一元函数积分知识点完整版
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求下列不定积分：
五．考察定积分的分段积分方法
讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。
问题7：
计算以下定积分：
六．考察不定积分的分段积分方法
讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。
问题8：
设函数 ，求
七．考察不定积分的凑微分方法（第一换元法）
讲解：凑微分方法的具体过程为如下：
设 ，且函数 可导，则
。
若 不好求，而 好求，则可以采用这种方法。
需要注意的是通常碰到的问题是求 ，其中 并未表达为 的形式，这时我们需要根据 的特点选择适合的 。
问题9：
求下列不定积分：
八．考察不定积分与定积分的第二换元法
讲解：需要掌握不定积分与定积分第二换元法的定理，掌握常见的变量替代。
十四．考察有理函数的积分
讲解：有理函数可以分解成多项式和真分式之和。积分的关键是求真分式的积分。
设有真分式 。首先将 因式分解，若分解后含有因子 ， …… ， ， …… ，
（要求 ）(按照高等代数的知识，一定可以分解成不超过二次的因式)
则采用待定系数法将 分解为
此时只含有四类积分：（ 为任意常数）
（1）
问题11：
求下列不定积分：
十一．常用变量替换三：指数函数替换
讲解：当被积函数含有 或 时，可考虑采用这种替换方法（ ， ）
问题12：
求下列不定积分：
十二．常用变量替换四：倒替换
讲解：当被积函数的分母最高次数高于分子的最高次数时，有时可以考虑倒替换（ ）
问题13：
求下列定积分：
十三．考察不定积分和定积分的分部积分法
证明下列不等式：
二十二．考察原函数的存在定理（复习类）
讲解：你需要复习知识点三。
问题23：
设 在 内有定义， ，又 在 内仅有 一个间断点，且为第一类间断点，讨论 在 内是否存在原函数？
二十三．考察常用的不定积分计算方法（复习类）
讲解：你需要复习知识点六到知识点十八（除了知识点八）。
问题24：
（1）
讲解：反常积分我们专业考察较弱（不知道你们数学专业如何），重点考察无穷区间上反常积分的概念、瑕积分的概念、用定义判断反常积分的收敛性及计算积分值，需要掌握常见反常积分的收敛性判断、反常积分的运算法则。
问题19：
计算下列反常积分的值：
（1）
（2）
十九．考察与定积分概念有关的题目（复习类）
讲解：你需要复习知识点二。
问题27：
计算下列反常积分：
二十七．利用换元法证明积分等式（复习类）
讲解：你需要复习知识点十一到十五。（我们专业每年都至少会考察一个证明题）
问题28：
假定下列所涉及的反常积分均收敛，证明：
二十八．利用分部积分法证明积分等式（复习类）
讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。
常见的情形有：
问题5：
求
三．考察基本积分表
讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。
四．考察分项积分方法
讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。
问题6：
（2） （ ）
（3）
（4）
其中 可令 ， ，则 ，再利用分部积分法得到递推公式求解。
问题15：
按照自己喜好填写 的值，再按照上面方法求积分。
十五．考察三角有理式的积分
讲解：所谓三角有理式是指以 与 为变量的有理函数，即为 。此时总可以采用万能代换 使被积函数有理化，即
问题16：
求下列不定积分：
十六．利用定积分的几何意义求定积分的值
讲解：若 是熟知的平面图形的面积，则可以直接使用几何意义求解定积分的值。
问题17：
求下列定积分：
十七．利用被积函数的分解与结合来求定积分的积分值
讲解：有时我们可以采用分项积分将被积函数进行分解，再对其中某几项采用第二换元法转换为另一种形式，再与其他项结合在一起求解积分。
问题18：
求下列定积分：
十八．考察反常积分
问题20：
设 为连续函数，且满足 ，求
二十．利用定积分的基本性质确定积分值的符合（复习类）
讲解：你需要复习知识点二、知识点四和知识点十六。
问题21：
函数 ，其中 ，则 （）
（A）为正数
