高中数学专题讲义-线性规划
高中数学新课标人教A版必修5课件线性规划
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性目标函数在满足一组线性约束条件下的最优解。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，即目标函数和约束条件中的变量和常数都是线 性的。
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最大值或最小值，同时满足所有的 约束条件。
线性规划在资源分 配中的应用
资源分配问题的定 义和分类
线性规划在资源分 配问题中的求解方 法
线性规划在资源分 配问题中的实际应 用案例
投资目标：最大化投资收 益
投资约束：资金有限、风 险控制等
投资策略：分散投资、风 险对冲等
投资效果评估：投资回报 率、风险调整后收益等
运输问题：在满足一定约束条件下，寻找最优的运输方案，以最小化运输成本或最大化运输 收益
确定约束条件的类 型，如等式约束、 不等式约束等
确定约束条件的 范围，如 x1+x2≤5等
确定约束条件的 数量，如 x1+x2+x3=5等
目标函数是线性规 划的核心，需要明 确表示出要优化的 目标
目标函数通常表示 为最大化或最小化 某个线性函数
目标函数中的变量 需要与约束条件中 的变量一致
目标函数中的系数 需要是常数，不能 含有变量
线性规划是研究线性约束条件下的优化问题的数学方法
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最大值或最小值
线性规划的几何意义在于，它可以将线性规划问题转化为几何问题，通过几何图形来 直观地表示和解决问题
线性规划的几何意义可以帮助我们更好地理解和解决线性规划问题，提高解决问题的 效率和准确性
初学讲义之高中数学二十五线性规划
初学讲义之高中数学二十五线性规划一、直线分割平面1.1 直线的两边学习线性规划前，先要补充学习一块坐标几何的内容如上图所示，中间的黑色线直线的函数为：y=x，写成方程为x-y=0由于直线是向两头无限延伸的，可以认为它把整个平面分为3个部分：直线本身(黑)、左(红)、右(蓝)可以叫左右，也可以叫上下，都一样。
其实平面上任何一条直线都可以把平面分成这三部分。
现在我们简单了解一下两边的情况。
1.2 直线的平移在学习一次函数时，已经学过函数的平移，这里直接用结论对直线y=x，如果把它变成y=(x-a)，就是向右平移a个单位（若a＜0就是向左）如果把它变成y=x+b，就是向上平移b个单位（若b＜0就是向下）对上面的两个平移，如果我们令a=-b，那么平移后得到的函数是相同的，都是y=x+b也就是说当a=-b时，向右平移a和向上平移b的结果是相同的现在具体令a=-b=2，我们来分别平移：如上图，黑色直线为y=x，红色直线为y=x-2首先按照向右平移，也就是橙色的箭头，变成y=(x-2)原来的(0,0)就被平移到了(2,0)，类似的，直线上的其他点(x_{0},y_{0})都平移到了 (x_{0}+2,y_{0})再来向上（下）平移，也就是粉色的箭头，变成y=x+(-2)原来的(0,0)就被平移到了(0,-2)，类似的，直线上的其他点(x_{0},y_{0})都平移到了 (x_{0},y_{0}-2)虽然翻译的方向不同，但结果是一样的。
上面是用一次函数表示直线，下面用方程来表现会更加直观：原直线：x-y=0新直线：x-y-a=0当a＞0时，直线向右（或下）平移当a＜0时，直线向左（或上）平移直线向右（或下）前进的过程中，扫过了全部的半个平面直线向左（或上）前进的过程中，扫过了全部的另外半个平面1.3 确定在哪边我们对新直线方程x-y-a=0变个形：a=x-y也就是说，直线右边（或下边）的所有点，都是a＞0的，也就是x-y＞0直线左边（或上边）的所有点，都是a＜0的，也就是x-y＜0因此直线x-y=0将平面分为3个部分，这3部分的点分别满足：x-y=0x-y＞0x-y＜0分别对应直线上（黑色），直线右边或下边（蓝色），直线左边或上边（红色）对任何直线都是如此1.4 举例再举2个其他的例子：例1：2x+3y-6=0它也把直线分为3个部分为了找到对应关系，随便代入某个点即可，比如在直线左侧的最简单的（0,0）：2*0+3*0-6=-6＜0因此对该直线，符合2x+3y-6＜0的点在左侧（或下侧），符合2x+3y-6＞0的点在右侧（或上侧）例2：-2x+3y+6=0代入在左侧的（0,0）：-2*0+3*0+6=6＞0因此对该直线，符合-2x+3y+6＞0的点在左侧（或上侧），符合-2x+3y+6＜0的点在右侧（或右侧）要注意的是从上面两个例子可以看出：1、对每条直线，“＞和＜“与“右还是左（下还是上）”的对应关系需要单独确定2、“上下”和“左右”通常也没有对应关系，只是为了方便的叫法1.5 围出一个多边形现在我们在一个坐标系内同时画上上面三条直线：x-y=0（红）2x+3y-6=0（绿）-2x+3y+6=0（蓝）这三条直线把平面分为好几个部分（懒得数了），中间围出一个三角形（阴影部分）那么这个阴影部分该如何表示呢？很简单，随便取个点，分别代入3条边试出不等号即可为方便运算，就取（2,0）吧，0越多越好，整数越多越好：代入x-y：2-0=2＞0代入2x+3y-6：2*2+3*0-6=-2＜0代入-2x+3y+6：-2*2+3*0+6=2＞0因此阴影部分的点可以用下面这个不等式组来表示：x-y＞02x+3y-6＜0-2x+3y+6＞0（此处左边应有大括号{，由于输入法原因无法实现）1.5.2 再加条直线再加条直线看看：x-y=0（红）2x+3y-6=0（绿）-2x+3y+6=0（蓝）x+y+2=0（黄）这下围出了四边形，也有三角形，和其他开放的图形如果想要知道此时阴影部分四边形点的特征，再加上第四条黄色的直线的不等式即可：还是代入(2,0)：2+0+2=4＞0因此中间阴影四边形中点的坐标符合：x-y＞02x+3y-6＜0-2x+3y+6＞0x+y+2＞0如果您想包含边界，只需将大于号和小于号更改为大于或等于号和小于或等于号。
高中数学必修5-线性规划-课件完美课件
由
x
y
y 1 0 2x 1 0
求得
x
y
0 1
故
C（0，1）
故 z 的最小值为 zmin=3×0-2×1=-2 故 z 范围[-2,3]
线性规划问题的解决步骤：
1、根据约束条件(不等式组）作可行域 2、对目标函数变形为y=kx+b的形式，
找截距与z的关系 3、令z=0, 先作出过原点的直线，定下直线形状 4、对直线进行平移，找出最优的点 5、联立边界直线方程，求出点坐标 6、将点坐标代入，求出最值
33
令z=0,作过原点的直线2x+3y=0， 对直线进行平移，可知直线经过M点时截距最大，z最大
由 x x 2 4 y80 得 x y 4 2 ,故 M （ 4 ， 2 ）
故zmax=2×4+3×2 =14（万元） 答：生产4件甲产品和2件乙产品时，获利最大， 最大利润为14万元
实战演练 （选自2010年广东高考文数）
