟。
a1 A1
a2 A2
a3 A3
a4 A4 … An
2. 症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
例：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，每天取得的产度构成无 穷递缩等比数列{an} ½,1/4,1/8,1/16,1/32,… 其和：½+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
1 ↓ 2 2 ↓ 4 3 ↓ 6 4 ↓ 8 ┅ ┅ ┅ k ↓ 2k ┅ ┅ ┅
空下了奇数号房间
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3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团
中都有无穷个客人
1 ↓
10001
2 ↓
3 ↓
4 ↓
┅ ┅
k ↓
10001×k
┅ ┅
┅
20002 30003
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解答
运动员 百米成绩 另解
1 10秒
1 9 秒 1
2 9.9秒
1 9 秒 2
3 9.89秒
1 9 秒 3
4 9.889秒
1 9 秒 4
… … …
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[思]：构造一个“部分到整体的一
一对应”：从[0，1）→[0，+∞）。
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答：
f :[0,1) 0,
1 x 1 1 x
40004 ┅
给出了一万个、又一万个的空房间
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4. [思考题] 该旅馆客满后又来了无
穷个旅游团，每个团中都有无穷个客
人，还能否安排？
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思考题解答
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答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进 入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有
房间住。
一团： 1.1 → 1.2 ↙ 二团： 2.1 ↙ ↙ 2.2 ↙ 1.3 ↙ 2.3 2.4 …… 1.4 ……
（因为.“万物皆数”学说时，还没有“无理数”，
当然也没有“有理数”概念，只是任何数都可表 为整数的比）
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二、芝诺悖论
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明
该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可 分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的； 运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称 “芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
3. 芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的“反证法”及“无限”的思想 (关于“反证法”，我们在前面已经经历过几次了，如“猜帽子的颜色”；
证明“病狗的条数”等，这是重要的数学推理证明方法）
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连 续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离 散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所 以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。
1 3
p
3 3
…
p
4 3
…
…………………………
附：证明“素数有无穷多个”（反证法）
p1 ps 1
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[思] 该旅馆第一天恰有一个客人，
第二天这个客人离开，又来了两位客源自文库
人，以后每天都有一位 客人离开，又 来了两位客人，无穷多天之后，旅店
老板发现旅店里一个客人都没有了，
这种情况可能发生吗？
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1 2 3 ↕ ↕ ↕ 4 ↕ 5 ↕ 6 ↕ 7 ↕ 8 ↕ 9 10 11 … n … ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n …
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。