（B）为负数
（C）为零
（D）不是常数
二十一．根据定积分的比较定理证明积分不等式（复习类）
讲解：你需要复习知识点二。
问题22：
一元函数积分知识点完整版
牛顿—莱布尼兹定理为：
设 在 上连续， 是 在 上的一个原函数，则
问题3：
已知 ，求
一．考查奇偶函数和周期函数的积分性质
讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。
问题4：
设 在 上连续， ，则 _______。
二．利用定积分的定义求某些数列极限
2.若
则其可化成 ，令
显然此时 （否则被积函数无意义），令 ，则 可化成 ，此时令 （ ）
问题10：
求下列不定积分：
十．常用变量替换二：幂函数替换（简单无理函数积分）
讲解：幂函数替换常用于被积函数中含有 ， 的根式。
对于第一个可令 ，则 ；
对于第二个可令 ，则 ，再转化为有理函数积分。
如果被积函数中同时含有 ， ，… ，其中 ， ， 是分数，则令 ，其中 是 ， ， 分母的最小公倍数。
（2） （ ）
（3）
二十四．考察常用的定积分计算方法（复习类）
讲解：你需要复习知识点六到知识点二十（除了知识点九）。
问题25：
（1）
（2）
二十五．考察分段函数的积分（复习类）
讲解：你需要复习知识点八，知识点十一。
问题26：
设函数 在 内满足 ，且 ，求
二十六．考察广义积分（复习类）
讲解：你需要复习知识点二十一。
和第一换元法相反，若 不好求，而 好求，则可以采用这种方法，关键是如何选择变量替换。这些我在后面介绍。
九．常用变量替换一：三角函数替换
讲解：三角函数替换法常用于被积函数中含有二次根式，一般的二次根式 可先采用配方法化成标准形式：
1.若
则其可பைடு நூலகம்成 ，令
当 ，令 ，则 可化成 ，此时令 （ ）
当 ，令 ，则 可化成 ，此时令 （ 且 ）
讲解：需要掌握不定积分和定积分的分部积分法，并会用分部积分法推导递推公式
不定积分的分部积分法则为：
假定 与 均具有连续的导函数，则
（或写成 ）
定积分的分部积分法则为：
若 与 在 上连续，则
（或写成 ）
分部积分法的关键是恰当原则 和 ，选取的原则一般为： 容易积分， 比 容积计算。
问题14：
求 和 （ ……）
五．考察定积分的分段积分方法
讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。
问题7：
计算以下定积分：
六．考察不定积分的分段积分方法
讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。
问题8：
设函数 ，求
七．考察不定积分的凑微分方法（第一换元法）
讲解：凑微分方法的具体过程为如下：
设 ，且函数 可导，则
。
若 不好求，而 好求，则可以采用这种方法。
需要注意的是通常碰到的问题是求 ，其中 并未表达为 的形式，这时我们需要根据 的特点选择适合的 。
问题9：
求下列不定积分：
八．考察不定积分与定积分的第二换元法
讲解：需要掌握不定积分与定积分第二换元法的定理，掌握常见的变量替代。
十四．考察有理函数的积分
讲解：有理函数可以分解成多项式和真分式之和。积分的关键是求真分式的积分。
设有真分式 。首先将 因式分解，若分解后含有因子 ， …… ， ， …… ，
（要求 ）(按照高等代数的知识，一定可以分解成不超过二次的因式)
则采用待定系数法将 分解为
此时只含有四类积分：（ 为任意常数）
（1）
问题11：
求下列不定积分：
十一．常用变量替换三：指数函数替换
讲解：当被积函数含有 或 时，可考虑采用这种替换方法（ ， ）
问题12：
求下列不定积分：
十二．常用变量替换四：倒替换
讲解：当被积函数的分母最高次数高于分子的最高次数时，有时可以考虑倒替换（ ）
问题13：
求下列定积分：
十三．考察不定积分和定积分的分部积分法
证明下列不等式：
二十二．考察原函数的存在定理（复习类）
讲解：你需要复习知识点三。
问题23：
设 在 内有定义， ，又 在 内仅有 一个间断点，且为第一类间断点，讨论 在 内是否存在原函数？
二十三．考察常用的不定积分计算方法（复习类）
讲解：你需要复习知识点六到知识点十八（除了知识点八）。
问题24：
（1）