解：设工产 厂x件 品 每， 天y 乙 生 件产 ，品 甲 每z万 天元 利， 润 则
4 x 16
4 x
y
2
12 y
8
即
x 4
y x
3 2y
8
x
N
x
N
y N
y N ห้องสมุดไป่ตู้
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域为：
因为z=2x+3y,故y= 2 x z 故直线的截距最大时z最大
简单的线性规划问题
复习回顾
线性规划问题的有关概念： ·线性约束条件：
关于x、y的_一__次__不__等__式_组_
·可行域：
根据约束条件（不等式组）画出的平面区域 ·目标函数：
简单线性规划-高中数学知识点讲解
简单线性规划1．简单线性规划【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【例题解析】푥+2푦≤8例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件{0≤푥≤4．0≤푦≤3（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S =12퐵퐶⋅퐴퐵=12×1×2=1．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，此时z 最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，此时z 最大为z＝4+3＝7，1/ 5故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是（）7343A．3B．7C．3D．44 4分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平33面区域面积的条件即可．解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx +44过定点（0，）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx +3343能平分平面区域．15因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（，）．22当y＝kx +4155过点（，）时，3222=푘2+43，所以k =73．答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值2/ 5典例 2：设x，y 满足约束条件：，求z＝x+y 的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y达到最大值．故z min＝2，z max＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例 3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元0.55 万元韭菜 6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．3/ 5푥+푦≤50解析设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知{1.2푥+0.9푦≤54푥，푦∈푁+求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值푦典例 4：（1）设实数x，y 满足，则푥的最大值为．→（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|푂퐴+→푂푀|的最小值是．分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．푦3解答：（1）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．24/ 5→（2）依题意得，푂퐴+→→푂푀=（x+1，y），|푂퐴+→푂푀| =(푥+1)2+푦2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向→直线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|푂퐴+→푂푀|的最小值是|―1+0―2|2=322．332故答案为：（1）（2）．22点评：常见代数式的几何意义有（1）푥2+푦2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）(푥―푎)2+(푦―푏)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；푦（3）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；푦―푏（4）푥―푎表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．푧푧2．在通过求直线的截距푏的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距푏取最大值时，z 也取最大值；截푧푧푧距푏取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距푏取最小值时，z 取最大值．푏取最大值时，z 取最小值；截距5/ 5。
高一数学辅导讲义---线性规划
高一数学辅导讲义第7讲----简单的线性规划问题【知识与技能】一、二元一次不等式表示平面区域:1、二元一次不等式0>++C By Ax （或<0）在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域，不包括边界；2、二元一次不等式0≥++C By Ax （或≤0）在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域且包括边界。
注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.二、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:直线定界、特殊点定域三、利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：1、作出可行域 ；2、作出目标函数的等值线；3、求出最终结果：在可行域中平移移动目标函数等值线，从图中能判断问题有惟一最优解，或者是有无穷最优解，或者无最优解。
四、线性规划解决常见问题：1、求给定可行域的最优解（包括最大、小值及最优整数解）2、求给定可行域的面积3、给出可行域的最优解，求目标函数中参数的范围【题型分类精讲】题型一、二元一次不等式（组）表示的平面区域的有关问题1、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域的面积等于( )A 、23B 、32C 、34D 、43 2、设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142080192y x y x y x 所表示的平面区域为M ，使函数)1,0(≠>=a a a y x(a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 ( )A 、［1,3］B 、［2,10］ C.［2,9］ D.［10,9］题型二、利用线性规划求最大值、最小值3、若实数x,y 满足不等式组330,230,10,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则y x +的最大值为（ ）A 、9B 、 157C 、1D 、7154、已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x-y 最大值？题型三、含有字母系数的线性规划问题：5、若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( ) A 、34≥a B 、10≤<a C 、341≤≤a D 、3410≥≤<a a 或 题型四、线性规划的最优解问题6、设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则ba 32+的最大值为（ ） A 、625 B 、38 C 、311 D 、4 题型五、利用线性规划解决实际问题7、某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）A 、甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B 、甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C 、甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D 、甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱。
人教版高中数学课件第五册：线性规划
y
5
x-y+5=0
3
x
表示的平面区域。
x=3
线性规划
y
5
O
问题引入 有关概念
3
x
例题讲解
线性规划
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
求z的最大值与最小值。
探索结论
线性规划
目标函数 （线性目标函数）
探索结论
线性规划的实际应用
应用举例之一
——纺纱厂的效益问题
应用举例之二 ——煤矿调运方案问题
应用举例之三
——其它问题
线性规划的实际应用
例1：某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已 知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级 子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、 二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元， 每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产 这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉 纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润 总额最大?
线性规划的实际应用
例1：某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱 1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子 棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨 乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求 消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两 种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?
资源 一级子棉（吨） 二级子棉（吨） 利润（元）
产品 甲种棉纱 乙种棉纱 资源限额 （吨） （吨） （吨） 2 1 600 1 2 900 300 250
高中数学知识点精讲精析 简单线性规划
3.4.2 简单线性规划1. 相关定义：(1)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
(2)可行解：满足线性约束条件的解叫做可行解。
(3)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域。
(4)最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。
2. 线性规划问题的求解步骤：(1)先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；(2)作出相应的图象（注意特殊点与边界）(3)利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数的最大（小）值时，直线往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。
注：①对线性目标函数中的符号一定要注意：当时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，值最大，在y 轴截距最小时，值最小；当时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，值最小，在y 轴截距最小时，值最大。
②如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点。
例1：设满足约束条件：，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：(1)； (2)；(3)（是整数）； （4）； （5） 示中的区域，且【解析】先作可行域，如下图所求得、、),(y x ny mx z +=0=+ny mx By Ax z +=B 0>B z z 0<B z z y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x y x z 106+=y x z -=2y x z -=2y x ,22y x +=ω1+=x y ωABC ∆)2,5(A)1,1(B )522,1(C(1)作出直线，再将直线平移，当的平行线过点B 时，可使达到最小值；当的平行线过点A 时，可使达到最大值。