讲解：反常积分我们专业考察较弱（不知道你们数学专业如何），重点考察无穷区间上反常积分的概念、瑕积分的概念、用定义判断反常积分的收敛性及计算积分值，需要掌握常见反常积分的收敛性判断、反常积分的运算法则。
问题19：
计算下列反常积分的值：
（1）
（2）
十九．考察与定积分概念有关的题目（复习类）
讲解：你需要复习知识点二。
问题27：
计算下列反常积分：
二十七．利用换元法证明积分等式（复习类）
讲解：你需要复习知识点十一到十五。（我们专业每年都至少会考察一个证明题）
问题28：
假定下列所涉及的反常积分均收敛，证明：
二十八．利用分部积分法证明积分等式（复习类）
讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。
常见的情形有：
问题5：
求
三．考察基本积分表
讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。
四．考察分项积分方法
讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。
问题6：
（2） （ ）
（3）
（4）
其中 可令 ， ，则 ，再利用分部积分法得到递推公式求解。
问题15：
按照自己喜好填写 的值，再按照上面方法求积分。
十五．考察三角有理式的积分
讲解：所谓三角有理式是指以 与 为变量的有理函数，即为 。此时总可以采用万能代换 使被积函数有理化，即
问题16：
求下列不定积分：
十六．利用定积分的几何意义求定积分的值
讲解：若 是熟知的平面图形的面积，则可以直接使用几何意义求解定积分的值。
问题17：
求下列定积分：
十七．利用被积函数的分解与结合来求定积分的积分值
讲解：有时我们可以采用分项积分将被积函数进行分解，再对其中某几项采用第二换元法转换为另一种形式，再与其他项结合在一起求解积分。
问题18：
求下列定积分：
十八．考察反常积分
问题20：
设 为连续函数，且满足 ，求
二十．利用定积分的基本性质确定积分值的符合（复习类）
讲解：你需要复习知识点二、知识点四和知识点十六。
问题21：
函数 ，其中 ，则 （）
（A）为正数
（B）为负数
（C）为零
（D）不是常数
二十一．根据定积分的比较定理证明积分不等式（复习类）
讲解：你需要复习知识点二。
问题22：
一元函数积分知识点完整版
牛顿—莱布尼兹定理为：
设 在 上连续， 是 在 上的一个原函数，则
问题3：
已知 ，求
一．考查奇偶函数和周期函数的积分性质
讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。
问题4：
设 在 上连续， ，则 _______。
二．利用定积分的定义求某些数列极限
2.若
则其可化成 ，令
显然此时 （否则被积函数无意义），令 ，则 可化成 ，此时令 （ ）
问题10：
求下列不定积分：
十．常用变量替换二：幂函数替换（简单无理函数积分）
讲解：幂函数替换常用于被积函数中含有 ， 的根式。
对于第一个可令 ，则 ；
对于第二个可令 ，则 ，再转化为有理函数积分。
如果被积函数中同时含有 ， ，… ，其中 ， ， 是分数，则令 ，其中 是 ， ， 分母的最小公倍数。
（2） （ ）
（3）
二十四．考察常用的定积分计算方法（复习类）
讲解：你需要复习知识点六到知识点二十（除了知识点九）。
问题25：
（1）
（2）
二十五．考察分段函数的积分（复习类）
讲解：你需要复习知识点八，知识点十一。
问题26：
设函数 在 内满足 ，且 ，求
二十六．考察广义积分（复习类）
讲解：你需要复习知识点二十一。
和第一换元法相反，若 不好求，而 好求，则可以采用这种方法，关键是如何选择变量替换。这些我在后面介绍。
九．常用变量替换一：三角函数替换
讲解：三角函数替换法常用于被积函数中含有二次根式，一般的二次根式 可先采用配方法化成标准形式：
1.若
则其可பைடு நூலகம்成 ，令
当 ，令 ，则 可化成 ，此时令 （ ）
当 ，令 ，则 可化成 ，此时令 （ 且 ）
讲解：需要掌握不定积分和定积分的分部积分法，并会用分部积分法推导递推公式
不定积分的分部积分法则为：
假定 与 均具有连续的导函数，则
（或写成 ）
定积分的分部积分法则为：
若 与 在 上连续，则
（或写成 ）
分部积分法的关键是恰当原则 和 ，选取的原则一般为： 容易积分， 比 容积计算。
问题14：
求 和 （ ……）