故，(2)同上，作出直线，再将直线平移，当的平行线过点C 时，可使达到最小值；当的平行线过点A 时，可使达到最大值。
高中数学人教A版必修5简单线性规划课件
x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。
x=1
解决方案二
问题：
不化为斜截式能求 最值吗？
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
y
x=1
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
高中数学人教A版必修5简单线性规划 课件
高中数学人教A版必修5简单线性规划 课件
2.(2004高考全国卷4理科数学试题（必修+选修Ⅱ
甘肃青海宁夏贵州新疆等地区）第16题)
解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值， 使式中x、y满足下列条件：
x y 1,
y
x,
y 0,
答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。
C
B
o
x=1
析: 作直线l0 ：y=-2ｘ, 则直线 l：
y=- 2ｘ+z是一簇与 l0平行的直线,故直线 l 可通过平移直线l0而得，当直线往右上方平
移时z 逐渐增大：
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即
x
zmax＝2×5+2＝12 。
y x=1
6
5• C•
4
注意：直线取最大截距时， l1
等价于
1z
取得最大值，则2z取得
最小值
43线性规划高中数学讲义微专题Word版
微专题43线性规划——作图与求解一、基础知识1、有关术语：（1）线性拘束条件：对于变量 x,y的一次不等式（或方程）组（2）可行解：知足线性拘束条件的解x,y3）可行域：全部可行解构成的会合4）目标函数：对于x,y的函数分析式5）最优解：是目标函数获得最大值或最小值的可行解2、怎样在直角坐标系中作出可行域：1）先作出围成可行域的直线，利用“两点独一确立一条直线”可选用直线上的两个特别点（比方坐标轴上的点），以便快速做出直线2）怎样判断知足不等式的地区位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分红若干地区，则在同一地区的点，所知足不等式的不等号方向同样，因此可用特别值法，利用特别点判断其能否切合不等式，假如切合，则该特别点所在地区均切合该不等式，详细来说有以下三种状况：①竖直线x a或水平线y b：可经过点的横（纵）坐标直接进行判断②一般直线y kx bkb 0：可代入0,0点进行判断，若切合不等式，则原点所在地区即为不等式表示地区，不然则为另一半地区。
比如：不等式x 2y 3 0，代入 0,0切合不等式，则x 2y 3 0所表示地区为直线x 2y 3 0的右下方③过原点的直线y kxk 0：没法代入 0,0，可代入座标轴上的特别点予以解决，或许利用象限进行判断。
比如：y x：直线y x穿过一、三象限，二、四象限分居直线双侧。
考虑第四象限的点x 0,y 0，因此必有y x，因此第四象限所在地区含在 y x表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意界限能否可以取到：对于拘束条件界限不可以取值时，在图像中界限用虚线F x,y0（或F x,y0）表示；对于拘束条件F x,y0（或F x,y0）界限能取值时，在图像中界限用实线表示3、利用数形联合追求最优解的一般步骤（1）依据拘束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的地区（2）确立目标函数z在式子中的几何意义，常有的几何意义有：（设a,b为常数）①线性表达式——与纵截距有关：比如zaxa zby，则有y x，进而z的取值与b b动直线的纵截距有关，要注意b的符号，若b0，则z的最大值与纵截距最大值有关；若b0，则z的最大值与纵截距最小值有关。
高中数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(二)课件
学段 初中 高中
硬件建设 班级学生数 配备教师数 万元
45
2
26／班
40
3
54／班
教师年薪 万元
2／人 2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600 元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中 班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x 27
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
B(3,9)和C(4,8)在直线上,且在可行域内, 整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
x+y =0
2 1 0 12 78
x
18
27
作出直线 x+y=0，
2x+y=15
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
x
1 7
得M点的坐标为：
高中数学讲义微专题43 线性规划
微专题43线性规划——作图与求解一、基础知识 1、相关术语：（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组 （2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y （3）可行域：所有可行解组成的集合 （4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。
例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。
例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数） ① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a zy x b b=-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。
高中数学重难点专题突破《专题六 线性规划问题求解》教学课件
y
x+y-2=0
x-y-1=0
r 2
C(a,2)
r 2 y=2
A(0,2) B(4,2)
0
x
答案 2,5
解析
当圆与区域D刚刚好有公共点时 a=-2或a=5
【例题3】若变量x，y满足
x
xy
y
0
1，则2x＋y的取值范围为________．
y
D(0,1)
-x+y=1
x+y=1
0
A(-1,0) -x-y=1
C(1,0)
x
x-y=1
B(0,-1) y2=x+-2y=x+mm
答案 [－2,2] 解析
当直线y= -2x+m平移至C点时， m取得最大值，mmax=2 当直线y= -2x+m平移至A点时， m取得最小值，mmin=-2
x y1 0
【例题4】已知实数x，y满足
x
y
1
0
，则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为
A y = |x-a|
0
C B(a,0) x
ab AD
2
ab AB
2
令z=2b-a
AB
ab ab
AD
22
a2 b2
2
b2 a2
2
b2 a2 4
b2 a2 4
z 2b a
3a2 2az 16 z2 0 4 4z2 48 0 z 2 3
某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生
, k表示点(x,y)与(0,0)连线的斜率
2
x
直线y=kx与y 1 x2 1 相切时k取最小值,
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【例1】 设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤，
则OA OB ⋅u u u v u u u v 的最小值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．22+
【例2】 已知变量,x y 满足120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩
≥≤≤，则x y +的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【例3】 不等式组0,10,
3260x x y x y ⎧⎪--⎨⎪--⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 ．
典例分析
线性规划
【例4】设变量,x y满足约束条件
3
1
x y
x y
+
⎧
⎨
--
⎩
≥
≥
，则目标函数2
z y x
=+的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
【例5】设变量,x y满足
0,
10
3260
y
x y
x y
⎧
⎪
--
⎨
⎪--
⎩
≥
≥
≤
，则该不等式组所表示的平面区域的面积等
于，z x y
=+的最大值为．
【例6】目标函数2
z x y
=+在约束条件
30
20
x y
x y
y
+-
⎧
⎪
-
⎨
⎪
⎩
≤
≥
≥
下取得的最大值是________．
【例7】下面四个点中，在平面区域
4
y x
y x
<+
⎧
⎨
>-
⎩
内的点是（）
A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2)
-D．(2,0)
-
【例8】已知平面区域
1
||1
(,)0,(,)
1
y x
y x
x y y M x y
y
x
⎧⎫
+
⎧
⎧⎫
-+
⎧
⎪⎪
⎪⎪⎪
Ω==
⎨⎨⎬⎨⎨⎬
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎭
⎩
⎩⎭
≤
≤
≥
≥
≤
，向区域Ω内
随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（）
A．1
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【例9】若x，y满足约束条件
30
03
x y
x y
x
+
⎧
⎪
-+
⎨
⎪
⎩
≥
≥
≤≤
，则2
z x y
=-的最大值为．
【例10】已知不等式组
y x
y x
x a
⎧
⎪
-
⎨
⎪
⎩
≤
≥
≤
，表示的平面区域的面积为4，点()
,
P x y在所给平面区
域内，则2
z x y
=+的最大值为______．
【例11】设,x y∈R，且满足20
x y
-+=，则22
x y
+的最小值为；若,x y又
满足4
y x
>-，则y
x
的取值范围是．
【例12】“关于x的不等式220
x ax a
-+>的解集为R”是“01
a<
≤”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【例13】已知不等式组
1
1
x y
x y
y
+
⎧
⎪
--
⎨
⎪
⎩
≤
≥
≥
表示的平面区域为M，若直线3
y kx k
=-与平面区域
M有公共点，则k的取值范围是（）
A．
1
,0
3
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
B．
1
,
3
⎛⎤
-∞
⎥
⎝⎦
C．
1
0,
3
⎛⎤
⎥
⎝⎦
D．
1
,
3
⎛⎤
-∞-
⎥
⎝⎦
【例14】已知不等式组
02
20
20
x
x y
kx y
⎧
⎪
+-
⎨
⎪-+
⎩
≤≤
≥
≥
所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（）
A．1 B．3-C．1或3-D．0
【例15】 已知函数6(3)3,7(),
7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤，若数列{}n a 满足()(*)n a f n n =∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．()1,3
【例16】 设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤，
则OA OB ⋅u u u v u u u v 的最小值为（ ）
A
B ．2
C ．3 D
．2+
【例17】 已知变量,x y 满足120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩
≥≤≤，则x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【例18】不等式组
0,
10,
3260
x
x y
x y
⎧
⎪
--
⎨
⎪--
⎩
≥
≥
≤
所表示的平面区域的面积等于．
【例19】设变量,x y满足约束条件
3
1
x y
x y
+
⎧
⎨
--
⎩
≥
≥
，则目标函数2
z y x
=+的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4。